OR 4 – WP.2: Modelli puntuali Riunione congiunta CTS e CCE 05 Aprile 2013, Università della...
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OR 4 – WP.2: Modelli puntuali
Riunione congiunta CTS e CCE 05 Aprile 2013, Università della Calabria, Cosenza
Presentazione delle attività svolte nel periodo Ottobre 2012 ad oggi
OR 4
Modello matematico di simulazione
Modulo Geotecnico
Analisi di stabilità in
termini di FS
Risposta tenso-
deformativa
Gli invarianti di sforzo
Lo stato tensionale in un punto ൣ�𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥൧𝑇 ሾ𝜎1 𝜎2 𝜎3 ሿ𝑇 In termini di tensioni principali
Invarianti di sforzo
𝑠= 1ξ3൫𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧൯ 𝑡 = 1ξ3ටቂ൫𝜎𝑥 − 𝜎𝑦൯2 +൫𝜎𝑦 − 𝜎𝑧൯2 +ሺ𝜎𝑧 − 𝜎𝑥ሻ2 + 6(𝜏𝑥𝑦2 + 𝜏𝑦𝑧2 + 𝜏𝑧𝑥2)ቃ 𝜃 = 13arcsinቆ−3ξ6𝑡3 𝐽3ቇ
Modello matematico di simulazione
Modello matematico di simulazione
s = distanza dall’origine dello spazio delle tensioni principali;t= distanza perpendicolare dallo stress point P alla trisettrice dell’ottante;θ= “angolo di Lode” è la misura angolare della posizione dello stress point P nel piano ottaedrico delle tensioni principali.
Modello matematico di simulazione
Modello elasto-plastico con superficie di snervamento alla Mohr-Coulomb
F = ห൫𝜎𝑖𝑓′ − 𝜎𝑘𝑓′൯ห−ห൫𝜎𝑖𝑓′ + 𝜎𝑘𝑓′൯หsin𝜑′ − 2𝑐′cos𝜑′ ≤ 0 i,k=1,2,3
Invarianti di sforzo
F= 1ξ3 s∙sinφ′ +ඨ32 t∙ቆcosθξ3 − sinθ∙sinφ′3 ቇ− c′ cosφ′
Modello matematico di simulazione
Non-linearità meccaniche (legame costitutivo)
Ricerca iterativa della soluzione del sistema ሾ𝐾𝑚ሿሼ𝑈ሽ𝑖 =ሼ𝐹ሽ𝑖
“Costant stiffness method” – NR mod
“Tangent stiffness method” - NR
Modello matematico di simulazione
“Costant stiffness method” – Newton-Raphson modificato
Vantaggi:
1. Assemblaggio matrice Km una volta sola 2. Fattorizzazione di Km (Foward-Backward Gauss substitution) una volta sola3. Bassi costi computazionali rispetto al “Tangent stiffness method”
Svantaggi:
1. Maggior numero di iterazioni per giungere a soluzione
Modello matematico di simulazione
La viscoplasticità :
Il materiale può sostenere stati tensionali al di fuori della superficie di plasticizzazione entro un certo limite. Ciò significa che la funzione di plasticizzazione F può essere maggiore di zero (Zienkiewicz e Cormeau,1974) .
ሼ𝜀ሶ𝑣𝑝ሽ= 𝐹൜𝜕𝑄𝜕𝝈′ൠ F= funzione di plasticizzazione di Mohr-CoulombQ= potenziale plastico
ሼ𝛿𝜀𝑣𝑝ሽ𝑖 =ሼ𝜀ሶ𝑣𝑝ሽ𝑖 ∙∆𝑡
ሼ∆𝜀𝑣𝑝ሽ𝑖 =ሼ∆𝜀𝑣𝑝ሽ𝑖−1 +ሼ𝛿𝑣𝑝ሽ𝑖
Modello matematico di simulazione
Schema risolutivo FEM:
ሾ𝐾𝑚ሿሼ𝑈ሽ𝑖 =ሼ𝐹ሽ𝑖 ሼ𝑈ሽ𝑖 Vettore globale spostamenti nodali
ሾ𝐵ሿሼ𝑢ሽ𝑖 =ሼ∆𝜀ሽ𝑖 A livello di elemento
[B] = matrice delle derivate delle funzioni forma
ሾ𝐷ሿሼ∆𝜀ሽ𝑖 =ሼ∆𝜎ሽ𝑖 [D] = matrice dei coefficienti elastici
ሼ∆𝜀ሽ𝑖 =ሼ∆𝜀𝑒ሽ𝑖 + ሼ∆𝜀𝑣𝑝ሽ𝑖 Se viene raggiunta la superficie di plasticizzazione la deformazione si sdoppia in due aliquote:
Modello matematico di simulazione
Calcolo del Fattore di sicurezza: Procedura Phi-c’ Reduction
FS= c′c′RID = tanφ′ሺtanφ′ሻRID
Il fattore di sicurezza viene ricercato mediante una riduzione iterativa dei parametri di resistenza c’ e tanφ’ finché non si instaura un meccanismo di collasso:
La potenziale superficie di scorrimento viene identificata automaticamente dalla procedura.
Applicazione
Problema di un banco di sabbia attraversato da livelletti di terreno scadente.FASE 1 : Pendio AsciuttoFASE 2: Risalita falda come in figura
Strato φ (°) c’ (kPa)
ψ(°) γ (kN/m3)
E (kPa)
v
Sabbia 40 1 0 20 100 000 0.33
Livelletti 19 1 0 20 5 000 0.40
Applicazione
Discretizzazione adottata: elementi finiti quadrangolari a 4 punti di Gauss
Applicazione
Fattore di sicurezza
In caso di pendio asciutto
FS= 1.55
In caso di risalita di falda
FS= 1.18
Applicazione
Risposta in termini di spostamenti (deformazioni)
Vettori spostamento durante la “Gravity loading”. Essivengono azzerati a fine procedura.
Risalita falda
Vettori spostamento dopo la risalita della falda.
Applicazione
Mesh deformata – Vettori spostamento