OR 4 – WP.2: Modelli puntuali

Riunione congiunta CTS e CCE 05 Aprile 2013, Università della Calabria, Cosenza

Presentazione delle attività svolte nel periodo Ottobre 2012 ad oggi

OR 4

Modello matematico di simulazione

Modulo Geotecnico

Analisi di stabilità in

termini di FS

Risposta tenso-

deformativa

Gli invarianti di sforzo

Lo stato tensionale in un punto ൣ�𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥൧𝑇 ሾ𝜎1 𝜎2 𝜎3 ሿ𝑇 In termini di tensioni principali

Invarianti di sforzo

𝑠= 1ξ3൫𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧൯ 𝑡 = 1ξ3ටቂ൫𝜎𝑥 − 𝜎𝑦൯2 +൫𝜎𝑦 − 𝜎𝑧൯2 +ሺ𝜎𝑧 − 𝜎𝑥ሻ2 + 6(𝜏𝑥𝑦2 + 𝜏𝑦𝑧2 + 𝜏𝑧𝑥2)ቃ 𝜃 = 13arcsinቆ−3ξ6𝑡3 𝐽3ቇ

Modello matematico di simulazione

Modello matematico di simulazione

s = distanza dall’origine dello spazio delle tensioni principali;t= distanza perpendicolare dallo stress point P alla trisettrice dell’ottante;θ= “angolo di Lode” è la misura angolare della posizione dello stress point P nel piano ottaedrico delle tensioni principali.

Modello matematico di simulazione

Modello elasto-plastico con superficie di snervamento alla Mohr-Coulomb

F = ห൫𝜎𝑖𝑓′ − 𝜎𝑘𝑓′൯ห−ห൫𝜎𝑖𝑓′ + 𝜎𝑘𝑓′൯หsin𝜑′ − 2𝑐′cos𝜑′ ≤ 0 i,k=1,2,3

Invarianti di sforzo

F= 1ξ3 s∙sinφ′ +ඨ32 t∙ቆcosθξ3 − sinθ∙sinφ′3 ቇ− c′ cosφ′

Modello matematico di simulazione

Non-linearità meccaniche (legame costitutivo)

Ricerca iterativa della soluzione del sistema ሾ𝐾𝑚ሿሼ𝑈ሽ𝑖 =ሼ𝐹ሽ𝑖

“Costant stiffness method” – NR mod

“Tangent stiffness method” - NR

Modello matematico di simulazione

“Costant stiffness method” – Newton-Raphson modificato

Vantaggi:

1. Assemblaggio matrice Km una volta sola 2. Fattorizzazione di Km (Foward-Backward Gauss substitution) una volta sola3. Bassi costi computazionali rispetto al “Tangent stiffness method”

Svantaggi:

1. Maggior numero di iterazioni per giungere a soluzione

Modello matematico di simulazione

La viscoplasticità :

Il materiale può sostenere stati tensionali al di fuori della superficie di plasticizzazione entro un certo limite. Ciò significa che la funzione di plasticizzazione F può essere maggiore di zero (Zienkiewicz e Cormeau,1974) .

ሼ𝜀ሶ𝑣𝑝ሽ= 𝐹൜𝜕𝑄𝜕𝝈′ൠ F= funzione di plasticizzazione di Mohr-CoulombQ= potenziale plastico

ሼ𝛿𝜀𝑣𝑝ሽ𝑖 =ሼ𝜀ሶ𝑣𝑝ሽ𝑖 ∙∆𝑡

ሼ∆𝜀𝑣𝑝ሽ𝑖 =ሼ∆𝜀𝑣𝑝ሽ𝑖−1 +ሼ𝛿𝑣𝑝ሽ𝑖

Modello matematico di simulazione

Schema risolutivo FEM:

ሾ𝐾𝑚ሿሼ𝑈ሽ𝑖 =ሼ𝐹ሽ𝑖 ሼ𝑈ሽ𝑖 Vettore globale spostamenti nodali

ሾ𝐵ሿሼ𝑢ሽ𝑖 =ሼ∆𝜀ሽ𝑖 A livello di elemento

[B] = matrice delle derivate delle funzioni forma

ሾ𝐷ሿሼ∆𝜀ሽ𝑖 =ሼ∆𝜎ሽ𝑖 [D] = matrice dei coefficienti elastici

ሼ∆𝜀ሽ𝑖 =ሼ∆𝜀𝑒ሽ𝑖 + ሼ∆𝜀𝑣𝑝ሽ𝑖 Se viene raggiunta la superficie di plasticizzazione la deformazione si sdoppia in due aliquote:

Modello matematico di simulazione

Calcolo del Fattore di sicurezza: Procedura Phi-c’ Reduction

FS= c′c′RID = tanφ′ሺtanφ′ሻRID

Il fattore di sicurezza viene ricercato mediante una riduzione iterativa dei parametri di resistenza c’ e tanφ’ finché non si instaura un meccanismo di collasso:

La potenziale superficie di scorrimento viene identificata automaticamente dalla procedura.

Applicazione

Problema di un banco di sabbia attraversato da livelletti di terreno scadente.FASE 1 : Pendio AsciuttoFASE 2: Risalita falda come in figura

Strato φ (°) c’ (kPa)

ψ(°) γ (kN/m3)

E (kPa)

v

Sabbia 40 1 0 20 100 000 0.33

Livelletti 19 1 0 20 5 000 0.40

Applicazione

Discretizzazione adottata: elementi finiti quadrangolari a 4 punti di Gauss

Applicazione

Fattore di sicurezza

In caso di pendio asciutto

FS= 1.55

In caso di risalita di falda

FS= 1.18

Applicazione

Risposta in termini di spostamenti (deformazioni)

Vettori spostamento durante la “Gravity loading”. Essivengono azzerati a fine procedura.

Risalita falda

Vettori spostamento dopo la risalita della falda.

Applicazione

Mesh deformata – Vettori spostamento