Operatori estremanti e problemi ai limiti (+).

di ~[ANFR~DO 510~TAG~A~A {Genova)

~uato. - Si studiano particolari operatori differenziali del secondo ordi~e con prop~'iet~ mas. simali e si impiegano per riottenere con un procedimento costruttivo la dimostrazione del teorema di esistenza e unicit~ degli autovalori per un problema ai limiti.

Summary . . A particular kind of second order dif[erential operators wi~h maximal properties is studied, and u~ed to obtain constructively the.proof of th~ ~xia$euce and uniqueness theorem for eigenvalues of a boundary probl'em.

§ 1. - I n t r o d u z l o n e .

Si cons idera la classe di operator i d i f ferenzia l i non l inear i del secondo

ordine

F y ~ y " q-g(x , y, y'),

con g(x, y, y') l ipschi tz iana r ispet to a y e y', non crescente r ispet to a y e

g(x, cy, c y ' ) - cg(x, y, y'), per c ~ 0.

Dopo avere da ta (§ 6) un teorema di es is tenza e uniciti~ per il p roblema

F y - - f(~e) in (a, b), y(a) --- cl, y(b) --- c2,

si s tudia il p roblema di au tovalor i

F y -1- h y - - 0 in (a, b), y(a) - - y(b) - - O.

Si prova (§ 8) che esiste u n a success ione di autovalor i A , , d ivergen te a q -c~ , a c iascuno dei qual i corr isponde una soluzio'ne y , che si a n n u l l a n volte in (a, b).

I r i su l ta t i sono o t tenut i med ian te lo studio degli operator i e s t r eman t i re la t iv i a l la classe cons ide ra t a :

Y - - l Y [ M~'~Y ~ Y" -~ ~ I Y ' I - - Y 2

{*) Lavoro eseguito nell 'ambito detl'attivit~t del Gruppo di l~icerca ~ . 23~ del Comitato per la Maternatiea del C~R.

284 M, MONTAGNANA: Operatori estremanti e probIemi ai Iimiti

Si s tudia (§ 6) il problema di CAvcIt¥ per detti operatori e si de terminano espl ic i tamente (§ 7) le autosoluzioni e gli autovalori del problema

Y" q" ~iY'i q- ~Y -- 0 in (a, b), y(a) ---- y(b) - - O.

i n questo modo si r iot tengono i r isul tat i classici nel caso di g(x, y y') l ineare in y e in y', per una vi~ pih semplice.

Allo studio degli operatori es t remant i si p remet tono (§§ 3 e 4) dei teoremi di confronto e separazione per gli operatori differenziali considerati, in ipo- tesi pifi general i di quelle usuali.

§ 2. - U n a c l a s s e d i o p e r a t o r t d i f f e r e n z i a l i .

Siano ~ e T costanti reali non negati*e, a e b, a ~ b, costanti reali qual- siasi. Ind ich iamo con G~..~ sieme

la classe delle funzioni g(x, y, p) defini te nel l ' in-

S: a ~ x ~ b , - - c ~ y ~ q - o o , - c x ~ p < q - e x ~ ,

ivi misurabil i , ed inoltre verif icanti le condizioni :

(1)

(2)

(2')

(3)

i g(x, y, lo) - - g(x, y, P) I <-~ ~ i P - - P !,

g(x, y, p) ~ g(x, y, p), per y ~ y ,

X t g( , Y, P) - - g(x, y, P) l <-- Y l Y - - Y [,

g(x, cy, cp) - - cg(x, y, p), (c costante reate non negativa).

in Ind ich iamo con lP la classe delle funzioni y(x) assolu tamente cont inue [a, b], con derivata pr ima assolutamente cont inua in (a, b).

Ind ich iamo con ~,~ la classe degli operatori differenziali

F y ~- y" q- g(x, y, y'),

dove y E P , g(x, y, y')E G~,~; e con ~ , r la classe degli operatori L di ~,.~, in cui g(x, y, y') 6 l ineare in y e in y'.

Dalla stessa definizione discendono immedia tamente le seguenti proprieth per gli operatori di classe ~,v"

I) Fissat i F E ~ , r , Y E P, esiste un operalore L E ~,v , dipendenle da y, tale the L y ~ Ey.

M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e probIemi ai limiti 285

Infatt i Ia fnnzione g(x, y, y') b in S lipschitziana e quindi assolutamente continua rispetto a y e y'. Per tanto si ha

1

f d y,, Fy =- y" + g(x, y, y') -- y" + dtg(x, ty, ty')dt -- + hy' + ky,

0

o v e

1 1

h = f gu,(x, ty, ty')dt, k - - f g ~ ( x , ty, ty')dt. o o

II) Se rl e r2 sono numeri reali non negativi, tali che r~ + r 2 - - 1 , e se F1, F2 E ~ ,v , anche riF~ -q- r2F~ E ~,~.

III) Se F E ~ , : , y E l', posto

Fy ~ y" -- g(x, -- y, - - y'),

si ha 1~ E ~,~.

Infat t i le condizioni (i) e (3) si verificano immedia tamente ; e, per le (2)

e (2'), si osserva che, per y ~ y ,

, ( ( y - - y ) ~ - - g ( x , - - y , - - y ' ) q - g ( x , - - y , - - y ' ) ~ O.

IV) Se F E ~.~, y E 1', posto

F * y ~ F y , se y ~ 0 ,

F * y ~ Y y , se y < 0 ,

si ha F* E ~,~.

Infatt i le condizioni (2) e (2') si verif icano subito, se y e y hanno ugual segno; se invece hanno segno contrario, basta osservare che F*(-- y ) - - - - F*y.

Siano c e c' costanti rea l i , / (x) una funzione sommabile secondo LEBESGU:E in [a, b], cib che indichiamo scrivendo f(x)E LlIa, b]. Si considera il problema di CAuc~Y

(4) Fy -- f(x) in (a, b), y('a) - - c, y'(a) - - c',

dove F E ~,'r, Y E P.

I1 problema (4) ammette una ed una sola soluzione di classe F, continua rispetto alle condizioni iniziali .

286 M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e problemi ai Iimiti

Poich~ g(x, y, y') ~ in S una funzione misu rab i l e r i spet to a x, per y e y' f issati , e con t inua r ispet to a y e y', per ogni ~c fissato, anzi soddisfa le condizioni (1), (2) e (2'), l 'esis tenza, l 'unic i th e la d ipendenza cont inua dai dati iniziali si p rovano seguendo i metodi t radiz ional i (vedere ad es. McSI-L~]~ [i]).

§ 3. - T e o r e m i d i c o n f r o n t o . (1)

In tu t to il p resen te pa ragra fo si indicano con y~ e y2 due funzioni di c lasse F t h e soddis fano in (a, b) r i spe t t i vamen te le equazioni

Fly~ - - " , y~' ' = Y~ -t- g~(x, Yl Y'~) - - fl(~c), F~y~ ~ -l- g2(x, y~, Y2) -~ f~(~x),

dove F~, F~ E ~ , ~ , e fl(x~), f~(x,)E Ll[a, b].

TEOREMA 1. - Se in [a, b] r i su l ta F~y2 ~ F2y~ e f~(x) > f~(~c), e se y~(a) ~ y~(a), y~(b) ~ y~(b), allora yl(~c) ~ y~(x) in tutto [a, b].

Sia per a s surdo x un pun to di (a, b) in cui y1(x);> y2(~) e sia (a', b') il

mass imo interval lo , con tenen te x e con tenu to in (a, b), in cui sia sempre Yl(X) > y~(x). S i ha

y~(a') - - y2(a') - - y~(b') - - y~(b') - - O,

e quindi per la cont inui th di y~(x) e di y2(x), esis te a lmeno un pun to ~ di (a', b') in cui y l ( x ) - y2(x~) ~ mass ima, cio(~

(5) y~(~) - - y~(~) - - 0, d+(~) - - lira inf Yi(~ -{- h) - - y~(~ + h) ~ 0, h-~o+ h - -

avendo indicato con d+(w) il numero der iva to infer iore des t ro del la funzione r f x y l ( x ) - - y ~ ( ) . D'a l t ra par te r i su l ta

~+h

d÷(~) "- lim i n f l l f h...o+ h [g~(t, y2(t), y'~(t)) - -g l ( t , y,(t), y~(t))] dt +

+f [fl(t)--f,(t)]dtl> :~ l im inf 1 f "[g,(t, y,¢t), Y2(' t)) - - gl(t, yx(t), y'l(t))] at.

h.~o+

0) Teoremi anatoghi sono provati, in ipotesi pifi usuali~ da SZARSKI [4].

M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e problemi ai limiti 287

Tenendo conto che F~y2 ~ F2y2, si ha

d+(~) ~> lira inf 1 f ~-~o+ It [g,(t, y2(t), y~(t)) - - g,(t, y,(t), yi(t))] dt

~+h

h-~o+lim i n f t f [g,(t, y,(t), y'2(t))--g~(t, y~(t), y'~(t))]dt.

,~ , Poichb y~(_) -- y~.(~), dato un ~ > 0 sufficientemente piccolo, si pub determinare un v} ~ 0 tale the, per h ~ ~,

e quindi d+(~)~ 0, cib che 6 in contraddizione con la seconda delle (5).

TEORE~[A 2. - Se in [a, b] risulta F~y ~ F~y per ogni y E F e L(x) ~__ f2(x), e se inoltre

y~(a) ~ y2(a), y~(b) ~ y2(b),

allora yl(x) _~_ y2(xJ in tutto [a, b]. Se poi esiste un x, a ~ ~c ~ b, tale the

Y1(X)--~ y2(x), aUora le due funzioni y~(x~) e Y2(x) coincidono identicamenle in tutto [a, b].

Premett iamo il seguente lemma.

LEMI~A 1. - Se in [a, b] risulta F~y ~ F2y per ogni y E P e f~(x) ~ f2(x), e se inoltre, posto

w ( x ) = y~(x) - - y~(x),

la funzione w(x) ha un minimo non positivo per x - b (per x - - a ) , allora la funzione w(x) ~ identicamente nul la in tutto [a, b], oppure risulta w'(b) ~ 0 [w'(a) > 0].

Supponiamo che y~(x) e y2(x) non eoineidaao identieamente in tutto [a, b],

e che w(x) - -y2(~c) - yx(x) abbia un minimo non positivo per a ~ - b. Sia ~ un

punto di [a, b] tale che w(x) ~ w(b) ; per la continuitl~ di w(x) in [a, b], esiste

un intervallo (a', b') contenente x e contenuto in [a, b], tale che

w(x) > w(b) in (a', b'), w(b') - - w(b).

288 M. MONTAGNANA: O p e r a t o r i e s t r e m a n t i e p r o b l e m i ai l im i t i

In t rodue iamo la funzione aus i l i a r ia

~(~c) --- ~ [(b' - - x)3/2 + (b' - - x)] -{- w(b') ,

def in i ta per ~] < x ,~ U, dove ~ > 0 e ~q > a ' sono costant i che f isseremo in seguito. R i su l t a in (~, b')

3 t r y ( y 2 - - ~ ) - : y ; - - ~ ~(b' - - x ) - ' / ~ ..{- g2(x , y~_ - - % Y'2 - - ¢P') -

- - f~(x) - - ~ ~(b' - - ~)- ,1~ -l- g2(x, y~ - - % y~ - - ¢~') - -

- - g~(x, y , , y'2 - - ¢p') -t- g d x , y~ , y'~ - - ¢~') - - g2ix,, y~ , y l )

3 <_ Mx) - - ~ ~(b' - x)-~/~ + i~I~'J + Y m a x (% O)

~ 1',Lx) + ~ - - 2~ (b' - - ~l-~l ~ + ~ (b' - - ~e)~t ~ + 1 +

+ y[(b' - - x?J~ + (b ' - - xt] i = M x t .

Fiss iamo ~ e ~ in modo ehe

- - 4 (b' - - x ) -~ / : + ~ ~ (b' - - x)l/"~ + 1 -{-- "c[(b' - - x) 3/~ + (b' - - x)] < 0, (7 < x < b'),

w(~) - - ~[(b' - - ~)~/~ -{- (b' - - ~)] - - w(b') .

Ne segue the f~(x)< f2(x) in (~, b'), a inol t re

w ( ~ ) - - ~ ( ~ ) = w ( b ' ) - - ~ (b ' ) = O,

e si pub appl ieare il Teorema 1 alia equazioni

F1 y , = fl(x~), F~(y~ - - ¢~) = f~(x,), (~ < x < b').

P e r t an to la funzione w ( w ) - ~(x) ~ non nega t iva ne l l ' in terva l lo (~, b') e nu l la agli e s t r emi ; e quindi , essendo x = b' an punto di min imo per tale funzione, si ha w'(b ' ) - - ¢f(b') ~ O, cio~

w'(b') ~ ~'(b') - - - - ~ <: O°

Poichi~ w ( b ' ) - " w(b), la fanz ione w ( x ) ha un minimo assoluto per x - - b ' ; ma w'(b') :4= O, a quindi b' dave eoincidere con b.

M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e probIemi ai Iimiti 289

P o s s i a m o ora d imos t r a re il T e o r e m a 2. Si nora che y~(~c)--y~(x) non pub avere un mass imo posi t ivo in [a, b]. In fa t t i tale mass imo non pub essere a s sun to agli es t remi de lF in te rva l lo , per ipo tes i ; e, se fosse assun to in un pun to ~ in te rno ad [a, b], si av rebbe

- - ! - - f ( Y~(~) y2(~) > 0, y~(~) y~.~) --- 0, (a < ~ < b),

in con t radd iz ione con il L e m m a 1. D u n q u e si ha y~(x)--y~(~)~ 0 in [a, b].

Se poi per qua lehe ~, a ~ ~ _~ b, si ha y~ (x ) - y~(~)- O, il L e m m a 1, r i fer i to

ai due in te rva l l i [a, ~] e [~, b], a s s i cu ra che y~(w) coinc ide i den t i eamen te con

y~(w) in tut to [a, b].

T E o n ~ 3. - Se in [a, b] risutta F~ y ~ F~y per ogni y ~ F e~f~(~c)~ f~(~c), e se inollre

y~(a) -- y~(a), y~(a) --= y~( ),

allora yl(x) ~ y2(w) in tutto [a, b]. Se poi esiste qualche x, a ~ ~ ~ b, tale che

y l ( x ) - y2(x), allora le due funzioni y~(x) e y2(x) coincidono idenlicamente in

tutto [a, ~c].

Se lu funzione y~(x)--y2(x) non ~ iden t i camen te nu l l a in [a, b], ind ieh iamo con E l ' ins ieme aper to dei punt i x di [a, b] tal i che y~ (x ) - ~Jl(X)~ O. Si os. serva che E non pub co inc idere con l ' in tero in terval lo [a, b], perch~ il L e m m a 1 p o r g e r e b b e y'2(a)--y~(a)~ O, cib che non ~. Se E non ~ vuoto, E ~ un sot- to ins ieme aper to di [a, b]; quindi , indica to con ~ nn suo e lemento , es is te un mass imo in te rva l lo (a', b') eon tenen te ~ e con tenu to in E. R i su l t a y2(a')--yl(a')--O. Non pub avers i a ' ----a, pe r it L e m m a 1~ come gi~ osservato . D ' a l t r a parle , se a ' > a, dal Teo rema 2 segue lY2(x)--y~(x)~O in tut to [a, a'] ; pe r t an to y2(x)--y~(x) ha un min imo per ~ c - - a ' e la sua de r iva ta ~ ivi non posi t iva, cib che b in con t radd iz ione con il L e m m a 1, r i fer i to a l l ' in terval lo [a', b']. D u n q u e E ~ vuoto.

Se poi per qua lche x, a ~ b , si ha y~(x) - - y2(~) - - 0, non po tcndos i

avere y'2(a) - - y'~(a) ~ O, il L e m m a 1 a s s i cu ra che y~(x) e y2(x) co inc idono iden-

t i camen te in tu t to [a, ~].

§ 4. - U n t e o r e m a d i s e p a r a z i o n e .

Nel p resen te pa ragra fo si indicano con y~(~c) e y~(~c) due funzioni di c lasse I' che soddis fano in (a, b) r i spet t ivamente '~ le equazioni

F1 Yl - - 0, F~ Y2 = 0,

dove F~, F2 C ~ , r '

Annali di Matematica 37

290 M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e problemi ai limiti

TEOREMA 4. - Se in [a. b] risulta F ~ y ~ F ~ y per ogni y ~ O in P, mentre F~y ~ F~y per ogni y ~ 0 in F, e se y~(~x) e y~(x) non coincidono identicamente in tutto [a, b], allora f ra due zeri eonsecutivi x/ e x" di y~(x) in [a, b] cade uno zero ed uno soltanto di y~(x). (~)

Si rag iona per a s s u r d o : sia y~(.~)> 0 i n (x', ~c"), si pub suppor re anche y~(x) > 0 in (,~', ~"). Si eons idera il fascio y = eye(x) (c costante reale non negat iva) di soluzioni de l l ' equaz ione F ~ y = 0; per c su f f i c i en temen te piccolo, y = eye(x) non incon t ra y~(x) in (x', w"). Sia co t ' e s t remo super io re dei valori di c per cui y--cy~(~c) e y~(~c) non hanno pun t i in eomune in (~', x"); si osserva ehe co ~ finito, pereh~ y~(a:) ~ con t inua in [a, b] e eoy~(~)~__y~(x) in

(~c', w"). Si p rova che esis te an pun to x, x ' < x ~ ~c", tale ehe

Coy~(x) y~(x), coyi(x~) Y2( ).

Infat t i , se in (~c', ~c") fosse sempre Coy~(x)~y~(w), es i s t e rebbero valori c ~ Co per i qual i eye(x)< y~(x) in (w', ~"), cib che non pub e s se re ; e, so vi fossero dei pun t i ~, w ' < ~ ~ w", tall che eoy~(~)> Y2(~), non si av rebbe eye(x)< y2(x)

in (~', ~d') per ogni c < co, con t r a r i amen te alia def iniz ione di Co. Pe rc ib x un pun to di min imo per la funzione coy~(x)- y2(x).

D ' a l t r a par te y~(x) e Y2(~) soddis fano anche r i spe t t i vamen te le equazioni

F* y~ = O, F : y2 = 0 (~', < x < x"),

dove F* e /v* sono def ini t i come nel la propr ie t~ IV) del § 2, e sono tall che F ~ y ~ F * y in [~c', x"] pe r ogni y E F. Si g iunge a l l ' a ssurdo app l icando il Teo-

r e m a 3 in Ix, m"] al le funzioni y - " coy~(x) e y = y2(x). D u n q u e in (w', w") cade a lmeno uno zero di y2(x). Esso ~ unico in quanto, se y2(x) avesse due zeri in (x', w"), f ra di essi dovrebbe cadere a lmeno uno zero di y~(x), ment re ~c' e x" sono zeri consecut iv i di y~(~c).

§ 5. - O p e r a t o r i e s t r e m a n t i .

F i ssa t i y E l: e w ~ [a, b], pon iamo

M~,~y(x) ~- sup Fy(Jc), m~,~y(x) ~ inf Fy(x);

(2) U n feorema simile, in ipofesi di cont inui ih r ispet to a x, si t rova in SA~SONE [3], Pa r t e Seeonda~ p. 12J. :La p r ima par te del]a dimostrazione 6 ta stessa.

M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e problemi ai limiti 291

M~,v e m~,r sono operatori definiti su F. (3) Notiamo l a loro rappresentazione

(6)

(7)

2

y+Lyt y~t

Infatti , fissata y, y E F, si ha

e quindi

pertanto

g(x, y, y ' ) = g ( x , y, y ' ) - - g ( x , y, O) q-g(x , y, O ) - - g ( x , O, 0),

F y < L * y = y" + l y ' l - - 2 '

M~,ry ~ L*y.

D'altra parte L* E ~ ,~ , e quindi M~,ry ~ L*y.

Analogamente si prova la (7). L' utilit~ degli operatori estremanti nello

messa in luce dalla seguente proprieth. studio degli operatori F /~

Siano, u, v, y E F soluzioni r ispet t ivamente dei problemi

M~,~u - f(x) in (a, b), u(a) = c, u'(a) - - ~',

m~,rv - - f (x) in (a, b), v(a) - - c, v'(a) - - c',

F y --- f(x) in (a, b), y(a) - - c, y'(a) = d,

dove F E ~ ,~ , e f ( x )~L~[a , b]. S i ha in tulto [a, b]

(8) u(x) ~ y(x) ~ v(•).

I1 risultato discende immediatamente dal Teorema 3.

Siano cl e c2 costanti reali e sia f (x )E Ll[a, hi. Si considera il problema ai limiti

(9) F y = f(x) in (a, b), y(a) = cl , y(b) - - ca ,

(a) Questi operatori sono un caso part icolare degli oporatori estremanti per equazioni ellittiche det secondo ordine, introdotti da PuccI [2].

292 M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e probIemi ai Iimiti

dove y E r , F EN~,v. Supposto che valga il teorema di esistenza, si ha il se- guente risultato, anMogo al p recedente relativo al problema eli CAucF/Y.

Siano u, v, y E P soluzioni rispettivamente dei problemi

M~,ru = f(x) in (a, b), u(a) = G,, u(b) = c~,

m~,vv = f(x) in (a, b), v(a) = e~, v(b) -- c~,

Fy -- f(x) in (a, b), y(a) = c~, y(b) = c~,

dove FEg~,v, e f(x) EL~[a, b]. S i ha in tutto [a, b]

v(x) ~ y(x) ~ u(x).

Si t rat ta di una immedia ta conseguenza del Teorema 2.

In seguito si cons idereranno anche gli operatori

M~,vy ~ y " n t- ~ Ityy'_____:, m~,~y =_ y" - - Jyy't Y Y

_ _ _ ,(y,

legati agli operatori M~,~ e m~,~ dalle relazioni

M2,~y =-- M~,vy, se y ~ O, t m~,ry, se y ~ O ,

m~,yy, se y < 0 , m~'~Y-=t M~,~y, se y < 0 .

§ 6. - I1 p r o b l e m a a i l i m i t i .

Come conseguenza della disuguagliallZa (8) del paragrafo precedente , si deduce il teorema di esistenza e unici th per il p robtema ai t imiti (9).

(10) it1~,.~u = --[f(~c)] i n (a, b),

dove f(x) E L,[a, b], r isul ta

l im u~(a~) = + c~,

TEORE3~A 5. - II problema (9) ammette una e una sola soluzione di classe F.

Premet t i amo i seguent i lemmi.

LEMMA 2. - Se u,.(x,) E F ~ la soluzione del problemct

u(a) = ~1, u'(a) = r,

(a < ve rb ) .

M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e probIemi ai limiti 293

Senz~ al terare la generalith, si pub supporre r > 0. Sia dapprima c~ < 0; si considera la funzione

dove

l ~(x)- I r[e~:< ~ - ~ ) - - e~,(~-")] - c : [ ~ e ~ ( ~ - ~ ) - - e~e~:(~-~)] - -

aa

c~

e si nora che esiste certo un valoro r~ di r tale ohe per r ~ r ~ sia

(11) b

~(b) > 0, ¢~'(x) > f t f(t) t e-~(~-t)dt, (a ~ x, ~ b).

S e x ~ il primo valore in (a, b) per cui ~(~)- -0 , si osserva che q~(w) ~ solu- zione del problema

u " + ~ u ' - - y u : - - l f ( x ) l in (a,x), u(a)--c:, u'(a)--r,

e quindi del problema (10) relat ivamente all ' intervallo (a, x). Successivamente si considera la ftmzione

~.1 t - - f tf(t)i [1-- e-~ (~-t)] t. ~ x b), +(x) ~f ¢p'(~.)[1- e -~(~-;)] dt ,, (x x

la quale, per la seconda delle (11), ha derivata prima positiva in [x, b], per

r ~ r : , e quindi ~ ess~ stessa positiva in ('x, b). iNe segue che ~(x) ~ soluzione de1 problema

u" + ~u' = - - i f (x)! in (~, b), u(~c) =: 0, u'(x) -- ~'(~),

e quindi soddisfa l 'equazione (10) nell ' intervallo (~, b). Non testa che porte

u~(~) -- t ~(x), a <_ ~ ~ ~c, ( ~(x), ~c ~ x ~ b,

e osservare che u.(x)E r, per ottenere il risultato voluto.

294 M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e probtemi ai Iimiti

Analogamente si precede quando si suppone c~ > 0.

Nello stesso mode si dimostra il

LEM~A 3. - Se v,.(x) E P ~ la soluzione del problema

m~,~v = If(x) I in (a, b), v(a)-~ c~, i f (a)-- r,

dove f(x) E L~[a, b], risulta

lim v~(x) -~ - - c o , (a < ~ ~__ b). ~'---> --CX~

Si ~ era nelie eondizioni di p ro ra te il Teorema 5. Se y,.(w) ~ la soluzione del problema

F y - ~ f(x) in (a, b), y(a)-- e~, y'(a) ~- r,

avendosi in tutto [a, b]

u~(x) ~_ y~(x) ~ v,(x),

il Lemma 2 e il Lemma 3 assicurano che esiste un valore di r tale y~(b)--c~.

L'unicit/~ /~ unr~ eonseguenza del Teorema 2; se y(x) e y(x) fossero solu- zioni non identicamente uguali dello stesso problema (9), si dovrebbe avere contemporaneamente in (a, b)

y(~) - - y(x) < 0, y(~c) - - y(x) > 0,

cib ehe ~ assurdo.

§ 7. - A u t o v a l o r i d e i p r o b l e m l e s t r e m a n t i .

Lo studio degli operatori estremanti M~,~ e m~r permette di giungere rapidamente al teorema di esistenza degli autovalori per iI problema

(12) F y - ~ A y - - 0 in (a,b), y(a)-~y(b)--O,

dove y EF, t f E ~ , ~ , e A /~ un parametro reale positive, ottenendo inoltre delle semplici limitazioni per tall autovalori.

Si considerino i problemi massimante e minimante

(13) M ~ v u ~ ) , u - - 0 in (a,b), u ( a ) - - u ( b ) : O ,

(14) m ~ , ~ v - { - ~ v : 0 in (a,b), v(a) -- v(b) -- O,

clove u e v sono di elasse F, e ~ e ~ sono parametr i reali positivi.

M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e problemi ai Iimiti 295

TEORmfA 6. - Per ogni intero n ~ O, esiste, nno ed un solo numero post. tivo ~,, tale che il problema (14), con l~ ~ ~ , , ha una soluzione con n zeri in in (a, b); due soluzioni del problema (14), con ~ = ~,~, sono proporzionali.

I1 numero posilivo ~t, coincide con la pr ima radice positi,ea dell'equazione in

{ b - - a ~ I = 1 V 4 ( ~ _ , . ) _ ~ ' (15) tg 4(n -~- 1) V4(I~ -~ y) - -

e~ al variare di n, d~ luogo ad una successione crescente e eoncava

(16) (n = 1, 2, ...).

Vale inoltre la seguente rappresentazione asintotica

rc(n -}- 1) z (17) ~ t , ,= [ ~i2_a ]nt-

~ 2

2~:~ - 3) ~ + 0(n-~).

Infine ogni soluzione del p~;oblema (14), c o n ~t - - ~ , ha la seguenle espres. stone, a meno di un fattore costante :

v,,(x)= I e ~ s i n l V 4 ( ~ " - - Y ) - - ~ Z ( x . - - a 2 h ) t a 2 h ~ c ~ a z h + ~ ,

a h - - a + h b - - a

2(n + 1)' (h ----- 0, 1, ..., n ; n "- 0, 1, ...).

Conviene p remet te re il seguente lemma.

LENMA 4. - Se ,~, 7, sono costanti reali, ~ ~ O, ,( ~ O, ed n ~ un intero positivo o hullo, l'equazione (15) ammelte una infinit& numerabile di soluzioni positive. L a p r ima di tall soluzioni, che indichiamo con ~ , , al variare di n, d& luogo ad una successione crescenle e concava, nel senso che valgono le disuguaglianze 06). Inollre ~, ammette la rappresentazione asintotica (17).

Posto

b - - a V 4 ~ _ 7 ) ~ t z ' z 4(nnt- 1) z - - 4 (n -~ 1) ~ ( b - - a ) '

296 M. MONTAGNANA: Operator i es tremant i e p rob lemi ai l imit i

l ' equaz ione (15) a ssume la forma

(18) t g z = - - xz,

dove z > 0. Le radici de l l ' equaz ione (18) fo rmano una suceess ione di numer i

positivi , fra i qua l i i nd iche remo con z il pifi piccolo. Si osserva che per

0 ~ ": ~ - ~ ~ ~ u ~ z ~ ~ . L ' equaz ione (18) def in isce z come funzione impli-

ci ta ad un sol va lore di z, e pere ib r i su l ta

z'(z) = - - z z"(z) - - 2z 1 q- "¢ -t- z'z' -k- ":z=(1 q- x~z') 1 + z + ~'~" (1 + z + x'~')'

D'a l t ra pa r te la p r ima rad ice posi t iva de l l ' equaz ione (15) si pub conside- r a t e come funzione 9(z) di z; si ha

~ 2

~(~) = r + ~-(1 + ;G'),

e qu ind i

t~ = - _ ~ . ,5 . (1 + ~=}~) ~'(':) = -2- ":z(z -+- zz') = 2(1 qt_ z q- :~z ==) > O,

ff'(z) = [(~ + ~z') ~ + .~z(2z' + ~") ] .

Avendosi

r i su l ta

i + ~ z ' = ~ 1 + ~'~2 2;' -t- z;" - - - - 2z !1 q- ":> (1 q- ":'z')

(1 + -: + ,c';')' '

b('(v) - - ~3"~=(1 -{- "cz~=) [(1 -I- v q-- -c=z 2) (1 -{- -z=~ =) - - 2~(1 q- z)] > 0 2(1 + z + z=z') ~

e percib ~(z) ~ una funzione c rescen te e concava di z.

Pe r g iungere alla r appresen taz ione as in to t ica (17), osse rv iamo che : z ) 1 ,

- , e quindi , posto z = ~ + t, dal la (18) si ha per z > rc

1 t - " a rc tg ":(7:/2 -[- t ) '

M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e problemi ai timiti 297

con 0 < -c(~/2 + t) < 1. Sussiste per tanto la seguente rappresentaz ione :

1 t---~-

z(~/2 + t) r t) ) [l+ t +...

Siccome la serie considera ta e le serie binomial i sono assolutamente conver- genti, si ha

(19) t : -~z l -- 2t ( ~ ) 2 1 ( 2 f 1 - - 3 2t-t- (~)2 7~

Quindi, essendo 0 < t < 2 ' per + c x ~ > , > 0, la quant i th zt r imane l imita ta

quando z diverge, cio~ t = 0(:-1), e dal la (19) segue

da eui

2 8 t = + o (z-'). 7VI: IE"~ 2

Volendo, un' u l ter iore precisazione, si pone

2 8 t -- + h,

7;'C 7~a~ 2 h = 0 0:-~) ;

sost i tuendo nella (19), si ott iene

e percib

t = _ ___

\r:] \ ~

21 [2 /3 1 (2)~(8 1) 1

Ricordando che ~. ~ 7-t- (1-J-z2zz), e l 'espressione di t e di % si ott iene

la (17).

Dimostr iamo era il Teorema 6. Per quanto r iguarda l 'esistenza, si eomin- eia dal ease n - - 0, osservando the la funzione vo(x) 6 posit iva in (a, b), mentre

V'o(~C) 6 positiva in ( a , a + O ~ , 6 negativa in ( a ~ ° , b ~ ed ~ nul la per x ~ \ "2 ] \ ~ ]

Annali di Matematica 38

298 M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e problemi ai limiti

- - a + b Pereib Vo(~C) soddisfa entrambi i problemi

v" - - ~v' + (~t0 - - ~,)v = 0

v" + ~v' + (~o - - y)v = 0

e quindi soddisfa il problema

i n a , , v (a) = ~ [ ~ ) = 0,

v " - - ~ ] v ' ] - } - ( ~ t o - - y ) v ' - O in (a,b), v ( a ) = v ( b ) - - O ,

cui il problema (14) si r iduce quando v(x) si suppone sempre diversa da zero in (a, b). Nel caso generale si osserva c h e l a funzione v . (x ) si annul la n volte in (a, b), nei punti x - " a~h, mentre v~',(x) ~ positiva in (a2h, a2h+~), ~ negativa in (a2h+~, a2¢h+~)), ed ~ nulla in x - -a2h+~, ( h - - 0 , 1, ..., n). P~rcib v,,(x) sod- disfa i problemi

v" - - ~v' -f- ( ~ , - - y )v = 0

v" q- ~v' + ( ~ . - - ~,)v = 0

e quindi i problemi

v " - ~ l v ' l + ( ~ . - - ~)v= o

in (a2h, a2h+~), v(a2h) --- v'(a2h+~) = O,

t a in (a:h, a2h+~), v( 2h+~)-- v(a2(h+~)) ~- O,

(h = O, 1, ..., n),

in (a~h~ a~(t~_~_~)), v(a2h) - - v(a2(h+~)) -" O,

(h - - O, t , ..., n),

cui il problema (14) si r iduee quando v(x) abbia n zeri equidistanti in (a, b).

L' unicit~ segue dal Teorema 4: infatti, se esistessero due funzioni v.(w)

e v.(w), annul lant is i entrambi n volte in (a, b), e soddisfacenti entrambi il

problema (14), in corrispondenza a due valori distinti ~, e ~,,, i due operatori

si troverebbero nelle condizioni del suddetto teorema ed una delle due fun.

zioni v,(w) e v,(x) dovrebbe avere pifi d i n zeri in (a, b).

Infine, se v,(a~)e v,(a~) sono entrambe soluzioni del problema (14), con

~t -- l~.,, r isulta v , ( a ) - - v.(a); inoItre, essendo v'~(a) e v'~(a) entrambi diversi

da, zero, si pub moltiplicare una delle due funzioni v , (x) e v,,(x) per una

M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e problemi ai limiti 299

opportuua costaute, in modo che esse soddisfino lo stesso problema di CAvo~[~:;

ne segue, per il teorema di esistenza e unicith del § 2, che v,(w) e v.(a~) sono proporzionati in (a, b).

TEORE~A 7. - Per ogni intero n ~ O, esisle uno ed u n solo numero posi- tivo ~. tale che il problema (13), con )~-- ~,,, ha u n a soluzione con n zeri in (a, b) ; due soluzioni del problema (13), con ~ -~ ~ , , sono proporz ional i .

II numero posit ivo k , coincide con la p r i m a radice pos i l iva dell 'equa. zione in k

(20) tg 1 4(n + 1)

e, al var iare di n, d~ luogo ad u n a successione crescente e concava

(21)

Vale inottre ta seguenle rappresentaz ione asintot ica

(22) • ),. -~[ b - - a I 2 b - - ~ a ( n + 1)-{-4

~(b - - a) ( 4 1 1 2~ ~ - - ~) ~ + o (n-2).

In f ine ogni soluzioue del problema (13). con k - ~ . , ha la seguente espres. sione, a meno di u n fattore costante :

uo(x) = l 1 e-~ sin 2 ( x ~ a 2 h ) ,

t e ~ s i n 2

a2h ~ ~ ~ a2h+l

b - - a ah = a + h 2(n -F 1)' (h -- O, 1, ..., n ; n - - O, 1, ...).

Conviene premettere il seguente lemma.

L E ~ I A 5 . - Se ~ ~ u n a costanle reale non negativa, ed n ~ u n intero posi t ivo o nullo, l 'equazione (20) ammet te u n a infinit& numerabi le di soluzioni posit ive. L a p r i m a di tal i soluzioni~ the ind ich iamo con )~., al var iare di n, d~t luogo ad u n a successione crescente e concava, nel senso che valgono le d i suguagl ianze (21). Inol lre k . ammetle la rappresentaz ione asintot ica (22).

300 M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e probIemi ai Iimiti

La dimostrazione b simile a quella del Lemma 4, ponendo y----0 e cam- biando ~ in - -~ . L 'unica differenza di rilievo ~ che, in h o g o dell 'eqnazione (18), si s tudia l 'altra

(23) tg z : zz.

- 3 7 : Di conseguenza, mentre per 0 < : ~ 1 si ha n < z < ~ 2 - , per ~ > 1 si ha

-

0 < z < ~ , avendo indicato con z il pi~ piccolo elemento deIl~ successione

formata dalle radiei positive dell 'equazione (23). Iu ogni caso l 'equazione (23)

definisce ancora z come funzione implicita ad un sol valore di ~, e si procede come nel Lemma 4.

La dimostra~ione del Teorem~ 7 b identica a quella del Teorema 6.

§ 8. - A u t o v a l o r i d e l p r o b l e m a (12) .

Si considera il problema

(24) F y + h y - - O in (a,b), y(a)--O, y ' (a ) - -d ,

dove y E P, F E ~ , v , h b uu parametro reale positivo e d ~ una costante re~le.

T E O R ~ . 8. - Se A coincide con l'n-esimo autovalore k,, (n ~ 1) del pro. blema (13), allora la corrispondente soluzione det problema (24) ha al pii~ n - - 1 zeri in (a, b).

Infatt i i due operatori

F~y ~_ Fy + ),,y, F~y ~ M~,vy + L~y

si trovano nelle condizioni del Teorema 4, e quindi la solu~ionc del problema (24), con A - - ~ . , non pub avere pifl di n ~ 1 zeri in (a, b).

TEOREI~A 9 . - Se A coincide con l 'n-esimo autovalore l~,, del problema (t4), atlora la corrispondente solazione del problema (24) ha almeno n + 1 zeri in (a, b).

Infatt i i due operatori

Fly ~ m~,~y + l~,,y, F:y =---- Fy --{- y..y

si trovano nelle condizioni del Teorema 4, e quindi la soluzione del proble- ma (24), con h - ~ , , ha in (a, b) pifl zeri di v~(~c).

TEOREMX 1 0 . - L'aseissa del k-esimo zero della soluzione del problema (24) in (a, b) ~ una funzione continua non crescenle del paramelro A.

M. MONTAGNANA: Operatori estremanti e probIemi ai limiti 30t

Infat t i il Teorema 4 assicura che, al crescere di A, il numero di zeri in (a, b )de l la soluzione del problema (24) non decresce. Dunque l 'ascissa del k-es imo zero di tale soluzione~ non cresce a[ crescere di A. La continuith segue dalla dipendenza continua da 5_ della soluzione del problema (24).

I precedent i risultati permettono di dare una diversa dimostrazione del seguente nolo teorema (4).

TEORESI~ 11. - Per ogni iT, tero n ~_O esiste uno ed un solo numero post. tivo h,, tale che il problema (12), con h = A , , ha una soluzione co~ n zeri in (a; b); due sol~zioni del problema (12), con A - - - h , , sono proporzionali.

I t numero positivo h , , al variare di n, dg luogo ad una successione ere. scente, e inollre risulta

(25) ).,, < A. < ~ , ,

dove )~, e ~, sono gli n-esimi aulowlor i rispettivamente dei problemi (13) e (14).

Si ~ gi~ osservato che l 'ascissa de l t ' (n- [ -1) -es imo zero della sohz ione del problema (24) ~ una funzione continua non creseente di h. D'al tra parle il numero di zeri di tale solu~ione deeresce quando h passa dal valore ~t, al vatore k.,, e quiu~ti l 'aseissa del l ' (n ~-1)-es imo zero cresce con eontinuit~ in In, hi. Ne segue ehe esiste un valore A,, di A, in corrispondeuza del quale la soluzione del problema (24) ha esat tamente n zeri in (a, b) e si annul la per x = b. Inoltre, per il Teorema 10, h non cresce, passando dal valore t~,, al valore ?~,,, e quindi vale la (25).

La dimostrazione dell'unieiti~ e quella della proporzionalith fra due solu. zioni del problema (24), con h - = h,, , soao identiche a quelle fatte nel Teorema 6.

Infine, per provare che la suceessione degli autovalori del problema (12) creseente, si osserva che, se fosse A , ~ + ~ A , , i due operatori

s~rebbero nelle condizioni del Teorema 4, e l ' n - e s i m a autosoluzione y,(~¢) del problema (12) dovrebbe avere pi~ d i n zeri in (a, b).

BIBLIOGRAFI£

[I] E.J-. ~I(~S~ANE, .Integration, Princeton Universi ty Press, Princeton, 1947. [2] C. Puccb Op¢ratori ellittici estremanti, Ann. Mat. Pura ed applicata, (IV), vol. LXXII~

pp, 1~1.170. [3] G. SXNSOXE, Ecl~e~ioni differenziali nel campo re•le, Zanichelli, Bologna, 1963. [4] J. SZAaSK[; Differential inequalities, Polish Scientific :Publishers, Warszawa, 1965, [5] F. @. Talco.~, Equazioni differe~ziali, Boringhieri, Torino, t961.

(4) Si trova provato nel case di operatori lineari ad esempio in Tmco~II.[5], pp. 146.161.