Num Nat Presenta2

7/24/2019 Num Nat Presenta2

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Linsieme N dei numeri naturali infinito?

Linfinito!

Nessun altro problema ha mai scosso cos profondamente lo spirito

umano; nessuna altra idea ha stimolato cos proficuamente il suointelletto; e tuttavia nessun altro concetto ha maggior bisogno di

chiarificazione che quello di infinito(David Hilbert, 1921)

1Daniela Valenti, Treccani Scuola


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Linfinito in matematica

In matematicasi distingue fra numeri molto grandi e linfinito.

Il numero di stelle nellUniverso molto grande, ma finito

(circa 1022

) e pi grande, ma sempre finito, il numero diatomi nellUniverso(circa 1080);

Il cervello umano formato da circa 1012neuronied ognuno di

essi entra incontatto con104altri neuroni, perci

grandissimo, ma finito, il numero di contatti nervosi.

La matematica ha raggiunto uno straordinario risultato:elaborare ragionamenti e procedimenti per affrontare

linfinito con il cervello finito delluomo.



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Attivit 2: Linsieme N infinito?

Dividetevi in gruppi di 2 4 persone.

Ad ogni gruppo viene data una scheda dilavoro da completare.

Daniela Valenti, Treccani Scuola

Avete 30 minuti di tempo

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Che cosa abbiamo trovato?

Daniela Valenti, Treccani Scuola

Ragionamenti e procedimenti perdistinguere insiemi finiti e infiniti

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A, B, C sono insiemi finiti

B in corrispondenza

biunivoca conA

Bha tantielementi quantiA

B in corrispondenza biunivoca

con A, che un sottoinsieme di C

Bha menoelementi di C



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Linsieme N finito?

in corrispondenza biunivoca con P, che

un sottoinsieme di



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VOCABOLARIO MATEMATICO

Insieme infinito

Un insiemeAinfinito se esiste una corrispondenza

biunivoca fraAe un suo sottoinsieme.

Insieme numerabile

Un insiemeAnumerabile se esiste una corrispondenza

biunivoca fraAe linsiemeNdei numeri naturali.



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Lhotel ha un numero infinito di stanze, ma tutte le stanze sono occupate.

Si presenta un nuovo cliente e lalbergatore dice: Posso sicuramente

trovarle una sistemazione

Il cliente che occupa la camera 0 passa nella 1, quello che occupa la 1 passanella 2 e, in generale, chi occupa la camera npassa nella camera n+1, resta

libera la camera 0 per il nuovo cliente.

Lalbergo di Hilbert



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Lhotel ha un numero infinito di stanze, ma tutte le stanze sono occupate.

Si presentano ancora 100 clienti e lalbergatore dice: Posso trovare una

sistemazione per tuttiIl cliente che occupa la camera 0 passa nella 100, quello che occupa la 1

passa nella 101 e, in generale, quello che occupa la camera npassa nella

camera n + 100. Cos restano libere le camera da 0 a 99 per i nuovi clienti.

Lalbergo di Hilbert



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Paradosso di Galileo


0 02 = 0

1 12 = 1

2 22 = 4

3 32 = 9

4 42 = 16

. n n2

LinsiemeNqdei numeri quadrati

un sottoinsieme dellinsiemeNdeinumeri naturali.


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B in corrispondenza

biunivoca conA

A e B insiemi finiti

Bha tantielementiquantiA

N e Nqinsiemi infiniti

N in corrispondenza biunivoca

con il suo sottoinsieme Nq

Nqha tantielementiquantiN??

Si estende a N e Nq??


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Insiemifiniticollegati da una corrispondenzabiunivoca

vuol dire

Insiemi con lo stesso numero di elementi .

Origine del paradosso: estendere agli

insiemi infiniti questa intuitiva

affermazione, valida per gli insiemi finiti.


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Risposta di Galileo (1638)


Io non veggo che ad altra decisione si possa

venire []: infiniti essere tutti i numeri ,

infiniti i quadrati, infinite le loro radici, n la

moltitudine dei quadrati essere minore diquella di tutti i numeri, n questa maggiore di

quella, ed in ultima conclusione,gli attributi

di uguale, maggiore e minore non aver luogo

negli infiniti, ma solo nelle quantitterminate .


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Confronto fra

linguaggio comune e matematica

Linguaggio comunefinitolinsieme delle cifreche uso per scrivere i numeri,perchfiniscodi contarequando arrivo a 9.

Cifre

0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9

infinitolinsiemeNdei numeri naturali,perch non finito:posso continuare a contare

senza arrivare mai ad un numero finale.


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Confronto fra

linguaggio comune e matematica

Matematica infinitolinsiemeNdi tutti i numeri naturali,perch pu essere messo in corrispondenza

biunivoca con un suo sottoinsieme.

finitolinsieme delle cifre, perch non infinito: nonpu essere messo incorrispondenza biunivoca con un suo

sottoinsieme.

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