NOZIONI DI BIOINGEGNERIA ELETTRONICA ED … · Corso di Laurea in Scienze Motorie - 5 -...

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F a c o l t à d i M e d i c i n a e C h i r u r g i a

C o r s o d i L a u r e a i n S c i e n z e M o t o r i e

Anno Accademico 2011 / 2012

Mario Gervasio

NOZIONI DI BIOINGEGNERIA ELETTRONICA ED

INFORMATICA APPLICATA ALLE SCIENZE MOTORIE

Università degli Studi di Udine

Facoltà di Medicina e Chirurgia

Corso d i Laurea in Sc ienze Motor ie

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Bioingegneria Elettronica ed Informatica

applicata alle scienze motorie


Università degli Studi di Udine Facoltà di Medicina e Chirurgia


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Sommario

Introduzione ........................................................................................... 5 1.

Metodologie di base ........................................................................... 5 1.1 Ambiti di studio ................................................................................. 6 1.2

Analisi statistica ..................................................................................... 7 2.

Sistema Internazionale di Unità ........................................................... 7 2.1 Apparecchi di misurazione (strumenti di misura) .................................. 8 2.2 Scelta di uno strumento di misura........................................................ 9 2.3 Gli errori di misurazione ..................................................................... 9 2.4

Errori sistematici ............................................................................ 9 2.4.1 Errori casuali ................................................................................11 2.4.2

Risultato di una misurazione ............................................................. 11 2.5 Elementi di statistica ........................................................................ 12 2.6

Variabili discrete e continue ............................................................12 2.6.1 Presentazione dei dati. Istogrammazione .........................................12 2.6.2 Popolazione e campione .................................................................13 2.6.3 Frequenza cumulativa....................................................................14 2.6.4 Confronto fra conteggi misurati e calcolati........................................15 2.6.5 Media e varianza di un campione ....................................................15 2.6.6 Media e varianza della popolazione..................................................16 2.6.7 Stima di media e varianza della popolazione .....................................17 2.6.8 Funzione densità di probabilità gaussiana .........................................18 2.6.9

Esempio applicativo ........................................................................ 20 2.7 Media ..........................................................................................22 2.7.1 Varianza ......................................................................................22 2.7.2 Scarto quadratico medio o deviazione standard ................................22 2.7.3 Moda della distribuzione (valore più frequente) .................................22 2.7.4 Istogramma con sovrapposta la funzione di Gauss ............................23 2.7.5

Segnali...................................................................................................25 3.

Onde ......................................................................................................28 4.

Definizioni e grandezze caratteristiche ................................................ 28 4.1 Riflessione, diffrazione e rifrazione ..................................................... 35 4.2

Approfondimento ..........................................................................39 4.2.1 Indagare la materia con le onde ........................................................ 41 4.3

Imaging biomedico ................................................................................43 5.

Approfondimento ..........................................................................47 5.0.1 La fisica dell’ ecografia ..................................................................... 48 5.1 Ecografia doppler ............................................................................. 53 5.2 Esempi applicativi ............................................................................ 54 5.3

Introduzione all'analisi spettrale dei segnali .........................................56 6.

Serie Continua di Fourier (CFS) .............................................................61 7.

Correlazione ..........................................................................................68 8.

Teorema di correlazione .................................................................69 8.0.1




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Teorema di auto-correlazione .........................................................69 8.0.2 Teorema di Parseval ......................................................................69 8.0.3

La correlazione in statistica ............................................................... 70 8.1 Indice di correlazione di Pearson .....................................................70 8.1.1 Indice di correlazione di Spearman ..................................................71 8.1.2 Regressione lineare .......................................................................73 8.1.3 Livello di significatività ...................................................................74 8.1.4

Trasformata Continua di Fourier (CFT) .........................................................76

Filtraggio dei segnali continui ................................................................78 9.

Proprietà dei filtri ............................................................................. 78 9.1 Filtri lineari...................................................................................78 9.1.1 Filtri invarianti temporali ................................................................79 9.1.2 Filtri lineari ad invarianza temporale ................................................79 9.1.3

Funzione di trasferimento ................................................................. 79 9.2 Nel dominio dei tempi ....................................................................80 9.2.1 Un esempio importante .................................................................81 9.2.2

La delta di Dirac .............................................................................. 83 9.3 Lo spettro della delta di Dirac .........................................................84 9.3.1 Proprietà della delta di Dirac ..........................................................84 9.3.2

Effetti del troncamento su un segnale ................................................. 86 9.4

Conversione analogico-digitale ..............................................................89 10.

Campionamento .............................................................................. 89 10.1 Prevenire l'errore di aliasing ...........................................................91 10.1.1 Il campionamento nella pratica .......................................................92 10.1.2



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Introduzione 1.

La Bioingegneria1 è la disciplina che utilizza le metodologie e le tecnologie proprie dell’ingegneria al fine di comprendere, determinare e tentare di risolvere problematiche di interesse medico-biologico, mediante una stretta collaborazione tra gli specialisti dei vari settori, sia ingegneri che medici-biologi.

Questa definizione sottolinea quanto le figure professionali che operano nel campo della bioingegneria debbano impostare il problema medico-biologico non senza recepire le esigenze proprie dell'ambito di lavoro dei colleghi medici. Ciò rivela come il campo di studio sia altamente interdisciplinare e siano anche necessarie conoscenze di anatomia, di fisiologia e di patologia (eventualmente limitando tali conoscenze a settori molti ristretti), accanto a conoscenze proprie dell'ingegneria elettronica, informatica, meccanica e chimica, per affrontare i problemi relativi alle scienze della vita.

La Bioingegneria è riconosciuta universalmente come una disciplina emergente volta a generare una migliore comprensione dei fenomeni biologici ed a produrre tecnologie per la salute con beneficio per la società (definizione dal Massachusetts Institute of Technology, MIT). La Bioingegneria opera in diversi ambiti, quali quello tecnologico, industriale, scientifico, clinico e ospedaliero. L’obiettivo che essa si pone è duplice: da un lato si cerca il miglioramento delle conoscenze relative al funzionamento dei sistemi biologici, dall'altro si incentiva lo sviluppo di nuove metodologie e dispositivi diagnostici, terapeutici e riabilitativi.

Metodologie di base 1.1

Le metodologie di base della Bioingegneria riguardano:

la modellistica dei sistemi fisiologici (dai componenti cellulari, agli apparati ed agli organi);

la descrizione dei fenomeni biologici elettrici e/o magnetici;

l’elaborazione di dati, segnali e immagini (analisi del segnale applicata alla medicina);

strumenti per lo studio e la progettazione di dispositivi ed impianti medicali, di materiali naturali ed artificiali, di tessuti, apparati ed organismi;

metodi di analisi del legame struttura-proprietà caratteristico dei biomateriali e delle strutture biomeccaniche (tecnologia dei materiali).

1 L'ingegneria è la disciplina e la professione che ha come obiettivo l'applicazione dei risultati delle scienze matematiche, fisiche e naturali alla risoluzione di problematiche che concorrono alla soddisfazione dei bisogni umani.




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Ambiti di studio 1.2

I principali ambiti di studio della Bioingegneria sono i seguenti:

biomeccanica, biomateriali, fenomeni di trasporto, organi artificiali e protesi;

modellazione, simulazione e controllo dei sistemi fisiologici;

analisi statistica dei dati;

analisi dei segnali e delle delle immagini;

biosensori, biomeccatronica, robotica biomedica;

informatica biomedica e bioinformatica;

strumentazione biomedica.

Per quanto ci riguarda, nell'ambito di questo corso, ci limiteremo all’analisi statistica dei dati e all'elaborazione ed analisi dei segnali biologici.



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Analisi statistica 2.

Ogni giorno ciascuna persona ha bisogno di misurare qualcosa per soddisfare le necessità quotidiane. La misura non è però limitata solo a soddisfare queste necessità ma è alla base della ricerca scientifica e di ogni attività sia tecnica che commerciale. Misurare significa quindi effettuare una serie di operazioni materiali ed elaborative compiute mediante appositi dispositivi posti in interazione con il sistema misurato (specifico sistema su cui si effettua la misurazione) allo scopo di assegnare la misura ad una grandezza fisica facendo il rapporto tra la suddetta grandezza ed un'altra della stessa specie assunta come unità di misura convenzionalmente unitaria.

Per grandezza fisica s'intende una caratteristica che si può confrontare e misurare con altre della stessa specie, completamente individuata con precisione e sicurezza dal risultato di una determinata operazione di misura.

Per unità di misura s'intende il termine di riferimento adottato, per convenzione, per confrontare una grandezza con altre della stessa specie. L'unità di misura deve essere compatibile, cioè confrontabile direttamente con la grandezza della stessa specie che si desidera misurare stabilendo il numero di unità contenuto nella grandezza misurata. Tale numero è detto valore numerico della grandezza espresso nella prescelta unità di misura.

Non sono grandezze della stessa specie quelle per le quali le grandezze fisiche sono moltiplicate o divise secondo le regole dell'algebra e le cui equazioni dipendono dalla scelta delle unità di misura e quindi sono misurabili solo indirettamente (grandezze derivate con relative unità di misura derivate).

Sistema Internazionale di Unità 2.1

Ogni processo di misurazione comporta un confronto con campioni di misura e la definizione delle relative unità allo scopo di poterli rapportare con i valori della grandezza fisica da misurare.

La formazione di un sistema di unità di misura le cui unità, assunte come fondamentali, danno luogo ad un insieme di definizioni e di regole atte ad ottenere le unità di tutte le altre grandezze in uso nella fisica, nella chimica, ecc. ha avuto come risultato il Sistema Internazionale di Unità, la cui abbreviazione internazionale è SI, definito ed approvato dalla II Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure (CGPM) nel 1960 come unico sistema veramente universale da usare nei diversi campi delle attività umane.

Usualmente si adottano i seguenti metodi:

il metodo di misurazione a lettura diretta, che consiste nell'assegnare la misura ad un misurando (cioè al parametro sottoposto a misurazione) mettendo la in relazione con lo spostamento di un indice di uno strumento o con altro tipo di segnale di uscita;




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il metodo di misurazione per azzeramento o per confronto che consente di assegnare la misura ad un misurando confrontandolo con un campione materiale ad esso omogeneo; questo metodo è da ritenersi in genere il più preciso poiché riesce ad eliminare molte delle cause di errore che verranno esaminate nel seguito;

il metodo di misurazione indiretta che consente di assegnare per calcolo la misura ad un misurando effettuando misurazioni con metodi diretti su altri parametri ad esso collegati.

Apparecchi di misurazione (strumenti di misura) 2.2

Gli apparecchi di misurazione sono mezzi tecnici destinati ad eseguire misurazioni. Si distinguono in campioni materiali e strumenti.

I campioni materiali sono apparecchi che riproducono, durante l'uso, uno o più valori noti di una grandezza con una incertezza dipendente dalla classe di precisione cui appartiene il campione, non possiedono indice di misura né altro elemento mobile durante la misurazione .

Gli strumenti per misurazioni (detti comunemente strumenti di misura) sono apparecchi che, posti in interazione con il sistema misurato, forniscono un'indicazione dipendente dal valore del misurando, valutato nello stato del sistema al momento della misurazione stessa.

Il segnale di lettura è il segnale di uscita di uno strumento che contiene l'informazione relativa al valore assunto dal misurando, mentre il modo di presentazione di uscita può essere analogico o numerico.

Sono di tipo analogico quegli strumenti nei quali la visualizzazione continua del risultato della misura è data dallo spostamento di un indice su una scala a tratti.

Sono di tipo numerico quegli strumenti nei quali la grandezza misurata viene quantizzata e visualizzata in forma numerica non continua, ma discreta (cioè variabile per gradini finiti), su apposito pannello di lettura o display.

Le principali caratteristiche di uno strumento sono:

portata massima: massimo valore della grandezza che si può misurare;

portata minima: minimo valore della grandezza che si può misurare;

campo di misura: intervallo tra la portata massima e quella minima;

prontezza: rapidità con la quale lo strumento fornisce la sua risposta;

risoluzione: variazione della grandezza da misurare capace di determinare una variazione apprezzabile nella posizione di un indice su una scala graduata o comunque di un segnale; riguarda quindi la capacità di uno strumento di segnalare una piccola variazione del misurando, senza peraltro valutarne l'entità;



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ripetibilità: attitudine di uno strumento a fornire valori di lettura poco differenti tra di loro, in letture consecutive eseguite indipendentemente sullo stesso misurando, con procedimento unificato, dallo stesso operatore, nelle stesse condizioni per le grandezze d'influenza;

stabilità: attitudine di uno strumento a fornire valori di lettura poco differenti tra di loro, in letture eseguite indipendentemente sullo stesso misurando in un intervallo di tempo definito, con procedimento unificato e nelle stesse condizioni per le grandezze d'influenza.

Scelta di uno strumento di misura 2.3

La scelta di uno strumento di misura dipende dai mezzi di cui si dispone e dal livello di qualità che si vuole ottenere. Risulta ovvio che uno strumento è idoneo a realizzare una misura avente un livello di qualità adatto agli scopi prefissi quando l'incertezza strumentale è sufficientemente piccola da rendere significativa l'informazione.

Gli errori di misurazione 2.4

Effettuata la scelta dello strumento idoneo alla natura e alle caratteristiche della grandezza da misurare, si nota che ripetendo più volte nelle stesse condizioni la misurazione di una stessa grandezza con lo stesso strumento si trovano risultati leggermente diversi.

Pertanto si può affermare che nella esecuzione di ogni misurazione si commettono inevitabilmente degli errori, per cui nessuna misura risulta esatta, ma solo più o meno approssimata al valore reale rispetto al quale presenta un'incertezza più o meno piccola ma comunque mai nulla.

Non essendo il valore vero di una misura definibile operativamente e quindi determinabile, se in realtà uno dei valori ottenuti coincide con quello vero, tale eccezionale circostanza non può esserci nota.

Gli errori che per qualsiasi causa alterano l'esatta determinazione di una misura si raggruppano in due categorie:

errori sistematici;

errori casuali;

Errori sistematici 2.4.1

Si definiscono errori sistematici quelli provocati di volta in volta sempre dalla stessa causa e di valore e segno costante: è una causa la cui legge fisica è nota e percettibile, per cui risulta ugualmente nota la relazione tra l'entità dell'errore sistematico e l'influenza della sua causa.




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L'errore sistematico complessivo che altera l'esatta determinazione di una misura è la risultante dei contributi attribuibili ad ognuno dei seguenti elementi che costituiscono il gruppo di misurazione:

il procedimento di esecuzione della misura;

le incertezze strumentali;

la temperatura;

Con opportuni accorgimenti è quindi possibile tenerne conto e correggere di conseguenza la misura effettuata.

Il procedimento di esecuzione della misura comporta errori di merito talvolta grossolani, di facile individuazione e di immediata eliminazione o valutazione, mentre altre volte è difficoltoso il loro rilievo e solo l'esperienza e la rigorosa analisi di ogni probabile causa conducono alloro riconoscimento. Tra le principali cause di errori sistematici che possono influire sulla misura di una grandezza si segnalano il potere separatore dell'occhio, il fenomeno di parallasse, l'interpolazione (questo errore nasce nello stabilire la posizione di un ago indicatore o di una linea rispetto a due divisioni successive di una scala).

Il procedimento di misura raccoglie inoltre ogni dettaglio inerente al tipo di strumento usato, al suo impiego, ai sistemi di fissaggio e di appoggio, ecc.

Le incertezze strumentali sono attribuite ad una scorrettezza cinematica degli organi costituenti lo strumento (giuochi degli accoppiamenti, errori periodici delle viti, stiratura delle molle, ecc.). Si rivelano tramite una indicazione diversa secondo che il valore della misura del misurando sia stato raggiunto nel senso delle grandezze crescenti o in senso opposto; nel primo caso l'indicazione è minore che nel secondo.

La temperatura influisce sui materiali provocando dilatazioni e contrazioni tanto che una misura lineare non ha significato se non si precisa la temperatura alla quale è riferita (temperatura di riferimento).

La temperatura normale di riferimento per gli strumenti di misura lineare è 20°C. Pertanto i pezzi si intendono misurati alla temperatura di riferimento di 20°C salvo esplicite indicazioni contrarie per casi particolari.

Si può quindi derogare da questa prescrizione nel caso di strumenti atti a misurazioni di non elevata precisione, quando non hanno praticamente influenza sulle misure gli errori dovuti alle differenze di temperatura.

La vista influisce sulla percezione delle collimazioni e nel giudizio delle posizioni intermedie dell'indice fra i segni della scala.

In pratica gli errori sistematici possono essere, se non proprio eliminati, ridotti al minimo sia correggendo lo strumento sia tenendo conto della loro incidenza sul risultato della misura.



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Errori casuali 2.4.2

Si definiscono errori casuali quelli provocati da cause occasionali il cui singolo contributo non può venire stabilito a priori e si manifesta di volta in volta con diversa entità e segno. Questi errori sono pertanto dovuti a cause che non possono essere legate ai loro effetti da leggi percettibili ovvero a cause la cui legge di variazione non può essere definita. In altre parole, se la causa di un errore accidentale non può essere prevista, è quindi indeterminato l'effetto che essa produce, nel senso che può variare di valore e di segno ripetendo la misura pur con lo stesso procedimento di misurazione. Sono esempi di errori accidentali: errori di lettura dell'indicazione dello strumento di misura, errore di parallasse quando l'osservazione della scala a tratti e dell'indice è fatta con un raggio visivo non perpendicolare alla superficie su cui è posta la scala, errori dovuti alla incontrollata forza di misurazione ovvero ai diversi effetti che la costante forza di misurazione può avere nei punti di contatto per deformazione elastica, errori dovuti alla posizione dello strumento non perfettamente parallelo o perpendicolare alla superficie di misura, errori dovuti alle incontrollate variazioni di temperatura, errori dovuti agli attriti e/o ai giuochi degli organi mobili degli strumenti, errori provocati dalla presenza di corpi estranei tra le superfici di contatto (polvere, umidità, grasso, ossidi, ecc.), ecc.

Alla diminuzione delle probabilità delle cause degli errori accidentali si provvede con gli accorgimenti costruttivi e d'impiegò dello strumento, che sono progressivamente più rigorosi secondo la classe di precisione dello strumento. È così possibile osservare le scale nelle migliori condizioni di luminosità, nitidezza e ingrandimento, con l'uso di mezzi atti a giudicare la posizione dell'asse di misura, intervenendo con forze di misurazione rigorosamente costanti e talvolta nulle, cautelandosi dall'influenza degli sbalzi di temperatura con opportuni schermi e comandi a distanza, impiegando strumenti in ambienti adatti.

Risultato di una misurazione 2.5

È evidente che al risultato di una misurazione di una grandezza è sempre associata un'incertezza che, a tutti gli effetti, risulta equivalente all'errore massimo che congloba in un'unica valutazione sia gli errori sistematici sia quelli accidentali. Il termine incertezza rappresenta quindi l'indeterminatezza associata inevitabilmente ad una misura.

La misura di una grandezza è pertanto rappresentata mediante un'intera fascia di valore che viene identificata indicandone l'elemento centrale come valore della grandezza e l'ampiezza come incertezza entro la quale si presume rientrino con probabilità i valori di misura ottenuti in ripetute misurazioni effettuate in condizioni nominalmente uguali.




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Elementi di statistica 2.6

Variabili discrete e continue 2.6.1

A causa degli errori casuali il valore della misura di una grandezza fisica può pensarsi come una variabile aleatoria.

Di simili variabili ne esistono di due tipi:

discrete (ad esempio l’uscita di una faccia particolare di un dado);

continue (ad esempio il periodo di oscillazione di un pendolo).

Presentazione dei dati. Istogrammazione 2.6.2

Un diagramma bidimensionale molto utilizzato per la visualizzazione dei dati è l’istogramma.

In questo tipo di diagramma sull’asse delle ascisse si riporta il valore della grandezza misurata, come ad esempio il tempo, e sull’asse delle ordinate si riporta il numero di volte kn che si è trovato un dato valore di tale grandezza, oppure la frequenza relativa di tale valore totkk Nnf /= dove totN è il numero totale di misure realizzate.

L’asse delle ascisse viene suddiviso in un numero M di intervalli, detti canali, a cui si associano i valori che la variabile può assumere, secondo quanto segue:

per istogrammare una variabile discreta, si associa un canale ad ognuno dei valori che la variabile può assumere;

per una variabile continua questo procedimento non lo si può applicare, in quanto è impossibile associare un canale ad ognuno dei valori che la variabile può assumere con continuità.

Per isttogrammare una vaiabile continua si può agire in due modi:

suddividere l’intervallo dei valori della variabile in canali di ampiezza arbitraria e associare a un dato canale tutti i valori di misura maggiori o uguali all’estremo inferiore e minori dell’estremo superiore del canale;

scegliere un intervallo di ampiezza minima uguale al valore della sensibilità dello strumento (o di apprezzamento dello sperimentatore).

Comunque, in entrambi i casi si riconduce l’istogrammazione di variabile continua al caso di variabile discreta.

Per una variabile continua l’intervallo di variazione di x si potrà pensare come unione di sottointervalli:

UM

kkII

1=

=

ad ognuno dei quali sarà associato un valore (ad esempio il valore centrale kx ) che permetta di individuare il canale e un’ampiezza, kx∆ :



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( )kkkk xxII ∆= ,Solitamente si sceglie la stessa ampiezza per tutti gli intervalli, ponendola uguale alla sensibilità dello strumento, ma vista è possibile scegliere un’ampiezza più grande, ottenendo così il risultato di raggruppare gli stessi dati in un numero minore di canali, senza però diminuirli troppo, altrimenti si perde il dettaglio della distribuzione dei dati.

E’ bene ricordare che non si usano mai canali con un’ampiezza inferiore alla sensibilità dello strumento, in quanto si introdurrebbero canali in soprannumero che rimarrebbero vuoti.

Popolazione e campione 2.6.3

La statistica si basa principalmente sui concetti di campione e di popolazione.

Facendo riferimento alla parte pratica dell’esperienza e quindi alla misurazione del periodo del pendolo, chiameremo popolazione l’insieme di tutte le misure di periodo che possiamo eseguire sul pendolo.

Questo insieme è infinito, in quanto non c’è limite al numero di misure che possiamo effettuare.

In laboratorio naturalmente si misura un certo numero (finito) di periodi, realizzando così un campione, ovvero estrapolando un campione dalla popolazione.

Scopo della statistica è di raccogliere informazioni sulla popolazione attraverso lo studio dei campioni.

Per capire meglio i legami che permettono questo passaggio riportiamo ora qualche breve definizione.

La somma delle frequenze di tutti i possibili canali risulta essere:

∑∑==

==M

j

jM

jj N

nf

111

Dove M rappresenta, come detto, il numero di canali e N la numerosità del campione.

Questa formula risulta essere alquanto generale, in quanto:

permette di includere anche i valori della variabile che non sono presenti nel campione, considerando pari a zero le frequenze associate a tali valori;

può essere estesa al caso in cui M sia infinito.

Si nota inoltre che all’aumentare di N la frequenza jf tende alla probabilità jp (che è

invece un concetto proprio della popolazione). La formula precedente diventa allora una proprietà fondamentale di ogni funzione di probabilità di una popolazione, cioè la normalizzazione a 1:




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∑=

=M

jjp

11

essa ha il significato che la probabilità di ottenere un risultato,eseguendo una misura è sempre verificata.

Frequenza cumulativa 2.6.4

Definiamo la frequenza cumulativa jN in relazione ad ogni valore jx che una variabile

discreta x può assumere,analizzando il numero di volte che il risultato della misura è stato minore o uguale a jx :

∑=

=j

KKj nN

1

Mentre la frequenza cumulativa relativa jF risulta pari al rapporto tra la frequenza

assoluta e il numero totale N di misure:

∑∑==

===j

KK

j

K

Kjj f

Nn

NN

F11

A questo punto, si può assumere che all’aumentare di N la frequenza jF tenda alla

probabilità jP :

jjNPF =

∞→lim

Nel rapporto

1

1

−

−

−

−

jj

jj

xxPP

cioè la differenza tra le probabilità dei canali j e 1−j , divisa per la differenza fra i valori centrali degli stessi intervalli, se la variabile x è continua, possiamo pensare di diminuire indefinitamente l’ampiezza dei canali, cioè ( ) 01 →− −jj xx , ottenendo il limite continuo dell’istogramma:

dxdP

xxPP

jj

jj

x=

−

−

−

−

→∆1

1

0lim

che rappresenta non la probabilità, ma la densità di probabilità della variabile continua.

Tale metodo però non possiede applicazione pratica, in quanto qualunque sia lo strumento di misura impiegato, la sua risoluzione sarà comunque maggiore di zero.

Per questo non ha senso considerare dei canali più stretti di quelli che la stessa risoluzione può fornire, anche se grazie alla densità di probabilità, possiamo scrivere la condizione di normalizzazione per una variabile continua:

( ) ∫∫ == 1dxdxdPxdP

dove l’integrale è esteso a tutto il dominio della variabile x .



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In questa formula, la sommatoria è stata sostituita dall’integrale, l’indice discreto j dall’indice continuo x , la probabilità discreta jp da quella continua )(xjP .

Perciò, dando il simbolo )(xg alla funzione della densità di probabilità risulterà:

( )dxdPxg =

Dando come limiti all’integrale un intervallo kI , che sia un sottoinsieme del dominio di

x , avremo:

( ) ∫∫∈∈

=⋅=KK IxIx

K dPdxxgp

Essa è invece la probabilità che effettuando una misura, si ottenga un valore di xcontenuto in tale intervallo.

Confronto fra conteggi misurati e calcolati 2.6.5

Il valore della probabilità può essere valutato, qualora si consideri un intervallo abbastanza piccolo, nel seguente modo:

( ) ( ) KKIx

K xxgdxxgpK

∆=⋅= ∫∈

dove kx è un qualsiasi valore interno all’intervallo e kx∆ è l’ampiezza dell’intervallo o canale.

Preso un campione di N abbastanza grande di misure è auspicabile rilevare nell’intervallo kI un numero di misure con una frequenza kf che ben approssima la probabilità kP , ovvero, in termini di conteggi:

( ) KKgK xxNn ∆=

Tale confronto è molto utile in quanto confronta il numero di dati che effettivamente si rilevano in ogni canale con il numero calcolato.

Però tale operazione è possibile solo quando è conosciuta la forma della funzione )(xge il valore dei suoi parametri, che non sono noti a priori, in quanto sono relativi alla popolazione.

Media e varianza di un campione 2.6.6

Prendiamo in considerazione ora un campione di N dati:

Niix ,...,1=

La media del campione viene definita come:

∑=

=N

iixN

x1

1




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Un ulteriore modo di definire la media è quello di raggruppare fra loro i dati uguali, ossia ogni valore misurato jx viene moltiplicato per il numero di volte jn in cui è stato ottenuto. Perciò si ottiene:

∑=

=M

jjj nxN

x1

1

dove ,,...1 Mj = indica gli M valori diversi tra gli N totali.

Qualora venga immessa la frequenza relativa jf , pari a Nn j / nella formula

sovrastante, la media risulterà:

∑=

=M

jjj fxx

1

La varianza del campione viene definita come:

( ) ( )∑ ∑= =

−=−=N

i

M

jjji xxfxx

Ns

1 1

222 1

Una sua proprietà è quella di essere sempre positiva o nulla. Risulta importante notare che, mentre la media ha le stesse dimensioni fisiche della grandezza, la varianza possiede le dimensioni del quadrato delle dimensioni della grandezza (tempo al quadrato).

Quanto detto ci permette di definire lo scarto quadratico medio o deviazione standard come la radice quadrata della varianza stessa:

2ssqm =Lo sqm , spesso indicato con la lettera s , possiede le stesse dimensioni fisiche della media e risulta molto utile perché addita quanto strettamente o ampiamente i dati si distribuiscono intorno alla media stessa.

Qualora ci si trovi nella condizione di una variabile continua, l’intervallo di istogrammazione è bene sceglierlo pari a 2/1 o 3/1 dello sqm , in caso non venga scelto uguale alla sensibilità dello strumento di misura.

Media e varianza della popolazione 2.6.7

Nel seguente paragrafo non si parlerà più di campione ma bensì di popolazione e della definizione di media e di varianza della stessa.

Attribuita la funzione teorica jP , che definisce la popolazione per una variabile

discreta, la media della popolazione è definita come:

∑=

=M

jjj px

1

µ



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e analogamente attribuendo la funzione teorica dxdP / per una variabile continua, la media risulta:

( )∫ ∫∫ === dxxxgdxdxdPxxdPµ

In entrambi i casi, continuo e discreto, è possibile usare anche la notazione:

( )xE=µdove E fruisce del significato di valore di aspettazione della variabile x .

Rispetto alla varianza della popolazione qualora ci si trovi in presenza di variabili discrete, essa sarà definita nella seguente:

( ) ( ) j

M

jj pxxVar ∑

=

−==1

22 µσ

e nel caso di variabili continue, risulterà:

( ) ( ) ( ) ( )dxxgxdxdxdPxdPx ∫∫∫ −=−=−= 2222 µµµσ

Come per la media appena descritta, anche per la varianza si usa la notazione:

( )( )22 µσ −= xE con significato di valore di aspettazione della variabile ( )2µ−x .

Stima di media e varianza della popolazione 2.6.8

Grazie a quanto detto e definito nei paragrafi precedenti, è lecito realizzare un legame logico-matematico tra i campioni e la popolazione.

A tal proposito è perciò possibile riportare due teoremi molto importanti.

La media di un campione è un estimatore centrato o imparziale della media della

popolazione:

( ) µ=xELa varianza di un campione invece è un estimatore scentrato o parziale della varianza della popolazione:

( ) ( ) 22 σ≠= sExVar Infatti si dimostra che

( ) 22 1σNNsE −=

Per stimare la varianza della popolazione, è necessario usare un estimatore diverso, ovvero:

( )∑=

− −−

=−

=N

iiN xx

Ns

NNs

1

2221 1

11




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che risulta essere un estimatore centrato della varianza della popolazione, per cui si ha che:

( ) 221 σ=−NsE

Siamo quindi in grado di attestare che la media e 21−Ns di un campione sono estimatori

centrati della media e della varianza della popolazione.

Si desidera ora enunciare un teorema inerente la varianza della media di un campione:

la varianza della media campionaria di una variabile è N volte più piccola della varianza della variabile.

Semplicemente tale teorema ci dice che la media campionaria di una variabile ha una distribuzione più stretta della variabile stessa, cioè l’uso della media campionaria si risolve in una misura più precisa.

In questo contesto non viene riportata la dimostrazione di tale importante teorema.

Funzione densità di probabilità gaussiana 2.6.9

Possiamo definire la funzione di Gauss come:

( )( )

2

2

2bax

CexgdxdP −

−==

Tale relazione dipende da tre parametri specifici: C , a , b .

Di questi, solo a e b sono indipendenti.

Il significato del parametro C è quello di costante di normalizzazione, ossia deve essere adattato in modo da soddisfare la richiesta di normalizzazione a 1 della distribuzione di probabilità.

( )12

2

2 == ∫∫−

−dxCedx

dxdP b

ax

estraendo la costante C dall’integrale e facendo il cambiamento di variabile:

baxu

2−=

si ottiene:

122

=∫ − duebC u

e sapendo che l’integrale immediato vale π e risolvendo per C , si ottiene:

bC

π21=

Per mezzo di questa relazione si nota come C dipenda da b ma non da a .

Il significato del parametro a si ottiene considerando l’espressione della media:



- 19 -




( )

∫ ∫−

−== dxe

bxdx

dxdPx b

ax2

2

2

21π

µ

effettuando il medesimo cambiamento di variabile visto in precedenza, si ottiene:

dxeadxueb uu ∫∫ −− +=22 1

22

ππµ

dove il primo integrale è nullo, perciò risulterà che:

a=µcioè a rappresenta la media della distribuzione.

Riguardo il significato del parametro b si ottiene considerando l’espressione della varianza:

( ) ( )( )

dxeb

xdxdxdPx b

x2

2

2222

21 µ

πµµσ

−−

∫∫ −=−=

e con il solito cambiamento di variabile si ottiene:

dxeub u2222 2 −∫=π

σ

Sapendo che l’integrale vale 2/π , si ottiene infine: 22 b=σ

cioè b rappresenta lo sqm della distribuzione.

Quindi, concludendo, la funzione di Gauss dipende dai due parametri della popolazione µ e σ , perciò inserendo i risultati appena ottenuti, la gaussiana risulterà:

( )( )

2

2

2

21 σ

µ

σπ

−−

=x

exg

A tal punto, se attribuiamo l’interpretazione probabilistica dell’integrale della densità di probabilità alla funzione di Gauss, è consentito affermare che il seguente

( ) %26,68∫+

−

=σµ

σµ

dxxg

rappresenta la probabilità che il risultato di una misura della grandezza x cada nell’intervallo compreso tra ( )σµ − e ( )σµ + .

Analogamente l’integrale

( )∫+

−

=σµ

σµ

2

2

%44,95dxxg

e l’integrale

( )∫+

−

=σµ

σµ

3

3

%73,99dxxg




- 20 -




rappresentano la probabilità che il risultato della misura cada entro l’intervallo ( )σµσµ 2,2 +− e ( )σµσµ 3,3 +− rispettivamente.

Concludiamo questa parte riportando i risultati ottenuti più significativi in relazione alla loro diretta applicabilità nella parte pratica.

µ e σ sono parametri della popolazione, ed i loro valori numerici non sono quindi noti a priori; è però possibile stimarli attraverso un campione di misure:

x⇒µ2

12

−⇒ Nsσper cui si userà la seguente espressione:

( )( )

21

2

2

212

1−

−−

−⋅≅ Ns

xx

N

es

xgπ

Esempio applicativo 2.7

L’esperienza consiste nella misura, mediante un cronometro centesimale (sensibilità di 0,01 secondi), del periodo di oscillazione di un pendolo composto. Si raccoglierà un campione di 300 misure, per ogni misura si cronometra il singolo periodo.

Per ridurre la dipendenza del periodo dalla massima elongazione angolare Θmax, ci si pone nella condizione delle piccole oscillazioni (Θmax<15°).

Figura 1 - Pendolo di Katter

Di seguito è riportata la tabella contenente le misurazioni del periodo del pendolo.

Nr. Valore [s]

Nr. Valore [s]

Nr. Valore [s]

Nr. Valore [s]

Nr. Valore [s]

1 2,02 41 2,04 81 2 121 2,18 161 2,03

2 2,12 42 2,09 82 2,09 122 2,06 162 2,17

3 2,08 43 2,15 83 2,17 123 2,08 163 2,14



- 21 -




4 2,11 44 2,07 84 2,2 124 2,05 164 2,06

5 2,14 45 2,12 85 2,12 125 2,08 165 2,11

6 2,08 46 2,14 86 2,08 126 2,15 166 2,06

7 2,14 47 2,04 87 2,2 127 2,03 167 2,17

8 2,01 48 2,15 88 2,13 128 2,01 168 2,24

9 2,07 49 2,03 89 2,11 129 2,05 169 2,22

10 2,06 50 2,07 90 2,04 130 2,04 170 2,11

11 2,07 51 2,03 91 2,07 131 2,12 171 2,04

12 2,17 52 2,14 92 2,13 132 2,13 172 2,15

13 2,16 53 2,11 93 2 133 2 173 2,19

14 2,05 54 2,13 94 2,01 134 2,14 174 2,11

15 2,07 55 2,08 95 2,14 135 2,09 175 2,07

16 2,14 56 2,2 96 2,05 136 2,03 176 2,05

17 2,15 57 2,13 97 2,03 137 2,07 177 2,18

18 2,04 58 2,15 98 2,01 138 2,12 178 2,05

19 2,05 59 2,14 99 2,08 139 2,11 179 2,06

20 2,19 60 2,06 100 2,1 140 2,08 180 2,11

21 2,09 61 2,09 101 2,19 141 2,09 181 2,21

22 2,11 62 2,15 102 2,06 142 2 182 2,01

23 2,06 63 2,07 103 2,21 143 2,05 183 2,1

24 2,06 64 2,04 104 2,14 144 2,09 184 2,13

25 2,07 65 2,1 105 2,2 145 2,08 185 2,07

26 2,15 66 2,15 106 2,02 146 2,04 186 2,06

27 2,13 67 2 107 2,11 147 2,06 187 2,06

28 2,14 68 2,19 108 2,01 148 2,02 188 2,25

29 2,08 69 2,11 109 2,03 149 2,21 189 2,13

30 2,18 70 2,14 110 2 150 2,13 190 2,07

31 2 71 2,21 111 2,18 151 2,1 191 2,22

32 2,08 72 2,11 112 2,23 152 2,08 192 2,1

33 2,08 73 2,15 113 2,07 153 2 193 2,05

34 2,19 74 2,11 114 2,1 154 2,01 194 2,09

35 2,05 75 2,08 115 2,01 155 2,05 195 2,14

36 2,13 76 2,19 116 2,04 156 2,07 196 2,16

37 2,13 77 2,07 117 2,05 157 2,02 197 2,21

38 2,08 78 2,14 118 2,07 158 2,03 198 2,06

39 2,17 79 2,05 119 2,18 159 2,05 199 2,16

40 2,07 80 2,01 120 2,14 160 2,04 200 2,07

201 2,16 221 2,12 241 2,12 261 2,13 281 2,06

202 2,14 222 2,11 242 2,08 262 2,11 282 2,18

203 2,13 223 2,16 243 2,16 263 2,18 283 2,09

204 2,05 224 2,13 244 2,17 264 2,11 284 2,13

205 2,14 225 2,11 245 2,1 265 2,07 285 2,06

206 2,09 226 2,19 246 2,04 266 2,07 286 2,19

207 2,07 227 2,07 247 2,06 267 2,13 287 2,04

208 2,08 228 2,01 248 2,12 268 2,03 288 2,14

209 2,06 229 2,11 249 2,01 269 2,09 289 2,09

210 2,13 230 2,15 250 2,16 270 2,16 290 2,21

211 2,07 231 2,06 251 2,06 271 2,06 291 2,08

212 2,09 232 2,03 252 2,11 272 2,13 292 2,14




- 22 -




Nr. Valore [s]

Nr. Valore [s]

Nr. Valore [s]

Nr. Valore [s]

Nr. Valore [s]

213 2,23 233 2,13 253 2,07 273 2,12 293 2,17

214 2,06 234 2,04 254 2,09 274 2,12 294 2,05

215 2,02 235 2,07 255 2,07 275 2,17 295 2,01

216 2,06 236 2,14 256 2,06 276 2,11 296 2,11

217 2,1 237 2,12 257 2,16 277 2,05 297 2,07

218 2,09 238 2,05 258 2,1 278 2,11 298 2,22

219 2,05 239 2,12 259 2,17 279 2,05 299 2,06

220 2,03 240 2,02 260 2,11 280 2,08 300 2,15

Figura 2 - Tabella contenente le misurazioni del periodo

Nella colonna di sinistra sono riportati i numeri progressivi di rilevazione mentre in quella di destra i valori x del periodo misurati in secondi.

Dalle equazioni descritte nella parte teorica si determinano i parametri fondamentali della popolazione sapendo che la media e la varianza 1

2−Ns di un campione sono

estimatori centrati della media e della varianza della popolazione.

Media 2.7.1

[ ]sxxN

xN

ii

N

ii 099,2

30011

11

===→ ∑∑==

µ

Varianza 2.7.2

122

−→ Nsσ

( ) ( ) [ ]23

1

2

1

22 101,3099,2300

11 sxxxN

sN

ii

N

ii

−

==

⋅=−=−= ∑∑

( ) ( ) [ ]23

1

2

1

2221 101,3099,2

13001

11

1sxxx

Ns

NNs

N

ii

N

iiN

−

==− ⋅=−

−=−

−=

−= ∑∑

Scarto quadratico medio o deviazione standard 2.7.3

[ ]sss 056,0101,3 32 =⋅== −

[ ]ss N 056,0101,3σ 321 =⋅=→ −−

Moda della distribuzione (valore più frequente) 2.7.4

[ ]sx a 07,2mod =



- 23 -




Istogramma con sovrapposta la funzione di Gauss 2.7.5

Per realizzare l’istogramma è necessario suddividere l’asse delle ascisse in canali a cui si associano i valori che la variabile può assumere. Nel nostro caso è pari alla senisbilità delo strumento (0,01 secondi).

L’asse delle ordinate contiene il numero di volte in cui un valore del periodo ( )x risulta compreso in uno degli intervalli sopra enunciati.

Nella tabella di figura 3 sono riportati gli intervalli di istogrammazione necessari alla realizzazione del grafico.

Intervalli di istogrammazione

Numero di occorrenze

Intervalli di istogrammazione

Numero di occorrenze

1,94 0 2,11 23 1,95 0 2,12 12 1,96 0 2,13 19 1,97 0 2,14 20 1,98 0 2,15 12 1,99 0 2,16 9 2,00 8 2,17 9 2,01 12 2,18 7 2,02 6 2,19 8 2,03 11 2,20 4 2,04 13 2,21 6 2,05 20 2,22 3 2,06 24 2,23 2 2,07 27 2,24 1 2,08 19 2,25 1 2,09 15 2,26 0 2,10 9 2,27 0

Figura 3 - Numero di occorrenze in funzione degli intervalli di istogrammazione

Per sovrapporre al grafico la curva di Gauss si utilizza la formula riportata nella parte teorica, avendo l’accortezza di normalizzare l’equazione della curva stessa secondo quanto riportato di seguito:

( )( ) ( )

3

2

21

2

101,32099,2

3

2

21 101,32

30019,02

−− ⋅⋅

−−

−

⋅−

−

−

⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅∆=x

Sxx

N

eeSNzxG N

ππ

Dove z∆ rappresenta l’ampiezza di ogni canale, assunta pari alla sensibilità dello strumento utilizzato (0,01 secondi).




- 24 -




0

5

10

15

20

25

30

1,93

1,94

1,95

1,96

1,97

1,98

1,99

2,00

2,01

2,02

2,03

2,04

2,05

2,06

2,07

2,08

2,09

2,10

2,11

2,12

2,13

2,14

2,15

2,16

2,17

2,18

2,19

2,20

2,21

2,22

2,23

2,24

2,25

2,26

2,27

Num

ero

dooc

corr

enze

Periodo [s]

Istrogramma e curva di Gauss

Figura 4 - Istogramma con sovrapposta la curva do Gauss

Si precisa che l’intervallo riportato sull’asse delle ascisse è esattamente pari a [ ]σσ ⋅+⋅− 3;3 xx e anche visivamente si nota che non vi sono eventi al di fuori dello stesso.



- 25 -




Segnali 3.

Un segnale è una funzione, reale o complessa, di una o più variabili :

,...),...,,,( tzyxfs = Cf n →ℜ:Il valore della funzione s in un punto si definisce ampiezza del segnale.

Nel caso il valore della funzione s sia dipendente dalla sola variabile tempo, allora si parla di serie temporale. Nel corso della nostra trattazione, se non altrimenti specificato, faremo riferimento alle sole serie temporali.

Ciò che noi ci proponiamo di studiare è il segnale (poniamo ad esempio il battito cardiaco con un elettrocardiogramma -ECG- oppure l'attività elettrica del cervello con un elettroencefalogramma -EEG-). Il segnale è generalmente affetto da rumore, cioè da qualsiasi altro segnale “non voluto” che si sovrappone al segnale che vogliamo studiare (poniamo ad esempio il suono polmonare o qualsiasi rumore ambientale che si sovrappone al segnale di interesse). Come si può intuire, la definizione di rumore non è univoca, in quanto ciò che ora è considerato rumore nell'ambito del nostro studio (vogliamo ad esempio registrare la frequenza cardiaca), può diventare il segnale sotto indagine in un'altra applicazione (il pneumologo vuole ad esempio auscultare il suono polmonare, mentre può non è interessato al battito cardiaco che gli si sovrappone).

Possiamo classificare i segnali secondo diverse categorie sulla base di diversi criteri.

La prima e forse più importante suddivisione si basa sul dominio in cui il segnale è definito. Si può distinguere tra:

segnali a tempo continuo (analogici, continui);

segnali a tempo discreto (discreti e digitali).

Un segnale discreto sia nel dominio che nel codominio della funzione s si dice numerico o digitale. Essendo la gran parte dei segnali discreti anche digitali, si tende ormai a non dare troppa importanza a questa ulteriore divisione.

La seconda suddivisione si basa invece su considerazioni di periodicità del segnale. Si può distinguere tra:

segnali periodici se :

ttfTtfT ∀=+∃ )()(:




- 26 -




Figura 5 - Segnale sinusoidale di periodo T . Dopo un tempo pari a T il segnale si ripete uguale a sé stesso (cioé assume lo stesso valore per t eTt + , indipendentemente dal valore di t considerato).

segnali aperiodici (tutti i segnali che non ricadono nella classe dei segnali periodici). Fra i segnali aperiodici, una importante classe è costituita dai segnali transienti, per i quali si ha:

0)(:, 21 =∈∃ tfRtt )()( 21 tttt >∪<

Figura 6 - Segnale transiente. Il segnale considerato è non nullo solamente nell'intervallo di tempo 12 tt − ; per tutti gli istanti prima di 1t e dopo 2til segnale ha sempre valore nullo.

Una ulteriore distinzione vede i segnali divisi tra la classe dei segnali deterministici e quella dei segnali stocastici (sinonimo di “casuale”, come contrario del termine “deterministico”). Questa suddivisione non è sempre applicabile in quanto spesso un segnale è dato dalla sovrapposizione di una componente deterministica (il segnale propriamente detto) ed una stocastica (il rumore, la componente casuale non deterministica).



- 27 -




Ad esempio:

segnale continuo: battito cardiaco;

segnale discreto: battito cardiaco campionato ad intervalli temporali regolari (numero finito di valori estratti dal segnale);

segnale digitale: battito cardiaco campionato ad intervalli temporali regolari e memorizzato su PC (i valori estratti -ad intervalli regolari- dal segnale analogico devono essere numeri finiti per poter ad esempio essere memorizzati su di un hard disk).




- 28 -




Onde 4.

Si definisce onda una perturbazione che si propaga attraverso lo spazio trasportando energia e non materia. Ad eccezione della radiazione elettromagnetica e della radiazione gravitazionale, che possono propagarsi nel vuoto, le onde esistono in un mezzo che per deformazione è in grado di trasmettere la perturbazione. Attraverso di esso, le onde possono viaggiare e trasferire energia da un punto all'altro, senza che alcuna particella del mezzo venga dislocata permanentemente (si parla in tal caso di deformazioni elastiche): non esiste, quindi, un trasporto di massa associato alla propagazione ed ogni punto quindi oscilla attorno alla posizione di equilibrio (è solo la perturbazione a propagarsi nello spazio, i punti materiali non si spostano). La perturbazione è la variazione di una determinata grandezza fisica, ad esempio una variazione di pressione, di temperatura, di posizione etc.

Considerando la direzione di propagazione dell'onda, si può distinguere tra:

onde longitudinali, per le quali i punti materiali del mezzo attraversato dall'onda oscillano nella stessa direzione di propagazione dell'onda;

onde trasversali, per le quali i punti materiali del mezzo attraversato dall'onda oscillano in direzione ortogonale alla direzione di propagazione dell'onda.

Si possono distinguere le onde anche in base alla forma dei fronti d'onda, in particolare si distingue tra:

onde sferiche, i cui fronti d'onda sono delle sfere;

onde cilindriche, i cui fronti d'onda sono dei cilindri;

onde piane, i cui fronti d'onda sono dei piani ortogonali alla direzione di propagazione della perturbazione (è il caso in cui un'onda sferica o cilindrica osservata a grande distanza -tendente a infinito rispetto alla porzione di fronte d'onda osservato- dalla sorgente).

Le due classificazioni appena introdotte sono solamente due dei possibili modi per classificare le onde.

Definizioni e grandezze caratteristiche 4.1

Introduciamo ora alcune definizioni e grandezze caratteristiche delle onde:

1. si chiama fronte d'onda l'insieme dei punti contigui, equidistanti dalla sorgente, che vibrano concordemente. Per ciascuno di questi punti appartenenti al medesimo fronte lo spostamento dalla posizione di equilibrio assume lo stesso valore in ogni istante. Considerando una sorgente assimilabile ad una sorgente puntiforme, essa produrrà fronti d'onda sferici. Ipotizzando di essere a distanza infinita dalla sorgente e di analizzare la forma del fronte d'onda, noteremmo che il fronte è piano. Infatti, dato che abbiamo ipotizzato la sorgente posta a distanza infinita dal punto di osservazione, il raggio della sfera



- 29 -




tende ad infinito e la curvatura della stessa tende ad annullarsi essendo uguale a 2/1 r . Lo stesso vale per una sorgente assimilabile ad una sorgente rettilinea infinita: a distanza finita dalla sorgente noteremmo un fronte d'onda cilindrico, invece, pensando di osservare il fronte d'onda ad una distanza infinita dalla sorgente, esso ci apparrebbe nuovamente piano;

2. si definisce ampiezza (A) dell'onda il massimo spostamento dalla posizione di riposo del punto materiale del mezzo attraversato dall'onda. Ha dimensioni concordi con la misura della grandezza rappresentativa della perturbazione causata dal passaggio dell'onda (ad esempio se l'onda implica una variazione di tensione, allora l'ampiezza dell'onda sarà espressa in Volt (V));

3. la lunghezza d'onda (λ ) è la distanza tra due punti ripetitivi consecutivi di una forma d'onda. Viene comunemente indicata dalla lettera greca lambda (λ )ed ha la dimensione di una lunghezza. Corrisponde ad esempio alla distanza tra due fronti d'onda successivi (misurando tale distanza in direzione ortogonale ai fronti d'onda);

4. la frequenza ( f ) è misurata in Hertz -Hz-, corrispondenti al reciproco del tempo, si ha quindi che 111 −= sHz . una grandezza utilizzata nel caso di fenomeni periodici o processi ripetitivi. La frequenza con la quale una certo evento si ripete nel tempo, è data dal numero di volte che il dato evento si ripete nell'unità temporale. Per calcolare la frequenza si può ad esempio misurare l'intervallo di tempo tra gli istanti iniziali di due eventi consecutivi (il periodo (T )) e quindi calcolare la frequenza come il reciproco del periodo. La frequenza infatti è l'inverso del periodo:

Tf /1=5. Il periodo (T ) è l'intervallo temporale (misurato in secondi) in cui un'onda

sinusoidale compie un'oscillazione completa e torna alla condizione iniziale (più in generale il periodo è l'intervallo temporale dopo il quale segnale, non necessariamente caratterizzato da andamento sinusoidale, si ripete uguale a sé stesso). Dato che la lunghezza d'onda è lo spazio percorso da un'onda con velocità di fase ν in un periodo T , si può sfruttare la definizione di velocità (spazio/tempo) per legare lunghezza d'onda e periodo alla velocità di propagazione dell'onda (ν ), ottenendo che:

T/λν =Mentre la frequenza ( f ) e la lunghezza d'onda (ν ) sono tra loro legate dalla semplice relazione:

λν /=fdove con ν è indicata la velocità di propagazione dell'onda.

Si definisce infine la pulsazione (ω ) in funzione della frequenza:

Tf /22 ππω ==




- 30 -




dove il valore della pulsazione (o velocità angolare) corrisponde al rapporto fra l'angolo spazzato da un vettore che ruota ed il tempo impiegato a compiere questa rotazione, ossia (per moto circolare uniforme):

t∆∆= /θω

Figura 7 -

6. la fase (ϕ ) indica generalmente lo spostamento relativo della sinuosoide lungo l'asse dei tempi, viene tipicamente espressa sotto forma di angolo. In fisica si utilizza la quantità ϕ (si legge fi) definita angolo di fase o semplicemente fase (ed è una quantità adimensionale).

In un moto armonico, indicata con )(tx la posizione istantanea del punto materiale in moto nel tempo (o il valore istantaneo del segnale )(ts , ad esempio la sua tensione), con A l'ampiezza del moto, con ω la sua frequenza angolare (o pulsazione) e con t il tempo, la legge del moto risulta essere:

)cos()( 0ϕω += tAtXSi tenga anche presente che le quantità A , ω e 0ϕ , in questo particolare moto, sono costanti. Perciò l'unica grandezza variabile rimane il tempo t e di conseguenza l'andamento del moto in un diagramma spazio-tempo sarà simile al grafico del coseno. Le uniche differenze sono dovute ad A , che amplifica il segnale ed alla costante 0ϕ che invece produce una traslazione rigida del segnale della quantità

ωϕ /0− .

La quantità )( 0ϕω +t , cioè l'argomento della funzione coseno, viene detta fase del moto ϕ , mentre la sola parte 0ϕ si chiama costante di fase oppure fase iniziale ed indica la “posizione” della sinusoide rispetto all'origine degli assi del sistema di riferimento.

Si noti che entrambe queste grandezze rappresentano angoli: la prima (ϕ )rappresenta l'angolo, variabile nel tempo, associato al moto armonico (quando cioè si pensi al moto armonico come proiezione di un moto circolare uniforme su un suo diametro), mentre la seconda ( 0ϕ ) rappresenta il valore iniziale dell'angolo di fase, cioè quello associato alla posizione del moto all'istante considerato come iniziale.



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Si noti che se si pone 0ϕ =-90° (ovvero - 2/π radianti) si ricava:

)()2/cos()( tAsentAtX ωπω =−=ciò significa che per trattare un moto armonico si può indifferentemente usare la funzione seno o la funzione coseno, dato che una funzione si trasforma nell'altra semplicemente tramite un banale cambiamento di fase iniziale.

Figura 8 – Onda sinusoidale

Quando si considerano due segnali sinusoidali caratterizzati dalla stessa frequenza, essi possono essere confrontati in termini di fase e si può parlare di differenza di fase o analogamente di sfasamento ( ϕ∆ ), intendendo con ciò da un punto di vista matematico la differenza tra le due costanti di fase:

20

10 ϕϕϕ −=∆

dove gli apici 1 e 2 si riferiscono rispettivamente alla prima ed alla seconda sinusoide che vengono confrontate. L'esempio in figura 9 mostra due sinusoidi con uguale frequenza, si calcola allora lo sfasamento tra le due onde, che risulta essere:

13/12)3/(4/3 πππϕ =−−=∆Da un punto di vista fisico lo sfasamento rappresenta l'angolo corrispondente alla differenza temporale tra il raggiungimento successivo di una stessa particolare fase (ad esempio il massimo) tra i due segnali (in figura è l'angolo corrispondente al segmento orizzontale che mostra la separazione angolare tra gli istanti corrispondenti a due massimi consecutivi, del primo e del secondo segnale).

Figura 9 – Rappresentazione di due onde con sfasamento pari a 13/12π




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−20

24

68

10

t

sin(t)

−20

24

68

10

t

sin(t)

Le onde interagiscono tra loro. Se due onde pervengono contemporaneamente in un punto, si osservano fenomeni di interferenza, cioè le due onde si sommano algebricamente, punto per punto, in termini di ampiezza. L'interferenza può essere sia “distruttiva” che “costruttiva”. Si genera quindi una terza onda risultato della somma delle due onde originarie ed il ragionamento è ovviamente estendibile ad un numero qualsiasi di onde.

Questa proprietà delle onde di sommarsi viene definita col nome di principio di sovrapposizione delle onde. In ogni punto dello spazio in cui due onde incidono simultaneamente, l'oscillazione complessiva è data dalla somma algebrica delle oscillazioni delle due o più onde incidenti prese separatamente (ad esempio si può comunemente sperimentare che è possibile udire più suoni simultaneamente ed il suono complessivo è il risultato della sovrapposizione dei singoli suoni).

Figura 10 - Principio di sovrapposizione applicato a 2 onde sinusoidali identiche non sfasate. L'onda risultante è pari alla somma, punto per punto, delle due onde che si sovrappongono ed ha frequenza invariata rispetto alla frequenza delle due onde che l'hanno generata.

Figura 11 - Principio di sovrapposizione applicato a 2 onde sinusoidali identiche, ma sfasate di un angolo pari a π . L'onda risultante è pari alla somma, punto per punto, delle due onde che si sovrappongono. Essendo le due onde in controfase (dovuto allo sfasamento di π della seconda sinusoide dalla prima) l'onda risultante è nulla.



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La sovrapposizione di onde con frequenze diverse, che non siano multipli interi di una frequenza fondamentale 0f , dà luogo ai cosiddetti “battimenti”, cioè a variazioni periodiche dell’ampiezza massima dell’onda risultante.

Figura 12 - Principio di sovrapposizione applicato a 4 onde sinusoidali. Si noti che le 4 onde considerate hanno frequenze diverse, ma multiple di una frequenza 0f scelta come frequenza fondamentale (si noti infatti che esiste un valore sull'asse in corrispondenza del quale tutte le onde hanno contemporaneamente ampiezza nulla). In questo caso non si notano battimenti.

Come si può notare per il caso delle onde di figura 13, inizialmente le due onde sono in fase e dopo un certo numero di periodi, a causa della lieve differenza di frequenza, si trovano in controfase (al massimo di un'onda corrisponde il minimo dell'altra). Dopo un certo altro numero di periodi le onde saranno di nuovo in fase, e così via. Il risultato sarà una oscillazione dell’ampiezza dell’onda risultante, e questa oscillazione avrà frequenza pari alla differenza di frequenza delle due onde che lo provocano. Questo fenomeno è conosciuto con il nome di battimento.

Figura 13 - Somma di due onde con diversa frequenza

Nella pratica si utilizza comunemente la sovrapposizione delle onde ai fini della trasmissione dei segnali. La modulazione di ampiezza (AM) consiste nel modulare l'ampiezza del segnale radio che si intende utilizzare per la trasmissione (detto portante) in maniera proporzionale all'ampiezza del segnale che si intende trasmettere




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(modulante). Il segnale modulato ha la stessa frequenza della portante.La modulazione di frequenza (FM) consiste invece nel modulare la frequenza del segnale radio che si intende utilizzare per la trasmissione (detto portante) in maniera proporzionale all'ampiezza del segnale che si intende trasmettere. Rispetto alla modulazione di ampiezza ha il vantaggio di essere molto meno sensibile ai disturbi e di permettere una trasmissione di miglior qualità. Ha inoltre un'efficienza molto maggiore dato che la potenza del segnale modulato FM è esclusivamente quella della portante, il segnale di informazione cioè non richiede potenza aggiuntiva per essere trasmesso.

Figura 14 - Modulazione in ampiezza (AM, figura a sinistra) e modulazione in frequenza (FM, figura a destra).

Le tabelle che seguono elencano le grandezze fondamentali delle onde, in particolare la seconda tabella mostra tutte le dipendenze tra le grandezze fondamentali.

Simbolo Significato Unità di misura

ν velocità [ ]sm /

k numero d’onda [ ]m/1

λ lunghezza d’onda [ ]mf frequenza [ ] [ ]sHz /1=

T periodo [ ]sω pulsazione o frequenza angolare [ ]srad /



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ν k λ f T ω

ν ÷kω f⋅λ f⋅λ

Tλ

kω

kνω

÷λπ2

νπ f⋅2

T⋅νπ2

νω

λ fν

kπ2

÷ fν

T⋅νωνπ ⋅2

fλν

πν2k⋅

λν

÷T1

πω2

Tνλ

k⋅νπ2

λν

f1

÷ωπ2

ω k⋅ν k⋅νλνπ ⋅2 f⋅π2

Tπ2

÷

NB: il numero d'onda k è la caratteristica delle onde analoga alla frequenza ( f ), ma riferita alla periodicità spaziale (invece che alla periodicità temporale come vale per la frequenza). Essendo k proporzionale all'inverso della lunghezza d'onda (λ ) si misura in [ m/1 ].

Riflessione, diffrazione e rifrazione 4.2

La riflessione è il fenomeno per cui un'onda che incide sulla superficie di separazione (interfaccia) tra due mezzi differenti non attraversa l'interfaccia, ma cambia direzione di propagazione rimanendo nel mezzo da cui è venuta. In generale l'onda incidente viene in parte assorbita ed in parte riflessa. La frazione di energia riflessa si chiama coefficiente di riflessione.

La legge di riflessione è particolarmente semplice: l'angolo di incidenza dell'onda sulla superficie di separazione dei due mezzi è uguale all'angolo di riflessione, si scrive quindi:

ri θθ =dove iθ è l'angolo di incidenza misurato rispetto alla normale n alla superficie di separazione e rθ è l'angolo di riflessione misurato ancora rispetto alla retta n .

La maggior parte degli oggetti non si comporta come una superficie liscia, ma in presenza di un raggio incidente, lo riflette in diverse direzioni (si veda il terzo schema




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di figura 15). Tale fenomeno prende il nome di riflessione diffusa.

Figura 15 - Nelle prime due figure è rappresentata una riflessione speculare di un'onda (ad esempio un'onda luminosa) su una superficie levigata, nella terza figura è rappresentata una riflessione diffusa dell'onda che incide su una superficie scabra.

La riflessione diffusa gioca un ruolo determinante nel fatto che si possano vedere anche oggetti non luminosi, cioè oggetti che non emettono autonomamente radiazione luminosa. I nostri occhi vengono colpiti dalla radiazione diffusa dai corpi, la composizione spettrale della radiazione diffusa determina il colore dei corpi.

Il criterio per stabilire se una data interfaccia rifletterà in modo speculare o diffuso è quello di analizzare la scabrezza della superficie: se la profondità media delle irregolarità della superficie è molto minore della lunghezza d'onda della luce incidente si avrà riflessione speculare, diversamente si avrà riflessione diffusa. È importante notare che questo è un criterio relativo: una superficie che riflette specularmente un'onda di lunghezza d'onda 1λ può riflettere in modo diffuso un'onda di lunghezza d'onda 2λ (con 21 λλ >> ).

Da quanto detto sembra che in modo speculare o diffuso ogni corpo debba riflettere. Quando però le dimensioni dell'ostacolo sono minori della lunghezza d'onda dell'onda incidente, l'ostacolo non è in grado di riflettere in modo significativo l'onda incidente. Quest'ultima, anziché riflettersi, prosegue quasi imperturbata come se non avesse “visto” il corpo.

Tale fenomeno è solo uno dei possibili casi del fenomeno fisico ondulatorio detto diffrazione. La diffrazione può venire intuitivamente letta come una “richiesta di continuità” da parte del fronte d'onda che subisce una discontinuità dal bordo (o dai bordi) di un ostacolo.

La figura 16 simula la diffrazione di un'onda piana attraverso la fenditura: oltre la fenditura il fronte d'onda incidente (fronte piano) è “tagliato” dai due bordi della fenditura. La parte di fronte d'onda contigua a ciascun bordo piega attorno al bordo stesso fornendo così una perturbazione continua. Secondo la chiave di lettura della teoria dell'onda di bordo è come se l'ostacolo diventasse una sorgente (fittizia) di un'onda a simmetria cilindrica (con asse lungo il bordo della fenditura, quindi ortogonale al foglio) che si sovrappone tanto all'onda trasmessa secondo le leggi dell'ottica geometrica e, ovviamente, all'altra onda di bordo.



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Figura 16 - Diffrazione di un'onda piana attraverso una fenditura di ampiezza pari a quattro volte la lunghezza d'onda (a sinistra) e diffrazione di un'onda piana che incide su di un oggetto di dimensioni maggiori della lunghezza d'onda dell'onda incidente (a destra).

La rifrazione è il cambiamento di direzione che un'onda subisce a causa del cambiamento di densità del mezzo e della velocità di propagazione dell'onda nello stesso mezzo materiale attraversato. In un mezzo omogeneo ideale le onde si propagano in linea retta (pensiamo ad esempio alla luce nel vuoto, o al suono in un solido omogeneo); la rifrazione è una deviazione dalla propagazione rettilinea causata dal fatto che le proprietà del mezzo cambiano. Si individua generalmente una superficie di separazione tra mezzi diversi, in corrispondenza di questa interfaccia si ha la coesistenza di fenomeni di riflessione, rifrazione ed eventualmente diffrazione. Nel passaggio dal primo al secondo mezzo la direzione di propagazione dell'onda subisce una variazione tanto maggiore quanto maggiore è la differenza tra alcune caratteristiche meccaniche dei due mezzi. Continuando a ragionare in termini di ottica geometrica (rappresentando cioè le onde con i raggi ortogonali ai fronti d'onda e quindi paralleli alla direzione di propagazione dell'onda), la situazione è ben illustrata dall'immagine 13 dove il raggio incidente proveniente dal mezzo 1 viene in parte riflesso (si osservi che l'angolo di riflessione è uguale all'angolo di incidenza) ed in parte rifratto.

Figura 17 - Schematizzazione della riflessione-rifrazione subita da un'onda rappresentata per mezzo del raggio.




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NB: Per correttezza della trattazione semplificata che stiamo conducendo, bisogna ricordare che è possibile ragionare in termini di raggi solo entro opportune condizioni: in particolare quando la dimensione areale della superficie di separazione ed il suo raggio di curvatura sono molto maggiori della lunghezza d'onda delle onde che vi incidono. Questa condizione è ad esempio facilmente verificata quando la luce visibile incide su oggetti macroscopici, mentre non lo è nel caso delle onde sonore udibili. In quest'ultimo caso, non si può ricorrere alla semplificazione geometrica dei raggi, ma bisogna risolvere completamente l'equazione delle onde, che tiene conto anche dei fenomeni di diffrazione.

Il fenomeno della rifrazione è alla base della spiegazione di un gran numero di fenomeni naturali. Tramite la rifrazione è possibile ad esempio spiegare:

la formazione dell'arcobaleno;

la formazione dei miraggi e di altri singolari fenomeni ottici;

lo spostamento apparente della posizione di un oggetto (si pensi ad una moneta sul fondo della piscina o ad un bastone, parzialmente immerso in un liquido trasparente, che appare “spezzato” in corrispondenza del punto di immersione);

la capacità che hanno certi materiali di trasportare e confinare la luce, come se fossero dei “canali” (fibre ottiche, guide d'onda etc.);

la capacità che hanno certi materiali, sagomati in modo opportuno, di curvare la luce (lenti).

Indagando la variazione di direzione subita dal raggio rifratto (governata da una legge che lega gli angoli di incidenza e rifrazione, detta legge di Snell) è possibile:

ricavare proprietà fisiche del mezzo in cui avviene la rifrazione. Tali proprietà sono riassunte da un indice detto indice di rifrazione;

ricavare informazioni sulla natura dell'onda che viene rifratta. A volte l'indice di rifrazione dipende dalla lunghezza d'onda dell'onda incidente (si dice in questi casi che il mezzo è dispersivo). Se un'onda incidente non è “monocromatica” (cioè è costituita dalla sovrapposizione di onde di diversa lunghezza d'onda) entra in un mezzo dispersivo, le singole componenti verranno deviate secondo angoli diversi. nota l'esperienza in cui Newton dimostrò, facendo passare luce solare attraverso un prisma di quarzo, che la luce solare è composta da luce di diversa lunghezza d'onda (cioè di diversi colori).

La legge che governa la relazione geometrica tra la direzione del raggio incidente e del raggio rifratto, fu ricavata sperimentalmente, nel caso della luce, dall'olandese Willebrod Snell (1591-1626).

Detti iθ e rθ rispettivamente l'angolo di incidenza e l'angolo di rifrazione, la legge di Snell si scrive come:

2,11

2

2

1

sinsin n

nn

vv

r

i ===θθ



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dove 1v e 2v sono le velocità di propagazione nei due mezzi, mentre 2,1n è una costante detta indice di rifrazione relativo del mezzo 2 rispetto al mezzo 1. Essa è tabulata per le varie sostanze (ad una ben precisa lunghezza d'onda) assumendo come mezzo 1 il vuoto, a cui convenzionalmente si attribuisce un valore di indice di rifrazione pari ad uno. Gli indici di rifrazione così tabulati si chiamano indice di rifrazione assoluti e sono quindi numeri puri sempre maggiori di 1.Si osservi che la legge fornisce un'immediata conseguenza matematica:

per rinn θθ >⇒> 12

Completiamo questa parte dedicata alla rifrazione con un esempio. In figura 18 il rettangolo scuro rappresenta la posizione vera della cannuccia appoggiata al bordo del bicchiere. Il rettangolo chiaro rappresenta la posizione apparente della stessa cannuccia come appare ad un osservatore. Si noti che l'estremità (X) sembra essere in (Y), ad una profondità minore.

Figura 18 - Rifrazione della luce in corrispondenza della superficie di separazione aria-acqua.

Approfondimento 4.2.1

Per descrivere la luce nella sua natura fisica non è sufficiente conoscerne la sola direzione di propagazione (i cosiddetti “raggi” dell’ottica geometrica). Se si tiene conto solo di questa variabile le leggi di riflessione e rifrazione possono calcolare la direzione della luce riflessa o rifratta, ma non possono dire nulla su “quanta” o “quale” tipo di luce si riflette o rifrange. Esistono molti fenomeni, come la stessa diffrazione, che mettono in gioco anche la lunghezza d’onda, la composizione spettrale, lo stato di polarizzazione, il grado di coerenza, etc. È chiaro che per misurare tutti questi aspetti e fenomeni è necessario un modello più completo rispetto a quello dell'ottica geometrica, come appunto quello dell’ottica fisica.In questo modello teorico il colore, così come appare ai nostri occhi, è in stretta relazione con altre variabili come lo spettro della sorgente (le diverse lunghezze d'onda di cui è composta una luce naturale e anche la maggior parte delle luci artificiali), l’interazione con i mezzi e i materiali, e la sensibilità spettrale dei fotoricettori (per quel che riguarda l'essere umano ci si riferisce ovviamente alla retina e al sistema visivo più in generale). In altre parole, il colore non è una proprietà della materia ma della luce in tutto il suo percorso dalla sorgente al rivelatore.




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Qualche esempio può rendere più chiara la spiegazione. Si dice sempre che la neve “è bianca” (anzi, non lo si dice nemmeno: appare talmente ovvio), ma se la si illumina con un fascio di luce verde la neve è verde. Se poi se ne prende un po’ e la si mette in una stanza buia, la neve non è più né bianca né verde. La neve è un semplice diffusore della luce; il colore che ci appare è quello determinato dallo spettro della sorgente che la illumina e dalla sensibilità spettrale dei ricettori del nostro occhio. Se fosse uno specchio, la neve restituirebbe interamente lo spettro sorgente, mentre in realtà ne trattiene un piccola parte, ma in pressochè egual misura su tutte le lunghezze d'onda, senza quindi alterare il colore originario della luce che la colpisce.

Un secondo esempio: da dove viene il colore cangiante delle bolle di sapone? Anche questo dipende dalla luce che le illumina: in questo caso ci troviamo di fronte a un fenomeno di interferenza. La superficie della bolla riceve una certa quantità di luce, composta da una serie di lunghezze d'onda, e la riflette, sopprimendone però alcune componenti spettrali.

Se torniamo per un attimo alle leggi dell'ottica geometrica, possiamo renderci conto che in questo caso la luce viene riflessa nella stessa direzione che avrebbe avuto se la superficie della bolla fosse stata uno specchio perfetto. Quello che invece cambia è la composizione spettrale della luce riflessa.

Un altro fenomeno è l’assorbimento, che produce un effetto analogo al precedente. Prendiamo per esempio il caso di uno specchio dorato illuminato con un fascio di luce bianca: esso riflette luce gialla, perché la superficie tende ad assorbire tutte le lunghezze d'onda tranne quelle che noi percepiamo come colore giallo. Questa componente spettrale è l'unica che riesce a sfuggire dalla superficie dello specchio e a colpire il nostro sistema visivo, determinando la percezione del colore specifico.Concludendo, la riflessione non è incompatibile con fenomeni quali l’interferenza e l’assorbimento. Il fatto che un oggetto possa essere reso lucido fa sì che rifletta la luce, alterandone però in generale lo spettro come faceva prima di essere lucidato. In tal caso si vedrà la riflessione della sorgente primaria, con il colore che ne risulta.Il colore degli oggetti, inteso come detto più sopra, non è perduto ma resta codificato dalla riflettanza spettrale (la capacità di una superficie di trattenere selettivamente solo alcune lunghezze d'onda).

Il problema, a questo punto, diventerebbepo “vedere” gli oggetti stessi: privi di microrugosità ma lucidi a specchio non permettono la localizzazione della loro superficie, come lo specchio del bagno quando è perfettamente pulito: non lo si vede proprio. (Giuseppe Molesini; Istituto Nazionale di Ottica Applicata (INOA), Firenze )

La formazione della percezione del colore avviene in tre fasi:

1. Nella prima fase una sorgente luminosa emette un flusso di fotoni di diversa frequenza. Questo flusso di fotoni può:

arrivare direttamente all'occhio;



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essere riflesso da un corpo che ne assorbe alcuni e ne riflette altri;

essere trasmesso da un corpo trasparente che ne assorbe alcuni e ne riflette altri.

In ogni caso i fotoni che giungono all'occhio costituiscono lo stimolo di colore. Ogni singolo fotone attraversa la cornea, l'umore acqueo, la pupilla, il cristallino, l'umore vitreo e raggiunge uno dei fotorecettori della retina (un bastoncello, oppure un cono L, un cono M o un cono S) dal quale può essere o non essere assorbito. La probabilità che un tipo di fotorecettore assorba un fotone dipende dal tipo di fotorecettore e dalla frequenza del fotone.

Come risultato dell'assorbimento ogni fotorecettore genera un segnale elettrico in modulazione di ampiezza (AM), proporzionale al numero di fotoni assorbiti. Gli esperimenti mostrano che i segnali generati dai tre coni L, M e S sono direttamente collegati con la sensazione di colore, e sono detti segnali di tristimolo.

2. Nella seconda fase i segnali di tristimolo vengono elaborati e compressi con modalità non ancora completamente note. Questa elaborazione avviene nella altre cellule della retina (cellule orizzontali, bipolari e gangliari) e termina con la generazione di altri tre segnali elettrici, questa volta in modulazione di frequenza (FM), che sono chiamati segnali opponenti e vengono trasmessi al cervello lungo il nervo ottico.

3. Nella terza fase i segnali chimici opponenti che lungo i due nervi ottici raggiungono il cervello, arrivano nei cosiddetti corpi genicolati laterali, che costituiscono una stazione intermedia per i segnali, che da qui vengono proiettati in apposite aree della corteccia visiva, dove nasce la percezione del colore.

Indagare la materia con le onde 4.3

Dopo aver introdotto i concetti essenziali della teoria delle onde, ci si potrebbe chiedere perché ci stiamo interessando di onde. La risposta è data dal fatto che se le modalità di propagazione di un'onda in un mezzo sono note, allora l'onda stessa diviene un potente strumento di indagine delle proprietà di quel mezzo. Per fare degli esempi si può ricordare che:

misurare le proprietà delle onde sismiche quali ampiezza, direzione di oscillazione, tempi di arrivo al sismografo, non solo indica dove si trovano l'epicentro e l'ipocentro di un terremoto, ma ha fornito preziose informazioni riguardo alla struttura interna della terra e permette di studiare le caratteristiche meccaniche dei terreni attraverso i quali le onde si propagano;

la maggior parte delle proprietà della materia a livello molecolare o atomico sono misurate irraggiando un campione con onde (in genere elettromagnetiche




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come luce visibile, ultravioletta, raggi X, raggi γ , ma anche con fasci di

elettroni o neutroni), ed osservando la reazione del campione;

lo stesso principio sta alla base di molte delle moderne tecniche diagnostiche in medicina: i raggi X (radiografia) o gli ultrasuoni (ecografia) sono utilizzati per “vedere” parti del corpo che non sono visibili dall'esterno con la normale luce visibile.

Le onde trasportano energia e quantità di moto (definita come il prodotto velocitàmassa× ); si parla in tal caso di energia radiante, o radiazione. L'energia

trasmessa può diventare informazione, e le onde divengono il più efficace e rapido mezzo di comunicazione. Tra i vari possibili esempi ricordiamo:

le onde si prestano a veicolare un'informazione attraverso una modulazione delle loro proprietà. Infatti, ad esempio, nelle comunicazioni radio si distinguono comunicazioni in modulazione di ampiezza (AM), di frequenza (FM) e di fase (PM);

le onde sonore sono il mezzo naturale della comunicazione vocale, mentre le onde elettromagnetiche sono il principale mezzo di comunicazione a distanza del nostro pianeta. Gran parte della scienza delle telecomunicazioni è stata dedicata al problema di come generare segnali adatti alla trasmissione dei diversi tipi di informazioni, e trasmetterli alla massima distanza possibile minimizzando al contempo il rumore nel canale di trasmissione. Buona parte dell'elettronica analogica e digitale si occupa della generazione, del condizionamento, della trasmissione e della ricezione del segnale.



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Imaging biomedico 5.

Con il termine imaging biomedico (o anche diagnostica per immagini) si fa generico riferimento alle tecniche che rendono possibile l'osservazione e lo studio di un'area, non visibile dall'esterno, di un organismo vivente. Le attuali tecniche di imaging biomedico permettono di ottenere una descrizione tridimensionale accurata della morfologia o della funzione in–vivo di un organo o distretto di interesse. A partire ad esempio dalle immagini tomografiche2 è possibile creare modelli d’organo, personalizzati al paziente, per la simulazione di condizioni biomeccaniche o fluidodinamiche fisiologiche o patologiche in vivo, utili a scopo sia diagnostico che interventistico.

Nell'ambito di questo corso prenderemo in considerazione una tra le più note tecniche di imaging biomedico, cioè l'ecografia.

L'ecografia o ecotomografia è un sistema di indagine diagnostica medica che non utilizza radiazioni ionizzanti, ma ultrasuoni. Essa si basa sul principio dell'emissione di eco3 e della trasmissione delle onde ultrasonore. Questa tecnica è utilizzata abitualmente in ambito internistico, chirurgico e radiologico. Oggi infatti tale metodica viene annoverata tra gli esami “di base” o “di filtro” rispetto a tecniche di imaging più complesse come TAC (tomografia assiale computerizzata), risonanza magnetica e PET (tomografia ad emissione di positroni). L'ecografia richiede particolari doti di manualità, capacità di osservazione e interpretazione dell'immagine ecografica, oltre ovviamente ad una buona esperienza clinica.Gli ultrasuoni utilizzati sono compresi tra 1 e 20 MHz. La frequenza è scelta tenendo in considerazione che frequenze maggiori

2 In medicina la tomografia è una tecnica radiologica in cui l'organo in esame viene esplorato trasversalmente, a varie profondità, da un sottilissimo fascio di raggi X la cui quantità residua è valutata da rivelatori ad alta sensibilità collegati con un elaboratore elettronico che ricostruisce la mappa dettagliata delle singole sezioni esplorate; ne risulta una serie di fotografie che permettono l'identificazione di piccole lesioni non apprezzabili con la radiologia comune. 3 In fisica acustica l'eco è un fenomeno prodotto dalla riflessione di onde sonore contro un ostacolo che le riflette per poi essere nuovamente “percepite” dall'emettitore più o meno immutate e con un certo ritardo rispetto al suono diretto. Tale ritardo non dev'essere inferiore ad 1/10 di secondo; al di sotto di tale valore non si può più parlare di eco ma di riverbero. Un tipico esempio di riverbero è quello prodotto in una stanza dalla riflessione di onde sonore sulle pareti perimetrali (per questo si utilizzano spesso materiali fonoassorbenti, in particolare nelle sale di registrazione). In termini più generali, l'eco può essere definita come un'onda che viene riflessa da una discontinuità nel mezzo di propagazione, e che ritorna con una intensità e ritardo sufficiente per essere percepita; può essere “utile” (come nei sonar) o “indesiderata” (come nei sistemi telefonici).La condizione fondamentale affinché il suono si propaghi è la presenza di un mezzo di propagazione che può essere gassoso, liquido o solido. Maggiore è la densità del mezzo di propagazione e maggiore sarà la velocità del suono: nell'aria a 20°C, il suono si propaga ad una velocità di circa 340 m/secondo, nell'acqua o attraverso un mezzo solido ancora più velocemente (questa è la ragione per la quale i nativi americani, per verificare se arrivavano i cavalli dei nemici, mettevano l'orecchio sul terreno, dato che il suono arriva prima attraverso il terreno che non attraverso l'aria). Come conseguenza si ha che nel vuoto non c’è propagazione di suono, ma silenzio assoluto.




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hanno maggior potere risolutivo (permettendo quindi di ottenere immagini più nitide e di individuare “oggetti” più piccoli, poichè la lunghezza d'onda è minore), ma penetrano meno in profondità nel soggetto poiché sono soggette a maggiori effetti dissipativi (cioè, nel corso della propagazione, l'onda vede diminuire più rapidamente la sua energia, fino al limite ad annullarsi). Per lo studio degli organi addominali si utilizzano di solito frequenze di lavoro comprese tra 3 e 5 MHz, mentre frequenze più alte, maggiori di 7,5 MHz, a maggiore capacità risolutiva, vengono utilizzate per la valutazione dei tessuti superficiali. Queste onde longitudinali (di pressione) sono generate da un cristallo piezoceramico inserito in una sonda mantenuta a diretto contatto con la pelle del paziente con l'interposizione di un apposito gel (che elimina l'aria interposta tra sonda e cute del paziente permettendo agli ultrasuoni di penetrare nel segmento anatomico esaminato). La stessa sonda che genera gli ultrasuoni è in grado di raccogliere il segnale di ritorno (gli ultrasuoni riflessi), che viene opportunamente elaborato e mostrato su un monitor.

Nota: la piezoelettricità è una proprietà che esiste in molti materiali, i quali, sottoposti a forze meccaniche, sviluppano cariche elettriche sulla loro superficie (effetto piezoelettrico diretto) e, viceversa, sottoposti ad un campo elettrico, esibiscono una deformazione meccanica (effetto piezoelettrico inverso). La prima seria applicazione della piezoelettricità è stata realizzata durante la prima guerra mondiale da Langevin, che costruì la prima sorgente ultrasonora subacquea (sonar) consistente in elementi piezoelettrici di quarzo interposti fra piastre d’acciaio. Il controllo della frequenza del cristallo divenne essenziale per la crescente industria di radiodiffusione e radio comunicazione. Nella vita quotidiana vediamo ad esempio l'utilizzo dei piezoelettrici negli accendini, in cui una leva applica una pressione ad un piezoelettrico, inducendo così un campo elettrico che è abbastanza forte da generare una scintilla (effetto arco).

Figura 19 - Nella figura in alto è schematizzato l'effetto piezoelettrico diretto: un input meccanico (forza o vibrazione) produce una tensione elettrica come output. Nella figura in basso è schematizzato l'effetto piezoelettrico inverso: un input elettrico (tensione) produce una deformazione in output.



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Quando l'onda raggiunge un punto di variazione dell'impedenza acustica4, può essere riflessa, rifratta, diffusa, attenuata. La percentuale riflessa porta informazioni sulla differenza di impedenza tra i due tessuti ed è pari a:

221

221

)()(

ZZZZR

+−

=

Vista la grande differenza di impedenza tra il materiale che costituisce la parte esterna delle ossa ed i materiali che costituiscono i tessuti, il segnale è completamente riflesso in corrispondenza della superficie di separazione tessuto-osso, quindi con l'ecografia è possibile vedere la sola superficie delle ossa e non è possibile invece vedere all'interno delle stesse (sul monitor comparirà un'area chiara) e le zone retrostanti. I gas producono invece alto assorbimento e comparsa sullo schermo di un'area di colore scuro, per questo gli organi quali i polmoni, lo stomaco e l'intestino non si prestano ad essere studiati con la tecnica ecografica.Il tempo impiegato dall'onda per percorrere il percorso di andata, essere riflessa e riemergere in superficie viene misurato dal computer, che calcola così la profondità da cui è giunta l'eco e quindi la profondità dell'interfaccia che ha riflesso l'onda. Gli echi ricevuti dalla sonda hanno un'ampiezza ridotta rispetto all'eco emesso (il segnale originario). La tensione generata dal cristallo a seguito dell'eco di ritorno (effetto piezoelettrico diretto) è molto bassa, deve essere quindi amplificata prima di essere inviata ai sistemi di elaborazione e quindi di presentazione. A causa dell'attenuazione degli ultrasuoni nel tessuto umano ( )MHzcmdB ⋅/1 gli echi provenienti da strutture distali saranno di minor ampiezza rispetto a quelli provenienti da strutture simili ma prossime alla sonda. Per compensare ciò è necessario amplificare maggiormente gli echi lontani rispetto a quelli più vicini. Ciò viene ottenuto utilizzando un amplificatore, con il fattore di amplificazione che aumenta in funzione del tempo (T.G.C. Time Gain Compensation), cioè in funzione della profondità di penetrazione.

Per studiare la situazione anatomica e funzionale dei vasi sanguigni, arteriosi e venosi, del cuore etc. in tempo reale ed in maniera contemporanea si utilizza l'ecografia doppler o più semplicemente ecodoppler. Quando un'onda è riflessa su una superficie in movimento, essa modifica la propria frequenza in funzione della velocità di spostamento della superficie che la riflette (effetto doppler).

4 Il suono è caratterizzato dalla propagazione di onde di pressione in un mezzo elastico dovute alla rapida successione di compressioni ed espansioni del mezzo stesso. Affinché il fenomeno nasca e si propaghi è necessaria la presenza di una sorgente sonora e di un mezzo elastico che ne consenta la propagazione e proprio per quest’ultimo motivo, come già detto, il suono non può diffondersi nel vuoto. Si definisce impedenza acustica specifica, in un punto, il rapporto tra la pressione acustica e la velocità delle particelle; essa quantifica la resistenza che il mezzo oppone alla propagazione dell’onda di pressione del suono. In presenza di propagazione di onde piane nell’aria (o qualsiasi onda in campo lontano) l’espressione dell’impedenza si riduce a cz ⋅= ρ , dove ρ è la densità del mezzo e c è la velocità del suono in funzione della temperatura, calcolabile con la seguente espressione:

Tc ⋅+≅ 6.06.331 con T in C°valida per temperature che vanno da –10°C a 40°C .




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Nota: L'effetto doppler è un cambiamento apparente della frequenza di un'onda percepita da un osservatore che si trova in movimento rispetto alla sorgente che produce l'onda stessa. Per quelle onde che si trasmettono in un mezzo, come le onde sonore, la velocità dell'osservatore e dell'emettitore vanno considerate in relazione ad un sistema di coordinate comune. Si parla infatti di velocità relativa sorgente-osservatore, conoscendo rispettivamente la velocità della sorgente e quella dell'osservatore rispetto al mezzo entro il quale l'onda si propaga.Consideriamo il seguente esempio: pensiamo di essere fermi sulla spiaggia e di veder infrangersi le onde sulla battigia con una frequenza di Hz5.0 (un'onda ogni due secondi). Se pensiamo invece di navigare verso il mare aperto andando incontro alle onde, le stesse si infrangeranno sulla prua della barca con frequenza maggiore. Un caso tipico di effetto doppler è la modificazione apparente del suono emesso da una sorgente in movimento (ad esempio il suono emesso dalla sirena di un mezzo di soccorso). La sorgente anche in questo caso emette a frequenza costante, ma l'osservatore percepisce un suono diverso a seconda che la sorgente sia in avvicinamento o in allontanamento.

Figura 20 - Effetto doppler con sorgente in movimento.

Se una sorgente in movimento emette onde a frequenza 0f allora un osservatore stazionario (solidale al mezzo attraverso il quale le onde sono trasmesse) percepirà le stesse onde con una frequenza f data da:

rsvvvff

,0 −

=

dove v è la velocità di propagazione delle onde nel mezzo e rsv , è la velocità della sorgente rispetto al mezzo (considerando come unica direzione del moto quella che unisce sorgente ed osservatore, con rsv , positiva se in avvicinamento all'osservatore, negativa se nel verso opposto).Un'analisi simile, per un osservatore in movimento ed una sorgente stazionaria (solidale al mezzo di propagazione), fornisce la frequenza osservata (la velocità dell'osservatore è indicata come 0v ):

+=

vv

ff 00 1

Il computer dell'ecografo, conoscendo la differenza di frequenza tra onde prodotte dal cristallo ed onde riflesse, può calcolare la velocità di spostamento dell'interfaccia su



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cui le onde si sono riflesse. La profondità dell'interfaccia (distanza sonda-superficie riflettente) è calcolata invece a partire dal tempo impiegato per arrivare alla superficie riflettente e riemergere in corrispondenza della sonda. L'informazione della velocità è presentata a monitor con codifica a colori (normalmente rosso e blu) a seconda se si tratti di velocità in avvicinamento o in allontanamento. L'intensità del colore è invece legata alla frequenza dell'onda di ritorno (maggior frequenza corrisponde a maggior velocità in avvicinamento).Nella modalità doppler, il sistema fornisce normalmente anche un segnale udibile che simula il flusso del sangue. Si tratta comunque di un segnale virtuale che non esiste ed è utilizzato solo per supportare l'analisi delle immagini che appaiono sul monitor dell'ecografo.

Con l'utilizzo dell'ecografia, attraverso immagini B-mode5, si studia la morfologia delle pareti, la loro motilità etc., mentre con il doppler pulsato si valuta, attraverso l'analisi spettrale e il grado di purezza del suono, la situazione emodinamica del flusso sanguigno in quel determinato punto e quindi si possono quantificare i vari gradi di stenosi6, distinguendo le stenosi emodinamicamente significative da quelle non emodinamicamente significative.

Approfondimento 5.0.1

L’intensità di eco può essere rappresentata con due diverse metodiche. Si possono rappresentare gli echi come deflessioni su di un asse verticale e quindi maggiore è l’intensità dell’eco, maggiore è l’ampiezza del picco (deflessione). Si parla in questo primo di A (amplitude) mode. In alternativa alla prima modalità si rappresentano gli echi tramite punti luminosi, la cui intensità è proporzionale agli echi stessi. In questo secondo metodo maggiore è l’intensità dell’eco, maggiore sarà l’intensità luminosa. Si parla quindi di B (brightness) mode.

L’ecografia può essere eseguita in tre diverse modalità:

A-Mode (Amplitude Mode, cioè in modulazione di ampiezza). un metodo attualmente superato dal B-Mode. Con la A-mode, ogni eco viene presentato come una deflessione della linea di base (che esprime il tempo necessario all’onda riflessa per ritornare al sistema ricevente, direttamente proporzionale alla distanza tra l’interfaccia che ha provocato la riflessione e la sonda). La deflessione è un “picco” la cui ampiezza corrisponde all’intensità del segnale che lo ha generato. il modo più semplice di rappresentare il segnale ecografico ed è di tipo monodimensionale. Essa dà informazioni sulla sola natura della struttura

5 Nel B-mode ogni eco (intendendo l'onda di ritorno alla sonda) viene presentata come un punto luminoso la cui tonalità di grigio è proporzionale all'intensità dell'eco, cioè al livello di energia dell'onda di ritorno. 6 Per stenòsi (o, alla greca, stènosi) si intende una condizione patologica consistente nel restringimento di un orifizio, di un dotto, di un vaso sanguigno o di un organo cavo, tale da ostacolare o impedire il normale passaggio delle sostanze che fisiologicamente passano attraverso di essi.




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in esame (liquido o solido). La A-mode è ancora usata, ma solo in oculistica ed in neurologia.

TM-Mode (Time Motion Mode). In essa il dato A-mode (o eventualmente il B-mode) viene arricchito dal dato dinamico. Si ottiene un immagine bidimensionale in cui ogni eco è rappresentato da un punto luminoso. I punti si spostano orizzontalmente in relazione ai movimenti delle strutture. Se le interfacce sono ferme, anche i punti luminosi rimarranno fermi. simile all’A-mode, con la sola differenza che il segnale viene acquisito ad intervalli di tempo sufficientemente brevi per riprodurre il movimento dell’interfaccia. Questa metodica è tuttora usata in cardiologia, soprattutto per le dimostrazioni della cinetica valvolare.

B-Mode (Brightness Mode o modulazione di luminosità). Si tratta di una classica immagine ecotomografica (cioè di una sezione ottenuta con la tecnica ecografica) della rappresentazione su monitor degli echi provenienti dalle strutture in esame. L’immagine viene costruita convertendo le onde riflesse in segnali la cui luminosità (tonalità di grigio) è proporzionale all’intensità dell’eco. I rapporti spaziali fra i vari echi “costruiscono” sullo schermo l’immagine della sezione dell’organo in esame. Questa modalità offre quindi immagini bidimensionali.

L’introduzione della scala dei grigi (diverse tonalità di grigio per rappresentare echi di diversa ampiezza) ha maggiormente migliorato la qualità dell’immagine ecografia. Così tutte le strutture corporee vengono rappresentate con toni che vanno dal nero al bianco. I punti bianchi stanno a significare la presenza di un’ immagine chiamata iperecogena (per esempio un calcolo), mentre i punti neri di un’ immagine ipoecogena (per esempio i liquidi e i gas).

In base alla tecnica di scansione, l’ecografia B-mode può essere statica (o manuale) o dinamica (real-time). Con gli ecografi real-time l’immagine viene costantemente ricostruita (almeno 16 scansioni complete al secondo) in fase dinamica, fornendo una rappresentazione continua in tempo reale.

La fisica dell’ ecografia 5.1

L’ecografo utilizza una tecnica eco-pulsata simile alla metodologia usata nel radar o nel sonar. Un impulso di ultrasuoni viene emesso dal trasmettitore. L’impulso si muove attraverso il mezzo e gli oggetti che si trovano nel mezzo riflettono parte dell’energia verso il trasmettitore poiché l’oggetto colpito dall’onda inizierà anche lui ad oscillare alla frequenza con cui è sollecitato. Il tempo utilizzato dall’eco per tornare al ricevitore è una misura della distanza dell’oggetto. L’ultrasuono che incide sull’interfaccia tra due differenti tessuti produce un segnale di ritorno se l’impedenza acustica dei due tessuti è differente. Il coefficiente di riflessione dell'interfaccia abbiamo visto essere pari a ( ) ( )2

212

21 / ZZZZ +− , dove 1Z e 2Z sono le impedenze acustiche del mezzo.



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Se la velocità di propagazione dell’ onda nel mezzo è conosciuta (o comunque può essere stimata con buona approssimazione), allora i tempi fra l'invio e la ricezione del segnale possono essere trasformati in distanze dal trasduttore, a patto che la posizione e l’orientamento del trasduttore e del ricevitore siano conosciute e gli echi siano di intensità adeguata alla rilevazione (sufficientemente energetici). Può essere così costruita una mappa bidimensionale, una sorta di immagine delle strutture all’interno del corpo (tecnica B-mode).

Se la velocità del suono nel mezzo è [ ]smv / e il tempo trascorso dall’emissione dell’impulso al ritorno dell’eco è [ ]st , la distanza [ ]md sarà:

2tvd ⋅=

La frequenza ultrasonora può essere alterata quando è riflessa da strutture in movimento per effetto doppler. Per questa tecnica di imaging sono richieste alte frequenze poiché la risoluzione raggiungibile dipende dalla lunghezza d’onda dell’ ultrasuono (λ ) e λ decresce con l’aumento della frequenza ( f ). Si ricorda che la relazione tra lunghezza d’onda, velocità di propagazione ( v ) e frequenza è:

fv=λ

La velocità del suono in acqua, alle frequenze di interesse per l’imaging (dato che l'acqua è un mezzo dispersivo e quindi la velocità di propagazione di un'onda dipende dalla lunghezza d'onda dell'onda stessa), è di circa 1500m/s. La tabella che segue mostra alcuni valori di velocità in determinati materiali, per le onde ultrasonore (onde longitudinali) alle frequenze di interesse per l’imaging:

Mezzo di propagazione Velocità del suono nel

mezzo [ ]sm /

Aria a 0 °C 332

Aria a 20 °C 344

Acqua a 20 °C 1.480

Tessuto molle 1.540

Muscolo 1.580

Osso 4.080

Alluminio 6.260

Ferro 5.850

Figura 21 - Velocità di propagazione in diversi mezzi, per onde longitudinali di frequenza compresa tra 1 e 10 MHz.

Alla frequenza di MHz1 la lunghezza d’onda in acqua è di mm5.1 . Oggetti più piccoli di questa dimensione non vengono rilevati (l'onda passa oltre l'oggetto senza subire




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significativi fenomeni di riflessione e rifrazione). Per avere una migliore risoluzione bisogna aumentare la frequenza. Il tessuto vivente, come si vede nella tabella di figura 21, escluso l’osso, ha velocità di propagazione delle onde molto simile a quella dell’acqua che, come è noto, ne è il principale costituente.Aumentare la frequenza per migliorare la risoluzione è un processo che non è illimitato: in pratica alle alte frequenze l’assorbimento dell’ energia delle onde sonore da parte dei tessuti limita la penetrazione che può essere raggiunta. La velocità del suono nei tessuti è abbastanza costante, ad esclusione dell’osso, ma la velocità presenta comunque variazioni da tessuto a tessuto, come si evidenzia nella precedente tabella. Una velocità costante è necessaria per l’imaging poiché il calcolo della distanza tra un oggetto riflettente ed il sensore-generatore (il cristallo piezoelettrico) si basa sull’assunzione che la velocità sia conosciuta.L’interazione degli ultrasuoni con il corpo è complessa. I più importanti effetti rilevati sono: la riflessione, la rifrazione, l’assorbimento, l’attenuazione e lo scattering (diffusione). Inoltre il movimento di strutture dentro il fascio provoca lo “spostamento” di frequenza (l’effetto doppler con rilevazione di frequenze apparenti).La velocità di propagazione dipende dalla densità e compressibilità del materiale. La velocità v dell’ultrasuono nei solidi è più alta nei materiali più duri, infatti:

ρEv =

dove E è il modulo di elasticità o di Young7 (misurato in [ ]mN / ) e ρ è la densità (misurata in [ ]3/mkg ).

Gli ultrasuoni si propagano come onde nel mezzo e quindi subiscono rifrazione e riflessione all’interfaccia di due differenti mezzi. La proprietà che determina quanto questi fenomeni si verificano è chiamata impedenza acustica ( )Z e viene così espressa:

vZ ⋅= ρLa frazione di energia riflessa da un'interfaccia fra due materiali, con impedenze acustiche dei materiali 1Z e 2Z , vale:

( )( )

=+−

= 221

221

ZZZZR potenza riflessa / potenza incidente

La frazione di energia trasmessa vale:

( )=

+⋅⋅

= 221

214ZZZZT potenza trasmessa / potenza incidente

Ad esempio nel passaggio da aria a 25 °C ( ]/[412 21 msNZ ⋅= ) ad acqua

( ]/[105.1 262 msNZ ⋅⋅= ) si ha 3101.1 ⋅=T . Per due tessuti molli, o tessuto molle e acqua,

7 Il modulo di Young esprime il rapporto tra tensione applicata (una forza, misurata quindi in Newton [N]) ed il corrispondente allungamento provocato nel materiale (misurato dimensionalmente come una lunghezza [m]).



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la frazione di energia riflessa è piccola e la maggior parte dell’energia continua a viaggiare attraverso l’interfaccia dei due materiali. Questo è importante poiché significa che si possono vedere delle riflessioni lontane dal trasmettitore. L’onda sonora a queste frequenze potrebbe benissimo viaggiare nell’osso. Però nel caso di interfaccia fra i tessuti e il tessuto osseo, poiché l’onda sonora proviene inevitabilmente dal tessuto molle, gran parte dell’ energia viene riflessa data la grande differenza di impedenza. Così l’osso diviene una barriera insormontabile per gli ultrasuoni. Per l’interfaccia fra tessuto molle ed aria la frazione energia riflessa è ugualmente alta ed è quindi praticamente impossibile attraversare una cavità d’aria, inoltre in materiali compressibili come i gas le onde subiscono forti attenuazioni (vedono la loro energia diminuire velocemente).

L’ultrasuono è trasmesso dal trasduttore posto sulla superficie del corpo. Inevitabilmente ci sarà un intervallo di aria fra la superficie frontale del trasmettitore e la pelle e questa normalmente impedisce all’ultrasuono di entrare facilmente nei tessuti. Il processo del miglioramento della trasmissione, usando materiali di impedenza simile al tessuto, viene chiamato adattamento di impedenza e questo adattamento si realizza spalmando un gel sulla pelle del paziente dove il trasmettitore viene appoggiato. Per mostrare come questi principi fisici trovano applicazione si può fare un esempio. Se un impulso ultrasonoro viene trasmesso alla pelle, attraversa i tessuti molli, arriva al muscolo e il suo eco arriva 20 µs (la lettera µ - mu - qui indica il suffisso micro, cioè 10-6) dopo: quanto “forte” è l’eco e quanto è distante il muscolo?

Dalle equazioni sopra scritte, utilizzando i valori di impedenza acustica in letteratura per il tessuto molle ed il muscolo, si ha R=0.021(2.1%) e se si considera la velocità nel tessuto molle pari a 1540 m/s, il muscolo disterà allora 1,54 cm dal trasduttore.

In questo esempio si è assunto che l’interfaccia tra i tessuti sia piana ed omogenea e che l’ultrasuono riflesso torni tutto al ricevitore. Questo però è un'ipotesi non veritiera, infatti l'onda ultrasonora è soggetta a rifrazione seguendo anch'essa le leggi di Snell, che per un interfaccia tra tessuti molli danno un angolo di rifrazione di circa 2°,tollerabile per essere captato come segnale di ritorno dalla sonda. Nel caso invece di interfaccia tessuto-osso, il segnale subisce una rifrazione con angolo di molto superiore ai 2°, in questo modo il segnale riemerge distante dal punto in cui è stato generato dalla sonda ecografica ed è quindi impossibile che la sonda stessa lo possa rilevare al suo ritorno in superficie. Quindi non è possibile indagare l'interno dell'osso solamente perchè gran parte del segnale è riflesso in corrispondenza della superficie dell'osso, ma anche perchè il segnale che attraversa l'osso riemerge in superficie distante dalla sonda e quindi non è rilevabile.

Vi è inoltre il problema dello scattering, in quanto le superfici colpite dagli ultrasuoni non sono piane e quindi seguendo le leggi di Snell riflettono con un angolo uguale e simmetrico rispetto alla normale alla superficie. Ciò può comportare una dispersione




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del segnale con solo una limitata frazione del segnale che torna alla sonda. Inoltre, come già citato, vi è un assorbimento da parte del tessuto stesso dell’energia ultrasonora che si trasforma principalmente in calore, dato che l’ultrasuono è trasmesso attraverso il tessuto come una vibrazione meccanica.

Se il livello di potenza è sufficientemente alto si può avere un danno meccanico sotto forma di effetto termico e creazione di cavità. Un moderno sistema doppler con una erogazione continua di potenza cede circa 0.5 mW/mm2 (milli Watt per unità di superficie, corrispondente ad una misura di potenza ceduta per unità di superficie) al tessuto. Gli ecografi oggi in uso hanno potenze ben inferiori ai valori biologicamente dannosi e comunque particolare attenzione va dedicata nel caso l'ecografia sia fatta per controllo della gravidanza in quanto il feto ha un delicato sistema uditivo.

La perdita del segnale provocato dalla riflessione su superfici curve (lo scattering) el’assorbimento nell'attraversamento dei tessuti riducono la “forza” del segnale da analizzare una volta riemerso in superficie. L’eco ricevuto da una tipica scansione dell’addome è di 70 dB inferiore al segnale trasmesso ed il segnale ricevuto da un flusso di sangue (i globuli rossi hanno alto scattering) è 100÷120 dB inferiore al segnale trasmesso. Questi effetti si sommano provocando l’attenuazione del fascio.L’attenuazione segue una legge esponenziale, l'intensità del fascio alla profondità x è data da:

xeIxI α−⋅= 0)(dove α è il coefficiente di attenuazione [m-1], dovuto in gran parte all’assorbimento e allo scattering. I0 è l’intensità del segnale non attenuato. Il coefficiente di attenuazione è una funzione della frequenza, la relazione tra α e l’attenuazione µ[dB/m] è complicata e può essere approssimata dalla formula αµ ⋅= 3.4 .

L’impulso ultrasonoro contiene un range di frequenze. L’ impulso si propaga nei tessuti e le differenti frequenze vengono differentemente attenuate. necessario compensare con l’amplificazione del segnale con la crescita della distanza percorsa dall'onda (in funzione quindi del tempo che l'onda impiega a riemergere in superficie per essere rilevata dalla sonda). Il ricevitore amplifica il segnale ricevuto dall’eco in maniera esponenziale rispetto al tempo passato dall’emissione dell’impulso stesso. Questo processo è chiamato TGC (Time Gain Compensation) ed è illustrato nella seguente figura 22.



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Figura 22 - Legge lineare di attenuazione del segnale (a sinistra) e legge di amplificazione dell'eco in funzione del tempo impiegato per riemergere.

Ecografia doppler 5.2

Se il raggio di ultrasuoni alla frequenza 0f è riflesso o diffuso all’indietro (back scattering) da un oggetto in movimento con velocità radiale v', allora lo spostamento in frequenza è dato da :

vvff '2 0 ⋅⋅=∆

dove v è la velocità di propagazione del suono nel mezzo e f∆ è positiva (la frequenza apparente è maggiore della frequenza con cui emette la sorgente) se l’oggetto si avvicina. Se il vettore velocità ha un angolo θ con la direzione del raggio, allora 'v è la componente della velocità nella direzione del fascio e risulta pari a

θcos⋅v ( con v modulo della velocità).

Questo spostamento di frequenza può essere estratto dal segnale di ritorno. Il segnale, trasmesso ad una frequenza 0f , ritorna alla frequenza 0ff +∆ . Se moltiplichiamo il segnale trasmesso con quello ricevuto otteniamo:

( ) ( )[ ]ϕππ +⋅+∆⋅⋅⋅⋅ tfftf 00 2cos2cos essendo ϕ lo sfasamento, termine che non dipende dal tempo, possiamo riscrivere l’espressione come:

( )( ) ( )[ ] 2/2cos2cos 0 ϕπϕπ +⋅∆⋅++⋅+∆⋅ tftffIl primo termine indica un segnale a frequenza molto alta e può essere filtrato (cioè eliminato, in questo caso) utilizzando un filtro passa basso, così da isolare il secondo termine in frequenza, generato dall’effetto doppler. Possiamo anche moltiplicare il segnale ricevuto per il seno del segnale trasmesso:

( ) ( )[ ]ϕππ +⋅+∆⋅⋅⋅⋅ tfftfsen 00 2cos2che può essere riscritto come:

( )( ) ( )[ ] 2/2cos22 0 ϕπϕπ +⋅∆⋅++⋅+∆⋅ tftffsen




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Se uno “scatteratore”, nel caso in esame costituito da una cellula sanguigna, si sta muovendo avvicinandosi al trasmettitore allora f∆ sarà positivo, ma se si sta allontanando f∆ sarà negativo. Con la semplice misura del ( )tf ⋅∆⋅π2cos non si riesce a distinguere il segno di f∆ (si ricordi infatti che la funzione coseno è una funzione pari); conoscendo invece ( )tf ⋅∆⋅π2sin si può discriminare il segno di f∆ (si ricordi infatti che la funzione seno è una funzione dispari).

Usando la tecnica impulsiva è possibile determinare i valori della velocità lungo il raggio. Per misurare la frequenza doppler si seleziona, mediante un circuito a porta, l’intervallo di tempo che corrisponde all’intervallo di distanza in cui il fascio dell’ecografo intercetta il flusso sanguigno. Questo intervallo viene campionato ogni Tsecondi, essendo T l’intervallo tra l’emissione di un impulso e il successivo.

Figura 23 - Schema dell'ecografo doppler.

Esiste un limite superiore alle velocità che possono essere misurate. I segnali rilevati, come già detto, vengono campionati ogni T secondi; la teoria del campionamento conferma che le frequenze sopra T2/1 subiscono il fenomeno dell’ aliasing (si tratterà questo argomento nella parte dedicata al campionamento dei segnali) e vengono spostate in basse frequenze. In ogni caso T non può essere più piccolo del tempo richiesto per il ritorno del segnale dalla massima profondità che si vuole visualizzare. Bisogna quindi cercare un compromesso tra l’accuratezza della misura della velocità e la risoluzione.

Esempi applicativi 5.3

Poiché la direzione del flusso è un'informazione disponibile, le immagini ecodoppler vengono rappresentate sul display con il rosso per un flusso verso il trasduttore e con il blu per un flusso che si allontana dal trasduttore. Le turbolenze di solito sono aggiunte come un componente verde dell’immagine. L’informazione cromatica fornisce un’immediata impressione dell’andamento dei flussi all’ interno del vaso e può visualmente identificare le regioni di turbolenza del flusso al suo interno. La velocità del flusso sanguigno può essere determinata solo se si conosce l’angolo di insonazione (cioè l'angolo tra l'asse del fascio di ultrasuoni e la normale alla superficie in



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movimento). La figura 24 sottostante mostra un’immagine di eco-pulsato con effetto doppler della biforcazione della carotide nel collo. Qui è ben illustrato il valore della combinazione dell’immagine anatomica e funzionale (la scala di colori, assente per ovvi motivi nelle fotocopie, fornisce informazioni funzionali poichè permette di studiare il movimento delle superfici e dei fluidi).

Figura 24 - Visualizzazione in ecodoppler della biforcazione a livello della carotide.

La figura 25 rappresenta l’ecografia di un feto. Questa modalità di imaging ha permesso di diagnosticare molte malattie prenatali con largo anticipo senza recare danni al feto con radiazioni ionizzanti o tecniche più invasive.

Figura 25 - Ecografia fetale.




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Introduzione all'analisi spettrale dei segnali 6.

Con il termine analisi spettrale indichiamo un genere di analisi che, applicata ad una generica serie temporale, ci permette di ricavare il cosiddetto spettro, cioè il contenuto in frequenza della serie temporale. L'analisi spettrale non permette solamente di trovare le frequenze presenti all'interno del segnale, ma permette anche di definire l'importanza relativa delle diverse periodicità all'interno di un segnale o, nel nostro caso, di una serie temporale.

Nel paragrafo 4.1 sono state introdotte le basi della teoria delle onde ed in particolare sono state prese in considerazione le onde sinusoidali, descritte dalle funzione armoniche seno e coseno. Vedremo ora che l'oscillazione armonica descritta dalle funzioni sinusoidali è una sorta di oscillazione periodica fondamentale con la quale “costruire” (preciseremo il termine in seguito) tutti i tipi di oscillazioni, periodiche e non.

La costruzione di una qualunque oscillazione complessa a partire dalla sovrapposizione di oscillazioni armoniche semplici costituisce un procedimento detto sintesi. La sintesi viene, ad esempio, largamente utilizzata nella produzione di apparati elettronici capaci di riprodurre il timbro dei vari strumenti musicali o di produrre suoni del tutto artificiali (si pensi alle sonorità, irrealizzabili utilizzando gli usuali strumenti musicali, di certa musica elettronica).

La possibilità di “decomporre” l'oscillazione complessa nelle sue oscillazioni armoniche costituisce il procedimento inverso della sintesi e viene denominato analisi spettrale o analisi di Fourier. Essa offre la base teorica per innumerevoli applicazioni in ambiti scientifici che spaziano dall'economia, alla sismologia, alla medicina etc.

Nella figura che segue viene preso in considerazione un segnale periodico ottenuto dalla sovrapposizione nel dominio del tempo di 3 distinte sinusoidi (figura 26 a sinistra). Nel grafico a destra è disegnato lo spettro in ampiezza che si ottiene come risultato dall'applicazione dell'analisi di Fourier al segnale periodico costituito dalle 3 sinusoidi.

Figura 26 - Grafico nel dominio del tempo (a sinistra) e corrispondente grafico nel dominio delle frequenze (a destra).



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Nella figura sono rappresentati la serie temporale )(ts ed il suo contenuto in frequenza, la funzione )(ts ha equazione:

( ) ( ) ( )tttts ⋅+⋅+⋅⋅= πππ 1200sin800sin400sin3)(

)(ts è costituita dalla sovrapposizione (somma) di tre armoniche di ampiezza 3, 2, 1 e frequenza 200, 400, 600 Hz (ricordando che la frequenza angolare è f⋅= πω 2 )nell'ordine.

In questo esempio è stato considerato un semplice segnale costituito dalla sovrapposizione di tre sole sinusoidi per mostrare come l'analisi di Fourier riesca ad individuare le frequenze che compongono il segnale indagato. Il caso pratico che ci interessa è quello per cui non abbiamo alcuna informazione a priori sulla composizione in frequenza del segnale ed applichiamo Fourier per scoprire il contenuto in frequenza ed in particolare per scoprire quali sono le frequenze principali costituenti il segnale.

Figura 27 - Segnale continuo periodico, suddivisione dello stesso nelle prime tre armoniche che lo compongono e corrispondente spettro di ampiezza discreto (limitato anch’esso alle sole prime tre armoniche)

L'analisi spettrale è anche detta analisi dei segnali nel dominio della frequenza o analisi armonica. I segnali possono essere analizzati sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza (figura 28). L'analisi nel dominio del tempo è quella che ci è




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più familiare in quanto siamo abituati ad analizzare l'evoluzione dei fenomeni considerando come variabile il tempo.

Figura 28 - Segnale continuo aperiodico (a sinistra) e corrispondente spettro di ampiezza continuo ( a destra)

L’analisi in frequenza, o analisi spettrale, si basa invece su una rappresentazione del segnale che non è riferita all'asse dei tempi, bensì all'asse delle frequenze. Questo genere di rappresentazione grafica (in funzione della frequenza) prende il nome di spettro di ampiezza, di fase o di potenza. Nell'ambito del corso verrà generalmente preso in cosiderazione lo spettro di ampiezza, nelle pagine che seguono parlando di “spettro” sarà sottointeso che ci si sta riferendo allo spettro di ampiezza.

Il più semplice spettro possibile è lo spettro di un segnale sinusoidale di frequenza 0f evalore massimo MA . Nell'esempio di figura 26 si è preso in considerazione un segnale composto da 3 sinusoidi a diversa frequenza, il corrispondente spettro evidenziava le 3 frequenze (con le rispettive ampiezze) delle 3 sinusoidi. Nel caso si consideri una sola sinusoide di periodo T ed ampiezza MA , lo spettro corrispondente è una riga verticale posta in corrispondenza del valore Tf /10 = sull'asse delle frequenze. In questo caso l'ampiezza spettrale sarà pari proprio ad MA .

Consideriamo ancora dei segnali periodici, ma questa volta non sinusoidali (figura 29). Lo spettro di un segnale periodico non sinusoidale di periodo T ed ampiezza MA ècostituito da un numero teoricamente infinito di righe poste in corrispondenza delle frequenze 0000 ,...,3,2,/1 nfffTf = , cioè in corrispondenza della frequenza 0f del segnale (definita frequenza fondamentale) e dei valori multipli interi di 0f . Le righe che compongono lo spettro sono dette “armoniche” e rappresentano i segnali sinusoidali la cui somma fornisce il segnale che si sta analizzando. La prima armonica, cioè quella a frequenza 0f , si chiama armonica fondamentale o prima armonica, le righe successive si chiamano seconda armonica, terza armonica etc.Come detto, teoricamente il numero di armoniche di un generico segnale periodico non sinusoidale è infinito, ma, dato che al crescere della frequenza dell'armonica (al crescere quindi di n ) quest'ultima ha generalmente ampiezza minore poiché ha un peso minore nell'andare a costituire il segnale originario, ci si può limitare a considerare



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significative un numero finito di armoniche introducendo errori trascurabili nei risultati dell'analisi in frequenza. Ciò vale in generale per la maggior parte dei segnali registrati, siano essi periodici o aperiodici.

Figura – 29 Segnali continui, periodici, non sinusoidali. Nei grafici a destra sono rappresentati i relativi spettri di ampiezza

Il teorema di Fourier afferma che un qualsiasi segnale periodico, sotto alcune condizioni matematiche (sempre verificate per i segnali fisici), può essere ottenuto mediante la somma di un termine costante 0A (che rappresenta il valor medio del segnale, calcolato in un periodo del segnale stesso) e di infinite funzioni sinusoidali, le cui frequenze sono multipli interi della frequenza fondamentale del segnale (ovvero dell'armonica fondamentale di frequenza 0f ).

L'espressione matematica del teorema è detta sviluppo in serie8 di Fourier, si scrive:s(t)=

( ) ( ) ( )ntnfCntfCtfCAts ϕπϕπϕπ +⋅⋅+++⋅⋅++⋅⋅+= 02021010 2sin...22sin2sin)(dove )(ts è il segnale originario da scomporre nella somma del termine costante 0A edelle armoniche con frequenza multipla della frequenza fondamentale 0f .

Ricordando ora il legame tra pulsazione ω (frequenza angolare) e frequenza f (si ricorda che f⋅= πω 2 ), la precedente espressione può essere così riscritta in termini di pulsazione:

( ) ( ) ( )ntnCntCtCAts ϕωϕωϕω +⋅+++⋅++⋅+= 02021010 sin...2sinsin)(espressione che può essere scritta in modo compatto ricorrendo al simbolo di sommatoria:

( )ii

n

itiCAts ϕω +⋅+= ∑

=0

10 sin)(

8 In analisi matematica il meccanismo della serie è utilizzato per generalizzare la sommatoria al caso in cui si vogliano sommare infiniti termini. Formalmente si definisce serie una particolare successione associata ad un'altra successione predeterminata, dove il termine n-esimo della successione serie viene definito come la somma parziale dei primi n termini della successione predeterminata.




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Non tutte le armoniche hanno necessariamente un peso diverso da zero, infatti se ad esempio l’andamento del segnale presenta particolari proprietà di simmetria, alcune armoniche possono risultare nulle (hanno cioè ampiezza nulla poichè non concorrono alla “costruzione” di quel dato segnale).

Il teorema di Fourier, con opportune modifiche, può anche essere esteso ai segnali non periodici.

I segnali aperiodici hanno uno spettro “continuo”, cioè uno spettro le cui righe possono essere pensate così vicine l’una all’altra da non essere più distinguibili. Sul monitor di un analizzatore, lo spettro di un segnale aperiodico appare infatti come una macchia luminosa, la cui forma dipende dall’andamento temporale del segnale. importante notare che un segnale transiente nel dominio dei tempi (quindi di durata temporale finita), ha uno spettro di “durata” infinita nel dominio delle frequenze. A tal proposito in figura 30 viene presa in considerazione un'onda quadra transiente nel dominio del tempo ed il suo corrispondente spettro (nel dominio delle frequenze).

Figura 30 - Onda quadra transiente nel dominio del tempo e suo corrispondente spettro di ampiezza. Si noti che il range di frequenza è illimitato, stendendosi su tutto l’asse

L'analisi spettrale mira quindi a definire l'importanza relativa delle diverse periodicità all'interno di un segnale o, più comunemente, di una serie temporale. A seconda del tipo di segnale (utilizzando le classificazioni dei segnali già descritte in precedenza) si ricorre a diversi formalismi per l'analisi spettrale, ovvero:

CFS - Continuous Fourier Series (serie continua di Fourier), si applica ai segnali analogici (anche definiti come segnali a tempo continuo) periodici. Seppur di scarsa applicabilità, è molto utile per introdurre le basi del metodo e parzialmente il formalismo matematico.

CFT - Continuous Fourier Transform (trasformata continua di Fourier), si applica ai segnali analogici non periodici.

DFS - Discrete Fourier Series (serie discreta di Fourier), si applica ai segnali digitali periodici.

DFT - Discrete Fourier Transform (trasformata discreta di Fourier), si applica ai segnali digitali non periodici. Dal punto di vista applicativo è certamente la più importante. Tra gli algoritmi di calcolo della DFT spicca la FFT (Fast Fourier Transform), a causa della notevole riduzione dell'impegno computazionale richiesto al calcolatore.



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Serie Continua di Fourier (CFS) 7.

Abbiamo in precedenza introdotto il teorema di Fourier, quest'ultimo afferma che un qualsiasi segnale (che soddisfi alcune condizioni che vedremo a breve in dettaglio) anche se non periodico, può essere scomposto nella somma di infinite funzioni armoniche aventi ampiezze diverse e frequenze multiple intere rispetto alla frequenza del segnale stesso. Il risultato è poi matematicamente generalizzabile ai segnali non periodici considerando che questi ultimi possono essere interpretati come segnali periodici di periodo infinito.

Lo sviluppo in serie di Fourier, applicato ad un segnale periodico di periodo T, mostra come il segnale risulti costituito da un termine costante detto componente continua, più una somma illimitata di sinusoidi (funzioni seno e coseno) di periodo variabile, dette armoniche. L’armonica con periodo coincidente con quello del segnale è detta fondamentale.

Le funzioni seno e coseno hanno entrambe periodicità π2 e sono tra loro sfasate di 2/π (figura 31).

Figura 31 - Valore delle funzioni seno e coseno al variare del loro argomento. Si noti lo sfasamento pari a 2/π

La generica funzione sinusoidale (di ampiezza, fase e frequenza generiche) può essere scritta nella forma (esempio in figura 32):

( ) ( )21cos)( ϕωϕω +⋅⋅++⋅⋅= tsenbtatf

Figura 32 - Somma di sinusoidi e cosinusoidi di uguale frequenza




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In figura 32, con il tratto nero è disegnata la funzione

( ) ( )tsenttf ⋅+⋅= ππ 22cos)(con il tratto color arancio la funzione

( ) ( )tsenttf ⋅⋅+⋅⋅= ππ 272cos3)(con il tratto verde la funzione

( ) ( )32522cos2)( +⋅⋅++⋅⋅= tsenttf ππSi noti come, variando i fattori moltiplicativi delle funzioni seno e coseno (aeb ), viene modificata la fase della funzione risultante anche senza ricorrere a modificare le costanti di fase 1ϕ e 2ϕ .

Prendiamo ora in considerazione la somma di due sinusoidi di diversa frequenza, in cui la frequenza di una delle due è un multiplo intero della frequenza dell'altra. In questo caso l'onda ottenuta dalla loro somma avrà frequenza uguale a quella dell'onda con minor frequenza (quindi con massimo periodo). Nel grafico di sinistra della figura 33 è rappresentata l'onda risultante dalla somma di una sinusoide coseno con frequenza

5=f ( )52 ⋅= πω e di una sinusoide seno con frequenza 5.0=f ( )5.02 ⋅= πω , la frequenza dell'onda risultante è quindi pari a 5.0=f (a cui corrisponde periodicità doppia rispetto alla periodicità della funzione seno e coseno, infatti l'onda si ripete dopo π4 anziché dopo π2 ). Nel grafico di destra della stessa figura è rappresentata l'onda risultante dalla somma di una sinusoide coseno con frequenza 3=f ( )32 ⋅= πωe di una sinusoide seno con frequenza 9=f ( )92 ⋅= πω , la frequenza dell'onda risultante è quindi pari a 3=f (si notano infatti 3 oscillazioni complete nell'intervallo π2 ).

Figura 33 - Esempio di due onde ottenute ciascuna dalla somma di due sinusoidi di diversa frequenza, in cui la frequenza di una delle due è un multiplo nintero della frequenza dell’altra

Volendo generalizzare in termini matematici questa somma di due sinusoidi (o serie trigonometrica) ad un numero n arbitrariamente grande di sinusoidi, si scrive:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tnsenbtnatsenbtatsenbtatf nn ⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ωωωωωω cos...22coscos)( 2211



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In forma compatta e generalizzando il valore medio della funzione periodica )(tf (cioè riservandoci di poter traslare, senza deformazioni, il grafico della )(tf verso l'alto o verso il basso a seconda del valore di una costante 0a ), scriviamo:

( ) ( )[ ]∑+∞

=

⋅⋅+⋅⋅+=1

0 cos2

)(n

nn tnsenbtnaatf ωω (1)

Quella appena scritta è l'espressione dello sviluppo in serie di Fourier.

Il termine 0a , come detto, è il valore medio, in un periodo, della funzione periodica )(tf . Essendo la )(tf continua, le espressioni dei termini della serie di Fourier

vengono date in forma integrale. L'espressione di 0a è quindi:

( ) ( )∫∫+

−

+

−==

2/

2/021 T

Tdttf

Tdfa

π

πθθ

πlavorando rispettivamente con l'angolo θ (con estremi π− ; π a coprire un intero periodo) argomento della funzione, oppure lavorando nel dominio del tempo (con targomento della funzione ed estremi 2/T− ; 2/T ).

Nota: il concetto di media integrale, utilizzato per definire il valore medio 0a di una

funzione continua integrabile, è una generalizzazione del concetto di media aritmetica. L'idea è quella di calcolare il valore medio assunto da una funzione (la nostra )(tf ) su un intervallo [a,b] (di larghezza pari ad un periodo T ), calcolando la media aritmetica dei valori che la funzione assume su un insieme finito (molto grande) di punti distribuiti uniformemente nell'intervallo. Si suddivide cioè l'intervallo in N intervalli (molto piccoli) [ 1, +kk tt ], tutti di larghezza ( ) Nab /− e si calcola la media come:

Ntftftftf Nk )(...)(...)()( 10 +++++

in modo compatto l'espressione della media si può scrivere come:

)()()(

1)(100

k

N

k

N

kk tf

Nab

abtf

N ∑∑==

−⋅

−=⋅

dall'espressione a destra ed utilizzando la definizione di integrale di Riemann9 segue che, considerando un numero N sempre maggiore di punti, questa espressione convergerà al valore:

dttfab

b

a∫−)(

)(1

che viene appunto definita come media integrale di )(tf .

9 In matematica, l'integrale di Riemann è una costruzione che permette di calcolare l'area sottesa dal grafico di una funzione reale che è definita nel piano cartesiano.




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Figura 34 - Esempio di media integrale applicata alla funzione coseno. Dato che la funzione oscilla nell’intervallo [-1;+1] con andamento sinusoidale costante, allora la media di )cos()( ttf ⋅= ω nel periodo T è nulla. Segue che la stessa funzione traslata verso l’alto o verso il basso di un termine costante 0a ( )cos()( 0 tatf ⋅+= ω ) , avrà invece media pari proprio ad 0a

L'obiettivo dell'analisi armonica e' quello di sviluppare in serie trigonometrica la funzione )(tf , nasce quindi la necessità di calcolare il valore medio di )(tf ed il peso delle singole armoniche (i termini )cos( tnan ⋅⋅⋅ ω e )cos( tnbn ⋅⋅⋅ ω ) che compongono la funzione stessa. Ogni armonica ha un proprio peso ( na per le armoniche in coseno, nbper le armoniche in seno) ed una propria pulsazione ωn , che è un multiplo intero (n )della pulsazione ωn dell'armonica fondamentale.

I coefficienti na e nb della serie di Fourier sono dati dalle espressioni:

( ) ( )∫∫+

−

+

−⋅⋅⋅=⋅=

2/

2/)cos(2)cos(1 T

Tn dttntfT

dnfa ωθθθπ

π

π

( ) ( )∫∫+

−

+

−⋅⋅⋅=⋅=

2/

2/)(2)(1 T

Tn dttnsentfT

dnsenfb ωθθθπ

π

π

Affinché la serie trigonometrica calcolata applicando Fourier converga effettivamente alla funzione originaria )(tf , si devono rispettare le condizioni di Diriclet:

se la funzione )(tf presenta discontinuità, il loro numero deve essere finito in

ciascun periodo ed in ogni caso non devono essere discontinuità di seconda specie (la funzione deve essere limitata);

la funzione )(tf deve contenere, in un periodo, un numero finito di massimi e

minimi;

la funzione deve essere assolutamente integrabile in un periodo, cioè l'integrale

deve convergere, dovendo essere ( ) +∞<∫+

−

2/

2/

T

Tdttf .



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Lo sviluppo in serie di Fourier (equazione 1) viene spesso scritta utilizzando le formule della notazione di Eulero per i numeri complessi. Con tale notazione si scrive:

θθθ seniei ⋅+= cos si hanno quindi le seguenti uguaglianze (essendo θθθ sincos ⋅−=− ie i ):

ieesenii

⋅−=

−

2

θθ

θ

iee ii

⋅+=

−

2cos

θθ

θ

si può allora riscrivere che:

[ ] [ ]∑∑+∞

=

−+∞

=

⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+=11

0 )(21)(

21

2)(

n

tinnn

n

tinnn ebiaebiaatf ωω (2)

e da considerazioni sul fatto che la funzione coseno è pari, mentre la funzione seno è dispari:

−=−=−

)()()cos()cos(θθθθ

sensen

si ricava che:

−==

−

−

nn

nn

bbaa

che consentono di sostituire nel secondo termine dell'equazione 2, n con n− e di giungere quindi a scrivere che:

[ ] [ ] [ ]∑∑∑+∞

−∞=

−

−∞=

+∞

=

⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+=n

tinnn

n

tinnn

n

tinnn ebiaebiaebiaatf ωωω )(

21)(

21)(

21

2)(

1

1

0

avendo nell'ultimo passaggio inglobato il termine 2/0a ed avendo sfruttato il fatto che il termine 0b è nullo per definizione (essendo proprio dello sviluppo in seno ed essendo 0)( 0 =θnsen poiché per 0b si ha 00 =n .

Definendo il nuovo termine:

)(21

nnn biac ⋅−=

si giunge alla formulazione classica della sintesi di Fourier:

( )∑+∞

−∞=

⋅=n

tinn ectf ω)(

il cui significato fisico è il seguente: ogni funzione )(tf che soddisfa alle ipotesi di periodicità e sommabilità in modulo su un periodo (terza condizione di Dirichlet), può essere espressa utilizzando infinite funzioni esponenziali complesse “monocromatiche” (cioè funzioni sinusoidali semplici di frequenza nota), la cui frequenza angolare ( ω⋅n )è un multiplo intero di quella del segnale periodico originario (ω ). Queste funzioni




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monocromatiche contribuiscono tutte alla costruzione (sintesi) del segnale )(tf . Al fine di poter generare tutti i segnali periodici e sommabili, ad ogni funzione esponenziale (ovvero ad ogni frequenza angolare multipla della principale) è associato un peso, dato dal parametro nc . Questo peso rappresenta quindi l'importanza che un determinato segnale monocromatico riveste nella sintesi del segnale )(tf .

La “scomposizione” della )(tf nelle singole componenti monocromatiche è univoca ed è data proprio dal valore dei pesi:

( )∫+

−

−⋅=2/

2/

1 T

T

inwtn dtetfT

c

Siccome quest'ultima formula permette di scomporre la )(tf nelle sue componenti monocromatiche, essa prende il nome di analisi di Fourier (essendo il processo inverso rispetto a quello di sintesi). L'insieme di tutti i coefficienti nc prende il nome di spettro (complesso) del segnale )(tf . da notare che lo spettro, pur derivando da una funzione continua (la )(tf nel caso in cui si applica la serie continua di Fourier -CFS-), risulta discreto. Essendo ciascun peso nc un numero complesso, esso può essere espresso nella notazione di Eulero:

ninn ecc ϕ⋅=

Questo conduce alla definizione di una serie di spettri:

nc spettro complesso (o semplicemente spettro) della )(tf ;

nc spettro di ampiezza della )(tf , con 222/1 nnn bac += (generalmente,

nelle applicazioni pratiche, si utilizza lo spettro di ampiezza, che associa ad ogni

frequenza dello spettro un peso definito dal numero reale nc );

nϕ spettro di fase della )(tf , con ( )nnn abarctag /−=ϕ ;

2nc spettro di potenza della )(tf , con ( )222 4/1 nnn bac += .

L'analisi di Fourier e la sintesi di Fourier consentono di passare in maniera biunivoca dalla )(tf allo spettro nc e viceversa. Possiamo quindi affermare che )(tf e nc non sono altro che due diverse rappresentazioni (rispettivamente nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza) della stessa “entità”. Per questo motivo )(tf e nc si dicono coniugate di Fourier. Tale coniugazione si esprime scrivendo:

nctf ↔)(

Per concludere questo paragrafo dedicato alla CFS, prendiamo in considerazione due condizioni particolari della serie temporale )(tf che vogliamo analizzare:



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Figura 35 - Lo spettrografo in figura misura, in questo caso, le ampiezze delle armoniche, ma si sarebbe potuto rappresentare anche un altro spettro, quello delle fasi mediante segmenti proporzionali ai valori delle fasi delle diverse armoniche. L'oscilloscopio invece visualizza, nel dominio del tempo, la forma d'onda, in questo caso ottenuta dalla somma delle prime due armoniche della serie

1. la funzione )(tf è pari, essendo )( tf − . In tal caso, dato che la funzione seno è dispari, il prodotto )()( tnsentf ⋅⋅⋅ ω (ricordando l'espressione del coefficiente nb )risulta dispari. In questo caso 0=nb , in quanto la funzione )(tf non è composta da alcuna “sotto-funzione” dispari. La serie di Fourier si riduce a:

( )[ ]∑∞

=

⋅⋅⋅+=1

0 cos)(n

n tnaatf ω

2. la funzione )(tf è dispari, essendo )()( tftf −−= . In tal caso, dato che la funzione coseno è pari, il prodotto )cos()( tntf ⋅⋅⋅ ω (ricordando l'espressione del coefficiente na ) risulta pari. In questo caso 0=na , in quanto la funzione )(tfnon è composta da alcuna “sotto-funzione” pari. La serie di Fourier si riduce a:

( )[ ]∑∞

=

⋅⋅⋅+=1

0)(n

n tnsenbatf ω




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Correlazione 8.

Consideriamo due segnali distinti, siano )(1 tf e )(2 tf due funzioni periodiche dello stesso periodo aT , sviluppabili in CFS. Dato un numero reale τ , che chiamiamo lag o ritardo, si definisce l'integrale di correlazione tra )(1 tf ed )(2 tf l'espressione:

dttftfT

RT

T)()(1)( 2

2/

2/ 12,1 ττ +⋅= ∫+

−

In teoria dei segnali la correlazione tra due segnali (detta anche cross-correlazione) rappresenta la misura di similitudine di due segnali come funzione di uno spostamento temporale applicato ad uno di essi.

L'operazione di correlazione può essere espressa come la successione di tre operazioni distinte:

il segnale )(2 tf viene traslato sull'asse dei tempi della quantità τ (l'operazione

è nota in inglese con il termine di shift). E’ da notare che, se τ è positivo, questa traslazione del segnale avviene verso sinistra e non verso destra come si potrebbe intuitivamente pensare, considerando che al termine t viene sommato il termine positivo τ . Infatti la somma di una quantità positiva alla variabile indipendente comporta che un determinato valore della funzione “arrivi prima” di quanto facesse originariamente (senza lo shift). Per esempio se 3=τ ,all'istante 2=t la funzione spostata assume già il valore che avrebbe avuto solo all'istante 5=t . Tutti i valori vengono quindi anticipati, ovvero la funzione nel suo insieme viene traslata sull'asse dei tempi verso sinistra;

il segnale “shiftato” viene moltiplicato punto per punto per il segnale )(1 tf in un

intero periodo;

viene effettuata la media sul periodo del prodotto appena calcolato.

Se ora facciamo variare τ nell'insieme dei numeri reali (ℜ ), otteniamo una vera e propria funzione di τ detta funzione di correlazione. Essendo τ un ritardo, ovvero dimensionalmente un tempo, anche la )(2,1 τR risulta essere una serie temporale (poiché l'unica variabile è ancora un tempo). Nel caso particolare in cui )()( 21 tftf = , si parla di auto-correlazione:

dttftfT

RT

T)()(1)( 1

2/

2/ 12,1 ττ +⋅= ∫+

−

mentre nel caso generale ( )()( 21 tftf ≠ ), volendo evidenziare che le funzioni sono distinte, si parla anche di cross-correlazione.

Intuitivamente si può pensare che considerando due segnali )(1 tf ed )(2 tf a valori reali, che differiscono solamente per uno spostamento sull'asse temporale (sono identici, ma sfasati di una certa quantità), si può calcolare il loro valore di correlazione per mostrare di quanto )(2 tf deve essere anticipato (o ritardato) per renderlo perfettamente sovrapponibile a )(1 tf . La formula essenzialmente trasla il segnale



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)(2 tf lungo l'asse temporale, calcolando l'integrale del prodotto )()( 21 tftf ⋅ per ogni possibile valore dello spostamento τ . Quando i due segnali coincidono, il valore di

)()( 21 tftf ⋅ è massimizzato, poiché quando le forme d'onda sono in fase, esse contribuiscono solo positivamente al computo dell'area (moltiplicando aree entrambe positive o entrambe negative, il risultato è positivo in entrambi i casi).

Teorema di correlazione 8.0.1

La funzione di cross-correlazione è coniugata al prodotto fra lo spettro coniugato10 della prima funzione e lo spettro invariato della seconda. In sintesi (non dimostreremo il teorema):

se nctf 11 )( ↔ e nctf 22 )( ↔ allora nnccR 212,1 )( ↔τ

Teorema di auto-correlazione 8.0.2

Nel caso particolare dell'auto-correlazione ( )()( 21 tftf =⋅ ), si ottiene che la funzione di auto-correlazione di una qualunque funzione è coniugata al suo spettro di potenza. Si scrive allora:

se nctf 11 )( ↔ allora 211,1 )( ncR ↔τ

Teorema di Parseval 8.0.3

Nel caso ancora più particolare dell'auto-correlazione per 0=τ , dal teorema di auto-correlazione si ottiene il seguente teorema di parseval:

∑∫+∞

−∞=

+

−=n

n

T

Tcdttf

T2

1

2/

2/

21 )(1

quindi la media quadratica su un periodo della funzione nel dominio dei tempi è dunque uguale alla somma degli elementi del suo spettro di potenza. Questo mette ancora una volta in evidenza il dualismo esistente tra dominio dei tempi e dominio delle frequenze: la “potenza” del segnale è la stessa dovunque la si prenda in esame.

10 Si definisce complesso coniugato di un numero complesso un numero ottenuto dal primo cambiando il segno della parte immaginaria (quindi se ad esempio yixz ⋅+= è un generico numero complesso, il suo coniugato è yixz ⋅−= ). Si ricorda anche che con l'espressione numero complesso si intende la somma di un numero reale e di un numero immaginario, cioè un multiplo reale dell'unità immaginaria, indicata con la lettera i . La parte immaginaria ha il compito di estendere il campo dei numeri reali, in quanto si ha che 12 −=i , non esistendo tra i numeri reali nessun numero il cui quadrato è un numero negativo.




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La correlazione in statistica 8.1

Per correlazione si intende una relazione tra due variabili casuali (nel caso si stiano analizzando dei segnali, le variabili casuali sono proprio le serie temporali )(1 tf ed

)(2 tf ) tale che a ciascun valore assunto dalla prima variabile corrisponda con una certa regolarità (da stabilire per mezzo dell'indice di correlazione) un valore assunto dalla seconda variabile casuale. Non si tratta necessariamente di un rapporto di causa ed effetto, ma semplicemente della tendenza di una variabile a variare in funzione dell'altra. Talvolta le variazioni di una variabile dipendono dalle variazioni dell'altra (si pensi ad esempio alla relazione tra la statura dei genitori e quella dei loro figli), talvolta sono comuni (si pensi ad esempio alla relazione tra statura e peso corporeo di un individuo), talvolta sono reciprocamente dipendenti (si pensi ad esempio alla relazione tra prezzo e domanda di una merce: il prezzo influisce sulla domanda e la domanda influisce sul prezzo), infine le due variabili possono essere reciprocamente indipendenti.

La correlazione si dice “diretta” (l'indice di correlazione assume valore positivo) quando all'aumentare del valore assunto da una delle due variabili, anche il valore assunto dalla seconda variabile cresce. Viceversa la correlazione si dice “indiretta” (l'indice di correlazione assume valore negativo). Nel caso le due variabili non presentino alcuna relazione (variabili tra loro indipendenti), l'indice di correlazione assume valore nullo o comunque prossimo al valore nullo.

Indice di correlazione di Pearson 8.1.1

Il coefficiente di correlazione di Pearson (detto anche di Bravais-Pearson) tra due variabili aleatorie11 X ed Y è definito come il rapporto tra la loro covarianza ed il prodotto delle loro deviazioni standard (definite anche come scarti quadratici medi):

yx

yxyx σσ

σρ

⋅= ,

, (3)

dove yx,σ è la covarianza12 delle due variabili aleatorie prese in considerazione:

( ) ( )[ ]∑=

−⋅−=N

iyixiyx yx

N 1,

1 µµσ

con N dimensione del campione (corrispondente al numero di coppie di valori );( ii yx ,mentre xµ e yµ sono le medie aritmetiche della variabile x ed y rispettivamente:

11 In teoria della probabilità, una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica) può essere pensata come il risultato numerico di un esperimento quando questo non è prevedibile con certezza (ossia non è deterministico). Ad esempio, il risultato del lancio di un dado a sei facce può essere matematicamente modellato come una variabile casuale che può assumere uno dei sei possibili valori. 12 In statistica la covarianza è un indice che misura la “contemporaneità” della variazione di due variabili casuali.



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∑=

=N

iix x

N 1

1µ

Nell'equazione 3, i termini xσ e yσ indicano la deviazione standard13 (o scarto quadratico medio) della variabile x ed y rispettivamente:

( )∑=

−=N

ixix yx

N 1

21σ

Il coefficiente di correlazione di Pearson assume valori nell'intervallo [-1;1]. Se:

0, >yxσ , le variabili x e y si dicono direttamente correlate, oppure correlate

positivamente;

0, <yxσ , le variabili x e y si dicono inversamente correlate, oppure correlate

negativamente;

0, =yxσ , le variabili x e y si dicono indipendenti.

NB: nel caso di indipendenza delle variabili, il coefficiente assume valore zero, non vale però la conclusione opposta, ovvero dal coefficiente nullo non si può desumere l'indipendenza delle variabili (!!!); si dice che la condizione ( 0, =yxσ ) è necessaria, ma non sufficiente per l'indipendenza delle due variabili.

Indice di correlazione di Spearman 8.1.2

Sia X una variabile statistica i cui valori sono stati rilevati rispetto ad Y unità, ottenendo le osservazioni Nxxx ;...;; 21 . possibile associare a ciascuna osservazione il corrispondente rango, in modo da ottenere una graduatoria. Il rango di un’osservazione è la posizione che essa occupa nella sequenza ordinata di dati.

Es: nella figura 36, la tabella riporta il punteggio, indicato mediante la variabile statistica X , ottenuto da quattro studenti in un test. Nella terza colonna sono riportati i ranghi delle osservazioni, ossia la posizione che ciascuna di esse occupa nella sequenza ordinata.

Figura 36 - Esempio di assegnazine dei numeri di rango ad un campione di dati ordinabili.

13 La deviazione standard o scarto quadratico medio è un indice di dispersione, vale a dire una misura di variabilità di un campione di dati o di una variabile casuale. La deviazione standard misura la dispersione dei dati intorno al valore atteso, cioè la loro “distanza” dalla media; più i dati sono dispersi, più la loro distanza media dalla media aritmetica è elevata, maggiore è il valore della deviazione.




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Mediante i ranghi si ottiene quindi la graduatoria secondo il valore delle unità del campione.

Se a due o più unità è associato lo stesso valore della variabile X , è prassi definire il rango di queste due o più unità come la media aritmetica delle posizioni occupate dai valori uguali.

Figura 37 - Esempio di assegnazione dei numeri di rango ad un campione di dati ordinabili in cui due unità del campione (Lucia e Luca) assumono lo stesso valore della variabile X

Il coefficiente di correlazione dei ranghi di Spearman consente di confrontare due graduatorie al fine di verificare se vi è associazione e, in caso positivo, se vi è concordanza oppure discordanza (valore positivo o negativo del coefficiente). Si supponga che in base a due variabili X e Y , siano state definite due graduatorie sulle stesse N unità statistiche. I dati sono ordinati secondo il valore assunto, )( ixr ed

)( iyr ) indicano il rango della i-esima unità rispettivamente nella prima e nella seconda graduatoria.A livello pratico il coefficiente di Spearman è semplicemente un caso particolare del coefficiente di correlazione di Pearson, dove i valori vengono convertiti in ranghi prima di calcolare il coefficiente:

[ ] [ ][ ] [ ]∑

∑=

=

−⋅−

−⋅−=

N

i yrixri

N

i yrixriSpearman

ii

ii

yrxr

yrxr

12

)(2

)(

1 )()(

)()(

)()(

µµ

µµρ

anche se solitamente si segue un calcolo più semplice, in quanto si calcola la differenza id tra i ranghi delle due misure di un'osservazione:

)()( iii yrxrd −=e quindi il coefficiente si calcola come:

( )16

1 21

2

−⋅

⋅−= ∑ =

NNdN

i iSpearmanρ

Come il coefficiente di correlazione di Pearson, anche il coefficiente di correlazione di Spearman assume valori nell'intervallo [-1;1].

Quando il coefficiente di correlazione di Spearman assume valore +1 vi è perfetta concordanza tra le graduatorie. Ciò significa che l’unità classificata come prima nella graduatoria rispetto ad X lo è anche nella graduatoria rispetto a Y , l’unità classificata come seconda nella graduatoria rispetto ad X lo è anche nella graduatoria rispetto a Y e così via. In breve si scrive che )()( ii yrxr = per Ni ,...,2,1= .



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Quando il coefficiente di correlazione di Spearman assume valore -1 vi è perfetta discordanza tra le graduatorie. Ciò significa che l’unità classificata come prima nella graduatoria rispetto ad X è ultima nella graduatoria rispetto a Y , l’unità classificata come seconda nella graduatoria rispetto ad X è penultima nella graduatoria rispetto a Y e così via. In breve si scrive che )()( ii yrNxr −= per Ni ,...,2,1= .

Infine se il coefficiente di correlazione di Spearman assume valore nullo o valori prossimi al valore nullo, ciò indica che non vi è associazione fra le graduatorie.

Il coefficiente di correlazione di Spearman viene ad esempio applicato nell'articolo “Correlazione tra capacità di salto verticale e distanza di volo nel tuffo di partenza“, L. Tedeschini, F. Masedu, M. Madama, R. Manno. Gli autori dell'articolo vogliono valutare il livello di correlazione tra la capacità di salto verticale in nuotatori di livello agonistico e la distanza di volo ottenuta nel tuffo di partenza utilizzando le tecniche Grab e Track.Per comprendere le tecniche statistiche di analisi dei dati si introducono ora i concetti di:

Regressione lineare 8.1.3

Se è possibile ipotizzare l’esistenza di una dipendenza lineare tra le variabili X ed Y(ipotizzabile perché ad esempio le due variabili mostrano di avere un certo grado di correlazione), si può dire che le osservazioni della variabile Y (assunta come variabile dipendente) si possono ottenere, a meno di un errore ε (o residuo), da una funzione lineare delle osservazioni della variabile X (assunta come variabile indipendente). Per ciascuna osservazione avremmo quindi:

iii bxay ε++=Applicare un modello di regressione lineare ad un campione di dati significa trovare il valore dei coefficienti a (intercetta della retta) e b (coefficiente angolare della retta) in modo tale da essere in grado di tracciare la retta che meglio interpola i punti del campione disposti sul piano cartesiano (nel caso si voglia analizzare la dipendenza della variabile Y dalla sola variabile X ). La retta che meglio interpola i punti del campione, è la retta per la quale la sommatoria degli errori iε è minima, supponendo ad esempio che l'i-esimo errore iε sia dato dalla distanza (misurata lungo la verticale) del punto di coordinate ( ii yx ; ) dalla retta stessa.

Nella Figura 38 viene illustrato un esempio di interpolazione dei punti per mezzo di una regressione lineare.

Il calcolo dei coefficienti a e b è l'obiettivo delle tecniche di regressione lineare, che non verrà preso in considerazione nell'ambito di questa dispensa.




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Figura 38 - Esempio di interpolazione dei punti per mezzo di una regresione lineare. Il segmento verticale che misura la distanza (misurata lungo la verticale) dell’i-esimo punto della retta corrisponde all’i-esimo errore iε (i-esimo residuo

Livello di significatività 8.1.4

Tutti i test statistici di significatività assumono inizialmente la cosiddetta “ipotesi zero” (o “ipotesi nulla”). Quando si effettua il confronto fra due o più gruppi di dati, l'ipotesi zero prevede sempre che non esista alcuna differenza tra i gruppi riguardo al parametro considerato. In altre parole, secondo l'ipotesi zero i gruppi sono fra loro uguali e le eventuali differenze osservate vanno attribuite al solo caso.

Ovviamente l'ipotesi zero può essere accettata o respinta, ma in che modo?

Si procede applicando un test statistico di significatività, il cui risultato, in genere, va confrontato con un valore critico tabulato in apposite tabelle. Se il risultato del test di significatività supera il valore critico, allora la differenza fra i gruppi viene dichiarata statisticamente significativa e, quindi, l'ipotesi zero viene respinta. In caso contrario l'ipotesi zero viene accettata (cioè è il caso a governare il fenomeno).

Come sempre avviene, i risultati di un test statistico non hanno un valore di assoluta e matematica certezza, ma soltanto natura probabilistica. Pertanto, una decisione di respingere l'ipotesi zero (presa sulla base del test statistico) è probabilmente giusta, ma potrebbe essere errata. La misura di questo rischio di cadere in errore si chiama livello di significatività del test.

Es: abbiamo effettuato una sperimentazione su due gruppi di animali affetti da una determinata malattia. Uno dei due gruppi è stato trattato con il farmaco A e l'altro con il farmaco B. Gli animali trattati con A sembrano guarire con maggiore frequenza di quelli trattati con B. Calcolando il valore P, che corrisponde al valore minimo per il quale l'ipotesi zero può essere respinta, otteniamo una stima quantitativa della probabilità che le differenze osservate siano dovute al caso. In altre parole, P è la



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risposta alla seguente domanda: “se in realtà non ci fossero differenze fra A e B, e se la sperimentazione fossa eseguita molte volte, quale proporzione di sperimentazioni condurrebbe alla conclusione che A è migliore di B?”

Il livello di significatività 5% viene adottato molto frequentemente in quanto si ritiene che il rapporto 1/20 (cioè 0.05) sia sufficientemente piccolo da poter concludere che sia “piuttosto improbabile” che la differenza osservata sia dovuta al semplice caso. In effetti, la differenza potrebbe essere dovuta al caso, e lo sarà 1 volta su 20 (in termini probabilistici). Tuttavia, questo evento è “improbabile”. Ovviamente, se si vuole escludere con maggiore probabilità l'effetto del caso, si adotterà un livello di significatività inferiore (ad esempio l'1%).

Quindi, se l'ipotesi zero viene respinta al livello di significatività del 5%, allora abbiamo il 5% di probabilità di respingere un'ipotesi zero che in effetti era vera.

Il valore di significatività è fornito applicando uno dei possibili test al campione di dati, nell'ambito di questa dispensa non tratteremo l'argomento dei test statistici (anche se essi sono sempre più di comune impiego).




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Trasformata Continua di Fourier (CFT)

Si è visto che per un segnale periodico e continuo )(tf , sotto l'ipotesi di integrabilità in modulo:

( ) +∞<∫+

−

2/

2/

T

Tdttf

esiste uno sviluppo in serie continua di Fourier (CFS):

( )∑+∞

−∞=

⋅=n

tinn ectf ω)( dove: ( )∫

+

−

−⋅=2/

2/

1 T

T

inwtn dtetfT

c eωπ2=T

Vogliamo ora estendere il formalismo della CFS alla CFT, ovvero alla trasformata continua di Fourier. Tale estensione della CFS consiste nell'eliminare il requisito di periodicità della serie temporale )(tf che si vuole “scomporre” nella serie di armoniche.La trasformata di Fourier è uno strumento essenziale per l’analisi dei sistemi, dato che realizza una corrispondenza biunivoca tra il segnale definito nel dominio del tempo e le corrispondenti funzioni definite sul piano complesso. In particolare siamo interessati alla funzione segnale definita nel dominio delle frequenze. Considerando il solo spettro di ampiezza (cioè i soli pesi delle armoniche che costituiscono il segnale) e accettando di perdere le informazioni di fase (cioè le singole fasi delle armoniche che costituiscono il segnale), possiamo lavorare nel campo dei numeri reali anziché nel campo complesso.

Ci si potrebbe chiedere perché vogliamo ancora una volta (come abbiamo fatto applicando la CFS) lavorare nel dominio delle frequenze anziché nel dominio dei tempi. La risposta sta nel fatto che ad operazioni anche piuttosto complesse, eseguite sulle funzioni originarie (dominio dei tempi), corrispondono operazioni molto più semplici sulle funzioni immagine (dominio delle frequenze). Ad esempio, le equazioni integrali e differenziali nel dominio del tempo si trasformano in semplici equazioni algebriche nel dominio della frequenza, per questo vedremo che per “manipolare” un segnale (ad esempio applicare al segnale un filtro) è conveniente lavorare nel dominio delle frequenze. Inoltre conoscere le frequenze fondamentali di un segnale è un'informazione a volte fondamentale in svariate applicazioni.

Sia la serie temporale )(tf aperiodica e continua, si è quindi nell'ambito di applicazione della CFT. Consideriamo )(tf come il “segnale limite” di una )(' tfperiodica di periodo T , per +∞→T (il formalismo che si utilizza per estendere la CFS ai segnali aperiodici è quello di pensare che il segnale si ripeta solo dopo un tempo infinito). Formalmente si scrive che:

∑+∞

−∞=+∞→⋅=

n

tinnTectf ωlim)(

dove nc è ancora ( )∫+

−

−⋅=2/

2/

1 T

T

inwtn dtetfT

c e ωπ /2=T . Dato che si fa tendere T ad

infinito (pensando al segnale aperiodico come ad un segnale periodico che si ripete



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dopo un periodo T infinito) allora 0→ω . Con alcuni passaggi matematici si arriva alla definizione della:

( )∫∞+

∞−

−⋅= dtetfF iwt

πω

21)( detta trasformata di Fourier

( ) ωω deFtf iwt⋅= ∫∞+

∞−)( detta antitrasformata di Fourier

)(ωF è una funzione complessa di ω , così come lo erano i coefficienti nc dello spettro complesso nel caso della CFS. Tuttavia, mentre i coefficienti nc costituivano un insieme discreto (visualizzato come delle righe tra loro separate nella rappresentazione grafica dello spettro), nel caso della CFT lo spettro è continuo al pari della serie temporale di partenza. La )(ωF si definisce come spettro complesso continuo della )(tf .

Come nel caso della CFS, la CFT consente di analizzare (e dualmente di sintetizzare) un segnale (che soddisfi l'ipotesi di integrabilità in modulo) come somma (integrale) di infiniti segnali esponenziali complessi (segnali “puri” detti anche “armoniche”), ciascuno caratterizzato da una determinata pulsazione ω . Con la CFT, come con la CFS, si realizza una perfetta equivalenza tra l'espressione del segnale nel dominio dei tempi (la )(tf ) e l'espressione dello stesso nel dominio delle frequenze (la )(ωF ), in quanto si può passare da un dominio all'altro utilizzando l'operatore trasformata e l'operatore antitrasformata (la trasformata permette il passaggio dal dominio del tempo al dominio della frequenza, viceversa per l'antitrasformata). Le funzioni )(tf e

)(ωF si dicono ancora coniugate di Fourier, questo è indicato con la solita notazione:

)()( ωFtf ↔NB: nel caso della CFT tutte le frequenze angolari sono presenti nell'integrale (lo spettro è continuo). Tuttavia l'ampiezza con cui ciascuna frequenza angolare ωcontribuisce alla costruzione del segnale )(tf è infinitesima. I coefficienti nc della CFS sono quindi in realtà sostituiti dalla quantità ωω dF ⋅)( . Lo spettro )(ωF è infatti una densità di ampiezza (analoga, per fare un esempio, alla densità di probabilità che può caratterizzare una certa variabile continua) e rappresenta quindi il peso con cui le frequenze angolari comprese tra ω e ωω d+ contribuiscono a “comporre” il segnale originario, diviso per d\omega.




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Filtraggio dei segnali continui 9.

Un filtro è un operatore O che agisce su un segnale continuo, eventualmente anche non periodico, )(tf I (che chiameremo ingresso o input) e lo elabora per trasformarlo in un altro segnale continuo )(tfO (che chiameremo uscita o output). Formalmente l'operazione si può indicare con la notazione:

))(()( tfOtf IO =In modo più intuitivo si può pensare ad un filtro come ad una “scatola nera” (black box) che prende in ingresso il segnale da filtrare )(tf I e fornisce in uscita il segnale filtrato )(tfO :

)()( tfOtf OI →→

Conoscere un filtro significa allora conoscere in qualche forma il comportamento della black box, ovvero essere in grado, dato un qualunque ingresso, di prevederne l'uscita (quindi conoscere in maniera deterministica come il filtro modifica il segnale in ingresso).

Proprietà dei filtri 9.1

Al fine di costruire una teoria matematicamente “maneggevole”, definiamo alcune proprietà “ragionevoli” di cui vorremmo godessero i nostri filtri. La prima di queste è la proprietà di linearità o di “sovrapposizione degli effetti”, la seconda proprietà richiesta ad un filtro è quella dell'invarianza temporale.

Filtri lineari 9.1.1

Un filtro O si dice lineare se gode della seguente proprietà per ogni coppia di coefficienti complessi 1c e Cc ∈2 :

se

==

))(()())(()(

22

11

tfOtftfOtf

IO

IO allora )()())()(( 22112211 tfctfctfctfcO OOII ⋅+⋅=⋅+⋅

ovvero se il risultato del filtro applicato ad una qualsiasi combinazione lineare di segnali in ingresso, produce in uscita la combinazione lineare dei risultati del filtro applicato ai singoli segnali. Possiamo quindi pensare che ciascun segnale di ingresso attraversi il filtro “indipendentemente” e che i singoli risultati del filtraggio si sommino in combinazione lineare solo all'uscita del filtro, mantenendo nella combinazione lineare di uscita gli stessi pesi della combinazione lineare in ingresso al filtro (si fa quindi riferimento a quello che è conosciuto come principio di “sovrapposizione degli effetti”).

Es: se i due segnali in ingresso sono la voce (segnale 1) ed il suono della chitarra (segnale 2), un filtro lineare che ha lo scopo di raddoppiare l'ampiezza del segnale in ingresso, restituirà in uscita tanto la voce, quanto il suono della chitarra con ampiezza raddoppiata.



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Filtri invarianti temporali 9.1.2

Un filtro O gode della proprietà dell'invarianza temporale se vale, per ogni ritardo ℜ∈τ , la seguente relazione:

)())(( ττ +=+ tftfO OI

All'apparenza la relazione sembra del tutto banale. Tuttavia ha un significato decisamente importate: essa sta a significare che il filtro agisce sempre allo stesso modo su un determinato segnale in ingresso, indipendentemente dal momento temporale in cui questo segnale viene presentato al filtro per l'elaborazione. Possiamo esprimere lo stesso concetto dicendo che O non è una funzione )(τO , ma le leggi che regolano la produzione del segnale in output, a partire dal segnale in input, si conservano immutate nel tempo.

Filtri lineari ad invarianza temporale 9.1.3

Si può dimostrare che il requisito di entrambe le proprietà appena definite per un filtro implica una conseguenza fondamentale:

Filtri lineari ad invarianza temporale trasformano segnali armonici di una data frequenza in segnali armonici della stessa frequenza (il filtro può quindi modificare ampiezza e fase del segnale d'ingresso, ma non la sua frequenza).

Matematicamente ciò è esprimibile con la formulazione: )()( ϕωω +⋅=⋅ titi OO eBeAO

Si noti che cambiare il coefficiente moltiplicativo da A in B significa modificare l'ampiezza, sommare all'esponente il termine ϕ significa modificare la fase, mentre

Oω rimane costante e quindi la frequenza del segnale non viene modificata. Per studiare le conseguenze di questa fondamentale proprietà, calcoliamo il rapporto tra l'ingresso e l'uscita del filtro nel caso di un segnale armonico:

CTeAB

eAeB

tftf i

ti

ti

I

OO

O

∈=⋅=⋅⋅=

+ϕ

ω

ϕω )(

)()(

Abbiamo dimostrato dunque che )()( tfTtf IO ⋅= , con CT ∈ (T non ha nulla a che vedere con il periodo definito nei primi paragrafi di questa dispensa!), ovvero che l'operatore O applicato ad un segnale armonico si riduce ad un fattore moltiplicativo complesso. opportuno far notare però che il valore del numero complesso T può dipendere dalla frequenza angolare del segnale in ingresso. In generale si scrive che:

)(ωTT =

Funzione di trasferimento 9.2

Dato un filtro lineare ed invariante temporale, abbiamo visto che questo gode di interessanti proprietà quando è applicato a segnali armonici. semplice ora passare da questa proprietà particolare ad un risultato applicabile in maniera ben più




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generale.Ogni serie temporale che goda della ben nota proprietà di integrabilità in modulo (si rivedano le condizioni di Dirichlet) è infatti esprimibile come somma integrale di infiniti segnali armonici, ciascuno con un proprio peso complesso (si ricordi la definizione di nc nell'ambito della CFS e la definizione di ωω dF ⋅)( nell'ambito della CFT). In base alla proprietà di linearità, ciascuna di queste componenti armoniche attraversa il filtro come se non risentisse della presenza delle altre componenti armoniche. Possiamo quindi calcolare l'output del filtro applicando il principio della sovrapposizione degli effetti considerando in maniera separata ognuna delle armoniche.L'applicazione del filtro a ciascuna componente armonica, essendo il filtro lineare ed invariante temporale, si riduce alla moltiplicazione per una costante complessa, che tuttavia può essere in generale diversa per ogni frequenza angolare (essendo in generale )(ωTT = ).

Riassumendo, se la funzione in ingresso al filtro )(tf I ha uno spettro )(ωIS , e la funzione in uscita dal filtro )(tfO ha uno spettro )(ωOS , tra i due spettri, componente armonica per componente armonica, deve sussistere la semplice relazione data dall'agire del filtro come un semplice coefficiente moltiplicativo complesso:

)()()( ωωω IO STS ⋅=Dato che per ogni valore della frequenza angolare si può avere un diverso valore )(ωT, questi valori vanno a definire una funzione. Siccome il valore )(ωT indica come il peso (complesso, cioè il valore dello spettro per ogni frequenza) relativo a ciascuna frequenza angolare viene trasferito attraverso il filtro (può venir ad esempio amplificato o ridotto, anticipato o ritardato), tale funzione viene detta funzione di trasferimento. Sulla base del principio che un segnale è noto se è noto il suo spettro, considerando che, fornito lo spettro in ingresso, lo spettro in uscita è determinato univocamente dalla )(ωT , possiamo dire che la funzione di trasferimento definisce completamente il comportamento di un filtro lineare ed invariante temporale (conoscere la funzione di trasferimento significa conoscere completamente il filtro).

Nel dominio dei tempi 9.2.1

Abbiamo appena visto come per ciascuna frequenza angolare valga la relazione (nel dominio delle frequenze):

)()()( ωωω IO STS ⋅= (4)

che definisce appunto il comportamento del filtro nel dominio delle frequenze. Ci si chiede ora cosa si possa dire a riguardo del comportamento del filtro nel dominio dei tempi (a noi sicuramente più familiare). Dalla definizione di antitrasformata di Fourier (si noti che )(ωF , nella precedente definizione dell'antitrasformata di Fourier), corrisponde all'attuale spettro )(ωOS .Applicando l'equazione 4 per ottenere l'ultima uguaglianza:

ωωωωω ωω deSTdeStf tiI

tiOO ⋅=⋅= ∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−)()()()(



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=Tc

tf 10

)(

ed applicando il teorema di convoluzione (rispetto al quale non entriamo nel dettaglio), otteniamo l'espressione che lega la serie temporale in ingresso al filtro

)(tf I alla serie temporale in uscita dal filtro )(tfO :

dttItftf IO ∫∞+

∞−−⋅= )()(

21)( τπ

(5)

dove )( tI −τ prende il nome di risposta d'impulso del filtro. Essa caratterizza completamente il comportamento del filtro stesso nel dominio dei tempi. Possiamo quindi dire che per conoscere completamente un filtro è sufficiente conoscere la risposta d'impulso (dominio dei tempi) oppure la funzione di trasferimento (dominio delle frequenze), notando che risposta d'impulso e funzione di trasferimento sono coniugate (cioè sono la stessa identità, ma in due domini differenti).

Per ottenere la funzione di uscita del filtro relativa ad un determinato ingresso, dovremo quindi effettuarne la convoluzione con la risposta d'impulso (equazione integrale 5, dominio dei tempi), oppure calcolare il prodotto con la funzione di trasferimento (equazione 4, dominio delle frequenze). Dal punto di vista applicativo intuitivo che la metodologia più efficiente in termini di calcolo è in generale la seconda, ecco quindi un esempio della convenienza del lavorare nel dominio delle frequenze.

Un esempio importante 9.2.2

Consideriamo una funzione transiente nel dominio dei tempi, definita come:

per 22TctTct >∪−<

per 22TctTc ≤≤−

che rappresenta una )(tf che sul piano cartesiano disegna un rettangolo di base CT

ed altezza CT/1 , caratterizzata quindi da area unitaria ( ∫+∞

∞−= 1)( dttf ). Nel caso

particolare in cui 1=CT si definisce impulso rettangolare unitario:

0 per 22TctTct >∪−<

1 per 22TctTc ≤≤−

La corrispondente funzione coniugata nel dominio delle frequenze è la funzione sinc, la quale riveste una notevole importanza nell'analisi dei segnali e nel filtraggio degli stessi. Riassumendo si ha che:

=↔

⋅= ∏

CCC

cFTt

Ttf

ωω

πω sin

21)(1)(




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dove CC T/2πω = . Un esempio grafico della funzione rettangolare transiente (dominio del tempo) e della rispettiva funzione sinc (dominio delle frequenze) lo si trova in figura 39.

Consideriamo ora un filtro O lineare e invariante temporale, la cui risposta d'impulso sia proprio data dalla funzione sinc:

=

CTtctI sin)(

Vogliamo capire il comportamento del filtro, ma cercare di capire a cosa porta fare la convoluzione di una qualsiasi funzione d'ingresso con la funzione sinc, operando nel dominio del tempo, è cosa assai ardua. Ci spostiamo dunque nel dominio delle frequenze per cercare un'interpretazione più immediata.

Abbiamo appena visto che la funzione sinc è coniugata alla funzione rettangolo (transiente), inoltre sappiamo che, operando nel dominio delle frequenze, questa funzione rettangolo andrà semplicemente a moltiplicare lo spettro della particolare funzione in ingresso al filtro. Sinteticamente si scrive che:

)()()( ωωω IO STS ⋅= dove ∏

⋅=

CC

Tωω

ωω 1)(

Siccome la funzione rettangolo è nulla all'esterno dell'intervallo

+− 2;2

CC ωω , la

funzione di uscita avrà lo spettro di quella di ingresso (a meno di una costante), ma “ritagliato” in questo intervallo. Tutte le frequenze esterne all'intervallo della funzione rettangolo (stiamo lavorando nel dominio delle frequenze) verranno quindi annullate completamente dall'azione del filtro. Il filtro fa dunque “passare” tutte le frequenze “basse” (interne all'intervallo

+− 2;2

CC ωω ) ed annulla tutte le frequenze “alte” (esterne all'intervallo). La

discriminazione tra alte frequenze e basse frequenze è data dal valore di Cω .Questo

genere di filtro prende il nome di filtro passa-basso (low-pass filter) ideale.L'aggettivo “ideale” mette in evidenza il fatto che il filtro agisce in maniera teoricamente perfetta, senza cioè lasciar passare “un pò” delle frequenze teoricamente da rimuovere e senza alterare “un pò” quelle che teoricamente dovrebbero attraversare indenni il filtro. Purtroppo questa “perfezione” si riscontra ben raramente nei comuni filtri reali.



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Figura 39 - Onda quadra transiente nel dominio del tempo (fig. a sinistra) e corrispondente spettro di ampiezza (fig. a destra). Invertendo i domini si ottiene un filtro (fig. a sinistra) e la corrispondente serie temporale (fig. a destra, sinc nel dominio del tempo)

La delta di Dirac 9.3

Per definire il filtro passa-basso abbiamo considerato la funzione sinc nel dominio dei tempi e la funzione transiente rettangolare (la coniugata della sinc) nel dominio delle frequenze. Consideriamo ora il caso opposto, cioè la funzione sinc nel dominio delle frequenze e la funzione transiente rettangolare nel dominio dei tempi:

∏

⋅=

CC Tt

Ttf 1)(

Si ricorda inoltre che la funzione rettangolare transiente era stata costruita in modo

tale che avesse area unitaria ∫+∞

∞−= 1)( dttf ). Per mantenere l'area unitaria è necessario

che all'allargamento della base del rettangolo corrisponda un aumento dell'altezza (ampiezza) del rettangolo stesso e viceversa.Se a questo punto facciamo tendere la larghezza della base della )(tf a zero ( 0→CT ), ovviamente l'altezza del rettangolo

deve tendere a ∞+ . Otteniamo così una funzione )(tf nulla ovunque (per ogni t ) econ una singolarità nell'origine degli assi (a 0=t ) dove assume valore ∞+ . Non si tratta quindi di una funzione in senso stretto e verrà utilizzata prevalentemente sotto il segno di integrale. La indicheremo con il simbolo )(tδ e la chiameremo delta di Dirac.La sua definizione matematica, derivante dal procedimento appena descritto per ottenerla, è la seguente:

⋅= ∏→

CCT T

tT

tC

1lim)(0

δ

anche se dovrebbe essere chiaro che la delta di Dirac può essere vista come il segnale limite di un gran numero di altre funzioni (per mantenere l'area costante al diminuire della base l'altezza dovrà aumentare, rendendo la larghezza della base prossima a zero, l'altezza tenderà sempre a ∞+ ).

Per come è stata costruita la delta di Dirac è immediato comprendere che l'integrale (l'area sottesa dalla funzione) è ancora unitario:

∫+∞

∞−= 1)( dttδ

Sostanzialmente la delta di Dirac rappresenta un impulso di altezza infinita situato nell'origine degli assi oppure, più in generale, situato nel punto dove l'argomento della funzione )(tf si annulla (cioè dove 0=t ).

Secondo questa seconda interpretazione è facile rappresentare un impulso situato in un generico punto 0t dell'asse dei tempi, basta infatti assumere una delta di Dirac del




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tipo )( 0 tt −δ e verificare che per la simmetria della )(tδ vale )()( 00 tttt −=− δδ (infatti comunque l'argomento si annulla per 0tt = ).

Lo spettro della delta di Dirac 9.3.1

Per calcolare lo spettro della delta di Dirac ci si può rifare ancora alla sua definizione. Essendo:

=↔

⋅= ∏

CCC

cFTt

Ttf

ωω

πω sin

21)(1)(

ed essendo:

⋅= ∏→

CCT T

tT

tC

1lim)(0

δ

si avrà immediatamente che (essendo CC T/2πω = ):

πω

πωω

ω

πωω

πδ

ωω 21

21limsin

21lim1lim)(

0=

⋅=

↔

⋅=

∞→∞→→ ∏C

C

CCCT

senc

Tt

Tt

CCC

Quindi lo spettro della delta di Dirac è uno spettro piatto, in cui tutte le frequenze compaiono e contribuiscono con lo stesso peso alla formazione della delta di Dirac. In pratica questo è lo spettro di un amplificatore ideale, che amplifica tutte le frequenze della stessa quantità, senza distorcere il segnale.

Se consideriamo ora la delta di Dirac come la risposta d'impulso del nostro filtro,

trascurando la costante π21 e guardando “alla sostanza” dell'azione di filtraggio,

comprendiamo come questo filtro non faccia assolutamente nulla, tranne deamplificare tutto il segnale di un termine costante. Nessuna delle frequenze del segnale in ingresso viene infatti più o meno esaltata (o ridotta) rispetto alle altre.

Proprietà della delta di Dirac 9.3.2

Alla luce di quanto detto sulla delta di Dirac ci si potrebbe chiedere perché allora riveste tanta importanza. Essenzialmente per due distinti motivi:

1. la delta di Dirac )( t−τδ , utilizzata come fattore moltiplicativo sotto il segno di integrale (dominio dei tempi):

∫+∞

∞−=−⋅ )()()( ττδ fdtttf

può essere interpretata come l'operatore che permette l'operazione di campionamento di un segnale (serie temporale) )(tf , ovvero permette di estrarre il valore assoluto della )(tf ad un generico istante τ=t ;

2. sia O un filtro lineare ed invariante temporale, pensiamo di fornirgli in ingresso la funzione delta di Dirac, ponendo quindi )()( ttf I δ= e calcolando la funzione



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)(tfO in uscita dal filtro. Omettendo pochi passaggi matematici si ottiene che (si riveda l'equazione 5):

)(21)()(

21)()(

21)( tIdtIdtIftf IO π

τττδπ

τττπ

=−⋅=−⋅= ∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

si può anche lavorare allo stesso modo nel dominio delle frequenze. Assumendo che lo spettro del segnale in ingresso al filtro sia πω 2

1)( =IS , si ottiene che:

)(21)(

21)()()( tIdeTdeSTtf titi

IO πωω

πωωω ωω =⋅=⋅⋅= ∫∫

∞+

∞−

∞+

∞−

Dunque, presentando in ingresso ad un filtro la delta di Dirac, otteniamo in

uscita, a meno di una costante ( π21 ), la risposta d'impulso )(tI del filtro.

Figura 40 - Spettro dell’onda quadra transiente al variare della durata T nel dominio del tempo




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=)(tfT

Questo spiega il significato del termine “risposta d'impulso”, infatti la )(tIcorrisponde alla risposta del filtro quando in ingresso viene presentato un impulso ideale (di durata infinitesima ed ampiezza infinita). Nella pratica, volendo conoscere il funzionamento di un filtro continuo a priori ignoto, sarà sufficiente fornire in ingresso a tale filtro un segnale che sia quanto più possibile simile ad un impulso ideale quale la delta di Dirac e misurare l'uscita del filtro. La funzione misurata in uscita costituirà la risposta d'impulso )(tI del filtro e potrà essere utilizzata per determinare l'uscita del filtro per un qualsiasi segnale in ingresso.In modo analogo )( τ−tI è la risposta del filtro ad una delta di Dirac che si presenta in ingresso al filtro all'istante τ=t , tenendo conto dell'invarianza temporale del filtro. Alla luce del significato della risposta d'impulso è facile comprendere l'operazione di convoluzione (cioè il prodotto sotto segno di integrale della funzione in ingresso )(τIf per la risposta d'impulso )( τ−tI ad un generico istante τ=t . Esaminando in dettaglio la formula:

τττπ

dtIftf IO ∫∞+

∞−−⋅= )()(

21)(

la moltiplicazione della )(τIf per la risposta d'impulso )( τ−tI “scala” la risposta in maniera proporzionale al valore della funzione in ingresso, allo stesso istante

τ=t ; tale “scalatura” tiene conto della linearità del filtro.L'integrale infine va a sommare all'uscita tutte le risposte d'impulso opportunamente scalate, applicando il principio della sovrapposizione degli effetti.Riassumendo, ad ogni istante τ=t viene generata una nuova risposta d'impulso proporzionale al valore della funzione d'ingresso in quello stesso istante; tutte queste risposte (di durata temporale potenzialmente infinita!) vanno a sovrapporsi per produrre la )(τOf risultante.

Effetti del troncamento su un segnale 9.4

Le serie temporali considerate nelle applicazioni pratiche sono generalmente di durata infinita, ma per ragioni pratiche se ne possono osservare sperimentalmente solo frazioni di durata finita. Ci si chiede allora se il troncamento della )(tf nel dominio del tempo provoca qualche effetto sullo spettro corrispondente.

Sia )(tf una generica serie temporale e sia )(tfT la sua versione troncata:

)(tf per 22TctTc ≤≤−

0 per 22TcttTc >∪>−

Si può esprimere in maniera compatta )(tfT come il prodotto della funzione originaria con un filtro passa-basso:

∏

⋅=

CT T

ttftf )()(



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Conosciamo lo spettro della funzione rettangolare transiente (si ricorda che si tratta di una sinc). Il prodotto nel dominio del tempo corrisponde al prodotto sotto il segno di integrale nel dominio delle frequenze (la convoluzione; il caso opposto a quello trattato fino ad ora, dove il prodotto sotto il segno di integrale era fatto nel dominio del tempo e il semplice prodotto era fatto nel dominio delle frequenze).

In generale quindi lo spettro della funzione troncata è diverso da quello della serie temporale originale (di durata infinita nel tempo). L'errore che si introduce con l'operazione di troncamento è definito errore di leakage (traducibile dall'inglese come “perdita” o “dispersione”).

L'errore di leakage dipende ovviamente dal tipo di finestratura utilizzata per troncare il segnale, in quanto entra in gioco lo spettro della funzione transiente utilizzata (la funzione rettangolo ad esempio). Diverse finestrature possono quindi minimizzare o esaltare l'errore.

Figura 41 - Effetto del troncamento di un segnale sinusoidale, nei grafici a destra sono riportati gli spettri del segnale originario, della funzione di trancamento e del segnale troncato




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Figura 42 - Effetto del troncamento di un segnale sinusoidale ottenuto applicando funzioni di troncamento di diversa durata temporale



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Conversione analogico-digitale 10.

Fino ad ora abbiamo trattato la serie continua di Fourier (CFS) e la trasformata continua di Fourier (CFT), entrambe dedicate all'analisi dei segnali continui (cioè dei segnali analogici). Dato che nel campo dei segnali discreti (cioè dei segnali digitali) la serie discreta di Fourier (DFS) e la trasformata discreta di Fourier (DFT e come algoritmo di maggior efficienza la FFT - Fast Fourier Transform -) mantengono alla base gli stessi formalismi matematici della CFS e della CFT, non vedremo nel dettaglio ne la DFS, ne la DFT.

Ci preoccuperemo invece di analizzare come campionare un segnale per trasformarlo così da segnale analogico (continuo) in segnale digitale (discreto).

Nella realtà applicativa si pone costantemente la necessità di trasformare segnali continui (forniti in uscita dai diversi sensori utilizzati) in segnali discreti (gli unici memorizzabili ed elaborabili da un calcolatore). Questa trasformazione avviene mediante l'operazione di campionamento o conversione analogico-digitale (A/D conversion).

Vogliamo ora non solo definire tale conversione, ma capire anche le possibili ripercussioni che il campionamento ha sullo spettro del segnale acquisito.

Campionamento 10.1

Sia )(tf a il segnale (serie temporale) analogico con ℜ∈t , non periodico, integrabile in modulo. Per questo segnale sappiamo esistere la rappresentazione data dalla CFT (trasformata continua di Fourier):

∫+∞

∞−⋅= ωω ω deFtf ti

aa )()( (6)

Convertire il segnale da analogico a digitale significa campionarlo ad intervalli regolari, ovvero estrarre il valore del segnale analogico ad istanti equispaziati nel tempo (diciamo ogni T secondi, dove con T non indichiamo il periodo del segnale, dato che è aperiodico per come l'abbiamo definito, ma indichiamo il periodo di campionamento) ed utilizzare i valori estratti (con un numero finito di cifre decimali) per definire la nuova sequenza discreta:

)()( nTfnf ad =dove la funzione df , essendo discreta, non dipende più strettamente dal tempo, ma dal valore n che il segnale assume alla n-esima iterazione del processo di campionamento (quindi, sul piano cartesiano, l'asse delle ascisse non è più strettamente l'asse del tempo, bensì è l'asse dei valori ordinati n ottenuti dal campionamento).

Come anticipato, T è detto periodo di campionamento, quindi definiamo come

Tfc 1= la frequenza di campionamento.




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Essendo )(nfd un segnale discreto, esso può essere rappresentato attraverso l'antitrasformata di Fourier a tempo discreto (DFT); senza entrare nei dettagli della DFT, ne vediamo solamente la forma per cogliere le analogie con la CFT (trasformata e antitrasformata continua di Fourier):

∫+

−

Ω Ω⋅Ω=π

ππdeFnf ni

dd )(21)(

mentre abbiamo visto nuovamente con l'equazione 6 la forma della CFT.

dove Ω è la generica frequenza del segnale digitale )(nfd , mentre )(Ωdf è la trasformata del segnale digitale stesso nel dominio delle frequenze (è lo spettro complesso del segnale). Per quanto riguarda invece la CFT, ω è la generica frequenza del segnale analogico )(tfa e )(Ωaf è la trasformata del segnale analogico stesso nel dominio delle frequenze (è lo spettro complesso del segnale).

Se confrontiamo i due spettri )(ωaF e )(ΩdF (non vengono proposti i passaggi matematici), ci si accorge che lo spettro )(ΩdF del segnale discretizzato (lo spettro del segnale digitale) non è uguale allo spettro )(ωaF del segnale analogico originale!

Il campionamento introduce quindi delle differenze in termini di spettro, in particolare si ha che:

1. )(ωaF non è periodico (per come l'abbiamo definito); lo spettro )(ΩdF è invece

periodico ed è facile verificare che il periodo è pari a π2 .

2. )(ΩdF è la sovrapposizione di infinite repliche di )(ωaF , separate da un

intervallo π2 .

Il secondo punto è particolarmente scoraggiante, dato che una volta che sono state sovrapposte le suddette repliche, non c'è evidentemente nessun modo di poterle suddividere nuovamente per recuperare lo spettro originale.

Questo fenomeno, ovvero il fatto che frequenze diverse si comportino alla stessa maniera e non siano quindi distinguibili tra loro, prende il nome di errore di aliasing.

L'aliasing (letteralmente impersonazione; detto anche distorsione da campionamento lento o da sottocampionamento) è il fenomeno per il quale due segnali analogici diversi possono diventare indistinguibili una volta campionati. Campionando un segnale sinusoidale con una certa frequenza l'insieme dei punti che si acquisiscono non permettono talvolta di identificare univocamente una sola sinusoide. Dato che, tramite l'analisi di Fourier, ogni segnale continuo può essere visto come sovrapposizione di seni e coseni risulta importante riuscire a limitare questa ambiguità.

La sovrapposizione delle repliche è dovuta al fatto che frequenze diverse vengono “viste” in modo identico dall'operatore di campionamento.

E’ opportuno mettere in evidenza nuovamente che si tratta di un errore irreversibile, pensare di risolvere a posteriori questo genere di errore equivarrebbe a pensare di



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essere in grado di distinguere i due addendi di una somma, conoscendo solamente il risultato della somma stessa.

Figura 43 - Esempio di aliasing nel dominio del tempo. Avendo a disposizione i soli punti campionati (quadrettati) non si è in grado di ricostruire univocamente la sinusoide continua il cui campionamento ha fornito quei stessi punti. Infatti in figura si nota che per quei punti possono essere fatte passare almeno 2 sinusoidi distinti. Se avessi campionato a frequenza maggiore (se cioè avessi un numero maggiore di punti) probabilmente non incorrerei in questa ambiguità

Prevenire l'errore di aliasing 10.1.1

Dato che, come è già stato detto, l'errore di aliasing non può essere corretto una volta comparso, l'unica speranza rimane quella di evitare a priori di incorrere in questo errore. Ciò è possibile se le repliche dello spettro originario rimangono disgiunte sull'asse delle frequenze, ovvero non si sovrappongono.

Guardando alla figura 43 è intuitivo comprendere che l'errore è dovuto al sottocampionamento, dato che aumentando il numero di valori (del segnale analogico originale )(tf a campionati, aumenta anche la possibilità di riconoscere con certezza, partendo dal segnale digitale, il corrispondente segnale analogico originario. Infatti il problema è dato proprio dal non conoscere l'andamento della serie temporale originaria )(tf a tra i punti campionati. altresì intuitivo che un segnale che contenga frequenze arbitrariamente grandi (si pensi ad esempio ad un segnale transiente, quindi ad un qualsiasi segnale di durata temporale limitata, e si ricordi che esso ha uno spettro continuo ed infinito) non potrà mai essere campionato senza perdere informazione. Esisteranno infatti sempre variazioni troppo rapide del segnale, che avverranno tra due punti consecutivi campionati, che risulteranno quindi non percepibili in sede di campionamento, quindi “perdute” nel passaggio analogico-digitale.

Supponiamo allora che il nostro segnale analogico sia a banda limitata, ovvero che esista una frequenza massima oltre la quale i coefficienti del suo spettro (i “pesi” delle armoniche) siano tutti nulli:

0)(:max =ℜ∈∃ ωω aF se maxωω ≥




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Sappiamo che lo spettro del segnale discretizzato si ripete dopo un periodo πω 2=T ,

ovvero quando Tπω 2= . Per fare in modo che le repliche non si sovrappongano è

necessario quindi che abbiano una “larghezza” totale (sull'asse delle frequenze)

minore di Tπω 2= , ovvero che T

πω <max .

Si determina allora la frequenza di campionamento minima necessaria ad evitare il fenomeno dell'aliasing:

maxmaxmaxmax 2122 fffT

fT

f cc ⋅>⇒=<⋅⇒<⋅= ππω

La frequenza di campionamento cf espressa in Hz (ovvero il numero di campioni al

secondo estratti dal segnale analogico originario), deve quindi essere maggiore del doppio della frequenza massima presente nel segnale analogico originario. Viceversa, se cf è la frequenza di campionamento, la massima frequenza correttamente

acquisibile, ovvero 2maxcff = , è detta frequenza di Nyquist.

La conseguenza fondamentale della discussione appena esposta è che, se la frequenza di campionamento è maggiore del doppio della massima frequenza presente nel segnale, allora il segnale analogico è completamente ricostruibile a partire dal segnale discretizzato (basta infatti considerare la sola finestra spettrale [ maxmax ; ff− ] ed operare su di essa l'antitrasformata discreta di Fourier).

Questo risultato è noto con il nome di teorema di Shannon o anche con il nome di teorema del campionamento.

Il campionamento nella pratica 10.1.2

Ci si chiede ora se l'ipotesi di segnale a banda limitata, alla base del teorema di Shannon, sia o meno un'ipotesi verosimile per la maggior parte dei segnali con i quali si a generalmente a che fare. Abbiamo visto nei precedenti paragrafi che un segnale limitato nel dominio spettrale ha durata infinita nel dominio del tempo. Dato che quando acquisiamo un segnale lo acquisiamo per un periodo di tempo limitato, si avrà sempre che nel dominio delle frequenze il segnale ha una banda infinita; quindi in teoria dovremmo campionare a frequenza cf infinita ... in pratica non potremmo mai passare dal segnale analogico al segnale digitale! Non dimentichiamo inoltre che ogni segnale è affetto da rumore, che generalmente ha una banda illimitata (è composto da tutte le frequenze, cioè ha uno spettro infinito) e non è separabile dal segnale che vogliamo analizzare.

In realtà, per ogni generico segnale che acquisiamo, siamo interessati ad analizzare il segnale stesso in una banda limitata di frequenze (non ci interessa tutto il suo spettro, bensì solo una parte di esso).

La soluzione per avere uno spettro finito e quindi per poter applicare Shannon si chiama filtro passa-basso. Tale filtro, come abbiamo visto, trasferisce dall'ingresso all'uscita, mantenendole invariate, le frequenze sotto una certa soglia sf , mentre



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annulla tutte le frequenze superiori a quella soglia. Il filtro consente quindi di rendere a banda limitata qualunque segnale, si dovrà solamente scegliere la frequenza di taglio sf .

Il filtro dovrà essere continuo o discreto? Il filtro passa-basso dovrà essere continuo,in quanto il segnale deve essere filtrato prima della conversione analogico-digitale (A/D). Dopo la conversione infatti, l'aliasing eventualmente presente non sarà più sanabile. Il fatto però che il filtro sia continuo implica però che esso non potrà essere un filtro ideale (“numerico”), ovvero in generale altererà di poco le frequenze sotto la soglia sf e lascerà passare, in minima parte, alcune frequenze superiori alla soglia. L'efficienza (e purtroppo il prezzo) dei filtri si misura proprio in base alla somiglianza della loro funzione di trasferimento alla funzione di trasferimento di un passa-basso ideale. Premesso quindi che parte delle frequenze alte prossime a sf comunque “sopravvivono” al filtro, è quindi logico aspettarsi un possibile modesto errore di aliasing per sc ff ⋅= 2 . Per non incorrere nemmeno in questo modesto errore è opportuno non considerare una frequenza di campionamento cf esattamente doppia alla frequenza massima f_max (corrispondente alla f_c, avendo applicato il filtro), ma avere un margine di sicurezza con sc fff ⋅=⋅> 22 max .

Considerato il fatto che maggiore è cf , minore è il rischio di incorrere nell'errore di aliasing, si potrebbe pensare di considerare una cf molto alta. La ragione che spiega perché non seguire questa “soluzione” è nuovamente di ordine pratico: campionare significa di fatto memorizzare dei valori estratti a intervalli di tempo costanti dal segnale analogico originario, scrivendo questi valori su supporti di memoria di massa. Una frequenza di campionamento cf troppo elevata farebbe in modo di saturare velocemente lo spazio in memoria, inoltre il processamento dei dati al calcolatore, a parità di durata del segnale originale registrato, richiederebbe la “manipolazione” di un numero molto più elevato di dati, che richiederebbe, molto spesso ingiustificatamente, maggiori risorse hardware e maggior tempo di elaborazione dei dati.

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