Note sulla pressione di degenerazione nelle stelle

● Pressione di un gas classico in condizioni STP

● Pressione di un gas quantistico di fermioni: principii di Heisenberg/Paulipressione di degenerazione

● Fasi finali nell' evoluzione di una stella:- diagramma HR- stelle poco massive: pressione di degenerazione di elettroni

Helium flashNana bianca

- stelle molto massive: contrazioni/espansioni durante cicli fino a FePressione di degenerazione di protoniCollasso gravitazionale

- novae e supernovae: massa di Chandrasekaer/massa di PlanckStelle Novae (in sistemi binari)Supernovae di tipo I e II

- stelle di neutroni: pressione di degenerazione di neutroniPulsars e magnetars

- buchi neri: Limite di SchwarschildCygnus X-1

Evoluzione stellare e pressione di degenerazione

Dopo la combustione dell’ idrogeno, in una stella (e nel Sole) hanno luogo cambiamenti sostanziali sia nella struttura (nucleo e strati esterni) che nell’ emissione di energia.

Per comprendere il comportamento di una stella in queste condizioni e’ necessario considerare le differenze tra gas ordinari e gas degeneri.

Una stella durante la sua evoluzione si contrae man mano che il combustibile nucleare viene utilizzato: ad ogni contrazione la temperatura aumenta e sono possibili fusioni di nuclei piu’ pesanti. Quando viene esaurito il combustibile per la fusione e il nucleo della stella e’ costituito essenzialmente da Fe, il nucleo collassa a causa della gravita’.

Oggi cercheremo la risposta ad alcune domande:

Che cosa accade esattamente durante questo collasso? Fino a quando la contrazione puo’ continuare? Che cosa la rallenta o ferma?Come avviene l’ esplosione di una supernova? E di una nova?Che cosa rimane dopo l’ esplosione?

Diagramma di Hertzsprung–Russell

Pressione di un gas in condizioni STP

nkTP Legge dei gas perfetti (per volume unitario): al crescere della temperatura, anche la pressione cresce.

Interpretazione cinetica:

Pressione = forza per unita’ di area esercitata dalle molecole/atomi del gas= momento trasferito per unita’ di area e di tempo

Momento tasferito attraverso area A nel tempo t = = numero particelle x momento medio particella =

= densita’ di numero x volume x momento medio particella xxtpnAv

Quindi: 2

xxx nmvpnvP

Tenendo conto del moto in 3 dimensioni si arriva a:

2

3

1mvnP

Poiche’:

kTmv 32

Si giustifica le legge dei gas perfetti: nkTP

Per un volume generico, si ha: V

TnkP

Ma quanto piccolo puo’ essere il volume affinche’ questa legge sia valida?In altri termini, la legge vale per gas/plasmi fino a quale densita’ di volume?

Max densita’: su terra ~20 g/cm3, su sole ~150 g/cm3, su stelle?

Limite dato dalla meccanica quantistica.

Principi fondamentali della Meccanica Quantistica

xpx

• Principio di indeterminazione di Heisenberg

• Principio di esclusione di Pauli

due elettroni (o fermioni identici) non possono occupareil medesimo stato energetico. In particolare non possono avere gli stessi momenti, spin e posizioni.

Quindi, se un elettrone e’ confinato nel volume di una stella, il suo momento sara’ noto con un’ incertezza legata alla dimensione della Stella (per il principio di Heisenberg). Per stelle ordinarie non e’ un problema, ma nelle fasi di contrazione la velocita’ aumenta e questo genera una “pressione” effettiva che contrasta la gravita’. Senza il principio di Pauli, si avrebbe una contrazione (per una stella delle dimensioni del Sole) fino a r~10-31 m! Tenendo conto del principio di esclusione, si vede che la contrazione arriva a r~107 m (di poco superiore al raggio della Terra).

Quindi, dato che: xx pnvP e indicando con ne il numero di elettroni per m3

La distanza media tra elettroni puo’ essere espressa come:

3/13

11

eenn

x

3/1

exx hnx

hpp

Quindi:

e

xx

m

pv

e

ee

e

eexxee

m

nhhn

m

hnnpvnP

3/523/1

3/1

Pressione di degenerazione elettronica

In generale, tenendo conto del moto in tre dimensioni e dei valori medi Di posizione ed impulso si ha:

3/53/52

0485.0

V

nK

m

nhP

e

ee

Si confronti con:V

TnkP

Sostituendo alla densita’ di numero la densita’ di massa e includendo anche i protoni del nucleo (il core di una stella e’ elettricamente neutro):

p

e

ep

mA

Zn

Z

nAm

3/5

3/53/52

0485.0pe

emA

Z

m

hP

Si arriva alla seguente espressione per la pressione di degenerazione:

Questa espressione non dipende dalla temperatura!Un gas degenere riscaldandosi non si espande.

Assumendo che il nucleo di una stella, una volta esaurito il combustibile al suo interno, sia supportato dalla pressione di degenerazione del gas di elettroni, si puo’ derivare una relazione interessante tra la massa del core e il suo raggio.

Calcolo della pressione al centro del sole

Equilibrio idrostatico nel Sole hr

rrGmghP

2

)()(

Se h=R, si ottiene la pressione al centro del Sole

R

GMP c

c

Inoltre, supponendo che la densita’ centrale sia la stessa di tutto il sole, si ha:

cRM

hrrrmhrm

3

2

3

4

)(4)()(

E quindi:4

2

4

3

R

GMPc

Uguagliando questa espressione a quella della pressione di degenerazione si ottiene:

3/1

3/5

3/5

2

114.0

M

A

Z

mGm

hR

pe

Espressione estremamente interessante: un oggetto supportato da un gas degenere di elettroni e’ piu’ piccolo se e’ piu’ massivo!

Z/A e’ circa 0.5 per nuclei da He a Fe. Se la stella diventa troppo massiva il raggio diventa nullo. In effetti, un calcolo piu’ corretto che tiene conto degli effetti relativistici nel moto degli elettroni mostra che R>0 se M>1.4Msole.

Questo e’ il Limite di Chandrasekhar.Esso determina un limite superiore allamassa di un corpo supportato dalla pressione di degenerazione di elettroni.

Massa di Chandrasekhar

La trattazione relativistica mostrerebbe che l’ equazione di stato di un corposorretto da pressione di degenrazione elettronica e’:

3/4

'

V

nKPe

N.B.!

La massa di Chandrasekar, pari a circa 1.4 masse solari, vale:22/3

1

3

p

ChmG

hcM

Essa puo’ essere espressa in termini di altre due masse: la massa del protonemp e la massa di Planck

KgG

hcM Pl

8

2/1

105.5

Risultando:

2

32/33

p

PlCh

m

mM

Evoluzione stellare I: la Nana bianca

Un corpo con le caratteristiche descritte finora si ipotizza sia una stella Nana bianca,risultato dell’ evoluzione di stelle poco massive della sequenza principale.

Sequenza di eventi:

Il nucleo di H si esaurisce e la combustione termonucleare si arresta. La pressione del gas non bilancia la gravita’ e il nucleo si contrae e si riscalda.

Il gas immediatamente sopra il nocciolo si riscalda a seguito della contrazione.Inizia la combustione di H in He in uno strato attorno al nucleo della stella: L’ energia prodotta provoca l’ espansione degli strati soprastanti.

Il nucleo continua a contrarsi.

In questa fase la luminosita’ della stella cambia di poco (gli strati esterni si raffreddano un po’ a causa dell’ espansione). La stella si muove orizzontalmente nel diagramma HR e viene detta sotto-gigante (subgiant).

Gli strati esterni continuano l’ espansione a seguito della combustione di H nello strato intermedio, supportata dal continuo collasso del nucleo. La temperatura esterna si assesta su 3000 K e la stella si espande senza raffreddarsi Ulteriormente: la luminosita’ aumenta e la stella si sposta verticalmente nel Diagramma HR. E’ diventata una gigante rossa.

Il nucleo si contrae al punto da diventare degenere ed e’ supportato dalla pressionedi degenerazione. Il campo gravitazionale esercitato sugli strati intermedi e’ molto intenso e lo strato di H aumenta la temperatura in modo da resistere alla gravita’.Ne segue un aumento di luminosita’ e la stella sale rapidamente lungo il ramo delle giganti rosse.

Alla fine del ramo verticale, la contrazione del nocciolo e’ tale da permettere la fusione di He in C attraverso il triplo processo a. Poiche’ il nocciolo e’ degenere, Un aumento di temperatura causata dalla fusione di He non ne provoca espansione.Al crescere della temperatura si ha il cosiddetto “Helium flash” (non visibile) in cui parte dell’ energia termica accumulata nel nocciolo viene rapidamente dissipata negli strati superiori. Per valori sufficientemente elevati di temperatura, il nucleo non e’ piu’ degenere e la combustione di He in C continua in modo stabile.La stella viene detta “del ramo rizzontale”.

Il nucleo di He si esaurisce. Il nocciolo si contrae ulteriormente e uno strato di He Intermedio inizia a fondere. La combustione di H si trasferisce agli strati piu’ esterni.

La stella diviene una gigante asintotica.

A questo punto la stella diventa instabile e inizia ad oscillare mentre si espande e si raffredda o si contrae e si riscalda. In questa fase gli strati piu’ esterni vengono espulsi a formare una nebulosa planetaria.Il nucleo resta visibile come Nana bianca.

Le nane bianche sono luminose non perche’ generano energia, ma perche’ hanno intrappolato al loro interno grandi quantita’ dicalore.

La luminosita’ decresce lentamente nel tempo: dopo alcuni miliardi di anni la stella non e’ piu’ visibile.

Evoluzione stellare II: la Supernova

Per stelle di massa > 6 masse solari il destino e’ differente a causa della maggiore temperatura nel nocciolo, che permette la fusione di nuclei piu’ pesanti, sino al Fe.

Sequenza di eventi:

Il nucleo puo’ raggiungere o superare la massa di Chandrasekhar.

Non si ha Helium flash perche’ il nucleo e’ sufficientemente caldo da innescare reazioni del triplo processo alfa prima di raggiungere lo stato di gas degenere.

La formazione dello strato intermedio di H fondente e’ simile al caso precedente.

La stella si muove avanti e indietro orizzontalmente nel diagramma HR man mano che il nucleo si contrae, si scalda e inizia la fusione di un altro elemento, mentre gli strati esterni si espandono.

Quando un particolare tipo di nucleo e’ esaurito, il nucleo si contrae e la stella si muove orizzontalmente nel diagramma HR finche’ un altro nucleo, piu’ pesante, inizia a fondere.

La stella assomiglia ad una “cipolla” con una serie di strati in cui si ha fusione di nuclei via via piu’ pesanti sino al Fe.

Quando si ha un nocciolo di Fe, il nucleo collassa e la stella diventa una supernova.

Pressione di degenerazione di protoni

Anche i protoni, presenti nelle stelle con gli elettroni, sono soggetti alle regole

della meccanica quantistica e hanno un’ incertezza sul momento. Al diminuire

dello spazio di confinamento aumenta il loro impulso e si ha una pressione di

degenerazione di protoni.

Ma, a parita’ di momento, l’ energia cinetica di un protone e’ circa 2000 volte

inferiore a quella di un elettrone: la pressione di degenerazione di protoni

e’ trascurabile rispetto a quella di elettroni in stelle normali o nane bianche.

Vedremo che essa sara’ importante nei processi avanzati di collasso

di stelle massive con formazione di stelle di neutroni.

Dal punto di vista energetico, protoni ed elettroni possono combinarsi

a dare neutroni e neutrini: per cui, poiche’ massa di p e n sono simili,

giochera’ a tutti gli effetti la pressione di degenerazione di neutroni.

Novae e Supernovae

Il termine "nova" deriva dal Latino e significa nuova stella. Le prime novae

osservate si pensa fossero in realta’ supernovae esplose entro la nostra

galassia: si pensava che fossero stelle temporanee poiche’ erano

sufficientemente luminose da essere viste a occhio nudo ma non potevano

essere viste prima dell’ esplosione.

Curve di luce di novae e supernovae molto simili, ma le supernovae sono

molto piu’ luminose le due classi di oggetti sono prodotti in situazioni molto

differenti.

Proprieta’ delle Novae

Si verificano in sistemi stellari binari chiusi.

La luminosita’ aumenta di un fattore 105 in pochi giorni, decresce ad un livello

di luminosita’ pari o di poco superiore in qualche centinaio di giorni.

Rilascio tipico di energia pari a circa 1037-38 joules, pari all’ energia rilasciata

dal sole in circa 10.000 anni.

Gli spettri rivelano che materia viene emessa con velocita’ fino a 5000 Km/s.

In alcuni casi sono visibili gli strati esterni sotto forma di piccole nebulose.

La quantita’ di massa emessa e’ molto piccola: circa 10-4 masse solari.

Un modello di Nova

Le stelle novae sono binarie. Quindi bisogna avere:

Una coppia di stelle, una poco piu’ massiva dell’ altra e in gado di evolvere

a nana bianca prima dell’ altra.

La seconda stella evolve piu’ lentamente e diventa una gigante rossa.

Se le stelle orbitano una vicina all’ altra, del materiale emesso dalla gigante

rossa puo’ accumularsi sulla nana bianca, fluendo attraverso il cosiddetto

“lobo di Roche” della gigante rossa.

Il processo di accrescimento continua finche’ sufficiente materiale si accumula sulla

nana bianca perche’ possa per attrazione gravitazionale inescarsi la fusione di H in

He.

Poiche’ la superficie della nana bianca e‘ in uno stato degenere, H brucia molto

rapidamente, in modo simile a quello dell’ Helium flash.

Si rilascia molta energia e lo strato superficiale della nana bianca diventa non

degenere e si espande (la pressione cresce) a seguito dell’ aumento di temperatura.

Il lobo di Roche di una stella rappresenta il volume in cui il campo gravitazionale

della stella e’ piu’ intenso di quello della stella compagna.

Questo modello e‘ confortato dall’ esistenza delle novae ricorrenti: l’ aumento di

luminosita’ e’ maggiore per novae con intervalli piu’ lunghi tra gli episodi.

Si noti che il meccanismo che provoca l’ accrescimento di H sulla nana bianca

potrebbe a sua volta generare un’ altra nova!

Proprieta’ delle Supernovae

L’ ultima supernova esplosa nella Via Lattea risale al 1604 e fu osservata da

Keplero, Galileo e altri. Da allora molte supernovae in altre galassie sono

state osservate. Una delle piu’ spettacolari risale al 1987, la supernova 1987A

che esplose nella Grande Nube di Magellano, relativamente vicina alla nostra

galassia.

Le supernovae sono stelle totalmente differenti dalle novae: una SN puo’

avere una curva di luce simile ad una nova, ma raggiune luminosita’ di 1010

volte superiore a quella del sole.

Le osservazioni di queste SN in altre galassie, ne hanno rivelato due

categorie:

Proprieta’ Tipo I Tipo II

Locazione Vicino a stelle vecchie Vicino a stelle giovani

Spettro No H, molte righe Dominato da H

Massa eiettata 0.5 masse solari 5 masse solari

Energia totale 4 x 1043 J 1044 J

Magnitudine massima -19/-20 -17

Velocita’ eiezione 10.000 Km/s 5000 Km/s

Curve di luce di Supernovae

Che cosa causa l’ esplosione di un Supernova?

L‘ energia gravitazionale!

Infatti, si consideri l’ energia di collasso gravitazionale che si avrebbe se un

oggetto di massa 1.4 masse solari e raggio r=15 Km (vedi stella di neutroni)

collassasse a r=0:

Energia piu’ che sufficiente ad alimentare una supernova.

I due tipi di supernovae, I e II, hanno origine da precursori diversi

• Il tipo II proviene dall’ evoluzione di stelle massive.

• Il tipo I proviene dall’ esplosione di una nana bianca vicina al limite di

Chandrasekhar che accumula abbastanza materiale da superare il limite.

Supernovae di tipo I e II

Nelle supernovae di tipo II, una stella massiva raggiunge il punto in cui il

nocciolo e’ composto da Fe solido.

Il nucleo si contrae poiche’ non e’ piu’ possibile la creazione di energia

nucleare.

La temperatura sale a tal punto che si ha fotodisintegrazione dei nuclei: raggi

gamma penetrano vi nuclei di Fe e li spaccano. Il nocciolo assorbe cosi’ tanta

energia che viene favorita la reazione di cattura di elettroni da parte dei protoni

a formare neutroni.

Neutrini vengono emessi in abbondanza.

La materia sovrastante collassa e rimbalza sul nucleo di neutroni

(estremamente denso): si genera nella stella un’ onda d’ urto che provoca un’

esplosione e il rilascio del materiale sovrastante nello spazio.

Dopo circa un giorno inizia l’ emissione luminosa: grandi quantita’ di luce

visibile vengono emesse e la stella diventa luminosa.

Resti di SupernovaeEdwin Hubble dedusse nel 1928 che la Nebulosa del Granchio era cio’ che

restava dell’ esplosione di una supernova nella Via Lattea osservata e

registrata da Cinesi e Nativi Americani. Lo dedusse misurando la velocita’ di

espansione dei gas e realizzando che essa era compatibile con una

esplosione risalente a circa 900 anni prima.

Questi resti hanno spesso forma circolare e contengono grandi quantita’ di

elementi pesanti (come ci si aspetta dall’ esplosione di SN). Il mezzo

interstellare circostante viene eccitato dal gas emesso nell’ esplosione e si ha

anche emissione di raggi X.

Evoluzione stellare III: Pulsars, stelle di neutroni e buchi neri

Tipo Masse solari core Massa iniziale seq. princ.

Sorgente pressione

Nana bianca <1.4 ~6 Elettroni

Stella di neutroni 1.4-3 6-12 Neutroni

Buco nero >3 >12 ---

Stelle di neutroni

Le stelle di neutroni sono prodotte quando la forza di gravita’ diventa cosi’

intensa che la reazione:

diventa energeticamente favorevole.

Esse sono supportate dalle pressione di degenerazione del gas di neutroni,

analogamente a quanto succede per il gas di elettroni nelle nane bianche.

Sono molto piu’ piccole di queste (r=10-20 Km a seconda della massa:

ancora oggetti piu’ massivi sono piu’ piccoli). La densita’ centrale raggiunge

valori di ~7x1017 kg/m3 .

La struttura e’ molto differente da quella di stelle normali o nane bianche e si

puo’ avere una sorta di “crosta” superficiale.

Le stelle di neutroni ruotano molto rapidamente su loro stesse per

conservare il momento angolare e danno origine alle cosiddette pulsars.

Stelle di neutroni

Pulsars

Scoperte da Jocelyn Bell nel 1967, durante una borsa post-doc.

Premio Nobel 1974 per la scoperta a Antony Hewish, suo supervisore.

Buchi neri

Se il nocciolo restante dopo l’ esplosione della supernova e’ cosi’ massivo che

nemmeno la pressione di degenerazione di neutroni riesce a sostenerlo, la

gravita’ lo fa collassare in un buco nero.

Il raggio di un buco nero e’ definito come il raggio a cui la velocita’ di fuga

diventa uguale alla velocita’ della luce: questo e’ detto raggio di

Schwarzschild. Poiche’ nessuna informazione puo’ uscire esso viene detto

orizzonte degli eventi e non e’ possibile osservare il suo interno.

Sebbene i buchi neri possano anche essere stati concepiti da Newton, essi sono interpretabili solo attraverso la relativita’ generale.

Un buco nero e’ una regione in cui il campo gravitazionale e’ cosi’ intenso e la curvatura dello spazio cosi’ grande che il cammino di un fotone si ripega su se stesso. In modo equivalente ponendo la velocita’ di fuga pari a c e’ possibile stimare le dimensioni di tale oggetto:

Questo raggio non puo’ essere osservato sperimentalmente ne’ essere misurato.

Esempio famoso di possibile buco nero in Cyg X-1 che e’ un’ intensa sorgente X.

Nel visibile si ha una supergigante blu, HDE226868, con M~20Msole

Tabella densita’