Lezioni L3webuser.unicas.it/pagliarone/lect/l03.pdf · Campi Scalari e Campi Vettoriali ed...

FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 2004FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 2004--2005 Carmine E. Pagliarone2005 Carmine E. Pagliarone

LezioniLezioni L3.aL3.a1. 1. FlussoFlusso attraversoattraverso unauna superficiesuperficie;;2. 2. ScalariScalari, , PseudoscalariPseudoscalari, , VettoriVettori e e PseudovettoriPseudovettori;;3. 3. CampiCampi ScalariScalari e e CampiCampi VettorialiVettoriali ed ed operatorioperatori;;4. 4. GradienteGradiente, , DivergenzaDivergenza, , RotoreRotore, , LaplacianoLaplaciano;;5. 5. TeoremaTeorema deidei CampiCampi ConservativiConservativi;;6. 6. TeoremaTeorema delladella divergenzadivergenza didi Gauss;Gauss;7. 7. TeoremaTeorema didi Stokes;Stokes;8. 8. TeoremaTeorema didi Gauss (1Gauss (100 EqEq. . didi Maxwell);Maxwell);9. Rot E=09. Rot E=0

FISICA GENERALE II,FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 2004Cassino A.A. 2004--20052005 Carmine Elvezio PagliaroneCarmine Elvezio Pagliarone

Flusso di un vettore F E

ϑcosEAEAAEE ==⋅=Φ ⊥

rr

medesima. superficie alla lareperpendico zionedire e verso e superficie della areal' modulo come avente superficie vettore il

dointroducen adescriverl possibile e' spazio; nello piana superficie una moConsideria

Ar

Dato un campo vettorialeE, il flusso del campo Eattraverso la superficie Ae’ definito come:


i

n

iiE AE

rr∆⋅=Φ ∑

=1

0→iA?r

⋅=ΦArea

E AdErr

moinfinitesi superficie di elemento un e' Adr

Flusso di E attraverso una superficie


Flusso attraverso una superficie chiusa

una superficie chiusa divide lo spazio in due regioni (interna ed esterna alla superficie).

Per definizione la direzione dell’elemento di area dA e’ sempre perpendicolare ed uscente dalla superficie.


Campo Vettoriale esterno ad una superficie chiusa

Il flusso netto è zero perchè ogni linea di campoche entra nella superficie è poi uscente.Dimostrarlo !


Carica netta all’interno della superficie

Una carica netta (-2Q + Q)= -Q e’ contenuta all’interno della superficieA, producendo il flusso del campo elettrico attraverso la superficie


Prodotto Scalare e Prodotto Vettore I• Prodotto Scalare: Applicazione che va dallo spazio prodotto

R3xR3 in R tale che:

• Norma di un Vettore: Applicazione che va dallo spazio deivettori R3 nello spazio dei Reali positivi R+ definito come:

• Prodotto Vettore: Applicazione che va dallo spazio prodottoR3xR3 nello spazio dei vettori R3, definito dalla relazione:

ˆ ˆ ˆ

x y z

x y z

x y zA B A A A

B B B× ≡

r r

23

1,

j jA A A A

=≡ = ∑

r r r

3

1, j jj

A B A B A B=

≡ ⋅ =∑r rr r


Prodotto Scalare e Prodotto Vettore II

ˆ ˆ ˆˆ sinx y z AB AB

x y z

x y zA B A A A u A B

B B Bθ× ≡ =

r rr r

3

1, cos

jj j ABj

A B A B A B A B θ=

=≡ ⋅ = =∑

r r rr r r

BBAA

uuABAB

θθABAB


Inversione del sistema di coordinate

xx

yy

zz

P(x,y,zP(x,y,z))

zz’’

yy’’

xx’’

PP

( )( , , ) ( , , )P x y z P x y z℘ = − − −


Scalari,Pseudoscalari,Vettori,Pseudovettori

•• ScalareScalare: elemento appartenente ad R invariante per Inversionedel sistema di coordinate;

•• PseudoscalarePseudoscalare: elemento appartenente ad R che cambia segno per inversione del sistema di coordinate

•• VettoreVettore: Elemento dello spazio R3 che cambia segno per inversione del sistema di coordinate;

•• PseudovettorePseudovettore: Elemento dello spazio R3 che non cambia segno per inversione del sistema di coordinate;

ESERCIZIOESERCIZIO

Dimostrare che dati due qualsiasi vettori nello spazio:• il loro prodotto scalare è commutativocommutativo;• il loro prodotto scalare da sempre uno scalarescalare;• il loro prodotto vettoriale è anticommutativoanticommutativo;• il loro prodotto vettoriale da sempre uno pseudovettorepseudovettore;


Operatori Matematici (I)

•• GradienteGradiente: Operatore che va dallo spazio dei Campi Scalarinello spazio dei Campi Vettoriali, definito dalla relazione:

•• DivergenzaDivergenza: Operatore che va dallo spazio dei Campi Vettorialinello spazio dei Campi Scalari, definito dalla relazione:

•• RotoreRotore: Operatore che va dallo spazio dei Campi Vettoriali nellospazio dei Campi Pseudovettoriali, definito dalla relazione:

ˆ ˆ ˆ

/ / /

x y z

x y zA Rot A x y z

A A A∇× = ≡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r rr

yx zAA A

A div Ax y z

∂ ∂ ∂∇ ⋅ = ≡ + + ∂ ∂ ∂

r rr

ˆ ˆ ˆgrad x y zx y z

∂Φ ∂Φ ∂Φ∇Φ = Φ ≡ + + ∂ ∂ ∂

r

•• NablaNabla ˆ ˆ ˆx y zx y z

∂ ∂ ∂∇ ≡ + + ∂ ∂ ∂

r


Formule di calcolo vettoriale

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b

a b c a c b a b c

a b c d a c b d a d b c

⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×

× × = ⋅ − ⋅

× ⋅ × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

r r rr r r r rr r rr r r r r rr r r r r rr r r r r r

•• AlcuneAlcune proprietproprietàà deidei ProdottiProdotti ScalariScalari e e VettorialiVettoriali::

•• AlcuneAlcune ProprietProprietàà delldell’’OperatoreOperatore NablaNabla::

( )( ) ( )

( )( )

0

0A

A A A

A A A

A A A

ψ

ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

∇×∇ =

∇ ⋅ ∇× =

∇× ∇× = ∇ ∇ ⋅ − ∆

∇ ⋅ = ⋅∇ + ∇ ⋅

∇× = ∇ × + ∇×

r rrr rr r rr r r r

r r rr r rr r rr r r


Operatore di Laplace (laplaciano)

2

2

2

2

2

2

zyx

zz

yy

xx

zz

yy

xx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇⋅∇=∆ ))))))rr

• L’operatore di Laplace o laplaciano e’ unaapplicazione che va dallo spazio dei campi scalarinello spazio dei campi scalari definito come

2

2

2

2

2

2

zyx ∂Φ∂

+∂

Φ∂+

∂Φ∂

≡Φ∇⋅∇=∆Φrr


Operatori Matematici II• Laplaciano (applicazione che va da un Campo Scalare in un

campo Scalare):

2

2

2

2

2

2

zyx ∂Φ∂

+∂

Φ∂+

∂Φ∂

≡Φ∇⋅∇=∆Φrr

• Dalambertiano (applicazione che va da un Campo Scalare in un campo Scalare):

2

2 2

1c t

∂Φ ≡ ∆ − Φ ∂

W

Il Dalambertiano esprime una generica equazione la cui soluzioneè un’onda o più in generale un fenomeno ondulatorio:

0Φ =W fΦ =W

Laplaciano e Dalambertiano di Campi Vettoriali

2 2 2

2 2 2

3

1

ˆ ˆ ˆˆx y z j jj

E Ex y z

x E y E z E x E=

∂ ∂ ∂∆ = + + = ∂ ∂ ∂

= ∆ + ∆ + ∆ = ∆∑

r r

• L’operatore di Laplace può essere generalizzato in modo da agire anche sui campi vettoriali:

( )2 3

2 21

1 ˆ j jj

E E x Ec t =

∂≡ ∆ − = ∂

∑r rW W

• Di conseguenza è possibile scrivere il dalambertiano per un campo vettoriale nella maniera seguente:


Teorema di Gauss della Divergenza

• Dato un qualsiasi campo vettoriale E, l’integrale sulvolume della divergenza del campo E e’ uguale al flusso del campo attraverso la superficie che nedelimita il volume.

∫∫ =⋅=ΦVolumeSuperficie

E dVEdivAdErrr

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

≡⋅∇z

Ey

E

xE

E zyxrr


Teorema di Stokes• Dato un qualsiasi campo vettoriale C, l’integrale

lungo una curva chiusa di C e’ uguale al flusso del Rot C attraverso la superficie (A) delimitato dallacurva chiusa in oggetto.

( ) 'L AC dl C dA⋅ = ∇× ⋅∫ ∫

rr r rr

ˆ ˆ ˆ

/ / /

x y z

x y zC x y z

C C C∇× ≡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

rr'dA

r

dlr


Legge di Gauss per il Campo Elettrico• Il Flusso del Campo Elettrico F E attraverso una

superficie chiusa contenente una carica netta Qtote’ proporzionale a Qtot.

22 2

cos4E

Q QE dA K dA K R d KQ

R Rα

πΦ = ⋅ = = Ω =∫ ∫ ∫rrÑ Ñ Ñ

• F E non dipende:• dalla posizione delle cariche all’interno della superficie;• La forma della superficie.

22

ˆ cos cosq

E dA E ndA K dA dA R dR

ϑ ϑ⋅ = ⋅ = = Ωrr r


Esempio:• Qual e’ il flusso del campo

elettrico F E prodotto dauna carica di un 1.0 C posta al centro di unasfera di 1.0 m ?

Domande:Cosa succede al Flusso se la sfera viene– dimezzata ?– raddoppiata ?– se la carica viene posta in un’altra posizione ?


Carica Q posta nel centro di una Sfera

E(r))E ,AE(

∫∫

=

==⊥=⋅=Φ

dAE

dAdEE

rrrr

oE

Qε

=Φ

( )

===Φ

oE kkQr

rkQ

πεππ

41

44 22


Legge di Coulomb

∫ −

−=

Vxd

xx

xxxKxE '

'

')'()( 3

3

rrrrrrrr

ρ31

( )N j

jjj

x xE x k q

x x=

−=

−∑

r rr rr r

(=osservatore)

xx’P’

Caso Discreto Caso Continuo

3( ') 'V

Q x d xρ= ∫r r

1

N

jj

Q q=

= ∑

xx

yy

zz

E(x,y,zE(x,y,z))

OO

xx’’

xx


Legge di Gauss in forma differenzialePrima Equazione di Maxwell

3 3

3

4 4 ( )

(4 ( ) ) 0

E totSuperficie volume volume

volume

E dA Q x d x div E d x

x div E d x

π π ρ

πρ

Φ = ⋅ = = = =

− =

∫ ∫ ∫

∫

rr rr

rr

πρ4=Ediv• La Legge di Gauss (forma integrale o differenziale) vale per

qualsiasi Campo con dipendenza ~1/R2

• La Legge di Gauss vale anche per il Campo Gravitazionale.


Campi Conservativi ? Irrotazionali

• Dato un qualsiasi campo vettoriale A, se l’integrale lungo una curva chiusa (C) di Afa zero allora il campo e’ irrotazionale.

( ) 0C S

C dl C dA⋅ = ∇× ⋅ =∫ ∫rr r rrÑ

0C∇× =rr

PoichPoichèè questaquesta relazionerelazione vale per vale per qualsiasiqualsiasi SS alloraallorall’’integrandointegrando devedeve essereessere identicamenteidenticamente ugualeuguale a zero:a zero:


Es: Campo Elettrico in prossimita’ di una Linea di carica

Determinare la forma analitica del campo elettrico prodotto daun filo di lunghezzainfinita avente unadistribuzioneuniforme di carica ?.

Occorre scegliere unaopportuna geometria chetenga conto della simmetriadel problema


LezioniLezioni L3.bL3.b1. 1. CampiCampi ConservativiConservativi;;2. 2. EquazioneEquazione didi Poisson e Poisson e didi LaplaceLaplace;;3. 3. CondizioniCondizioni al al contornocontorno: : esistenzaesistenza ed ed unicitunicitàà delladellasoluzionesoluzione;;


TeoremaTeorema deidei CampiCampi ConservativiConservativiDatoDato un un Campo Campo vettorialevettoriale EE, le , le proposizioniproposizioni seguentiseguenti sonosonoequivalentiequivalenti::

•• Il campo eIl campo e’’ conservativoconservativo;;

•• EsisteEsiste unauna primitivaprimitiva del campo: del campo:

•• ll’’integraleintegrale lungolungo unauna curvacurva chiusachiusa didi EE fafa zero: zero:

•• ilil lavorolavoro del campo non del campo non dipendedipende daldal percorsopercorso ma solo ma solo daglidagli estremiestremi;;

•• ilil campo ecampo e’’ irrotazionaleirrotazionale::

/ E∃Φ = − ∇Φr

0E dl⋅ =∫rrÑ

0E∇× =r r


PotenzialePotenziale ElettricoElettrico e Rot e Rot EE=0=0uu Il campo Il campo elettricoelettrico per per unauna densitdensitàà didi caricacarica èè::

uu sisi dimostradimostra cheche ll’’integrandointegrando puòpuò scriversiscriversi come:come:

uu RiscriviamoRiscriviamo ilil campo campo alloraallora::

uu PoichPoichèè: : sisi conclude conclude cheche ilil Campo Campo ElettrostaticoElettrostatico èèirrotazionaleirrotazionale e e pertantopertanto conservativoconservativo::

∫ −

−=

Vxd

xx

xxxKxE '

'

')'()( 3

3

rrrrrrrr

ρ

3

' 1''

x xx xx x

−= − ∇ −−

r r rr rr r

3( ')( ) '

'V

xE x K d x

x xρ

= − ∇ − ∫

rr rr rr r

( ) 0ψ∇× ∇ =r r

0E∇× =r r


∫ −

−=

Vxd

xx

xxxKxE '

'

')'()( 3

3

rrrrrrrr

ρ31( )

N jjj

j

x xE x k q

x x=

−=

−∑

r rr rr r

x

P’

CasoCaso DiscretoDiscreto CasoCaso ContinuoContinuo

3( ') 'V

Q x d xρ= ∫r r

1

N

jj

Q q=

= ∑

xx

yy

zz E(x,y,zE(x,y,z))

OO

xx’’

xx

'')'(

)( 3xdxx

xx ∫ −

=Φ rrrr ρ

0

/

4

4

4 , 0

TotS

E

E

E

E dA Q

πρ

π

πρ

∇× =

∃Φ = − ∇Φ

∇ ⋅ =

⋅ =

∆Φ = − ∆Φ =

∫

r rr

r rrr

“Summa” Elettrostaticax’

( ) j

j

qx

x xΦ =

−∑r r r


LL’’EquazioneEquazione di di PoissonPoisson--LaplaceLaplace

DeterminiamoDeterminiamo ilil Campo Campo ElettricoElettriconotanota

la la configurazioneconfigurazione delledelle sorgentisorgenti e e delledellesuperficisuperfici conduttriciconduttrici didi contornocontorno


LL’’EquazioneEquazione di Poissondi Poisson--LaplaceLaplace

πρ4=⋅∇ Err

Φ∇−=rr

E0=×∇ Err

( )

4

E

E πρ

∇ ⋅ = ∇ ⋅ −∇Φ = − ∆Φ

∇ ⋅ = = − ∆Φ

r r r rr r

04

=∆Φ−=∆Φ πρ


LL’’EquazioneEquazione di Poissondi Poisson--LaplaceLaplaceuu Se i Se i problemiproblemi delldell’’ElettrostaticaElettrostatica contenesserocontenessero solo solo

carichecariche localizzatelocalizzate senzasenza superficisuperfici di di contornocontorno non non avremmoavremmo bisognobisogno di fare di fare ricorsoricorso allealle EquazioniEquazioni di di PoissonPoisson--LaplaceLaplace..

uu Il Il nostronostro problemaproblema ammetterebbeammetterebbe infattiinfatti la la seguenteseguente soluzionesoluzione ((casocaso discretodiscreto e continuo):e continuo):

uu In In generalegenerale i i problemiproblemi contengonocontengono regioniregioni di di spaziospazio con con carichecariche localizzatelocalizzate e e distribuzionidistribuzioni di di caricacarica nonchenonche’’ con con superficisuperfici di di contornocontorno sullesullequaliquali sonosono assegnateassegnate condizionicondizioni particolariparticolari..

'')'(

)( 3xdxx

xx ∫ −

=Φ rrrr ρ

( ) j

j

qx

x xΦ =

−∑r r r


CondizioniCondizioni al al ContornoContornouu CondizioniCondizioni al al ContornoContorno::

•• CondizioniCondizioni al al contornocontorno di di DirichletDirichlet: : DefinizioneDefinizione del del potenzialepotenziale sullasulla superficiesuperficie di di contornocontorno::

•• CondizioniCondizioni al al contornocontorno di Neumanndi Neumann: : DefinizioneDefinizione del Campo del Campo ElettricoElettrico sullasulla superficiesuperficie di di contornocontorno::

•• CondizioniCondizioni al al contornocontorno di Cauchydi Cauchy: : DefinizioneDefinizione del Campo e del Campo e del del PotenzialePotenziale sullasulla superficiesuperficie di di contornocontorno::

uu Per Per ilil problemaproblema di di DirichletDirichlet e di Neumann LA SOLUZIONE e di Neumann LA SOLUZIONE ESISTE ED EESISTE ED E’’ UNICA;UNICA;

uu Il Il ProblemaProblema di Cauchy edi Cauchy e’’ sovradeterminatosovradeterminato..

fx =Φ∂

)(r

( )E x g∂

=r r r

( ) ( )x f E x g∂ ∂

Φ = ⊕ =rr r r


-- Le Le carichecariche sonosono allall’’esternoesterno;;-- ∆Φ∆Φ=0 =0 allall’’internointerno delladella superficiesuperficie; ; -- un un teoremateorema assicuraassicura esistenzaesistenza ed ed

unicitaunicita’’ delladella soluzionesoluzione per per ilil problemaproblemadi di DirichletDirichlet e di Neumann;e di Neumann;

−−

-- PoichePoiche’’ la la soluzionesoluzione ee’’ unicaunica alloraallora per per ll’’unicitaunicita’’ delladella soluzionesoluzione::

0=∆Φ

Il Campo Elettrico all’interno di una superficiechiusa conduttrice priva di cariche e’ nullo.

kost∂

Φ =

'int0

all ernokost EΦ = ⇒ = − ∇Φ =

r r


Campi Elettrici e Conduttori• Nei conduttori la carica e’ libera di muoversi e

pertanto si muovera’ sotto l’influenza delleforze elettriche fino a che la risultante delleforze, punto per punto, nel contuttore non siannullera’.

• Il campo elettrico all’equilibrio, all’interno di un conduttore e’ zero: E=0.

• In un conduttore la carica netta deve esseresuperficiale.


Schermaggio Elettrostatico• Un campo Elettrico non puo’ penetrare all’interno di

una superficie conduttrice chiusa (E=0 all’interno) Ø “Gabbia di Faraday”

• Es.: l’interno di un’auto o di un aereoplano, l’esternodi un forno a microonde.

No vi puo’ essere caricaelettrica netta all’interno diuna gabbia di Faraday postain un campo elettrico esterno.


Conduttori in Equilibrio Elettrostatico• Le cariche sono libere di

muoversi nei conduttori.• Conseguenze:

– la carica risiede sullasuperficie dei conduttori;

– il Campo Elettrico e’ zero ovunque all’interno del conduttore;

– Il Campo Elettrico e’ sempreperpendicolare alla superficiee tutte le linee di campo hanno lo stesso verso;

– Per oggetti di forma irregolare il campo elettrico e’maggiore dove la curvaturae’ maggiore ed E e’concentrata in prossimita’delle punte.


Appena all’esterno di un conduttore il Campo Elettrico e’ perpendicolare alla superficie ed e’: E= 4πσ

∫∫ =⋅VS

dVdanE ρπ4ˆv

nppppnn AEAEAEA πσ40 =+−+

nE ˆ4πσ=r


verso le verso le EquazioniEquazioni di Maxwell di Maxwell

πρ4=⋅∇ Err

0=⋅∇ Brr

01

=∂∂

+×∇tB

cE

rrr

Jct

Ec

Brrrr π41

=∂∂

−×∇


Summa per Summa per ilil Campo Campo ElettricoElettrico

∫ −

−=

Vxd

xx

xxxKxE '

'

')'()( 3

3

rrrrrrrr

ρ∑−

−=

jj

jj

xx

xxqkxE 3)( rr

rrrr

πρ4=Edivr

∑=Φj jE qπ4

04

=∆Φ−=∆Φ πρ

Φ∇−=rr

E0=×∇ Err

'')'(

)( 3xdxx

xx ∫ −

=Φ rrrr ρ

( ) j

j

qx

x xΦ =

−∑r r r

Teorema della Divergenza

Dato un qualsiasi campo vettoriale E, l’integrale sul volume V della divergenza del campo E e’ uguale al flusso del campo attraverso la superficie A che delimita il volume V.

∫∫ =⋅=ΦVolumeSuperficie

E dVEdivAdErrr

Teorema di Stokes

Dato un qualsiasi campo vettoriale C, l’integrale lungo una curvachiusa (L) di C e’ uguale al flusso del Rotore di C attraverso la superficie (A) delimitata dalla curva chiusa in oggetto.

( ) 'L A

C dl C dA⋅ = ∇× ⋅∫ ∫rr r rrÑ

'dAr

dlr

'L

A

dl L

dA A

=

=

∫

∫

rÑA

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