Neutrini massivi

Il neutrino emesso nel decadimento dei nuclei è il più leggero dei fermioni.

Gli studi sperimentali dello spettro energetico dei b emessi nel decadimentodel trizio indicano che la sua massa è inferiore a ~3 eV e finoraabbiamo supposto che essa sia zero.

Come abbiamo visto, molte osservazioni sperimentali sono consistenti contale ipotesi.

Se questa viene abbandonata, sono ipotizzabili nuovi fenomeni, in particolare:

le oscillazioni di neutrino

e il doppio decadimento b senza emissione di neutrini.

Oscillazioni di Neutrino

Se il neutrino ha massa, sono possibili fenomeni di oscillazione, nei qualisi ha la trasformazione di neutrini con una data caratteristica in neutrinicon caratteristiche diverse.

L’osservazione delle oscillazioni implica che il neutrino abbia massa, manon consente di stabilirne il valore.

Possono essere presi in considerazione vari tipi di oscillazione:

e

e

Oscillazione sapore-sapore

con conservazione del numero

leptonico

Oscillazione fisico-sterile

(variazione dell’elicità)

Oscillazione particella-

antiparticella (non

conservazione del numero

leptonico)

Oscillazioni di Neutrino

Gli esperimenti che mostrano la scomparsa di neutrini di date caratteristiche(per esempio ne), provano l’esistenza delle oscillazioni.

Gli esperimenti che mostrano anche la comparsa di neutrini con caratteristichediverse (per esempio n) consentono di distinguere fra i vari tipi di oscillazione.

Gli esperimenti descritti nei capitoli XIII (neutrini solari) e XVI (oscillazioni di neutrino) consentono di affermare che il fenomeno delle oscillazioni esiste, è rilevante e riguarda le oscillazioni di sapore.

Ciò indica che uno stesso neutrino è anche portatore dei diversi sapori.

Il neutrino manifesta all’origine sapore diverso a seconda che sia emesso nel decadimento di un nucleo, del leptone m e del leptone t , ma allo scorrere del tempo oscilla da un sapore all’altro.

Mesoni K neutri

Figura 4 . (a) Produzione di mesoni K0 per annichilazione di antiprotoni su un bersaglio di idrogeno (esempio:

πKKpp

0

) e differenti decadimenti dei mesoni K0. (b) Frazione di

0K

e

0K

in funzione del tempo secondo l’eq. (28) per t « 2.. (c) Frazione di

0K

e

0K

per m1 = m2 , 1 «2. Si è assunto x = 0.

La (28) contiene termini esponenziali che dipendono dalle vite medie e un termineoscillante che dipende dalla differenza di massa fra K1 e K2. E’ evidente che un fascio cheall’inizio contiene solo K0(S = 1), all’istante t (o nel punto x) contiene anche una componente di

K 0

(S = –1). In fig è esemplificato l’andamento della percentuale di K0 e

K 0

per t « 2.

Le cause di tale andamento sono due:i) a parità di massa (m1 = m2), la diversa vita media. Poiché 1 « 2,dopo un certo tempo

nel fascio ci sono solo K2, che sono una miscela di K0 e 0K

. Se 1 « 2 e m1–m2 = 0, per t « 2 la frazione di K0 e 0K

è approssimativamente data dalla relazione

12

t

1

t

e21e4

1

che tende al valore 1/4 per t1 « t « t2. Ovviamente, per t->inf, sia la frazione di K0 che quella di tendono a zero.

ii) A parità di vite medie (1 = 2), la diversità di massa.E’ proprio questa che determina l’andamento oscillante della frazione di K0 e 0K

. Queste oscillazioni sarebbero presenti anche se K1 e K2 fossero stabili (1 = 2 =

). Il periodo o la lunghezza d’onda delle oscillazioni é determinato dalla differenzadi massa Dm. Se fosse Dm = 0, non ci sarebbero oscillazioni.Lo studio sperimentale delle oscillazioni di stranezza ha permesso di stabilire che ladifferenza di massa è piccola ma non nulla: Dm = 3.52 10–6 eV (al di fuori degli errorisperimentali). Il fatto che la frazione di K0 e 0K

vari periodicamente comporta che vari corrispondentemente il contenuto di stranezza,da qui il nome di oscillazioni di stranezza al fenomeno descritto.

Oscillazioni di neutrino

Fenomeni simili alle oscillazioni di stranezza possono essere pensati per i neutrini massivi (non importa se di Dirac o di Majorana). Ricordiamo al riguardo che esistono tre famiglie di leptoni di differente sapore, ognuna costituita da particelle e antiparticelle. Nell’ambito di ciascun sapore è definito il numero leptonico con il relativo principio di conservazione nelle interazioni deboli. Normalmente si conviene che anche il sapore sia conservato.Rimuoviamo ora le restrizioni che governano le interazioni dei neutrini. Si presentano vari casi di analogia con la trasformazione (oscillazione) e la non conservazione della stranezza.

Consideriamo la trasformazione (oscillazione) fra neutrini dello stesso sapore (indicato dagli indici) e la non conservazione del numero leptonico. In questa oscillazione è un antineutrino sterile e non è conservato il numero leptonico. Nell’analogia con i kaoni, la coppia neutrino-antineutrino di dato sapore corrisponde alla coppia ,; il numero leptonico corrisponde alla stranezza. Similmente si possono immaginare oscillazioni fra neutrini di sapore diverso (per esempio ) e tra neutrini e antineutrini (per esempio ).

e

ee

C

00 KK

A questo fine, supponiamo che i neutrini osservati nelle interazioni deboli non coincidano con i neutrini autostati dell’equazione libera di Dirac (autostati di massa), ma siano combinazionilineari di questi. Supponiamo che i neutrini di Dirac siano tre con differenti masse e poniamo,

in analogia con la (24),

3

2

1e

U

(29)dove U è una matrice 3 x 3. I neutrini

321 ,,

, autostati di massa, hanno il ruolo di K1 e K2, autostati di CP.Affinché sussista il fenomeno delle oscillazioni occorre che le loro masse sianodiverse. E’ possibile anche che i neutrini massivi siano instabili, così come i kaoni;tuttavia ignoreremo questa possibilità nel seguito.

siano due sole famiglie di neutrini fisici, che indichiamo con gli indici e (= elettronico) e x (include ogni altra specie di neutrino) e, in corrispondenza, due neutrini autostati di massa

1UU

cossen

sencosU

vU

†

2

1

x

e

(30)La trasformazione (30) tra neutrini fisici e autostati di massa è unarotazione e ciò garantisce l’invarianza della densità di probabilità

†

. Dalla (30) otteniamo le seguenti relazioni[1]:

21x

21e

cossen

sencos

(31)

[1] Nel caso dei mesoni K0, o45,2/1cossen

(vedi eq. (22) e (24)).

xe2

xe1

cossen

sencos

(32)Supponiamo che i neutrini di massa siano descritti dalla funzione d’onda piana

))2,1k(e)0()t(

tkExkpi

kk

(33)e che si muovano con impulso uguale, p1 = p2 = p . Poiché siamo interessati all’evoluzione temporale delle oscillazioni di neutrino, possiamo trascurare il fattoredi fase dipendente da x nella (33), identico per k = 1 e 2.

Consideriamo pertanto la funzione

))2,1k(e)0()t(

tkEi

kk

(34)All’istante t=0 siano presenti solo neutrini elettronici; quindi

) )

0

00

e

(35)Per la (31), al tempo t si ha

) )

) ) ) )

tcostsen

tsentcos

t

)t(t

21

21

x

e

(36)

Tenendo conto della (34) nella (36), risulta

) )

) ) )

/tiE2

/tiE1x

/tiE2

/tiE1e

21

21

e0cose0sent

e0sene0cos)t(

(37)Infine, tenendo conto nella (37) della (32) al tempo t=0, qundo

x 0 ) 0

, si ha

) ) )

/tiE/tiEex

/tiE2/tiE2ee

21

21

eecossen0t

esenecos0)t(

(38)

Dunque, al tempo t è presente anche una componente x, completamente assente all’istante iniziale!La probabilità di osservare neutrini di tipo e e di tipo x all’istante t è

)

)

tEE

2

1sen2sen)t(tP

tEE

2

1sen2sen1)t(tP

12222

xx

12222

ee

Le (39) sono suscettibili di un’altra scrittura se si tiene conto che le masse deineutrini sono attese di valore piccolo. Per mkc2 « pc risulta

pc

cm

2

1pc~cmcpE

42k42

k22

k

(40)Tenuto conto della (40) nelle (39) si ha

) ) )

) ) )

tpc

cmcm

4

1sen2sen)t(tP

tpc

cmcm

4

1sen2sen1)t(tP

222

221222

xx

222

221222

ee

(41)

Queste relazioni mostrano che la presenza di neutrini di sapore x e di sapore e varia periodicamente nel tempo con periodo dipendente dalla differenza dei quadrati delle masse dei neutrini di Dirac di cui sono sovrapposizione; se le masse sono zero o sono uguali non c’è oscillazione. L’entità della presenza di neutrini di sapore x, ossia l’intensità delle oscillazioni dipende dal parametro q, il cui valore non è specificato dal modello.

Obiettivo degli esperimenti è accertare l’esistenza delle oscillazioni (prova dell’esistenza di neutrini massivi), di misurare il loro periodo (equivalente a misurare la differenza del quadrato delle masse) e di misurare la loro intensità (che è correlata con l’hamiltoniana che governa il fenomeno). L’osservazione delle oscillazioni indica che i neutrini sono massivi, ma non fornisce il valore della loro massa.

Oscillazioni di neutrino

Aspetti sperimentali limitatamente ai casi in cui sono coinvolte sorgenti di neutrini o antineutrini elettronici. Ipotesi semplificativa che ci siano solo due sapori di neutrino che indichiamo con a e b.

t

EE

2

1sen2sen1tP 1222

a

t

EE

2

1sen2sentP 1222

b

02sin 2 0EE 12

E2 E1

Data una sorgente di neutrini di sapore a, la probabilità di osservare neutrini dello stesso sapore all’istante t è:

dove E1 ed E2 sono le energie di neutrini massivi liberi descritti dall’equazione di Dirac. La probabilità di osservare neutrini di sapore b prodotti dall’oscillazione di sapore è

Il fenomeno delle oscillazioni esiste ed è osservabile se

e

il termine in ne determina l’andamento oscillante nel tempo.

(1)

(2)

22

42

22

424222

cp

cm

2

11pc~

cp

cm1pccmcpE

421

422

2 cmcmm

)4(mE2

1~m

pc2

1cmcm

pc2

1EE 2242

142

212

La massa dei neutrini liberi n1 e n2 è supposta piccola, la loro velocità è prossima a c e la loro energia a pc, così che l’espressione dell’energia può essere approssimata nel modo seguente:

(3) da cui, posto

segue

)5(ctL

)6(m

cE2

m

pc2L

22

2

osc

m)eV(m

)MeV(E3946.0

)10()eV(m

)MeV(EmMeV103.1972L

22

26

22

15

osc

Posto

dove L è la distanza dalla sorgente all’istante t, definiamo come lunghezza di oscillazione la quantità

Essendo c = 197.3 10–15 MeV·m,

se si esprime L in m, E in MeV e mc2 in eV, si ha

LE

m27.1sen2sen1

L2

Lsen2sen1LP

222

osc

22

a

LE

m27.1sen2sen

L2

Lsen2senLP

222

osc

22

b

Per le (4), (5) e (7), le (1) e (2) divengono

(8)

(9)

Pa(L) è una funzione oscillante di L con minimi per L/Losc = (2k+1)p, a cui corrispondono massimi di Pb(L), e massimi uguali a 1 per L/Losc = 2kp, a cui corrispondono minimi uguali a zero di Pb(L). Nei punti di minimo di Pa(L) si ha la massima evidenza delle oscillazioni, nei punti di massimo non si ha evidenza.

Molto schematicamente, ai fini dell’osservazione delle oscillazioni di neutrino si richiede (vedi fig.):

1) una sorgente di neutrini di sapore a. La sorgente potrebbe essere un

reattore nucleare (sorgente di antineutrini elettronici prodotti dal decadimento dei neutroni) o il sole (sorgente di neutrini elettronici tramite le reazioni della catena pp o del ciclo CNO).

2) un percorso libero di lunghezza L; 3) un bersaglio in cui i neutrini di sapore a e/o b possano essere assorbiti o

diffusi e un sistema di rivelatori per identificare le reazioni. L’effettiva osservazione delle oscillazioni è condizionata dalle caratteristiche intrinseche dei neutrini (energia E, differenza di massa m2 e angolo di miscelamento ) e da condizioni sperimentali (distanza L fra sorgente e rivelatore, dimensioni del rivelatore, conoscenza dello spettro energetico della sorgente di neutrini, ecc.).

Figura 1 . Schema di esperimento sulle oscillazioni di antineutrino. L’esempio considera una sorgente di antineutrini elettronici prodotti dal decadimento di neutroni presso un reattore e un rivelatore con bersaglio di deuterio. La prima reazione è possibile solo con neutrini elettronici, la seconda con neutrini di qualunque sapore, indicato con x (vedere par 2.2).

osc

L2/

0

oscL2/

0

2osc

osc0

2

L2/x

2

1

4

x2sen

2

xL2dxxsen

L2d

L2

1sen

1 oscosc

)b10(2sen2

1P

)a10(2sen2

11P

2b

2a

Consideriamo, per semplicità, fasci monocromatici e di sezione puntiforme e indichiamo con

la lunghezza del rivelatore. Sono notevoli i seguenti casi: a) Losc«

In queste condizioni in

si verificano più massimi e minimi ed è possibile osservare un effetto medio di oscillazione.

Il valor medio sull’intervallo

del seno al quadrato che compare nelle (8) e (9) è

Quindi il valore medio di Pa e Pb è

Effetti medi sono osservati per Losc “piccola”, ossia per m2 molto “grande” e/o E molto “piccola”.

Figura 2 . Varie condizioni per l’osservazione delle oscillazioni di neutrini monoenergetici dipendenti dalla lunghezza di oscillazione, dalla posizione e dalla lunghezza del rivelatore. a) Osservazione di un effetto medio; b) osservazione di un minimo (massima evidenza delle oscillazioni); c) massimo di oscillazione (nessuna evidenza delle oscillazioni).

2/kL2/L osc p

2sin1LP 2a

oscLL

p kL2/L osc

b) Losc »

e minimo di oscillazione localizzato nel rivelatore; il valore minimo si verifica per

con k dispari:

(10c) L’ osservazione delle oscillazioni è ottimale. La posizione del primo minimo è in

(vedi fig. 2b). Nel caso di piccoli valori di m2 (o grandi valori di E), l’osservazione del primo minimo richiede grandi valori di L; per m2 grande ed E piccolo occorre L piccolo. c) Losc »

e massimo di oscillazione (

nel rivelatore. In queste condizioni Pa(L) ~ 1 e le oscillazioni non sono osservabili (fig. 2c). Se il fascio non è monocromatico, in pratica è osservabile solo l’effetto medio delle oscillazioni (fig. 3).

) localizzato

Figura 3 . Oscillazioni in un fascio non monocromatico. Il rivelatore in a) può osservare un effetto massimo, in b) un effetto medio (questa è la situazione normale a distanze grandi).

210

11

2106.1

105.1

2039.0 eV

m

MeVm

p

22 eV12.0m100

MeV1039.0m p

Due “laboratori” tipici per l’osservazione di m2 grandi e piccoli, rispettivamente, sono la sala di un reattore nucleare e il sistema terra-sole. Nel caso di neutrini solari E < 20 MeV e L

1.5 1011 m , così che sulla terra le oscillazione sono osservabili se

Nel caso degli antineutrini da reattore E < 10; per L

100 m, come nei primi esperimenti, le oscillazioni sono osservabili se

L’intervallo di variabilità di m2 esplorabile in vari tipi di condizioni sperimentali è riportato in fig. 4.

Figura 4 . Campo di variabilità del rapporto L/E e di Dm2 per differenti condizioni sperimentali. (Oberauer)

)11(1dE)E(

)a12(dE)L,E(aP)E(a)E(akdEEaR

)b12(dEEaRaR

In generale i neutrini hanno un’energia distribuita tra un valore minimo e uno massimo secondo una funzione (E), che supponiamo normalizzata in modo tale che

Per una sorgente di soli neutrini a, la frequenza delle reazioni nel rivelatore a distanza L, per un’energia dei neutrini compresa fra E e E+dE, è data approssimativamente dall'espressione

dove a è la sezione d'urto per le reazioni indotte dai neutrini di sapore a, è la densità di superficie dei nuclei bersaglio e Pa(E,L) è la probabilità di sopravvivenza a distanza L dei neutrini a; k è un fattore che tiene conto di caratteristiche dell'apparato. La frequenza relativa a tutto lo spettro d'energia è

Per un intervallo finito E sufficientemente piccolo, la (12a) può essere approssimata come

)c12(E)L,E(P)E()E(kEER aaaa

dELEP1EEk

dELEPEEkdEER

aba

bbab

)),()(()(

),()()(

dEERR bb

ELEPEEkEER bbab ),()()(

Analogamente, per la frequenza delle reazioni indotte dai neutrini b poniamo:

(13a)

(13b)

(13c) Le (12) e le (13) sono le relazioni fondamentali per lo studio delle oscillazioni. Al primo membro compaiono le quantità misurabili e al secondo membro le quantità incognite sen22 e m2. L'applicazione di queste relazioni implica la conoscenza accurata di a(E), a(E) e b(E), conoscenza ottenuta con esperimenti ad hoc o con considerazioni teoriche di fisica nucleare.

Per mettere in evidenza con immediatezza la condizione di osservabilità delle oscillazioni, diciamo che si osservano oscillazioni se il valore misurato di Ra(E)E diviso per il valore calcolato in assenza di oscillazioni è minore di 1, ossia, per la (12c),

1Ek

E)E(R

aa

misa

Esperimenti ideali

Per ricavare i valori di sen22 e m2, le (12) e le (13) possono essere utilizzate in vari modi. Illustriamo due esempi relativi a situazioni alquanto ideali, che ci consentono di descrivere le caratteristiche di massima di diagrammi tipici nel piano m2-sen22 con i quali vengono abitualmente presentati i risultati degli esperimenti sulle oscillazioni di neutrino.

i) Comparsa Avendo a disposizione un fascio di neutrini ideale (cioè di

sezione puntiforme) di sapore a, supponiamo, come primo esempio, di misurare alla stessa distanza L sia le interazioni dei neutrini a che dei neutrini b.

ii) Scomparsa Come secondo esempio, supponiamo di effettuare due misure

ideali relative all'interazione di neutrini di sapore a alle distanze L1 e L2.

)14(L,EP

L,EP1

EEL,EPE

EEL,EP1E

E)E(R

E)E(Rr

a

a

a

b

aaa

baa

a

b

)15(

1

,1

r

r

LEP

b

a

b

a

a

Per un’energia E e un intervallo E, per cui si possano utilizzare le relazioni (12c) e (13c), consideriamo il rapporto

dal quale ricaviamo anche

Comparsa

•La relazione (14) presenta il vantaggio, rispetto alle (12c) e (13c) prese separatamente, che effetti dipendenti da una cattiva conoscenza del flusso iniziale dei neutrini o di altri parametri strumentali quali l'efficienza k, vengono minimizzati o eliminati. •La (14), in base alla (8), è un'unica relazione fra due incognite, sen22 e m2. •Pertanto, per ogni valore di r si hanno infinite soluzioni individuate dai punti appartenenti a una linea del piano m2-sen22.

L'ambiguità può essere ridotta o eliminata effettuando misure a differenti distanze fra sorgente e rivelatore o tenendo conto dei risultati della stessa misura per differenti valori di E o in differenti intervalli E.

L'intersezione comune alle linee relative ai differenti risultati su r identifica la soluzione.

In realtà, la determinazione dei valori di sen22 e m2 è ostacolata dagli errori di misura, casuali e sistematici, e dalle incertezze sulle grandezze quali il flusso dei neutrini e le sezioni d'urto.

In pratica gli esperimenti consentono solo di determinare regioni di variabilità per m2 e sen22.

In fig. 5 è riportato l’esempio relativo a un esperimento ideale consistente in due misure di r per due valori di L nell'ipotesi che le oscillazioni esistano e siano caratterizzate dai valori m2 = 0.1 eV2 e sen22 = 0.2. Per ragioni di semplicità si è posto a = b. Essendo noti a priori i valori di tutte le quantità a secondo membro della (14), sono stati calcolati i valori di r per i due valori di L. Una volta noti i due valori di r, si sono tracciate nel piano m2-sen22 le corrispondenti linee definite dalla stessa relazione (14). Con una sola misura si ha un infinito numero di soluzioni (oltre a quella vera data dal punto A in fig. 5); con due misure le soluzioni si riducono a tre, individuate dalle tre intersezioni A, B e C delle due linee; l'ambiguità è drasticamente ridotta, ma non eliminata, perché rimangono ancora due soluzioni di troppo.

Per comprendere qualitativamente l'andamento, per esempio, della linea continua di fig. 5, poniamo nella (15) a = b e sostituiamo a Pa l'espressione data dalla (8); se si assume r«1, come è ragionevole, si ottiene

rr1

rm)E/L(27.1sen2sen 222

2sen

1.tcos

2sen

r

L27.1

Em

22

2

2

rmE

L27.12sen

2

22

a) Per m2 molto piccolo, la (16a) può essere approssimata dalla relazione

ovvero

m2 cresce monotonamente al decrescere di sen22 (tratto E-C della curva in fig. 5).

b) Al crescere di m2, cresce tendendo a 1 (e sen22 decresce fino al valore minimo , punto B di fig. 5) e poi ha un andamento oscillante. c) Per m2 sufficientemente grande, possiamo approssimare la quantità con il suo valor medio su molte oscillazioni, che è uguale a 1/2 ed è quindi indipendente da m2. La (16a) assume la forma

r22sen 2

che rappresenta una retta verticale. E’ evidente che la linea è tanto più a sinistra quanto più piccolo è r.

Figura 5 . Esperimento ideale di comparsa. Si assume che le oscillazioni esistano e siano caratterizzate dai valori . Per semplicità si assume che il prodotto del flusso di neutrini per la sezione d’urto sia costante e che sa=sb nell’intervallo 100<E<1000 MeV. La linea continua rappresenta il luogo dei punti soddisfacenti all’eq. (15) per una distanza sorgente-rivelatore L=2000 m. La linea tratteggiata si riferisce a una distanza L=200 m. Il punto A individua la situazione fisica ipotizzata; i punti appartenenti a ciascuna linea rappresentano le soluzioni matematiche in accordo con eq. (16a) per i due esperimenti considerati separatamente; le soluzioni matematiche si riducono ai punti A, B e C combinando i due esperimenti. (Flaminio)

Esperimenti di comparsa

Finora si è assunto che le oscillazioni esistano e siano osservabili, ossia che r sia misurabile e diverso da zero con errore trascurabile. Nella realtà, r è affetto da un errore sperimentale ±s. Se le oscillazioni non esistono o sono molto deboli, il valore di r risulterà essere compatibile con zero e, tenuto conto dell’errore, la (16a) va sostituita più realisticamente con la disuguaglianza:

rm)E/L(27.1sen2sen 222

Ciò significa che, per ogni punto A appartenente alla linea definita dal segno di uguaglianza nella (16c), sono fisicamente accettabili tutti valori di m2 al di sotto di A e tutti i valori di sen22 a sinistra di A. La linea ha il significato di confine fra la regione dei valori fisicamente accettabili e di quelli non accettabili delle incognite sen22 e m2. La regione fisicamente accettabile è l’area a sinistra della linea continua di fig. 5. Se, invece, le oscillazioni esistono (con r incompatibile con zero), possiamo considerare come valori accettabili di sen22 e m2 quelli individuati dai punti compresi fra le linee definite dalle disuguaglianze

rm)E/L(27.1sen2senr 222

Come secondo esempio, supponiamo di effettuare due misure ideali relative all'interazione di neutrini di sapore a alle distanze L1 e L2. Procedendo come nell'esempio precedente, consideriamo il rapporto

Scomparsa

2a

1a

2aaa

1aaa

2a

1a

L,EP

L,EP

EL,EPEE

EL,EPEE

EL,ER

EL,ERr

2222

2122

mE

L27.1sen2sen1

mE

L27.1sen2sen1

(17)

da cui

r1mE

L27.1senrm

E

L27.1sen2sen 2222122

Anche questa relazione, per una dato valore di r, individua una linea nel piano m2-sen22. Un esempio numerico dell’andamento del luogo dei punti nel piano m2-sin2 2 è dato in fig. 6. L’andamento qualitativo è spiegabile come nel caso i).

Esperimenti di scomparsa

Figura 6 . Esperimento ideale di scomparsa. La linea è il luogo dei punti definito dall’ eq. (17) per L1 = 100 m e L2 = 1000 m. I valori dei parametri d’oscillazione (individuati dal punto A) e le condizioni per spettro energetico e sezione d’urto sono come per fig. 5. (Flaminio)

La differenza sta nell’andamento per m2 molto grande, per il quale si ha e, per la (17a), . Conseguentemente la linea verticale di fig. 6 per Dm2 grande è tracciata in corrispondenza di sin2 2 =1. L’effetto degli errori sperimentali è simile a quello discusso nel caso precedente.

2

1m

E

L27.1sen 22

Confronto tra metodi di comparsa e scomparsa Il metodo di comparsa può essere molto sensibile a piccoli angoli di miscelamento poiché in linea di principio è sufficiente l’osservazione di un piccolo numero di neutrini b per affermare che si verificano oscillazioni. Il metodo di scomparsa è meno sensibile ai piccoli angoli di miscelamento perché l’osservazione di piccole variazioni di neutrini di tipo a è limitata dalle varie incertezze sperimentali statistiche e sistematiche. In ogni caso, solo questo metodo consente di osservare oscillazioni in qualunque tipo di neutrini.

4

5 The situation has an analogy with the quark mixing structure

6

7 Short wavelength oscillations Long wavelength oscillations

8 Atmospheric, SK, Minos, T2K, Opera Reactors (Reno,DayaB), T2K Solar, Kamland

9

10

11 In more details the expression of some oscillation probabilities:

12