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L’insegnamento della mate-matica offre numerose op-portunità per la stimola-zione di diverse competen-ze. Nello specifico, eserci-tarsi a comprendere a fondo il significato delle situazio-ni problematiche può rende-re i momenti in aula dedicati alla risoluzione di problemi valide occasioni per affian-care l’apprendimento di no-zioni al potenziamento del ragionamento. Il metodo di Levy Rahmani (1993; 1994) va in tale direzione: propone di stimolare negli studenti di ogni ordine scolastico un pensiero matematico indirizzato non solo alla manipolazio-ne di numeri, ma anche dei corrispettivi significati.

QUALI ABILITÀ SONO IMPLICATE NELLA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA?La maggior parte dei problemi matematici propo-sti a scuola sono di tipo verbale: la situazione è presentata in forma linguistica, mentre la risolu-

zione deve essere ricercata tramite l’esecuzione di ope-razioni aritmetiche. Il pro-cesso di problem solving implica che siano attivate più competenze, tra queste, la memoria di lavoro gioca un ruolo nella fase di com-prensione del testo del pro-blema per mantenere atti-ve le informazioni fornite, le quali, una volta selezionate, danno origine a una rappre-

sentazione mentale della situazione esposta nel te-sto. L’elaborazione delle informazioni contenute in un problema di tipo verbale implica, inoltre, la capacità di inibire o scartare i dati irrilevanti e di mantenere le informazioni più importanti per in-tegrarle in una coerente rappresentazione mentale della situazione problematica. Strettamente con-nessa alle abilità di inibizione è l’aggiornamento dell’informazione. Durante la fase di comprensio-ne di un problema, la rappresentazione mentale generata deve essere continuamente rinnovata e

in questo articolo l’autrice condivide una metodologia di insegnamento di risoluzione

dei problemi matematici che ha lo scopo di stimolare

la motivazione e un atteggiamento esplorativo

negli studenti

Non solo numeri: imparare a pensare attraverso i problemiSerena Germagnoli (Università Cattolica del Sacro Cuore, Milano)

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UNA PROPOSTA OPERATIVA: UN TRAINING AL PROBLEM FINDINGPer superare tali ostacoli e per agevolare la cre-azione di una corretta rappresentazione della si-tuazione problematica ci si può affidare a strate-gie e metodologie che facilitino la costruzione di modelli mentali e l’individuazione di procedimen-ti più adatti alla situazione presentata.Un valido metodo è un training basato sulla meto-dologia utilizzata da Levy Rahmani che, basando-si sulle teorizzazioni delle procedure messe in atto per la risoluzione di problemi avanzate dal mate-matico ungherese Polya, avviò un lavoro didattico con lo scopo di migliorare le capacità di pensare in modo sistematico. In particolare, Rahmani si è proposto di promuovere la massimizzazione delle abilità cognitive a cui ricorrere per perseguire gli scopi che ci si prefigge di raggiungere nelle diver-se situazioni di vita.L’apprendimento della matematica diventa co-sì un’ottima occasione per esercitare non solo le abilità di problem solving e di individuazione di

percorsi molteplici per la risoluzione dei pro-blemi, ma per stimola-re anche il problem fin-ding, ossia la ricerca di domande che è possi-bile porre a partire dal-le informazioni che si hanno a disposizione. In questo modo l’alun-no ha la possibilità di ricoprire il duplice ruo-lo di “ricercatore di so-luzioni” e di “creatore di interrogativi”. Que-

sta concezione è alla base del metodo Rahmani che intende sottoporre all’attenzione degli alunni problemi di natura matematica non accompagna-ti da una domanda arbitraria. Pertanto, lo studen-te è motivato a individuare non solo la risposta fi-nale al problema, ma anche la domanda inizia-le che è possibile porsi a partire dalle informazio-ni a disposizione. Di conseguenza, tale approccio vuole sviluppare un atteggiamento esplorativo e

arricchita con le nuove informazioni elaborate.Oltre all’analisi delle competenze cognitive impli-cate, è importante considerare anche processi so-vraordinati di tipo metacognitivo: percepire di po-ter risolvere il problema, identificare e struttura-re un progetto di risoluzione, valutare il risultato conseguito. La metacognizione, inoltre, è coinvol-ta nel controllo delle competenze legate alla cate-gorizzazione e all’applicazione di schemi mentali per la risoluzione dei problemi.

OSTACOLI LUNGO IL PERCORSO DI SOLUZIONEChe cosa avviene nella mente di una persona nel momento in cui prova a risolvere un proble-ma matematico? Spesso, durante la ricerca della modalità più adeguata di risoluzione, è possibile imbattersi in alcuni ostacoli: il primo di questi è rappresentato dal dover dirigere contemporanea-mente l’attenzione verso le molteplici informazio-ni reperibili nel testo del problema, con la con-seguente difficoltà nell’individuazione e memo-rizzazione delle informazioni più importanti. Un secondo impedimento può portare a orientare l’attenzione solo sulla rappresentazione usuale e stereotipata della situazione descritta, non con-sentendo di ampliare lo sguardo verso percorsi di soluzione meno comuni. Un’ulteriore difficoltà che si riscontra spesso deriva dall’auto-imposizio-ne di limiti non richiesti dal problema e dalla ripe-tizione di procedimenti già tentati in precedenza: lo studente può quindi non essere in grado di in-dividuare percorsi di risoluzione alternativi e più adeguati alla situazione problematica presentata.

L’apprendimento della matematica è un’ottima occasione per stimolare il problem finding: la ricerca di domande che è possibile porre a partire dalle informazioni che si hanno a disposizione

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punti di forza e di de-bolezza, senza escludere immediatamente le ipo-tesi di soluzione sbaglia-te. La riflessione con gli studenti non deve per-tanto inserirsi in un’ot-tica di “giusto-sbaglia-to”, ma di “realizzabile o non realizzabile” (in base ai dati disponibili) e di “appropriatezza o non appropriatezza” (in

riferimento alla tipologia di conoscenza che è pos-sibile acquisire). Il training offre l’occasione di potenziare le com-petenze metacognitive degli alunni, chiedendo lo-ro di compiere valutazioni e di riflettere sulle deci-sioni prese e sulle ipotesi proposte, ponendo loro domande che li aiutino, per esempio, a compren-dere perché si reputa una domanda maggiormente pertinente rispetto a un’altra o quali sono gli indi-zi che hanno aiutato a individuare i dati mancanti.Inoltre, un altro lavoro cui il training si presta de-riva dal confronto di un problema con uno risolto in precedenza, con lo scopo di individuare even-tuali analogie o differenze nello schema di presen-tazione dei dati, di individuazione della domanda e di risoluzione.

STRUTTURA DEL TRAININGI problemi proposti sono catalogati in base alle unità di misura in cui sono espressi i dati (quanti-tà, denaro, tempo, lunghezza, peso, capacità) e in base alle operazioni aritmetiche da compiere (ad-dizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione). I testi dei problemi sono caratterizzati da chiarez-za e brevità in modo tale da consentire agli alun-ni con difficoltà linguistiche di poter indirizzare la maggior parte delle proprie risorse cognitive non sulla comprensione del testo, ma nel processo di ragionamento. Analogamente, i calcoli da eseguire sono molto semplici per permettere anche agli stu-denti con discalculia di concentrare l’attenzione sul processo che conduce all’individuazione della soluzione piuttosto che sull’esecuzione dei calcoli.

di curiosità, ritenuto importante da molti autori, per vivere con piacere l’esperienza di studio e ot-tenere un buon successo non solo scolastico ma anche professionale.

PROBLEMI SENZA DOMANDAI problemi utilizzati nel training - disponibile in un libro operativo (Rahmani et al., 2016) rivolto agli alunni del secondo ciclo della scuola prima-ria e delle prime classi di quella secondaria di pri-mo grado - sono di natura verbale e di comples-sità crescente. Il testo dei problemi contiene sola-mente i dati, senza che sia posta la domanda: ciò stimola lo studente a concentrare la propria atten-zione su ciò che non è noto, a cercare le doman-de derivanti dalle informazioni inizialmente date e a individuare successivamente le operazioni arit-metiche più adeguate per giungere alla risoluzione del problema. La proposta di un problema senza la domanda sollecita lo studente a comprenderlo in modo più approfondito attraverso un processo di problem finding.Lo studente è accompagnato lungo tutto il percor-so di individuazione delle informazioni mancanti e di risoluzione del problema. Questa impostazio-ne fa riferimento alla cosiddetta “zona di sviluppo prossimale”, lo spazio d’azione entro cui il bam-bino/ragazzo ha la possibilità di risolvere compi-ti complessi rispetto al proprio livello di sviluppo effettivo grazie a un aiuto progressivo che gli vie-ne fornito dall’esterno. Ciascun problema propo-sto è strutturato in modo tale da stimolare la com-

prensione e il coinvolgimento atti-vo dello studente. Inoltre, so-

no centrali i processi che lo conducono a individua-re e analizzare le diver-se sfaccettature del pro-blema e ad avviare una discussione circa la rela-zione tra i dati.La discussione deve con-sentire agli studenti di poter esporre liberamen-te le proprie idee, aiu-tandoli a individuarne i

La riflessione con gli studenti non deve inserirsi in un’ottica di “giusto o sbagliato”, ma di “realizzabile o non realizzabile” in base ai dati disponibili e di “appropriatezza o non appropriatezza”

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re appartenente a una categoria più generale, fa-cendo nascere in lui la consapevolezza che è pos-sibile trasferire l’esperienza acquisita da un pro-blema all’altro grazie all’estrazione di elementi co-muni ai due problemi, in termini di dati noti, do-mande e operazioni aritmetiche appropriate.L’incapacità di estrapolare gli elementi costituti-vi di un problema trasferendoli a un altro, rappre-senta uno dei principali limiti all’acquisizione di conoscenze in campo matematico. La metodolo-gia è stata implementata per sviluppare le compe-tenze legate al controllo della propria attività in-tellettiva, consentendo di accrescere la consapevo-lezza delle modalità utilizzate per raggiungere un determinato risultato durante l’esecuzione di un compito.

INDICAZIONI BIBLIOGRAFICHE

L’autrice indica alcuni testi utili per approfondire lo svilup-po del pensiero matematico nei bambini.

• RahmaniL.(1993), Una nuova pedagogia della matema-tica, Rimini, Marrapese.

• RahmaniL.(1994), «Lo sviluppo del pensiero matemati-co in bambini normali e con difficoltà di apprendimento», Tecnologie Didattiche, 5, 5-58.

• RahmaniL.,GagliardiC.,GiraniE.,AntoniettiC.,Antoni-ettiA.(2016), Pensare la matematica. Dai numeri ai signi-ficati: un training al problem finding, PsyPrint, (Create-Space Independent Publishing).

Le tre parti del problemaCiascun problema si compone di tre parti:• Sezione A (Analisi): in cui l’obiettivo principale

è l’individuazione dei dati rilevanti ai fini della risoluzione del problema;

• Sezione D (Domanda): prevede che gli studenti individuino la domanda più pertinente in rela-zione ai dati posseduti;

• Sezione S (Soluzione): fa riferimento al proces-so di soluzione e all’individuazione delle opera-zioni matematiche necessarie.

Nei problemi più complessi è possibile individua-re delle sezioni C (Connessione) le quali favorisco-no l’individuazione di dati intermedi per prosegui-re con la fase successiva.Ciascuna sezione prevede dei passaggi (nume-rati progressivamente) aventi lo scopo di guida-re e aiutare lo studente, se necessario, nell’indivi-duazione degli elementi costitutivi del problema, prima di passare alla fase successiva. Il materia-le contenuto nel training ben si presta a una som-ministrazione sia individuale sia collettiva in aula.Nelle schede di Strumenti e percorsi in fondo a questo articolo sono riportati esempi delle attivi-tà contenute nel training e un caso di soluzione in classe di un problema.

IN CONCLUSIONE: PERCHÉ IL PROBLEM FINDING?Il metodo di Rahmani si prefigge di condurre gli studenti a scoprire le relazioni esistenti tra i da-ti forniti, le domande da ricavare dalle sole infor-mazioni a disposizione e le operazioni da compie-re. Si aiutano così gli allievi a riflettere sui dati che possono essere ricavati e i dati che non è possibi-le conoscere; inoltre ci si attende che possano im-

parare a distinguere tra i dati mancanti signifi-cativi e non significativi ai fini della risoluzione del problema. L’obietti-vo principale del meto-do è portare lo studente a considerare il proble-ma che sta affrontando come un caso particola-

il metodo di rahmani si prefigge di condurre gli studenti a scoprire le relazioni esistenti tra i dati forniti

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Simulazione: come si struttura l’attività in aula? La presente scheda offre un esempio di come l’insegnante può stimolare uno studente (che in questo caso chiamiamo Luca) a individuare la soluzione al problema (frasi in blu) modulando l’attività in base alle risposte fornite dall’alunno (frasi in corsivo).

• OperAZiOne: ADDIZIONE - SOTTRAZIONE • dimenSiOne: QUANTITÀ • prOBLemA:

“il fruttivendolo ha 40 mele rosse. Vende 10 mele rosse. dopo aver cercato nella cella frigorifera si accorge di avere anche 20 mele verdi.”

L’insegnante propone a Luca una variante del testo linguisticamente più complessa:“Il fruttivendolo ha 40 mele rosse, 10 delle quali vengono vendute. Dopo aver cercato nella cella frigorifera si accorge di avere ulteriori 20 mele verdi.”

SEZIONE A: ANALISI

A0 Dopo aver riletto una seconda volta il testo, l’insegnante chiede a Luca:“Secondo te quanti e quali sono i dati impor-tanti contenuti nel testo che abbiamo letto?”

Secondo me sono due: le mele rosse e le mele verdi.

A1 L’insegnante chiede a Luca di dettagliare maggiormente la risposta data.Prova a specificare meglio. Guarda lo schema che ho disegnato alla lavagna. Proviamo a inserire nei rettangoli tutti i da-ti che trovi:

...0 mele rosse

...0 mele verdi

...................

...................

Il terzo dato fa riferimento al prezzo di vendita delle mele?

A2 L’insegnante, visto che Luca non ha indivi-duato il dato mancante, lo aiuta rileggendo il testo, enfatizzando la lettura dei dati im-portanti ai fini della risoluzione. È possibile a questo punto, accompagnare la lettura del testo con un disegno che mostra la scena problematica.Rileggiamo insieme il testo e sottolineiamo tutti i dati presenti nel testo:

Il fruttivendolo ha 40 mele rosse, 10 del-le quali vengono vendute. Dopo aver cercato nella cella frigorifera si accorge di avere ulte-riori 20 mele verdi.

Benissimo, i dati importanti sono quindi tre:• 40 mele rosse possedute• 10 mele rosse vendute• 20 mele verdi possedute

rifare disegno

SEGUE

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Strumenti e percorsi per il problem finding

SEZIONE D: DOMANDA

d0 Una volta ottenuti i dati, è necessario indi-viduare la domanda, per poter risolvere il problema. Ora che sappiamo quali sono i dati impor-tanti per risolvere questo problema, mi sai dire qual è la domanda a cui si deve rispon-dere?

Guardando i dati non saprei, me ne vengono in mente molte…

d1 Il docente cerca, dunque, di aiutare Luca a esporre tutte le domande che è possibile porre a partire dai dati a disposizione. L’in-segnante non corregge l’alunno e accoglie anche le risposte che risultano essere non appropriate in relazione al problema di rife-rimento.Mi sapresti dire quali sono tutte le domande che è possibile porsi?

Quante mele aveva in totale il fruttivendolo prima di venderle?Quante mele rosse restano al fruttivendolo in più di quelle verdi?Quante mele restano al fruttivendolo?Quanto guadagna il fruttivendolo?Quanto costa ciascuna mela?

L’insegnante fa riflettere Luca sulle doman-de a cui è possibile fornire una risposta, a in relazione ai dati a loro noti. Inoltre, spiega allo studente che la domanda deve poter te-nere in considerazione tutti i dati individuati.Tra tutte le domande che hai elencato, quali sono le domande alle quali è possibile dare una risposta?

Quante mele aveva in totale il fruttivendolo prima di venderle?Quante mele rosse restano al fruttivendolo in più di quelle verdi?Quante mele restano al fruttivendolo?

E tra queste domande, qual è la domanda migliore?Quante mele rosse restano al fruttivendolo in più di quelle verdi?Quante mele restano al fruttivendolo?

d2 L’insegnante conferma che la risposta è corretta, ma spiega a Luca che una delle due domande consente di ottenere una ri-sposta che risulta essere utile al fruttiven-dolo in relazione al suo principale scopo di vendere le mele (criterio pragmatico).La domanda alla quale si deve rispondere è:

a) Quante mele rosse restano al fruttivendo-lo in più di quelle verdi?

b) Quante mele restano al fruttivendolo?

La domanda più adeguata è: Quante mele re-stano al fruttivendolo?

Esatto, al fruttivendolo interessa conoscere il numero di mele rimaste. Può conoscere anche quante mele rosse restano in più ri-spetto a quelle verdi, ma vendendole tutte allo stesso prezzo sarebbe meno interes-sante calcolare tale dato.

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SEZIONE C: CONNESSIONE

C0 In questa fase l’insegnante porta Luca a ri-flettere sul dato mancante per poter rispon-dere alla domanda individuata. È necessa-rio, infatti, tale passaggio per poter prose-guire nella risoluzione del problema.Per rispondere alla domanda che hai indivi-duato, è necessario trovare un ulteriore da-to. Quale?

Per conoscere quante mele ha in totale occor-re conoscere quante mele verdi vende?

C1 L’insegnante corregge Luca, spiegandogli che potrebbe essere corretto conoscere ta-

le informazione, la quale non è però ricava-bile dai dati a disposizione. Per poter rispondere alla domanda, è ne-cessario trovare il terzo dato. Tale dato è:

a) Quante mele rosse resto al fruttivendolo? b) Quante mele verdi ha in meno di quelle

rosse?

Ho capito! Quante mele rosse restano al frut-tivendolo?

Esatto! Hai dato la risposta corretta. Cono-scendo le mele rosse vendute è possibile ri-cavare il numero di mele rosse rimaste.

SEZIONE SC: SOLUZIONE - CONNESSIONE

SC0 Con il presente passaggio intermedio, l’insegnante aiuta Luca a comprendere qual è la prima operazione matematica da compiere per trovare il dato mancante.Ora fai l’operazione necessaria per trovare il dato intermedio:

Devo fare una sottrazione?

SC1 Sì, l’operazione matematica necessaria è la sottrazione. Nello schema sottostante

inserisci il segno e i dati dell’operazione che bisogna fare per collegare i dati e poi esegui l’operazione:

...0 10 30=....

Bravissimo! Sottraendo le mele rosse ven-dute dalle mele rosse possedute inizial-mente dal fruttivendolo, possiamo ottene-re il numero delle mele rosse rimaste.

SEZIONE S: SOLUZIONE

S0 Giunti all’ultima fase del processo di soluzio-ne, l’insegnante può sollecitare Luca a trova-re la risposta finale al problema. Dopo avergli chiesto di riassumere i passaggi effettuati fi-no a ora, pone la seguente domanda: Ora fai l’operazione necessaria per rispon-dere alla domanda “Quante mele restano in tutto al fruttivendolo?”

Se devo calcolare le mele rimaste occorre fare una nuova sottrazione?

S1 L’insegnante lo aiuta a riflettere sui dati noti: I dati a nostra disposizione sono: il numero di mele rosse possedute dal fruttivendolo a seguito della vendita e il numero totale

di mele verdi trovate nella cella frigorifera. È necessario conoscere il numero di me-le totali, sia rosse che verdi, attualmente possedute dal fruttivendolo. Nello schema sottostante inserisci il segno e i dati dell’operazione che bisogna fare per collegare i dati e poi esegui l’operazione:

Devo, allora, fare un’addizione!

.... .... ...0=....

Bravissimo! Hai risolto il problema. Rive-diamo insieme i passaggi compiuti e riflet-tiamo sulle procedure sottostanti che ci hanno portato a trovare il risultato finale.

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Strumenti e percorsi per il problem finding

Un esempio di struttura del training: scheda per l’alunno

SEZIONE A: ANALISI

A0 Quali sono i dati importanti?

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

A1 Inserisci i dati importanti nello schema:

..................................................... .....................................................

A2 Sottolinea nel testo i dati importanti e individuali nell’immagine qui accanto:

Ar Ecco evidenziati i dati importanti:(Risposta)Nell’organizzare la festa di compleanno di Luca la mamma ordina 3 vassoi di pasticcini. Il peso di ogni vassoio è di 180 g.

I due dati importanti sono:• 3 vassoi• 180 grammi

• OperAZiOne: ADDIZIONE - SOTTRAZIONE • dimenSiOne: QUANTITÀ • prOBLemA:

“nell’organizzare la festa di compleanno di Luca la mamma ordina 3 vassoi di pasticcini. il peso di ogni vassoio è di 180 g.”

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SEZIONE D: DOMANDA

d0 Qual è la domanda alla quale devi rispondere?

…………………………………………………………………………………………………………………........…………………

d1 Quali sono tutte le possibili domande a cui puoi rispondere a partire dai dati a disposizione? Quale tra queste è la migliore?

…………………………………………………………………………………………………………………........…………………

…………………………………………………………………………………………………………………........…………………

…………………………………………………………………………………………………………………........…………………

d2 La domanda alla quale si deve rispondere è:

a) Quanto pesano in tutto i vassoi? b) Quanto pesa un pasticcino?

SEZIONE S: SOLUZIONE

S0 Fai l’operazione necessaria per rispondere alla domanda:

………………………………………………………………………………………………………….

S1 Nello schema sottostante inserisci il segno e i dati dell’operazione che bisogna fare per collegare i dati e poi esegui l’operazione:

……… ……… ………=....

dr La domanda alla quale si deve rispondere è: (Risposta) a) Quanto pesano in tutto i vassoi?

Sr Quanto pesano in tutto i vassoi? (Risposta) L’operazione da fare è 180 χ 3.

I vassoi pesano in tutto 540 grammi.