z

che riferiamo ad una terna XYZnon alla De Saint Venant

yx

ma  più simile a noi navali

x

zy

CONSIDERIAMO UNA TRAVE

Nelle ipotesi che si abbia solo momento My positivo, questo:

x

zy

• comprimerà le fibre superiori  • tenderà le fibre inferiori

My My

Possiamo pensare di ottenere un momento My (supponendo che esso non ci sia) andando semplicemente ad applicare una forza normale N, infatti:

• in queste condizioni il diagrammadelle σx è uniforme in tutta lasezione e avremo compressione

• Spostando N dal baricentro e applicadolo in c(centro di sollecitazione) genero un momentoanalogo al precedente se c è sopra G.

G

N

G

cN

Possiamo però riportare N in G, aggiungendo il momento che essa applicata in C aveva rispetto a G

σx

-

G

N MY

Ed allora, considerando il principio di sovrapposizione degli effetti:

+ =Dovuto alla

Forza normale N

Dovuto al momento My

- -

+

-

+

baricentrale se vi è flessione pura

posizionato all’infinito con solo sforzo normale N in G

al di fuori della sezione per Ntra G e ∞

Manterrà ugualmente le sue proprietà

Per meglio intendere il signifaco del Nocciolo d’inerzia occorre necessariamentefare un richiamo alla geometria delle masse

G

c

Se allora consideriamo la forza N non applicata nel centro C

Quale sarà l’asse neutro?

NL’asse neutro è la retta antipolare di c, cioè si corrispondonosecondo una relazione di coniugazione analoga a quella 

enunciata dalla geometria delle masse

Dunque, se conosco l’asse neutro e calcolo rispetto questoil momento d’inerzia della sezione e il momento statico ene faccio il rapporto, ho una distanza che è proprio c

Viceversa se ho C e G posso calcolare l’asse neutro

Esistendo allora una relazione di coniugazione tra assi coniugatie centri relativi, si possono trovare i centri relativi di tutti gli assi che non tagliano la sezione ma al più la toccano

Per una sezione rettangolare sono 4 (a parte le infinite nei vertici del rettangolo)

Per queste possiamo calcolare In/Sn ed avere il centro relativo

Individuati i centri relativi, la figura che ne viene fuori è un ROMBO

Questa figura è chiamata Nocciolo d’inerzia

x

n

2+=

2hAIxxInn 2

+=2

•h

bSxSn0

3h

3h

3b

3b

45°

In questo caso il centro relativoa tale asse si trova sulla congiungenteai centri relativi ai 2 assi ortogonali

Per una sezione circolare il nocciolod’inerzia è ancora

un cerchio di diametro R/4

hSnInn

32

=

è estremamente importante in ambito strutturale:

per meglio definire e comprendere il comportamento dell’arco

Il centro di sollecitazione “C” può essere chiamatoanche centro di pressione, e supponiamo che esso cadaal di fuori del nocciolo d’inerzia.

In queste condizioni la sezione non sarà più solocompressa, ma saremo in presenza di una presso‐inflessione. Allora il nocciolo d’inerzia rappresenta lamassima escursione che la forza N può avere affinchèla sezione resti tutta compressa.

Nell’altezza della pietra dell’arco romano, la cui sezione è rettangolare la massima escursione nell’altezza della pietra è come visto prima proprio h/3 + h/3. 

C

G

C è il punto diapplicazione di N

Excursus storico

Arco classico romano è l’arco a tutto sesto arriva fino alle imposte orizzontali ed è un 

arco circolare

Successivamente nell’alto medioevo si abbandona l’arco circolare e si passa a forma più complesse con l‘arco gotico

L’arco può essere schematizzato come una trave ad asse spezzato che può 

essere caricato in vario modo

q

Nella realtà è addirittura una struttura labile, e se n sono i conci (di cui ne rappresentiamo la sola linea media) è 3xn volte labile, frattanto 

resta in equilibrio fino a quando è tutto compresso, cioè N resta confinato all’interno del 

NOCCIOLO D’INERZIA

Definiamo

• La luce l come la distanza tra i 2 appoggiin questo caso 2 cerniere

l

• La distanza tra il piano orizzontale degli appoggie il colmo o la chiave dell’arco è definita comefreccia dell’arco

f

• L’arco non sarà sospeso ma poggierà nella realtà su dei piedritti

2lq ⋅

2lq ⋅

flq8

2

flq8

2

f

flq8

2

- è la spinta dell’arco ed è proprio il momento al piede del piedritto 

L’arco crollerà certamente se il piedritto è costituito da tronchi come l’arco inquanto non è in grado di assorbire quel momento.

Se ci fossero solo le azioni verticali non ci sarebbero problemi, ma la spintaorizzontale fermo restando le cerniere fa aprire l’arco, cioè i piedritti ruotanoIntorno ai due fulcri

L’arco si vede spostare i 2 punti d’appoggio, la chiave dell’arco scende, nonc’è più compressione e si verifica il crollo dell’arco

Come risolviamo il problema??

Realiziamo  2 piedritti di notevoli dimensioni creando delle pareti piene sullequali si esplicano le  forze dell’arco cioè reazione verticale e momento

Ai fini dell’equilibrio la parete sarà bilanciatada un taglio orizzontale nella parte inferioredella parete, dovuta al peso stesso della 

parete e alle forza d’attrito

Il momento delle forze a e b  essendo la campatadella parete alta darà vita ad un momento bh^3/12alto e dunque un σ di trazione piccola facilmente

assorbita dalla muratura stessa

hpeso

T

A

B

Se infine agisce un carico orizzontale fermorestando che il sistema è Iperstatico e perequilibrare questa forza orizzontale avremoche sull’imposta di destra ci sarà unareazione verso l’alto e quindi il muro saràancora compresso.

q

Se l’intensità della forza è elevata devo rendere il mio arco ancora più iperstatico, posizionando una catena, un pendolo teso cioè un tirante.

Realizzo così il cosiddetto ARCO A SPINTA ELIMINATA