Corrente elettricaCorrente elettrica

Conduttore in equilibrio Condutture su cui è mantenuta una ddp

A B0=E

r

BA VV =

A B

0≠Er

+ _

BA VV >

E=0 V=cost

Un campo elettrico all’interno di un conduttore rappresenta una situazione di non equlibrio.Un metallo lasciato a sè stesso, si riporta in equilibrio in tempi brevissimi (10-19 s) .... .... a meno che la ddp non sia mantenuta, ad esempio con un generatore

carica positivacarica negativa

se si mantiene un campo elettrico nel conduttore si un flusso netto di carica: corrente elettrica. Lo strumento che permette di fare ciò si chiamageneratore (es. batteria).

Corrente elettricaCorrente elettrica

q E

definizione di corrente elettrica(flusso di carica netta attraverso la sezione)i

dtdq

=

[ ] AsCi == unità fondamentale SI

(v. avanti la definizione di Ampère)

Grandezza scalare con segno (verso)

1) cariche di conduzione positiveelettroniioni positivi

Il verso convenzionale della corrente è quello della carica positiva.

E E

2) cariche di conduzione negative

velocità di derivadiscorde con E corrente verso dx

velocità di derivaconcorde con Ecorrente verso dx

Un flusso di carica positiva, che viaggia verso destra nel disegno, dà la stessa corrente di un flusso di carica negativa che viaggia verso sinistra. Il verso della corrente elettrica coincide sempre con il verso del campo elettrico.

Corrente elettricaCorrente elettrica

Attenzione: la corrente elettrica si considera una grandezza scalare. Anche se si parla di verso.In un circuito elettrico si tiene conto del verso tramite il segno. Come nel caso della portata di un fluido.

se le cariche di conduzione sono tutte uguali

NnqvSdtdqi ==

v: velocità di deriva delle cariche liberen: N° cariche di conduzione per unità di volumeSN: sezione normale attraversata dal flusso di cariche

In condizioni normali, nei metalli, la velocità termica degli elettroni di conduzione èmolto maggiore della velocità di deriva.

Esempio. Filo di rame, di sezione 1mm2, percorso da corrente i=10A.

1 elettrone di conduzione per atomo di Cu densità δ=8920 kg/m3 M=63.5 g/mole a n=8.46.1028 m-3

velocità di deriva: 7.4.10-4 m/s (0.74 mm/s) velocità termica media: 1.6.106 m/s

Corrente elettricaCorrente elettrica

“Legge di continuità” per la corrente elettrica

i1i2 i1=i2

Legge di Kirchoff dei nodii2i1

i3

i1=i2+i3 la somma delle correnti entranti in un nodo è pari alla somma delle correnti uscenti.

Generatore di tensione (o di f.e.m.)

Lo strumento in grado di mantenere una differenza di potenziale (d.d.p.) ai capi di un conduttore si chiama generatore di tensione o di forza elettromotrice (f.e.m.).

Un generatore sposta le cariche di conduzione in una direzione determinata. Ciò avviene grazie a forze interne non elettrostatiche (in una batteria reazioni elettrochimiche) che lavorano contro il campo elettrico.

Generatore aperto. Sposta elettroni verso il morsetto negativo, con accumulo di carica sui due morsetti, fino a che si crea una differenza di potenziale ∆Ve un campo elettrico che impedisce ulteriori spostamenti.

G

+++ ++

+

--- -- --

∆V Definizione: si dice forza elettromotrice (f.e.m.) del generatore la ddp misurata fra i suoi morsetti a circuito aperto.

apertocircuitoV∆=ε−+ −=∆ VVV

Generatore

Circuito chiuso su un conduttore (o su un “carico”) +

-

G∆V’

Gli elettroni possono passare dal morsetto positivo a quello negativo per l’azione del campo elettrico lungo il circuito esterno. Non più impedito dal campo elettrico opposto, il generatore può spostare elettroni, internamente, contro la forza elettrostatica.

a flusso di carica elettrica (corrente continua) fra i due morsetti.

In generale, quando il generatore è chiuso su un conduttore, la ddp fra i morsetti del generatore diminuisce (∆V’ <∆V= ε) Un generatore si dice ideale se la ddp fra i morsetti non dipende dal carico.

Rappresentazione schematica di un generatore ideale

+-

elettrodo o polo +

elettrodo o polo -

−+ −=∆= VVVε

Generatore idealeGeneratore ideale

iε

A

B

“carico” (resistenza, motore ...)

Un’ipotetica carica positiva è trasportata dal campo elettrico da A a B esternamente al generatore, e da B ad A, contro il campo elettrico, dal generatore.

Il generatore compie lavoro contro il campo elettrico, finché non ha esaurito la sua riserva di energia.

dqVdqdL ε=∆⋅=Lavoro per trasportare una carica q da B ad A:

dtdq

dtdLP ε== iP ε=Potenza erogata dal generatore :

segno positivo se ε e i hanno lo stesso verso (potenza erogata) segno negativo se e e i hanno verso opposto (potenza assorbita)

Legge di OhmLegge di Ohm

Per molti conduttori (es. conduttori metallici) la corrente è proporzionale alla ddp applicata

RiV =∆ 1a legge di Ohm

ε

A

B

i [ ] Ω=== 32

2

sAmkg

AVR

Questi conduttori si dicono resistoricostante di proporzionalità(resistenza) R dipende dal materiale e dalla geometria.

i

R

123∆V=VA-VB=Ri

A B

Rappresentazione schematica di un resistore di resistenza R:

Il potenziale diminuisce nel verso della corrente (cioè del campo elettrico). “Caduta di potenziale”

Legge di OhmLegge di Ohm

S

SR lρ= 2a legge di Ohm

l

[ ] mΩ=ρPer un filo di lunghezza l e sezione S si trova:

ρ resistività: dipende dal materiale (e dalla temperatura)

( ) ( ) ( )[ ]00 1 TTTT −+= βρρm a te r ia le ρ (0 ° C ) Ω mA l 2 .5 .1 0 -8

C u 1 .7 .1 0 -8

v e tro 1 0 1 0

c e ra m ic a 1 0 1 6

123

conduttori

123 isolanti

[ ]Tβρρ += 10

La 2a formula si ottiene dalla 1a ponendo T0=0°C, per cui ρ0 è la resistività a 0°C e ∆T=T è la temperatura in °C.

Serie e parallelo di resistenze

( )21

2121

RRRiRViRRVVV

eqeq +=⇒=+=+=i

R1 R2

∑=+++=k

kEQ RRRRR ...321Resistenze in serie

R1

R2

i1

i2

+-...111

...

21

321

++=

⇒+++=

==

RRR

iiii

ViRV

eq

kkk

∑=+++=k keq RRRRR1...1111

321Resistenze in parallelo

Effetto JouleEffetto Joule

iR

A

B

RiV =

[ ]VV ∆=

Spostando una carica q da A a B lungo R, il campo elettrico compie un lavoro LE = -q∆V > 0. La velocità di deriva però non cambia (legge di Ohm): dissipazione di energia. (Forze dissipative contrastano la forza elettrica).

tRiRitiVqLEL ∆=⋅∆=∆= 2

(se i costante o ∆t infinitesimo)In un tempo ∆t passa una carica q=i∆t

RVRiVi

∆tLPDISS

22 ==∆==

Campo magnetico Alcuni fenomeni

Forze fra 2 calamite.

N S

NS

N SN

NN

S

SS

N S

N S

Momento delle forze

Ago magnetico: se libero si allinea con il campo magnetico.

Ago magnetico

Magnete di forma sferica (P. de Maricourt, 1269)

Campo magnetico

L’ago magnetico si dispone parallelamente al campo magnetico: consente di visualizzare le linee di forza

Con molti aghetti si ottiene una visuallizzazione immediata.

ad esempio con limatura di ferro(v. materiali ferromagnetici)

Abbiamo così definito il campo magnetico B come campo vettoriale.

Forza di Lorentz

Si usa come sonda una carica q. La forza ha le seguenti caratteristiche.

♦F proporzionale a v

♦ F proporzionale a q

♦ F ortogonale a B e v .

♦ F=0 se v parallela a B.

♦ regola della mano destra (v.) F=0 se v=0 (agisce solo se q è in moto)

♦ (θ angolo fra v e B)

vF ∝

vFBF rrrr⊥⊥

qF ∝

θsin∝F

Tutto ciò si riassume nella

v

BF

v

B

FBvFrrr

×= q

θsinqvBF =

Forza (di Lorentz)Relazioni per una carica positiva. Se q<0 F si inverte.

Forza di LorentzForza di Lorentz

Dalla forza di Lorentz si può misurare il campo B.

[ ] TmWb

AmJ

AmNB ==== 22 [ ] VsWb =Tesla o Weber/m2

Note sull’unità di misura. Il Tesla è un’unità piuttosto grande:

• magneti a temperatura ambiente B ≤ 2.5 T • magneti superconduttori B ≤ 25 T (6 T su volumi grandi) • campo magnetico terrestre ~ 0.5.10-4 T • ma sulle stelle a neutroni i campi sono molto intensi. 1011-1014 T

un’unità pratica molto usata è il Gauss (1T = 104 G)

Proprietà fondamentale della forza di Lorentz.

La forza di Lorentz compie lavoro nullo: modifica solo la direzione di v, ma non il modulo:

( ) 0==⋅×=⋅= dKdtqdd vBvsF rrrrrL

Moto di una carica in un campo Moto di una carica in un campo BB uniformeuniforme. .

Bvrr

⊥. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .Br

Se si osserva moto circolare uniforme

mqB

=ω

RvmqvBF2

==

qBmvR =

la velocità angolare ω e il periodo T, non dipendono da v. Si parla di ν, T di ciclotrone.

(per grandi velocità R dipende da v: effetti relativistici)

A parità di velocità (di energia) è più facile piegare un elettrone rispetto ad un protone, o un atomo molto ionizzato rispetto ad uno con ionizzazione +/- 1 (rigidità magnetica).

Per velocità generiche si ha traiettoria elicoidale: circonferenza nel piano ortogonale a B, moto uniforme nella direzione di B.

qBmT π

ωπ 22==

qBmvR ⊥= ||v costante.

Forza agente su un conduttore percorso da corrente.Forza agente su un conduttore percorso da corrente.

Somma delle forze di Lorentz sulle cariche di conduzione. Si consideri un elementodi conduttore percorso da corrente i:

N° di cariche

dV=dSdl

BFBF

BvFr

lrrr

lrr

rrr

×=⇒×=

×=

iddddSnqvd

qndVd

Se B è uniforme BBFrr

lrr

×=×= ∫B

A

ABidi

A B

C

D

In un campo magnetico uniforme, la forza totale dipende solo dagli estremi A e B:

1a legge di Ampère

dS

dl

Bv

ABADBACB FFFrrr

==

Su un circuito chiuso (spira) in un campo uniforme F = 0. Ma il momento non è nullo.

Spira piana in un campo magnetico uniformeSpira piana in un campo magnetico uniforme

i uscente

Il momento tende ad “allineare” la spira con il campo B. La posizione di equilibriostabile della spira è quella per cui• il piano della spira è ortogonale al campo B• il verso della corrente nella spira è legato al verso di B dalla regola della mano destra

θsin2BiM l=l

n

θ

i entrante

Le due forze sono uguali in modulo (FTOT=0) ma le rette d’azione sono diverse: danno origine ad un momento

Si dice che il momento di dipolo magnetico della spira è allineato con il campo.

Sorgenti del campo magnetico.Sorgenti del campo magnetico.

Non esistono “cariche magnetiche”.

0=Φ B Flusso di B attraverso una superficie chiusa. Teorema di Gauss per il campo B.

Il campo B è generato da cariche in movimento (correnti elettriche)

Campo dB generato da un elemento di circuito dl percorso da corrente i, in un punto P a distanza r (nel vuoto):

2a legge di Ampère

Prr

lrd

30

4 rdid rB

rlr

r ×=

πµ

i Se dl e r sono nel piano del disegno dB è uscente.

mH

AmTm 7

27

0 104104 −− ⋅=⋅= ππµ nel vuoto.

µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto. In un mezzo si sostituisce µ0 con µ=µ0µR

1≅RµIn genere tranne che per i materiali ferromagnetici.

Legge della circuitazione di AmpèreLegge della circuitazione di Ampère

“La circuitazione del campo magnetico (statico) B nel vuoto è uguale al prodotto della permeabilità magnetica del vuoto (µ0) per la somma algebrica delle correnticoncatenate. “

circuitazione di B: integrale lungoun percorso chiuso di:

IdB 0µ=⋅∫ lrr

αcosllrrBddB =⋅

somma algebrica delle correnticoncatenate al percorso chiuso

i1 i2

i3

i4

321 iiiI +−=linea chiusa

Campo generato da un filo rettilineo infinito.Campo generato da un filo rettilineo infinito.

Campo generato in P (a distanza r dal filo) dal tratto dl

rr

rl dl

ψ

P

ψπ

µcos

4 20

rdidB l

=

dB tutti paralleli e tangenti alla circonferenza passante per P e coassiale con il filo

sommando tutti i contributi ...

riB

πµ2

0=... o meglio, usando il Teorema di Ampère:

Legge di Biot e SavartLegge di Biot e Savart

correnteentrante

r

B

Forza fra due fili rettilinei paralleli percorsi da corrente.Forza fra due fili rettilinei paralleli percorsi da corrente.

Su un tratto l2 del 2° filo agisce una forza: i1

i2

h F1 F2 1222 BFr

lrr

×= i

(B1 ha lo stesso valore lungo l2)

Si verifica che la forza è attrattiva (se le correnti hanno lo stesso verso)repulsiva (se le correnti hanno verso opposto)

hiiF 210

2πµ

=li1i2

h Definizione dell’unità di misura “Ampère” nel S.I:Definizione dell’unità di misura “Ampère” nel S.I:

Corrente che, passando in due conduttori rettilinei paralleli, alla distanza di 1m, genera una forza F = 2.10-7 N su un tratto il lunghezza 1m.