La Cristallografia

1: la traslazione

Spiega: Perché i cristalli hanno le facceCome le chiamiamoCome si dividono le celle elementari (e i cristalli macroscopici)

La traslazione

Vettore traslatore

Reticolo unidimensionale

STRUTTURA

La traslazione

Vettore traslatore

Secondo vettore traslatore (non parallelo)

a

b

Reticolo (e struttura) bidimensionale

Cella elementare

a

b

Reticolo Cartesiano e Cristallografico

a

b

1

1

90°

Reticoli e non

Reticolo obliquo

Reticolo esagonale

Reticolo centrato

Reticoli di Bravais

Possiamo dare un nome ai piani reticolari?

h,k,l  ­  Indici di Miller

a0, b0, c0 scalare di a, b ,c

b

a

ba

d

d’ d’’

d ≠ d’ ≠ d’’ = d’’’

d’’’

ba

h= a0/a= 1/  = 0 (l’intersezione della faccia lungo l’asse a avviene infatti all’infinito: è parallela ad a)∞

k = b0/b= 3/3= 1 (la faccia interseca l’asse b giusto al valore b0)

Il nome della faccia è (0, 1)

Immaginiamo che a0 = 1nm, b0= 3nm

ba

Il nome della faccia è (1,1)

ba

Il nome della faccia è (2,1)!

a b

c

Come si passa dal microscopico al microscopico, ovvero perché i cristalli

hanno le facce

Costanza degli angoli diedri

120o

120o

120o 120o 120o

120o

120o

Romé De L’Isle

Approccio macroscopico: cristallografia morfologica

Mancava prova del’esistenza del reticolo (solo nel 1912)

Nome alle facce definito in base a tre assi cristallografici a, b, c scelti opportunamente e a una faccia definita faccia parametrica

Definisco degli indici di Miller h, k, l come h = a0/a, k = b0/b e c = c0/c dove a0, b0 e c0 è la distanza tra l’origine e l’intercetta sugli assi nella faccia di riferimento parametrica e a, b e c la stessa distanza in una faccia qualunque.

Esempio in 2 dimensioniScelgo la faccia rossa come riferimento: rispetto agli assi cristallografici intercetta a e b alle distanze a0 e b0 , la nostra unità di misura

b

a

b

a

b

a

b = b = b0

Sposto l’altro pianoGli indici di Miller della faccia parametrica sono: h= a0/a e k = b0/b. Siccome a= a0 e b=b0 h=1, k=1, ovvero (1,1).Quali sono gli indici dell’altra faccia?

a = a0/2

b

a

x

y

b

a

In realtà si misuravano gli angoli tra le facce!

141141oo

148148oo

3939oo

5858oo

tan 39 = a/tan 39 = a/bb00 = 0.801 = 0.801

tan 58 = atan 58 = a00/b/b00 = 1.600 = 1.600

h = a0/a = 2

Cristallografia morfologica

Razionalità degli indici

Legge di Hauy

I rapporti dei parametri ottenuti da due facce qualsiasi del cristallo stanno tra loro come tre numeri razionali, interi, primi tra loro e generalmente piccoli

La frequenza con cui una faccia compare è legata alla densità dei punti reticolari

Esercizio per casa: date il nome alle facce (c perpendicolare al piano)Come si chiama la faccia che comparirà più spesso?

a

b

b0{{

a0

Primo riassunto

• Abbiamo imparato (dovremmo aver imparato) che cosa sono i cristalli e perché hanno facce geometriche

• una classificazione dei cristalli in base al tipo di reticolo (Bravais meno centratura)

• a dare un nome alle facce• la differenza profonda tra cristalli e

organismi viventi

La Cristallografia

2: la simmetria

Spiega: La forma esterna dei mineraliCome si dividono i cristalli (dai 6 sistemi alle 32 classi cristalline)Le proprietà fisiche dei minerali (più avanti nel corso)

Cristallo: simmetria interna ed esternaOrganismo: solo simmetria esterna!

Il piano di riflessione (m dall’inglese mirror - specchio)

Il piano di riflessione (m dall’inglese mirror - specchio)

d d

d’ d’

Oltre a elementi di simmetria di riflessione, esistono anche gli assi di ROTAZIONE

L’angolo di rotazione α è dato da:

α = 2π / nDove n è l’ordine di rotazione.

Per oggetti finiti α può essere qualsiasi.

Vedremo che quando sono accoppiati a vettori traslatori, gli unici valori di n permessi sono 1,2,3,4,6.

Questi corrispondono agli assi di rotazione che vedremo ora:

Esagira606

Tetragira904

Trigira1203

Digira1802

Identità360°1

Nomeαn

DIGIRA n=2

(rotazione di 180°)

La Mano Sinistra rimane tale

α = 2π / n

TRIGIRA n=3

(rotazione di 120°)

120°

α = 2π / n

P3

Tormalina

OH

Al

OH

Al

Al

OH

Na

Al

Mg

Al

Al

AlMg

Mg

Al

BO3

OH

OH

BO3

OH

BO3

Al

Al

Al

OH

Al

Na

Al

Mg

SiO4

Mg

SiO4Al

Al

SiO4

Mg

Al

SiO4

SiO4

SiO4

OH

BO3

BO3

Al

OH

BO3

OH

Na

OH

AlAl

SiO4

Al

Al

SiO4

SiO4

Al

Al

Mg

SiO4Mg

Al

SiO4

Mg

SiO4

BO3

BO3

OH

Al

OH

BO3

Al

OH

Al

OH

Na

Al

Mg

Al

Al

AlMg

Mg

SiO4Al

SiO4

SiO4

BO3

SiO4

SiO4

SiO4

BO3

OH

BO3

OH

Al

OH

Al

Al

OH

Na

Al

Mg

Al

Al

AlMg

Mg

Al

BO3

OH

OH

BO3

OH

BO3

Al

Al

Al

OH

Al

Na

Al

Mg

SiO4

Mg

SiO4Al

Al

SiO4

Mg

Al

SiO4

SiO4

SiO4

OH

BO3

BO3

Al

OH

BO3

OH

Na

OH

AlAl

SiO4

Al

Al

SiO4

SiO4

Al

Al

Mg

SiO4Mg

Al

SiO4

Mg

SiO4

BO3

BO3

OH

Al

OH

BO3

Al

OH

Al

OH

Na

Al

Mg

Al

Al

AlMg

Mg

SiO4Al

SiO4

SiO4

BO3

SiO4

SiO4

SiO4

BO3

OH

BO3

Tormalina

TETRAGIRA n=4

(rotazione di 90°)

90°

α = 2π / n

soldati

Fluorite CaF2

Fe

S

S

S

Fe

S

Fe

S

Fe

S

S

S

S

Fe

S

S

Fe

S

Fe

S

S

Fe

S

Fe

S

S

Fe

S

S

S

S

Fe

S

Fe

S

Fe

S

S

S

Fe

Pirite FeS

PENTAGIRA n=5

(rotazione di 360/5° =72°)

Oggetti singoli possono avere simmetria 5

Oggetti singoli possono avere simmetria 5 anche se sono cristalli … ma:  solo all’aspetto esteriore!

Pirite FeS

Gli assi di rotazione compatibili con un reticolo sono solamente cinque:

Identità

Digira

Trigira

Tetragira

EsagiraLa pen

tagira non c’

è

Assi di rotazione di ordine 5 (pentagira 72°), o di ordine superiore a 6: presenti in natura, ma non compatibili con il reticolo cristallino

ESAGIRA n=6

(rotazione di 60°)

60°

α = 2π / n

Berillo

Fiocchi di neve

6

6Centro di inversione i  =

1

1

Combinazione centro di inversione e assi di simmetria

• Solo 4 è un nuovo elemento di simmetria

• 1 ≡ i

• 2 ≡ m

• 3 ≡ 3 + i (separatamente)

• 6 ≡ 3/m (asse 3 perpendicolare ad m)

_

_

_

_

_

Simmetrie nei reticoli bidimensionali

Combinazioni tra assi, piani e centro di inversione

• Prima regola: tutti gli elementi di simmetria passano per un punto (il centro del cristallo), nei disegni di prima non valeva

• Seconda regola: devono essere compatibili con un reticolo e tra loro: non tutte le combinazioni sono possibili e solo per certe orientazioni (p.es due assi 6 non sono possibili)

Risultato: i 32 gruppi puntuali (o classi di simmetria)

Combinazioni possibili degli elementi di simmetria nel tridimensionale

Come rappresentarli?

• La proiezione stereografica

• Proiezione di elementi di simmetria e facce

• Le forme caratteristiche delle varie classi

Piano equatoriale o di proiezione

Polo Nord di proiezione

Polo Sud di proiezione

Proiezione dei piani

Il prodotto finale (quasi)

Mancano:

• Il nome delle forme, cioè degli insiemi di facce uguali per simmetria (una faccia in parentesi grafa)

• La molteplicità: quante facce per ogni forma

• E soprattutto il riconoscimento del gruppo puntuale (o classe di simmetria)!

triclino monoclino

ortorombico tetragonale trigonale - esagonale cubico

Comprende anche l’asse 4

_

Elementi di simmetria presenti