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5 Elementi diMatematica finanziaria
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Elementi di Matematica finanziaria
InteressiAnnualità costantiPeriodicità costantiCapitalizzazione
5
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Interessi
Semplici Composti
discontinui annui convertibili
gli interessi maturati si sommano al capitale che li ha prodotti una volta all’anno
gli interessi maturati si sommano al capitale più volte in un anno
Gli interessi maturati non si sommano al
capitale
Gli interessi maturati si sommano al capitale
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Interesse sempliceInteresse
nrCI 0=
Montante (posticipazione)
)1(0 nrCCn +=
Capitale iniziale (anticipazione)
)1(1
0 nrCC n +
=
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Interesse
Interesse composto discont. annuo
)1(0 −= nqCI
)1(000
0
0
−⋅=−⋅=
⋅=
−=
nn
nn
n
qCCqCIqCC
doveCCI
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Capitalizzazione
Int.comp.discont. annuo: capitalizzazione
)1(1
0 −⋅= nqIC
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Montante
Int.comp.discont. annuo: posticipazione
nn rCC )1(0 +⋅=
CnCn-1C o C1 C2 C3
)1(0001 rCrCCC +=⋅+=
)1(1112 rCrCCC +=⋅+=
202
02
)1(
)1()1(
rCCrrCC
+=
+⋅+⋅=
(1+r)n = q n
fattore di posticipazione
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Capitale iniziale
Int.comp.discont. annuo: anticipazione
nn rCC
)1(1
0 +⋅=
CnCn-1C o C1 C2 C3 fattore di anticipazione
nn qr1
)1(1
=+
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Annualità
posticipate anticipatescadenza
entità costanti variabili
durata limitate illimitate
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Annualità costanti posticipate limitate
n-1 n1 2 3
aaa a a
Accumulazione finale (An)
rqaAn
n1−
⋅=
)...1(
...122
122
−−
−−
+++++=
+++++=nn
n
nnn
qqqqaAaqaqaqaqaA
I termini entro le parentesi sono una progressione geometrica crescente di ragione q. Pertanto:
rqa
qqa
qqqaA
nnn
n1
11
111 −
=−
−=
−
−⋅=
−
Coefficiente di accumulazione
finale
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Annualità costanti posticipate limitate
n-1 n1 2 3
aaa a a
Accumulazione iniziale (Ao)
n
n
rqqaA 1
0−
⋅=
Coefficiente di accumulazione
iniziale
n
n
nn qrqa
qAA 111
0 ⋅−
⋅=⋅=
An
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Annualità costanti posticipate limitateformule inverse
ammortamento
reintegrazione
10 −⋅= n
n
qrqAa
1−⋅= nn qrAa
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Annualità costanti anticipate limitate
Accumulazione inizialen
n
rqqaqA 1
0−
⋅=
Accumulazione finaler
qaqAn
n1−
⋅=
n-1 n
a a a a a
1 2 3
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Annualità costanti posticipate illimitate
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+++⋅=
⋅+++⋅=
∞
∞
qqqaA
qa
qa
qaA
11...1
11...1
20
20
I termini entro le parentesi sono una progressione geometrica crescente di ragione q. Pertanto:
1101
101
011
11
0
0
−+
−=
−
−=
=
−
−⋅=
∞
∞
ra
qaA
qdato
qqaA
a 3 a 4 a 5 a infa 1 a 2
raA =0
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Periodicità
posticipate anticipatescadenza
entità costanti variabili
durata limitate illimitate
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Periodicità costanti posticipate limitate
Accumulazione finale11
−
−⋅= n
tn
tn qqPA
tn
P P
(t-1)n
P P
n 2n 3n 4n 5n
P PP
Accumulazione inizialetnn
tn
qqqPA 1
11
0 ⋅−
−⋅=
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Periodicità costanti posticipate illimitatecapitalizzazione
Accumulazione iniziale1
100 −
⋅== nqPVA
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PeriodicitàAnnualità
Riepilogo coefficientiannualità e periodicità costanti posticipate
capitalizzazione
accumulazione finale
accumulazione iniziale
