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5 MOMENTI DI INERZIA Massa Ad ogni punto materiale si associa uno scalare positivo m che rappresenta la quan- tità di materia di cui è costituito il punto. m, la massa, è costante nel tempo. Dato un sistema discreto di punti P i , a ciascuno di essi sarà associata la sua massa m i . La massa è additiva, ovvero la massa del sistema è data da m := N P i=1 m i . (1) Se il corpo è continuo, si può definire in ogni punto P del corpo una funzione non negativa ρ (P ), la densità, che rappresenta la massa per unità di volume (o di superficie, o di lunghezza) del corpo, la cui massa totale m := R C ρ (P ) dC . (2) Centro di Massa Definizione 1 Dato un sistema discreto di N punti materiali di massa m i , oppure un corpo continuo di densità ρ (P ), fissata una origine O, si dice centro di massa il punto G individuato dal vettore posizione −−−−→ G − O := N P i=1 m i ³ −−−−→ P i − O ´ N P i=1 m i (3) nel caso discreto, oppure −−−−→ G − O := R C ρ (P ) dC ³ −−−−→ P − O ´ R C ρ (P ) dC (4) nel caso continuo. Osservazione 1 La formula del centro di massa è simile alla formula del bari- centro. Ricordiamo che p = mg per corpi con estensione sufficientemente piccola rispetto alle dimensioni della terra. g si può supporre costante. In questo caso i pesi sono un sistema di forze parallele esiste dunque il centro di questo sistema di forze, detto baricentro, che coincide con il centro di massa. Infatti per un sistema discreto −−−−→ G − O := N P i=1 p i ³ −−−−→ P i − O ´ N P i=1 p i = N P i=1 m i / g ³ −−−−→ P i − O ´ N P i=1 m i / g = N P i=1 m i ³ −−−−→ P i − O ´ N P i=1 m i , (5) mentre per un sistema continuo −−−−→ G − O := R C κ (P ) dC ³ −−−−→ P − O ´ R C κ (P ) dC , (6)
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MOMENTI DI INERZIAMassaAd ogni punto materiale si associa uno scalare positivo m che rappresenta la quan-tità di materia di cui è costituito il punto. m, la massa, è costante nel tempo. Datoun sistema discreto di punti Pi, a ciascuno di essi sarà associata la sua massa mi.La massa è additiva, ovvero la massa del sistema è data da
m :=NPi=1
mi. (1)
Se il corpo è continuo, si può definire in ogni punto P del corpo una funzionenon negativa ρ (P ), la densità, che rappresenta la massa per unità di volume (o disuperficie, o di lunghezza) del corpo, la cui massa totale
m :=RCρ (P ) dC. (2)
Centro di MassaDefinizione 1 Dato un sistema discreto di N punti materiali di massa mi, oppureun corpo continuo di densità ρ (P ), fissata una origine O, si dice centro di massail punto G individuato dal vettore posizione
−−−−→G−O :=
NPi=1
mi
³−−−−→Pi −O
´NPi=1
mi
(3)
nel caso discreto, oppure
−−−−→G−O :=
RCρ (P ) dC
³−−−−→P −O
´RCρ (P ) dC (4)
nel caso continuo.
Osservazione 1 La formula del centro di massa è simile alla formula del bari-centro. Ricordiamo che p = mg per corpi con estensione sufficientemente piccolarispetto alle dimensioni della terra. g si può supporre costante. In questo caso ipesi sono un sistema di forze parallele esiste dunque il centro di questo sistema diforze, detto baricentro, che coincide con il centro di massa. Infatti per un sistemadiscreto
−−−−→G−O :=
NPi=1
pi³−−−−→Pi −O
´NPi=1
pi
=
NPi=1
mi /g³−−−−→Pi −O
´NPi=1
mi /g=
NPi=1
mi
³−−−−→Pi −O
´NPi=1
mi
, (5)
mentre per un sistema continuo
−−−−→G−O :=
RCκ (P ) dC
³−−−−→P −O
´RCκ (P ) dC , (6)
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dove con κ (P ) indichiamo il peso specifico. Ma κ (P ) = ρ (P ) g, quindi
−−−−→G−O :=
RCρ (P ) /gdC
³−−−−→P −O
´RCρ (P ) /gdC =
RCρ (P ) dC
³−−−−→P −O
´RCρ (P ) dC . (7)
Momento d’InerziaDefinizione 2 Si definisce momento d’inerzia rispetto ad un asse a, la seguentequantità scalare
Ia := mr2. (8)
Si noti cheIa = 0 ⇐⇒ P ∈ a. (9)
In generale Ia ≥ 0.
Definizione 3 Si definisce momento d’inerzia per un sistema discreto di N puntirispetto ad un asse a, la seguente quantità scalare
Ia :=NPi=1
mir2i . (10)
In questo caso Ia = 0 ⇐⇒ tutti i punti Pi sono sull’asse a.
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Definizione 4 Si definisce momento d’inerzia per un sistema continuo rispetto adun asse a, la seguente quantità scalare
Ia :=RMr2 (P ) dM =
RCr2 (P ) ρ (P ) dC. (11)
Esempio 1 Asta omogenea di lunghezza l e massa m formante un angolo θ conl’asse a.
Sia ρ = m/l la densità dell’asta. Detto xp un punto generico dell’asta, la lunghezzadel segmento OP vale r = xp sin θ. Al variare del punto P sull’asta, il momentod’inerzia si può scrivere come
Ia =
l2Z
− l2
m
lr2dx =
l2Z
− l2
m
l(x sin θ)2 dx =
m
lsin2 θ
l2Z
− l2
x2dx
=m
lsin2 θ
∙x3
3
¸ l2
− l2
=m
3lsin2 θ
µl3
4
¶= m
l2
12sin2 θ. (12)
Se l’angolo θ = π/2
=⇒ Ia = ml2
12. (13)
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Esempio 2 Disco omogeneo di raggio R e massa M
Il punto P è individuato dalle coordinate (r, θ) con 0 ≤ r ≤ R e −π ≤ θ ≤ π.Calcoliamo l’area infinitesima da
AB = rdθA0B0 = drdθAA0 = drda = rdrdθ
La distanza del punto generico P 0 dall’asse è data da PP 0 = r sin θ e la densità èρ =M/πR2. Il momento d’inerzia rispetto all’asse a è
Ia =
ZC
M
πR2r2 sin2 θrdθdr =
πZ−π
RZ0
M
πR2r2 sin2 θrdθdr
(stiamo variando r tra 0 e R e θ varia tra −π e π)
M
πR2
πZ−π
sin2 θ
⎛⎝ RZ0
r2rdr
⎞⎠ dθ =M
πR2
πZ−π
R4
4sin2 θdθ =
MR2
π4
πZ−π
sin2 θdθ
MR2
π42
πZ0
sin2 θdθ =MR2
π2
πZ0
1− cos 2θ2
dθ
=MR2
π2
½1
2[θ]π0 −
1
2
∙sin 2θ
2
¸π0
¾=
MR2
π2
π
2=
MR2
4(14)
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Teorema 1 Sia assegnato il piano π e sia z ⊥ π, allora
Iz = Ix + Iy (15)
con x, y qualunque coppia di assi ortogonali appartenenti al piano π passante perl’origine O.
Dimostrazione. Per definizione
Iz =RΣ
¡x2 + y2
¢ρdσ
RΣ
ρx2dσ +RΣ
ρy2dσ = Ix + Iy. (16)
Teorema 2 (di Huygens) (Calcolo dei momenti d’inerzia rispetto ad assi paral-leli)
Sia IG il valore del momento d’inerzia calcolato rispetto all’asse passante per ilbaricentro G. Indichiamo con d la distanza tra l’asse baricentrale e un asse paralleload esso. Allora, indicato con Ia il momento d’inerzia calcolato rispetto all’asse a,vale la relazione
Ia = IG +md2. (17)
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Dimostrazione.
Sia d2 = a2 + b2 eIa =
RCρ (P )
£(x− a)2 + (y − b)2
¤dCR
Cρ (P )
¡x2 + y2
¢dC +
RCρ (P )
¡a2 + b2
¢dC − 2a
RCρ (P )xdC − 2b
RCρ (P ) ydC
IG +md2 − 2amxG − 2bmyG. (18)
Poichè le coordinate del baricentro sono xG = yG = 0, vale l’equazione (17).
Osservazione 2 Ia ≥ IG.
Osservazione 3 Fra tutti gli assi paralleli con direzione assegnata, quello passanteper il baricentro minimizza il momento d’inerzia.
Osservazione 4 Se a1 e a2 sono due assi paralleli distanti d1 e d2 rispettivamentedal baricentro del corpo
Ia2 = Ia1 +m¡d22 − d21
¢. (19)
Matrice d’InerziaScegliamo una terna ortogonale di riferimento con origine O. Sia u il versoredell’asse passante per O t.c. u = αi+βj+γk con α, β e γ coseni direttori rispettoalla terna (O;x, y, z). Scriviamo il momento d’inerzia rispetto all’asse u
Iu =RCr2 (P ) ρ (P ) dC. (20)
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Calcoliamo, attraverso la definizione³−−−−→P −O
´∧u, corrispondente al vettore r (P ).
r (P ) =³−−−−→P −O
´∧ u =
¯̄̄̄¯̄ i j kx y zα β γ
¯̄̄̄¯̄ = i (yγ − zβ)− j (xγ − zα) + k (xβ − yα)
(21)e il suo modulo
|r (P )| =¯̄̄³−−−−→P −O
´∧ u¯̄̄=¯̄̄−−−−→P −O
¯̄̄|u| sin θ =
¯̄̄−−−−→P −O
¯̄̄sin θ. (22)
Calcoliamone il quadrato
r2 (P ) =¯̄̄³−−−−→P −O
´∧ u¯̄̄2= (yγ − zβ)2 + (xγ − zα)2 + (xβ − yα)2 (23)
e sostituiamolo nell’espressione (20). Si ottiene
Iu =RCρ (yγ − zβ)2 dC +
RCρ (xγ − zα)2 dC +
RCρ (xβ − yα)2 dC
= γ2RCρ¡y2 + x2
¢dC + β2
RCρ¡x2 + z2
¢dC + α2
RCρ¡z2 + y2
¢dC
−2αγRCρxzdC − 2αβ
RCρxydC − 2βγ
RCρyzdC
= α2Ixx + β2Iyy+γ2Izz + 2αγIxz + 2αβIxy + 2βγIyz, (24)
dove abbiamo definito i prodotti d’inerzia⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩Ixz = −
RCρxzdC
Ixy = −RCρxydC
Iyz = −RCρyzdC
(25)
e i momenti d’inerzia rispetto agli assi coordinati⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩Ixx =
RCρ (z2 + y2) dC
Iyy =RCρ (x2 + z2) dC
Izz =RCρ (y2 + x2) dC
. (26)
Definizione 5 Denotiamo con il simbolo I la matrice d’inerzia (o tensore d’inerzia)formata dai seguenti elementi ⎛⎝ Ixx Ixy Ixz
Iyx Iyy IyzIzx Izy Izz
⎞⎠ . (27)
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Osservazione 5 La quantità espressa dall’espressione (20) può essere riscritta nelseguente modo
Iu = (α, β, γ)I
⎛⎝ αβγ
⎞⎠ = Iu× u. (28)
I coefficienti della matrice I dipendono dalla scelta della terna degli x, y, z.
Osservazione 6 Esiste sicuramente almeno una terna rispetto alla quale la ma-trice I assume una forma diagonale⎛⎝ Ixx 0 0
0 Iyy 00 0 Izz
⎞⎠ . (29)
Questa terna si chiama terna principale d’inerzia del corpo relativo al punto O.
Osservazione 7 Ixx, Iyy e Izz sono diversi dagli elementi della matrice (27). In-fatti sono i momenti d’inerzia calcolati rispetto agli assi principali d’inerzia e sonochiamati momenti principali d’inerzia.
Proprietà 1 Se il corpo ha un piano di simmetria materiale π passante per O èasse principale d’inerzia la retta che passa per O perpendicolare al piano. Gli altridue assi vanno cercati nel piano.
Caso 1 Se il corpo è una figura piana, ogni retta perpendicolare al piano è asseprincipale d’inerzia rispetto al punto O in cui la retta interseca il piano.
Caso 2 Se il corpo ha due piani di simmetria materiale fra loro ortogonali, perogni punto della retta d’intersezione dei due piani la terna principale d’inerzia ècostituita dalla retta e dalle due normali.
Caso 3 Se il corpo è rotondo, ammette ∞ piani di simmetria tutti contenentil’asse di rotazione. L’asse, quindi, è principale d’inerzia e sono principali d’inerziatutti gli assi perpendicolari in O all’asse di rotazione (essendo O un qualunquepunto dell’asse)
