Modello preda-predatoredi Lotka - Volterra

di Giulia Silverio 5°Ainf

a.s. 2007/2008

Introduzione

E’ un modello matematico, basato su un sistema di equazioni differenziali non lineari del primo ordine, in grado di descrivere la dinamica di un ecosistema in cui interagiscono soltanto due specie animali: una come predatore, l'altra come preda.

Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1°● 2°● 3°● 4°● ModelloL-V ● Conclusioni

Storia

Proposto indipendentemente nel 1924 dal demografo americano Alfred James Lotka e nel 1926 dal matematico italiano Vito Volterra, quello di Lotka-Volterra è stato storicamente il primo modello consumatore-risorsa.

Il modello intendeva spiegare matematicamente perché la quantità di predatori (una specie di squali) era aumentata al diminuire delle prede (le sardine pescate prima e dopo la grande guerra) .

Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1°● 2°● 3°● 4°● ModelloL-V ● Conclusioni

Idea di base

I predatori e le prede influenzano a vicenda le rispettive evoluzioni.

Le caratteristiche che assicurano la sopravvivenza alle prede e ai predatori sono incompatibili ed è l’interazione dovuta alla lotta per la sopravvivenza a influenzare la dinamica delle popolazioni delle prede e dei predatori.

Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1°● 2°● 3°● 4°● ModelloL-V ● Conclusioni

Limiti del modello

Il modello si fonda su di ipotesi che lo semplificano,diminuendone la complessità ma anche il realismo:• la popolazione delle prede cresce esponenzialmente in

assenza di predatori• la popolazione di predatori tende a morire in assenza di

prede (invece di rivolgere l'attenzione ad un altro tipo di prede);

• i predatori possono consumare infinite quantità di prede;

• non c'è complessità ambientale (ovvero entrambe le popolazioni possono muoversi in libertà in un ambiente omogeneo).

Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1°● 2°● 3°● 4°● ModelloL-V ● Conclusioni

Prima situazionePredatori in assenza di prede

Variabili: P: numero di predatoriN: numero di predet: tempor: tasso di crescita delle predea: tasso di attacco - efficienza nella ricerca delle predeq: tasso di mortalità dei predatoric: efficienza dei predatori nel convertire il cibo in prole (efficienza diconversione)

Il numero dei predatori decresce esponenzialmente

Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1°● 2°● 3°● 4°● ModelloL-V ● Conclusioni

Seconda situazionePrede in assenza di predatori

Variabili: P: numero di predatoriN: numero di predet: tempor: tasso di crescita delle predea: tasso di attacco - efficienza nella ricerca delle predeq: tasso di mortalità dei predatoric: efficienza dei predatori nel convertire il cibo in prole (efficienza diconversione)

Il numero delle prede cresce esponenzialmente

Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1°● 2°● 3°● 4°● ModelloL-V ● Conclusioni

Terza situazione

Variabili: P: numero di predatoriN: numero di predet: tempor: tasso di crescita delle predea: tasso di attacco - efficienza nella ricerca delle predeq: tasso di mortalità dei predatoric: efficienza dei predatori nel convertire il cibo in prole (efficienza diconversione)

Il tasso di nascita dei predatori è determinato dal tasso di consumo (aPN) e dall'efficienza dei predatori di convertire il cibo in prole.Anche in caso di crescita del numero di predatori e prede, aumentando così il loro numero di incontri, il tasso di consumo dipenderà dal tasso di attacco.Otteniamo quindi che l'incremento della popolazione dei predatori è proporzionale al prodotto dell'abbondanza dei predatori e delle prede

Predatori in presenza di prede con tasso di nascita dei predatori

Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1°● 2°● 3°● 4°● ModelloL-V ● Conclusioni

Quarta situazionePrede in presenza di predatori con tasso di mortalità delle prede

Variabili: P: numero di predatoriN: numero di predet: tempor: tasso di crescita delle predea: tasso di attacco - efficienza nella ricerca delle predeq: tasso di mortalità dei predatoric: efficienza dei predatori nel convertire il cibo in prole (efficienza diconversione)Qui il termine aPN riflette il fatto che le

perdite dalla popolazione delle prede dovute alla caccia sono proporzionali al prodotto delle abbondanze di prede e di predatori

Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1°● 2°● 3°● 4°● ModelloL-V ● Conclusioni

Modello preda-predatore di Lotka-VolterraVariabili:

P: numero di predatoriN: numero di predet: tempor: tasso di crescita delle predea: tasso di attacco - efficienza nella ricerca delle predeq: tasso di mortalità dei predatoric: efficienza dei predatori nel convertire il cibo in prole (efficienza di conversione)

all’aumentare del numero di predatori aumenta il tasso di consumo

all’aumentare del tasso di consumo diminuiscono le prede che causano

la diminuzione dei predatori

alla diminuzione del tasso di consumo aumenta la popolazione delle prede

all’aumentare del numero di prede aumenta il numero di predatori

Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1°● 2°● 3°● 4°● ModelloL-V ● Conclusioni

ConclusioniLe popolazioni di prede e di predatori sono caratterizzate

da oscillazioni, con un valore di oscillazione maggiore per le prede.

Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1°● 2°● 3°● 4°● ModelloL-V ● Conclusioni

ConclusioniPer ottenere un modello più realistico,

dobbiamo includere gli effetti della competizione tra le prede (a causa della scarsità delle risorse di cibo o della competizione tra i predatori in caso di un limitato numero di prede):

Variabili: P: numero di predatoriN: numero di predet: tempor: tasso di crescita delle predea: tasso di attacco - efficienza nella ricerca delle predeq: tasso di mortalità dei predatoric: efficienza dei predatori nel convertire il cibo in prole (efficienza diconversione)

otteniamo quindi il modello delle specie in competizione

Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1°● 2°● 3°● 4°● ModelloL-V ● Conclusioni