Introducci on a la Investigaci on en Matem atica...
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Introduccion a las ecuaciones diferencialesSistemas depredador-presa de tipo Gause
Deteccion de hipocalcemia tras una tiroidectomıaSuperficies de energıa potencial
Automatizacion agrıcola
Introduccion a la Investigacion en MatematicaAplicada
Jose Luis Bravo Trinidad
21 de octubre de 2016
Jose Luis Bravo Trinidad Introduccion a la Investigacion en Matematica Aplicada
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Introduccion a las ecuaciones diferencialesSistemas depredador-presa de tipo Gause
Deteccion de hipocalcemia tras una tiroidectomıaSuperficies de energıa potencial
Automatizacion agrıcola
IntroduccionSistemas planosProblema 16 de HilbertProblema del centro-foco
Ecuaciones diferenciales
Una ecuacion diferencial:
F(t, x(t), x ′(t), . . . , x (m)(t)
)= 0, x(t) ∈ U ⊂ Rn.
Una solucion es una funcion x(t) que verifica la ecuacion.
Ejemplo: x ′(t) = x(t) es una ecuacion diferencial y x(t) = et + 2es una solucion.
Algunos tipos especiales:
Autonomo: F(x(t), x ′(t), . . . , x (m)(t)
)= 0
De primer orden: F(t, x(t), x ′(t)
)= 0
Autonomo de primer orden: x ′(t) = F(x(t)
).
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Deteccion de hipocalcemia tras una tiroidectomıaSuperficies de energıa potencial
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IntroduccionSistemas planosProblema 16 de HilbertProblema del centro-foco
Sistemas planos
Son sistemas de la forma:
{x ′(t) = f (x(t), y(t)),
y ′(t) = g(x(t), y(t))
donde f , g son funciones dadas.
Podemos representar la ecuacioncomo un campo de vectores:
- 3 - 2 -1 0 1 2 3
- 3
- 2
-1
0
1
2
3
x ′(t) = −1− x2(t) + y(t),y ′(t) = 1 + x(t)− y2(t)
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Deteccion de hipocalcemia tras una tiroidectomıaSuperficies de energıa potencial
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IntroduccionSistemas planosProblema 16 de HilbertProblema del centro-foco
Sistemas planos
Punto singular: Solucionesde {
0 = f (x , y),
0 = g(x , y)
Ciclo lımite:Soluciones “cerradas”
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Deteccion de hipocalcemia tras una tiroidectomıaSuperficies de energıa potencial
Automatizacion agrıcola
IntroduccionSistemas planosProblema 16 de HilbertProblema del centro-foco
Problema 16 de Hilbert
Obtener una cota del numero de ciclos lımite del sistema{x ′(t) = P(x(t), y(t)),
y ′(t) = Q(x(t), y(t))
en terminos unicamente de los grados de P y Q.
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Deteccion de hipocalcemia tras una tiroidectomıaSuperficies de energıa potencial
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IntroduccionSistemas planosProblema 16 de HilbertProblema del centro-foco
Problema del centro-foco de Poincare
Caracterizar los sistemas polinomicos planos que tienen un centro.
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Moelo de MalthusModelo de VerhulstModelo de Lotka-VolterraModelo de Gause
Modelo de Malthus (crecimiento exponencial)
p(t) poblacion en el instante t
c = n − d tasa de nacimientos menos defunciones
p′(t) = cp(t)
t
p
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Moelo de MalthusModelo de VerhulstModelo de Lotka-VolterraModelo de Gause
Modelo de Verhulst (ecuacion logıstica)
p(t) poblacion
c = n − d tasa de nacimientos menos defunciones
K capacidad del sistema
p′(t) = cp(t)− c
Kp2(t)
t
p
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Moelo de MalthusModelo de VerhulstModelo de Lotka-VolterraModelo de Gause
Modelo de Lotka-Volterra (depredador-presa)
{x ′ = Ax − Bxy ,
y ′ = −Cy + Dxy
Figura: Depredador y presa
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Moelo de MalthusModelo de VerhulstModelo de Lotka-VolterraModelo de Gause
Modelo Lotka-Volterra (depredador-presa)
Pulgones
Mar
iqu
itas
t
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Moelo de MalthusModelo de VerhulstModelo de Lotka-VolterraModelo de Gause
Un modelo de Gause
Consideremos
x(t) la poblacion de la presa
y(t) la poblacion del predador
F (x) crecimiento de la presa en ausencia del predador
φ(x) tasa de caza del predador
ψ(x) rendimiento de la caza
µ tasa de defuncion del predador{x ′ = F (x)− yφ(x),
y ′ = y(ψ(x)− µ)
donde F (x) = rx(1− x), φ(x) = ψ(x) = x1/2, k , r , µ > 0.
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Moelo de MalthusModelo de VerhulstModelo de Lotka-VolterraModelo de Gause
Estudio cualitativo
Figura: Estabilidad del punto crıtico
Figura: Dinamica global
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Control del calcio ionicoModelo del calcioResultados
Control del calcio ionico mediante la PTH
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Control del calcio ionicoModelo del calcioResultados
Modelo (muy) simplificado
Hipotesis de trabajo:
La parte lineal domina ladinamica
Se puede despreciar ladifusion
No es necesario considerarla vitamina D
El calcio siempre vuelve almismo nivel
Modelo:
C (t) concentracion decalcio ionico en sangre
P(t) concentracion dePTH en sangre
C0 nivel de equilibrio delcalcio ionico{
C ′(t) = a(C (t)− C0) + bP(t),
P ′(t) = d(C (t)− C0)
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Control del calcio ionicoModelo del calcioResultados
Resultados obtenidos
1 2 3 4 5 65
6
7
8
9
10
11
TT30040321
Fila 14 Fila 14
1 2 3 4 5 65
6
7
8
9
10
11
TT25020321
Fila 4 Fila 4
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Reaccion CH4 + H → CH3 + H2Energıa potencialModeloOptimizacion
Reaccion CH4 + H → CH3 + H2
C C
H H
H H
H
H
H
H
H
H
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Reaccion CH4 + H → CH3 + H2Energıa potencialModeloOptimizacion
Energıa potencial
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
1
2
3
4
5
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Reaccion CH4 + H → CH3 + H2Energıa potencialModeloOptimizacion
Modelo de PES (LEPS)
0,03812
2(D1HH(e−2αHH(−ReHH+
√(−x0+x1)2+(−y0+y1)2+(−z0+z1)2)
− 2e−αHH(−ReHH+√
(−x0+x1)2+(−y0+y1)2+(−z0+z1)2)
+ D3HHe−2αHH(−ReHH+√
(−x0+x1)2+(−y0+y1)2+(−z0+z1)2)
+ 2e−αHH(−ReHH+√
(−x0+x1)2+(−y0+y1)2+(−z0+z1)2)))
+1
2(D1HH(e−2αHH(−ReHH+
√(−x0+x2)2+(−y0+y2)2+(−z0+z2)2)
− 2e−αHH(−ReHH+√
(−x0+x2)2+(−y0+y2)2+(−z0+z2)2))+
D3HH(e−2αHH(−ReHH+√
(−x0+x2)2+(−y0+y2)2+(−z0+z2)2))+
2e−αHH(−ReHH+√
(−x0+x2)2+(−y0+y2)2+(−z0+z2)2)))) + . . .Jose Luis Bravo Trinidad Introduccion a la Investigacion en Matematica Aplicada
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Reaccion CH4 + H → CH3 + H2Energıa potencialModeloOptimizacion
Optimizacion
Se introduce en la optimizacion:
EnergıasGradientesFrecuencias (Hessiana)
: en distancia de enlace: en camino de reaccionC-H
: en camino de reaccionH-H
Figura: Comparacion de la energıa obtenidaJose Luis Bravo Trinidad Introduccion a la Investigacion en Matematica Aplicada
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Automatizacion
Figura: Cosechadora de fresas
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Figura: Caracterizacion de una fresa
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