Modelli statici di oligopolio · Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 8 Modelli statici di oligopolio...

Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 1

Modelli statici di oligopolio:

• Interdipendenza: Indici di concentrazione e

di Herfindahl

• Duopolio di Bertrand

• Duopolio di Cournot

• Confronti: il ruolo delle assunzioni di base

• Bertrand e Cournot: il ruolo della capacità

• Modello leader-follower (Stackelberg)


Definizione dei mercati

In teoria, elasticità incrociata

La “classificazione industriale standard” suddivide

l’economia in settori industriali che vanno da gruppi

definiti in modo molto generico a classi definite in

modo specifico ⇒ classificazione di settore a cifre

(da due a sette cifre)

– 38 : strumenti e prodotti correlati

– 3842: forniture di apparecchi ortopedici, di proestetica

e chirurgici: stabilimenti impegnati nella manifattura e

apparecchi ortopedici, chirurgici, protesici ; supporti

plantari e strumenti podologici;...


Possibili indici di concentrazione• In ogni mercato vorremmo capire se siamo in

concorrenza, monopolio, oligopolio…

• Misure della distribuzione per numero e per

dimensioni delle imprese in un settore industriale

• Rapporto di concentrazione: % vendite dalle n

imprese più grandi (RCn), (le 3, 4, 50... più

grandi)

• (Indice di Leida)

• Indice di Herfindahl


Indice di Herfindahl• Rapporti di concentrazione: non danno informazioni sulle

dimensioni relative all’interno del settore

• Usa informazioni sulle quote di mercato di tutte le imprese:

• N = numero di imprese sul mercato

• si = quota di mercato dell’impresa i

H = s12 + s2

2 + s32 + … + sN

2

• diminuisce con N

• la quota delle imprese piccole ha poco rilievo sull’indice

• le imprese più grandi pesano più che proporzionalmente

• ⇒ aumenta se aumenta la asimmetria tra imprese


Valori dell’indice di Herfindahl: alcuni esempi

8

3

4

1

4

1

2

1

4

1

4

1;

2

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1;

3

1;

3

1

2

1

2

1

2

1

2

1,

2

1

1)1(

1

222

321

222

321

22

21

2

1

=

+

+

=

===

=

+

+

=

===

=

+

=

==

==

=

H

sss

H

sss

H

ss

H

s


Utilità dell’indice di Herfindahl

• (Vedremo tra poco che) la capacità delle

imprese di mantenere un prezzo superiore ai

costi cresce con H (indice del potere di

mercato)

• ⇒ Le autorità antitrust lo usano:

– considerano “concentrato” un mercato ove H >

0.19 (oltre questa soglia, le fusioni tra imprese

vengono sottoposte ad un’analisi attenta)

– in generale se H è basso non guardano

veramente a cosa succede sul mercato...


Oligopolio• Poche imprese che riconoscono la loro reciproca

interdipendenza

• USA 1987: RC4 medi in 207 settori su 505 (a 4cifre) erano del 40% o oltre ⇒ ogni impresa delle4 deve esser consapevole della presenza dellealtre: settore oligopolistico

• Comportamento strategico: sfruttare questainterdipendenza


Modelli statici di oligopolio• Oligopolio non cooperativo, modelli dove:

– a) imprese fissano il proprio p e vendonoqualunque quantità venga richiesta a tale prezzo(es. settore delle assicurazioni, settori dove la tecnologia

consente rapidi cambiamenti del volume di produzione)

– b) imprese decidono il livello di produzione e lasciano che il mercato determini il p di vendita (es. settore automobilistico, settori dove le imprese decidono con anticipo piani di produzione il cui

cambiamento è costoso)

• Oligopolio cooperativo (collusione esplicita): poco interessante ?




di Herfindahl







Duopolio di Bertrand

• Bertrand (1883): imprese fissano i loro p e sono

pronte a servire l’intero mercato a quel prezzo

• Altre ipotesi:

• prodotto standardizzato: il prodotto di un impresa è

il sostituto perfetto di quello di un’altra impresa

• duopolio

• costo marginale costante (c), nessun costo fisso

• mosse simultanee (ovvero: impossibile impegnarsi a

tenere costante il prezzo)


La scelta ottimale nel modello di Bertrand

• Se entrambe le imprese servono il mercato allo stesso

prezzo p*, si dividono il mercato (assumiamo: 50-50)

• Se un’impresa pratica un prezzo inferiore a quello del

rivale, si appropria di tutto il mercato

• Abbiamo un equilibrio se - dato il prezzo praticato

dall’altro - il nostro prezzo è ottimale (e viceversa):

– p1* può essere diverso da p2* ?

– p1* può essere minore di c ?


La scelta ottimale nel modello di Bertrand

• p* può essere maggiore di c?

p

p1 = p2 = p*

π1 π2 Dc

q1 qq1+q2


Fare undercutting è ottimale

⇒ Il paradosso di Bertrand

p

p1 = p2 - δ

Dc

q1 q

π1


Il paradosso di Bertrand

• Scelta ottimale impresa 2: vendere a p2 < p1

⇒ possibile finché p1 > c

• esiste solo un equilibrio dove la strategia di

riduzione del prezzo cessa di essere possibile:

quando p = c e quindi π = 0

• due imprese bastano a replicare il risultato diconcorrenza perfetta !


Le funzioni di reazione in Bertrand

• Dato il prezzo dell’altra impresa, ciascuna impresa

reagisce “ottimamente” (ovvero per max profitto)

• Il prezzo “ottimo” dipende dal prezzo dell’altra

impresa (è una FUNZIONE):

• p2 = p1 - δ se p1 > c

• p2 = c se p1 ≤ c

• e viceversa per l’impresa 1

• Graficamente:


Il grafico di una funzione di reazione

(Bertrand)

p2

c

p1

Bisettrice (a 45°):

p2 = p1

Funzione di reazione

dell’impresa 2:

p2 = p1 - δ (≥ c)


L’equilibrio nel modello di Bertrand

p2

c p1

Funzione di reazione

dell’impresa 1:

p1 = p2 - δ (≥ c)

c

L’equilibrio si trova

all’incontro delle due

funzioni di reazione:

p1 = p2 = c




di Herfindahl







Duopolio di Cournot

• Cournot (1818): imprese fissano i loro output e

lasciano che il mercato determini a quale prezzo

riescono a vendere

• Altre ipotesi:

• prodotto standardizzato: il prodotto di un impresa è

il sostituto perfetto di quello di un’altra impresa

• duopolio

• costo marginale costante (c), nessun costo fisso

• mosse simultanee (ovvero: impossibile impegnarsi a

tenere costante l’output)


La massimizzazione del profitto

• Il profitto dell’impresa 1:

Π1 = p q1 - c q1

• il prezzo “è” la curva di domanda, funzione

dell’output totale, Q = q1+ q2 :

Π1 = p(Q) q1 - c q1

• L’impresa i massimizza il profitto quando Ri’ = c


Dove vediamo l’interazione?

• Un aumento di q2 diminuisce p e quindi il

ricavo marginale dell’altra impresa rivale

⇒ più l’altro produce, minore è la mia

convenienza a produrre

∂q1

∂p

∂q1

' q1p∂R(q)

R1+==

• Il ricavo marginale in oligopolio è :


Curva di reazione (impresa 1)

• La scelta ottimale dell’impresa 1 (R1’ = c) date le sue congetture sul comportamento dell’impresa 2

• Curva decrescente (quando q2 aumenta, l’output ottimale dell’impresa 1 diminuisce)

• Determiniamo gli estremi:

– Per q2 =0, impresa 1 è monopolista che max lungo lacurva di domanda di mercato

– Per q1 =0 abbiamo il valore di q2 che spinge l’impresa1 fuori dal mercato (π1 = 0), quindi deve essere il valoredi q2 al quale p=c � livello di produzioneconcorrenziale


La curva di reazione dell’impresa 1

Risposta ottima se

l’impresa 2 non produce:

output di monopolio

Risposta ottima se

l’impresa 2 produce qc:

non produrre (q1 = 0)

q1

q2

qm

qc


Le curve di reazione delle due imprese

• Con costi uguali, equilibrio simmetrico

q1

q2

qm

Funzione di reazione della

impresa 1

L’equilibrio di Cournot Funzione di reazione della

impresa 2


Equilibrio di Cournot (1/2)

• Esiste solo un punto ove le supposizioni di

ogni impresa sono corrette: intersezione

delle curve di reazione � eq. di Cournot

• Impresa 2: suppone che l’altra sceglierà

livello di produzione q1 � sceglierà q*2

• Equilibrio: (q*1, q*2). Le imprese max π

� nessuna impresa avrà incentivo variare q

• Assenza di pentimento (NASH)


Equilibrio di Cournot (2/2)

• L’output di Cournot tra monopolio e concorrenza

q1

q2

qm

L’equilibrio di Cournot

qc

qm

qc

q1 + q2 = qc

q1 + q2 = qm


Considerazioni sull’eq. di Cournot

• q eq Cournot < q mercato concorrenziale

⇒ p eq Cournot > p mercato concorrenziale

• q1 + q2 > qm (le imprese producono più di

quanto dovrebbero per massimizzare il

profitto congiunto)

• p concorrenza < p eq Cournot < p monopolio


Equilibrio di Cournot: un esempio (1/2)

( ) [ ]

( )

( ) reazione di funzione la è Questa : 22

'' ovvero 0

0

)(

)(

)(

22

*1

211

1

1

1121111

21

q

b

caqq

CRcqqbabq

q

cqqqqbaqCpq

qqQ

cqqC

bQaQp

iii

−−

=

==−+−+−

=∂

∂

−+−=−=

+=

=

−=

π

π


Equilibrio di Cournot: un esempio (2/2)

Quindi:

– in un equilibrio simmetrico q* = (a-c)/3b

– dato p = a - bQ, p* = (a+2c)/3 > c

– q* aumenta con la dimensione del mercato

– q* diminuisce con il costo marginale

– p* aumenta con entrambi

In monopolio (provare…)

– qm = (a-c)/2b e pm = (a+c)/2

– facile controllare che pm > p*

– πm > π1 + π2


L’indice di Lerner in Cournot (1/3)

1

11q

p

q

(q)' q

d

dp

d

dRR1

+==

dQ

dp

d

d=

1q

p

ε

1

Q

p ' 1

1Q

qpp

p

p

Q

Qq

d

dpR −=+=

Sappiamo che

e che

e quindi:



Se definiamo la quota di mercato dell’impresa 1 come

Allora il ricavo marginale dell’impresa è:

1 1

1≤≡

Q

qs

−=

ε

11 '

1spR



Monopolista: (p-c)/p = 1/ε

εε1

1

11

s

p

c-p csp =⇒=

−Oligopolio

Al variare della quota di mercato, varia il margine

(ovvero, il potere di mercato)


Cournot v. Monopolio

• Ricavo marginale in monopolio:

• Ricavo marginale in oligopolio:

• L’oligopolista non tiene conto di quanto va a

diminuire i ricavi degli altri: esternalità negativa

−=

ε

11' pRm

−=

ε

11 '

1spR

O


Indice di Lerner e indice di Herfindahl

Oligopolio: se per ogni impresa il price-cost margin

(chiamiamolo mi) è pari a si/ε, il margine medio del

mercato è una media ponderata:

s1m1 + s2m2 + … + snmn = Σi(si2/ε)

(p-c)/p = H/ε

Il price-cost margin medio è proporzionale all’indice

di Herfindahl: la concentrazione del mercato

“distorce” il prezzo rispetto alla concorrenza perfetta




di Herfindahl







Il confronto Bertrand - Cournot

• Allentiamo le assunzioni

– Costo marginale costante

– Costo fisso nullo

– Costi simmetrici

– n = 2

– Beni omogenei

• Troviamo un collegamento tra i due modelli

– scelta della capacità + concorrenza di prezzo

= concorrenza nelle quantità


Costo fisso, o costo marginale crescente

• Cournot:

– non cambia nulla se C’ è crescente

– cambia ben poco col costo fisso (rinvio)

• Bertrand:

– costo fisso: non esiste un equilibrio

(applicazione: aste UMTS; mercato elettrico)

– costo marginale crescente: se voglio servire tutto il

mercato, rischio di doverlo fare sotto costo (di

solito non esiste un equilibrio)


Il modello di Bertrand con costo marginale crescente

• Se facessi undercutting, dovrei produrre con un C’ altissimo

p

p1 = p2 = p* D

q1qq1+q2

C’Se p2 = p*, mi conviene

fissare p1 = p2 ? Non

sempre, quindi potrebbe

non esserci un equilibrio


Costi asimmetrici in Cournot (1/2)

• L’impresa più efficiente è più grande

q1

q2

qm


impresa 1 con costo c


impresa 1con costo c’ < c

q'm

L’equilibrio di Cournot

si sposta in questo punto


Costi asimmetrici in Cournot (2/2)

• Imprese di diverse dimensioni: ad una

maggiore quota di mercato corrisponde un

maggior potere di mercato per l’impresa

(p-ci)/p = si/ε

Nota bene: la dimensione dell’impresa non è la

causa: la dimensione dipende dai costi:

⇒ L’efficienza è la vera fonte di asimmetria


Costi asimmetrici in Bertrand (1/2)

• Con costi identici, p1 = p2 = p* = c

• Se c2 > c1 l’impresa 1 ha un vantaggio

• Con costi differenti, se p2 = c2 ho la possibilità

di fare ancora undercutting

• Equilibrio?

– p2 = c2

– p1 = c2 - δ


Costi asimmetrici in Bertrand (2/2)

p2

c1 p1

c2

L’equilibrio si trova sempre

all’incontro delle funzioni di

reazione: p1 = c2 - δ

c1 < c2


Al variare di n

• Bertrand: nessun effetto

• Cournot: Con n imprese simmetriche, si = 1/n

(p-c)/p = 1/nε

Se aumentiamo n, il livello di produzione

dell’equilibrio di Cournot si avvicina al livello

concorrenziale e p scende verso c

• Modello di Cournot come caso generale:

– n = 1 : Monopolio

– n → ∞ : Concorrenza perfetta


Modello di Cournot: un esempio con n imprese

Riprendiamo l’esempio precedente con n imprese:

q1*(q2, …, qn) = (a-c)/2b - (Σi≠1qi)/2

In un equilibrio simmetrico:

q* = (a-c)/2b - ((n-1)q*)/2

ovvero

q* = (a-c)/[(n+1)b] e p* = (a+nc)/(n+1)

- all’aumentare di n diminuisce q* (ma aumenta Q)

- all’aumentare di n diminuisce p*

- se n = 1, abbiamo il monopolio

- se n → ∞, il prezzo tende a c


Beni differenziati

• Il risultato di Bertrand dipende dal fatto che

una piccola differenza di prezzo fa “saltare”

la funzione di domanda

⇒ il risultato dipende in modo cruciale dalla

omogeneità della domanda

• Il risultato di Cournot è comunque un

risultato non estremo. Cambiare questa

assunzione non stravolge il risultato


Bertrand v. Cournot: capire le differenze

• Due imprese, prodotto omogeneo, mosse

simultanee… solo la variabile di scelta fa

differenza

– Bertrand: p = c (non dipende da n)

– Cournot: p > c (il prezzo scende con n)

• Il comportamento descritto da Bertrand è

implicitamente più “aggressivo”. Perché?


Bertrand v. Cournot: incentivi “al margine”

• Se io aumento la quantità “di poco” guadagno

“poco”

⇒ in Cournot ho un modesto incentivo a

produrre “molto” (a puntare a prezzi “bassi”)

• Se io diminuisco il prezzo “di poco” guadagno

“molto”

⇒ in Bertrand ho un forte incentivo a fissare un

prezzo “basso” (a produrre “molto”)


Bertrand v. Cournot: curve di domanda

residue

• Curva di domanda di impresa (ovvero

“residua”): dato quello che fa l’altra

impresa, come è fatto il mio mercato?

• B.: Se l’altro fissa il prezzo, ogni prezzo

sopra al suo mi consente di vendere q = 0

• C.: Se l’altro fissa la quantità, mi interessa

se le mie vendite sono minori o maggiori

delle sue?


Domanda residua in Cournot

⇒ Il problema resta “simile”

p

p'

D

q1q2


Domanda residua in Bertrand

⇒ cruciale la differenza tra il mio prezzo e quello del rivale

p1

p2

D

q1

D

q*1


La funzione di profitto in Bertrand

⇒ La funzione non è continua! Piccole differenze sono vitali!

π1

p1p2

Per valori di p1 > p2

il profitto cade a 0!

Per p1 < p2

tutto “normale”


Modelli di base con beni omogenei:

conclusioni

Se variare l’output è facile, si applica Bertrand:

concorrenza accesa

• La concentrazione non conta

• Le asimmetrie (anche piccole) si pagano carissime

• Come si coprono i costi fissi?

Se variare l’output è difficile, si applica Cournot:

• I margini dipendono dalla concentrazione

• Le asimmetrie hanno un impatto proporzionale




di Herfindahl







Collegamento tra Cournot e Bertrand

• Si considerino due imprese che devono scegliere 2

cose:

a) la capacità produttiva e poi...

b) il prezzo (data la capacità produttiva)

• E’ possibile dimostrare (Kreps- Scheinkman) che

il prezzo di equilibrio è superiore a c e può essere

uguale a quello del modello di Cournot

⇒ Il modello di Cournot può pensarsi come una

“sintesi” di queste due scelte (una “forma ridotta”)


Il modello di Kreps-Scheinkman (KS)

• Ogni impresa sceglie Ki e poi pi

• Profitti: π1(p1, p2 ; K1, K2 ) π2(p1, p2 ; K1, K2 )

t0 t1

• In t0 : equilibrio di Nash nei valori dei K

• In t1 : equilibrio di Nash nei valori dei p


La sequenza delle scelte in KS

• Ultimo stadio: Ragioniamo all’indietro

• I prezzi ottimali, date le capacità produttive:

(p*1, p*2) dipendono da (K1, K2)

• Quindi i profitti diventano

πi[p*1(K1, K2 ), p*2 (K1, K2 ); K1, K2 ]

E al primo stadio le imprese scelgono Ki anticipando

l’effetto sui prezzi


Capacità ottimali in KS (1/2)

• E’ ottimale avere capacità inutilizzata?

No, ⇒ Ki = qi (K1 + K2 = Q)

• Potremmo avere Q = QB (eq. di Bertrand)?

Ovvero: dato che K2 = QB/2 qual è la scelta

ottima di K1 ?


Capacità ottimali in KS (2/2)

Dato q2 = QB/2, è ottimale produrre q1 < QB/2

p D

QQB

c

QB/2

A

B

Dato l’output q2 = QB/2

la domanda residua è AB

Ma allora l’output ottimale

q1 è minore di QB/2


KS: conclusioni

Se l'altra impresa avesse K2 = QB/2, e io scegliessi

una capacità produttiva minore, il prezzo sarebbe

superiore al costo marginale (Π > 0):

– Scelta di capacità + concorrenza di prezzo =

prezzi superiori al costo marginale

– A certe condizioni, il prezzo è proprio quello di

Cournot

– Limitare la propria capacità produttiva può

essere vantaggioso




di Herfindahl







La rilevanza dell’ordine delle mosse

• Finora: mosse simultanee

• Spesso: un’impresa è “leader”

• Modello di Stackelberg: leadership come

capacità di decidere prima del rivale

• Non spiega la leadership, parte da essa

• Modello di Cournot con mosse in sequenza


Curva di reazione e curve di isoprofitto

q1

q2

qm

qconc

La curva di reazione unisce i punti di max delle funzioni di isoprofitto

Iso-profitto: profitto costanteal variare degli output

Quanto più ci si avvicina al punto qm, tanto più elevato è π1


Il modello di Stackelberg

• Identico a Cournot (due imprese; one-shot;

output come variabile strategica) a parte...

– L’ordine delle mosse: l’impresa 1 è leader

⇒ Possibilità di impegnarsi a un livello di

output prima del rivale

• Soluzione backward: anticipo la reazione

del rivale, e scelgo q1 per massimizzare π1


L’equilibrio di Stackelberg

q1

q2

qconc

Scelgo q1 = qS e quindi produco un outputsuperiore a quello dell’equilibrio di Cournot

Anticipo la reazione della impresa 2:la sua funzione di reazione!

Scelgo lungo la sua funzione direazione il punto con il max π1

qS


Equilibrio di Stackelberg: un esempio (1/3)

• Prendiamo costi e domanda come prima

• L’impresa 1 sia la leader

• La funzione di reazione della impresa

follower è

• L’impresa leader anticipa questo, e quindi

massimizza la funzione di profitto sapendo

che la determinazione di q2 seguirà questa

regola

22

12

q

b

caq −

−=



• Il profitto dell’impresa leader si scrive:

• ovvero

=−

−

−−−=

=−−−=

111

1

11211

22

)(

cqqq

b

cabbqa

cqqbqbqaπ

[ ]1

11

2q

bqca −−=π



In equilibrio:

�Data la massimizzazione di π1 : q1 = (a-c)/2b

�Dalla funzione di reazione della impresa 2

segue che q2 = (a-c)/4b

⇒ Equilibrio asimmetrico

�dato p = a - bQ, p* = (a+3c)/4 > c

�π1 > π2

Rispetto a Cournot…

– La quantità totale aumenta (prezzo minore)

– π1 > π C > π2

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