Modelli di Sconto non esponenziali

La Teoria del Prospetto mostra come il modello dell’utilità attesa (UA) vada riscritto per tener conto dei risultati sperimentali.

Lo Sconto Non Esponenziale mostra come il modello dell’utilità scontata (US) vada riscritto per tener conto dei risultati sperimentali.

In entrambi i casi, l’approccio degli psicologi comportamentali è (non sorprendentemente) diverso da quello degli economisti:

gli psicologi non hanno assiomi a priori, cercano di capire il comportamento umano come in effetti è, guardando i dati reali e di solito non producono modelli teorici;

gli economisti (standard) partono da certi assiomi, cercano di capire il comportamento umano come in effetti dovrebbe essere e producono modelli teorici.

Mio pensiero: la «Teoria del Tutto» dovrebbe avere un modello con un EEG (tipo Walras) basato su come effettivamente agiscono le persone comuni.

All’Economia manca il secondo requisito, alla Psicologia manca il primo.

Eppure il modello esiste e lo vediamo tutti e tutti i momenti: è il mondo reale!

Tasso di sconto esponenziale (standard)

Se investo oggi cento euro quanto varranno l’anno venturo?

100 + r100 = 100(1 + r) dove r > 0 è il tasso d’interesse

Si dice esponenziale poiché il «tempo» è all’esponente (interesse composto)

Quanto valgono oggi 100 euro che io percepirò l’anno venturo?

Valgono una cifra pari a quanto io dovrei investire oggi per ottenere 100 euro domani

r1

100

infatti 100)r1(

r1

100

valore corrente di 100 euro da percepire l’anno a venire

Sappiamo che possiamo fare le stesse considerazioni con l’utilità (m=risultato, payoff)

)1(

)m(U)m(U)m,m(U 1t

t1tt

L’utilità valutata (scontata) al tempo presente di un risultato m nel periodo corrente (t) e nel periodo futuro (t+1)

Tasso di sconto intertemporale individuale: Ci dice come l’individuo valuta l’utilità nel periodo successivo rispetto all’utilità corrente. Solito nb: dalla somma «fisica» all’utilità via preferenze!

)m(U)1(

1 se 1t

A parole: quanto maggiore è ρ tanto più si sconta il futuro, tanto minore importanza si dà al futuro. ρ = impazienza

Utilità scontata (US): , non r

Se l’orizzonte arriva al tempo «n»:

nnt

22t1t

t )1(

)m(U...

)1(

)m(U

)1(

)m(U)m(U

)m(U)m(U)1(

1it

n

0i

iit

n

0ii

1

1 dove

PV = Present Value

ρ = tasso di sconto individuale

δ = fattore di sconto individuale

)(..)()()( 22

1 ntn

ttt mUmUmUmUPV

Utilità scontata (US)

Caratteristiche principali della US con tasso di sconto esponenziale

TASSO DI SCONTO «A VITA» gli agenti usano lo stesso tasso di sconto

per tutta la loro vita: NON dipende dal tempo

TASSO DI SCONTO COSTANTE in ogni periodo lo stesso tasso di

sconto è applicato ai periodi futuri : NON dipende dal tempo.

Perché proprio questa funzione? Perché così

le preferenze sono temporalmente coerenti (TC):

Le scelte ottimali rimangono ottimali anche con il passare del tempo: una scelta che è ottima se calcolata al tempo t=0 rimane ottima anche al tempo t=2, al tempo t=3, …, al tempo t=n

Utilità ScontataCoerenza Temporale (TC)

Il fattore di sconto fra due punti qualsiasi nel futuro dipende SOLO dalla “distanza” fra questi due punti,NON dal momento temporale nel quale il soggetto prende le sue decisioni

Esempio: il fattore di sconto usato per pesare l’utilità dal periodo t+10 al periodo t+8 è identico al fattore di sconto usato per pesare l’utilità dal periodo t+6 a periodo t+4

Le preferenze esponenziali sono TC

Scelte intertemporali non esponenziali

Abbiamo visto come l’economia standard studia questo tipo di scelte:

modello dell’US con =impazienza=parametro costante nel tempo.

Il problema è che in realtà ci sono numerose eccezioni alla COSTANZA DI

e, quindi, alla COERENZA DINAMICA.

Queste eccezioni sono così frequenti e diffuse che, forse, sarebbe opportuno

chiamarle regole e non eccezioni. Ciò non riduce la forza normativa del

modello dell’US, ma la valenza positiva di questo modello assiomatico

risulta ridotta.

Se tu dovessi decidere oggi cosa mangeresti la settimana prossima, frutta o cioccolata?

Generalmente (74%) le persone scelgono la frutta

Se tu dovessi scegliere oggi cosa mangiare oggi, tra frutta o cioccolata,

Cosa mangeresti?

Generalmente (70%) le persone scelgono la cioccolata

ALCUNI FAMOSI ESEMPI DALLA LETTERATURA

Scegli fra 24 film

• Alcuni sono molto leggeri e divertenti, tipo: Benvenuti al Sud • Alcuni sono film più impegnativi e meno divertenti, tipo:Olivier Twist

• Scelti per questa sera: 66% leggeri.• Scelti per Mercoledì prossimo: 37% leggeri.• Scelti per Mercoledì (fra 15 giorni) : 29% leggeri.

MESSAGGIO SUBLIMINALE:

ORA mi voglio divertire

DOPO mi dedico ad un approfondimento culturale.

A. Scegli tra: (A.1) Una mela oggi(A.2) Due mele domani

B. Scegli tra: (B.1) Una mela tra un anno(B.2) Due mele tra un anno e un giorno

Secondo la teoria economica standard, se viene scelta l'opzione (A.1) per la proprietà di consistenza dinamica in B dovrebbe essere fatta la scelta (B.1). I risultati sperimentali, come detto, danno esiti diversi

La maggioranza dei soggetti è tentata di scegliere (A.1) e (B.2) insieme, dimostrando così una distorsione che porta a dare un peso/sconto maggiore al presente e al futuro prossimo rispetto a quello più

remoto: cala t => cresce (=impazienza).Questo effetto è noto in letteratura come: “present-towards-bias”.

Ricompense alternative disponibili in periodi di tempo vicino alla scelta, quindi, verrebbero scontate maggiormente rispetto ad altre più lontane nel tempo:

l'impazienza () SI RIVELA decrescente rispetto allo scorrere del tempo (t).

L’inconsistenza dinamica implica un ribaltamento della preferenza e vìola la proprietà di stazionarietà(=costanza) delle preferenze della teoria standard.

Conclusione:

dipende da t

In particolare:

basso t => alto

Un famoso esperimento (Thaler, 1981) ha dimostrato queste anomalie comportamentali, successivamente replicate in innumerevoli altri studi:

A circa 80 studenti universitari è stato chiesto di immaginare di aver vinto dei soldi in una lotteria organizzata da una banca.

Essi avevano a disposizione due scelte:

1.tenere i soldi subito, 2.attendere un certo periodo di tempo e ricevere di più alla scadenza. Essi avevano a disposizione 3 intervalli temporali di attesa e gli si

chiedeva di stimare una cifra che avrebbe reso lo studente indifferente tra le due scelte.

Il tasso di sconto temporale usato dagli studenti risultava maggiore

considerando un orizzonte temporale breve rispetto a uno più lungo:

piccolo t => grande .

L’analisi dei dati cioè, mostra che i tassi di sconto temporale, impliciti

nelle scelte soggettive dei soggetti, variano inversamente rispetto

all'estensione del tempo di attesa per ottenere la ricompensa inferiore

Queste ormai sedimentate evidenze riguardo al comportamento dinamicamente incoerente degli individui nell'ambito dello sconto temporale ha delle importanti conseguenze.

La capacità esplicativa e descrittiva dei modelli tradizionali ne risulta particolarmente ridotta:

i modelli teorici devono adeguarsi alla realtà, non viceversa.

D’altronde necessita formalizzare quanto ottenuto nei laboratori:i modelli empirici devono avere rigore formale. Per migliorare la teoria tradizionale incorporando questi comportamenti così ricorrenti nella realtà - ma evitando di perderne il rigore formale - è stato introdotto il modello di sconto iperbolico.

Perchè IPERBOLICO?

Perchè il modello di sconto iperbolico, coerentemente con i risultati sperimentali, riesce a tener conto dell'inconsistenza dinamica delle scelte che molto spesso si riscontra nella realtà di tutti i giorni.

Prima dei formalismi, l'intuizione, ribadendo il problema con altre parole.

Man mano che il tempo passa e la possibilità di ottenere un beneficio inferiore si avvicina (nb eppure lo sapevamo che sarebbe arrivato quel momento!), tendiamo a rivalutarne il valore e a ribaltare la scelta fatta:

Siamo miopi e tendiamo a dare un valore tanto superiore alle tentazioni quanto più esse sono vicine nel tempo.

Perchè IPERBOLICO?

Il tasso iperbolico è una funzione decrescente del tempo (di attesa)

ha un'elevata capacità descrittiva del comportamento umano osservato.

Da qui seguiamo Bowles [=1/(1+)] dove spiega una delle estensioni del modello tradizionale, quella che tiene conto dell’incoerenza dinamica (Cap. III pag. 12…).

delle preferenze. Tuttavia, come visto, le eccezioni a questo quadro teorico che dovrebbe descrivere il comportamento umano sono troppe e troppo importanti per poter essere non considerate. A costo di ripetermi ma per far vedere lo stile di Bowles, ripropongo il tema dell’incoerenza temporale.Si supponga di essere indifferenti tra un pasto al ristorante

Numerosi studi empirici suggeriscono che l’approccio dello sconto iperbolico riesce a prevedere il comportamento umano meglio del modello dell’US. Come vedremo, l’approccio dello sconto iperbolico è anche utile nell’analisi delle politiche pensionistiche. Ciò non sorprende: l’approccio dello sconto iperbolico studia le scelte intertemporali.

Lascio al vostro studio altre parti del libro di testo.

Qui proseguiamo analizzando in modo formale le differenze tra sconto esponenziale e sconto non esponenziale.

Utilità Scontatacoerenza temporale (TC)

)(..)()()( 22

1 ntn

ttt mUmUmUmUPV

Calcoliamo il SMS che, come noto, è il rapporto tra derivate parziali

)('

)('

11,

t

ttt mU

mUSMS

)('

)('

)('

)('

1111,

it

it

itìt

itìt

itit mU

mU

mU

mUSMS

NB Se le preferenze sono TC e se m=costante (=> mt=mt+i, i) allora il SMS fra due periodi sarà sempre uguale a SMS=1/

Coerenza temporale

Un piano di decisioni intertemporale può essere immaginato come una sorta di “contratto” che ciascuno stipula con se stesso: io oggi (giovane) vs io domani (vecchio).

Se questo piano è TC allora nel futuro non ho alcun incentivo a modificare le mie decisioni e «non mento a me stesso» (se non cambiano le circostanze esterne e le informazioni del soggetto, ovviamente)

Ma questo non sembra tipico della personalità umana

Oscar Wilde: “Posso resistere a tutto, tranne che alle tentazioni”

Ulisse e le sirene

=> Sconto Iperbolico: devo tener conto che piccolo t => grande e viceversa

Funzione di sconto iperbolica Il fattore di sconto diminuisce molto più velocemente nel breve che nel lungo periodo. Assumendo = nella fz. di Bowles:

t1

1

Fattore di sconto iperbolico

t)1(

1

Fattore di sconto esponenziale

Dove α è un parametro che influenza il grado di sconto. Tanto più α è grande, tanto meno peso si attribuisce al futuro

Confronto tra funzioni di sconto

Funzione di sconto esponenziale

Notate che e agiscono su in modo simile:

i.e., in modo inversamente proporzionale

Attualizziamo il valore di 100 euro tra un anno (t=1)

t1

1

t)1(

1

9.685.01

1100

8025.01

1100

Attualizziamo il valore di 100 euro tra 10 anni (t=10)

18.1810x5.01

1100

73.10)25.01(

1100

10

Iperbolico (minore di)

Esponenziale

Iperbolico

(maggiore di)

Esponenziale

Confronto tra funzioni di sconto (=0.5; =0.25)

0

1020

3040

5060

7080

90

0 5 10 15 20

exp hyper

Rispetto a exp, hyper dà meno peso ai periodi vicini

Rispetto a exp, hyper dà maggiore peso ai periodi più lontani

Valore attuale (PV) di un flusso costante di 100€ con ρ = 0.25 e α = 0.5

Confronto tra funzioni di sconto

Hyper esalta che piccolo t (=minore ascissa) => grande (= minore ordinata)

0

1020

3040

5060

7080

90

0 5 10 15 20

exp hyper

Tasso di declino costante

Tasso di declino decrescente

Valore attuale di un flusso costante di 100 euro con ρ = 0.25 e α = 0.5

Confronto tra funzioni di sconto

Solo in Hyper vale che varia t => varia

Tasso di sconto iperbolico (TC)

n

mUmUmUmUPV n

1

)(...

21

)(

1

)()( 21

0

)('

)(')1(

)('

)('

1

0

1

01,0 mU

mU

mU

mUSMS

)(')1(

)21)(('

2

12,1 mU

mUSMS

!costante è m se anche

2,11,0 SMSSMS

Insomma: agenti non temporalmente coerenti

Nell’US, invece, SMS=1/

Altra funzione: Sconto quasi-iperbolico

nnmUmUmU

mUPV)1(

)(...

)1(

)(

1

)()(

221

0

)(...)()()( 22

10 nn mUmUmUmUPV

NB

Se β =1 le quasi iperboliche collassano nelle esponenziali

δ è il consueto fattore di sconto esponenziale

Abbiamo quindi visto che scontiamo in modo non esponenziale.

Bene, ma perché?

Quali sono state le spiegazioni date allo sconto non esponenziale?

Perché l'avvicinarsi nel tempo della scelta che era stata scartata inizialmente comporta un cambiamento delle preferenze espresse?

Le ragioni, in letteratura, sono attribuite a diversi fenomeni psicologici di sconto del valore come la «tendenza a procrastinare».

Le preferenze delle persone «reali» NON sono TC:

Troppo spesso decidiamo di procrastinare azioni che impongono costi immediati allo scopo di ottenere vantaggi futuri.

Azioni che rimandiamo a «lunedì»:

Utilità scontatacoerenza temporale

dieta

esercizio fisico

smettere di fumare

Se lo spirito è forte e la carne è debole, come mai vince sempre la carne? (Gaucho Marx)

Palestra, prova costume e coerenza temporale

In inverno ci si sente gonfi e fuori forma. E poi, ancora bruciano le risatine degli altri quando, l’estate scorsa, ci mettevamo in costume da bagno. OK, basta! Siamo in primavera: si va in palestra e/o ci si mette a dieta per essere in forma l’estate prossima.

Esempio

Diciamo che l’utilità di andare in palestra in primavera (fra costi monetari, costi opportunità e fatica) sia pari a – 6 e che il «vantaggio» che otteniamo in estate sia pari a 8:

U0 = 0, U1 = -6, U2 = 8

Al solito, ipotizziamo che un soggetto andrà in palestra se questa decisione aumenterà la sua utilità

Ipotizziamo che esistano 2 agenti con diverse preferenze:

Anna con le tradizionali preferenze temporali esponenziali

Marco con preferenze temporali quasi-iperboliche

Preferenze temporali esponenziali

2)1(

8

1

60

AnnaPV

Preferenze temporali quasi-iperboliche

2)1(

8

1

60

MarioPV

Diciamo che =0.25 e β =0.8. Sostituendo, otteniamo

32.0)25.01(

8

25.01

60

2

AnnaPVIn inverno

Entrambi hanno PV>0 e decideranno di frequentare la

palestra in primavera

Palestra, prova costume e coerenza temporale

Propositi invernali

256.0)25.1(

88.0

25.1

68.00

2

MarioPV

Preferenze temporali esponenziali

Preferenze temporali quasi-iperboliche

88.025.1

8*8.06 MarioPV

In primavera

Solo Anna terrà fede al proposito

Mario deciderà invece di rimandare tutto al prossimo anno

Palestra, prova costume e coerenza temporale

Arriva la primavera

Anna: PV>0 ha preferenze temporalmente COERENTI:quando arriva primavera va in palestra

Marco : PV<0 ha preferenze temporalmente INCOERENTI:quando arriva primavera NON trova più conveniente andare in palestra

4.025.1

86 AnnaPV

La palestra, la dieta, smettere di fumare, cercare lavoro, studiare, ecc. sono considerabili come «beni d’investimento»

Un soggetto con preferenze temporali iper o quasi iperboliche

consumerà TROPPI BENI di piacere

e TROPPO POCHI BENI d’investimento

rispetto a quello che vorrebbe (tra il dire e il fare…)

Auto-controllo e coerenza temporale

Un fantastico maritozzo con panna, una grigliata BBQ, bere tante birre, tirare fino all’alba con gli amici sapendo che la mattina dopo c’è l’esame di Analisi e politiche micro, etc. sono considerabili come consumi “piacevoli”:

Insomma: ha problemi di auto-controllo

Un soggetto con preferenze temporalmente incoerenti è

IRRAZIONALE o ha una RAZIONALITÀ LIMITATA?

Auto-controllo e coerenza temporale

Consapevole del problema di autocontrollo: a) può essere del tutto consapevole sul suo comportamento futuro, ovvero:

futuro neladopererà soggetto il che parametro del previsto stimato valoreil è ˆ dove

ˆ

c) può essere totalmente inconsapevole circa il suo comportamento futuro. E’ davvero convinto di iniziare la dieta «domani»:

1ˆ

b) può essere parzialmente consapevole circa il suo comportamento futuro. Sa di avere dei problemi di autocontrollo:

La differenza è che, nei primi due casi, il soggetto tende ad mettere in campo delle strategie di commitment per superare il problema:

Ulisse si fa legare al palo della nave

Auto-controllo e coerenza temporale

Alcuni economisti hanno analizzato i dati di tre grandi health centers americani che offrono la scelta fra:

i. un pagamento fisso mensile di L approssimativamente 80 dollariii. un pagamento per visita pari a p approssimativamente 10 dollari

Il pagamento fisso conviene a chi pensa di andare in palestra un numero di volte superiore a L/p ovvero più di 8 volte al mese

Si è scoperto che gli utenti che avevano scelto il fisso mensile andavano in palestra solo 4,4 volte in media al mese con un costo pari a 17 dollari per volta (rispetto ai 10 che avrebbero pagato)

Questo tipo di comportamento siffatto NON può essere spiegato con un approccio tradizionale e con preferenze temporali esponenziali

Auto-controllo e coerenza temporale

Un modello di soggetti parzialmente consapevoli e non totalmente ingenui fornisce due possibili spiegazioni

i. il soggetto compra uno strumento di commitment che riduce il costo marginale della palestra a 0, per cercare di avvicinare la frequenza desiderata con quella reale,

i. semplicemente tende a sovrastimare al momento del contratto il suo consumo futuro del bene d’investimento palestra.

Gli utenti che avevano scelto il fisso mensile andavano in palestra solo 4,4 volte in media al mese con un costo pari a 17 dollari per volta (rispetto ai 10 che avrebbero pagato)

Auto-controllo, coerenza temporale e politica economica

In alcuni casi è la politica economica che interviene facendoci superare il problema di autocontrollo (fallisce l'homo economicus, interviene lo Stato):

Sistemi pensionistici obbligatori

Disincentivi (tasse) e divieti per limitare il fumo

Divieto di pubblicità sul consumo di prodotti dannosi (alcool, sigarette)

Negli USA non esiste un sistema pensionistico obbligatorio uguale al nostro

Il 30% dei lavoratori dipendenti che ne avrebbero diritto non sottoscrivono alcun piano pensionistico

Auto-controllo, coerenza temporale e politica economica:Le mie pensioni

Il piano pensionistico USA 401(k) è abbastanza vantaggioso per i lavoratori

-vantaggi fiscali

- compartecipazione dell’impresa fino ad un massimo del 6% dello stipendio (per ogni dollaro versato dal lavoratore l’impresa versa un dollaro)

- i lavoratori ulta-cinquantanovenni possono anche ritirare dei soldi dal fondo in caso di necessità senza penalizzazioni

Però, meno del 50% dei lavoratori con + di 59 anni sottoscrive il fondo.

Se si considerano i giovani le percentuali sono anche inferiori.

Forse perché, nonostante la convenienza, non hanno alcuna voglia di risparmiare e nonostante tutto vogliono consumare più oggi? Americani Cicale?

Oppure stanno semplicemente procrastinando ?

Auto-controllo, coerenza temporale e politica economicaLe mie pensioni

Gli agenti trovano costoso decidere, scegliere (quanto versare), riempire moduli complicati e semplicemente rimandano

Intervento politico:

La partecipazione può aumentare:

•Lanciando campagne di educazione e informazione (anti-ignoranza)

•Istituendo il silenzio-assenso (anti-procastinamento):

l’adesione è automatica e se NON si vuole aderire occorre manifestare esplicitamente la propria decisione

Politica anti-procrastinamento

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0 6 12 18 24 30 36 42 48

Mesi dall'assunzione in mesi

Sottoscrizione 401(k)

Sottoscrizione automatica

Sottoscrizione

standard

Ai lavoratori è stato chiesto attraverso questionari anonimi:

“Sei contento che la tua azienda ti iscriva automaticamente?”

97% sì

Come a dire: certe volte non solo è bene che lo Stato intervenga nelle scelte individuali, ma è anche apprezzato se lo fa!

Ai lavoratori piace questa forzatura?

E NOI ITALIANI?

Solo un quarto degli occupati è iscritto a forme pensionistiche complementari.

In particolare, è ancora limitata la diffusione della previdenza complementare fra i

i giovani e le donne.

Sul livello di partecipazione alla previdenza complementare pesa inoltre la crescente

presenza dei cosiddetti “iscritti silenti”, ossia di coloro che hanno sospeso ogni forma

di contribuzione (specie a causa della crisi).

Un gap non indifferente rispetto agli altri stati europei, specie considerando che noi

viviamo più a lungo di tutti.

E NOI ITALIANI?

Eppure di stimoli ce ne sarebbero:

•L’inadeguatezza della futura pensione pubblica:

Rispetto all’ultimo stipendio, nel 2040 le vostre pensioni saranno ridotte al:

70% se dipendenti

65% se autonomi

•L’esistenza di rilevanti vantaggi fiscali.

•La possibilità di ottenere un contributo dal datore di lavoro

•C’è molta offerta: alla fine del 2013, i fondi operanti erano 510

•Infine, ogni fondo pensione prevede normalmente almeno un comparto che

garantisce la restituzione del capitale versato.