Misure 1. Introduzione al corso: - Concetto di misura e di misurazione - Perché si misura -...

MisureMisure

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Introduzione al corso:Introduzione al corso:- Concetto di misura e di misurazione- Concetto di misura e di misurazione- Perché si misura- Perché si misura- Approcci ai problemi dell’ingegneria- Approcci ai problemi dell’ingegneria- Costi delle misure- Costi delle misure- Modello di misura- Modello di misura- Misure dirette ed indirette- Misure dirette ed indirette

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ALCUNE DEFINIZIONI PER COMINCIAREALCUNE DEFINIZIONI PER COMINCIARE

MisurazioneMisurazione: atto del misurare, uso di uno o : atto del misurare, uso di uno o più strumenti, la eventuale elaborazione più strumenti, la eventuale elaborazione matematica e la necessaria valutazione della matematica e la necessaria valutazione della qualità del risultatoqualità del risultato

MisuraMisura: è il risultato di una misurazione: è il risultato di una misurazione

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Grandezze intensive ed estensiveGrandezze intensive ed estensive

EstensiveEstensive : vale la somma; il confronto può essere : vale la somma; il confronto può essere eseguito in termini di rapporti.eseguito in termini di rapporti.

Es. lunghezze, correnti elettriche, portateEs. lunghezze, correnti elettriche, portate

IntensiveIntensive : esprimono un ordine, non vale la somma : esprimono un ordine, non vale la somma ed i rapporti valgono solo in termini di differenze ed i rapporti valgono solo in termini di differenze rispetto ad un valore di riferimento; definiscono un rispetto ad un valore di riferimento; definiscono un modo di essere della materiamodo di essere della materia

Es. pressioni, potenziale elettrico, temperatura.Es. pressioni, potenziale elettrico, temperatura.

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ParametroParametro: ogni grandezza pertinente ad un : ogni grandezza pertinente ad un sistema alla quale è necessario assegnare sistema alla quale è necessario assegnare valori per descrivere il sistema stesso, la sua valori per descrivere il sistema stesso, la sua evoluzione e/o le sue interazioni con altri evoluzione e/o le sue interazioni con altri sistemi e con l’ambientesistemi e con l’ambienteAlcuni parametri non possono essere quantificati Alcuni parametri non possono essere quantificati con uno scalare, come ad esempio i vettori, ma con uno scalare, come ad esempio i vettori, ma devono essere espressi con numeri complessi, devono essere espressi con numeri complessi, matrici, tensori.matrici, tensori.

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ParametroParametro: ogni grandezza pertinente ad un : ogni grandezza pertinente ad un sistema alla quale è necessario assegnare sistema alla quale è necessario assegnare valori per descrivere il sistema stesso, la sua valori per descrivere il sistema stesso, la sua evoluzione e/o le sue interazioni con altri evoluzione e/o le sue interazioni con altri sistemi e con l’ambientesistemi e con l’ambiente

MisurandoMisurando: parametro sottoposto a : parametro sottoposto a misurazione e/o regolazione, valutato nello misurazione e/o regolazione, valutato nello stato assunto dal sistema al momento della stato assunto dal sistema al momento della misurazione stessamisurazione stessa

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PERCHE’ SI M ISURAPERCHE’ SI M ISURA

a) determinazione quantitativa di una qualunque a) determinazione quantitativa di una qualunque proprietà di un oggettoproprietà di un oggetto

b) osservazione di un processo o di una b) osservazione di un processo o di una operazioneoperazione

c) controllo di un processo o di una operazionec) controllo di un processo o di una operazione

d) ricerca e convalida di una legge fisica e dei d) ricerca e convalida di una legge fisica e dei valori di costanti sperimentalivalori di costanti sperimentali

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APPROCCI AI PROBLEMI DELL’INGEGNERIA:APPROCCI AI PROBLEMI DELL’INGEGNERIA:

Teorico:Teorico:

- assunzioni, semplificazioni- assunzioni, semplificazioni

- impiego di un modello - impiego di un modello matematicomatematico

- conclusioni approssimano il - conclusioni approssimano il problema realeproblema reale

- costi ridotti- costi ridotti

- risultati generali estendibili - risultati generali estendibili ad altri problemiad altri problemi

Sperimentale:Sperimentale:

- diretto sul sistema- diretto sul sistema

- descrive il comportamento - descrive il comportamento reale, senza approssimazioni, reale, senza approssimazioni, linearizzazioni ...linearizzazioni ...

- costi elevati- costi elevati

- risultati valgono per il - risultati valgono per il sistema consideratosistema considerato

IN REALTA’ I DUE APPROCCI SI COMPENETRANO E IN REALTA’ I DUE APPROCCI SI COMPENETRANO E SONO ENTRAMBI NECESSARISONO ENTRAMBI NECESSARI 88

Esecuzione di una misura è basata sulla definizione Esecuzione di una misura è basata sulla definizione di un MODELLO.di un MODELLO.Il modello influenza la scelta dello strumento da Il modello influenza la scelta dello strumento da usare e la procedura di esecuzione delle misure.usare e la procedura di esecuzione delle misure.Il tipo di modello dipende dallo scopo per cui le Il tipo di modello dipende dallo scopo per cui le misure sono fatte. Non esistono modelli migliori o misure sono fatte. Non esistono modelli migliori o peggiori ma solo modelli peggiori ma solo modelli ++efficaci nel rappresentare efficaci nel rappresentare le caratteristiche dell’applicazione per cui le misurele caratteristiche dell’applicazione per cui le misurevengono fatte. vengono fatte. Il modello è frutto di schematizzazioni. Come Il modello è frutto di schematizzazioni. Come schematizzare ad esempio le superfici di una barretta?schematizzare ad esempio le superfici di una barretta?

- con porzioni di piano- con porzioni di piano- con tratti di superfici curve- con tratti di superfici curveConsiderare solo l’aspetto macroscopico o anche quello Considerare solo l’aspetto macroscopico o anche quello microscopico o atomico?microscopico o atomico?

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Possiamo considerare le misure per un utilizzo in Possiamo considerare le misure per un utilizzo in tempi limitati, e quindi considerarle stabili nel tempo tempi limitati, e quindi considerarle stabili nel tempo di osservazione, oppure possiamo valutare l’effetto di osservazione, oppure possiamo valutare l’effetto del tempo sulla grandezza, e quindi le misure del tempo sulla grandezza, e quindi le misure dovranno essere pensate come tempo-varianti.dovranno essere pensate come tempo-varianti.La scelta del modello influenza il tipo di strumento La scelta del modello influenza il tipo di strumento da usare e la procedura di esecuzione delle misure.da usare e la procedura di esecuzione delle misure.

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E’ possibile pensare a vari tipi E’ possibile pensare a vari tipi

di modelli per un oggetto: di modelli per un oggetto:

– geometrico, ( ingombri, volume, stabilità geometrico, ( ingombri, volume, stabilità dimensionale)dimensionale)

– chimico-fisico, (omogeneità, isotropismo, chimico-fisico, (omogeneità, isotropismo, ecc)ecc)

– strutturale, (valutazione della deformazione strutturale, (valutazione della deformazione sotto un certo carico, ecc.), sotto un certo carico, ecc.),

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Grandezze principali e grandezze di disturbo

Per la barretta, la grandezza di interesse è la larghezza, ma altre grandezze influenzano la misura,

le grandezze di disturbo.

Alcune sono identificabili: la temperatura, l’umidità, lo stato di sollecitazione, altre sono non identificabili, in quanto non tutti i fenomeni sono notila suddivisione tra grandezze principali e secondarie o di disturbo dipende dal tipo di modello scelto.

In alcuni casi lo scopo delle misure è proprio l’identificazione dell’effetto di grandezze di disturbo.

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mis1

1.a Lunghezza definita come distanza tra due rette tangenti.

1.c....distanza massima tra due segmenti tangenti.

1.b .....distanza massima tra due punti.

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Lunghezza = Distanza tra due piani tangenti al Lunghezza = Distanza tra due piani tangenti al tavolo valida solo se si accetta una tavolo valida solo se si accetta una schematizzazione come parallelepipedoschematizzazione come parallelepipedo

La misura ha bisogno di un MODELLO definito con La misura ha bisogno di un MODELLO definito con uno scopo.uno scopo.

Es.: verifica se il tavolo passa attraverso una porta. Es.: verifica se il tavolo passa attraverso una porta. Ha senso cercare la massima lunghezza.Ha senso cercare la massima lunghezza.

MODELLO più semplice: informazione più sinteticaMODELLO più semplice: informazione più sintetica

MODELLO più complesso: più vicino alla realtà MODELLO più complesso: più vicino alla realtà specificaspecifica

1414

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P

P

f

f

fPLEI

fPLEI

=

3

3

Metodo di misurazione: specificazione delle procedure di applicazione al sistema misurato di apparecchi per misurazione, delle caratteristiche di questi e delle modalità di elaborazione dei segnali di lettura, da adottarsi per effettuare una misurazione.

Metodo di misurazione

DIRETTO

INDIRETTO

deviazione

azzeramento

deviazione

azzeramento

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Metodo di misurazione diretto: collega il segnale di lettura alla misura del misurando senza dover conoscere esplicitamente misure di altri parametri (tranne i disturbi o eventuali campioni materiali)

Metodo di misurazione indiretto: la misura è assegnata per calcolo effettuando la misurazione su altri parametri legati a quello di interesse da una relazione che esprime una legge fisica

Y=f(XY=f(X11,X,X22…)…)

Y è la grandezza che viene letta e che varia in funzione degli ingressi XX11,X,X22 … tra i quali uno è la grandezza che si vuole misurare, gli altri sono ingressi indesiderati che però hanno effetto sulla lettura finale 1717

Metodo di misurazione a lettura diretta (DEVIAZIONE): la misura del misurando è in relazione con lo spostamento di un indice di uno strumento o con altro tipo di segnale di uscita

Metodo di misurazione per azzeramento o per confronto (AZZERAMENTO): la misura del misurando è ottenuta confrontandolo con un campione materiale ad esso omogeneo

opposizione sostituzione

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Eventuali esempi di misura diretta (lunghezza) ed Eventuali esempi di misura diretta (lunghezza) ed indiretta(qualunque trasduttore con uscita elettrica)indiretta(qualunque trasduttore con uscita elettrica)

1919

Per eseguire le misure si usano dei trasduttori, Per eseguire le misure si usano dei trasduttori, ossia degli elementi che convertono una grandezza ossia degli elementi che convertono una grandezza fisica in un’altra grandezza correlata che può essere fisica in un’altra grandezza correlata che può essere della stessa natura o di altra natura (spesso della stessa natura o di altra natura (spesso elettrica). A questa definizione generica si possono elettrica). A questa definizione generica si possono ricondurre tutti i sistemi di misura sia diretti che ricondurre tutti i sistemi di misura sia diretti che indiretti.indiretti.

TRASDUTTORITRASDUTTORI

ATTIVIATTIVI

PASSIVIPASSIVI

2020

Attivi:Attivi:

per fornire energia in uscita non richiedono altra per fornire energia in uscita non richiedono altra fonte se non quella assorbita in ingresso.fonte se non quella assorbita in ingresso.

Es. termocoppie, cinematismi meccanici, cristalli Es. termocoppie, cinematismi meccanici, cristalli piezoelettrici...piezoelettrici...

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Passivi:Passivi:

per fornire energia in uscita richiedono una fonte di per fornire energia in uscita richiedono una fonte di energia ausiliaria oltre a quella all’ingresso energia ausiliaria oltre a quella all’ingresso principale. L’ingresso principale fornisce solo principale. L’ingresso principale fornisce solo un’informazione che modifica la sorgente ausiliaria.un’informazione che modifica la sorgente ausiliaria.

Es. dispositivi potenziometrici, estensimetri, Es. dispositivi potenziometrici, estensimetri, termometri a resistenza…termometri a resistenza…

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COSTO DELLE MISURECOSTO DELLE MISURE

- Valutazione anche economica di una misura - Valutazione anche economica di una misura (compromesso tra costi e bisogno di conoscenza)(compromesso tra costi e bisogno di conoscenza)

- Un sistema di misura è necessario (pesi campione, - Un sistema di misura è necessario (pesi campione, campioni di lunghezza …)campioni di lunghezza …)

- Incidenza dei costi della misura: dal 6% (uovo) al - Incidenza dei costi della misura: dal 6% (uovo) al 50 % (aereo militare)50 % (aereo militare)

- 10% della vita di una persona è dedicata a misure - 10% della vita di una persona è dedicata a misure “fatte in proprio” (pesi, temperature, benzina, “fatte in proprio” (pesi, temperature, benzina, consumo di acqua…)consumo di acqua…)

- costo per l’Italia del sistema misure introno al 5% - costo per l’Italia del sistema misure introno al 5% del PIL (100000 miliardi/anno) di cui 100 per del PIL (100000 miliardi/anno) di cui 100 per mantenere gli enti metrologici e di calibrazionemantenere gli enti metrologici e di calibrazione 2323

- Misura- Misura- Incertezza- Incertezza- Sistema di misura- Sistema di misura

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NOZIONI FONDAMENTALI SULLE MISURENOZIONI FONDAMENTALI SULLE MISURE

UNI 4546UNI 4546

DEFINIZIONI FONDAMENTALI:DEFINIZIONI FONDAMENTALI:

MisuraMisura: informazione costituita da un : informazione costituita da un NUMERONUMERO, una , una INCERTEZZAINCERTEZZA ed una ed una UNITA’ DI MISURAUNITA’ DI MISURA assegnata a assegnata a rappresentare un parametro in un determinato stato rappresentare un parametro in un determinato stato del sistemadel sistema

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NUMERO:NUMERO: ovvio (pb. cifre significative)ovvio (pb. cifre significative)

INCERTEZZA : intorno limitato del valore di un INCERTEZZA : intorno limitato del valore di un parametro, corrispondente agli estremi della fascia parametro, corrispondente agli estremi della fascia di valori assegnatagli come misuradi valori assegnatagli come misura

UNITA’ DI MISURA: termine di riferimento adottato UNITA’ DI MISURA: termine di riferimento adottato per convenzione per confrontare una grandezza con per convenzione per confrontare una grandezza con altre della stessa specie.altre della stessa specie.

2626

Esempi:Esempi:

u = 5.236u = 5.236 tutte cifre significative (4)tutte cifre significative (4)


u = 000.5u = 000.5 1 cifra significativa 1 cifra significativa

u = 0.005u = 0.005 1 cifra significativa1 cifra significativa


u = 5000u = 5000 tutte cifre significative È VERO ??????tutte cifre significative È VERO ??????2727

NUMERO: cifre significative, concetto legato NUMERO: cifre significative, concetto legato all’approssimazione con cui si sceglie di all’approssimazione con cui si sceglie di

rappresentare una grandezza.rappresentare una grandezza.

Errore di arrotondamento Errore di arrotondamento 5 105 10-n-n

(n = numero di cifre significative - utilizzando la (n = numero di cifre significative - utilizzando la notazione scientifica).notazione scientifica).

•Se interessano solo le migliaia: 1 c.s. u = 5 x 103

•Se interessano anche le centinaia: 2

c.s. u = 5.0 x 103

•Se interessano anche le decine: 3 c.s.u = 5.00 x 103

•Se interessano anche le unità: 4 c.s.u = 5.000 x 103

U = 5000 quante cifre significative (c.s.) ha?

Per definirlo devo ricorrere alla notazione

scientifica

2828

Quanto vale l’arrotondamento:

u = 5.236 u = 5.236 u = 5.236 x 10 u = 5.236 x 100 0 4 c.s. 4 c.s. a = ± 5 x 10a = ± 5 x 10-4 -4 x 10x 100 0 == ± 5 x 10± 5 x 10-4 -4

u = 1.005 u = 1.005 u = 1.005 x 10 u = 1.005 x 100 0 4 c.s. 4 c.s.a = ± 5 x 10a = ± 5 x 10-4 -4 x 10x 100 0 == ± 5 x 10± 5 x 10-4 -4

u = 0.005 u = 0.005 u = 5 x 10 u = 5 x 10-3 -3 1 c.s. 1 c.s.a = ± 5 x 10a = ± 5 x 10-1 -1 x 10x 10-3 -3 == ± 5 x 10± 5 x 10-4 -4

u = 5 x 10u = 5 x 103 3 1 c.s. 1 c.s.a = ± 5 x 10a = ± 5 x 10-1 -1 x 10x 103 3 == ± 5 x 10± 5 x 1022

u = 5.000 x 10u = 5.000 x 103 3 4 c.s. 4 c.s.a = ± 5 x 10a = ± 5 x 10-4 -4 x 10x 103 3 == ± 5 x 10± 5 x 10-1-1 2929

Ci si sofferma su Ci si sofferma su incertezza incertezza e su e su unità di misuraunità di misura..

Riferimenti: Riferimenti:

• VIM vocabolario internazionale delle misureVIM vocabolario internazionale delle misure

• GUIDE TO THE EXPRESSION OF UNCERTAINTYGUIDE TO THE EXPRESSION OF UNCERTAINTY

3030

INCERTEZZAINCERTEZZA

Mi accingo ad eseguire una misura; osservo che:Mi accingo ad eseguire una misura; osservo che:

• la risposta degli strumenti con grandezze variabili la risposta degli strumenti con grandezze variabili nel tempo non è la stessa delle condizioni statichenel tempo non è la stessa delle condizioni statiche

• l’introduzione dello strumento perturba il l’introduzione dello strumento perturba il parametro che voglio misurareparametro che voglio misurare

• un collega ha cambiato la sonda dell’oscilloscopio un collega ha cambiato la sonda dell’oscilloscopio senza dire nientesenza dire niente

• il campione usato non è tarato da qualche meseil campione usato non è tarato da qualche mese

• la manopola dello strumento si è spostata sul suo la manopola dello strumento si è spostata sul suo albero perché una vite si è allentataalbero perché una vite si è allentata

3131

INCERTEZZAINCERTEZZA

• si compie un errore nella lettura di uno strumento si compie un errore nella lettura di uno strumento analogicoanalogico

• la temperatura è variata: si è spostato il valore di la temperatura è variata: si è spostato il valore di zero di uno strumentozero di uno strumento

• la giornata è afosa, l’umidità influenza il la giornata è afosa, l’umidità influenza il comportamento degli strumenti, ma non so come né comportamento degli strumenti, ma non so come né quantoquanto

• la tensione di alimentazione variala tensione di alimentazione varia

• una macchina è stata messa in moto vicino al una macchina è stata messa in moto vicino al punto di misura producendo punto di misura producendo rumorerumore (UNI4546=disturbo incorrelato della grandezza che (UNI4546=disturbo incorrelato della grandezza che si misura) sia meccanico che elettromagneticosi misura) sia meccanico che elettromagnetico 3232

• lo strumento ha un’uscita numerica, dunque si ha lo strumento ha un’uscita numerica, dunque si ha errore di quantizzazioneerrore di quantizzazione

• l’operatore è stanco ed ogni tanto commette errori l’operatore è stanco ed ogni tanto commette errori nel copiare i valori nel copiare i valori

• i componenti non sono di ottima qualitài componenti non sono di ottima qualità

Queste ed altre cause hanno effetti sul risultato Queste ed altre cause hanno effetti sul risultato della misura. della misura. L’incertezza è un indice della L’incertezza è un indice della approssimazione con cui è noto il risultato di una approssimazione con cui è noto il risultato di una misura (con cui si è identificato il misurando).misura (con cui si è identificato il misurando).

3333

““L’incertezza è un numero associato al risultato di L’incertezza è un numero associato al risultato di una misurazione, che esprime la DISPERSIONE dei una misurazione, che esprime la DISPERSIONE dei valori che possono ragionevolmente essere valori che possono ragionevolmente essere attribuiti al misurandoattribuiti al misurando” (GUIDA... ISO 1995).” (GUIDA... ISO 1995).

E’ OBBLIGATORIO ESPRIMERE L’INCERTEZZA DI E’ OBBLIGATORIO ESPRIMERE L’INCERTEZZA DI MISURAMISURA

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OSSERVAZIONI IMPORTANTI:OSSERVAZIONI IMPORTANTI:

- solo le definizioni hanno incertezza nulla- solo le definizioni hanno incertezza nulla

- l’incertezza di una misurazione non può essere - l’incertezza di una misurazione non può essere ridotta a piacimento: esistono dei limiti (economici e ridotta a piacimento: esistono dei limiti (economici e fisici) a questo processofisici) a questo processo

- spesso le prestazioni degli strumenti e dei - spesso le prestazioni degli strumenti e dei campioni sono esuberanti rispetto ai requisiti campioni sono esuberanti rispetto ai requisiti necessari per la misuranecessari per la misura

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OSSERVAZIONE IMPORTANTE:OSSERVAZIONE IMPORTANTE:

L’L’ERROREERRORE è diverso dall’ è diverso dall’INCERTEZZAINCERTEZZA..

E’ necessario capire che cosa si intende per errore E’ necessario capire che cosa si intende per errore e la sua differenza rispetto all’incertezza. (2.2.4 della e la sua differenza rispetto all’incertezza. (2.2.4 della GUIDA ed Appendice D)GUIDA ed Appendice D)

3636

ERRORE ED INCERTEZZAERRORE ED INCERTEZZA

“ “La definizione di incertezza fornita (dalla Guida) è La definizione di incertezza fornita (dalla Guida) è una definizione operazionale che si incentra sul una definizione operazionale che si incentra sul risultato di una misurazione; non è incompatibile risultato di una misurazione; non è incompatibile con altri concetti di incertezza di misura quali:con altri concetti di incertezza di misura quali:

- misura dell’- misura dell’erroreerrore possibile del valore stimato del possibile del valore stimato del misurando, rappresentato dal risultato di una misurando, rappresentato dal risultato di una misurazionemisurazione

- una stima che caratterizza il campo di valori entro - una stima che caratterizza il campo di valori entro cui giace cui giace il valore vero il valore vero di un misurando”di un misurando”

3737

ERRORE ED INCERTEZZAERRORE ED INCERTEZZA

I concetti appena illustrati (ossia di errore e valore I concetti appena illustrati (ossia di errore e valore vero di una grandezza, in contrasto con quello vero di una grandezza, in contrasto con quello stimato) sono validi sul piano ideale, ma si stimato) sono validi sul piano ideale, ma si incentrano su entità inconoscibili.incentrano su entità inconoscibili.

L’L’incertezzaincertezza è dunque frutto di una è dunque frutto di una valutazionevalutazione, di , di una una stimastima, mentre , mentre

l’l’erroreerrore nonnon è in realtà è in realtà conoscibileconoscibile

3838

Valore VERO Valore VERO (convenzionalmente)(convenzionalmente)

Riassumendo:Riassumendo:

Visione più datata (tollerata)Visione più datata (tollerata)

LetturaLettura

errore errore (non conoscibile)(non conoscibile)

Visione più attuale:Visione più attuale:

stimastima

incertezzaincertezza

39393939

Con riferimento al valore vero di una grandezza si Con riferimento al valore vero di una grandezza si definisce l’definisce l’ACCURATEZZAACCURATEZZA, ossia l’accordo tra il , ossia l’accordo tra il risultato di una misura ed il valore (vero) del risultato di una misura ed il valore (vero) del misurando.misurando.

NOTE:NOTE:

- in virtù di quanto osservato l’accuratezza è un - in virtù di quanto osservato l’accuratezza è un concetto qualitativoconcetto qualitativo

- per il VIM il termine “precisione” va evitato ed in - per il VIM il termine “precisione” va evitato ed in suo luogo è meglio usare ACCURATEZZA suo luogo è meglio usare ACCURATEZZA

40404040

NOTA BENENOTA BENE

Può accadere che il risultato di una misurazione Può accadere che il risultato di una misurazione (dopo correzione) pur avendo una elevata incertezza, (dopo correzione) pur avendo una elevata incertezza, disti dal valore del misurando di una quantità molto disti dal valore del misurando di una quantità molto piccola (ed abbia dunque errore trascurabile) piccola (ed abbia dunque errore trascurabile) ancorché inconoscibileancorché inconoscibile

INCERTEZZAINCERTEZZA ELEVATA (stimata)ELEVATA (stimata)

ERROREERRORE PICCOLO (ma non PICCOLO (ma non conosciuto)conosciuto)

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LINEE FONDAMENTALI DELLA GUIDA...:LINEE FONDAMENTALI DELLA GUIDA...:

(i concetti esposti saranno ripresi in forma più (i concetti esposti saranno ripresi in forma più rigorosa nel seguito)rigorosa nel seguito)

incertezza standard incertezza standard incertezza del risultato di una incertezza del risultato di una misurazione espressa come deviazione standard misurazione espressa come deviazione standard

incertezza standard combinataincertezza standard combinata incertezza standard incertezza standard del risultato di una misurazione quando il risultato è del risultato di una misurazione quando il risultato è ottenuto mediante i valori di un certo numero di ottenuto mediante i valori di un certo numero di altre grandezze, uguale alla radice quadrata positiva altre grandezze, uguale alla radice quadrata positiva di una somma di termini, che sono le varianze o le di una somma di termini, che sono le varianze o le covarianze di quelle grandezze pesate secondo la covarianze di quelle grandezze pesate secondo la variazione del risultato della misurazione al variare variazione del risultato della misurazione al variare di esse.di esse.

4444


incertezza estesaincertezza estesa: grandezza che definisce, intorno : grandezza che definisce, intorno al risultato di una misurazione, un intervallo che ci al risultato di una misurazione, un intervallo che ci si aspetta comprendere una frazione rilevante della si aspetta comprendere una frazione rilevante della distribuzione di valori ragionevolmente attribuibili al distribuzione di valori ragionevolmente attribuibili al misurandomisurando

fattore di coperturafattore di copertura: numero che moltiplica la : numero che moltiplica la incertezza standard combinata in modo da ottenere incertezza standard combinata in modo da ottenere l’incertezza estesa.l’incertezza estesa.

4545

ss

mm ksks

4646


tipi di incertezza tutti basati su distribuzioni di tipi di incertezza tutti basati su distribuzioni di probabilità e quantificati con lo scarto tipo probabilità e quantificati con lo scarto tipo (deviazione standard)(deviazione standard)

-valutazione incertezza:-valutazione incertezza:

tipo Atipo A: incertezze che si prestano ad : incertezze che si prestano ad una valutazione statisticauna valutazione statistica

tipo Btipo B: incertezze descritte e valutate : incertezze descritte e valutate con altri metodi: esperienza con altri metodi: esperienza dell’operatore , esperimenti collaterali, dell’operatore , esperimenti collaterali, effetti noti di grandezze di influenzaeffetti noti di grandezze di influenza

4747

ATTENZIONE !!!ATTENZIONE !!!

La classificazione mostrata (tipo A e tipo B) è La classificazione mostrata (tipo A e tipo B) è basata sul modo di valutazionebasata sul modo di valutazione e non sostituisce la e non sostituisce la distinzione in componenti distinzione in componenti aleatorie e sistematichealeatorie e sistematiche, , che riguarda l’origine del fenomeno che riguarda l’origine del fenomeno e non il modo di e non il modo di trattarlo. (Una correzione di effetto sistematico può trattarlo. (Una correzione di effetto sistematico può essere sia di tipo A che di tipo B).essere sia di tipo A che di tipo B).

4848

COMPONENTE ALEATORIACOMPONENTE ALEATORIA

variazioni non predicibili o casuali; la sua speranza variazioni non predicibili o casuali; la sua speranza matematica è zeromatematica è zero

Lo scarto tipo sperimentale (traduzione del termine Lo scarto tipo sperimentale (traduzione del termine più comune deviazione standard sperimentale) della più comune deviazione standard sperimentale) della media aritmetica di una serie di osservazioni NON è media aritmetica di una serie di osservazioni NON è l’errore aleatorio della media (non conoscibile) ma l’errore aleatorio della media (non conoscibile) ma una misura dell’incertezza della media dovuta agli una misura dell’incertezza della media dovuta agli effetti aleatori.effetti aleatori.

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COMPONENTE SISTEMATICACOMPONENTE SISTEMATICA

effetto identificato di una grandezza su una effetto identificato di una grandezza su una misurazione.misurazione.Se di proporzioni significative rispetto Se di proporzioni significative rispetto all’accuratezza di una misurazione, può essere all’accuratezza di una misurazione, può essere compensato apportando una correzione. Si ipotizza compensato apportando una correzione. Si ipotizza che, a seguito della correzione, il valore di che, a seguito della correzione, il valore di aspettazione dell’errore generato da un effetto aspettazione dell’errore generato da un effetto sistematico sia zero.sistematico sia zero.L’incertezza di una correzione applicata al risultato L’incertezza di una correzione applicata al risultato di una misurazione per compensare un effetto di una misurazione per compensare un effetto sistematico non è l’errore sistematico (bias), ma una sistematico non è l’errore sistematico (bias), ma una misura dell’incertezza del risultato dovuta ad misura dell’incertezza del risultato dovuta ad imperfetta conoscenza del valore necessario per la imperfetta conoscenza del valore necessario per la correzionecorrezione 5050

******

**** **

** **

********

**** **

qq

qq

********

**** **

******

**** **

** **

qq

qq

Nella guida la stima del misurando Y (maiuscolo) è Nella guida la stima del misurando Y (maiuscolo) è denotata con y (minuscolo).denotata con y (minuscolo).

Se vale la relazione tale per cui il misurando Y è Se vale la relazione tale per cui il misurando Y è determinato attraverso N grandezze Xdeterminato attraverso N grandezze X11, X, X22,...X,...XNN, ,

attraverso la relazioneattraverso la relazione

Y=f(XY=f(X11, X, X22, ... X, ... XNN))

la stima del misurando Y è y(la stima del misurando Y è y(stima di uscitastima di uscita) ) funzione delle N funzione delle N stime di ingresso stime di ingresso xx11,x,x22,...x,...xNN..

y=f(xy=f(x11,x,x22, …x, …xNN))

5353

INCERTEZZA DI TIPO AINCERTEZZA DI TIPO A

Modello Modello statisticostatistico

- sono considerate n osservazioni indipendenti q- sono considerate n osservazioni indipendenti qkk

della grandezza q, eseguite nelle stesse condizioni della grandezza q, eseguite nelle stesse condizioni sperimentalisperimentali

- la stima del valore sperato è la media aritmetica - la stima del valore sperato è la media aritmetica delle osservazionidelle osservazioni

q n qkk

n

1

1qqkk=singola osservazione=singola osservazione

n=numero delle osservazionin=numero delle osservazioni 5454



- la varianza sperimentale s- la varianza sperimentale s22, stima della varianza , stima della varianza 22, è data da:, è data da:

s q n q qk kk

n2 1

1 1

2

- la sua radice quadrata è la deviazione standard - la sua radice quadrata è la deviazione standard (detta anche (detta anche scarto tipo sperimentalescarto tipo sperimentale))

5555



- la miglior stima di , ossia la varianza - la miglior stima di , ossia la varianza della media, è data da:della media, è data da:

22

q n

ed è detta ed è detta scarto tipo sperimentale della mediascarto tipo sperimentale della media

Tale valore esprime quanto bene q stimi il valore Tale valore esprime quanto bene q stimi il valore atteso per q, e si può assumere come stima atteso per q, e si può assumere come stima dell’incertezza di qdell’incertezza di q

s qn

)q(s)q(s k

22

5656


Sia data una grandezza XSia data una grandezza Xii determinata mediante n determinata mediante n

osservazioni ripetute Xosservazioni ripetute Xi,ki,k; l’incertezza tipo u(x; l’incertezza tipo u(xii) della ) della

sua stima xsua stima xii=X=Xii è u(x è u(xii)=s(X)=s(Xii), con s), con s22(X(Xii) calcolato con ) calcolato con

l’espressione della pagina precedente.l’espressione della pagina precedente.

Sebbene la grandezza primitiva fondamentale sia la Sebbene la grandezza primitiva fondamentale sia la varianza svarianza s22(q), lo scarto tipo s(q) è più conveniente (q), lo scarto tipo s(q) è più conveniente nell’uso pratico in quanto ha la stessa dimensione nell’uso pratico in quanto ha la stessa dimensione di q ed il suo valore è più facilmente interpretabile di q ed il suo valore è più facilmente interpretabile che non quello della varianza.che non quello della varianza.

5757

INCERTEZZA DI TIPO BINCERTEZZA DI TIPO B

- valutate non con la statistica, ma in qualsiasi altro - valutate non con la statistica, ma in qualsiasi altro modomodo

- si deve ipotizzare una opportuna distribuzione di - si deve ipotizzare una opportuna distribuzione di probabilità per ciascuna delle singole fonti di probabilità per ciascuna delle singole fonti di incertezza, per poter trattare assieme le incertezze incertezza, per poter trattare assieme le incertezze dovute a singole cause.dovute a singole cause.

- questa combinazione viene fatta (ma non sempre, - questa combinazione viene fatta (ma non sempre, può essere nota una distribuzione dei possibili può essere nota una distribuzione dei possibili valori del misurando) adottando per ogni fonte di valori del misurando) adottando per ogni fonte di incertezza una distribuzione di probabilità di tipo incertezza una distribuzione di probabilità di tipo rettangolare, con l’ipotesi che ‘ragionevolmente’ il rettangolare, con l’ipotesi che ‘ragionevolmente’ il valore del misurando sia compreso entro una valore del misurando sia compreso entro una fascia larga 2a.fascia larga 2a. 5858

- per la scelta di a si mira ad un valore realistico e - per la scelta di a si mira ad un valore realistico e non semplicemente prudenziale.non semplicemente prudenziale.

- si possono stimare solo i limiti superiore ed - si possono stimare solo i limiti superiore ed inferiore per Xinferiore per Xii, si può solo affermare che la , si può solo affermare che la

probabilità che Xprobabilità che Xii giaccia all’interno dell’intervallo giaccia all’interno dell’intervallo

compreso tra a- ed a + è uguale a 1.compreso tra a- ed a + è uguale a 1.

Se non esiste alcuna conoscenza specifica sui Se non esiste alcuna conoscenza specifica sui possibili valori di Xpossibili valori di Xii entro l’intervallo, si può solo entro l’intervallo, si può solo

affermare che Xaffermare che Xii può giacere in qualunque punto può giacere in qualunque punto

con uguale probabilità.con uguale probabilità.

a- a+Xi

5959

- il valore Xi di aspettazione o speranza di X- il valore Xi di aspettazione o speranza di X ii, è il , è il

punto medio dell’intervallo , con punto medio dell’intervallo , con varianza associata:varianza associata:

a- a+Xi

u x a ai2 2 12 /

x a ai / 2

- se (a+ - a-), la differenza tra i limiti, è indicata con - se (a+ - a-), la differenza tra i limiti, è indicata con 2a, allora si ha:2a, allora si ha:

u x ai2 2 3 /

6060

INCERTEZZA STANDARD PER VIA GRAFICAINCERTEZZA STANDARD PER VIA GRAFICA

6262

Esempio:Esempio:XXii è una temperatura t, la sua distribuzione (non è una temperatura t, la sua distribuzione (non

nota) è normale; il valore sperato nota) è normale; il valore sperato tt è 100°C e la è 100°C e la

deviazione standard è deviazione standard è =1.5°C. La funzione densità =1.5°C. La funzione densità di probabilità è:di probabilità è:

L’istogramma di pagina precedente riguarda n=20 L’istogramma di pagina precedente riguarda n=20 osservazioni tosservazioni tkk della temperatura che si della temperatura che si

suppongono acquisite in maniera casuale dalla suppongono acquisite in maniera casuale dalla distribuzione sempre della pagina precedente.distribuzione sempre della pagina precedente.

L’intervallo di temperatura scelto per la costruzione L’intervallo di temperatura scelto per la costruzione dell’istogramma è di 1°Cdell’istogramma è di 1°C

22t 2texp

2

1)t(p

6363

Media aritmeticaMedia aritmetica: t=100.145°C : t=100.145°C 100.14°C: si 100.14°C: si suppone che sia la miglior stima del valore atteso suppone che sia la miglior stima del valore atteso mt di t, sulla base dei dati disponibilimt di t, sulla base dei dati disponibili

Deviazione standard sperimentaleDeviazione standard sperimentale s(ts(tkk)=1.489°C)=1.489°C1.49°C; 1.49°C; la deviazione standard della la deviazione standard della

media media s(t), ossia l’incertezza standard u(t) della s(t), ossia l’incertezza standard u(t) della media t èmedia t è

C33.0C333.020)t(s)t(s)t(u k

6464

Le figure di pagina precedente rappresentano la Le figure di pagina precedente rappresentano la stima di una quantità Xstima di una quantità Xi i e la valutazione della e la valutazione della

incertezza della stima da una distribuzione nota a incertezza della stima da una distribuzione nota a priori, sulla scorta delle informazioni disponibili.priori, sulla scorta delle informazioni disponibili.

Anche in questo caso XAnche in questo caso Xii è una temperatura. è una temperatura.

CASO ACASO A: si sa poco su t, si può solo supporre che t : si sa poco su t, si può solo supporre che t sia descritta da una distribuzione di probabilità tale sia descritta da una distribuzione di probabilità tale per cui aper cui a--=96°C e a=96°C e a++=104°C.=104°C.

a a a C / 2 4

6767

Funzione densità di probabilità di t: p(t)=1/2a,Funzione densità di probabilità di t: p(t)=1/2a, aa- - t t a a++ p(t)=0 altrove p(t)=0 altrove

La migliore stima di t è il suo valore atteso:La migliore stima di t è il suo valore atteso:

tt=(a=(a+++ a+ a--)/2=100°C)/2=100°C

L’incertezza standard della stima è:L’incertezza standard della stima è:

La distribuzione rettangolare è considerata come La distribuzione rettangolare è considerata come valore di default quando non vi sono informazioni valore di default quando non vi sono informazioni disponibili sul tipo di distribuzione.disponibili sul tipo di distribuzione.

C3.23a)(u t

6868

CASO B : Supponiamo ora che t possa essere descritta da una distribuzione triangolare simmetrica (fig. b) caratterizzata dagli stessi valori di a del precedente caso :

a-= 96 °C ; a+= 104 °C

Avremo quindi

a a a C / 2 4

La funzione di densità di probabilità di t sarà :

6969

altrimenti;0)t(p

at2aa;a)ta()t(p

2aata;a)at()t(p

2

2

La migliore stima di t è ancora il suo valore atteso :

tt=(a=(a+++ a+ a--)/2=100°C)/2=100°C

L’ incertezza standard della stima è:L’ incertezza standard della stima è:

C6.16/aut

7070

Confronto valori: u(t)=1.6°C triangolare

u(t)=2.3°C rettangolare

con distribuzione normale e =1.5°C l’intervallo 2.58s che comprende il 99% della popolazione, è di circa 8°C.

Da 20 osservazioni a caso sulla stessa popolazione a distribuzione normale

u(t)=0.33°C

7171

INCERTEZZA INCERTEZZA TIPO COMBINATA

Come è possibile combinare le incertezze di tipo A e Come è possibile combinare le incertezze di tipo A e B? Si distinguono due casi:B? Si distinguono due casi:

Grandezze

correlate

incorrelate

7272

Grandezze incorrelate

L’incertezza combinata standard è la radice quadrata positiva della varianza combinata:

i2

2N

1i i

2c xu

x

fyu

Ove f è la funzione: Y=f(X1,X2,… XN)

i singoli valori di incertezza u(xi singoli valori di incertezza u(x ii) sono le singole ) sono le singole

incertezze tipo A o tipo B.incertezze tipo A o tipo B.

L’incertezza standard combinata è una stima che L’incertezza standard combinata è una stima che caratterizza la dispersione dei valori che si può caratterizza la dispersione dei valori che si può attribuire al misurando Y. Quella ora mostrata è la attribuire al misurando Y. Quella ora mostrata è la LEGGE DELLA PROPAGAZIONE DELLE LEGGE DELLA PROPAGAZIONE DELLE INCERTEZZEINCERTEZZE 7373

ESEMPIO:

La potenza dissipata da una resistenza sottoposta ad una differenza di potenziale V è :

)tt(1RV)t,,R,V(fP 002

0

Dove

R0= Resistenza alla temperatura t0

= coefficiente lineare di resistenza

Deriviamo la potenza :

7474

MODELLOMODELLO

00

2000

23

0020

2

02

001

tt1ttP

tt1RttVP

C

RPtt1RVR

PC

VP2tt1RV2V

PC

7575

0

200

24

tt1P

tt1RVt

PC

Quindi :

)t(ut

P)(u

P)R(u

R

P)V(u

V

P)P(u 2

22

2

02

2

0

22

2

7676

PuPuPuPuPu

tuCuCRuCVuC

24

23

22

21

2

24

23

202

21

7777

Misure 1. Introduzione al corso: - Concetto di misura e di misurazione - Perché si misura -...

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