MISURA

14.30

Dalle frazioni ai numeri decimaliPresentazione di una situazione

16.00

Pausa

16.15

Ripresa

Misure riflessioni sparse(2a parte)

18.00

I Mangianumeri

18.30Fine lavori

14.30

Dalle frazioni ai numeri decimaliPresentazione di una situazione

16.00

Pausa

16.15

Ripresa

Misure riflessioni sparse(2a parte)

18.00

I Mangianumeri

18.30Fine lavori

Alcune considerazioniAlcune considerazioniIl caso di LUCIA …

Durante una situazione di valutazione sui numeri decimali, LUCIA ha dato le seguenti risposte:

2,4 + 3,7 = 5,110,2 x 0,2 = 0,4

3,54 < 4,5 < 4,17 (bisognava mettere nel giusto ordine tre numeri…)Scrivere un numero che sta fra 4,235 e 4,236.

Risposta: “… è impossibile, si seguono”!

Qual è la concezione dell’allievo Qual è la concezione dell’allievo che fa OSTACOLO?che fa OSTACOLO?

(… Separazione fra i numeri interi e parti decimali, come se fossero numeri estranei gli uni agli altri…; inoltre, entrambe le parti trattate come interi…,

v. 4,235/4,236

FRAZIONE e DECIMALEFRAZIONE e DECIMALESi tratta del sintetico racconto di un’esperienza concreta che può avere un valore formativo soltanto se viene letto (ed eventualmente riproposto nella propria classe)sulla base di un processo di DECONTESTUALIZZAZIONEDECONTESTUALIZZAZIONE e RICONTESTUALIZZAZIONERICONTESTUALIZZAZIONE nel quale l’attenzione sia soprattutto rivolta alle VARIABILIVARIABILI e ai VINCOLIVINCOLI in gioco.

Progettoiniziale

Esperienza vissuta daFabio in classe

VINCOLI

VARIABILI

Racconto -verbali - note -discussioni -video - tracce

Progetti,modelli

presentatidurante il corso

Processo diDECONTESTUALIZZAZIONE

Elaboro il mioprogetto

Nuovaesperienzavissuta con

la miaclasse

Processo diRICONTESTUALIZZAZIONE

11/04/23 Corso DIMAT 7

PREMESSAPREMESSADesideriamo che gli allievi, attraverso delle SITUAZIONI-PROBLEMA, SITUAZIONI-PROBLEMA, possano costruire la frazione e il decimale come risposta alla situazione stessa (apprendimento invece di insegnamento).Introduciamo il decimale a partire dalle misure. Si tratta quindi del decimale-misura e non del decimale-operatore (nell’esempio utilizziamo le misure di lunghezza. È però possibile lavorare anche nel campo delle misure di capacità o di peso).

Osservazione: prima di ogni lezione/ricerca di questo tipo, è importante che il docente si interroghi sulle conoscenze preesistenti all’interno della sua classe ponendosi una domanda del tipo:

Su quali conoscenze potranno “appoggiarsi” i miei allievi per affrontare la Su quali conoscenze potranno “appoggiarsi” i miei allievi per affrontare la situazione e per costruire eventuali nuovi concetti e nuove procedure?situazione e per costruire eventuali nuovi concetti e nuove procedure?

Nel caso dei nostri allievi (coloro che seguono DIMAT), osservando le attività proposte in 3a, possiamo dire che hanno affrontato-risolto dei problemi di partizione in parti uguali o equivalenti (aspetto centrale nella costruzione dei concetti di frazione e di numero decimale). In 4a è possibile che gli allievi a pieno già affrontato i livelli F e M dell’argomento 3 (frazioni) per cui le scritture frazionare (1/2, 1/4, 2/8, …) dovrebbero già essere state incontrate-usate (si tratta di un linguaggio e di scritture molto presenti anche al di fuori del contesto scolastico).

CONSEGNAIl listello che tutti avete ricevuto, ci servirà oggi come unità di misura. Per comodità gli daremo un nome: ci sono proposte? …. breve discussione ….. Bene, allora questa unità di misura si chiamerà per tutti noi DONG.Ora attenti bene: immaginiamo di vivere in un paese dove non si conosce nessun’altra unità di misura convenzionale al di fuori del DONG, quindi né i centimetri, né i metri, né i millimetri,… e tutto deve venir pertanto misurato in DONG. Ciò che vi chiedo è di iniziare, e lo potete fare a coppie, a misurare delle lunghezze all’interno dell’aula. Misurate ciò che volete: quaderno, libri, banco, finestra, porta,…. cercando di essere il più precisi possibile,… ma, attenti(!) sempre e unicamente in DONG.

DONG

Il foglio è diviso in tre colonne: 1. “oggetto”, cosa misuro 2. MISURA 3. Controllo

Abbiamo scelto una lunghezza dei “DONG” di 16 cm.

Sul foglio che avete ricevuto scrivete (1) cosa avete misurato (ad esempio “larghezza del banco”) e poi (2) la misura precisa. Dovete scrivere bene poiché fra un quarto d’ora circa dovrete passare il foglio a dei compagni per un primo controllo (3). Anche se lavorate a coppie, ognuno scrive sul suo foglio (il controllo sarà poi individuale).

Situazione 1 – fase A

Obiettivo: Lo scopo di questo primo momento è di rendersi conto che il numero naturale non è più sufficiente per risolvere determinate situazioni. In sintesi, si tratta di una lezione-situazione attraverso la quale l’insegnante provoca l’ostacolo, rende cioè possibile, per l’allievo, l’incontro con la necessità (motivata dalla situazione stessa) di costruire “qualcosa di nuovo”. Situazioni di questo genere danno senso e “appartengono” al nuovo sapere, alla nuova conoscenza-competenza (concetto, procedura,...) in atto, in fase cioè di costruzione.

Per il docente si tratta anche di sperimentare, intenzionalmente, una situazione nella quale sappiamo in precedenza che difficilmente gli allievi potranno riuscire. Ci si potrebbe chiedere: ma perché farlo se la classe può riuscire solo parzialmente?  

Esempi di misure scritte dagli allievi

Un legnetto e tre quarti. 6 quarti d’un legnetto Un legnetto 4/4 e 1/8.

Un legnetto e tre quarti Due legnetti, una larghezza e lo spessore del legnetto

Un legnetto e 3/4 e mezzo

Tre quarti di legnetto e un ventesimo di quarto.

Quattro quarti e un diciassettesimo Due legnetti e un quarto

Un legnetto e 1/21 (cancella)Un legnetto e 1/6.

Un legnetto, un legnetto lo devi dividere in 5 parti, ti resterà un pezzettino, quel pezzettino non lo devi calcolare.

Due legnetti e 1/11.Non capisco (insegnante)Prendi un legnetto e dividilo in 11 parti, taglia via una parte e ti verrà la soluzione.

Una striscia lunga 3/4 e mezzo e 1/4 Due legnetti e tanto così. (Allegano alla scheda una striscia in carta)

Due legnetti e un diciassettesimo di legnetto.

Tracce delle misure emerse durante la situazione 1A.

Osservazioni a posteriori: - …..

Situazione 1 – fase B (soltanto in caso di “necessità”)

Obiettivo: questa “faseB” (la situazione rimane la stessa) viene proposta alla classe se le risposte iniziali sono state “povere” e parecchio imprecise. Per raggiungere una sufficiente precisione è infatti necessario suddividere il DONG in parti equivalenti, generalmente in mezzi, quarto ottavi, 16esimi, …32esimi, … 64esimi. Se necessario, si può “provocare” questa partizione attraverso delle piegature ripetute di una striscia di carta della lunghezza di un DONG (a metà, metà della metà,…).Questa “faseB” può anche essere proposta semplicemente come consolidamento quando un numero esiguo di allievi soltanto ha raggiunto l’espressione di misure corrette e precise. In questo caso le procedure adottate vengono prima discusse e mostrate cosicché possano venir spontaneamente abbandonate quelle meno efficaci (del tipo: “2 dong e un po’ ”; “1 dong, mezzo dong e un pochino”;…)  

Discussione (prima dell’inizio della lezione)

Quali difficoltà avete incontrato ieri?......... discussione……. (verosimilmente uscirà il problema legato alla difficoltà di misurare in modo preciso la “parte restante”).

Alcuni di voi hanno suddiviso il DONG in parti,… vediamo un po’…. .Bene, ma come si potrebbe suddividerlo in parti più precise? (sempre restando nel gioco, ossia senza poter ricorrere all’aiuto delle misure convenzionali, in particolare dei cm e mm). Vediamo se qualcuno di voi ha qualche idea: …….(Nel caso in cui la discussione fosse povera l’insegnante potrebbe sollecitare la riflessione). Provate a ritagliare una striscia qualunque di carta lunga come il DONG. Come potreste fare per suddividerla in parti uguali, per esempio a metà?,…. (a questo punto ben difficilmente non usciranno delle partizioni piccole e precise).

In questo caso, l’impossibilità ad usare centimetri e millimetri è un esempio di vincolo didattico. 

CONSEGNA

Bene, adesso che tutti hanno uno strumento di misura più preciso, riproviamo a misurare degli oggetti, delle lunghezze, come avete fatto ieri.

Annotate sempre sul foglio la vostra misura, e l’oggetto, in modo che il compagno che controllerà lo possa trovare senza difficoltà.

 

Il foglio è diviso in tre colonne: 1. “oggetto”, cosa misuro 2. MISURA 3. Controllo

DONG

Striscia di carta

Esempi di misure scritte dagli allievi

Tracce delle misure emerse durante la situazione 1B.

Osservazioni a posteriori: - …..

Situazione 2Obiettivo: Sin qui gli allievi hanno incontrato il problema e l’hanno risolto suddividendo l’unità (la quantità 1) in parti equivalenti e creando delle misure espresse tutte secondo la stessa unità, cioè in DONG. Per fare ciò hanno utilizzato delle frazioni (in particolare, immaginiamo, quelle multiple di 2). Ora, e questo è l’obiettivo chiave di questa seconda situazione, si tratta di favorire l’emergere di frazioni espresse in decimi e centesimi.

Naturalmente questo secondo (terzo) momento, deve essere preceduto e seguito da una discussione collettiva,

centrata sui momenti di comunicazione, argomentazione e, quando necessario, di validazione.

Discussione (prima dell’inizio della lezione) Quali difficoltà avete incontrato ieri? .. è andata meglio? .. siete riusciti ad essere precisi?... ….

Oggi, la situazione sarà un po’ diversa, cambieremo paese, non userete più il DONG, bensì questo nuovo listello, questo (lungo 10 cm) , che chiameremo …. Qualcuno ha un’idea?… bene, …che chiameremo allora TANG. 

CONSEGNAAncora una volta avete il vostro foglio e il vostro strumento di misura, il TANG.Visto che noi lavoriamo usando un sistema che funziona di 10 in 10, ecc... (vedi decine, centinai, migliaia,…), per “comodità”, e anche per fare un’esperienza, il vostro Tang cercherete di dividerlo in 10 e in 100 parti uguali. Per fare queste suddivisioni in modo preciso potete usare per un momento la vostra riga o la squadra.1 Il foglio è diviso in tre colonne:

1. “oggetto”, cosa misuro 2. MISURA 3. Controllo

[1] A questo punto gli allievi scoprono che il loro TANG misura esattamente 10 centimetri, cioè 1Tang= 1 dm. Questa “vicinanza” serve loro (vedremo perché), anche se al momento è imposto un vincolo che consiste nel dover esprimere tutte le misure unicamente in “Tang”. Infatti, per gli allievi, sarebbe sicuramente più facile esprimere le misure in centimetri e millimetri. Ma qui siamo proprio a un punto chiave nella costruzione del concetto di numero decimale dove, ad esempio rispetto al numero 24,56, una sola è (e deve essere!) l’unità di riferimento (vedi osservazioni circa il valore posizionale delle cifre).Sarebbe anche possibile consegnare ad ogni allievo un TANG già suddiviso, usando dei materiali già esistenti (decimetri suddivisi in dieci e cento parti), però riteniamo che costruirlo (un lavoretto comunque di soli 5 min) sia un’esperienza utile (dipende naturalmente anche dalle precedenti attività svolte durante l’introduzione delle misure convenzionali).

Esempi di misure scritte dagli allievi

Tracce delle misure emerse durante la situazione 2.

Osservazioni a posteriori: - …..

Situazione 3Obiettivo: Esercitare e consolidare quanto sin qui appreso in vari ambiti: lunghezze, pesi, capacità, valore. 

Discussione (prima dell’inizio della lezione)

Tramite le esperienze con i Dong e con i Tang avete appreso a misurare in modo preciso le “parti restanti”, quelle più piccole di un Dong o di un Tang. Vediamo di riassumere come avete fatto e soprattutto cosa avete usato per queste misurazioni. (… si discute)……….. (verosimilmente sull’uso delle frazioni)…. .

Fase di istituzionalizzazione Bene, avete quindi scritto delle misure composte da una parte intera e da una parte frazionaria. E la parte frazionaria si riferiva sempre alla stessa ed unica unità di misura.

Oggi cercheremo di consolidare quanto appreso e di correggere eventuali errori, aiutandoci a coppie. Le coppie la faremo per sorteggio, con le carte da gioco.

CONSEGNACiò che dovete fare è tutto scritto sui tre fogli che ora vi consegno. Desidero vedervi lavorare con il dovuto rispetto, soprattutto aspettando il momento opportuno per lavorare con la bilancia, i liquidi e i barattoli dei soldi.Oggi però le regole cambiano, potete usare gli strumenti di misura che credete più opportuni.Si tratta di collaborare, discutere, confrontare le idee, aiutarsi, analizzare i risultati, correggere eventuali errori. 

Questo terzo momento può essere organizzato nei modi più diversi (molte sono le variabili su cui poter agire). Nel nostro caso si è scelto di lavorare “a tutto campo”, dalle lunghezze, ai pesi, alle capacità, ai soldi. Però si potrebbe suddividere questo momento in modo del tutto diverso, a dipendenza della classe, limitando ad esempio una prima esercitazione solo alle misure di lunghezza e di valore. Poi aggiungere un secondo momento per le misure di peso e di capacità. Si potrebbe anche immaginare, a dipendenza dei risultati e del tempo a disposizione, di affrontare ogni campo di misurazione separatamente. Il fatto comunque di considerare tutti questi diversi campi è essenziale in quanto implicitamente si comunica che quanto si sta imparando ha un valore generale. (Rimane l’ostacolo delle misure di tempo che verrà affrontato in un tempo successivo, dopo aver consolidato il numero decimale in queste prime misurazioni.)

Tracce-osservazioni relative al lavoro degli allievi durante la situazione 3.

Osservazioni a posteriori:

- …..

- …..

Situazione 4 - lezione “classica” Obiettivo: Insegnamento, istituzionalizzazione ed esercitazione della scrittura decimale.

 Discussione (prima dell’inizio della lezione)

… siamo allora d’accordo: le parti più piccole dell’unità si possono misurare o costruire in modo esatto grazie ai frazionamenti che voi avete fatto delle unità. (Puntualizzazione) In tutte le esperienze sin qui vissute abbiamo usato tante diverse frazioni che possiamo dividere in due gruppi, quelle non decimali e quelle decimali.Provate un po’ a ricordare, … potete anche consultare il vostro materiale…. Da questo lato della lavagna scriveremo le frazioni NON decimali e da quest’altra parte quelle decimali.

Questo è un momento in cui l’insegnante deve insegnare. La scrittura decimale, come tutte le convenzioni, non può essere appresa per raziocinio (ciò che invece è avvenuto nelle situazioni precedenti) e pertanto richiama alla necessità di un processo di trasmissione culturale: l’allievo adatta alla nuova scrittura insegnata le “strutture” da lui costruite e quanto con ragionamento ha precedentemente appreso. Non c’è infatti un ragionamento che giustifica la scrittura convenzionale, caso mai una spiegazione (infatti si sarebbe potuto scrivere in tanti altri modi!).

Frazioni NON-decimali Frazioni decimali

½ 3/8 5/6

7/16 ¼ 3/10 5/100 7/100 38/100

Fase di istituzionalizzazione Bene, avete quindi scritto delle misure composte da una parte intera e da una parte frazionaria. Ricordiamo anche, ed è molto importante, che la parte frazionaria in questi casi si riferisce sempre ad una ed una sola(!) unità.

Quanto avete fatto è perfettamente corretto però a volte un po’ complesso da scrivere. Dovete sapere che esiste un modo molto semplice per scrivere esattamente le stesse cose, grazie ad una “invenzione” fatta circa cinque secoli fa:

- Invece di scrivere 8 e 3/10 si può infatti scrivere semplicemente 8,3

- Invece di scrivere 6 e 2/10 e 5/100 si può scrivere semplicemente 5,25

Naturalmente sapendo esattamente che quel 2 vale 2/10 e che quel 5 vale 5/100.

Finora conoscevate unità, decine, centinaia, migliaia, unità di migliaia,…ecc, Ora abbiamo allargato il nostro concetto di numero non più verso il “grande”, ma verso il “piccolo”: avete conosciuto i decimi e i centesimi e, più in là, incontrerete anche i millesimi.

Vediamo quindi di fare adesso una sintesi sul valore posizionale delle cifre.

Prendiamo ad esempio il numero 3546,72 e vediamo quanto vale ognuna delle cifre. Provate prima su di un foglio, per conto vostro, poi guarderemo subito assieme. 

3546,72

La virgola (che nelle calcolatrici è un punto!) separa la parte intera dalla parte decimale del numero.

500 6

3000

40 7 10

2 100

CONSEGNA

Se per tutti è chiaro, adesso vi propongo questo esercizio. Guardate il foglio che vi ho dato. Nella prima colonna scrivete le misurazioni con le frazioni in decimi e/o centesimi che avete utilizzato sin qui nei vostri lavori. Guardate nei fogli che avete utilizzato sin qui. Poi , nella colonna accanto, scrivete la stessa misura, però utilizzando la scrittura decimale che abbiamo imparato oggi.

Tracce-osservazioni relative al lavoro degli allievi durante la situazione 4.

Osservazioni a posteriori:

- ….

- …..

Situazione 5 Obiettivo: Ricapitolazione ed esercitazione. Poi è una situazione-problema che affronta il tema dell’equivalenza tra, ad esempio, 4 e 2/10 e 5/100 e 4 e 25/100 

Discussione-ricapitolazione

Vediamo di rievocare mentalmente il percorso delle lezioni che ci hanno portato alla comprensione e alla scrittura dei numeri decimali. ………

CONSEGNA esercizio

Oggi ci concentreremo dapprima solo sui numeri. Non importa quindi se si di tratta di Dong, di franchi, di metri o di chilometri,… o quant’altro, guardiamo unicamente i numeri.

Iniziamo con un esercizio facile se avete capito bene quanto avete imparato ieri.

Dovete semplicemente ricopiare nella casella destra i numeri decimali che io ho scritto su questa lavagna e, uno alla volta, riscriverlo a sinistra come lo avreste scritto prima di imparare la scrittura decimale, ossia parte intera e frazioni. E’ il lavoro inverso rispetto a quanto avete fatto sull’ultimo foglio che vi ho dato.

euro,

CONSEGNA situazione-problema

(Dopo aver corretto l’esercizio attraverso lo scambio di fogli) Ora. a coppie, dovete cercare una risposta a questa situazione: Alla lavagna ho scritto due misure, queste:

3 e 2 /10 e 5/100 3 e 25/100 Queste due misure come sono? Una è più grande dell’altra oppure sono equivalenti? Non basta però la risposta, dovete dimostrare, spiegarne il perché. Appena avete terminato consegnate il vostro foglio con la risposta, la spiegazione e i vostri nomi, e riprendete con l’attività di laboratorio.

Tracce-osservazioni relative al lavoro degli allievi durante la situazione 5 (esercizio).

Osservazioni a posteriori:

- ….

- …..

Tracce-osservazioni relative al lavoro degli allievi durante la situazione 5 (situazione-problema). Osservazioni a posteriori:

- ….

- …..

Situazioni 6…, 7…, 8…, 9…, 10…, …

Le prime 5 situazioni sono servite per arrivare al numero decimale e per introdurne la scrittura.

Con le situazioni che seguono si vuole far sì che gli allievi possano man mano acquisire una sempre migliore padronanza del numero decimale, sia attraverso delle esercitazioni, dei compiti precisi, sia attraverso situazioni particolari e didatticamente significative (vedi ad esempio l’uso della scrittura frazionaria nell’eseguire delle addizioni e sottrazioni con i numeri decimali, oppure scoprire perché in un numero decimale la parte decimale deve forzatamente sempre essere inferiore a 1,…)

Grazie alle frazioni si è giunti al numero decimale, però dobbiamo stare attenti e considerare che la programmazione dell’insegnante deve a questo punto tener presente due esigenze diverse (anche se complementari): da un lato continuare la riflessione e l’apprendimento delle frazioni e, dall’altro, acquisire dimestichezza con i numeri decimali. Lo statuto dei decimi e dei centesimi nel numero decimale è infatti diverso dallo statuto e dall’utilizzo che si può fare in genere delle frazioni (fra le quali anche quelle in decimi e centesimi!).

Per fare un solo esempio possiamo dire che si può sia avere 2/10 nel numero 3,25 (e in questo caso 2/10 si riferisce quindi al valore posizionale della cifra 2 nel numero 3,25), ma, in una situazione completamente diversa (e qui abbiamo unicamente a che vedere con il concetto di frazione e non più di decimale) potrei essere nella condizione di calcolare, ad esempio, quant’è 2/10 di 30, o di 120, o di una qualunque quantità, misura o insieme.

Resta quindi chiaro che il problema della coordinazione e della relativizzazione-contestualizzazione delle conoscenze, in relazione alle diverse situazioni, non si risolve con l’introduzione del numero decimale, anzi. … Ma qui stiamo entrando in un ulteriore “oggetto” d’apprendimento (a dimostrazione comunque che siamo dentro un “reticolo” per cui un “oggetto” attira l’altro,…)

Lo schema accanto sintetizza queste riflessioni:

I.D. 15 novembre 2011

2a parte

MANGIANUMERI