ECONOMIA POLITICA

ESERCITAZIONI A.A. 2013-2014

Corso del prof. Currarini

Dott. Elia Pizzolitto

ESERCITAZIONE 1

Vero / Falso (Molinari 2.1)

a) Un consumatore è indifferente fra due panieri quando non sa scegliere tra i due.

a. FALSO. Secondo l’assioma della completezza il consumatore sa sempre scegliere.

Un consumatore è indifferente tra due panieri quando gli garantiscono la stessa

utilità.

b) Le curve di indifferenza si intersecano nel punto di ottimo.

a. FALSO. Le curve di indifferenza non si intersecano mai.

c) Il vincolo di bilancio separa lo spazio che contiene i panieri peggiori da quello che contiene i

panieri migliori.

a. FALSO. Il vincolo di bilancio separa i panieri acquistabili da quelli non acquistabili.

Esercizio 1 – Vincolo di bilancio. Supponiamo che un consumatore abbia a disposizione un reddito di euro 100,00.

Può acquistare solamente due beni, il pane (bene x) ed il latte (bene y).

Il prezzo del pane è pari a 2. Il prezzo del latte è pari a 4.

a) Definite il concetto di vincolo di bilancio;

b) Rappresentate il vincolo di bilancio del consumatore esplicitando e chiarendo il significato

delle intercette con gli assi e delle zone sottostanti e sovrastanti il vincolo;

c) Supponete che il prezzo del latte aumenti del 20%: mostrate i cambiamenti nel vincolo di

bilancio.

d) Supponete ora che, partendo dai dati iniziali, il reddito del consumatore passi a 200. definite

il nuovo vincolo di bilancio confrontandolo con quello al punto b).

a) L’espressione del vincolo di bilancio è la seguente:

ypxpR yx

dove R Reddito

xp prezzo del bene x, in questo caso il pane

yp prezzo del bene y, in questo caso il latte

x quantità acquistata del pane

y quantità acquistata del latte

Si tratta di una funzione che indica le possibilità di spesa del consumatore tra i due beni a

disposizione. Se il vincolo di bilancio è indicato come sopra, allora il consumatore è razionale e

spende tutto il suo reddito.

Il vincolo di bilancio può essere anche indicato, in forma più generica, così:

ypxpR yx

Questa formulazione indica tutte le possibili combinazioni di spesa per i due beni.

Da una trasformazione algebrica (esplicitando y dall’equazione del vincolo di bilancio) possiamo

ottenere:

xp

p

p

Ry

y

x

y

Da questa trasformazione è semplice vedere che il vincolo può essere disegnato così:

b) Il vincolo di bilancio per il consumatore presentato dall’esercizio è il seguente:

yx 42100

Per poterlo disegnare esplicitiamo y:

xy2

125

Calcoliamo inoltre le intercette:

quando x = 0, allora 25y . Questo è il punto in cui il vincolo tocca l’asse y ed economicamente

ha il significato di indicare, ipoteticamente, quanto bene y verrebbe acquistato se il consumatore

non comprasse x.

quando y = 0, allora 50x . Questo è il punto in cui il vincolo tocca l’asse delle x ed

economicamente il il significato di indicare, ipoteticamente, quanto bene x verrebbe acquistato se il

consumatore non comprasse y.

La pendenza del vincolo è -1/2

Ecco la rappresentazione grafica:

L’area sottostante il vincolo di bilancio rappresenta tutte le combinazioni di beni acquistabili dal

consumatore. L’area sovrastante tutte le combinazioni non acquistabili.

c) Se il prezzo del latte (y) aumenta del 20% arriva ad un valore di 4,8.

Il nuovo vincolo di bilancio è definito dunque dalla seguente equazione:

yx 8.42100

Esplicitando, per comodità, y:

xy 641,038,20

Calcoliamo le intercette:

quando x = 0, 38,20y

quando y = 0, 50x

Ecco la rappresentazione grafica:

d) Se il reddito del consumatore passa a 200, il nuovo vincolo di bilancio è il seguente:

yx 42200

Esplicitando per comodità la y, troviamo:

xy2

150

Calcoliamo le intercette:

quando x = 0, 50y

quando y = 0, 100x

Ecco la rappresentazione grafica rispetto al baso b).

Esercizio 2 – Curve di indifferenza.

Sia un consumatore razione e sia la sua funzione di utilità:

2

1

2

1

yxU

Definire:

a) se questa funzione di utilità è una funzione corretta secondo la teoria del consumatore;

b) la mappa delle curve di indifferenza, definendone graficamente alcune, a titolo di esempio,

esplicitando ogni valore preso come riferimento;

c) la curva di indifferenza con l’utilità pari ad 1;

d) la curva di indifferenza con l’utilità pari a 2;

e) il saggio marginale di sostituzione e la sua caratteristica lungo la curva di indifferenza con U

= 1.

a) Per rispondere a questo primo punto dobbiamo capire se la funzione rispetta i cinque

“assiomi” della teoria.

Innanzitutto possiamo già dire che la funzione è continua, dunque i primi tre assiomi sono

soddisfatti.

Infatti, se una funzione è continua significa che è in grado di attribuire un numero ad ogni paniere, è

quindi in grado di ordinarli correttamente è il consumatore può sempre scegliere (completezza e

riflessività), ordinandoli in base alle proprie preferenze (transitività).

Per quanto riguarda la non sazietà (una unità in più è sempre meglio per il consumatore), dobbiamo

verificare che l’utilità marginale sia decrescente, vale a dire che la funzione sia concava (oppure,

per gli studenti più temerari, anche quasi-concava).

Una funzione concava deve avere derivata prima positiva e derivata seconda negativa.

Vediamo dunque le derivate parziali:

Derivata prima fatta rispetto ad x:

2

1

2

1

2

1yx

x

U

Questo ha un valore sempre positivo, poiché x ed y sono variabili che per ipotesi non possono

essere negative, dato che si tratta di quantità.

Derivata seconda fatta rispetto ad x:

2

1

2

3

2

2

2

1

2

1yx

x

U

Questo ha un valore sempre negativo.

Le derivate fatte rispetto ad y sono ovviamente simmetriche, quindi la funzione è concava.

Per quanto riguarda l’ultimo “assioma”, la convessità, vediamo se le curve di indifferenza generate

da questa funzione sono convesse.

Per calcolare la mappa delle curve di indifferenza è sufficiente esplicitare y dalla funzione di utilità:

x

Uy

2

Come vediamo, qualsiasi sia il livello di utilità che possiamo definire, la curva di indifferenza sarà

sempre un’iperbole, che è convessa per definizione.

La nostra funzione di utilità rispetta tutti gli assiomi, è dunque corretta.

b) Come sopra, la mappa delle curve di indifferenza si ottiene esplicitando y dalla funzione di

utilità:

x

Uy

2

Se, ad esempio, prendiamo i livelli di utilità U = 10 ed U = 20, possiamo definire due curve di

indifferenza tra le infinite possibili:

xy

100

xy

400

E possiamo passare alla loro rappresentazione grafica:

Come vediamo, man mano che si sposta verso nord-est, alle curve di indifferenza corrispondono

valori dell’utilità maggiori.

c) la curva di indifferenza con utilità pari a 1 è definita dalla seguente equazione:

xy

1

d) la curva di indifferenza con utilità pari a 2 è definita dalla seguente equazione:

xy

4

e) il saggio marginale di sostituzione è così definito, nel nostro caso:

x

y

yU

xU

SMS

Vediamo cosa succede lungo la curva di indifferenza x

y1

:

x y SMS

0,1 10 -100

0,2 5 -25

0,5 2 -4

1 1 -1

2 0,5 -0,25

5 0,2 -0,04

10 0,1 -0,01

Rappresentiamo graficamente la cosa:

Esercizio 3 – Appello Sergio Currarini – Settembre 2008 Si fornisca un esempio di funzione di utilità che rappresenti preferenze complete, monotone e

transitive, ed in cui entrambi i beni abbiamo utilità marginale decrescente rispetto al bene stesso.

Si fornisca quindi un esempio di funzione di utilità tale che l’utilità marginale di uno dei due beni

sia costante, mentre l’utilità marginale dell’altro bene sia decrescente.

La prima parte di questo esercizio ci richiede di fare un esempio di funzione di utilità che, in

sostanza, rispecchi gli assiomi della teoria del consumatore.

Nell’esercizio precedente abbiamo visto che la funzione di utilità:

2

1

2

1

yxU

Rispettava tutti gli assiomi, dunque anche per questo esercizio è una soluzione corretta.

Per la seconda parte, invece, possiamo provare a definire una funzione di utilità di questo tipo:

yxU 22

1

Con una funzione di questo tipo, le utilità marginali non hanno rapporti tra di loro (vedremo più

avanti che questa funzione denota un certo grado di sostituibilità tra i beni considerati).

Ecco le utilità marginali.

Utilità marginale di x:

2

1

2

1

x

x

U

che è decrescente in quanto la derivata seconda è negativa:

2

3

2

2

2

1

2

1

x

x

U

Utilità marginale di y:

2

y

U

che è chiaramente costante.