Corso di Microeconomia – III Canale...ESERCIZI SVOLTI di MICROECONOMIA Teoria della Produzione...

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Corso di Microeconomia – III Canale GLOSSARIO ED ESERCIZI SVOLTI DI MICROECONOMIA di Saverio M. Fratini e Daria Pignalosa Febbraio 2016

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Corso di Microeconomia – III Canale

GLOSSARIO ED ESERCIZI SVOLTI

DI MICROECONOMIA

di

Saverio M. Fratini

e

Daria Pignalosa

Febbraio 2016

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Indice

GLOSSARIO di MICROECONOMIA ........................................................................................ 3

ESERCIZI SVOLTI di MICROECONOMIA ............................................................................. 8

Teoria della Produzione ............................................................................................................ 8

Esercizio 1 ........................................................................................................................................... 8

Esercizio 2 ........................................................................................................................................... 9

Esercizio 3 ..........................................................................................................................................10

Esercizio 4 ..........................................................................................................................................11

Esercizio 5 ..........................................................................................................................................12

Esercizio 6 ..........................................................................................................................................13

Esercizio 7 ..........................................................................................................................................15

Esercizio 8 ..........................................................................................................................................17

Esercizio 9 ..........................................................................................................................................19

Esercizio 10 ........................................................................................................................................21

Teoria classica della distribuzione e del valore ...................................................................... 22

Esercizio 11 ........................................................................................................................................22

Esercizio 12 ........................................................................................................................................23

Esercizio 13 ........................................................................................................................................24

Esercizio 14 ........................................................................................................................................25

Esercizio 15 ........................................................................................................................................26

Esercizio 16 ........................................................................................................................................28

Teoria del Consumatore .......................................................................................................... 30

Esercizio 17 ........................................................................................................................................30

Esercizio 18 ........................................................................................................................................31

Esercizio 19 ........................................................................................................................................32

Esercizio 20 ........................................................................................................................................33

Esercizio 21 ........................................................................................................................................34

Esercizio 22 ........................................................................................................................................35

Esercizio 23 ........................................................................................................................................36

Esercizio 24 ........................................................................................................................................37

Esercizio 25 ........................................................................................................................................38

Esercizio 26 ........................................................................................................................................39

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Teoria Marginalista della Produzione .................................................................................... 40

Esercizio 27 ........................................................................................................................................40

Esercizio 28 ........................................................................................................................................42

Esercizio 29 ........................................................................................................................................43

Esercizio 30 ........................................................................................................................................44

Esercizio 31 ........................................................................................................................................45

Concorrenza Perfetta .............................................................................................................. 46

Esercizio 32 ........................................................................................................................................46

Esercizio 33 ........................................................................................................................................48

Monopolio ................................................................................................................................ 49

Esercizio 34 ........................................................................................................................................49

Esercizio 35 ........................................................................................................................................50

Esercizio 36 ........................................................................................................................................51

Oligopolio di Cournot .............................................................................................................. 52

Esercizio 37 ........................................................................................................................................52

Esercizio 38 ........................................................................................................................................53

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GLOSSARIO di MICROECONOMIA

A ALLOCAZIONE = Distribuzione di date dotazioni di beni di consumo tra diversi individui; oppure

distribuzione di date dotazioni di fattori produttivi tra diverse imprese o industrie.

ALLOCAZIONE PARETO-OTTIMALE = Vedi “Ottimo di Pareto”.

ALLOCAZIONE SUPERIORE IN SENSO PARETIANO = Facendo riferimento al caso di una

economia di puro scambio, una allocazione T è superiore nel senso di Pareto rispetto ad

un’altra allocazione R se in T almeno un individuo migliora la sua posizione (cioè si colloca

su una curva di indifferenza più alta) e nessun individuo peggiora la propria posizione (cioè

tutti gli individui rimangono almeno sulla stessa curva di indifferenza su cui si trovavano

nella allocazione R).

B BENI CAPITALE = Vedi “mezzi di produzione”.

BENI CAPITALE CIRCOLANTI = Mezzi di produzione che vengono interamente consumati

nell’ambito di un singolo ciclo produttivo (come materie prime, combustibili, ecc.).

BENI CAPITALE FISSI = Mezzi di produzione la cui durata utile si estende sopra più cicli

produttivi (come macchinari, automezzi, capannoni, ecc.).

BENI di GIFFEN = per un certo individuo, il bene X è un bene di Giffen se la domanda del bene X

da parte di questo individuo aumenta (oppure: diminuisce) al crescere (oppure: al diminuire)

del prezzo relativo di X in Y Px/Py. Tutti i beni che non sono beni di Giffen, sono detti

“ordinari”.

BENI INFERIORI = per un certo individuo, il bene X è un bene inferiore se la domanda del bene X

da parte di questo individuo diminuisce (oppure: aumenta) al crescere (oppure: al diminuire)

del suo reddito. Tutti i beni che non sono inferiori, sono detti “normali”.

BENI NORMALI = per un certo individuo, il bene X è un bene normale se la domanda del bene X

da parte di questo individuo aumenta (oppure: diminuisce) al crescere (oppure: al diminuire)

del suo reddito. Tutti i beni che non sono normali, sono detti “inferiori”.

BENI ORDINARI = per un certo individuo, il bene X è un bene ordinario se la domanda del bene X

da parte di questo individuo diminuisce (oppure: aumenta) al crescere (oppure: al diminuire)

del prezzo relativo di X in Y Px/Py. Tutti i beni che non sono ordinari, sono detti “beni di

Giffen”.

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BILANCIO. Dato il reddito dell’individuo e dati i prezzi dei beni:

INSIEME di BILANCIO = insieme formato da tutti i panieri che comportano una spesa non

eccedente il reddito dell’individuo;

VINCOLO di BILANCIO = insieme formato da tutti i panieri che comportano una spesa

esattamente pari al reddito dell’individuo.

C COSTO MARGINALE (Marginal Cost, MC) = incremento dei costi totali derivante dalla

produzione di una unità aggiuntiva di output.

COSTO MEDIO (Average Cost, AC) = costo unitario, cioè rapporto tra il costo e la quantità

prodotta. Nel breve periodo si distingue il costo medio variabile dal costo medio totale.

CURVA dei CONTRATTI = insieme di tutte le allocazioni Pareto-ottimali.

CURVA di DOMANDA = curva che mette in relazione la quantità domandata di un bene con il suo

prezzo.

CURVA di ENGEL = curva che mette in relazione la quantità domandata di un bene da parte di un

individuo con il suo reddito.

CURVA di INDIFFERENZA = insieme di panieri che l’individuo giudica equivalenti (indifferenti)

ad un dato paniere iniziale.

CURVA di ISO-COSTO = insieme delle combinazioni di capitale e lavoro che, dati il tasso

dell’interesse ed il saggio del salario, possono essere impiegate sostenendo lo stesso livello

di costo.

CURVA di ISO-QUANTO = insieme delle combinazioni di capitale e lavoro che, date le condizioni

tecniche di produzione, consentono di ottenere lo stesso livello di output.

CURVA PREZZO-CONSUMO = insieme dei panieri ottimali per un individuo a prezzi diversi di

un bene, ma tenendo fermi il reddito ed il prezzo dell’altro bene.

E ECONOMIA con SOVRAPPIU’ = Economia il cui prodotto sociale lordo, oltre a consentire la

reintegrazione delle merci necessarie come mezzi di produzione e come sussistenze dei

lavoratori, lascia una eccedenza detta appunto “sovrappiù”.

ECONOMIA di SUSSISTENZA = Economia il cui prodotto sociale lordo è esattamente pari alle

quantità di merci che servono per riprodurre i mezzi di produzione impiegati e le sussistenze

per i lavoratori (ovvero il suo prodotto netto è pari alle sussistenze per i lavoratori

impiegati).

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ELASTICITÀ della DOMANDA al PREZZO = rapporto tra la variazione percentuale della quantità

domandata e la variazione percentuale del prezzo che l’ha generata.

F FUNZIONE della PRODUZIONE = funzione che a ciascuna combinazione di input (lavoro e

capitale, oppure lavoro, capitale e terra), associa la quantità di output con essa ottenibile.

FUNZIONE di REAZIONE = Nel caso con due sole imprese, la funzione di reazione dell’impresa 1

è quella funzione che a ciascuna quantità Q2 prodotta dall’impresa 2 associa la quantità Q1*

che l’impresa 1 deve produrre al fine di massimizzare i suoi profitti.

FUNZIONE di UTILITÀ = funzione che a ciascun paniere associa un numero reale, in maniera tale

che il numero associato al paniere D risulta maggiore del numero associato al paniere E se e

solo se l’individuo preferisce D ad E. Ovvero, se u(x, y) è una funzione di utilità che

rappresenta le preferenze di un consumatore, allora: u(xD; yD) > u(xE; yE) D ≻ E {cioè

anche: u(xD; yD) u(xE; yE) D ≿ E}.

M MAPPA di INDIFFERENZA = rappresentazione delle preferenze individuali attraverso le curve di

indifferenza: i panieri appartenenti a curve di indifferenza più alte sono preferiti a quelli

appartenenti a curve più basse.

MERCI BASE = Merci impiegate direttamente o indirettamente come mezzi di produzione di tutti i

prodotti dell’economia.

MEZZI di PRODUZIONE (o BENI CAPITALE) = Merci impiegate come input nel processo

produttivo (il loro valore costituisce, in tutto o in parte, il valore del capitale impiegato).

N NUMERARIO = Merce utilizzata come unità di misura del valore delle altre merci. Se una merce

viene scelta come numerario, tutti i prezzi sono quantità di questa merce (ad esempio se il

grano è il numerario ed il prezzo dell’acciaio è 150, ciò significa che occorrono 150 quintali

di grano per acquistare una tonnellata di acciaio). Può essere una merce singola oppure una

merce composita (cioè un paniere di molte merci prese in quantità fissate).

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O OTTIMO di PARETO = Facendo riferimento al caso di una economia di puro scambio, una

allocazione è un ottimo di Pareto se non esiste altra allocazione che consenta di aumentare il

benessere di un individuo senza diminuire quello di qualcun altro.

P PREZZI di MERCATO o EFFETTIVI = Prezzi a cui avvengono effettivamente gli scambi in un

certo e limitato periodo di tempo.

PREZZI NATURALI o NORMALI = Prezzi teorici, caratterizzati dall’essere compatibili con

l’emergere dello stesso saggio del profitto in tutti i settori dell’economia. Rappresentano il

“centro di gravitazione” attorno cui oscillano i prezzi effettivi in tempi diversi.

PREZZO RELATIVO = prezzo di una merce espresso, invece che in termini monetari (cioè in

euro), in termini di un’altra merce. Ad esempio, se il prezzo monetario di un libro è € 18,00

e quello di un litro di latte è € 1,50, allora il prezzo di un libro in termini di latte è 18/1,50 =

12, ovvero ci vogliono 12 litri di latte per comperare un libro.

PRODOTTO MARGINALE di un FATTORE = incremento (ovvero: diminuzione) di prodotto

derivante dall’impiego di una unità in più (ovvero: in meno) di un fattore, ferme restando le

quantità impiegate di tutti gli altri fattori produttivi.

PRODOTTO MEDIO di un FATTORE = rapporto tra la quantità di prodotto ottenuta e la quantità

impiegata di un fattore produttivo.

PRODOTTO SOCIALE LORDO = Quantità di merci prodotte dall’economia nel suo complesso

durante un ciclo produttivo.

PRODOTTO SOCIALE NETTO = Quantità di merci prodotte dall’economia nel suo complesso, al

netto delle quantità di merci impiegate nell’economia come mezzi di produzione.

R RENDIMENTI di SCALA. Data la funzione di produzione Q = F(K, L), si assuma che, rispetto ad

una situazione iniziale Q0 = F(K0, L0), le quantità impiegate di entrambi i fattori aumentino

in una stessa percentuale δ. Ovvero, ponendo λ = (1+δ), si impieghino, dopo l’aumento,

quantità λ K0 di capitale e λ L0 di lavoro. Distinguiamo tre casi:

RENDIMENTI di SCALA COSTANTI = se anche la quantità prodotta aumenta nella stessa

percentuale λ. Ovvero: λ Q0 = F(λ K0, λ L0)

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RENDIMENTI di SCALA CRESCENTI = se la quantità prodotta aumenta in percentuale

maggiore di λ. Ovvero: λ Q0 < F(λ K0, λ L0)

RENDIMENTI di SCALA DECRESCENTI = se la quantità prodotta aumenta in

percentuale minore di λ. Ovvero: λ Q0 > F(λ K0, λ L0)

RICAVO MARGINALE (Marginal Revenue, MR) = incremento dei ricavi totali derivante dalla

produzione e vendita di una unità aggiuntiva di output (oppure: diminuzione dei ricavi totali

dovuta alla produzione e vendita di una unità in meno di output).

S SAGGIO MARGINALE di SOSTITUZIONE (Marginal Rate of Substitution, MRS) = è la

pendenza (in valore assoluto) della curva di indifferenza in un punto ed esprime la quantità

massima del bene y che l’individuo è disposto a cedere per avere una unità in più del bene x

(oppure: la quantità minima del bene y che l’individuo è disposto ad accettare in cambio

della cessione di una unità del bene x). Quando le preferenze sono rappresentate attraverso

una funzione di utilità, il saggio marginale di sostituzione è pari al rapporto tra l’utilità

marginale del bene x e quella del bene y.

SAGGIO MARGINALE di SOSTITUZIONE TECNICA (Marginal Rate of Technical Substitution,

MRTS) = (con L sulle ascisse e K sulle ordinale) è la quantità di capitale che serve per

compensare la diminuzione dell’impiego di lavoro di una unità, mantenendo ferma la

quantità prodotta (oppure: è la quantità di capitale che può essere sostituita dall’impiego

aggiuntivo di una unità di lavoro, ferma restando la quantità prodotta).

SAGGIO del PROFITTO (o tasso del profitto) = Profitto per una unità di capitale impiegata per un

ciclo produttivo. Si calcola attraverso il rapporto tra l’ammontare complessivo dei profitti ed

il valore complessivo del capitale impiegato.

SAGGIO del SALARIO = Salario per una unità di tempo di lavoro.

SOVRAPPIÙ = Eccedenza del prodotto sociale lordo rispetto alle merci necessarie per la

reintegrazione dei mezzi di produzione e delle sussistenze dei lavoratori.

U UTILITÀ MARGINALE di un BENE = incremento di utilità derivante dal consumo aggiuntivo di

una unità di un bene, fermo restando il consumo di tutti gli altri beni.

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ESERCIZI SVOLTI di MICROECONOMIA

Teoria della Produzione

Esercizio 1:

Considerate un’economia con due merci: grano (G) e ferro (F). Si assuma la seguente produzione:

900 q di G 20 t di F 130 di L 2000 q di G

100 q di G 15 t di F 70 di L 100 t di F

Assumendo che l'economia sia di sussistenza, e cioè che il prodotto netto sia esattamente pari alle

sussistenze per i lavoratori impiegati, determinate le sussistenze per un lavoratore.

Svolgimento:

Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

900 + 100 = 1000 q di G;

e analogamente il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

20 + 15 = 35 t di F.

Per ottenere il prodotto sociale netto, pari alle sussistenze, occorre sottrarre al prodotto

sociale lordo le merci impiegate come mezzi di produzione:

PROD. SOC. LORDO M. di P. = PROD. SOC. NETTO

2000100 − 1000

35 = 100065

Abbiamo così calcolato le sussistenze complessive per 200 lavoratori (200 = 130 + 70).

Perciò le sussistenze per un lavoratore ammonteranno a 100065 : 200 = 5

0,325

Ad ogni lavoratore impiegato vengono corrisposti 5 q di G e 0,325 t di F.

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Esercizio 2:

Considerate un’economia con tre sole merci: Arance (A), Biscotti (B) e Camicie (C). Si assuma la

seguente produzione:

300 di A 100 di B 130 di L 2000 di A

100 di A 25 di B 50 di L 1000 di B

100 di A 25 di B 20 di L 8000 di C

Assumendo che le sussistenze annue per un lavoratore siano composte da 2 di A, 1 di B e 8 di C,

calcolate:

a) le quantità di merci impiegate come mezzi di produzione nell’economia nel suo complesso

b) il prodotto sociale netto

c) il sovrappiù

Svolgimento:

a) Le Arance impiegate come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso sono:

300 + 100 + 100 = 500 di A;

e analogamente i Biscotti impiegati come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso

sono:

100 + 25 + 25 = 150 di B;

mentre le Camicie non sono impiegate come mezzo di produzione in nessuna industria.

b) Per ottenere il prodotto sociale netto, occorre sottrarre al prodotto sociale lordo le merci

impiegate come mezzi di produzione:

PROD. SOC. LORDO M. di P. = PROD. SOC. NETTO

200010008000

− 500150

0=

1500850

8000

c) Per ottenere il sovrappiù, occorre sottrarre al prodotto sociale netto le merci che

costituiscono le sussistenze dei lavoratori. Cominciamo quindi col calcolare le sussistenze

complessive di 200 lavoratori (200 = 130 + 50 + 20):

SUSS. = 218∙ 200 =

400200

1600

PROD. SOC. NETTO SUSS. = SOVRAPPIÙ

1500850

8000−

400200

1600=

1100650

6400

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Esercizio 3:

Considerate un’economia con tre sole merci: grano (G), ferro (F) e acciaio (A). Si assuma la

seguente produzione:

400 q di G 20 t di F 100 t di A 100 di L 2000 q di G

200 q di G 10 t di F 50 t di A 60 di L 200 t di F

200 q di G 10 t di F 200 t di A 40 di L 5000 t di A

Assumendo che le sussistenze annue per un lavoratore siano composte da 3 q di G, 0,5 t di F e 10 t

di A, calcolate:

a) le quantità di merci impiegate come mezzi di produzione nell’economia nel suo complesso

b) il prodotto sociale netto

c) il sovrappiù

Svolgimento:

a) Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

400 + 200 + 200 = 800 q di G;

e analogamente il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

20 + 10 + 10 = 40 t di F;

mentre l’acciaio impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

100 + 50 + 200 = 350 t di A.

b) Per ottenere il prodotto sociale netto, occorre sottrarre al prodotto sociale lordo le merci

impiegate come mezzi di produzione:

PROD. SOC. LORDO M. di P. = PROD. SOC. NETTO

2000200

5000−

80040

350=

1200160

4650

c) Per ottenere il sovrappiù, occorre sottrarre al prodotto sociale netto le merci che

costituiscono le sussistenze dei lavoratori. Cominciamo quindi col calcolare le sussistenze

complessive di 200 lavoratori (200 = 100 + 60 + 40):

SUSS. = 3

0,510

∙ 200 = 600100

2000

PROD. SOC. NETTO SUSS. = SOVRAPPIÙ

1200160

4650−

600100

2000=

60060

2650

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Esercizio 4:

Considerate un’economia con tre sole merci: grano (G), ferro (F) e acciaio (A). Si assuma la

seguente produzione:

500 q di G 20 t di F 100 t di A 80 di L 1500 q di G

250 q di G 20 t di F 200 t di A 80 di L 200 t di F

250 q di G 10 t di F 400 t di A 40 di L 4000 t di A

Assumendo che le sussistenze annue per un lavoratore siano composte da 2,5 q di G, 0,5 t di F e 15

t di A, calcolate:

a) le quantità di merci impiegate come mezzi di produzione nell’economia nel suo complesso

b) il prodotto sociale netto

c) il sovrappiù

Svolgimento:

a) Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

500 + 250 + 250 = 1000 q di G;

e analogamente il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

20 + 20 + 10 = 50 t di F;

mentre l’acciaio impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

100 + 200 + 400 = 700 t di A.

b) Per ottenere il prodotto sociale netto, occorre sottrarre al prodotto sociale lordo le merci

impiegate come mezzi di produzione:

PROD. SOC. LORDO M. di P. = PROD. SOC. NETTO

1500200

4000−

100050

700=

500150

3300

c) Per ottenere il sovrappiù, occorre sottrarre al prodotto sociale netto le merci che

costituiscono le sussistenze dei lavoratori. Cominciamo quindi col calcolare le sussistenze

complessive di 200 lavoratori (200 = 80 + 80 + 40):

SUSS. = 2,50,515

∙ 200 = 500100

3000

PROD. SOC. NETTO SUSS. = SOVRAPPIÙ

500150

3300−

500100

3000=

050

300

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Esercizio 5:

Considerate un’economia con tre sole merci: grano (G), ferro (F) e tela (T). Si assuma la seguente

produzione:

800 q di G 20 t di F 130 di L 2000 q di G

100 q di G 5 t di F 50 di L 100 t di F

100 q di G 15 t di F 20 di L 7000 m di T

Assumendo che le sussistenze annue per un lavoratore siano composte da 2 q di G, 0,2 t di F e 10 m

di T, calcolate:

a) le quantità di merci impiegate come mezzi di produzione nell’economia nel suo complesso

b) il prodotto sociale netto

c) il sovrappiù

Svolgimento:

a) Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

800 + 100 + 100 = 1000 q di G;

e analogamente il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

20 + 5 + 15 = 40 t di F;

mentre la tela non è impiegata come mezzo di produzione in nessuna industria.

b) Per ottenere il prodotto sociale netto, occorre sottrarre al prodotto sociale lordo le merci

impiegate come mezzi di produzione:

PROD. SOC. LORDO M. di P. = PROD. SOC. NETTO

2000100

7000−

1000400

= 1000

607000

c) Per ottenere il sovrappiù, occorre sottrarre al prodotto sociale netto le merci che

costituiscono le sussistenze dei lavoratori. Cominciamo quindi col calcolare le sussistenze

complessive di 200 lavoratori (200 = 130 + 50 + 20):

SUSS. = 2

0,210

∙ 200 = 40040

2000

PROD. SOC. NETTO SUSS. = SOVRAPPIÙ

1000

607000

− 40040

2000=

60020

5000

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Esercizio 6:

Dati i seguenti coefficienti tecnici unitari:

1/3 q di G 1/80 t di F 1/8 di L 1 q di G

2 q di G 1/5 t di F 2 di L 1 t di F

costruite un’economia il cui prodotto netto è esattamente pari alle sussistenze per un lavoratore,

cioè a 2 q di G e 0,1 t di F.

Svolgimento:

Per definizione si ha che:

Prodotto Lordo – Mezzi di Produzione = Prodotto Netto.

Avendo come dati i coefficienti tecnici unitari, le quantità di merci impiegate come mezzi di

produzione dipenderanno esclusivamente dalle quantità prodotte lorde. In particolare, se indichiamo

con x la produzione lorda di grano (in quintali) e con y quella di ferro (in tonnellate), allora le

quantità di grano e ferro da impiegare come mezzi di produzione nell’economia saranno

rispettivamente:

y2x31

e y51x

801

si noti infatti che per produrre x q di G servono x31

q di G e x801

t di F; mentre analogamente per

produrre y t di F servono 2y q di G e y51

t di F.

Quindi, se x e y sono le quantità prodotte lorde di grano e ferro, allora:

Prodotto netto di grano = y2x31x

Prodotto netto di ferro = y51x

801y

Ora, noi vogliamo costruire una economia il cui prodotto netto sia esattamente 2 q di G e 0,1

t di F. Quindi, al fine di determinare le quantità lorde x e y, il sistema da risolvere è:

(1) 2y2x31x

(2) 1,0y51x

801y

Dall’equazione (1) otteniamo:

1x311x

621

6x

2xy

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14

così, sostituendo questa espressione nella (2) abbiamo:

101

51x

151x

8011x

31

da cui:

102101x

24016380

quindi:

54098,361

216610

2409x

q di G

e pertanto:

18033,0161

21631y t di F

Una volta determinato il prodotto lordo, visto che conosciamo i coefficienti tecnici unitari,

possiamo determinare i mezzi di produzione ed il lavoro necessari. In particolare:

18033,1183216

61216

31

G 04426,04880216

61216

801

F 44262,0488216

61216

81

L

54098,361

216 q di G

3606,06122

61112 G 0360,0

30511

6111

51

F 3606,06122

61112 L 1803,0

6111

t di F

Le dimensioni dell’economia tali per cui il prodotto netto è esattamente 2 q di G e 0,1 t di F saranno

dunque:

1,18 q di G 0,04 t di F 0,44 di L 3,54 q di G

0,36 q di G 0,04 t di F 0,36 di L 0,18 t di F

Verifichiamo che il prodotto netto corrisponda proprio alle sussistenze per un lavoratore:

Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia è 1,18 + 0,36 = 1,54 q di G;

il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia è 0,04 + 0,04 = 0,08 t di F.

PROD. SOC. LORDO M. di P. = PROD. SOC. NETTO

3,540,18 − 1,54

0,08 = 20,1

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15

Esercizio 7:

Dati i seguenti coefficienti tecnici unitari:

1/2 q di G 1/60 t di F 1/16 di L 1 q di G

2 q di G 1/3 t di F 1 di L 1 t di F

costruite una economia il cui prodotto netto è esattamente pari alle sussistenze per un lavoratore,

cioè a 2 q di G e 0,2 t di F.

Svolgimento:

Per definizione si ha che:

Prodotto Lordo – Mezzi di Produzione = Prodotto Netto.

Avendo come dati i coefficienti tecnici unitari, le quantità di merci impiegate come mezzi di

produzione dipenderanno esclusivamente dalle quantità prodotte lorde. In particolare, se indichiamo

con x la produzione lorda di grano (in quintali) e con y quella di ferro (in tonnellate), allora le

quantità di grano e ferro da impiegare come mezzi di produzione nell’economia saranno

rispettivamente:

yx 221 e yx

31

601

si noti infatti che per produrre x q di G servono x21 q di G e x

601 t di F; mentre analogamente per

produrre y t di F servono 2y q di G e y31 t di F.

Quindi, se x e y sono le quantità prodotte lorde di grano e ferro, allora:

Prodotto netto di grano = yxx 221

Prodotto netto di ferro = yxy31

601

Ora, noi vogliamo costruire una economia il cui prodotto netto sia esattamente 2 q di G e 0,2

t di F. Quindi, al fine di determinare le quantità lorde x e y, il sistema da risolvere è:

(1) 2221 yxx

(2) 2,031

601 yxy

Dalla equazione (1) otteniamo:

1411

42 xxxy

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16

così, sostituendo questa espressione nella (2) abbiamo:

51

31

121

6011

41 xxx

da cui:

155153

605115 x

quindi:

77778,5135780

9156013 x q di G

e pertanto:

44444,01135780

41 y t di F

Una volta determinato il prodotto lordo, visto che conosciamo i coefficienti tecnici unitari,

possiamo determinare i mezzi di produzione ed il lavoro necessari. In particolare:

88888,2135780

21 G 09629,0

135780

601 F 36111,0

135780

161 L 77778,5

135780 q di G

88888,0135602 G 14814,0

13560

31 F 44444,0

135601 L 44444,0

13560 t di F

Le dimensioni dell’economia tali per cui il prodotto netto è esattamente 2 q di G e 0,2 t di F saranno

dunque:

2,89 q di G 0,09 t di F 0,36 di L 5,78 q di G

0,89 q di G 0,15 t di F 0,44 di L 0,44 t di F

Verifichiamo che il prodotto netto corrisponda proprio alle sussistenze per un lavoratore:

Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia è 2,89 + 0,89 = 3,78 q di G;

il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia è 0,09 + 0,15 = 0,24 t di F.

PROD. SOC. LORDO M. di P. = PROD. SOC. NETTO

5,780,44 − 3,78

0,24 = 20,2

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Esercizio 8:

Dati i seguenti coefficienti tecnici unitari:

1/2 q di G 1/60 t di F 1/16 di L 1 q di G

2 q di G 1/3 t di F 1 di L 1 t di F

assumendo che le sussistenze per un lavoratore siano 2 q di G e 0,2 t di F, costruite una economia

con 100 lavoratori, il cui sovrappiù è interamente costituito di ferro.

Svolgimento:

Per definizione si ha che:

Prodotto Lordo – Mezzi di Produzione – Sussistenze = Sovrappiù.

Se indichiamo con x la produzione lorda di grano (in quintali) e con y quella di ferro (in

tonnellate), allora le quantità di grano e ferro da impiegare come mezzi di produzione

nell’economia saranno rispettivamente:

yx 221 e yx

31

601

mentre la quantità di lavoro da impiegare sarà:

yx 161 .

Ora, nel nostro caso, le produzioni lorde x e y dovranno soddisfare i seguenti requisiti: i)

devono essere impiegati complessivamente 100 lavoratori, ovvero 100161 yx ; ii) la produzione

lorda di grano x deve essere esattamente pari alla somma del grano impiegato come mezzo di

produzione e del grano dato ai lavoratori come sussistenze, ovvero

yxyxx16122

21

.

Abbiamo quindi un sistema di 2 equazioni in 2 incognite:

(1) 100161 yx

(2)

yxyxx16122

21

Dalla (2) si ottiene che:

yx 483

mentre per la (1) si ha:

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18

xy161100

per cui:

xx41400

83 ovvero 640400

58 x q di G

e

6040100640161100 y t di F.

Una volta determinato il prodotto lordo, visto che conosciamo i coefficienti tecnici unitari,

possiamo determinare i mezzi di produzione ed il lavoro necessari. In particolare:

32064021 G 7,10640

601 F 40640

161 L 640 q di G

120602 G 206031 F 60601 L 60 t di F

PROD. LORDO M. di P. SUSS. = SOVRAPPIÙ

64060 − 440

30,7 − 20020 = 0

9,3

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19

Esercizio 9:

Dati i seguenti coefficienti tecnici unitari:

1/3 q di G 1/80 t di F 1/8 di L 1 q di G

2 q di G 1/5 t di F 2 di L 1 t di F

assumendo che le sussistenze per un lavoratore siano 2 q di G e 0,1 t di F, costruite una economia

con 100 lavoratori, il cui sovrappiù è interamente costituito di ferro.

Svolgimento:

Per definizione si ha che:

Prodotto Lordo – Mezzi di Produzione – Sussistenze = Sovrappiù.

Se indichiamo con x la produzione lorda di grano (in quintali) e con y quella di ferro (in

tonnellate), allora le quantità di grano e ferro da impiegare come mezzi di produzione

nell’economia saranno rispettivamente:

y2x31

e y51x

801

mentre la quantità di lavoro da impiegare sarà:

y2x81

.

Ora, nel nostro caso, le produzioni lorde x e y dovranno soddisfare i seguenti requisiti: i)

devono essere impiegati complessivamente 100 lavoratori, ovvero 100y2x81

; ii) la produzione

lorda di grano x deve essere esattamente pari alla somma del grano impiegato come mezzo di

produzione e del grano dato ai lavoratori come sussistenze, ovvero

y2x812y2x

31x .

Abbiamo quindi un sistema di 2 equazioni in 2 incognite:

(1) 100y2x81

(2)

y2x812y2x

31x

Dalla (2) si ottiene che:

y6x125

mentre per la (1) si ha:

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20

x16150y

per cui:

x166300x

125

ovvero 947,3783001924x q di G

e

316,26684,23503890050300

1924

16150y t di F.

Una volta determinato il prodotto lordo, visto che conosciamo i coefficienti tecnici unitari,

possiamo determinare i mezzi di produzione ed il lavoro necessari. In particolare:

315,126947,37831

G 737,4947,378801

F 368,47947,37881

L 378,947 q di G

632,52316,262 G 263,5316,2651

F 632,52316,262 L 26,316 t di F

PROD. LORDO M. di P. SUSS. = SOVRAPPIÙ

378,94726,316 − 178,947

10 − 20010 = 0

6,316

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Esercizio 10:

Dati i seguenti coefficienti tecnici unitari:

1/3 q di G 1/80 t di F 1/8 di L 1 q di G

2 q di G 1/5 t di F 2 di L 1 t di F

1/500 di G 1/2000 t di F 1/1000 di L 1 m di V

assumendo che le sussistenze per un lavoratore siano 2 q di G e 0,1 t di F, costruite una economia

con 100 lavoratori, il cui sovrappiù è interamente costituito di velluto.

Svolgimento:

Seguiamo lo stesso procedimento dell’esercizio precedente. Per definizione si ha che:

Prodotto Lordo – Mezzi di Produzione – Sussistenze = Sovrappiù.

Indichiamo con x, y e z le quantità prodotte lorde, rispettivamente, di grano ferro e velluto.

Di conseguenza, dati i coefficienti tecnici, abbiamo che:

z5001y2x

31

e z2000

1y51x

801

rappresentano le quantità di grano e ferro impiegate come mezzi di produzione, mentre la quantità

di lavoro da impiegare sarà:

z1000

1y2x81

.

Le equazioni che determinano le tre incognite ora saranno [la (1) ci dice che sono impiegati

100 lavoratori, mentre la (2) e la (3) ci dicono che né il grano, né il ferro entreranno nel sovrappiù]:

(1) 100z1000

1y2x81

(2) xz1000

1y2x812z

5001y2x

31

(3) yz1000

1y2x81

101z

20001y

51x

801

Dalla soluzione del sistema si ottiene: x = 386,8; y = 22,6 e z = 6400. Quindi:

129,2 q. G 4,84 t. F 48,4 L 387,2 q. G

45,2 q. G 4,52 t. F 45,2 L 22,6 t. F

12,8 q. G 3,20 t. F 6,4 L 6400 m. V

PROD. LORDO M. di P. SUSS. = SOVRAPPIÙ

387,222,66400

− 187,212,56

0−

200100

= 00

6400

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22

Teoria classica della distribuzione e del valore

Esercizio 11:

Considerate un’economia con due merci: grano (G) e ferro (F). Si assuma la seguente produzione:

800 q di G 20 t di F 150 di L 2000 q di G

100 q di G 15 t di F 50 di L 100 t di F

Assumendo che il salario annuo per un lavoratore sia composto da 2 q di G, 0,2 t di F, calcolate i

saggi del profitto realizzati in ciascun settore se i prezzi effettivi fossero pg = 10 € e pa = 50 €.

Svolgimento:

Cominciamo col calcolare il saggio del salario in valore (cioè in euro).

W = 2 10 + 0,2 50 = 30 €

Passiamo quindi a determinare i profitti dell’industria del grano:

g = 2000 10 – (800 10 + 20 50) – 150 30 = 6500

Mentre il valore del capitale impiegato nell’industria del grano è:

Kg = 800 10 + 20 50 = 9000

Quindi:

rg = 90006500

= 0,7222 = 72,22 %

Con analogo procedimento calcoliamo, rispettivamente, i profitti, il capitale ed il saggio del profitto

realizzato nell’industria del ferro:

f = 100 50 – (100 10 + 15 50) –50 30 = 1750

Kf = 100 10 + 15 50 = 1750

rf = 17501750

= 1 = 100 %

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Esercizio 12:

Considerate un’economia con due merci: grano (G) e ferro (F). Si assuma la seguente produzione:

600 q di G 30 t di F 80 di L 1000 q di G

200 q di G 20 t di F 20 di L 200 t di F

Assumendo che il salario annuo per un lavoratore sia composto da 2 q di G, 0,1 t di F, calcolate i

saggi del profitto realizzati in ciascun settore se i prezzi effettivi fossero pg = 15 € e pa = 30 €.

Svolgimento:

Cominciamo col calcolare il saggio del salario in valore (cioè in euro).

W = 2 15 + 0,1 30 = 33 €

Passiamo quindi a determinare i profitti dell’industria del grano:

g = 1000 15 – (600 15 + 30 30) – 80 33 = 2460

Mentre il valore del capitale impiegato nell’industria del grano è:

Kg = 600 15 + 30 30 = 9900

Quindi:

rg = 99002460

= 0,2485 = 74,85 %

Con analogo procedimento calcoliamo, rispettivamente, i profitti, il capitale ed il saggio del profitto

realizzato nell’industria del ferro:

f = 200 30 – (200 15 + 20 30) –20 33 = 1740

Kf = 200 15 + 20 30 = 3600

rf = 36001740

= 0.4833 = 48.33 %

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24

Esercizio 13:

Considerate un’economia con due merci: grano (G) e ferro (F). Si assuma la seguente produzione:

800 q di G 20 t di F 150 di L 2000 q di G

100 q di G 15 t di F 50 di L 100 t di F

Calcolate il prezzo del grano e dell’acciaio ponendo il salario monetario pari a W = 60 € e il saggio

generale del profitto pari all’80 %.

Svolgimento:

Cominciamo scrivendo il sistema di equazioni che dobbiamo risolvere:

[1] (800 pg + 20 pf) (1 + 0,8) + 150 60 = 2000 pg

[2] (100 pg + 15 pf) (1 + 0,8) + 50 60 = 100 pf

ovvero:

[3] 1440 pg + 36 pf + 9000 = 2000 pg

[4] 180 pg + 27 pf + 3000 = 100 pf

che diventano:

[5] 36 pf + 9000 = 560 pg

[6] 180 pg + 3000 = 73 pf

dalla [6] otteniamo:

[8] 73

180 pg +

733000

= pf

sostituendo la [8] nella [5] abbiamo:

[9] 36 73

180 pg + 36

733000

+ 9000 = 560 pg

moltiplicando entrambi i membri della [9] per 73 si ha:

[10] 6.480 pg + 108.000+ 657.000 = 40.880 pg

ovvero:

[11] pg =

400.34000.765

480.6880.40000.657000.108

22,24 €

sostituendo il prezzo del grano nella [8] si ha:

[12] pf = 73

180 22,24 +

733000

= 95,93 €

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Esercizio 14:

Considerate un’economia con due merci: grano (G) e ferro (F). Si assuma la seguente produzione:

600 q di G 30 t di F 80 di L 1000 q di G

200 q di G 20 t di F 20 di L 200 t di F

Calcolate il prezzo del grano e dell’acciaio ponendo il salario monetario pari a W = 100 € e il

saggio generale del profitto pari al 30 %.

Svolgimento:

Cominciamo scrivendo il sistema di equazioni che dobbiamo risolvere:

[1] (600 pg + 30 pf) (1 + 0,3) + 80 100 = 1000 pg

[2] (200 pg + 20 pf) (1 + 0,3) + 20 100 = 200 pf

ovvero:

[3] 780 pg + 39 pf + 8000 = 1000 pg

[4] 260 pg + 26 pf + 2000 = 200 pf

che diventano:

[5] 39 pf + 8000 = 220 pg

[6] 260 pg + 2000 = 174 pf

dalla [6] otteniamo:

[8] 174260

pg + 1742000

= pf

sostituendo la [8] nella [5] abbiamo:

[9] 39174260

pg + 391742000

+ 8000 = 220 pg

moltiplicando entrambi i membri della [9] per 174 si ha:

[10] 10.140 pg + 78.000+ 1.392.000 = 38.280 pg

ovvero:

[11] pg = =140.10280.38

000.392.1+000.78 52,24 €

sostituendo il prezzo del grano nella [8] si ha:

[12] pf = 174260

52,24 + 1742000

= 89,55 €

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26

Esercizio 15:

Si assuma che:

Tipo di terreno Estensione Grano prodotto per ha Spese di coltivazione per ha A 4 ha 300 q 510 € B 5 ha 300 q 570 € C 3 ha 300 q 720 € D 10 ha 300 q 900 €

[ha = ettaro; q = quintale]

Si assuma inoltre che il prezzo del grano è di 4 € per quintale.

Si determinino le rendite differenziali per ettaro nel caso in cui la domanda di grano è pari a 3000 q

e nel caso in cui essa è 3900 q.

Svolgimento:

Per ottenere 3000 q di grano occorre coltivare 10 ha, di conseguenza si coltiveranno 4 ha di terre A,

5 ha di terre B e 1 ha di terre C.

Visto che le terre C sono sovrabbondanti rispetto alle esigenze della produzione (2 ha di terre C

rimangono incolti), la rendita per queste terre è nulla: C = 0. Quindi, per la coltivazione di queste

terre, l'intera differenza tra ricavi e costi andrà ai profitti. Se il prezzo del grano è pg = 4 €, allora i

ricavi per ha sono: 4300 = 1.200; togliendo le spese, che sulle terre C sono 720 per ha, otteniamo:

1.200 - 720 = 480.

Di conseguenza, il saggio del profitto che si realizza sulle terre C è: r = 480/720 = 2/3.

Se lo stesso saggio del profitto deve essere realizzato anche per la coltivazione delle terre B, allora,

dato che il capitale impiegato per ha qui è 570, l'ammontare dei profitti per ha dovrà essere: 5702/3

= 380. Vi sarà quindi una rendita per ha sulle terre B pari alla differenza tra i ricavi e le spese più i

profitti: B = 1.200 - (570 + 380) = 250.

Analogamente, per le terre A la rendita sarà: A = 1.200 - 510 (1 + 2/3) = 1.200 - (510 + 340) = 350.

Nel caso in cui la domanda di grano da soddisfare salga a 3900 q, la coltivazione del grano

richiederà 13 ha di terra. Di conseguenza si coltiveranno: 4 ha di terre A, 5 ha di terre B, 3 ha di

terre C e 1 ha di terre D.

In questo caso, D è il terreno marginale, che non paga rendita. Sul terreno D i ricavi per ha sono

sempre 4300 = 1.200, mentre i costi per ha sono 900. Quindi il saggio del profitto che si realizza

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27

dalla coltivazione delle terre D è: r = 300/900 = 1/3. Quindi la necessità di coltivare anche terre

meno fertili delle terre C ha provocato una diminuzione del saggio del profitto.

Dovendosi realizzare un saggio del profitto di r = 1/3 anche per la coltivazione delle terre A, B e C,

le rendite si stabiliranno ai seguenti livelli:

A = 1.200 - 510 (1 + 1/3) = 1.200 - (510 + 170) = 520

B = 1.200 - 570 (1 + 1/3) = 1.200 - (570 + 190) = 440

C = 1.200 - 720 (1 + 1/3) = 1.200 - (720 + 240) = 240.

Quindi, in conclusione, alla diminuzione del saggio del profitto si accompagna l'incremento delle

rendite differenziali su tutti e tre i tipi di terra precedentemente coltivati.

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28

Esercizio 16:

Considerate un’economia con due merci: grano (G) e ferro (F). Si assuma la seguente produzione:

250 q di G 12 t di F 6 di L 575 q di G

100 q di G 8 t di F 4 di L 20 t di F

Assumendo che il salario annuo per un lavoratore sia composto da 5 q di G, corrisposti all’inizio del

ciclo produttivo, calcolate il saggio generale del profitto ed il prezzo relativo del ferro in termini di

grano.

Svolgimento:

Cominciamo scrivendo il sistema di equazioni che dobbiamo risolvere:

250pg+12pf+6∙5pg (1+r)=575pg

100pg+8pf+4∙5pg (1+r)=20pf

ovvero:

0,435pg+0,02pf+0,01∙5pg (1+r)=pg

5pg+0,4pf+0,2∙5pg (1+r)=pf

Si noti che il saggio del profitto è applicato anche al valore dei salari in quanto questi ultimi fanno

parte del capitale anticipato.

Occorre fissare un numerario onde ottenere due equazioni in due incognite:

⎩⎪⎨

⎪⎧ 0,435 +0,02

pfpg

+0,01∙5 (1+r)=1

5 +0,4pfpg

+0,2∙5 (1+r)=pfpg

che diventano:

⎩⎪⎨

⎪⎧ 0,485 +0,02

pfpg

(1+r)=1

6 +0,4 pfpg

(1+r)=pfpg

dalla prima equazione otteniamo:

[1] pfpg= 1

0,02(1+r)−

0,4850,02

= 50(1+r)

− 24,25

Sostituendo la [1] nella seconda equazione abbiamo:

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29

6(1+r) +0,4∙50− 0,4∙24,25(1+r) =50

(1+r) − 24,25

che diventa:

44,25 − 3,7 (1+r)=50

(1+r)

cioè:

3,7 (1+r)2 − 44,25(1+r)+ 50 = 0

Risolvendo l’equazione di secondo grado in (1 + r) si ottengono due soluzioni reali e distinte:

(1+r) = 44,25± 44,252 − 4∙3,7∙50

2∙3,7

(1+r)1 = 1,263 (1+r)2 = 10,696

Sostituendo nella [1] i due valori del saggio del profitto ottenuti si ha: pfpg1

= 15,33 pfpg2

= − 19,57

Si ottiene un unico prezzo economicamente significativo (la soluzione che implica un prezzo

negativo è, evidentemente, non accettabile), da cui deduciamo che r = 26,3% e pfpg

= 15,33.

Analizziamo le due industrie (per comodità arrotondiamo considerando r = 25% e pfpg

= 15).

Per quanto riguarda l’industria del ferro, delle 20 t prodotte, 8 t vanno a reintegrare il ferro usato

come mezzo di produzione e 12 t vengono vendute al prezzo di 15 q di grano per tonnellata

ottenendo così 180 q di G. Di questi,100 q vanno a reintegrare il grano usato come mezzo di

produzione, 20 q sono destinati ai salari, e 60 q costituiscono il profitto al saggio del 25% sui 240 q

di grano che rappresentano il valore complessivo del grano e del ferro anticipati. Infatti:

(100 + 8 ∙ 15 + 20) ∙ 0,25 = 240 ∙ 0,25 = 60

Per quanto riguarda l’industria del grano, dei 575 q prodotti, 250 q vanno a reintegrare il grano

usato come mezzo di produzione, 30 q sono destinati ai salari, 115 q costituiscono il profitto al

saggio del 25% sui 460 q di grano che rappresentano il valore complessivo del grano e del ferro

anticipati. Infatti:

(250 + 12 ∙ 15 + 30) ∙ 0,25 = 460 ∙ 0,25 = 115

Infine, i 180 q di grano rimanenti vengono venduti ottenendo 12 t di ferro vanno a reintegrare il

ferro usato come mezzo di produzione.

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30

Teoria del Consumatore

Esercizio 17:

Considerate un’economia con due soli beni di consumo: [x] e [y].

Le preferenze di un certo individuo sono rappresentate dalla funzione di utilità: u = x2 y.

a) Ordinate, secondo le preferenze dell’individuo, i panieri: A = (2, 6); B = (3, 3); C = (3, 4).

b) Trovate l’equazione della curva di indifferenza che passa per il paniere D = (2, 3)

c) Trovate un paniere che l’individuo giudica indifferente a D.

Svolgimento:

a) Associamo, attraverso la funzione di utilità, dei numeri ai panieri A, B e C:

u(A) = (2)2 6 = 4 6 = 24

u(B) = (3)2 3 = 9 3 = 27

u(C) = (3)2 4 = 9 4 = 36

Quindi, poiché u(C) > u(B) > u(A), si ha C ≻ B ≻ A.

b) Attraverso la funzione di utilità sappiamo che u(D) = (2)2 3 = 4 3 = 12.

Di conseguenza, la curva di indifferenza che passa per D sarà formata da tutti i panieri a cui la

funzione di utilità associa il numero 12, ovvero:

12 = x2 y

cioè:

y = 12 / x2.

c) Ponete x = 1, quindi si deve avere y = 12 / 12 = 12. Pertanto (1, 12) è un paniere

indifferente a D. [Ancora, ponete x = 3, allora y = 12 / 32 = 12 / 9 = 4 / 3. Pertanto (3, 4/3) è un altro

paniere indifferente a D.]

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31

Esercizio 18:

Considerate un’economia con due soli beni di consumo: abitazione e cibo.

Considerate un individuo con saggio marginale di sostituzione MRS = xy , in cui x è la quantità

di alloggio consumata e y quella di cibo.

Determinate il paniere ottimale del consumatore ponendo: M = 60, PA = 10, PC = 5.

Svolgimento:

Sappiamo che il paniere ottimale è individuato dalle seguenti condizioni:

1) il paniere ottimale appartiene al vincolo di bilancio;

2) in corrispondenza del paniere ottimale si ha MRS = PA/PC.

Possiamo quindi scrivere il seguente sistema di due equazioni in due incognite:

i) 60 = 10 x* + 5 y*

ii) 5

10**

xy

Cominciamo dalla (ii), ed eleviamo al quadrato entrambi i membri (si noti che entrambi i membri

sono positivi e quindi ciò non comporta la perdita di alcuna informazione):

4**

xy

che implica y* = 4 x*

Ora sostituiamo questo risultato nella (i) ottenendo:

60 = 10 x* + 20 x* ovvero 60 = 30 x* cioè x* = 2 m2 di alloggio

e quindi: y* = 4 x* = 8 Kg di cibo

Pertanto, il paniere ottimale è (2, 8).

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32

Esercizio 19:

Considerate un’economia con due soli beni di consumo: [x] e [y].

Le preferenze di un certo individuo sono rappresentate dalla funzione di utilità: u = yx .

a) Ordinate, secondo le preferenze dell’individuo, i panieri: A = (1, 25); B = (9, 9); C = (4, 16).

b) Trovate l’equazione della curva di indifferenza che passa per il paniere D = (2, 2)

c) Trovate un paniere che l’individuo giudica indifferente a D.

Svolgimento:

a) Associamo, attraverso la funzione di utilità, dei numeri ai panieri A, B e C:

u(A) = 251 = 1 5 = 5

u(B) = 99 = 3 3 = 9

u(C) = 164 = 2 4 = 8

Quindi, poiché u(B) > u(C) > u(A), si ha B ≻ C ≻ A.

b) Attraverso la funzione di utilità sappiamo che u(D) = 22 = 22 = 2.

Di conseguenza, la curva di indifferenza che passa per D sarà formata da tutti i panieri a cui la

funzione di utilità associa il numero 2, ovvero:

2 = yx

cioè:

4 = yx

y = 4 / x.

c) Ponete x = 1, quindi si deve avere y = 4 / 1 = 4. Pertanto il paniere E = (1, 4) è un paniere

indifferente a D. Infatti u(E) = 41 = 1 2 = 2 = u(D).

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33

Esercizio 20:

Considerate un’economia con due soli beni di consumo: [x] e [y].

Considerate un individuo con saggio marginale di sostituzione MRS = xy

2,08,0 , in cui x e y sono le

quantità consumate dei due beni.

Determinate il paniere ottimale del consumatore ponendo: M = 100, Px = 8, Py = 20.

Svolgimento:

Sappiamo che il paniere ottimale è individuato dalle seguenti condizioni:

1) il paniere ottimale appartiene al vincolo di bilancio;

2) in corrispondenza del paniere ottimale si ha MRS = Px/Py.

Possiamo quindi scrivere il seguente sistema di due equazioni in due incognite:

i) 100 = 8 x* + 20 y*

ii) *2,0*8,0

xy

208

Cominciamo dalla (ii):

8,02,0

208

**

xy che implica y* = 0,1 x*

Ora sostituiamo questo risultato nella (i) ottenendo:

100 = 8 x* + 20 0,1 x* ovvero 100 = 10 x* cioè x* = 10

e quindi: y* = 0,1 x* = 1

Pertanto, il paniere ottimale è (10,1).

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34

Esercizio 21:

Considerate una economia con due soli beni di consumo: abitazione e cibo.

Considerate un individuo con funzione di utilità u = 0,6 log x + 0,4 log y, in cui x è la quantità di

alloggio consumata e y quella di cibo.

Determinate il paniere ottimale del consumatore ponendo: M = 60, PA = 3, PC = 4.

Svolgimento:

Dobbiamo risolvere il seguente problema di massimizzazione vincolata:

60 y 4 x 3 s.v.

log(y)0,4 log(x)0,6 maxy,x

Abbiamo quindi la funzione lagrangiana:

)60y4x3()ylog(4,0)xlog(6,0),y,x(L

Per trovare il punto di massimo della funzione lagrangiana, abbiamo le seguenti condizioni del

primo ordine:

i) 03x16,0

xL

ii) 04y14,0

yL

iii) 060y4x3L

Dalla (i) segue che: x36,0

; mentre dalla (ii) si ha: y44,0

, quindi:

y44,0

x36,0 ovvero 4y = (0,4 / 0,6) 3 x = 2x

Utilizzando questo risultato nella (iii) abbiamo:

3x + 2x – 60 = 0 ovvero x = 60 / 5 = 12

e

y = 2x/4 = 6

Quindi: (x*, y*) = (12, 6)

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Esercizio 22:

Considerate una economia con due soli beni di consumo: abitazione e cibo.

Considerate un individuo con funzione di utilità u = log x + log y, in cui x è la quantità di

alloggio consumata e y quella di cibo.

Determinate il paniere ottimale del consumatore come funzione del reddito M e dei prezzi Px e Py.

Svolgimento:

Dobbiamo risolvere il seguente problema di massimizzazione vincolata:

M y P x P s.v.

log(y) log(x) max

yx

y,x

Abbiamo quindi la funzione lagrangiana:

)MyPxP()ylog()xlog(),y,x(L yx

Per trovare il punto di massimo della funzione lagrangiana, abbiamo le seguenti condizioni del

primo ordine:

i) 0Px1

xL

x

ii) 0Py1

yL

y

iii) 0MyPxPLyx

Dalla (i) segue che: xPx

; mentre dalla (ii) si ha:

yPy

, quindi:

yPxP yx

ovvero Py y = ( / ) Px x

Utilizzando questo risultato nella (iii) abbiamo:

0MxPxP xx

ovvero x = xP)(

M

e

y = yP)(

M

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Esercizio 23:

Data la funzione di domanda inversa: P = 100 – 2 Q, calcolate l’elasticità della domanda al prezzo

(in valore assoluto) per P = 20.

La domanda è rigida o elastica?

Svolgimento:

Sappiamo che:

QP

dQdPPdPQdQ

1||

il livello del prezzo P lo conosciamo ed è 20, dobbiamo determinare Q e dP/dQ.

Con i dati del nostro esempio, dP/dQ = - 2, mentre:

Q = (P – 100) / (- 2) = 40.

Quindi:

41

21

21

4020

21||

Inoltre, essendo l’elasticità, in valore assoluto, inferiore ad 1, la domanda è rigida.

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37

Esercizio 24:

Data la funzione di domanda inversa: P = 10 – 0,5 Q, calcolate l’elasticità della domanda al prezzo

(in valore assoluto) per P = 6.

La domanda è rigida o elastica?

Svolgimento:

Sappiamo che:

QP

dQdPPdPQdQ

1||

il livello del prezzo P lo conosciamo ed è 5, dobbiamo determinare Q e dP/dQ.

Con i dati del nostro esempio, dP/dQ = – 0,5, mentre:

Q = (P – 10) / (– 0,5) = (– 4)/ (– 0,5) = 8.

Quindi:

23

432

86

0,5 -1||

Inoltre, essendo l’elasticità, in valore assoluto, maggiore di 1, la domanda è elastica.

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38

Esercizio 25:

Sul mercato del bene x ci sono due acquirenti, Tizio e Caio. Tizio ha funzione di domanda inversa:

P = 10 – 0,5 QT; mentre Caio: P = 15 – 0,75 QC.

Calcolate la domanda complessiva per: a) P = 5; b) P = 12.

Svolgimento:

Per cominciare conviene passare dalle funzioni di domanda inversa alle funzioni di

domanda. Quindi:

QT = (P – 10) / (– 0,5) = 20 – 2 P

e

QC = (P – 15) / (– 0,75) = 20 – 4/3 P.

a) Se P = 5, allora:

QT = 20 – 2 5 = 10

e

QC = 20 – 4/3 5 = 13,33

di conseguenza la quantità complessivamente domanda è: Q = 10 + 13,33 = 23,33.

b) Se P = 12, il prezzo eccede il prezzo massimo (o di riserva) che Tizio è disposto a

spendere, che è pari a 10 (infatti per P = 10 si ha QT = 0). Quindi il solo acquirente che rimane sul

mercato è Caio, la cui domanda è:

QC = 20 – 4/3 12 = 4

pertanto la domanda complessiva a questo prezzo è Q = 4.

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Esercizio 26:

Sul mercato del bene x ci sono due acquirenti, Tizio e Caio. Tizio ha funzione di domanda inversa:

P = 100 – 2 QT; mentre Caio: P = 60 – 3 QC.

Calcolate la domanda complessiva per: a) P = 50; b) P = 80.

Svolgimento:

Per cominciare conviene passare dalle funzioni di domanda inversa alle funzioni di

domanda. Quindi:

QT = (P – 100) / (– 2) = 50 – 0,5 P

e

QC = (P – 60) / (– 3) = 20 – 1/3 P.

a) Se P = 50, allora:

QT = 50 – 0,5 50 = 25

e

QC = 20 – 1/3 50 = 3,33

di conseguenza la quantità complessivamente domanda è: Q = 25 + 3,33 = 28,33.

b) Se P = 80, il prezzo eccede il prezzo massimo (o di riserva) che Caio è disposto a

spendere, che è pari a 60 (infatti per P = 60 si ha QC = 0). Quindi il solo acquirente che rimane sul

mercato è Tizio, la cui domanda è:

QT = 50 – 0,5 80 = 10

pertanto la domanda complessiva a questo prezzo è Q = 10.

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Teoria Marginalista della Produzione

Esercizio 27:

Data la funzione di produzione Cobb-Douglas: Q = m K L,

a) dimostrate che assumendo + = 1 la funzione ha rendimenti costanti di scala;

b) calcolate il prodotto medio ed il prodotto marginale del lavoro e del capitale.

Inoltre, assumendo + = 1, dimostrate che:

c) aumentando del 30% l’impiego di entrambi i fattori i prodotti marginali non cambiano;

d) il prodotto medio del lavoro è sempre maggiore del prodotto marginale del lavoro;

e) se entrambi i fattori sono remunerati a saggi pari ai loro prodotti marginali, allora il prodotto

(netto) è appena sufficiente per pagare i salari ai lavoratori e gli interessi sul capitale.

Svolgimento:

a) Poniamo K = K0 e L = L0, di conseguenza: Q0 = m K0 L0

. Facciamo ora aumentare

l’impiego di capitale e lavoro di una stessa percentuale, ovvero poniamo: K1 = K0 e L1 = L0 con

> 1. Abbiamo quindi:

Q1 = m K1 L1

= m (K0) (L0) = m K0 L0

= m + K0 L0

= + Q0

Quindi + = 1 implica rendimenti costanti di scala.

b) Per definizione il prodotto medio di un fattore è pari al rapporto tra la quantità prodotta e

la quantità impiegata di quel fattore. Quindi:

APL = 1LmKL

LmKLQ

cioè APL =

LKmLmK

APK =

LmKK

LmKKQ 1 cioè APK =

KLmLmK .

Il prodotto marginale di un fattore è invece l’incremento di prodotto che si ottiene

aumentando l’impiego di quel fattore di una unità, freme restando le quantità impiegate degli altri

fattori, e si calcola tramite la derivata parziale della funzione della produzione:

MPL = 1LmKLQ

cioè MPL =

LKmLKm

MPK = LKmKQ 1 cioè MPK =

KLmLKm .

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41

c) In una posizione iniziale in cui l’impiego di lavoro e capitale è (L0, K0), i prodotti

marginali sono:

MPL =

0

0

LKm e MPK =

0

0

KLm .

Se aumentiamo del 30% l’impiego di entrambi i fattori, passiamo ad un impiego di capitale e lavoro

pari a (L1, K1) = (1,3L0, 1,3K0), quindi:

MPL =

0

0

0

0

1

1

LKm

L3,1K3,1m

LKm

MPK =

0

0

0

0

1

1

KLm

K3,1L3,1m

KLm .

Quindi, se + = 1 (cioè se ci sono rendimenti costanti di scala), i prodotti marginali dipendono

solo dal rapporto tra le quantità impiegate dei fattori (cioè dalla tecnica in uso) e non dalla scala.

d) Questa dimostrazione è molto semplice:

APL =

LKm e MPL =

LKm

quindi:

MPL = APL

e siccome + = 1, allora < 1 e quindi MPL < APL .

Questo risultato implica chiaramente che il prodotto medio del lavoro deve avere un andamento

monotono decrescente, perché il prodotto marginale del lavoro è sempre inferiore ad esso.

e) Se poniamo:

w = MPL =

LKm e r = MPK =

KLm ,

allora:

wL + rK =

LKm L +

KLm K = LKmLKm 11

e poiché + = 1, allora:

wL + rK = LKmLKm = LmK)( = LmK = Q.

Quindi il prodotto è appena sufficiente per pagare i salari e gli interessi a saggi pari ai prodotti

marginali del lavoro e del capitale.

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42

Esercizio 28:

Si assumano i seguenti dati:

- prodotto marginale del lavoro: MPL = L1

- prodotto marginale del capitale: MPK = K1

- saggio del salario: w = 20

- tasso dell’interesse: r = 50 %

Trovate la combinazione ottimale di lavoro e capitale per un livello di costo: 1000C .

Svolgimento:

La combinazione ottimale di capitale e lavoro deve soddisfare le due condizioni:

(1) rw

MPKMPL

(2) rKwLC .

Cominciamo dalla condizione (1), nel nostro abbiamo:

LK

LK

K1:

L1

MPKMPL

e 405,0

20rw

quindi:

40LK

da cui segue che:

1600LK ovvero K = 1600 L.

Utilizzando questo risultato nella (2) abbiamo:

1000 = 20 L + 0,5 (1600 L)

ovvero:

1000 = 820 L e cioè L = 820

1000 = 1,22

che implica:

K = 1600 1,22 = 1951,22.

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43

Esercizio 29:

Si assumano i seguenti dati:

- prodotto marginale del lavoro: MPL = 2LK

- prodotto marginale del capitale: MPK = L2

- saggio del salario: w = 10

- tasso dell’interesse: r = 20 %

Trovate la combinazione ottimale di lavoro e capitale per un livello di costo: 540C .

Svolgimento:

La combinazione ottimale di capitale e lavoro deve soddisfare le due condizioni:

(1) rw

MPKMPL

(2) rKwLC .

Cominciamo dalla condizione (1), nel nostro abbiamo:

LK

LLK

MPKMPL 22

2 e 502,0

10

rw

quindi:

502

LK

da cui segue che:

K = 25 L.

Utilizzando questo risultato nella (2) abbiamo:

540 = 10 L + 0,2 (25 L)

ovvero:

540 = 15 L e cioè L = 15540 = 36

che implica:

K = 25 36 = 900.

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44

Esercizio 30:

Si assumano i seguenti dati:

- funzione della produzione: LKQ

- prodotto marginale del lavoro: MPL = LK

- prodotto marginale del capitale: MPK = KL

- saggio del salario: w = 10

- tasso dell’interesse: r = 40 %

Trovate la combinazione ottimale di lavoro e capitale per un livello di produzione: 100Q .

Svolgimento:

La combinazione ottimale di capitale e lavoro deve soddisfare le due condizioni:

(1) rw

MPKMPL

(2) LKQ .

Cominciamo dalla prima, che nel nostro caso assume la forma:

4,010

KLLK

ovvero:

4,010

LK da cui segue: L = 0,04 K.

Utilizziamo questo risultato nella (2):

K2,0100K04,0100KK04,0100LK100 2

e quindi K = 500 e L = 0,04 500 = 20.

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45

Esercizio 31:

Si assumano i seguenti dati:

- funzione della produzione: Q=KL2

- prodotto marginale del lavoro: MPL = 2LK

- prodotto marginale del capitale: MPK = L2

- saggio del salario: w = 20

- tasso dell’interesse: r = 50 %

Trovate la combinazione ottimale di lavoro e capitale per un livello di produzione: 2500Q .

Svolgimento:

La combinazione ottimale di capitale e lavoro deve soddisfare le due condizioni:

(1) rw

MPKMPL

(2) 2K LQ .

Cominciamo dalla prima, che nel nostro caso assume la forma:

5,0202

2 LLK

ovvero:

20LK da cui segue: K = 20L .

Utilizziamo questo risultato nella (2): 332 1252025002500 LLLK

e quindi L = 5 e K = 20 5 = 100.

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Concorrenza Perfetta

Esercizio 32:

Si immagini una impresa che opera in Concorrenza Perfetta nel breve periodo, con costi fissi

pari a FC = 10 e costi variabili VC = 10 Q + 0,75 Q2 (quindi: MC = 10 + 1,5 Q).

Supponendo che il prezzo di mercato della merce in questione sia P = 19, si determini:

a) la quantità che l’impresa ha convenienza ad offrire;

b) l’ammontare dei profitti (o extraprofitti) realizzati dall’impresa.

c) la quantità per cui il costo medio totale è minimo, ed il minimo costo medio totale.

Svolgimento:

a) Sappiamo che la quantità che l’impresa ha convenienza ad offrire è quella per cui il ricavo

marginale, che in concorrenza perfetta è sempre pari al prezzo, eguaglia il costo marginale. Quindi,

nel nostro caso:

(1) 19 = 10 + 1,5 Q

ovvero: Q* = 6.

b) Per determinare l’ammontare dei profitti realizzati dall’impresa dobbiamo fare la

differenza tra il ricavo totale ed il costo totale.

Il ricavo totale è:

TR = P Q = 19 6 = 114

Il costo totale è invece la somma di costi fissi e variabili, ovvero:

TC = 10 + 10 Q + 0,75 Q2 = 10 + 10 6 + 0,75 36 = 97.

Quindi: TR – TC = 114 – 97 = 17.

c) Il costo medio totale è:

ATC = Q10 + 10 + 0,75 Q.

Nel punto di minimo del ATC esso è pari al costo marginale, quindi il punto di minimo può essere

trovato ponendo ATC = MC, ovvero:

Q10 + 10 + 0,75 Q = 10 + 1,5 Q

da cui:

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47

Q10 = 0,75 Q ovvero 2Q

75,010

e quindi:

65,333,1375,0

10Q .

Pertanto:

min ATC = 65,3

10 + 10 + 0,75 3,65 = 15,48

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Esercizio 33:

Si immagini una impresa che opera in Concorrenza Perfetta nel breve periodo, con costi fissi

pari a FC = 40 e costi variabili VC = 20 Q + 0,5 Q2 (quindi: MC = 20 + Q).

Supponendo che il prezzo di mercato della merce in questione sia P = 30, si determini:

a) la quantità che l’impresa ha convenienza ad offrire;

b) l’ammontare dei profitti (o extraprofitti) realizzati dall’impresa.

c) la quantità per cui il costo medio totale è minimo, ed il minimo costo medio totale.

Svolgimento:

a) Sappiamo che la quantità che l’impresa ha convenienza ad offrire è quella per cui il ricavo

marginale, che in concorrenza perfetta è sempre pari al prezzo, eguaglia il costo marginale. Quindi,

nel nostro caso:

(1) 30 = 20 + Q

ovvero: Q* = 10.

b) Per determinare l’ammontare dei profitti realizzati dall’impresa dobbiamo fare la

differenza tra il ricavo totale ed il costo totale.

Il ricavo totale è:

TR = P Q = 10 30 = 300

Il costo totale è invece la somma di costi fissi e variabili, ovvero:

TC = 40 + 20 Q + 0,5 Q2 = 40 + 20 10 + 0,5 100 = 290.

Quindi: TR – TC = 300 – 290 = 10.

c) Il costo medio totale è:

ATC = Q

Q5,0+Q20+40 2

= Q40

+ 20 + 0,5 Q.

Nel punto di minimo del ATC esso è pari al costo marginale, quindi il punto di minimo può essere

trovato ponendo ATC = MC, ovvero:

Q40

+ 20 + 0,5 Q = 20 + Q

da cui: Q40

= 0,5 Q ovvero 2Q=5,0

40

e quindi: 94,8=80=5,0

40=Q .

Pertanto: min ATC = 94,8

40 + 20 + 0,5 8,94 = 28,94

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Monopolio

Esercizio 34:

Si consideri un caso di monopolio con i seguenti dati:

- funzione di domanda inversa: P = 100 – 2 Q;

- funzione di costo totale: TC = 20 Q.

Si determini la quantità prodotta, il prezzo praticato dal monopolista e gli (extra-)profitti realizzati.

Svolgimento:

La quantità prodotta dal monopolista è quella per cui il costo marginale è pari al ricavo

marginale. Nel nostro caso, il costo marginale è:

MC = 20

mentre il ricavo marginale è:

MR = 100 – 4 Q (si ricordi infatti che se la funzione di domanda inversa è una retta, allora la

funzione del ricavo marginale è anch’essa una retta, con la stessa intercetta verticale della funzione

di domanda inversa, ma con pendenza doppia).

Di conseguenza, la quantità ottimale, cioè quella che massimizza i profitti, è tale che:

20 = 100 – 4 Q

ovvero: Q* = 80/4 = 20.

Per determinare il prezzo praticato dal monopolista basta mettere la quantità Q* nella

funzione di domanda inversa:

P* = 100 – 2 Q* = 100 – 40 = 60.

Infine, i profitti del monopolista saranno:

* = TR – TC = P* Q* – 20 Q* = 60 20 – 20 20 = 1200 – 400 = 800.

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Esercizio 35:

Si consideri un caso di monopolio con i seguenti dati:

- funzione di domanda inversa: P = 90 – 2 Q;

- funzione di costo totale: TC = 30 Q.

Si determini la quantità prodotta, il prezzo praticato dal monopolista e gli (extra-)profitti realizzati.

Svolgimento:

La quantità prodotta dal monopolista è quella per cui il costo marginale è pari al ricavo

marginale. Nel nostro caso, il costo marginale è:

MC = 30

mentre il ricavo marginale è:

MR = 90 – 4 Q (si ricordi infatti che se la funzione di domanda inversa è una retta, allora la

funzione del ricavo marginale è anch’essa una retta, con la stessa intercetta verticale della funzione

di domanda inversa, ma con pendenza doppia).

Di conseguenza, la quantità ottimale, cioè quella che massimizza i profitti, è tale che:

30 = 90 – 4 Q

ovvero: Q* = 60/4 = 15.

Per determinare il prezzo praticato dal monopolista basta mettere la quantità Q* nella

funzione di domanda inversa:

P* = 90 – 2 Q* = 90 – 30 = 60.

Infine, i profitti del monopolista saranno:

* = TR – TC = P* Q* – 30 Q* = 60 15 – 30 15 = 900 – 450 = 450.

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51

Esercizio 36:

Si consideri un caso di monopolio con i seguenti dati:

- funzione di domanda inversa: P = 60 – 3 Q;

- funzione di costo totale: TC = 30 Q.

Si determini la quantità prodotta, il prezzo praticato dal monopolista e gli (extra-)profitti realizzati.

Svolgimento:

La quantità prodotta dal monopolista è quella per cui il costo marginale è pari al ricavo

marginale. Nel nostro caso, il costo marginale è:

MC = 30

mentre il ricavo marginale è:

MR = 60 – 6 Q (si ricordi infatti che se la funzione di domanda inversa è una retta, allora la

funzione del ricavo marginale è anch’essa una retta, con la stessa intercetta verticale della funzione

di domanda inversa, ma con pendenza doppia).

Di conseguenza, la quantità ottimale, cioè quella che massimizza i profitti, è tale che:

30 = 60 – 6 Q

ovvero: Q* = 30/6 = 5.

Per determinare il prezzo praticato dal monopolista basta mettere la quantità Q* nella

funzione di domanda inversa:

P* = 60 – 3 Q* = 60 – 15 = 45.

Infine, i profitti del monopolista saranno:

* = TR – TC = P* Q* – 30 Q* = 45 5 – 30 5 = 225 – 150 = 75.

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Oligopolio di Cournot

Esercizio 37:

Si consideri un caso di oligopolio di Cournot con due imprese ed i seguenti dati:

- funzione di domanda inversa: P = 100 – 2 Q, con Q = Q1 + Q2;

- funzione di costo totale di ciascuna impresa: TC = 20 Qi , con i = 1, 2.

Si determini la quantità complessivamente prodotta ed il prezzo.

Svolgimento:

Come primo passo occorre determinare la funzione di reazione delle imprese. Cominciamo

dall’impresa 1, per l’impresa 1 il ricavo totale è:

TR1 = P Q1 = (100 – 2 Q1 – 2 Q2) Q1 = 100 Q1 – 2 Q12 – 2 Q2 Q1 .

Di conseguenza, il ricavo marginale dell’impresa 1 è:

MR1 = 100 – 4 Q1 – 2 Q2 .

mentre il costo marginale dell’impresa 1 è:

MC = 20.

Ponendo l’uguaglianza del ricavo marginale al costo marginale, si ha:

100 – 4 Q1 – 2 Q2 = 20

e cioè:

(1) Q1* = 80/4 – 2/4 Q2 = 20 – 0,5 Q2

che è la funzione di reazione ottima dell’impresa 1.

Analogamente, per l’impresa 2 avremo:

(2) Q2* = 20 – 0,5 Q1 .

Di conseguenza, sostituendo la (2) nella (1) abbiamo:

Q1* = 20 – 0,5 Q2 = 20 – 0,5 (20 – 0,5 Q1) = 20 – 10 + 0,25 Q1

da cui si ottiene:

Q1* = 10 / 0,75.

Essendo l’impresa 2 identica alla 1, avremo che:

Q* = Q1* + Q2* = 20 / 0,75 = 26,67.

E quindi il prezzo sarà:

P* = 100 – 2 26, 67 = 100 – 53,33 = 46,67.

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Esercizio 38:

Si consideri un caso di oligopolio di Cournot con due imprese ed i seguenti dati:

- funzione di domanda inversa: P = 60 – 3 Q, con Q = Q1 + Q2;

- funzione di costo totale di ciascuna impresa: TC = 30 Qi , con i = 1, 2.

Si determini la quantità complessivamente prodotta ed il prezzo.

Svolgimento:

Come primo passo occorre determinare la funzione di reazione delle imprese. Cominciamo

dall’impresa 1, per l’impresa 1 il ricavo totale è:

TR1 = P Q1 = (60 – 3 Q1 – 3 Q2) Q1 = 60 Q1 – 3 Q12 – 3 Q2 Q1 .

Di conseguenza, il ricavo marginale dell’impresa 1 è:

MR1 = 60 – 6 Q1 – 3 Q2 .

mentre il costo marginale dell’impresa 1 è:

MC = 30.

Ponendo l’uguaglianza del ricavo marginale al costo marginale, si ha:

60 – 6 Q1 – 3 Q2 = 30

e cioè:

(1) Q1* = 30/6 – 3/6 Q2 = 5 – 0,5 Q2

che è la funzione di reazione ottima dell’impresa 1.

Analogamente, per l’impresa 2 avremo:

(2) Q2* = 5 – 0,5 Q1 .

Di conseguenza, sostituendo la (2) nella (1) abbiamo:

Q1* = 5 – 0,5 Q2 = 5 – 0,5 (5 – 0,5 Q1) = 5 – 2,5 + 0,25 Q1

da cui si ottiene:

Q1* = 2,5 / 0,75.

Essendo l’impresa 2 identica alla 1, avremo che:

Q* = Q1* + Q2* = 5 / 0,75 = 6,67.

E quindi il prezzo sarà:

P* = 60 – 3 6, 67 = 60 – 20,01 = 39,99.