Metodologie informatiche per la chimica · Matrici e determinanti - esempio Data una matrice 2x2 Il...
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Metodologie informatiche per la chimica Dr. Sergio Brutti Matrici
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Metodologie informatiche per la
chimica
Dr. Sergio Brutti
Matrici
Determinanti: metodo dei minori
Data una matrice n x n con elementi xij
Il suo determinante sarà dato dalla somma dei determinanti di tutti i suoi
minori (n-1) x (n-1) ottenuti cancellando ciascun elemento x1j’ della riga
1 (e la corrispondente colonna j’) e moltiplicati per (-1)1+j’x1j’
nnnn
n
n
xxx
xxx
xxx
A
21
22221
11211
Con i numero di riga e j
numero di colonna
11
1221
1
1
1
221
12
21
2
222
11
11det1det1det1det
nnn
n
n
n
nnn
n
nnn
n
xx
xx
x
xx
xx
x
xx
xx
xA
Matrici e determinanti
Data una matrice 2x2
Il suo determinante sarà dato dal prodotto a croce tra i suoi elementi
2221
1211
xx
xxB
211222112112
21
2211
1111det xxxxxxxxB
Nel caso di una matrice 3x3:
yxyxzzxzxyzyzyx
yx
yxz
zx
zxy
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
det1det1det1det312111
Matrici e determinanti - esempio
Data una matrice 2x2
Il suo determinante sarà dato dal prodotto a croce tra i suoi elementi
21
32
7312221
32det
Nel caso di una matrice 3x3 al fine di calcolarne il determinante si
può usare il cosiddetto metodo generale:
1102115021
131211312011111
13
121
13
120
11
111
113
112
101
det
Matrice trasposta
Data una matrice 2x2
La sua matrice trasposta si otterrà scambiando le righe con le colonne
dc
ba
db
ca
Nel caso di una matrice 3x3 il meccanismo è lo stesso:
zzz
yyy
xxx
zyx
zyx
zyx
trasposta
Matrice trasposta - esempio
Data una matrice 2x2
La sua matrice trasposta è
43
21
42
31
Nel caso di una matrice 3x3 allo stesso modo:
221
111
100
211
210
110
trasposta
Matrice identità – definizione e proprietà
Si definisce matrice identità una matrice n x n i cui elementi sono
tutti nulli tranne quelli giacenti sulla diagonale principale. Questi
ultimi sono tutti unitari.
La matrice identità gode di alcune proprietà particolari:
10
01
0110
01det
Il suo determinante
è unitario
100
010
001
100
010
001
trasposta
100
010
001
La sua matrice trasposta è
sempre pari alla matrice identità
Prodotto vettoriale tra vettori
Dati due vettori u e v di equazione
Descritti dai seguenti vettori-colonna
Il prodotto vettoriale tra i due vettori è dato dal determinante della seguente
matrice 3x3:
zcybxav
c
b
a
v
zcybxau
c
b
a
u
cba
cba
zyx
vuw
det
Il risultato è un nuovo vettore che non appartiene allo spazio
vettoriale di partenza
Prodotto vettoriale tra vettori - esempio
Dati due vettori u e v di equazione
Descritti dai seguenti vettori-colonna
Il prodotto vettoriale tra i due vettori è dato dal determinante della seguente
matrice 3x3:
zyxv 112
1
1
2
v
zyxu 111
1
1
1
u
1
1
0
110
111
112det zyx
zyx
vuw
Prodotto vettoriale tra vettori
Dati due vettori nello spazio cartesiano
Di norma (modulo) pari a:
Il modulo del vettore ottenuto dal prodotto vettoriale dei due vettori è dato da
zcybxav zcybxau
vuw
In cui a è l’angolo formato dalle due direzioni/versi di applicazione
dei due vettori.
222 cbav 222 cbau
asenvuw
Similmente a quanto accade per il prodotto scalare anche nel caso del
prodotto vettoriale le due formule che consentono di ricavarne il risultato
consentono di ottenere indirettamente l’angolo tra i 2 vettori.
Prodotto vettoriale tra vettori - esempio
Consideriamo i due vettori u e v dell’esempio precedente
Il prodotto vettoriale tra i due vettori da un nuovo vettore di modulo:
zyxv 112 zyxu 111
2110
1
1
0
110
111
112det
222
w
zyx
zyx
uvw
Il modulo del nuovo vettore è anche dato da
a
aa
senw
sensenvuw
32
111112222222
Da cui si ricava che:
1.246
6
6
6
32
2232 arcsensensenw aaa
esercizi
Prodotto tra matrici
Date 2 matrici 2x2
Il prodotto delle due matrici produce una nuova matrice con un numero
di righe pari al numero di righe della matrice 1 e numero di colonne pari
al numero di colonne della matrice 2.
Il prodotto tra matrici è possibile solo se il numero di colonne della
matrice 1 corrisponde al numero di righe della matrice 2.
dc
ba
hdfcgdec
hbfagbea
hg
fe
Ciò che si fa è una somma di prodotti riga-colonna
.........
......'
...''''
'''
'''
'
'
'
edbd
eaadeaad
eee
ddd
cc
bb
aa
Prodotto tra matrici
Date 2 matrici non quadrate in cui il numero delle righe della matrice 1
corrisponde al numero delle colonne della matrice 2.
cc
bb
aa
eee
ddd
'
'Il prodotto delle due matrici è
ecdceccdeacd
ebdbebbdebbd
eadaeaadeaad
'''''
'''''
'''''
La matrice finale è una matrice quadrata (sempre) che ha come numero di
righe e colonne il numero di righe della matrice 1 (o il numero di colonne della
matrice 2)
Prodotto tra matrici - esempio
Date 2 matrici 2x2
Il prodotto delle due matrici è
32
11
53
21
3230
1110
11
10
Date 2 matrici non quadrate
23
11
12
101
330 Il prodotto delle due
matrici è
1192
431
561
123302331203
113101311101
113201321102
Rango di una matrice
Data una matrice 3x4
Si definisce rango della matrice il numero massimo di colonne o
righe linearmente indipendenti della matrice stessa.
Condizioni di linearità tra colonne o righe.
cccc
bbbb
aaaa
dcba
db
ca
bedb
aeca
Il rango di una matrice può essere solo minore o uguale al minore tra il
numero di righe e colonne.
Rango di una matrice - esempio
Data una matrice 3x4
Si definisce rango della matrice il numero massimo di colonne o
righe linearmente indipendenti della matrice stessa.
Condizioni di linearità tra colonne o righe.
4338
1137
3201
13123071
1137
3201
Il rango della matrice precedente è 2
Rango di una matrice - esempio
Data una matrice 3x3
Si definisce rango della matrice il numero massimo di colonne o
righe linearmente indipendenti della matrice stessa.
Condizioni di linearità tra colonne o righe.
163
321
221
1323
3121
2121
Il rango della matrice precedente è 2
Orlati di una matrice
Data una matrice 3x4
E’ possibile calcolare il suo rango con il teorema degli “orlati” o di Kronecker
cccc
bbbb
aaaa
Il rango di una matrice è pari all’ordine della matrice quadrata (numero
di righe=numero di colonne=ordine) più grande con determinante non
nullo.
ccc
bbb
aaa
ccc
bbb
aaa
ccc
bbb
aaa
ccc
bbb
aaa
Quattro minori di ordine 3 della matrice 3x4 considerata
Solo due di essi si definisco orlati ovvero minori linearmente indipendenti
Orlati di una matrice - esempio
Data una matrice 3x4
E’ possibile calcolare il suo rango con il teorema degli “orlati” o di Kronecker
1111
3121
3112
111
312
311
111
311
312
111
321
312
111
121
112
Poiché esiste almeno un minore 2x2 con det≠0 il rango è almeno 2.
Considero i quattro minori di ordine 3 della matrice 3x4 considerata.
Solo due di essi si definisco orlati ovvero minori linearmente indipendenti poiché
contengono il minore 2x2 con det≠0
Se entrambi avessero determinante nullo, necessariamente anche gli altri due
sarebbero nulli
Rango di una matrice
Data una matrice 3x4
Il rango della matrice sarà 3 se almeno 1 tra i due determinanti degli orlati
3x3 considerati è non nullo.
cccc
bbbb
aaaa
0det0det
ccc
bbb
aaa
oppure
ccc
bbb
aaa
Nel caso in cui fossero entrambi nulli allora si dovrebbe verificare
l’esistenza di almeno un minor 2x2 della matrice originale il cui
determinante è non nullo.
Orlati di una matrice - esempio
Data una matrice 3x4
1111
3121
3112
3
111
321
312
det1
111
121
112
det
Dati due dei quattro minori di ordine 3 (orlati)
Entrambi gli orlati hanno determinante non sullo
Il rango della matrice è 3
Matrice inversa
Si definisce matrice inversa di una matrice quadrata n x n, una
diversa matrice quadrata di dimensioni n x n che moltiplicata per la
matrice di partenza produce come matrice risultante la matrice
identità
ac
bd
AA
dc
baA
det
11
100
010
001
'''
'''
'''
'''
'''
'''
fff
eee
ddd
ccc
bbb
aaa
In generale non esiste un algoritmo semplice che consente di calcolare
quando esiste l’inversa di una data matrice.
Esistono algoritmi non banali come quello dei “cofattori” o il “Gauss-
Jordan”.
Secondo il metodo dei cofattori per le matrici 2x2 (e solo per esse) vale:
Matrice inversa – metodo dei cofattori
Data una matrice quadrata i x j
ji,A,minordet1, , ji
jixAcof
jii
j
xx
xx
A
,1,
,11,1
La sua matrice inversa è data da:
T
jii
j
xAcofxAcof
xAcofxAcof
AA
,1,
,11,1
1
,,
,,
det
1
In cui det(A) è il determinante della matrice A, T indica l’operazione
di trasposizione e cof(A,xi,j) è definito dalla seguente relazione:
det(minor(A,i,j)) è il determinante del minore della matrice A ottenuto
cancellando la riga i e la colonna j.
Matrice inversa – esempio
Data una matrice quadrata 3x3
876
543
211
A
La sua matrice inversa è data da:
T
AA
43
11det
53
21det
54
21det
76
11det
86
21det
87
21det
76
43det
86
53det
87
54det
det
11
76
432
86
53det1
87
54det1det A
Matrice inversa – esempio
Svolgendo i prodotti
La sua matrice inversa è data da:
TT
A
113
146
363
3
1
346585
67128148
242130243532
3
11
3242123024135321det A
31311
31342
121
113
146
363
3
11
A
esercizi
