Metodologia Stas,ca Applicata in Ambito Biomedico e ...
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Metodologia Sta,s,ca Applicata in Ambito Biomedico e Clinico PRIMA PARTE Mauro Gambaccini -------------------- Anno accademico 2018/19
Transcript of Metodologia Stas,ca Applicata in Ambito Biomedico e ...
MetodologiaSta,s,caApplicatainAmbitoBiomedicoeClinico
PRIMAPARTE
MauroGambaccini
--------------------Annoaccademico2018/19
V.V.=valorevero
pocoaccuratapocoprecisa
ACCURATEZZAEPRECISIONEDELLEMISURE
pocoaccuratamoltoprecisa
moltoaccuratapocoprecisa
moltoaccuratamoltoprecisa
valorediunamisura
V.V. V.V. V.V.
parità f frel frel% fcum frelcum frel%cum1° 0 59 0.472 47.2 59 0.472 47.22° 1 44 0.352 35.2 103 0.824 82.43° 2 14 0.112 11.2 117 0.936 93.64° 3 3 0.024 2.4 120 0.96 96.05° 4 4 0.032 3.2 124 0.992 99.26° 5 1 0.008 0.8 125 1 100.0
tot 125 1 100 125 1 100
Analisista7s7cadellepartorien7inunospedale
numerodipartorien,=fquestonumeroinSTATISTICAèlaFREQUENZAfrel=f/totFREQUENZARELATIVAfrel%=frelx100FREQUENZARELATIVA%fcumFREQUENZACUMULATIVA
(59/125)=0.472
0.472x100=47.2%
Lasommaprogressivadellefrequenzedellevarie
classivieneindicata59+44=103
VARIABILENUMERICADISCRETA
parità f frel frel% fcum frelcum frel%cum1° 0 59 0.472 47.2 59 0.472 47.22° 1 44 0.352 35.2 103 0.824 82.43° 2 14 0.112 11.2 117 0.936 93.64° 3 3 0.024 2.4 120 0.96 96.05° 4 4 0.032 3.2 124 0.992 99.26° 5 1 0.008 0.8 125 1 100.0
tot 125 1 100 125 1 100
Analisista7s7cadellepartorien7inunospedale
numerodipartorien,=fquestonumeroinSTATISTICAèlaFREQUENZAfrel=f/totFREQUENZARELATIVAfrel%=frelx100FREQUENZARELATIVA%fcumFREQUENZACUMULATIVA
(59/125)=0.472
0.472x100=47.2%
Lasommaprogressivadellefrequenzedellevarie
classivieneindicata59+44=103
parità f frel frel% fcum frelcum frel%cum1° 0 59 0.472 47.2 59 0.472 47.22° 1 44 0.352 35.2 103 0.824 82.43° 2 14 0.112 11.2 117 0.936 93.64° 3 3 0.024 2.4 120 0.96 96.05° 4 4 0.032 3.2 124 0.992 99.26° 5 1 0.008 0.8 125 1 100.0
tot 125 1 100 125 1 100
Analisista7s7cadellepartorien7inunospedale
numerodipartorien,=fquestonumeroinSTATISTICAèlaFREQUENZAfrel=f/totFREQUENZARELATIVAfrel%=frelx100FREQUENZARELATIVA%fcumFREQUENZACUMULATIVA
(59/125)=0.472
0.472x100=47.2%
Lasommaprogressivadellefrequenzedellevarie
classivieneindicata59+44=103
parità f frel frel% fcum frelcum frel%cum1° 0 59 0.472 47.2 59 0.472 47.22° 1 44 0.352 35.2 103 0.824 82.43° 2 14 0.112 11.2 117 0.936 93.64° 3 3 0.024 2.4 120 0.96 96.05° 4 4 0.032 3.2 124 0.992 99.26° 5 1 0.008 0.8 125 1 100.0
tot 125 1 100 125 1 100
Analisista7s7cadellepartorien7inunospedale
numerodipartorien,=fquestonumeroinSTATISTICAèlaFREQUENZAfrel=f/totFREQUENZARELATIVAfrel%=frelx100FREQUENZARELATIVA%fcumFREQUENZACUMULATIVA
(59/125)=0.472
0.472x100=47.2%
Lasommaprogressivadellefrequenzedellevarie
classivieneindicata59+44=103
parità f frel frel% fcum frelcum frel%cum1° 0 59 0.472 47.2 59 0.472 47.22° 1 44 0.352 35.2 103 0.824 82.43° 2 14 0.112 11.2 117 0.936 93.64° 3 3 0.024 2.4 120 0.96 96.05° 4 4 0.032 3.2 124 0.992 99.26° 5 1 0.008 0.8 125 1 100.0
tot 125 1 100 125 1 100
Analisista7s7cadellepartorien7inunospedale
0 1 2 3 4 5frel% 47.2 35.2 11.2 2.4 3.2 0.8
frel%cum 47.2 82.4 93.6 96.0 99.2 100.0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
FREQ
UEN
ZARELAT
IVA%
Paritàdi125partorien7inunospedale
0 1 2 3 4 5freq 59 44 14 3 4 1
freqcum 59 103 117 120 124 125
0102030405060708090100110120
FREQ
UEN
ZA
Paritàdi125partorien7inunospedale
VARIABILENUMERICACONTINUA
Misuradelvolumerespiratorioforzatodi57studen,disessomaschileiscri_al2°annoCDLScienzeMotorie
VOLUMERESPIRATORIOFORZATO(litri)
n 0 10 20 30 40 501 4.44 3.70 3.54 4.50 4.30 4.082 3.19 4.47 3.57 3.60 3.70 3.903 4.14 3.69 4.50 4.05 3.96 3.754 3.42 4.80 3.54 3.04 3.30 3.605 4.10 4.32 4.78 5.43 5.20 4.166 3.10 3.20 3.39 4.56 3.48 4.807 4.20 3.78 3.10 4.47 2.85 4.478 4.71 3.19 5.00 2.85 5.10 9 4.90 4.30 5.10 4.70 4.68 10 3.83 5.30 3.54 4.20 2.98
cominciamol’analisideida,rappresentandoliinmodotalechedalloroinsiemesipossanoestrarreinformazioni
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657
Volume(L)
numerosoggeQ
ordinecasuale
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657
Volume(L)
NumerosoggeQ
ordinecrescente
Rangedivariazione:(max–min)->5.43–2.85=2.58L
lafrequenzaperunavariabilecon,nua
distribuzionedellefrequenze
Frequenza:n°divoltechecompareundeterminatovalore
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
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Volume(L)
NumerosoggeQ
0
1
2
3
4
2.85
2.91
2.97
3.03
3.09
3.15
3.21
3.27
3.33
3.39
3.45
3.51
3.57
3.63
3.69
3.75
3.81
3.87
3.93
3.99
4.05
4.11
4.17
4.23
4.29
4.35
4.41
4.47
4.53
4.59
4.65
4.71
4.77
4.83
4.89
4.95
5.01
5.07
5.13
5.19
5.25
5.31
5.37
5.43
freq
uenza
Volume(L)
0
1
2
3
4
2.85
2.91
2.97
3.03
3.09
3.15
3.21
3.27
3.33
3.39
3.45
3.51
3.57
3.63
3.69
3.75
3.81
3.87
3.93
3.99
4.05
4.11
4.17
4.23
4.29
4.35
4.41
4.47
4.53
4.59
4.65
4.71
4.77
4.83
4.89
4.95
5.01
5.07
5.13
5.19
5.25
5.31
5.37
5.43
freq
uenza
Volume(L)
051015202530354045505560
2.70 2.90 3.10 3.30 3.50 3.70 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70
freq
uenzacumula7
va
volume(L)
lafrequenzacumula,varappresentailn°totaledisogge_aldisoeodiundeterminatovaloredellavariabileallostudio(volumerespirazione)
lafrequenzacumula,vaperunavariabilecon,nua
lafrequenzacumula,varappresentailn°totaledisogge_aldisoeodiundeterminatovaloredellavariabileallostudio(volumerespirazione)
lafrequenza%cumula,varappresentalapercentualedisogge_aldisoeodiundeterminatovaloredellavariabileallostudio(volumerespirazione)
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
2.70 2.90 3.10 3.30 3.50 3.70 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70
freq
uenza%cum
ula7
va
volume(L)
05
1015202530354045505560
2.70 2.90 3.10 3.30 3.50 3.70 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70
freq
uenzacumula7
va
volume(L)
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
2.70 2.90 3.10 3.30 3.50 3.70 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70
freq
uenza%cum
ula7
va
volume(L)
mediana
limite1°quar7le
limite3°quar7le
distanzainterquar7le
LaMedianaiQuar,lielaDistanzaInterquar,le
0
1
2
3
4
2.85
2.91
2.97
3.03
3.09
3.15
3.21
3.27
3.33
3.39
3.45
3.51
3.57
3.63
3.69
3.75
3.81
3.87
3.93
3.99
4.05
4.11
4.17
4.23
4.29
4.35
4.41
4.47
4.53
4.59
4.65
4.71
4.77
4.83
4.89
4.95
5.01
5.07
5.13
5.19
5.25
5.31
5.37
5.43
freq
uenza
Volume(L)
1°quart≤3.52L
2°quart>3.52L≤4.10L
3°quart>4.10L≤4.52L
4°quart>4.52L
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
2.70 2.90 3.10 3.30 3.50 3.70 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70
freq
uenza%cum
ula7
va
volume(L)
1°quart≤3.52L
2°quart>3.52L≤4.10L
3°quart>4.10L≤4.52L
4°quart>4.52L
distribuzionedellefrequenze Frequenza:n°divoltechecompareundeterminatovalore
Leclassidicampionamentoperunavariabilecon,nuaesuoeffeeoSulladistribuzionedellefrequenze
0.10L 0.20L 0.50Lampiezzaclassi
All’internodiogniclasseilsingolovaloreperdeilsuovaloreindividualeedassumeilvaloredelcentrodellaclasse
limiteinferioreclasse3.25limitesuperioreclasse3.75ampiezzaclasse0.5centroclasse3.50N°sogge_15
3.25 3.75
3.50
0.50assevolumi
0
1
2
3
4
2.85
2.91
2.97
3.03
3.09
3.15
3.21
3.27
3.33
3.39
3.45
3.51
3.57
3.63
3.69
3.75
3.81
3.87
3.93
3.99
4.05
4.11
4.17
4.23
4.29
4.35
4.41
4.47
4.53
4.59
4.65
4.71
4.77
4.83
4.89
4.95
5.01
5.07
5.13
5.19
5.25
5.31
5.37
5.43
freq
uenza
Volume(L)
2 35 63 3
153
20
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
2.60 2.80 3.00 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00 4.20 4.40 4.60 4.80 5.00 5.20 5.40 5.60
frequenzaampcl0.20L
volumerespirazioneforzara(litri)
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
2.75
2.85
2.95
3.05
3.15
3.25
3.35
3.45
3.55
3.65
3.75
3.85
3.95
4.05
4.15
4.25
4.35
4.45
4.55
4.65
4.75
4.85
4.95
5.05
5.15
5.25
5.35
5.45
5.55
frequenzaamlcl0.10L
volumerespirazioneforzara(litri
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
18.00
2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75 5.25 5.75 6.25
frequenzaampcl0.5L
volumerespirazioneforzara(litri)
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
2.70
2.75
2.80
2.85
2.90
2.95
3.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
3.35
3.40
3.45
3.50
3.55
3.60
3.65
3.70
3.75
3.80
3.85
3.90
3.95
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4.05
4.10
4.15
4.20
4.25
4.30
4.35
4.40
4.45
4.50
4.55
4.60
4.65
4.70
4.75
4.80
4.85
4.90
4.95
5.00
5.05
5.10
5.15
5.20
5.25
5.30
5.35
5.40
5.45
5.50
5.55
Frequenza
Volumerespirazioneforzata(litri)
a.c.0.05La.c.0.1L
a.c.0.2L
a.c.0.5L
Andamentodelledistribuzionidifrequenzadellostessocampionedida,alvariaredell’ampiezzadellaclassedicampionamento
Ftot=57Ftot=57
Ftot=57
Ftot=57
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
2.75
2.85
2.95
3.05
3.15
3.25
3.35
3.45
3.55
3.65
3.75
3.85
3.95
4.05
4.15
4.25
4.35
4.45
4.55
4.65
4.75
4.85
4.95
5.05
5.15
5.25
5.35
5.45
5.55
5.65
5.75
freq
uenza%
cum
ampcl0.10L
volumerespirazioneforzata(litri)
Mediana=4.10L
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
2.75
2.85
2.95
3.05
3.15
3.25
3.35
3.45
3.55
3.65
3.75
3.85
3.95
4.05
4.15
4.25
4.35
4.45
4.55
4.65
4.75
4.85
4.95
5.05
5.15
5.25
5.35
5.45
5.55
5.65
freq
uenza%
cum
ampcl0.10L
volumerespirazioneforzata(litri
a.c.0.1LF%tot=100
a.c.0.1L
50%
50% 50%
0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.00100.00
2.60 2.80 3.00 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00 4.20 4.40 4.60 4.80 5.00 5.20 5.40 5.60 5.80 6.00
freq
uenza%
cum
ampcl0.20L
volumerespirazioneforzara(litri)
0.002.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.0020.00
2.60 2.80 3.00 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00 4.20 4.40 4.60 4.80 5.00 5.20 5.40 5.60 5.80 6.00
freq
uenza%
ampcl0.20L
volumerespirazioneforzara(litri)
a.c.0.2LF%tot=100
a.c.0.2L
0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.00100.00110.00
2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75 5.25 5.75 6.25
freq
uenza%cum
ampcl0.5L
volumerespirazioneforzara(litri)
a.c.0.5L
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75 5.25 5.75 6.25
freq
uenza%cum
ampcl0.5L
volumerespirazioneforzara(litri)
a.c.0.5LF%tot=100
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
2.75
2.85
2.95
3.05
3.15
3.25
3.35
3.45
3.55
3.65
3.75
3.85
3.95
4.05
4.15
4.25
4.35
4.45
4.55
4.65
4.75
4.85
4.95
5.05
5.15
5.25
5.35
5.45
5.55
5.65
5.75
freq
uenza%
cum
ampcl0.10L
volumerespirazioneforzata(litri)
1°quart≤3.52L
3°quart>4.20L≤4.52L
4°quart>4.52L
Mediana=4.10L
2°quart>3.52L≤4.20L
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
2.75
2.85
2.95
3.05
3.15
3.25
3.35
3.45
3.55
3.65
3.75
3.85
3.95
4.05
4.15
4.25
4.35
4.45
4.55
4.65
4.75
4.85
4.95
5.05
5.15
5.25
5.35
5.45
5.55
5.65
freq
uenza%
cum
ampcl0.10L
volumerespirazioneforzata(litri
a.c.0.1LF%tot=100
a.c.0.1L
25%
75%
50%
25%
25% 25% 25% 25%
Il1°quar,lecadonoqueida,(25%dellatotalitàdelnostrocampione)conunvalorealdisoeodelqualecadonoil25%dellatotalitàdeida,delnostrocampioneNel2°quar,lecadonoqueida,(25%dellatotalitàdeida,delnostrocampione)convaloremaggioreaquellidel1°quar,leeinferioriallamediana
Nel3°quar,lecadonoqueida,(25%dellatotalitàdeida,delnostrocampione)convaloremaggioreallamedianaeinferiorealvaloresoeoilqualecadeil75%deivaloridelnostrocampione
Nel4°quar,lecadonoqueida,(25%dellatotalitàdeida,delnostrocampione)convaloremaggiorealvaloresoeoilqualecadeil75%deivaloridelnostrocampione
PARTIINUNASTRUTTURASANITARIA parità f frel frel% fcum frelcum frel%cum1° 0 59 0.472 47.2 59 0.472 47.22° 1 44 0.352 35.2 103 0.824 82.43° 2 14 0.112 11.2 117 0.936 93.64° 3 3 0.024 2.4 120 0.96 96.05° 4 4 0.032 3.2 124 0.992 99.26° 5 1 0.008 0.8 125 1 100.0
tot 125 1 100 125 1 100
VOLUMERESPIRATORIO(litri)n 0 10 20 30 40 501 4.44 3.70 3.54 4.50 4.30 4.082 3.19 4.47 3.57 3.60 3.70 3.903 4.14 3.69 4.50 4.05 3.96 3.754 3.42 4.80 3.54 3.04 3.30 3.605 4.10 4.32 4.78 5.43 5.20 4.166 3.10 3.20 3.39 4.56 3.48 4.807 4.20 3.78 3.10 4.47 2.85 4.478 4.71 3.19 5.00 2.85 5.10 9 4.90 4.30 5.10 4.70 4.68 10 3.83 5.30 3.54 4.20 2.98
VARIABILENUMERICADISCRETA
VARIABILENUMERICACONTINUA
fFREQUENZAfrel=f/totFREQUENZARELATIVAfrel%=frelx100FREQUENZARELATIVA%fcumFREQUENZACUMULATIVA
VARIABILENUMERICADISCRETA
VARIABILENUMERICACONTINUA
fFREQUENZAfrel=f/totFREQUENZARELATIVAfrel%=frelx100FREQUENZARELATIVA%fcumFREQUENZACUMULATIVAAC=(lsup– linf)AmpiezzaClasse(AChalestesseunitàdimisuradellagrandezzacapionata(i..e.litriperlacapacità,cmomperl’altezza.°Cperlatemperatureetc…)densitàdifrequenza=f/ac(anchelaDFhaunitàdimisura,cheèilreciprocodellaunitàdimisuradellagrandezzacapionata(i.e.(1/litri)perlacapacità,(1/cm)o(1/m)perl’altezza.1/°Cperlatemperatureetc…)Cosasuccedeadunadistribuzionequandosicambial’ampiezzadellaclasse?Cosasuccedeallafrequenzaealladensitàdifrequenza?
limiteinferiore
assevolumi
AC
=hN°sogge_nellaclasse
centroclasse limite
superiore
CLASSEDICAMPIONAMENTOERAPPRESENTAZIONEDEIDATI
Nelladistribuzionedellefrequenzel’altezzadellabarrarappresentainnumerodisogge_contenu,nellaclasse
Nelladistribuzionedelledensitàdifrequenzel’areadellabarrarappresentainnumerodisogge_contenu,nellaclasse
limiteinferiore
assevolumi
AC
h/AC N°sogge_nellaclasse
centroclasse Limite
superiore
=A
frequenza
densitàdifrequenza
barradelladistribuzionedellefrequenze
barradelladistribuzionedelladensitàdifrequenza
limiteinferiore
assevolumi
AC
=h
nisogge_nellaclasse
centroclasse limite
superiore
Nelladistribuzionedellefrequenzerela,vel’altezzadellabarrarappresentainnumerodisogge_contenu,nellaclasseripeeoalnumerototaledeisogge_nelcampione
Nelladistribuzionedelledensitàdifrequenzerela,vel’areadellabarrarappresentainnumerodisogge_contenu,nellaclasserispeeoalnumerototaledeisogge_nelcampione
limiteinferiore
assevolumi
AC
centroclasse limite
superiore
=A
ni/N
Ntotalitàsogge_delcampione
frequenzarela,va
densitàdifrequenzarela,ve
ni/NNxACni
nisogge_nellaclasseNtotalitàsogge_delcampione
=h
CLASSEDICAMPIONAMENTOERAPPRESENTAZIONEDEIDATI
barradelladistribuzionedellefrequenzerela,ve
barradelladistribuzionedelladensitàdifrequenzerela,ve
Altezzabarra=probabibilità
Areabarra=probabibilità
Ampiessaclasse0.1litri–campionen°57
CLASSI f f/ N f/ ac frel/aclinf(L) lsup(L) c.classe(L) f(n°) frel d f (1/L) d frel (1/L)2.8 2.9 2.85 2 0.035 20.0 0.352.9 3 2.95 1 0.018 10.0 0.183 3.1 3.05 1 0.018 10.0 0.183.1 3.2 3.15 3 0.053 30.0 0.533.2 3.3 3.25 1 0.018 10.0 0.183.3 3.4 3.35 2 0.035 20.0 0.353.4 3.5 3.45 3 0.053 30.0 0.533.5 3.6 3.55 4 0.070 40.0 0.703.6 3.7 3.65 3 0.053 30.0 0.533.7 3.8 3.75 4 0.070 40.0 0.703.8 3.9 3.85 1 0.018 10.0 0.183.9 4 3.95 2 0.035 20.0 0.354 4.1 4.05 1 0.018 10.0 0.184.1 4.2 4.15 3 0.053 30.0 0.534.2 4.3 4.25 2 0.035 20.0 0.354.3 4.4 4.35 3 0.053 30.0 0.534.4 4.5 4.45 4 0.070 40.0 0.704.5 4.6 4.55 3 0.053 30.0 0.534.6 4.7 4.65 1 0.018 10.0 0.184.7 4.8 4.75 3 0.053 30.0 0.534.8 4.9 4.85 3 0.053 30.0 0.534.9 5 4.95 1 0.018 10.0 0.185 5.1 5.05 1 0.018 10.0 0.185.1 5.2 5.15 2 0.035 20.0 0.355.2 5.3 5.25 1 0.018 10.0 0.185.3 5.4 5.35 1 0.018 10.0 0.185.4 5.5 5.45 1 0.018 10.0 0.18
TOTALE 57 1.000 570.0 10.00
012345
2.85
3.15
3.45
3.75
4.05
4.35
4.65
4.95
5.25Fr
eque
nza(n°)
Volume(L)
frequenzaclasse0.1L
0.010.020.030.040.050.0
2.85
3.15
3.45
3.75
4.05
4.35
4.65
4.95
5.25
Densità
difrequ
enza(n
°/L)
Volume(L)
densitàdifrequenzaclasse0.1(L)
0.000.020.040.060.080.10
2.85
3.15
3.45
3.75
4.05
4.35
4.65
4.95
5.25
Freq
uenzarela,va
VolumeL
frequenzarela7vaclasse0.1L
0.000.200.400.600.801.00
2.85
3.15
3.45
3.75
4.05
4.35
4.65
4.95
5.25
Densità
freq
uenzarela,va(1/L)
Volume(L)
densitadifrequenzarela7vaclasse0.1L
altezzabarrehh=n°sogge_nellaclasse
altezzabarrehh=frazionediNchestanellaclasse
areadellebarreAA=n°sogge_nellaclasse
areadellebarreAA=n°sogge_nellaclasse
h=probabibilità
A=probabibilità
0123456789
101112131415
2.85
3.15
3.45
3.75
4.05
4.35
4.65
4.95
5.25
Freq
uenza(n°)
Volume(L)
frequenzaclasse0.1L
0123456789
101112131415
2.85 3.25 3.65 4.05 4.45 4.85 5.25
Freq
uenza(n°)
Volume(L)
frequenzaclasse0.2(L)
0123456789
101112131415
2.85 3.25 3.65 4.05 4.45 4.85 5.25
Freq
uenza(n°)
Volume(L)
frequenzaclasse0.4(L)
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
2.85
3.15
3.45
3.75
4.05
4.35
4.65
4.95
5.25
Densità
difrequ
enza(n
°/L)
Volume(L)
densitàdifrequenzaclasse0.1(L)
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.02.85
3.05
3.25
3.45
3.65
3.85
4.05
4.25
4.45
4.65
4.85
5.05
5.25
5.45Densità
difrequ
enza(n
°/L)
Volume(L)
densitàdifrequenzaclasse0.2(L)
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
2.853.253.654.054.454.855.25Densità
difrequ
enza(n
°/L)
Volume(L)
densitàdifrequenzaclasse0.2
distribuzionedellefrequenzealcresceredellaampiezzadellaclasse
Distribuzionedelledensitàdifrequenzaalcresceredellaampiezzadellaclasse
A=57 A=57A=57
7
3
13
5
4 4
FrequenzaInquestamodalitàdipresentazionel’areasoeesadalladistribuzioneaumentaall’aumentaredell’ampiezzadellaclassecosìcomel’altezzadellecolonnedell’istogramma
0123456789
101112131415
2.85
3.15
3.45
3.75
4.05
4.35
4.65
4.95
5.25
Freq
uenza(n°)
Volume(L)
frequenzaclasse0.1L
0123456789
101112131415
2.85 3.25 3.65 4.05 4.45 4.85 5.25
Freq
uenza(n°)
Volume(L)
frequenzaclasse0.2(L)
0123456789
101112131415
2.85 3.25 3.65 4.05 4.45 4.85 5.25
Freq
uenza(n°)
Volume(L)
frequenzaclasse0.4(L)
distribuzionedellefrequenzealcresceredellaampiezzadellaclasse
DensitàdiFrequenzaInquestamodalitàdipresentazionel’areasoeesadalladistribuzioneèsemprelastessa(noncambiaalvariaredell’ampiezzadellaclasse)edèugualealnumerodeicampioni(57)
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
2.85
3.15
3.45
3.75
4.05
4.35
4.65
4.95
5.25
Densità
difrequ
enza(n
°/L)
Volume(L)
densitàdifrequenzaclasse0.1(L)
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
2.85
3.05
3.25
3.45
3.65
3.85
4.05
4.25
4.45
4.65
4.85
5.05
5.25
5.45Densità
difrequ
enza(n
°/L)
Volume(L)
densitàdifrequenzaclasse0.2(L)
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
2.853.253.654.054.454.855.25Densità
difrequ
enza(n
°/L)
Volume(L)
densitàdifrequenzaclasse0.2
Distribuzionedelledensitàdifrequenzaalcresceredellaampiezzadellaclasse
A=57 A=57A=57
7
3
13
5
4 4
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
2.85
3.05
3.25
3.45
3.65
3.85
4.05
4.25
4.45
4.65
4.85
5.05
5.25
5.45De
nsità
freq
uenzarela7v
a(1/L)
Volume(L)
densitàdifrequenzafrequenza-classe0.1(L)
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
2.85 3.25 3.65 4.05 4.45 4.85 5.25
Densità
freq
uenzarela7v
a(1/L)
Volume(L)
densitàdifrequenzarela7va-classe0.2(L)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2.85 3.25 3.65 4.05 4.45 4.85 5.25
Densità
freq
uenzarela7v
a(1/L)
Titolodell'asse
densitàdifrequenzarela7va-classe0.4(L)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.252.85
3.15
3.45
3.75
4.05
4.35
4.65
4.95
5.25
Freq
uenzarela7v
a
Volume(L)
frequenzarela7va-classe0.1L
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
2.85 3.25 3.65 4.05 4.45 4.85 5.25
Freq
uenzarela7v
a
Volume(L)
Frequenzarela7va-classe0.2(L)
distribuzionedellefrequenzerela,vaalcresceredellaampiezzadellaclasse
distribuzionedelladensitàdellafrequenzarela,vaalcresceredellaampiezzadellaclasse
probabilitàprobabilità probabilità
Area=1.00 Area=1.00Area=1.00 .14
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
2.85 3.25 3.65 4.05 4.45 4.85 5.25
Freq
uenzarela7v
a
Volume(L)
Frequenzarela7va-classe0.4(L)
.23.13
.11
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
2.85
3.15
3.45
3.75
4.05
4.35
4.65
4.95
5.25
Freq
uenzarela7v
a
Volume(L)
frequenzarela7va-classe0.1L
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
2.85 3.25 3.65 4.05 4.45 4.85 5.25
Freq
uenzarela7v
a
Volume(L)
Frequenzarela7va-classe0.2(L)
distribuzionedellefrequenzerela,vaalcresceredellaampiezzadellaclasse
probabilitàprobabilità probabilità
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
2.85 3.25 3.65 4.05 4.45 4.85 5.25
Freq
uenzarela7v
a
Volume(L)
Frequenzarela7va-classe0.4(L)
Frequenzarela,vaInquestamodalitàdipresentazionel’areasoeesadalladistribuzioneaumentaall’aumentaredell’ampiezzadellaclassecosìcomel’altezzadellecolonnedell’istogramma.L’altezzadellebarreovveroilvaloredellafrequenzarela,vadiciascunaclasserappresentaanchelaprobabilitàchehannoglielemen,delcampionediappartenereallerispe_veclassi.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
2.85
3.05
3.25
3.45
3.65
3.85
4.05
4.25
4.45
4.65
4.85
5.05
5.25
5.45De
nsità
freq
uenzarela7v
a(1/L)
Volume(L)
densitàdifrequenzafrequenza-classe0.1(L)
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
2.85 3.25 3.65 4.05 4.45 4.85 5.25De
nsità
freq
uenzarela7v
a(1/L)Volume(L)
densitàdifrequenzarela7va-classe0.2(L)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2.85 3.25 3.65 4.05 4.45 4.85 5.25
Densità
freq
uenzarela7v
a(1/L)
Titolodell'asse
densitàdifrequenzarela7va-classe0.4(L)
distribuzionedelladensitàdellafrequenzarela,vaalcresceredellaampiezzadellaclasse
Area=1.00 Area=1.00Area=1.00 .14
.23.13
.11
DensitàdiFrequenzaRela,vaInquestamodalitàdipresentazionel’areasoeesadalladistribuzioneèsemprelastessa(noncambiaalvariaredell’ampiezzadellaclasse)edèugualealllasommadelleprobabilitàditueelaclassi(1.00)L’areadiognibarrarappresentalaprobabilitàcheglielemen,delcampioneappartenganoallerispe_veclassi.
Analizzandoida,eladistribuzionedellefrequenzesiamosta,ingradodiestrarreleseguenteinformazioni:1. Rangedivariabilità2. Simmetriadelladistribuzione3. Mediana4. Quar,li5. Differenzainterquar,le6. Percen,li7. Media8. Varianza9. Deviazionestandard
VOLUMERESPIRATORIOFORZATO(litri)
n 1 2 3 4 5 6
1 4.44 3.70 3.54 4.50 4.30 4.08
2 3.19 4.47 3.57 3.60 3.70 3.90
3 4.14 3.69 4.50 4.05 3.96 3.75
4 3.42 4.80 3.54 3.04 3.30 3.60
5 4.10 4.32 4.78 5.43 5.20 4.16
6 3.10 3.20 3.39 4.56 3.48 4.80
7 4.20 3.78 3.10 4.47 2.85 4.47
8 4.71 3.19 5.00 2.85 5.10
9 4.90 4.30 5.10 4.70 4.68
10 3.83 5.30 3.54 4.20 2.98
LaMEDIAlaVarianzaelaDeviazioneStandard
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657
randomFEVlitri
MEDIA MEDIA=4.06L
volume(L)
ni
scartodallamedia si = ( xi – x )
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57SCAR
TI(L)
ni
s48 = ( x48 – x )
1
N
∑ si 1
N
∑ ( xi – x ) =1
N
∑1
N
∑xi= ( ) = (N x - N x) = 0 - x
distribuzionedegliscar,si
VOLUMERESPIRATORIOFORZATO(litri)
n 1 2 3 4 5 61 4.44 3.70 3.54 4.50 4.30 4.082 3.19 4.47 3.57 3.60 3.70 3.903 4.14 3.69 4.50 4.05 3.96 3.754 3.42 4.80 3.54 3.04 3.30 3.605 4.10 4.32 4.78 5.43 5.20 4.166 3.10 3.20 3.39 4.56 3.48 4.807 4.20 3.78 3.10 4.47 2.85 4.478 4.71 3.19 5.00 2.85 5.10 9 4.90 4.30 5.10 4.70 4.68 10 3.83 5.30 3.54 4.20 2.98
LaMEDIAlaVarianzaelaDeviazioneStandard
VOLUMERESPIRATORIOFORZATO(litri)
n 1 2 3 4 5 61 4.44 3.70 3.54 4.50 4.30 4.082 3.19 4.47 3.57 3.60 3.70 3.903 4.14 3.69 4.50 4.05 3.96 3.754 3.42 4.80 3.54 3.04 3.30 3.605 4.10 4.32 4.78 5.43 5.20 4.166 3.10 3.20 3.39 4.56 3.48 4.807 4.20 3.78 3.10 4.47 2.85 4.478 4.71 3.19 5.00 2.85 5.10 9 4.90 4.30 5.10 4.70 4.68 10 3.83 5.30 3.54 4.20 2.98 0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657
randomFEVlitri
MEDIA MEDIA = 4.06 L
volume(L)
ni
scartodallamediaalquadrato si2 = ( xi – x )2
s48 = ( x48 – x )
1
N
∑ si2
1
N
∑ ( xi – x )2 = = 26.2 L2
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57
SCAR
TIALQUDR
ATOI(L)2
n
distribuzionedegliscar,quadra,si2
1
N
∑ ( xi – x )2
N = 26.2/57 = 0,46 L2
1
N
∑ ( xi – x )2
N-1 = 26.2/56 = 0,47 L2
Varianza
Scartoquadra,comedio
1
N
∑ ( xi – x )2
N-1 √ = √ 0,47 = ± 0,68 Ldeviazionestandard
LaMEDIAlaVarianzaelaDeviazioneStandard
VOLUMERESPIRATORIOFORZATO(litri)
n 1 2 3 4 5 61 4.44 3.70 3.54 4.50 4.30 4.082 3.19 4.47 3.57 3.60 3.70 3.903 4.14 3.69 4.50 4.05 3.96 3.754 3.42 4.80 3.54 3.04 3.30 3.605 4.10 4.32 4.78 5.43 5.20 4.166 3.10 3.20 3.39 4.56 3.48 4.807 4.20 3.78 3.10 4.47 2.85 4.478 4.71 3.19 5.00 2.85 5.10 9 4.90 4.30 5.10 4.70 4.68 10 3.83 5.30 3.54 4.20 2.98 0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657
randomFEVlitri
MEDIA MEDIA=4.06 L
volume(L)
ni
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57SCAR
TI(L)
ni
distribuzionedegliscar,si
DeviazioneStandard ( N – 1) = ± 0,68 L
+ 0,68 L
- 0,68 L
LaMEDIAlaVarianzaelaDeviazioneStandard
VOLUMERESPIRATORIOFORZATO(litri)
n 1 2 3 4 5 6
1 4.44 3.70 3.54 4.50 4.30 4.08
2 3.19 4.47 3.57 3.60 3.70 3.90
3 4.14 3.69 4.50 4.05 3.96 3.75
4 3.42 4.80 3.54 3.04 3.30 3.60
5 4.10 4.32 4.78 5.43 5.20 4.16
6 3.10 3.20 3.39 4.56 3.48 4.80
7 4.20 3.78 3.10 4.47 2.85 4.47
8 4.71 3.19 5.00 2.85 5.10
9 4.90 4.30 5.10 4.70 4.68
10 3.83 5.30 3.54 4.20 2.98 0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657
randomFEVlitri
MEDIA
DeviazioneStandard
Varianza
- 1 ( N – 1)
N
( N – 1)
MEDIA=4.06L
DeviazioneStandard=0.67L
Varianza=0.45L2
volume(L)
ni
Varianza=(DeviazioneStandard)2
Rangedivariazione(xmax–xmin)2.58L Rangedivariazione=2.58L
MEDIANA=4.10L
LaMEDIAlaVarianzaelaDeviazioneStandard
MEDIA
DeviazioneStandard
Varianza
- 1 ( N – 1)
N
( N – 1)
MEDIA=4.06L
DeviazioneStandard=0.67L
Varianza=0.45L2
ni
Varianza=(DeviazioneStandard)2
Rangedivariazione(xmax–xmin)2.58L Rangedivariazione=2.58L
MEDIANA=4.10L
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
2.70
2.75
2.80
2.85
2.90
2.95
3.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
3.35
3.40
3.45
3.50
3.55
3.60
3.65
3.70
3.75
3.80
3.85
3.90
3.95
4.00
4.05
4.10
4.15
4.20
4.25
4.30
4.35
4.40
4.45
4.50
4.55
4.60
4.65
4.70
4.75
4.80
4.85
4.90
4.95
5.00
5.05
5.10
5.15
5.20
5.25
5.30
5.35
5.40
5.45
5.50
5.55
Frequenza
Volumerespirazioneforzata(litri)
x x - σx x + σx
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
2.70 2.90 3.10 3.30 3.50 3.70 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70
freq
uenza%cum
ula7
va
volume(L)
31%
Media4.06LDS0.67L
82%
18%
49%
33%
64%
Media–DS Media+DS
Media
Media–DS3.39LMedia+DS4.73L
SIGNIFICATODELLAMEDIAEDELLADEVIAZIONESTANDARDSULLADISTRIBUZIONE
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
2.60 2.80 3.00 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00 4.20 4.40 4.60 4.80 5.00 5.20 5.40 5.60
frequenzaampcl0.20L
volumerespirazioneforzara(litri)
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
2.75
2.85
2.95
3.05
3.15
3.25
3.35
3.45
3.55
3.65
3.75
3.85
3.95
4.05
4.15
4.25
4.35
4.45
4.55
4.65
4.75
4.85
4.95
5.05
5.15
5.25
5.35
5.45
5.55
frequenzaamlcl0.10L
volumerespirazioneforzara(litri
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
18.00
2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75 5.25 5.75 6.25
frequenzaampcl0.5L
volumerespirazioneforzara(litri)
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
2.70
2.75
2.80
2.85
2.90
2.95
3.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
3.35
3.40
3.45
3.50
3.55
3.60
3.65
3.70
3.75
3.80
3.85
3.90
3.95
4.00
4.05
4.10
4.15
4.20
4.25
4.30
4.35
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4.45
4.50
4.55
4.60
4.65
4.70
4.75
4.80
4.85
4.90
4.95
5.00
5.05
5.10
5.15
5.20
5.25
5.30
5.35
5.40
5.45
5.50
5.55
Frequenza
Volumerespirazioneforzata(litri)
a.c.0.05La.c.0.1L
a.c.0.2L
a.c.0.5L
Ftot=57Ftot=57
Ftot=57
Ftot=57
Mediana4.10LMedia4.06LDS0.67LMedia–DS3.39LMedia+DS4.73L
64%
18% 18%
18% 18%
18% 18%64%
64%
18% 18%64%
SIGNIFICATODELLAMEDIAEDELLADEVIAZIONESTANDARDSULLADISTRIBUZIONE
Media – Varianza – Deviazione Standard
x̄ media1
n·
n∑
i=1
xi1
n·
m∑
i=1
fi xi
s2 varianza1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s dev. standard
√
√
√
√
1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria
√
√
√
√
1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
Matematica con Elementi di Statistica, Anna Torre – a.a. 2013-2014
Media – Varianza – Deviazione Standard
x̄ media1
n·
n∑
i=1
xi1
n·
m∑
i=1
fi xi
s2 varianza1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s dev. standard
√
√
√
√
1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria
√
√
√
√
1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
Matematica con Elementi di Statistica, Anna Torre – a.a. 2013-2014
Media – Varianza – Deviazione Standard
x̄ media1
n·
n∑
i=1
xi1
n·
m∑
i=1
fi xi
s2 varianza1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s dev. standard
√
√
√
√
1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria
√
√
√
√
1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
Matematica con Elementi di Statistica, Anna Torre – a.a. 2013-2014
Media – Varianza – Deviazione Standard
x̄ media1
n·
n∑
i=1
xi1
n·
m∑
i=1
fi xi
s2 varianza1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s dev. standard
√
√
√
√
1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria
√
√
√
√
1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
Matematica con Elementi di Statistica, Anna Torre – a.a. 2013-2014
Media – Varianza – Deviazione Standard
x̄ media1
n·
n∑
i=1
xi1
n·
m∑
i=1
fi xi
s2 varianza1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s dev. standard
√
√
√
√
1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria
√
√
√
√
1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
Matematica con Elementi di Statistica, Anna Torre – a.a. 2013-2014
da,nonraggruppa,( x1 ; x2; x3 ; x4 ….......... xn)
da,raggruppa, x1 ; x2; x3 ; x4 ….......... xn f1 ; f2; f3 ; f4 …..... ..... fn
Lamedia-lavarianza-ladeviazionestandard
Classeanni
frequenza(fi)
Centroclasse(xi)anni
(xifi) Risultatoanni
10-20 5 15 15x5 75
20-30 7 25 25x7 175
30-40 5 35 35x5 175
40-50 2 45 45x2 90
50-60 3 55 55x3 165
60-70 4 65 65x4 260
totale 26 940
C. Baraldi Appunti di Metodologia Statistica Applicata in Ambito Biomedico e Clinico 2016/17
31
60 – 70 4 65 65× 4 260 Totale 26 940
In simboli:
�̅� =∑ 𝑥𝑖
′𝑓𝑖𝑘1
∑ 𝑓𝑖𝑘1
Nel caso dell’esempio precedente si ha:
�̅� =15 × 5 + 25 × 7 + 35 × 5 + 45 × 2 + 55 × 3 + 65 × 4
26 =94026 = 36.15
Quindi la media ponderata è ottenuta pesando ciascun punto medio dell’intervallo per la frequenza delle osservazioni all’interno dell’intervallo. Alcune proprietà della media aritmetica.
1. La somma algebrica degli scarti di tutti i termini della media è nulla. (Si definisce scarto o scostamento la differenza tra ogni termine 𝑥𝑖 della distribuzione e un qualsiasi valore costante). Questa proprietà può essere verificata in termini generali. Infatti si ha
∑(𝑥𝑖 − �̅�)𝑛
1
= (𝑥1 − �̅�) + (𝑥2 − �̅�) + ⋯ + (𝑥𝑁 − �̅�)
= (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ 𝑥𝑁) − 𝑛�̅�
= (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ 𝑥𝑁) − 𝑛(𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ 𝑥𝑁)
𝑛 = 0 Si abbia ad esempio una variabile che assume i seguenti valori 2, 3, 5, 10. La media aritmetica vale 5, �̅� = 5. La somma algebrica degli scarti di tali valori dal valor medio è: (2 − 5) + (3 − 5) + (5 − 5) + (10 − 5) = −3 − 2 + 5 = 0
2. La somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica è un minimo rispetto alla somma dei quadrati degli scarti da un qualsiasi altro valore diverso dalla media �̅�. Infatti partendo dai dati dell’esempio precedente, la somma dei quadrati degli scarti dal valor medio risulta
(2 − 5)2 + (3 − 5)2 + (5 − 5)2 + (10 − 5)2 = 38 mentre se prendiamo un valore qualsiasi ad esempio 6 si ha:
Classeanni
frequenza(fi) Scartosi=(xi-x)anni
Scartoquadratosi2=(xi-x)2
fi.(xi-x)2
Risultato
10-20 5 15–36.15=-21.15 447.49 5x447.49 2237.4320-30 7 25–36.15=-11.15 124.41 7x124.41 870.8630-40 5 35–36.15=-1.15 1.33 5x1.33 6.6640-50 2 45–36.15=8.85 78.25 2x78.25 156.5150-60 3 55–36.15=18.85 355.18 3x355.18 1065.5360-70 4 65–36.15=28.58 832.10 4x832.10 3328.40totale 26 7665.38
σ2 =7665.38/25 306.62σ 17.51
0
2
4
6
8
5 15 25 35 45 55 65 75
FREQ
UEN
ZE
ANNI
distribuzionedellefrequenze
ESEMPIODICALCOLODELLAMEDIAEDELLADEVIAZIONESTANDARDDIDATIRAGGRUPPATI
Media – Varianza – Deviazione Standard
x̄ media1
n·
n∑
i=1
xi1
n·
m∑
i=1
fi xi
s2 varianza1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s dev. standard
√
√
√
√
1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria
√
√
√
√
1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
Matematica con Elementi di Statistica, Anna Torre – a.a. 2013-2014
Media – Varianza – Deviazione Standard
x̄ media1
n·
n∑
i=1
xi1
n·
m∑
i=1
fi xi
s2 varianza1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s dev. standard
√
√
√
√
1
n·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)21
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
s2 campionaria
√
√
√
√
1
n− 1·
n∑
i=1
(xi − x̄)2
√
√
√
√
1
n− 1·
m∑
i=1
fi · (xi − x̄)2
Matematica con Elementi di Statistica, Anna Torre – a.a. 2013-2014
FEV(litri)classe centroCL f frel frel% df f%cum fxCcCL s s^2 fxs^22.0-2.5 2.25 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.83 3.36 0.002.5-3.0 2.75 3 0.05 5.26 6.00 5.26 0.14 1.33 1.78 0.093.0-5.5 3.25 9 0.16 15.79 18.00 21.05 0.51 0.83 0.69 0.113.0-4.0 3.75 14 0.25 24.56 28.00 45.61 0.92 0.33 0.11 0.034.0-4.5 4.25 15 0.26 26.32 30.00 71.93 1.12 -0.17 0.03 0.014.5-5.0 4.75 10 0.18 17.54 20.00 89.47 0.83 -0.67 0.44 0.085.0-5.5 5.25 6 0.11 10.53 12.00 100.00 0.55 -1.17 1.36 0.145.5-6.0 5.75 0 0.00 0.00 0.00 100.00 0.00 -1.67 2.78 0.00
57 1.00 100.00 114.00 4.08 4.08 s^2 0.459 sd 0.67 cv 0.16 media 4.07
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75 5.25 5.75
Freq
uenza(n°)
Volume(litri)
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
Freq
uenza%cum
ula7
va
Volume(litri)
050
100150200250300350400450500
100 140 180 220 260 300 340 380
Freq
uenza(n°)
Concentrazionecolesterolo(mg/dl)
0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.00100.00
100 150 200 250 300 350 400
Freq
uenza%cum
ula7
va
Titolodell'asse
COLESTEROLO(mg/dl)linf lsup centrocl f frel fre% df f%cum fxCcCL s s^2 fxs^2 80 119 100 13 0.01 1.22 0.33 1.22 1.22 99.34 9869.22 120.24120 159 140 150 0.14 14.06 3.75 15.28 19.68 59.34 3521.70 495.09160 199 180 442 0.41 41.42 11.05 56.70 74.56 19.34 374.19 155.01200 239 220 299 0.28 28.02 7.48 84.72 61.65 -20.66 426.67 119.56240 279 260 115 0.11 10.78 2.88 95.50 28.02 -60.66 3679.16 396.54280 319 300 34 0.03 3.19 0.85 98.69 9.56 -100.66 10131.64 322.85320 359 340 9 0.01 0.84 0.23 99.53 2.87 -140.66 19784.12 166.88360 399 380 5 0.00 0.47 0.13 100.00 1.78 -180.66 32636.61 152.94
1067 199.34 s^2 1929.09 s 43.92 cv 0.22 media 199.34
TRIGLICERIDImg/dllinf lsup centrocl f frel fre% df f%cum fxCcCL s s^2 fxs^2 10 0 15 25 20 9 0.03 3.19 0.90 3.19 0.64 31.28 978.23 31.2225 35 30 56 0.20 19.86 5.60 23.05 5.96 21.28 452.69 89.9035 45 40 67 0.24 23.76 6.70 46.81 9.50 11.28 127.16 30.2145 55 50 52 0.18 18.44 5.20 65.25 9.22 1.28 1.63 0.3055 65 60 44 0.16 15.60 4.40 80.85 9.36 -8.72 76.10 11.8765 75 70 16 0.06 5.67 1.60 86.52 3.97 -18.72 350.57 19.8975 85 80 20 0.07 7.09 2.00 93.62 5.67 -28.72 825.03 58.5185 95 90 4 0.01 1.42 0.40 95.04 1.28 -38.72 1499.50 21.2795 105 100 8 0.03 2.84 0.80 97.87 2.84 -48.72 2373.97 67.35105 115 110 2 0.01 0.71 0.20 98.58 0.78 -58.72 3448.44 24.46115 125 120 1 0.00 0.35 0.10 98.94 0.43 -68.72 4722.91 16.75125 135 130 1 0.00 0.35 0.10 99.29 0.46 -78.72 6197.37 21.98135 145 140 0 0.00 0.00 0.00 99.29 0.00 -88.72 7871.84 0.00145 155 150 0 0.00 0.00 0.00 99.29 0.00 -98.72 9746.31 0.00155 165 160 1 0.00 0.35 0.10 99.65 0.57 -108.72 11820.78 41.92165 175 170 1 0.00 0.35 0.10 100.00 0.60 -118.72 14095.25 49.98175 185 180 0 0.00 0.00 0.00 100.00 0.00 -128.72 16569.71 0.00
282 51.28 s^2 485.60 s 22.03 cv 0.43 media 51.28
0
10
20
30
40
50
60
70
80
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110120130140150160170180
Freq
uenzan°
Concentrazionetrigliceridi(mg/dl)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Freq
uenza%cum
ula7
va
Concentrazionetrigliceridi(mg/dl)
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75 5.25 5.75
Freq
uenza(n°)
Volume(litri)
050100150200250300350400450500
100 140 180 220 260 300 340 380
Freq
uenza(n°)
Concentrazionecolesterolo(mg/dl)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
10 30 50 70 90 110 130 150 170
Freq
uenzan°
Concentrazionetrigliceridi(mg/dl)
Confrontodelletredistribuzionipreceden,
Volumerespiratorio(LITRI)
Clesterolo(mg/dl) Trigliceridi(mg/dl)
