METODI DI FOURIER

A cura di

Pietro Pantano

Università della Calabria

INDICE

• Processi di analisi e sintesi • Molti oscillatori• Corda vibrante e armoniche• Forme d’onda e timbro• Spettrogramma• Teorema di Fourier

PROCESSI DI ANALISI E SINTESI

Processo di analisi:• un’onda sonora colpisce un microfono;• la membrana del microfono inizia a vibrare;• la vibrazione, energia meccanica, viene trasformata in una differenza di potenziale, cioè in energia elettrica;• il segnale sonoro viene quindi trasformato, attraverso la scheda sonora, da analogico in digitale;• infine il segnale viene memorizzato.Processo di sintesi:• trasformazione dei dati sonori da digitali in analogici;• le differenze di potenziale vengono trasformate in energia meccanica;• questa energia viene quindi trasmessa alla membrana delle casse;• le casse iniziano a vibrare e a produrre onde sonore.

SCHEMA ANALISI E SINTESI

MOLTI OSCILLATORI

L’accoppiamento fra sistemi oscillanti è un meccanismo fisico in base al quale le oscillazioni di ciascun sistema sono condizionate dalla presenza degli altri, e di conseguenza ha luogo un continuo trasferimento di energia tra le diverse parti oscillanti.

Se il numero di masse oscillanti cresce, il moto risultante sarà sempre più complesso, fino al limite in cui le masse sono in numero infinito, costituendo di fatto un segmento continuo di corda.

E’ bene precisare che il numero dei modi di oscillazione di un sistema (automodi di oscillazione) è pari al numero di masse messe in oscillazione.

Riportiamo di seguito cinque modi di vibrazione di cinque masse collegate da molle:

la frequenza di oscillazione andrà naturalmente aumentando dal primo al quinto modo a causa della crescente deformazione delle molle.

MOLTI OSCILLATORI (Esempio)

Se ci si spinge al limite di un numero molto grande di masse, il modo di più bassa frequenza sarà quello di tipo sincrono, quello di più alta frequenza sarà quello di massima asincronia:

MOLTI OSCILLATORI (Esempio)

CORDA VIBRANTE

La corda vibrante produce infiniti suoni anche se un solo suono alla fine domina sugli altri.La corda produce infatti dei modi di oscillazione detti parziali o armoniche della corda: il modo con minima frequenza è l’armonica fondamentale, gli altri modi sono le armoniche superiori.Il suono risultante dalla vibrazione di una corda dipende poi: • dalla lunghezza della corda, più la corda è corta più il suono risulterà acuto e viceversa;• dalla tensione della corda, più la corda è tesa più il suono risulterà acuto e viceversa;• dallo spessore della corda, più la corda è sottile più il suono risulterà acuto e viceversa.

CORDA VIBRANTE

PRIMA ARMONICA

1 1( )( ( ) ( ))k kL L m L mSin x ACos t B Sin t

Parte spaziale Parte temporale

SECONDA ARMONICA

2 2 21 1( )( ( ) ( ))k k

L L m L mSin x ACos t B Sin t

TERZA ARMONICA

1

( )( ( ) ( ))n n k n kn nL L m L m

n

Sin x A Cos t B Sin t

FORME D’ONDA

Ogni strumento musicale si porta dietro una forma d’onda particolare.Questa forma d’onda risulta dalla combinazione dell’armonica fondamentale e delle armoniche superiori.

E’ proprio la forma d’onda, risultante dal contenuto spettrale delle armoniche, a determinare il timbro di uno strumento musicale.

CHITARRA

VIOLINO

TROMBA

FLAUTO

FORME D’ONDA PARTICOLARI

Esiste un gruppo di forme d’onda di particolare simmetria che possono essere realizzate con opportune sintesi additive:

DENTE DI SEGA In quest’onda sono presenti tutte le armoniche con ampiezza decrescente

ONDA QUADRAIn quest’onda sono presenti solo le armoniche dispari con ampiezza decrescente

FORME D’ONDA PARTICOLARI

DOPPIO DENTEIn quest’onda sono presenti solo le armoniche pari con ampiezza decrescente

TRIANGOLARE

In quest’onda sono presenti solo le armoniche dispari con ampiezza decrescente prese con segni alterni

L’interesse di queste forme d’onda particolari, generabili soltanto elettronicamente, sta nel fatto che esse vengono usate nell’ambito della sintesi del suono.

FORME D’ONDA PARTICOLARI

Esempi di diverse forme d’onda risultanti dalla sintesi additiva di armoniche scelte in maniere diverse

FASI E FORME D’ONDA

Se le onde delle varie armoniche di un suono non sono in fase varia notevolmente la forma dell’onda risultante

SPETTROGRAMMA

Lo spettrogramma è una rappresentazione grafica dell’intensità del suono alle varie frequenze che lo costituiscono

FOURIER

Il matematico francese François Marie Charles Fourier (1772- 1837) inventò una teoria matematica attraverso cui è possibile provare che ogni onda periodica può essere rappresentata per mezzo di una somma di onde sinusoidali aventi ampiezze, frequenze e fasi appropriate. Una rappresentazione di Fourier di un’onda può richiedere molte componenti, addirittura un numero infinito, tuttavia è possibile approssimare un’onda utilizzando un numero finito di componenti.

TEOREMA DI FOURIER

Il teorema di Fourier afferma che: «qualunque funzione periodica, finita, continua può essere rappresentata mediante una somma di funzioni sinusoidali pure, pesate da opportuni coefficienti, nei cui argomenti compaiono tutte le frequenze (le armoniche) multiple di una frequenza fondamentale, caratterizzante la periodicità della funzione»

FUNZIONI PERIODICHE

Dopo un tempo 2 si ripete la stessa funzione f()

SERIE DI FOURIER

Consideriamo la serie trigonometrica

senza curarci di problemi di convergenza, questa definisceuna funzione periodica

una funzione periodica, qualunque sia il suo periodo, può essereconsiderata come una somma infinita di seni e di coseni

ANALISI DI FOURIER

L’analisi di Fourier è quel procedimento che conduce alla serie di armoniche che costituiscono un suono, questa analisi consiste nel determinare le ampiezze e le fasi relative a ciascuna armonica contenuta in un’onda.

COEFFICIENTI DI FOURIER

Per ricostruire una funzione periodica è necessario conoscere i coefficienti della serie trigonometrica:

ESEMPI DI ANALISI

ESEMPI DI ANALISI