Meccanicanewtoniana Newton: PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica … · 2013-03-11 ·...

II liceo scientifico

Meccanica newtoniana

Newton:

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

Christian Ferrari

Liceo di Locarno

Oggetto di studio della meccanica 1

La meccanica e lo studio del moto – e del riposo – disistemi materiali caratterizzati da osservabilispazio–temporali.

La cinematica e la parte della meccanica che si occupadello studio dei moti (o movimenti) osservatiindipendentemente dalle cause che li provocano.

La dinamica s’interessa invece alle cause del moto.

I sistemi studiati dalla meccanica sono chiamati sistemimeccanici e sono definiti come un insieme di puntimateriali sottomessi a delle forze.

Il punto materiale (PM) e una comoda astrazione perdescrivere il moto:

e un oggetto la cui quantita di materia resta costante,resta identificabile durante il moto,le sue dimensioni sono trascurabili se comparate alle

distanze percorse.

Struttura generale 2

L’osservatore per studiare un qualsiasi fenomeno fisico deve:

scegliere il sistema che desidera studiare;

scegliere delle osservabili;

possedere delle informazioni sul sistema ossia lo stato ad

ogni istante (e le proprieta del sistema);

Le grandezze che non cambiano durante l’evoluzione temporale,non rientrano nella descrizione dello stato, sono detteproprieta del sistema .Per la meccanica ad esempio:

Sistema: una particella (PM) che si muove nello spazio.

Osservabili: posizione ~x (grandezza vettoriale), velocita ~v(vettoriale), energia cinetica Ecin (scalare), quantita dimoto ~p (vettoriale).

Stato: in cinematica (~x,~v), in dinamica (~x, ~p);

Proprieta del sistema: massa m.

L’evoluzione temporale 3

Conosciuto lo stato ρ del sistema all’istante t0 e leinterazioni con l’esterno e possibile determinare in modounico lo stato per ogni t > t0: e il principio deldeterminismo.

ρ(t0)evoluzione temporale

−→ ρ(t)

Esempio in cinematica (MUA):

~x(t) = ~x0 + ~v0(t− t0) +12~a0(t− t0)

2

~v(t) = ~v0 + ~a0(t− t0)

~a(t) = ~a0

dove ρ(t0) = (~x0, ~v0) con ~x0 = ~x(t0) e ~v0 = ~v(t0) e dove

~a0 =~Fm

e legata all’interazione con l’esterno.

Spazio e tempo 4

L’esperienza mostra che:

spazio: continuo tridimensionale euclideo.

tempo: continuo unidimensionale orientato.

Sistemi di riferimento 5

Gli alberi a lato di una strada sembrano muoversi incontroa chi guida ma appaiono fermi per l’autostoppista sedutosul ciglio. Allo stesso modo il cruscotto della macchina efermo per l’autista ma e in moto per l’autostoppista.

La nozione di movimento e intrinsecamente legata a quella

di sistema di riferimento.

Per definizione un sistema di riferimento, notato R, eun insieme di N punti (N ≥ 4), non complanari, le cuidistanze rispettive restano costanti.

La scelta del sistema di riferimento e quindi la prima cosada fare per lo studio della meccanica!

Punto coincidente e sistema di coordinate 6

Sia P un PM, ad ogni stante t ∈ I ⊂ R esiste un punto Pt

fissato in R che coincide con il punto P del sistema aquesto istante.

Per definizione Pt e chiamato punto coincidente (con Pall’istante t).

E importante osservare che il punto P si sposta con ilvariare del tempo t, mentre i punti coincidenti {Pt}t∈I in Rsono immobili rispetto ad R. Essi rappresentano dei puntidel sistema di riferimento che e uno spazio euclideo edefiniscono la traiettoria del PM.

Avendo scelto un sistema di riferimento R, si chiamasistema di coordinate all’istante t una parametrizzazionedei punti del sistema di riferimento per mezzo di tre numerireali (q1, q2, q3) a questo istante.

Non confondere le nozioni di sistema di riferimento e disistema di coordinate!

Sistema di coordinate cartesiane 7

Coordinate cartesiane (x1, x2, x3): sistema di assicartesiani diretto O123 fissato ad un sistema di riferimentoR, definito da un’origine O e tre assi ortogonali, orientatiin modo diretto. Possiamo reperire un punto P di R graziea (x1, x2, x3).

Al sistema di assi cartesiani diretto O123 si associa unabase ortonormata {~e1, ~e2, ~e3} legata al punto O in modocosı che per ogni vettore

~w =

3∑

i=1

wi~ei

dove wi = ~w · ~ei e chiamata componente di ~w nelladirezione i.

Sistema di coordinate cartesiane 8

Il punto P puo quindi essere reperito dal suo vettore luogo

−−→OP = ~x =

3∑

i=1

xi~ei

P

R1

2

3

O

x1

x2

x3

Vettore posizione 9

Il vettore posizione del punto P all’istante t e−−→OPt = ~x(t)

le sue coordinate cartesiane {xi(t)}i=1,2,3 sono tali che

−−→OPt = ~x(t) =

3∑

i=1

xi(t)~ei .

Pt

Pt0

R1

2

3

~e1 ~e2

~e3

O

~x(t)

~x(t0)

Vettore velocita 10

Il vettore velocita (del punto P rispetto ad R) all’istantet e

~v(t) = lim∆t→0

−−−−−→PtPt+∆t

∆t= lim

∆t→0

∆~x

∆t=

d~x

dt.

~v(t) e un vettore legato al punto Pt tangente allatraiettoria.

Pt

Pt+∆t

R

~e1 ~e2

~e3

O

~x(t)

~x(t+∆t)

∆~x ~v(t)

Due moti semplici 11

Moto rettilineo uniforme (MRU) Il moto di un PM erettilineo ed uniforme se il vettore velocita e costante:~v(t) = ~v0. Un moto e rettilineo ed uniforme se e solo sel’accelerazione e nulla: ~a = ~0; l’evoluzione temporale e datada {

~x(t) = ~x0 + ~v0(t− t0)

~v(t) = ~v0

Moto uniformemente accelerato (MUA) Il moto diun PM e uniformemente accelerato se l’accelerazione ecostante: ~a(t) = ~a0; l’evoluzione temporale e data da

{

~x(t) = ~x0 + ~v0(t− t0) +12~a0(t− t0)

2

~v(t) = ~v0 + ~a0(t− t0)

Primi concetti di meccanica (dinamica): massa 12

La massa intesa con come quantita di materia (notataM) e un concetto associato al numero di particelle in unsistema, essa e direttamente proporzionale al volume V edil coefficiente di proporzionalita e la densita.

Per i sistemi omogenei si ha la relazione

M = ρV .

Questa definizione corrisponde a quella data da Newtonegli definisce la quantita di materia come la misura delcontenuto intrinseco di un corpo; e la prima definizione chetroviamo nei Principia

“La quantita di materia si misura con la densita e il

volume presi assieme”.

Primi concetti di meccanica (forza): forza 13

La forza e un’azione dell’esterno sul sistema, che conduceo a una deformazione o a una modifica del moto. Essa e unconcetto indipendente dal sistema di riferimento ematematicamente e una grandezza vettoriale.

Si nota ~FA→B la forza esercitata da A su B, e sirappresenta come il vettore con origine in B.

Il dinamometro e l’apparecchio di misura per l’intensitadella forza, esso si basa sul principio che lo sforzo necessarioper allungare una molla aumenta con l’allungamento.

Questa ipotesi e giustificata se per il dinamometro vale lalegge di Hooke: per piccole deformazioni l’intensita dellaforza F esercitata per deformare e direttamenteproporzionale all’allungamento ∆`

F = k∆`

dove k e chiamata costante elastica.

Massa inerziale 14

Carrellino su binario orizzontale trainato da dei pesetti

Relazione accelerazione - forza applicata

F [N]

a [m/s2]

0

0, 01

0, 02

0, 03

0, 04

0, 05

0, 06

0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 250

Possiamo concludere che

F ∝ a .

Massa inerziale 15

Introduciamo una nuova grandezza, caratteristica delcorpo, definita come il fattore di proporzionalita tra laforza e l’accelerazione, che ci dice “quanto restio e il corpoalla variazione di velocita”.Questa costante e chiamata massa inerziale (notata m).Quindi

~F = m~a

Poiche maggiore e la quantita di materia di un corpo piudifficile sara accelerarlo

M ∝ m

scegliendo in modo appropriato le unita di misura si hal’uguaglianza numerica

M = m .

E possibile misurare M tramite il rapporto F/a.

Quantita di moto 16

Un oggetto in movimento ha la possibilita di provocare ilmovimento di un altro oggetto, cioe trasferirgli una partedel suo movimento.

Scopo: associare a un corpo in movimento una grandezzaestensiva e conservata, che puo essere trasferita durante unurto.

Urto “elastico” tra due carrellini A e B (di sostanzedifferenti). La massa di B e costante, quella di A emodificata nel corso delle diverse esperienze.

A

A B

B~v′A

~v′′A

~v′B = ~0

~v′′B

inizio

fine

Quantita di moto 17

L’esperienza mostra che per ogni velocita iniziale di A c’eun trasferimento integrale della “quantita di moto” se esolo se mA = mB.

Per due carrellini A di stessa massa e stessa velocita, ma disostanze differenti si ottengono gli stessi risultati.

Quindi questa “quantita di moto” dipende solo dalla massa

e dalla velocita.

Caso A che si muove verso B = A fermo. Dopo l’urto Aresta agganciato a B e proseguono assieme. Misurando ilvalore delle velocita iniziale e finale di A osserviamo cheesso e dimezzato.

Quantita di moto 18

0

0, 1

0, 2

0, 3

0, 4

0, 5

4, 5 5 5, 5 6t [s]

v [m/s]

Abbiamo v′B = 0, v′′A = v′′B e mA = mB .

Abbiamo quindi

inizio︷︸︸︷

p(mA, v′A) + p(mB , v

′B)

︸︷︷︸

=0

cons=

fine︷︸︸︷

p(2mA, v′A/2)

est= 2p(mA, v

′A/2) .

Quantita di moto 19

Possiamo ripetere l’esperimento con un corpo A che simuove verso B = A ∪A.

A B

A ∪B

~v′A ~v′B = ~0

~v′′

mA mB = (k − 1)mA

mA∪B = kmA

inizio

fine

Il valore della velocita si divide per tre come purel’intensita della quantita di moto.

Quindi in generale (k ∈ N∗)

p(mA, v′A)

cons= p(kmA, v

′A/k)

est= kp(mA, v

′A/k)

Quantita di moto 20

Dall’uguaglianza

p(mA, v′A) = kp(mA, v

′A/k)

possiamo concludere che se la velocita (di A) e divisa perun fattore k allora anche la quantita di moto (di A) e divisaper lo stesso fattore: l’intensita della quantita di moto edunque direttamente proporzionale al valore della velocita

p ∝ v m = costante .

Dall’uguaglianza (ponendo v′′A = v′A/k)

p(kmA, v′′A) = kp(mA, v

′′A)

possiamo concludere che se la massa (di A) e moltiplicataper un fattore k allora anche la quantita di moto (di A) emoltiplicata per lo stesso fattore: l’intensita della quantitadi moto e dunque direttamente proporzionale alla massa

p ∝ m v = costante .

Questa conclusione puo essere dedotta considerando due

Quantita di moto 21

Possiamo quindi concludere che l’intensita della quantita dimoto e direttamente proporzionale al prodotto mv e leesperienze mostrano che il coefficiente di proporzionalitavale 1, dunque

p = mv .

In conclusione la quantita di moto e la grandezzaestensiva, conservata, vettoriale data da

~p = m~v

I legge di Newton 22

La I legge di Newton, o principio di inerzia afferma(Principia):

“Ciascun corpo persevera nel proprio stato di quiete o di

moto rettilineo uniforme, salvo che sia costretto a mutare

quello stato da forze”.

Prima legge di NewtonLa quantita di moto ~p di un punto materiale resta costantedurante l’evoluzione temporale se e solo se la risultantedelle forze che agiscono su di lui e uguale a zero:

∑

α

~Fα = ~0 =⇒ ~p = costante =⇒ ~v = costante

Sistemi di riferimento inerziali 23

La I legge non enuncia unicamente qualcosa sul moto deicorpi, ma definisce pure quali sistemi di riferimento sonoammissibili e possono essere utilizzati per descrivere lameccanica.

Questi sistemi di riferimento particolari, chiamati sistemidi riferimento inerziali , sono tali che rispetto ad essi

un corpo sufficientemente lontano da tutti gli altri (sistemaisolato) possiede un moto rettilineo ed uniforme.

R R′ R′′

~v(t) = ~v0 ~v(t) = ~at

PM isolatoPM isolatoPM isolatotraiettoriatraiettoria traiettoria

(a) (b) (c)


Tutti i sistemi di riferimento che hanno un MRU rispettoad un sistema di riferimento inerziale R sono anch’essisistemi di riferimento inerziali.

Infatti se ~v)

Re la velocita del corpo rispetto ad R e ~u e la

velocita di un sistema di riferimento R′ rispetto ad R,allora la velocita ~v

)

R′del corpo rispetto ad R′ e

~v)

R′= ~v

)

R− ~u

R

R′~u

~v)

R~v)

R′

PM isolato


In pratica in molti casi si sceglie un sistema di riferimento“quasi inerziale”.

In prima approssimazione e possibile scegliere la Terra(sistema di riferimento terrestre).

E possibile scegliere un sistema di riferimento “piuinerziale”, chiamato sistema di riferimentogeocentrico definito dal centro della Terra e tre stellemolto lontane (stelle fisse).

Si puo continuare cosı e trovare dei sistemi di riferimento“sempre piu inerziali”.

Sperimentalmente un sistema di riferimento e inerziale se leleggi di Newton sono verificate nel limite della precisionedegli apparecchi di misura a disposizione.

III legge di Newton 26

La III legge di Newton, anche conosciuta come principiodi azione-reazione afferma (Principia):

“L’azione e sempre uguale e contraria alla reazione: cioe le

mutue azioni di due corpi sono sempre uguali e dirette in

senso opposto”.

Terza legge di NewtonSe ~F 1→2 rappresenta la forza esercitata dal sistema 1 sul

sistema 2, allora

~F 1→2 = −~F 2→1


“Se un cavallo tira una pietra legata ad una fune, il cavallo– per cosı dire – e ritratto dalla pietra con forza eguale:perocche la corda che li unisce e che e tesa fra di essi,compie uno sforzo eguale per tirare la pietra verso ilcavallo, e il cavallo verso la pietra; e tanto impedisce ilprogresso dell’uno, quanto promuove quello dell’altra”.

~Fatr~Fp

~Fs

Σ ~T ~F~T ′

La pietra si spostera se ~T e maggiore di ~Fatr. La reazione a~T , notata ~T ′, e esercitata sul cavallo, non sulla pietra. Essanon ha alcun effetto sul moto della pietra, pero influenza ilmoto del cavallo. Se il cavallo si sposta verso destra, cidev’essere una forza ~F (verso destra), esercitata dal terrenosulle zampe del cavallo, la quale e maggiore di ~T ′.


Le forze che agiscono su un sistema Σ e hanno origineinteramente nel sistema, sono chiamate forze interne(notate ~F int). Mentre le forze che hanno origine esterna alsistema, sono chiamate forze esterne (notate ~F est).

Terza legge di Newton (bis): Ad ogni istante, qualsiasisia il moto del sistema, la somma delle forze interne e nulla

∑

α

~F intα = ~0

II legge di Newton 29

Se Σ e isolato allora la sua quantita di moto non cambia,essa cambia solo se vi e un’azione dall’esterno sul sistema.

La forza, come azione dall’esterno sul sistema che conducead una modifica del moto, dovra essere presa inconsiderazione.

La II legge di Newton afferma (Principia):

“Il cambiamento di moto e proporzionale alla forza, ed

avviene lungo la linea retta secondo la quale la forza e stata

impressa”.

Seconda legge di NewtonRispetto ad un sistema di riferimento inerziale, il tasso divariazione della quantita di moto di un PM e uguale allarisultante delle forze esterne agenti su di esso:

d~p

dt= ~F est =

∑

α

~F estα

Equazioni dell’evoluzione temporale 30

Per determinare l’evoluzione temporale degli stati ,ossia trovare delle equazioni che ci dicono come cambia lostato, in particolare come esso varia istantaneamente, servesapere qualcosa sul tasso di variazione delle osservabili ~x(t)e ~p(t), ossia

d~x

dt= . . .

d~p

dt= . . .

Dalla legge ~p = m~v = md~xdt abbiamo

d~x

dt=

~p

m

Dalla II legge di Newton

d~p

dt= ~F est

Equazioni dell’evoluzione temporale 31

Le equazioni dell’evoluzione temporale dello stato(~x, ~p) del PM sono quindi

d~x

dt(t) =

~p(t)

md~p

dt(t) = ~F est(t)

dato lo stato iniziale (~x0, ~p0) all’istante t0, si avra un’unicasoluzione (~x(t), ~p(t)): determinismo.

Osservazione: Poiche vale

d~p

dt=

d(m~v)

dt= m

d~v

dt= m~a

si ottiene la formulazione semplice della seconda legge diNewton m~a = ~F est.

Massa gravitazionale 32

Si definisce la massa gravitazionale (notata m∗) di uncorpo comparandola, per mezzo di una bilancia a piatti aduna massa di un cilindro in una lega di platino ed iridiochiamato kilogrammo standard.

��

��

``

Le osservazioni di Galileo (caduta libera) e di Newton(oscillazione dei pendoli) mostrano che la massa inerziale me la massa gravitazionale m∗ sono dei concetti equivalenti.

Se definiamo l’unita di misura della forza, ossia il Newton,come 1N = 1kg ·m/s2 possiamo porre

m = m∗

Principio di equivalenza.

Forza peso 33

Per definizione, la forza peso di un corpo e la forzaesercitata dalla Terra sul corpo sulla sua superficie o nellesue immediate vicinanze.

~Fp = m∗~g

~g e il vettore campo gravitazionale la cui intensita valeg = 9, 81N/kg.

Terra

Σ di massa m∗

~g

~Fp = ~FTerra→Σ

Legge della gravitazione universale 34

Legge della gravitazione universale (1677)Ogni punto materiale A esercita su un punto materiale Buna forza attrattiva, chiamata forza gravitazionale, dellaforma

~FA→Bgr = −G

m∗Am

∗B

‖~x‖2~x

‖~x‖, ~x = ~xB − ~xA ‖~x‖ = r

G = 6, 673 · 10−11 m3/(kg · s2) e la costante dellagravitazione universale.

A B~x

~FA→Bgr

L’origine della forza di gravita nel fatto che gli oggettihanno una massa gravitazionale!

Come introdotta da Newton la forza di gravita agisce a

distanza nello spazio vuoto ed istantaneamente.

Campo gravitazionale 35

Per eliminare l’azione a distanza e istantanea si introduce ilconcetto di campo: esso e il “mediatore” dell’interazionegravitazionale.

Il campo gravitazionale generato da m∗A e definito da

~g =~FA→Bgr

m∗B

dove m∗B e la massa di un corpo di prova.

Il campo gravitazionale esiste indipendentemente dal corpodi prova, poiche traduce l’influsso gravitazionale di m∗

A

sullo spazio circostante.

Forza elastica 36

Il concetto di forza elastica e assai generale (molle, cristalloarmonico, . . . ).

In generale una forza elastica ha la proprieta di esseredirettamente proporzionale al vettore posizione del sistemae di verso opposto

~Fel = −k~x

dove k e chiamata costante elastica ed e positiva (k > 0).

Un punto materiale la cui evoluzione temporale ecaratterizzata dalla forza elastica e chiamato oscillatorearmonico; il modello dell’oscillatore armonico puo essereconsiderato uno dei sistemi fisici piu importanti.

Forza di attrito viscoso 37

L’attrito viscoso rappresenta l’azione esercitata da unfluido su un solido, ed e un’azione che si oppone almovimento del solido rispetto al fluido.

Solido che si muove su una retta con una velocita ~v in unfluido immobile, la forza d’attrito viscoso e diretta nel versoopposto a ~v

~v

~Fatr

v

Σ

La forza di attrito viscoso e modellizzata da

~Fatr = −f(v)~v

‖~v‖= −λ vnv

n varia con la velocita e λ > 0 e il coefficiente di attrito.


Si puo misurare la forza di attrito misurando la forzaesterna che bisogna applicare al solido per mantenere lavelocita ~v costante

~v~Fatr

v

Σ~F est

Dall’equazione ~F = m~a, dove qui ~F = ~F est + ~Fatr ,deduciamo ~F est = −~Fatr.


Basse velocita La forza di attrito e data dalla legge diStokes

~Fatr = −kη vv = −kη ~v

dove k e un coefficiente che dipende dalla geometria (sferadi raggio R: k = 6πR); η e il coefficiente di viscosita(grandezza caratteristica del fluido).

Velocita piu elevate La forza di attrito e proporzionaleal quadrato della velocita:

~Fatr = −12CxρflSv

2v

dove ρfl e la densita del fluido, S la proiezione del solido suun piano perpendicolare alla velocita e Cx un parametroche dipende dalla forma del solido, chiamato coefficientedi traino.


sfera

S

~v

Π

piano perpendicolare Π

proiezione della sfera su Π

Cx = 1.32

Cx = 0.45

Cx = 0.04


I due regimi si distinguono dal comportamento del fluido alpassaggio del solido:

se il fluido non presenta una perturbazione al passaggio delsolido si parla di regime laminare → legge di Stokes;se il fluido presenta delle turbolenze al passaggio del solidosi parla di regime turbolento → la legge per velocita piuelevate.

La transizione tra i due regini e quantificata dal numerodi Reynolds Re definito nel modo seguente

Re =ρfld

ηv

dove d e un parametro geometrico del solido (sfera diraggio R: d = 2R).

Regime laminare (basse velocita) Re < 1. Regimeturbolento (alte velocita) Re > 2400.

Forza di attrito radente 42

L’attrito radente rappresenta l’azione di una superficierigida su un solido, ed e un’azione che si oppone almovimento del solido rispetto alla superficie.

��

��

~Fp

~Fp

~Fp

~Fp,‖

~Fp,⊥

~N

~N

~N

~Fatr

~Fatr

~Fatr

α

α

~FS→Σ

~F

La parte parallela alla superficie di ~FS→Σ e la forza diattrito radente ~Fatr;quella perpendicolare e la forza di reazione normale ~N .

Forza di attrito radente 43

Possiamo misurare la forza di attrito radente misurando laforza esterna che bisogna applicare al solido per mantenerela velocita costante. L’esperienza mostra che bisognatrattare separatamente i casi ~v 6= ~0 e ~v = ~0.

Caso ~v 6= ~0 Vale la legge di Coulomb (attrito dinamico):

~Fatr = −µcNv

µc > 0 e il coefficiente di attrito cinetico.

Caso ~v = ~0 Vale la legge di Coulomb (attrito statico):

Fatr ≤ Fatr,max = µsN se ~v = ~0

µs > 0 e il coefficiente di attrito statico.

Fin tanto che l’intensita della forza esterna ~F est e inferiorea Fatr,max, chiamata forza di strappo, il corpo restaimmobile.

Potenza e lavoro 44

Consideriamo una forza ~F che agisce su un PM dato dalvettore posizione ~x e di velocita ~v

~v(t)

~x(t) ~F (t)

R

O α

La potenza sviluppata dalla forza ~F all’istante t e lagrandezza scalare definita da

P = ~F · ~v = ‖~F‖‖~v‖ cosα =

3∑

i=1

Fivi

dove α ∈ [0, π] e l’angolo tra ~F e ~v.

Potenza e lavoro 45

Il lavoro effettuato dalla forza ~F durante l’intervallo ditempo (ti, tf ) e definito da

W (ti, tf ) =

∫ tf

ti

P (t) dtPSfrag replacemen

tti tf

P (t)

Se l’angolo α = π2 possiamo notare che, per le forze

perpendicolari alla velocita del loro punto di applicazione,la potenza sviluppata e nulla.

Una forza e detta passiva se il lavoro durantel’evoluzione temporale e nullo, una forza e detta attiva nelcaso contrario.

Potenza e lavoro 46

Caso particolare in cui ~F e costante

W (ti, tf ) = ~F ·∆~x = ~F · [~x(tf )− ~x(ti)]

Caso unidimensionale con ~F = F1~e1 costante

x1

F1(x1)

F1

x1,fx1,i

W (ti, tf )

Caso unidimensionale in cui ~F dipende solo da ~x

x1 x1

F1(x1) F1(x1)

x1,f x1,fx1,i x1,i

W (ti, tf )

Energia cinetica 47

L’energia cinetica di un PM e la grandezza positiva,scalare ed estensiva definita da

Ecin = 12mv2

L’energia cinetica e un’osservabile, dato lo stato (~x, ~p) siottiene

Ecin =p2

2m

Teorema dell’energia cineticaLa variazione di energia cinetica durante l’intervallo ditempo (ti, tf ) e uguale alla somma del lavoro effettuato datutte le forze esterne ed interne:

∆Ecin(ti, tf ) = W est(ti, tf ) +W int(ti, tf )

Forze conservative 48

Consideriamo due punti A e D, di vettore posizione ~xA e~xD, e due possibili traiettorie γ e δ per andare da A a D

AA

B

CDD

~F

~Fatr

~Fatr

~Fatr~Fatr

δ1

δ2

δ3

γ

Forza d’attrito radente ~Fatr: W (γ) 6= W (δ)

W (δ) = W (δ1) +W (δ2) +W (δ3) = W (δ1) +W (γ) +W (δ3)

= W (γ) + 2W (δ1)

Forza costante ~F da A verso D: W (γ) = W (δ)

W (δ) = W (δ1) +W (δ2) +W (δ3) = W (δ1) +W (γ) +W (δ3)

= W (γ)

Forze conservative 49

Esistono delle forze per le quali il lavoro sviluppato non

dipende dalla traiettoria per andar da A a D, maunicamente dalla posizione iniziale e dalla posizione finale.

Una forza e detta conservativa se il lavoro che effettuadipende unicamente dalla posizione iniziale ~xi e dallaposizione finale ~xf e non dalla traiettoria specifica, cio per

ogni possibile posizione iniziale e finale. Nel caso contrariola forza e detta non conservativa.

Ecco una classificazione:

Nome Forza ~F conservativa

Forze costanti ~F sıForza peso m∗~g sı

Forza elastica −k~x sıForza d’attrito viscoso −λ~v, −λv2v noForza d’attrito radente −µNv no

Energia potenziale 50

Per le forze conservative ~F = ~F (~x) e possibile associare unafunzione Epot = Epot(~x) tale che il lavoro generato dallaforza soddisfa la relazione

W (c)(ti, tf ) = −∆Epot(ti, tf )

La funzione Epot e chiamata energia potenziale associata

alla forza ~F .

L’energia potenziale e definita salvo una costante infatti

W (c)(con Epot) = −∆Epot = −∆(Epot + C) = −∆Epot − ∆C︸︷︷︸

=0

= W (c)(con Epot) .

Energia potenziale 51

Espressioni per l’energia potenziale di alcune forzeForza costante ~F

Epot(~x) = − ~F · ~x

Forza elastica ~F = −k~x

Epot(~x) =1

2kx2 .

x1

F1(x1)x1,fx1,i

W (c)

W (c) = 12F1(x1,f )(x1,f−x1,i) =

12 (−kx1)x1 = − 1

2kx21 = − 1

2kx2

W (c) = −∆Epot =⇒ − 12kx

2 = −(Epot(~x)− Epot(~0)︸︷︷︸

=0

)

Energia meccanica 52

PM che subisce delle forze conservative (lavoro W (c)), edelle forze non conservative (lavoro W (nc)).

Dal teorema dell’energia cinetica

∆Ecin = W = W (c) +W (nc)

e, poiche W (c) = −∆Epot

∆Ecin = −∆Epot +W (nc) =⇒ ∆(Ecin + Epot) = W (nc)

L’energia meccanica e definita da

Emec = Ecin + Epot

Teorema dell’energia meccanicaLa variazione di energia meccanica durante l’intervallo ditempo (ti, tf ) e uguale alla somma del lavoro effettuato datutte le forze che non contribuiscono all’energia potenziale:

∆Emec(ti, tf ) = W (nc)(ti, tf )

Energia meccanica 53

Caso particolare:

Se tutte le forze attive sono conservative, l’energiameccanica e costante durante l’evoluzione temporale:

Emec(t) = Emec(t0)

In questo caso, la variazione di energia cinetica, durantel’intervallo (ti, tf ), e l’opposto alla variazione di energiapotenziale

∆Ecin = −∆Epot .

Urti 54

Si chiama urto ogni interazione tra due o piu sistemi che sieffettua in un intervallo di tempo limitato: prima e dopol’urto le forze tra i vari sistemi sono trascurabili.

Nello studio degli urti ci si interessa unicamente allo statoiniziale e allo stato finale e non al dettaglio dell’evoluzionetemporale, che durante l’urto puo essere molto complessa.

I problemi tipici in cui intervengono gli urti sono lecollisioni (a, b) e le disintegrazioni (c) di un sistema in piusottosistemi.

ti

tf

(a) (b) (c)

Urti 55

Se il sistema totale e isolato allora la quantita di motototale e l’energia totale sono delle costanti del moto.La costanza dell’energia totale non corrisponde allacostanza dell’energia cinetica, parte dell’energia cineticapuo essere convertita in altre forme di energia.Abbiamo la seguente classificazione degli urti:

se ∆Ecin = 0 allora l’urto e detto elastico;se ∆Ecin 6= 0 allora l’urto e detto anelastico;se dopo l’urto la velocita dei sistemi e la stessa (e quindi isistemi proseguono attaccati) si parla di urtocompletamente anelastico.

Per risolvere i problemi di urti in un sistema isolato si avra

~ptot(ti) = ~ptot(tf )

e nel caso degli urti elastici

Ecintot (ti) = Ecin

tot (tf )

dove se ti = 0 allora tf → ∞.

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