Travi In esse ad Asse Rettilineo: la Linea Elastica

Quaderni di Scienza delle Costruzioni

Meccanica delle Strutture

Travi Inflesse ad Asse Rettilineo:

la Linea Elastica

Esercizi svolti

Giuseppe Vairo

Universit degli Studi di Roma “Tor Vergata”

Avvertenza

Queste note rappresentano la stesura preliminare di una raccolta di temid’esame svolti e relativi all’insegnamento di Scienza delle Costruzioni. Lanotazione adottata e gli argomenti trattati si riferiscono al corso di “Scienzadelle Costruzioni 1”(9 crediti formativi) rivolto agli allievi dei corsi di Laureain Ingegneria Energetica e Ingegneria Meccanica.

Data la loro natura preliminare contengono certamente errori di stampaed imprecisioni. Si pregano pertanto gli allievi di volerci segnalare entrambi,nonche di indicarci quei passaggi che non risultassero comprensibili ad unaprima lettura.

Roma, Aprile 2020 prof. ing. Giuseppe Vairo

Tema 1

Per la struttura riportata in Fig. 1 determinare l’espressione analitica dellefunzioni di rotazione ed abbassamento integrando le equazioni della linea elas-tica (primo ordine). Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sol-lecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazionedeformata per la linea d’asse della struttura.

Fig. 1 Struttura relativa al tema 1.

La struttura proposta e isostatica. La Fig. 2 mostra le reazioni vinco-lari ed i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione al variare dellacoordinata assiale z. In particolare, risulta:

N(z) = 0 ∀ z

T (z) =

F z ∈ (0, `) (su AB)F z ∈ (`, 2`) (su BC)0 z ∈ (2`, 3`) (su CD)−F z ∈ (3`, 4`) (su DE)

M(z) =

−F (`− z) z ∈ (0, `) (su AB)−F (`− z) z ∈ (`, 2`) (su BC)F` z ∈ (2`, 3`) (su CD)F (4`− z) z ∈ (3`, 4`) (su DE)

Pertanto, trascurando gli effetti di deformabilita tagliante (cioe utiliz-zando il modello di trave alla Eulero-Bernoulli), l’integrazione delle equazioniindefinite della linea elastica sui diversi tratti matematici della struttura for-nisce:

wAB(z) = C1, φAB(z) = −F`zEI

+Fz2

2EI+ C2

vAB(z) =F`z2

2EI− Fz3

6EI− C2z + C3

1

2 G. Vairo - Universita degli Studi di Roma “Tor Vergata”

Fig. 2 Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione (tema 1).

wBC(z) = C4, φBC(z) = −F`zEI

+Fz2

2EI+ C5

vBC(z) =F`z2

2EI− Fz3

6EI− C5z + C6

wCD(z) = C7, φCD(z) =F`z

EI+ C8

vCD(z) = −F`z2

2EI− C8z + C9

wDE(z) = C10, φDE(z) =4F`z

EI− Fz2

2EI+ C11

vDE(z) = −2F`z2

EI+F`z3

6EI− C11z + C12

Travi Inflesse ad Asse Rettilineo: la Linea Elastica 3

Fig. 3 Configurazione deformata per la linea d’asse della struttura (tema 1).

dove le Ci rappresentano costanti di integrazione da determinare attraversol’imposizione di opportune condizioni al contorno di tipo cinematico. In par-ticolare, le 12 condizioni al contorno che risolvono in modo unico il problemarisultano:

1)wA = wAB(0) = 0

2) vA = vAB(0) = 0

3)φA = φAB(0) = 0

4)w−B = w+B ⇒ wAB(`) = wBC(`)

5) v−B = v+B ⇒ vAB(`) = vBC(`)

6)w−C = w+C ⇒ wBC(2`) = wCD(2`)

7) v−C = v+C ⇒ vBC(2`) = vCD(2`)

8)φ−C = φ+C ⇒ φBC(2`) = φCD(2`)

9) vC = 0 ⇒ vBC(2`) = 0

10)w−D = w+D ⇒ wCD(3`) = wDE(3`)

11)φ−D = φ+D ⇒ φCD(3`) = φDE(3`)

12) vE = 0 ⇒ vDE(4`) = 0

Si osservi che le precedenti condizioni consentono di verificare immedi-atamente l’annullarsi dello spostamento orizzontale w per ogni valore dellacoordinata z. Cio poteva prevedersi a priori (omettendo quindi l’integrazionedell’equazione differenziale relativa a w e le corrispondenti condizioni albordo), risultando ovunque nullo lo sforzo normale e non essendo presentidistorsioni di tipo assiale.

La Fig. 3 mostra qualitativamente la configurazione deformata della linead’asse per la struttura in esame.


Tema 2

Per la struttura riportata in Fig. 4 determinare l’espressione analitica dellefunzioni di rotazione ed abbassamento integrando le equazioni della linea elas-tica (primo ordine). Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sol-lecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazionedeformata per la linea d’asse della struttura.


La struttura proposta e isostatica. La Fig. 5 mostra le reazioni vincolaried i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione al variare della coordi-nata assiale z. Si vuole ricordare che su strutture isostatiche le distorsioni edi cedimenti vincolari non inducono reazioni vincolari e quindi caratteristichedella sollecitazione. In particolare, risulta:

N(z) = 0 ∀ z

T (z) =

0 z ∈ (0, `) (su AB)−m/` z ∈ (`, 2`) (su BC)−m/` z ∈ (2`, 3`) (su CD)0 z ∈ (3`, 4`) (su DE)

M(z) =

m z ∈ (0, `) (su AB)m` (2`− z) z ∈ (`, 2`) (su BC)m` (2`− z) z ∈ (2`, 3`) (su CD)−m z ∈ (3`, 4`) (su DE)

Trascurando gli effetti di deformabilita tagliante ed evitando di consider-are il parametro di spostamento w, identicamente nullo a priori, l’integrazionedelle equazioni indefinite della linea elastica sui diversi tratti matematici dellastruttura fornisce:

φAB(z) =mz

EI+ C1

vAB(z) = −mz2

2EI− C1z + C2



φBC(z) = 2mz

EI− mz2

2ÈI+ C3

vBC(z) = −mz2

EI+

mz3

6ÈI− C3z + C4

φCD(z) =2mz

EI− mz2

2ÈI+ µz + C5

vCD(z) = −mz2

EI+

mz3

6ÈI− µz2

2− C5z + C6

φDE(z) = −mzEI

+ µz + C7

vDE(z) =mz2

2EI− µz2

2− C7z + C8

dove le Ci rappresentano costanti di integrazione da determinare attraversol’imposizione di opportune condizioni al contorno di tipo cinematico.

Si osservi che, nel rispetto della convenzione secondo cui sono positivele distorsioni che fanno compiere lavoro positivo alle caratteristiche di sol-lecitazione duali positive, la quantita µ = −2α∆t/h e negativa, avendo as-



sunto positiva la variazione termica ∆t ed essendo: α il coefficiente di di-latazione lineare del materiale, h la dimensione trasversale della sezione retta.

Tenuto conto dei cedimenti vincolari anelastici assegnati, le 8 condizionial contorno che risolvono in modo unico il problema sono:

1)φA = φAB(0) = ϕ

2) v−B = v+B ⇒ vAB(`) = vBC(`)

3)φ−B = φ+B ⇒ φAB(`) = φBC(`)

4) vB = 0 ⇒ vAB(`) = 0;

5) v−C = v+C ⇒ vBC(2`) = vCD(2`)

6) v−D = v+D ⇒ vCD(3`) = vDE(3`)

7)φ−D = φ+D ⇒ φCD(3`) = φDE(3`)

8) vD = δ ⇒ vDE(3`) = δ

La Fig. 6 mostra qualitativamente la configurazione deformata della linead’asse per la struttura in esame.


Tema 3

Per la struttura riportata in Fig. 7 determinare l’espressione analitica dellefunzioni di rotazione ed abbassamento integrando le equazioni della linea elas-tica (primo ordine). Si assuma q > m/`2. Si disegnino i diagrammi dellecaratteristiche di sollecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa(trascurando la deformabilita assiale della struttura) della configurazione de-formata per la linea d’asse della struttura.


La struttura proposta e isostatica e le caratteristiche della sollecitazionepossono ricavarsi operando per sovrapposizione degli effetti. Le figure 8 e 9riportano rispettivamente le reazioni vincolari ed i diagrammi delle caratter-istiche della sollecitazione al variare della coordinata assiale z nel caso in cuiagiscano separatamente il carico distribuito q e la coppia m.

In particolare, risulta:

N(z) = −m`

∀ z

T (z) =

−qz z ∈ (0, `) (su AB)−m

` z ∈ (`, 2`) (su BC)m` z ∈ (2`, 3`) (su CD)m` z ∈ (3`, 4`) (su DE)

M(z) =

q2 (`2 − z2) z ∈ (0, `) (su AB)−m

` (z − `) z ∈ (`, 2`) (su BC)m` (z − 3`) z ∈ (2`, 3`) (su CD)m` (z − 3`) z ∈ (3`, 4`) (su DE)

Pertanto, trascurando gli effetti di deformabilita tagliante, l’integrazionedelle equazioni indefinite della linea elastica sui diversi tratti matematici dellastruttura fornisce:


Fig. 8 Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione dovute al solo caricodistribuito q (tema 3).

Fig. 9 Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione dovute alla sola coppiam (tema 3).

wAB(z) = − mz

`EA+ C1, φAB(z) =

q`2z

2EI− qz3

6EI+ C2

vAB(z) =q`2z2

4EI− qz4

24EI+ C2z + C3


wBC(z) = − mz

ÈA+ C4, φBC(z) =

mz

EI− mz2

2ÈI+ C5

vBC(z) = −mz2

2EI+

mz3

6ÈI− C5z + C6

wCD(z) = − mz

ÈA+ C7, φCD(z) =

mz2

2ÈI− 3mz

EI+ C8

vCD(z) = − mz3

6ÈI+

3mz2

2EI− C8z + C9

wDE(z) = − mz

ÈA+ C10, φDE(z) =

mz2

2ÈI− 3mz

EI+ C11

vDE(z) = − mz3

6ÈI+

3mz2

2EI− C11z + C12

dove le Ci rappresentano costanti di integrazione da determinare attraversol’imposizione di opportune condizioni al contorno. In particolare, le 12 con-dizioni al contorno che risolvono in modo unico il problema risultano:

1)wA = wAB(0) = 0

2)φA = φAB(0) = 0

3) vB = vAB(`) = 0

4)w−B = w+B ⇒ wAB(`) = wBC(`)

5) v−B = v+B ⇒ vAB(`) = vBC(`)

6)w−C = w+C ⇒ wBC(2`) = wCD(2`)

7) v−C = v+C ⇒ vBC(2`) = vCD(2`)

8)φ−C = φ+C ⇒ φBC(2`) = φCD(2`)

9) − EIv′′′+C + EIv′′′−C = kvC (1)

⇒ EI[v′′′CD(2`)− v′′′BC(2`)] = −kvBC(2`)

10)

√2

2(w−D − v

−D) =

√2

2(w+

D − v+D)

⇒ wCD(3`)− vCD(3`) = wDE(3`)− vDE(3`)

11)wE = 0 ⇒ wDE(4`) = 0

12) vE = 0 ⇒ vDE(4`) = 0



dove tutte le condizioni al contorno, ad eccezione della 9, sono di tipocinematico (cioe coinvolgono esclusivamente grandezze cinematiche). La con-dizione 9, invece, tiene conto del cedimento vincolare elastico per il carrelloin C e rappresenta una condizione al contorno di tipo accoppiato, nel sensoche lega grandezze di natura statica (il salto di taglio in C) con parametricinematici (lo spostamento vC).

La Fig. 10 mostra qualitativamente la configurazione deformata della linead’asse per la struttura in esame, avendo trascurato la sua deformabilita assialeed avendo operato per sovrapposizione degli effetti.


Tema 4

Per la struttura riportata in Fig. 11 determinare l’espressione analitica dellefunzioni di rotazione ed abbassamento integrando le equazioni del quarto or-dine della linea elastica. Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sol-lecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazionedeformata per la linea d’asse della struttura.


La struttura proposta e isostatica. Evitando di considerare il parametrodi spostamento w, identicamente nullo a priori, l’integrazione delle equazionidella linea elastica del quarto ordine sui diversi tratti matematici della strut-tura fornisce:

vAB(z) =qz4

24EI+ C1

z3

6+ C2

z2

2+ C3z + C4

vBC(z) =qz4

24EI+ C5

z3

6+ C6

z2

2+ C7z + C8

vCD(z) = C9z3

6+ C10

z2

2+ C11z + C12

vDE(z) = C13z3

6+ C14

z2

2+ C15z + C16

dove le Ci rappresentano costanti di integrazione da determinare attraversol’imposizione di opportune condizioni al contorno sia di tipo cinematico chestatico.

In particolare, le 16 condizioni al contorno che risolvono in modo unico ilproblema risultano:

1)φA = 0 ⇒ v′AB(0) = 0



2) v−B = 0 ⇒ vAB(`) = 0

3)φ+B = φ−B ⇒ v′AB(`) = v′BC(`)

4) v+C = v−C ⇒ vBC(2`) = vCD(2`)

5)φ+D = φ−D ⇒ v′CD(3`) = v′DE(3`)

6) v+D = v−D ⇒ vCD(3`) = vDE(3`)

7) vE = 0 ⇒ vDE(4`) = 0



8)TA = 0 ⇒ v′′′AB(0) = 0

9)T+B = 0 ⇒ v′′′BC(`) = 0

10)M+B = M−B ;⇒ v′′AB(`) = v′′BC(`)

11)M−C = 0 ⇒ v′′BC(2`) = 0

12)M+C = 0 ⇒ v′′CD(2`) = 0

13)T+C = T−C ;⇒ v′′′BC(2`) = v′′′CD(2`)

14)M+D = M−D ;⇒ v′′CD(3`) = v′′DE(3`)

15)ME = 0 ⇒ v′′DE(4`) = 0,

16)T+D − T

−D = −RD ⇒ T+

D − T−D = kvvD

⇒ EI[v′′′CD(3`)− v′′′DE(3`)] = kvvDE(3`)

Le prime 7 condizioni al contorno sono di natura strettamente cinemat-ica, quelle dalla 8 alla 15 sono di natura statica, mentre l’ultima condizione,tenuto conto del cedimento vincolare elastico per il carrello in D, rappresentauna condizione al contorno di tipo accoppiato, nel senso che lega grandezzedi natura statica (il salto di taglio in D) con parametri cinematici (lo sposta-mento vD).

La Fig. 12 mostra le reazioni vincolari ed i diagrammi delle caratteristichedella sollecitazione al variare della coordinata assiale z, mentre la Fig. 13mostra qualitativamente la configurazione deformata della linea d’asse per lastruttura in esame.


Tema 5

Per la struttura riportata in figura 14 determinare l’espressione analitica dellefunzioni di spostamento e rotazione integrando le equazioni del quarto or-dine della linea elastica. Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sol-lecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazionedeformata per la linea d’asse della struttura.


La struttura proposta e isostatica.Nell’ipotesi di deformabilita assiale della struttura, risultando presenti

forze (reattive in questo caso) con componente orizzontale non nulla, enecessario considerare il parametro di spostamento w. L’integrazione delleequazioni della linea elastica del quarto ordine sui diversi tratti matematicidella struttura fornisce:

wAB(z) = C1z + C2

vAB(z) = C3z3

6+ C4

z2

2+ C5z + C6

wBC(z) = C7z + C8

vBC(z) = C9z3

6+ C10

z2

2+ C11z + C12

wCD(z) = C13z + C14

vCD(z) = C15z3

6+ C16

z2

2+ C17z + C18

dove le Ci rappresentano costanti di integrazione da determinare attraversol’imposizione di condizioni al contorno sia di tipo cinematico che statico.

In particolare, osservando che i versori e ed e⊥ indicati in figura risultano

rispettivamente pari a e =√22 (−j + k), e⊥ =

√22 (j + k), le 18 condizioni al

contorno che risolvono il problema sono:


Fig. 15 Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione dovute alla sola forzaF (tema 5).

1) sA · e =

√2

2(vAj + wAk) · (−j + k) = 0 ⇒ vAB(0) = wAB(0)

2)w+B = w−B ⇒ wAB(`) = wBC(`)

3) v+B = v−B ⇒ vAB(`) = vBC(`)

4) vB = 0 ⇒ vAB(`) = 0

5)φ+B = φ−B ⇒ v′AB(`) = v′BC(`)

6)φ+C = φ−C ⇒ v′BC(2`) = v′CD(2`)

7) (s+C − s−C) · e = 0 ⇒ wBC(2`)− wCD(2`) = vBC(2`)− vCD(2`)


Fig. 16 Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione dovute alla sola coppiam (tema 5).

8)wD = 0 ⇒ wCD(3`) = 0

9) vD = 0 ⇒ vCD(3`) = 0

10)MA = −m ⇒ EIv′′AB(0) = m

11)RA · e⊥ =

√2

2(−TAj−NAk) · (j + k) = 0 ⇒ EIv′′′AB(0) = EAw′AB(0)

12)N+B = N−B ⇒ w′AB(`) = w′BC(`)

13)M+B = M−B ⇒ v′′AB(`) = v′′BC(`)

14)N+C = N−C ⇒ w′BC(2`) = w′CD(2`)

15)M+C = M−C ⇒ v′′BC(2`) = v′′CD(2`)

16)T+C − T

−C = −F ⇒ EI[v′′′CD(2`)− v′′′BC(2`)] = F

17)R−C · e⊥ =

√2

2(T−C j +N−C k) · (j + k) = 0 ⇒ EIv′′′BC(2`) = EAw′BC(2`)

18)MD = 0 ⇒ v′′CD(3`) = 0



Le caratteristiche della sollecitazione possono ricavarsi, operando persovrapposizione degli effetti, attraverso semplici considerazioni di staticagrafica. Le figure 15 e 16 riportano rispettivamente le reazioni vincolari ele caratteristiche della sollecitazione nel caso in cui agiscano separatamentela forza F e la coppia m. Infine, in Fig. 17 e illustrata qualitativamente la con-figurazione deformata per la linea d’asse della struttura, considerando sempreciascun ente di carico agente singolarmente.


Tema 6

Per la struttura riportata in Fig. 18 determinare l’espressione analitica dellefunzioni di rotazione ed abbassamento integrando le equazioni del quarto or-dine della linea elastica. Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sol-lecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazionedeformata per la linea d’asse della struttura.


La struttura proposta e isostatica. Il parametro di spostamento w puoconsiderarsi identicamente nullo a priori in quanto non esistono forze (attivee/o reattive) o distorsioni (concentrate e/o distribuite) con componente oriz-zontale non nulla. Pertanto, l’integrazione delle equazioni della linea elasticadel quarto ordine sui diversi tratti matematici della struttura fornisce:

vAB(z) = C1z3

6+ C2

z2

2+ C3z + C4

vBC(z) = C5z3

6+ C6

z2

2+ C7z + C8

vCD(z) = C9z3

6+ C10

z2

2+ C11z + C12

vDE(z) = C13z3

6+ C14

z2

2+ C15z + C16

dove le Ci rappresentano costanti di integrazione da determinare imponendoopportune condizioni al contorno sia di tipo cinematico che statico.

In particolare, le 16 condizioni al contorno che risolvono in modo unico ilproblema risultano:

1) vA = δ ⇒ vAB(0) = δ

2) v−B = v+B ⇒ vAB(`) = vBC(`)

3)φ−B = φ+B ⇒ v′AB(`) = v′BC(`)


4) v−C = v+C ⇒ vBC(2`) = vCD(2`)

5)φ−C = φ+C ⇒ v′BC(2`) = v′CD(2`)

6)φ−D = φ+D ⇒ v′CD(3`) = v′DE(3`)

7) vE = 0 ⇒ vDE(4`) = 0

8)φE = −ϕ ⇒ v′DE(4`) = ϕ

9)MA = 0 ⇒ v′′AB(0) = 0

10)T+B = T−B ⇒ v′′′AB(`) = v′′′AB(`)

11)M+B = M−B ;⇒ v′′AB(`) = v′′BC(`)

12)T+C − T

−C = −F ⇒ −EIv′′′CD(2`) + EIv′′′BC(2`) = −F

13)M+C = M−C ⇒ v′′CD(2`) = v′′BC(2`)

14)TD = 0;⇒ v′′′CD(3`) = 0

15)T+D = T−D ;⇒ v′′′CD(3`) = v′′′DE(3`)

16)M+D = M−D ⇒ v′′CD(3`) = v′′DE(3`),

Le prime 8 condizioni al contorno sono di natura strettamente cinematica,quelle dalla 9 alla 16, invece, di natura statica.

La Fig. 19 mostra le reazioni vincolari ed i diagrammi delle caratteristichedella sollecitazione al variare della coordinata assiale z, mentre la Fig. 20mostra qualitativamente la configurazione deformata della linea d’asse per lastruttura in esame, ottenuta operando per sovrapposizione degli effetti.

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