MECCANICA RAZIONALE — Appello del 13 febbraio 2019 ... · MECCANICA RAZIONALE — Appello del 13...
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MECCANICA RAZIONALE — Appello del 13 febbraio 2019 Tempo a disposizione: 2 ore. Cellulari, calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Vanno consegnati solo questo foglio e la “bella”. Alle risposte non giustificate (per esempio, equazioni cardinali per le quali non ` e specificato il sistema oppure il polo) verranno assegnati 0 punti. Non si pu` o uscire durante la prova. Esercizio 1. Nel sistema in figura, posto in un piano verticale, un disco omogeneo (di massa m e raggio R) rotola senza strisciare su una guida orizzontale, mentre una lamina (anch’essa omogenea e di massa m, avente la forma di un triangolo rettangolo isoscele con i cateti di lunghezza l) si appoggia senza attrito sul disco e ha i vertici A e B vincolati a scorrere (anch’essi senza attrito) lungo una guida verticale. Un’asta omogenea (di massa M e lunghezza l) ha l’estremo C incernierato nel centro del disco. Sull’altro estremo D dell’asta agisce una forza costante di modulo F . Supponendo che tutti i vincoli siano bilateri e utilizzando gli assi cartesiani indicati in figura e le coordinate libere x = x C e ✓: a) si dimostri che le coordinate del baricentro G della lamina sono x G = l/3e y G = (1 + p 2)R - x +2l/3; b) si trovino F e M affinch´ e il sistema sia in equilibrio quando x =3R p 2/2e ✓ = ⇡/4; c) si calcoli l’azione che il disco esercita sulla lamina (nel punto E); d) si calcoli l’azione che il disco esercita sull’asta (nel punto C ); e) si calcolino le reazioni vincolari nei punti A, B e L. Esercizio 2. Nel sistema in figura, posto in un piano verticale, una lamina quadrata omogenea (di massa m e lato a) scorre su una guida orizzontale. Nel suo vertice C ` e incernierata un’asta omogenea (di massa m e lunghezza l), il cui estremo D scorre lungo una guida verticale. Utilizzando la coordinata libera ✓ e supponendo tutti i vincoli bilateri e lisci: a) si calcoli l’energia cinetica del sistema; b) si scriva l’equazione di↵erenziale del moto; c) sapendo che inizialmente il sistema ` e fermo con ✓(0) = ⇡/3, si calcoli la velocit`a angolare dell’asta nel momento in cui essa ` e orizzontale; d) nelle ipotesi del punto precedente, si calcoli la reazione vincolare in D durante il moto, in funzione di ✓; e) si calcoli il momento M (t) della coppia da applicare all’asta affinch´ e il moto sia dato da ✓(t)= !t. θ A B G E C D L x y F A B C D θ y x
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MECCANICA RAZIONALE — Appello del 13 febbraio 2019
Tempo a disposizione: 2 ore. Cellulari, calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Vannoconsegnati solo questo foglio e la “bella”. Alle risposte non giustificate (per esempio, equazionicardinali per le quali non e specificato il sistema oppure il polo) verranno assegnati 0 punti. Non sipuo uscire durante la prova.
Esercizio 1. Nel sistema in figura, posto in un pianoverticale, un disco omogeneo (di massa m e raggioR) rotola senza strisciare su una guida orizzontale,mentre una lamina (anch’essa omogenea e di massam,avente la forma di un triangolo rettangolo isoscele coni cateti di lunghezza l) si appoggia senza attrito suldisco e ha i vertici A e B vincolati a scorrere (anch’essisenza attrito) lungo una guida verticale. Un’astaomogenea (di massa M e lunghezza l) ha l’estremo Cincernierato nel centro del disco. Sull’altro estremoD dell’asta agisce una forza costante di moduloF . Supponendo che tutti i vincoli siano bilateri eutilizzando gli assi cartesiani indicati in figura e lecoordinate libere x = xC e ✓:
a) si dimostri che le coordinate del baricentro G dellalamina sono xG = l/3 e yG = (1 +
p2)R� x+ 2l/3;
b) si trovino F e M a�nche il sistema sia in equilibrioquando x = 3R
p2/2 e ✓ = ⇡/4;
c) si calcoli l’azione che il disco esercita sulla lamina(nel punto E);
d) si calcoli l’azione che il disco esercita sull’asta (nelpunto C);
e) si calcolino le reazioni vincolari nei punti A, B e L.
Esercizio 2. Nel sistema in figura, posto in un pianoverticale, una lamina quadrata omogenea (di massam e lato a) scorre su una guida orizzontale. Nel suovertice C e incernierata un’asta omogenea (di massam e lunghezza l), il cui estremo D scorre lungo unaguida verticale. Utilizzando la coordinata libera ✓ esupponendo tutti i vincoli bilateri e lisci:
a) si calcoli l’energia cinetica del sistema;
b) si scriva l’equazione di↵erenziale del moto;
c) sapendo che inizialmente il sistema e fermo con✓(0) = ⇡/3, si calcoli la velocita angolare dell’asta nelmomento in cui essa e orizzontale;
d) nelle ipotesi del punto precedente, si calcoli lareazione vincolare in D durante il moto, in funzionedi ✓;
e) si calcoli il momento M(t) della coppia da applicareall’asta a�nche il moto sia dato da ✓(t) = !t.
θ
A
B
G
E
C
D
L
x
y
F
A B
C
D
θ
yyy
x
