MECCANICA RAZIONALE — Appello del 13 febbraio 2019

Tempo a disposizione: 2 ore. Cellulari, calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Vannoconsegnati solo questo foglio e la “bella”. Alle risposte non giustificate (per esempio, equazionicardinali per le quali non e specificato il sistema oppure il polo) verranno assegnati 0 punti. Non sipuo uscire durante la prova.

Esercizio 1. Nel sistema in figura, posto in un pianoverticale, un disco omogeneo (di massa m e raggioR) rotola senza strisciare su una guida orizzontale,mentre una lamina (anch’essa omogenea e di massam,avente la forma di un triangolo rettangolo isoscele coni cateti di lunghezza l) si appoggia senza attrito suldisco e ha i vertici A e B vincolati a scorrere (anch’essisenza attrito) lungo una guida verticale. Un’astaomogenea (di massa M e lunghezza l) ha l’estremo Cincernierato nel centro del disco. Sull’altro estremoD dell’asta agisce una forza costante di moduloF . Supponendo che tutti i vincoli siano bilateri eutilizzando gli assi cartesiani indicati in figura e lecoordinate libere x = xC e ✓:

a) si dimostri che le coordinate del baricentro G dellalamina sono xG = l/3 e yG = (1 +

p2)R� x+ 2l/3;

b) si trovino F e M a�nche il sistema sia in equilibrioquando x = 3R

p2/2 e ✓ = ⇡/4;

c) si calcoli l’azione che il disco esercita sulla lamina(nel punto E);

d) si calcoli l’azione che il disco esercita sull’asta (nelpunto C);

e) si calcolino le reazioni vincolari nei punti A, B e L.

Esercizio 2. Nel sistema in figura, posto in un pianoverticale, una lamina quadrata omogenea (di massam e lato a) scorre su una guida orizzontale. Nel suovertice C e incernierata un’asta omogenea (di massam e lunghezza l), il cui estremo D scorre lungo unaguida verticale. Utilizzando la coordinata libera ✓ esupponendo tutti i vincoli bilateri e lisci:

a) si calcoli l’energia cinetica del sistema;

b) si scriva l’equazione di↵erenziale del moto;

c) sapendo che inizialmente il sistema e fermo con✓(0) = ⇡/3, si calcoli la velocita angolare dell’asta nelmomento in cui essa e orizzontale;

d) nelle ipotesi del punto precedente, si calcoli lareazione vincolare in D durante il moto, in funzionedi ✓;

e) si calcoli il momento M(t) della coppia da applicareall’asta a�nche il moto sia dato da ✓(t) = !t.

θ

A

B

G

E

C

D

L

x

y

F

A B

C

D

θ

yyy

x