MdC1 Stati tensionali e deformativi nelle terre

Approccio Rigoroso

Meccanica mezzi discontinui

Solido particellare + Fluido continuo

Approccio Ingegneristico

(dim. opere >> dim. granuli)

Meccanica continuo

Solido & Fluido = continui sovrapposti

Grandezze:

← Statiche →

← Cinematiche →

← Idrauliche →

Forze interparticellari

Spostamenti

Pressioni

Tensioni

Deformazioni

Pressioni

MdC2 Stati tensionali e deformativi nelle terre

Le dimensioni dei granuli sono molto piccole rispetto ai volumi di terreno

interessati da variazioni dello stato di sollecitazione indotte dalla

realizzazione delle opere di ingegneria (e anche rispetto alle dimensioni dei

provini di terreno sottoposti a prove di laboratorio):

è possibile ricorrere agli strumenti della meccanica del continuo.

MdC3

I tensori t e d sono legati tra loro dal legame costitutivo del mezzo

Tensione e deformazione nel mezzo continuo

A

Ft

A δ

δ=

→δ 0lim

�

l

sd

l δ

δ=

→δ 0lim

�

Fδ

Aδ

ss δ+

s

A′

B′

A

B

lδ

Mezzo continuo alla Cauchy

Tensore tensione Tensore deformazione

A

B

lδ

Se il mezzo è indeformabile (d ≡ 0) il legame costitutivo è di tipo rigido

MdC4 Componenti normali e tangenziali

Componenti Normali

Compressione → Contrazione

Componenti Tangenziali

Taglio → Distorsione

Tensione

Deformazione

In meccanica delle terre prevalgono i fenomeni di compressione

� ad essi si attribuisce segno positivo. Quindi:

per applicare le stesse convenzioni della Scienza delle Costruzioni si deve anteporre un segno meno

nella definizione di tensione e di deformazione.

0lim N

nA

F

Aδ

δσ

δ→= − 0

lim S

A

F

Aδ

δτ

δ→= −

0limnz

l

zδ

δε

δ→= −

0limz

x

zδ

δγ

δ→= −

1:

2xzNB ε γ=

MdC5

δδδδA

Ripartizione stati tensionali tra le fasi di un terreno

I carichi esterni e le forze di massaagenti sul mezzo solido continuo idealesono equilibrati dalle tensioni definite con

Nel terreno (mezzo granulare multifase) questa definizione individua le cosiddette tensioni totali [σσσσ]

A

Flimt

0A δ

δ=

→δ

Analizzando l’equilibrio a livello micromeccanico,al contatto tra le particelle si sviluppano le forze intergranulari δδδδFc u

δδδδF

δδδδFc

δδδδAc

t ����[σσσσ]

δδδδA

NB: ogni sezione δA interessa solido + fluidie la somma delle aree di contatto δAc << δA

Queste sono a loro volta ‘ripartite’ in varia misuratra le diverse fasi (scheletro solido e fluidi)

MdC6 Sollecitazioni agenti nelle diverse fasi di un terreno

Nel mezzo granulare multifase si possono definire:

NB: Fluidi incapaci di trasmettere sforzi di taglio⇓Stato tensionale puramente sferico (cerchio di Mohr ≡ punto)Tensioni (vettori o tensori) → pressioni (scalari)

• La pressione interstiziale, u = pressione dell’acqua (se la fase fluida è continua)

• La pressione dell’aria, ua

δδδδFc

(molto elevate e discontinue)

• Le tensioni di contatto tA

Flimt

c

c

0Ac

c

>>δ

δ=

→δ

cFδ

cAδ

t

u

MdC7 Il “Principio delle tensioni efficaci” (K. Terzaghi, 1936)

a) Le tensioni in ogni punto di una sezione attraverso una massa di terrapossono essere calcolate dalle tensioni principali totali σ1, σ2 e σ3 che agisconoin quel punto. Se i pori della terra sono pieni d’acqua ad una pressione u, letensioni principali totali si dividono in due parti. Una parte, u, agisce nell’acquae nella fase solida, con uguale intensità, in ogni direzione. Le differenze σ’1 =σ1 – u, σ’2 = σ2 – u e σ’3 = σ3 – u rappresentano un incremento rispetto allapressione interstiziale ed hanno sede esclusivamente nella fase solida dellaterra. Questa frazione della tensione principale totale sarà chiamata tensioneprincipale efficace.b) tutti gli effetti misurabili di una variazione dello stato di tensione, come lacompressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio, sono dovutiesclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci.

MdC8 Le tensioni efficaci

si ha:Posto0

limii

A

N

Aδ

δσ

δ→′ =

∑

Si consideri un volume elementare di terreno saturosezionato con una superficie piana attraverso i contatti intergranulari:

Equilibrio alla traslazione in direzione normale alla sezione:

( )i c ii iA N u A A N u Aσ δ δ δ δ δ δ⋅ = + − ≈ + ⋅∑ ∑

iNδ

τσ

u

Aδ

iTδ

Per l’incapacità dell’acqua di trasmettere tensioni tangenziali,l’equilibrio alla traslazione trasversale fornisce invece:

∑δ=δ⋅τi iTA

In pratica, tensioni tangenziali totali ed efficaci coincidono ⇒ si usa solo τ

u+σ′=σ

si definisce tensione efficaceu−σ=σ′

iiN

uA

δσ

δ= +∑

cioè:

iiT

A

δτ

δ=∑cioè:

MdC9

dove [I] = matrice identità (Iii=1, Iij=0)

• Tensore delle tensioni efficaci [ ] [ ] [ ]Iu ⋅−σ=σ'

(la pressione interstiziale u è detta anche ‘pressione neutra’)

[ ]

−

σττ

τστ

ττσ

=

σ′ττ

τσ′τ

ττσ′

=σ′

100

010

001

u

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

Le tensioni efficaci

MdC10 Componenti cartesiane

Riferimento: sistema cartesiano (x, y, z)

(1° pedice → direzione normale, 2° pedice → direzione componente)

N. B.: le componenti sono dipendenti dal sistema di riferimento!

[ ]

σττ

τστ

ττσ

=σ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

[ ]x xy xz

yx y yz

zx zy z

ε ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε

=

Tensori

Equilibrio statico alla traslazione →→→→ Equazioni indefinite di equilibrio (Cauchy)

zW

x

zy

(Wx, Wy, Wz = componenti forze di massa lungo x, y, z)

=−∂

σ∂+

∂

τ∂+

∂

τ∂

=−∂

τ∂+

∂

σ∂+

∂

τ∂

=−∂

τ∂+

∂

τ∂+

∂

σ∂

0

0

0

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

Wzyx

Wzyx

Wzyx

xzτ dxx

xzxz ⋅

∂

τ∂+τ

yzτ

dyy

yzyz ⋅

∂

τ∂+τ

zσ

dzz

zz ⋅

∂

σ∂+σ

MdC11

Equilibrio statico alla rotazione

⇓⇓⇓⇓

reciprocità tensioni tangenziali

τ=τ

τ=τ

τ=τ

zyyz

xzzx

xyyx

Definizione

⇓⇓⇓⇓

reciprocità deformazioni tangenziali

yx xy

zx xz

yz zy

ε ε

ε ε

ε ε

=

= =

Simmetria dei tensori rispetto alla diagonale

⇓⇓⇓⇓

esiste un sistema di riferimento (‘principale’) in cui il tensore è diagonale

Sistema principale delle tensioni ⇔⇔⇔⇔ ττττxy = ττττyz = ττττxz = 0

Proprietà di simmetria e reciprocità

MdC12 Rappresentazione sul piano di Mohr

( ),n nm

V σ τ

t�

τ

P

nmτ

nσσ

• punto P: polo dei piani

Ciò corrisponde a: σσσσ > 0 se di compressione, ττττ >0 se antioraria.

• punto V rappresentativo di (σσσσn, τnm): (piano verticale)

Il cerchio di Mohr descrive la variazione di componenti normali e tangenzialicon la direzione della normale all’elemento di volume in un piano.

( ),m mn

O σ τ

mσ

m nτ

• punto O rappresentativo di (σσσσm, τmn): (piano orizzontale)

MdC13

3σ≡σv

Stati tensionali tipici e cerchi di Mohr

1

2

4

5

Compressione isotropa

Compressione anisotropa

Compressione e taglio

P

vh σ=σ

τ

σ

HP ≡

τ

σ

3σ≡σh

5

Taglio puro

τ

σ

1σ3σ

VP =4

τ

σ

3σ

1σ

1σ≡σv

V

HP ≡

1σ≡σh

H

P

V

1

2

τ

σ3

3

vσ

V

hσ

H

MdC14 Componenti principali di tensione e deformazione

Riferimento: sistema principale (1, 2, 3)

[pedice 1/2/3 → tensione (deformazione) principale massima/intermedia/minima]

σ

σ

σ

3

2

1

00

00

00Tensori

diagonali

ε

ε

ε

3

2

1

00

00

00

1σ

3

21

2σ

3σ

Valori e coseni direttori (n1, n2, n3) di tensioni principali si ottengono

imponendo soluzione non banale al sistema σ{n}=[σ]{n}, il che richiede:

0det =

σ−σττ

τσ−στ

ττσ−σ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

MdC15

L’annullamento del determinante corrisponde alla soluzione dell’equazione di III grado:

(I1, I2, I3 = invarianti* di tensione del 1°, 2°, 3° ordine)

0322

13 =−σ⋅+σ⋅−σ III

321222

3

323121222

2

3211

2 σσσ≡τττ+τσ−τσ−τσ−σσσ=

σσ+σσ+σσ≡τ−τ−τ−σσ+σσ+σσ=

σ+σ+σ≡σ+σ+σ=

xzzyxyyxzxzyyzxzyx

yzxzxyxzzyyx

zyx

I

I

I

Analogamente per le deformazioni:

0322

13 =−ε⋅+ε⋅−ε EEE

(E1, E2, E3 = invarianti* di deformazione del 1°, 2°, 3° ordine)

1 1 2 3

2 2 2

2 1 2 1 3 2 3

2 2 2

3 1 2 32

x y z

x y y z z x xy xz yz

x y z x yz y xz z yx xy zy xz

E

E

E

ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

= + + ≡ + +

= + + − − − ≡ + +

= − − − + ≡

*invarianti = non dipendono dal sistema x, y, z

Invarianti di tensione e deformazione

MdC16 Componenti ottaedrali e invarianti di tensione

Piano ottaedrale = piano ortogonale alla trisettrice del quadrante 1, 2, 3(coseni direttori n1 =n2 =n3 = √3/3)

Proiettando le σ1, σ2, σ3

(⇔ considerando l’equilibrio del tetraedro):

( ) ( ) ( ) 221

232

231

221

1321

33

2

3

1

33

II

I

oct

oct

−=σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ

=σ+σ+σ

=σ

p = tensione media3

321 σ+σ+σ=σ= octp

q = tensione deviatorica ( ) ( ) ( )2322

312

212

1

2

3σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ= octq

221

1

3

3

IIq

Ip

−=

=⇒⇒⇒⇒ p, q = invarianti di tensione

Queste due grandezze (tensionali) descrivono sinteticamentela componente isotropa e quella di taglio dello stato tensionale agente

MdC17 Componenti ottaedrali e invarianti di deformazione

Nel riferimento principale per le deformazioni, proiettando ε1, ε2, ε3:

( ) ( ) ( ) 221

232

231

221

1321

33

22

3

2

33

EE

E

oct

oct

−=ε−ε+ε−ε+ε−ε=γ

=ε+ε+ε

=ε

εεεεv = deformazione volumetrica

εεεεs = deformazione distorsionale

221

1

33

2EE

E

s

v

−=ε

=ε

⇒⇒⇒⇒ εεεεv, εεεεs = invarianti di deformazione

( ) ( ) ( )2322

312

213

2

2ε−ε+ε−ε+ε−ε=

γ=ε oct

s

3213 ε+ε+ε=ε=ε octv

Queste due grandezze (deformative) descrivono sinteticamente la componente isotropa (variazione di volume) e quella deviatorica(variazione di forma) dello stato di deformazione dell’elemento.

MdC18 Problema tensio-deformativo piano

Ipotesi tipica: ogni piano verticale (x, z) è di simmetria

⇓⇓⇓⇓• stato di deformazione piano ⇒ εy = γyz = γxy = 0

• in ipotesi di mezzo elastico ⇒ τyz = τxy = 0

• σy = tensione principale σ2 (indipendente da y)

Problemi tipo

prove di taglio muri di sostegno travi di fondazione

MdC19

22

31 ε+ε=

εv

Problema tensio deformativo piano

δL = lavoro di deformazione per unità di volume = σ1·δε1 + σ2·δε2 + σ3·δε3

Cerchi di Mohr di stato piano

tensioni deformazioni

δε2 = 0 ⇒ γδε⋅+δε⋅==δε⋅σ+δε⋅σ=δ tsL v.....3311

1σ2

31 σ−σ=t

τ

σ3σ

2

31 σ+σ=s

22

31 ε−ε=

εγ

1ε

2

γ

ε3ε

s (= ascissa del centro) = tensione media nel piano

t (= raggio del cerchio) = tensione deviatorica nel piano

MdC20 Problema tensio deformativo assialsimmetrico

Ipotesi: l’asse verticale (z) è di simmetria radiale

⇓⇓⇓⇓• ovunque ε2 = ε3 e σ2 = σ3

• in asse τ = 0 ⇒ direzioni principali = orizzontale e verticale(questo non è verificato in generale altrove)

Problemi tipo

prove di compressione palifondazioni circolari

MdC21 Problema tensio deformativo assialsimmetrico

δL = lavoro di deformazione per unità di volume = σ1·δε1 + σ2·δε2 + σ3·δε3

σ2 = σ3 , δε2 = δε3 ⇒ sv qpL δε⋅+δε⋅==δε⋅σ+δε⋅σ=δ .....2 3311

tensioni deformazioni

1σ

τ

σ23 σ=σ 1ε

2

γ

ε23 ε=ε

Cerchi di Mohr di stato assialsimmetrico