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APPROSSIMAZIONE DI UNA FUNZIONE CONPOLINOMI DI TAYLOR

Consideriamo la funzione f:(a,b)R, derivabile n+1volte

inx0

(a,b); usiamo la formula di Taylor:

f(x)=Tn (x)+Rn+1(x) ,

Tn (x)= k=0nf(k)(x0)/k! (x- x0)k

Rn+1(x)= f(n+1)

()/(n+1)! (x- x0)n+1

,

dove Rn+1(x) il resto di Lagrange con (x0,x).

7. SERIE DI TAYLOR E DI FOURIER

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Esempio: confrontare sin(x) con il polinomio di Taylor

grado 1, 3, 5 rispetto al puntox0=0, essendo

sin(x)=k=0(-1)kx2k+1/(2k+1)! in[0,] .

>> x=0:0.01:pi;

>> f=sin(x);

>> T1=x;

>> T3=T1-x.^3/6;

>> T5=T3+x.^5/120;

>>plot(x,f,b,x,T1,g,x,T3,r,x,T5,m)

Lerrorecommesso ||f-Tn||,(a,b)=max x (a,b) |f(x)-Tn(x)|.

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Esempio: comportamento dellerroreper n=0,,10. Siosserva una rapida convergenza a zero dellerrore.

>> x=0:0.01:pi;

>> f=sin(x);

>> Tn=zeros(size(x));

>> for n=0:10

Tn=Tn+(-1)^n*x.^(2*n+1)/(prod(1:2*n+1));

e(n+1)=norm(f-Tn,inf);

stima(n+1)=(pi^(2*n+3))/(prod(1:2*n+3));

end

>> loglog(0:10,e,-*)

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Matlab: espansione in serie di Taylor

taylor(f) computes the Taylor series expansion of f up to

the fifth order. The expansion point is 0.

taylor(f,n) computes the Taylor series expansion of f up

to the (n-1)-order. The expansion point is 0.

taylor(f,a) computes the Taylor series expansion of f up

to the fifth order around the expansion point a.

taylor(f,n,a) computes the Taylor series expansion of f up

to the (n-1)-order around the expansion point a.

taylor(f,n,v) computes the Taylor series expansion of f up

to the (n-1)-order with respect to variable v. Theexpansion point is 0.

taylor(f,n,v,a) computes the Taylor series expansion of f

with respect to v around the expansion point a.

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APPROSSIMAZIONE DI UNA FUNZIONE IN SERIE DIFOURIER

Un polinomio trigonometrico di ordine n una funzionedella forma

Pn (x)= k=0n (akcos(kx)+bksin(kx)) ,conak, bkcomplessi. Introduciamo la serie di Fourier:

f(x)~ a0/2+k=1

(akcos(kx)+bksin(kx)),a0=1/(2) - f(x) dx

ak=1/- f(x) cos(k x) dx, k=1,2,bk=1/- f(x) sin(k x) dx .

La troncata n-esima :Fn(x)=k=0n akcos(kx)+ k=1n bksin(kx) ,

che minimizza lo scarto quadratico medio:

- |f(x)-Fn(x)|2dx .

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>> help stepfun

STEPFUN Unit step function.

STEPFUN(T,T0), where T is a monotonically increasingvector, returns a vector the same length as T with zeros

where T < T0 and ones where T >= T0.

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Esempio:A=1 e si disegni il grafico per n=2 e n=6.

>> x=-2*pi:0.01:2*pi;

>> f1=stepfun(x,0)-stepfun(x,pi);

>> f2=stepfun(x+2*pi,0)-stepfun(x+2*pi,pi);

>> f=2*(f1+f2)-1;

>> s2=0;

>> for n=1:2s2=s2+4/(pi*(2*n+1))*sin((2*n+1)*x);

end

>> s6=0;

>> for n=1:6s6=s6+4/(pi*(2*n+1))*sin((2*n+1)*x);

end

>> plot(x,f,x,s2,x,s6)