MATEMATICA FINALPBiMJRV8op65

8/18/2019 MATEMATICA FINALPBiMJRV8op65

1/27

Matemát

Solucionario

2011 -IExamen de admisión

Matemática

1

PREGUNTA N.º 1

En la cuenta de ahorros del banco A se remuneranlos depósitos con 1,5% de interés anual, libre de

mantenimiento, pero no se remuneran los primerosS/.500 de la cuenta.El banco B paga 1% de interés y cobra S/.1 pormantenimiento en el mismo periodo. Si Arnaldo,Bernaldo, Cernaldo y Dernaldo tienen respecti- vamente S/.1250, S/.2130, S/.4320 y S/.7450,¿cuántos de ellos deberían depositar su dinero en elbanco A para obtener mayor beneficio en un año?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

R

Tema: Regla de interés

Recordemos que

Interés=(tasa)(capital)(tiempo)

Análisis y procedimiento

Veamos para Arnaldo lo siguiente:

• En el banco A

Interés anual

=1,5% (1250 – 500)=11,25• En el banco B

Interés anual – mantenimiento

=1% 1250 – 1=11,50

De la misma forma procedemos para las demáspersonas, con lo cual se tiene la siguiente tabla.

Interésanual en

el banco A

Interés anual

en el banco

B menos el

mantenimiento

Arnaldo 11,25 11,50

Bernaldo 24,45 20,30

Cernaldo 57,30 42,20

Dernaldo 104,25 73,50

De la tabla se observa que 3 de ellos debendepositar su dinero en el banco A para obtenermayor beneficio en un año.

Otra forma

Si el capital depositado es C, solo conviene invertir

en el banco A cuando

1 5 500 1 1, %( ) %

Interés delbanco A

Interés delbanco B

C C− > −

C > 1300

Por lo tanto, se observa que 3 de los capitalescumplen con dicha condición.

R

3

ALTERNATIVA D

MATEMÁTICA TEMA P


2/272

unI 2011 -I Academia CÉSAR VALLEJO

PREGUNTA N.º 2

En un supermercado donde el sueldo promedio

es de S/.600 se incrementa el personal en 25%

del ya existente, ingresando el nuevo personal conun sueldo promedio igual al 60% de los antiguos.

Si 3 meses más tarde se incrementa cada sueldo

en 20%, más S/.30, ¿cuánto es el nuevo sueldo

promedio de todo el personal?

A) S/.692,40

B) S/.692,60

C) S/.692,70 D) S/.692,80

E) S/.692,90

R

Tema: Promedios

Se sabe que

MA = suma de datos

número de datos

→

= ×

suma de

datos

número de

datos MA


Resumimos los datos en la siguiente tabla.

Inicio Llegan

número depersonas

4a a

sueldopromedio

S/.600 60%(S/.600)=S/.360

suma de

los sueldos 2400a 360a

→

= =sueldo promedio de

todo el personal

2760

5552

a

a

Como 3 meses más tarde cada sueldo seincrementa en 20%, más S/.30 el nuevo sueldopromedio será

552+20%552+30=692,40

R

S/.692,40

ALTERNATIVA A

PREGUNTA N.º 3

Para representar a un colegio en las olimpiadasmatemáticas del 2007 se han preseleccionado10 alumnos varones y 5 mujeres. El comitéorganizador del evento decide que cada colegioparticipante envíe solo tres alumnos. Calcule laprobabilidad que el citado colegio envíe a todossus representantes del mismo sexo.

A) 1/7 B) 2/7 C) 3/7 D) 4/7 E) 5/7

R

Tema: Probalidades


Hay 10 alumnos varones y 5 mujeres, de los cualesse selecciona solo a tres al azar.

Se define el evento

A: Se elige al azar a tres alumnos del mismo sexo.

Por definición de probabilidad clásica, se tiene que

P

A

A[ ] =N.º de resultados favorables de

N.º de resultados tottales

todos

varones

todas

mujeres

P [ A]

C310

C35

C315

+2/7==


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unI 2011 -ISolucionario de Matemática

R

2/7

ALTERNATIVA B

PREGUNTA N.º 4

Se tiene el número N =6ab1. Al dividir N entre 29 se encuentra un resto máximo.Calcule la suma de las cifras de N sabiendo que N es el máximo posible.

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

R

Tema: Operaciones fundamentales en Z+


Como al dividir 6ab1 entre 29 se obtiene residuomáximo, entonces se tiene que

6 1 29

28

ab

r qmáx .=

Donde

6 1 29 28 6991

3

7

ab q

q

= + ≤

→ =

...

...

(*)

De (*) se tiene q ≤ 240,10... pero como 6ab1 es el

máximo posible, q debe ser máximo.

→ qmáx.=237

Reemplazamos en (*)

N =292×37+28=6901

Por lo tanto, suma de cifras de

N =6+9+0+1=16

R

16

ALTERNATIVA E

PREGUNTA N.º 5

Se funden 450 g de una aleación con 50 g de oro

puro y se observa que la ley de oro se incrementa

en 0,02 con respecto de la ley inicial. ¿Cuál es laley de la aleación inicial?

A) 0,800

B) 0,850

C) 0,880

D) 0,0890

E) 0,0900

R

Tema: Aleación

Recordemos que en una aleación la ley del oro es 1.


De la aleación tenemos lo siguiente.

450 g 50 g

oro

500 g

ley= L ley=1 = L+0,02ley

media

Del cálculo de la ley media obtenemos

L L

+ =+

0 02 450 1 50

500

, ( ) ( )

500 L+10=450 L+50

L=0,8

Por lo tanto, la ley de la aleación inicial es

0,800.

R

0,800

ALTERNATIVA A


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PREGUNTA N.º 6

¿Cuántos números enteros menores que 100 exis-ten que son cubos perfectos y que al ser multipli-

cados por 3 se convierten en cuadrados perfectos?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

R

Tema: Potenciación

Análisis y procedimientoSea N los números que cumplen la condición.Por dato se tiene lo siguiente:

• N < 100

• N = K 3

• 3 N = R2

Como

N = K 3 < 100 → K < 4,64...

→ N : 1; 8; 27 ; 64

→ 3 N : 3; 24; 81 ; 192

1; 2; 3 ó 4

Como 3 N debe ser cua-drado perfecto, solo secumple cuando 3 N =81

Por lo tanto, solo existe un valor para N .

R

1

ALTERNATIVA A

PREGUNTA N.º 7

Si el número N que se factoriza como N =51(117n)tiene la tercera parte del número de divisores de

311040, determine el valor de “n”.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

R

Tema: Números primos y compuestos

Tenga en cuenta que si

M =aa×bb×c g ... DC

→ CD( M )=(a+1)(b+1)( g +1)


Por dato tenemos

CD CD

N ( ) = ( )

1

3311040

(*)

Para calcular la cantidad de divisores de cada unode los números, realizamos su descomposicióncanónica.

• N =51(117n)=32n+1×13n×17

→ CD( N )=(2n+2)(n+1)(2) (I)

• 311040=28×5×35

→ CD(311040)=9×2×6=108 (II)

Reemplazando (I) y (II) en el dato inicial (*)

(2n+2)(n+1)(2)=1

3(108)

2(n+1)(n+1)(2)=36

(n+1)2=9

n=2

Por lo tanto, el valor de n es 2.

R

2

ALTERNATIVA B


5/275


PREGUNTA N.º 8

Sea Q el conjunto de los números racionales y el

intervalo 〈0; 1]

Se dan las siguientes proposiciones:I. Todo número a en 〈0; 1] ∩ Q se puede

expresar como un decimal periódico.

II. Todo número a en 〈0; 1] se puede ex-

presar en el sistema binario, en la forma

a=0, a1 a2 ... ai ..., donde el número de cifras

ai iguales a 1 es infinito.

III. Si r ∈ 〈0; 1] –Q entonces

1

0 1r ∈

]−

;Q

Indique la secuencia correcta, después de determi-

nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

A) VVF

B) VVV

C) VFV

D) VFF

E) FVF

R

Tema: Números racionales


I. Falso

1 ∈ (〈0; 1] ∩ Q) 1 es un número entero (solo las fracciones se

pueden representar como decimales).

II. Falso

3

30 1∈ ]〈 ;

3

3

es un irracional y los irracionales no se

pueden representar como números avales,

porque los avales son representaciones de

fracciones y las fracciones son números

racionales.

III. Falso

23

0 1∈ −( )〈 ; ] Q

pero 32

0 1∉ −( )〈 ; ] Q

Observación

Algunos autores indican: “Todo racional se puede expre-

sar como número decimal periódico”.

I. Verdadero

1

20 49= ,

1 0 9= ,

II. Verdadero Para los racionales se sustenta en el paso I. Para los irracionales no indican la cantidad

de cifras de la parte aval, tampoco que sonperiódicos.

3

30 577350269= , ... representación decimal

De tal manera que, al representarlo en base2, las cifras empleadas son ceros y unos.

III. Falso

Por lo tanto, la clave sería VVF.

R

FFF

NO HAY CLAVE

PREGUNTA N.º 9

Si las ecuaciones 2 2

5 x x

+ = y

ax 2+bx +8=0 tienen las mismas raíces, hallar

a+b.

A) – 34 B) – 32 C) – 30 D) – 26 E) 24


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R

Tema: Ecuación cuadrática e irracional

Sea la ecuación cuadrática ax 2+bx +c=0 de

raíces x 1 y x 2

Se cumple lo siguiente

x 1+ x 2= −b

a ∧ x 1 · x 2=

c

a


Datos

2 2

5 x x

+ = (I)

ax 2+bx +8=0 (II)

Las ecuaciones (I) y (II) tienen las mismas raíces.

Operando (I):

2 25

2 x

x

+=

2 5 2 02

x x − + =

2 x – 1

x – 2

2 1 2 0 x x −( ) −( ) =·

2 1 0 x − = ∨ x − =2 0

x 11

4= ∨ x 2 = 4

En (II):

La ecuación

ax 2+bx +8=0

tiene raíces

x 11

4= ; x 2=4 (dato)

Se cumple que

• x x a a

1 2

8 1

44

8⋅ = →

⋅

( ) =

→ a = 8

• x x b

a

b1 2 4

1

4 8+ = − → + = −

→ b = – 34

→ a+b=8+(– 34)=– 26

Por lo tanto, el valor de a+b es – 26.

R

– 26

ALTERNATIVA D

PREGUNTA N.º 10Dados los conjuntos

A={( x +1) ∈ R / x 2 – 2 x +1 > 0}

B={( x – 2) ∈ R / x 2+6 x +9 ≥ 0}

C x

x x = ∈ − + ≤

14 4 1 0

2R /

D={ x ∈ R / 25 x 2+10 x +1 < 0}

Calcule [( A ∩ B) \ D] ∪ C

A) {2}

B) 2 1

5,

C) R −

15

D) R – {2}

E) R


7/277


R

Tema: Inecuación cuadrática


• A={( x +1) ∈ R / x 2 – 2 x +1 > 0}

x 2 – 2 x +1 > 0

( x –1)2 > 0 → x ∈ R– {1} → ( x +1) ∈ R– {2}

→ A=〈–∞; 2〉 ∪ 〈2; +∞〉

• B={( x–2) ∈ R / x 2+6 x +9 ≥ 0}

x 2+6 x + 9 ≥ 0

( x +3)2 ≥ 0 → x ∈ R → ( x– 2) ∈ R

→ B=R

• C x

x x = ∈ − + ≤{ }1 4 4 1 02R

4 x 2 – 4 x +1 ≤ 0

(2 x –1)2 ≤ 0 → x =1/2 → 1 2 x

=

→ C={2}

• D={ x ∈ R / 25 x 2+10 x +1


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El conjunto solución es la intersección de cada

desigualdad.

Graficando (1)Se graficará la siguiente igualdad.

x 2+y2=22

Se observa la ecuación de la circunferencia de

centro C=0; 0), radio r =2 y como y2 ≥ 4 – x 2 se

sombreará fuera de la circunferencia.

Y

X – 2– 2

– 2– 2

22

22

Graficando (2)Se graficará la siguiente igualdad.

x 2 –y2=1

Se observa la ecuación de la hipérbola.

x y

2

2

2

21 1

1− =

Para sombrear, primero observamos que el (0; 0)

cumpla la inecuación, entonces, sombreamos lazona que está entre las ramas de la hipérbola.

Y

X –1 1

(0; 0)(0; 0)

Intersecando las siguientes regiones.

Y

X – 2 –1 1

– 2

2

2

R

Y

X

ALTERNATIVA A

PREGUNTA N.º 12

Resuelva la inecuación exponencial

3 22 2

1 x x x − −( )< e indique el intervalo solución.

A) [0, +∞〉 B) [0, 1〉 C) 〈1, +∞〉

D) [0, log32〉 E) 〈1, log32〉

R

Tema: Inecuación exponencial

Propiedad

Para a>1, M >0, N >0 se tiene que

M


9/279


Entonces la inecuación queda

3 x 2 – x < 21 – x

Usando la propiedad obtenemos que

log3(3 x 2 – x )


10/2710


En resumen, tenemos dos funciones impares

cuyo producto es una función par.

III. Verdadero

La suma de dos funciones pares es una funciónpar.

En efecto, sean f y g dos funciones pares,entonces

( f + g )( x )= f ( x )+ g ( x ) = f (– x )+ g (– x ), pues f y g son pares =( f + g )(– x )

Entonces ( f + g ) es una función par.

R

VFV

ALTERNATIVA A

PREGUNTA N.º 14Si P ( x )= x

3+ax 2 – x +b – 6 es divisible entre x 2 – 1 yla suma de los valores de x que cumplen P ( x )=0es – 4. Calcule el producto de a y b.

A) – 7 B) – 4 C) 4

D) 5 E) 8

R

Tema: División polinomial y teorema de Cardano

Si P ( x ) es divisible por ( M ( x ) · N ( x )) conº[ P ( x )] ≥ º[ M ( x ) · N ( x )]

→ P ( x ) es divisible por M ( x ) y divisible por N ( x )


Como P ( x )= x 3+ax 2 – x +b – 6

es divisible por

x 2 – 1≡ ( x +1)( x – 1)

→ P ( x ) es divisible por x – 1

→ P

x

x ( )

−1 es una división exacta

→ P (1)=0 (por teorema del resto)

→ 1+a – 1+b – 6=0 a+b=6 (I)

Además, para

P ( x ) ≡ 1 x 3+ax 2 – x +b=0

tenemos por dato que la suma de los valores de x es – 4.

→ suma de las raíces=– 4por Cardano

↔ –a=– 4

↔ a=4

Reemplazando en (I): b=2∴ a ·b=8

R8

ALTERNATIVA E

PREGUNTA N.º 15

Indique la secuencia correcta después de determi-

nar si las proposiciones relacionadas a matrices

son verdaderas (V) o falsas (F):

I. Si A2 es simétrica, entonces A es simétrica.

II. Si A+ B y B son simétricas, entonces A es

simétrica.

III. Si A y B son matrices del mismo orden, ambas

simétricas, entonces AB es simétrica

A) FFF

B) FFVC) FVF

D) VFF

E) VVF


11/2711


R

Tema: Matrices

Tenga en cuenta que si A es una matriz simétrica,

se cumple que

A=AT


I. Falso Si A2 es simétrica, entonces A es simétrica. Tomando en cuenta el siguiente contraejemplo

tenemos

A A A A= − → = = − −

2 01 2

2 01 2

2 01 2

2 ·

→ =

A2 4 0

0 4

Se nota que A2=( A2)T , pero A no es simétrica.

II. Verdadero Si A+ B y B son simétricas, entonces A es

simétrica.

Se sabe que ( A+ B)=( A+ B)T y B= BT

A+ B= AT + BT

A+ B= A BT + A= AT ; A es simétricaIII. Falso Si A y B son matrices del mismo orden, ambas

simétricas, entonces A · B es simétrica. Se debe demostrar que ( AB)=( AB)T (I) De los datos:

A=AT y B= BT Supongamos que (I) es verdadero

→ A · B=( A · B)T

→ A B B AT T · ·=

↓ ↓

→ A · B= B · A Esto no se cumple necesariamente, ya que el

producto de matrices no siempre es conmu-table.

Por lo tanto, lo supuesto es falso.

R

FVF

ALTERNATIVA C

PREGUNTA N.º 16

Señale el menor valor para x que dé solución alsistema siguiente:

4 25

2 3 10

2 2 x y

x

x

x y

+ = −

− + =

A) – 4 B) – 3 C) – 2

D) – 1 E) 0

R

Tema: Valor absoluto y sistema de ecuaciones

Recordemos que

x

x x

x

x x

=

>

=

− <

;

;

;

0

0 0

0

Análisis y procedimientoDado el sistema

4 25

2 3 10

2 2 x y

x

x

x y

+ = −

− + =

( )

( )

α

β

Analizando (a) tenemos que

4 x 2

+y2

≥ 0, entonces − ≥25 0 x

x .

∴ x < 0

Considerando x < 0 en (a)

4 x 2+y2=25 (I)

Analizando (b) y considerando que x < 0 tene-mos que

2 3 10 x y− + =

−( )

– (2 x– 3)+y=10

– 2 x +3+y=10


12/2712


Despejando y:

y=7+2 x

Ahora reemplazando en (I)

4 x 2+(2 x +7)2=25

4 x 2+4 x 2+28 x +49=25

8 x 2+28 x +24=0

2 x 2+7 x +6=0

2 x +3 x +2

2 x +3=0 ∨ x +2=0

x = −3

2 ∨ x =– 2

Por lo tanto, el menor valor de x es – 2.

R

– 2

ALTERNATIVA C

PREGUNTA N.º 17

La región sombreada de la figura mostrada,

representa al conjunto solución de un sistema de

inecuaciones. Determine dicho sistema.

X

Y

A) y e

y x

x + ≤

− ≥

−0

0tan

B)

y e

y x

x

x − ≥

− ≤

≤

−0

0

2

tan

π

C)

y e

y x

x

x + ≤

+ ≥

≥ −

−0

0

2

tan

π

D)y e

y x

x − ≥

+ ≤

−0

0tan E)

y e

y x

x

x − ≤

− ≥

≥ −

−0

0

2

tan

π

R

Tema: Gráficas de relaciones

Debemos conocer las gráficas de las funciones

f ( x )=e – x y

g ( x )=tan x ; − < <π π

2 2 x


Si esbozamos la gráfica de la región

R x y y e y x x x = ( ) ∈ ≤ ∧ ≥ ≥ −{ }−; tan ;R2 2π

obtenemos

π

2 X

Y

π

2–

que corresponde a la gráfica mostrada.

R

y e

y x

x

x − ≤

− ≥

≥ −

−0

0

2

tan

π

ALTERNATIVA E


13/2713


PREGUNTA N.º 18

Un lago se llena de dos especies de peces S1 y S2.

La especie S1 proporciona un peso promedio de

4 kg de carne y la especie S2 un peso promedio de2 kg. Dos tipos de comida F1 y F2 están disponibles

en el lago. El requerimiento promedio de la especie

S1 es 1 unidad de F1 y 3 unidades de F2, mientras

que el requerimiento de S2 son 2 unidades de F1

y 1 unidad de F2 cada día.

Si se dispone diariamente de 500 unidades de F1

y 900 unidades de F2, determine el número total

de peces en el lago que maximice el peso total decarne de pescado.

A) 360 B) 380 C) 400

D) 420 E) 460

R

Tema: Programación lineal

Se graficará el conjunto de restricciones y se

aplicará el teorema de la programación lineal.


Del enunciado

Tipos de

comida

EspeciePeso Número

de peces F 1 F 2

S1 4 x 1 3

S2 2 y 2 1

Función objetivo

Máx f ( x ; y)=4 x +2y

Restricciones

x y

x y

x

+ ≤

+ ≤

≥ ≥

2 500

3 900

( )

( )

I

II

0; y 0 (III)

Graficamos las restricciones

260 500300

120

250

900

Y

X

En la función objetivo

f ( x ; y)=4 x +2y

evaluamos en los puntos extremos

f (0; 0)=0

f (0; 250)=500

f (260; 120)=1280

f (300; 0)=1200Por lo tanto, el número total de peces que maximi-

ce el peso total es 260+120, es decir, 380.

R

380

ALTERNATIVA B

PREGUNTA N.º 19

Sabiendo que1

0n

e

n !

=

∞

∑ = , halle la suma de la serie

n

nn +( )

=

∞

∑1

0 !

A) 0,5 B) 1,0 C) 1,5

D) 2,0 E) 2,5

R

Tema: Series numéricas


14/2714


Debemos calcular la suma de la serie (valor

de convergencia). Para esto hay que expandir

convenientemente la serie.


Como el primer sumando es cero, podemos es-

cribir la serie así

n

n

n

nn n+( )

= +( ) −

+( )= =

∑ ∑1

1 1

10 1

! !

+ ∞ +∞

= +

+( ) − +( )

=∑n

n nn

1

1

1

11

! !

+∞

= −

+( )

=∑

1 1

11

n nn ! !

+∞

= −

+( )

→ + ∞ =∑l m.

! !í

k n

k

n n

1 1

11

= − + − +

→ +∞l m.

! ! ! ! !í

k

1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

− + −

+( )

1

4

1 1

1!...

! !k k

∴

+( ) = −

+( )

=

→ +∞=∑

n

n k k n

11

1

11

0 !

l m.!

í

+∞

R

1,0

ALTERNATIVA B

PREGUNTA N.º 20

Sea una sucesión de rectángulos R1, R2, ..., Rk, ..

tales que para cada k ≥ 1, el k-ésimo rectángulotiene lados de longitudes

1k

y1

1k +. Entonces,

la suma de las áreas de todos los rectángulos esigual a:

A) 0,5 B) 1,0 C) 1,5 D) 2,5

E) ∞

R

Tema: Series

Propiedad telescópica

a a a a a an nn

k

−( ) = −( ) + −( ) ++=

∑ 1 1 2 2 31

+ −( ) + + −( )+a a a ak k 3 4 1...


Según el enunciado

1

k

1

k +1

Sea Rk el área de la región del k – ésimo rectángulo.

R

k k k k k k k =

+ =

+( ) = −

+

1 1

1

1

1

1 1

1·

Nos piden

R R R Rk k =

+ ∞

∑ = + + + +1

1 2 3 ...

= −

+ −

+ −

+1 1

2

1

2

1

3

1

3

1

4...

Entonces R1+ R2+ R3+...=1

R

1,0

ALTERNATIVA B


15/2715


PREGUNTA N.º 21

En un triángulo ABC, el lado AB mide 2 cm,m A=30º y m B=45º. Calcule la longitud (en

cm) de la mediana relativa al lado AB.

A) 11 6 3−

B) 11 5 3−

C) 11 4 3−

D) 11 3 3−

E) 11 2 3−

R

Tema: Congruencia de triángulos

Análisis y procedimientoPiden x

1

1

A C

45º

30º

x

a

H

B

M b

Sea CM : mediana relativa al lado ABUsando triángulos notables

CHB: HB=a

CHA: HA=a 3Como HA+ HB= AB=2 → a=2 1 3+( )

HM =1 – HB=1 –a → b= 3 1

3 1

−

+

Finalmente

x 2=a2+b2

∴ x = −11 6 3

R

11 6 3−

ALTERNATIVA A

PREGUNTA N.º 22

ABC es un triángulo isósceles ( AC= BC). I es elincentro del triángulo. Si AB=6 cm, AC=8 cm, la

distancia de I al lado BC es 4 cm y la prolongaciónde BI corta a AC en M , calcule la longitud(en cm) de BM .

A)44

7 B)

55

7 C)

57

7

D)60

7 E)

65

7

R

Tema: Proporcionalidad


Nos piden BM .

θ θ

4

4 5

33

M T

Q A B

C

I

8 8

Dato IT =4 I : incentro del ABCTeorema IQ= IT =4 → BI =5

ABC: teorema del incentro

BI

IM =

+8 6

8; BI =5

→ IM = 207

Luego, BM = BI + IM

∴ BM = 55

7


16/2716


Observación

En los vértices A y B notamos que los ángulos son de 106º,

lo cual implica que el problema es absurdo.

R55

7

ALTERNATIVA B

PREGUNTA N.º 23

En un triángulo ABC la mediatriz relativa al lado AC

interseca a BC en P . AP y BM se intersecan en Q.

Determine AQ (en cm), si MQ=QB y BP =4 cm.

A) 2 B) 4 C) 6

D) 8 E) 10

R

Tema: Aplicaciones de la congruencia

Observación

En el problema no indican la posición de M, pero se

considera que es el punto medio de AC .


A

B

C

H

M

P

Q

α α α

θθ

θθ

θθ

L

22

x

m

m

44

h

4

4

h

Piden AQ

Sea AQ= x

Dato: BQ=QM

Se ubica H en PC, tal que BP = PH =4.

Entonces

QP : base media del MBH

m PMH =m MPH =θ

MH =4 → QP =2

MH // AP y AM = MC

MH : base media del APC

AP =2( MH ) → x +2=2(4)

∴ x =6

R

6

ALTERNATIVA C

PREGUNTA N.º 24

Un tronco de cilindro circular recto se encuentra

circunscrito a una esfera de radio r = 2 cm, el

eje AB de la elipse forma un ángulo de 45º conla generatriz máxima BC. Calcule el volumen

(en cm3) del tronco de cilindro.

A) 2 2+ 2π( )

B) 2 1+ 2π( )

C) π 2+ 2( )

D) 2π 2 2−( )

E) 2 1π 2 −( )

R

Tema: Tronco de cilindro

En el gráfico

R

e g M

g m

v TC M m R

g g =

+

π

2

2

v TC R e= π 2

·


17/2717



2

2

2

T

O

A

M S

45º

45º

Q

C

B

R

2

Piden V TC=π R2 ×ST

Del gráfico tenemos• OQ=TC → R= 2

• SO // BC → m MSO = 45º• MSO: notable 45º SO=2• ST =2+ 2

V TC=π 2 2 22

( ) +( )

∴ V TC=2 2 2π +( )

R

2 2+ 2π ( )

ALTERNATIVA A

PREGUNTA N.º 25

ABCD es un cuadrilátero inscrito en unacircunferencia de radio r y circunscrito a unacircunferencia de radio R. Si BD interseca a AC en I , 3 BI = AI y AB+CD=a cm (a> 0), calcule lalongitud (en cm) de BC.

A)a

2 B)

a

3 C)

a

4

D)a

5 E)

a

6

R

Tema: Semejanza de triángulos

En el gráfico se cumple que AB+CD= BC+ AD

(teorema de Pitot)

A

B

C

D


Nos piden BC= x

α

α

r

3

A

B

3 x

I

x

C

D

R

Dato: AI =3( BI )Sea BI = → AI =3Del gráfico se puede ver que

BCI ∼ ADI (AA)

3 3= → =

x

AD AD x

Como ABCD es circunscrito, entonces aplica-mos el teorema de Pitot. AB CD x x + = +

dato

3

a=4 x

x a

=

4

R

ALTERNATIVA C


18/2718


PREGUNTA N.º 26

En un exaedro regular los puntos medios de sus

aristas son los vértices de un poliedro. Determine

la relación volumen del poliedro volumen del exaedro

.

A)1

2 B)

2

3 C)

3

4

D)5

6 E) 2

R

Tema: Volumen de sólidosNos piden

volumen del poliedro

volumen del exaedro

a a

a

a

a

a

pirámide

a

a

a


El volumen del exaedro regular es (2a)3=8a3.El volumen del poliedro es el volumen del cubomenos 8 veces el volumen de la pirámide, entoncestenemos que

V a

aa a

poliedro

= −

= ( )8 8

1

3 2

5

683

23

luego

volumen del poliedro

volumen del exaedro=

5

6

R

5

6

ALTERNATIVA D

PREGUNTA N.º 27

L es una recta que contiene un punto C, ABC esun triángulo rectángulo (recto en B) cuyo cateto AB es paralelo a la recta L. Si BC = 3 cm y AB = 2 cm, entonces el volumen (en cm3) delsólido de revolución que se obtiene al girar el

triángulo alrededor de L es:

A) 2p B)5

2

p C) 3p

D)7

2

p E) 4p

R

Tema: Pappus y Guldin G.

Recuerde que el centroide de una región triangularcoincide con su baricentro.


3

2

3

3

2

2m

m

C A

B

x

C.G.

A ABC( ) = =2 3

2 3

·

x

m m

m

=

+

( )=

3

22 3

32

3

3


19/2719


Por Pappus

V A = =

2 2

2 3

33π π x

R

4p

ALTERNATIVA E

PREGUNTA N.º 28

En un depósito cilíndrico de radio 5 m, que con-tiene cierta cantidad de agua; se introducen 24bolas esféricas de igual radio. Si el nivel del aguase incrementa en 4,32 m, entonces el diámetro (enm) de las bolas es:

A) 3,0 B) 3,2 C) 3,4 D) 3,6

E) 3,8

R

Tema: Cilindro


Piden 2r

4,32 m

5 m

5 m

r r r

se introducen

las 24 bolas

esféricas

Por lo tanto

v v de las 24

bolas esféricas

nivel de

incrementoH O

=

2

24

4

35 4 323 2× = ×( ) ×π πr ,

Despejando

r=1,5

∴ 2r= 3

R

3,0

ALTERNATIVA A

PREGUNTA N.º 29

Halle el número de diagonales de un polígonoregular ABCDE... sabiendo que las mediatrices

de los lados AB y DE forman un ángulo de 60º.

A) 90 B) 105 C) 120

D) 135 E) 150

R

Tema: Polígonos


Nos piden N D: número de diagonales.

θ

θθ

D

C

B

60º

H

L 1

L 2

A

M

N

E


20/2720


L 1

y L

2: mediatrices de AB y DE

Sea n el número de lados del polígono regular.

Del hexágono MBCDNH tenemos que

∑mi=720º

3q+180º+60º=720º

→ q =160º y θ = −( )180 2º n

n

Luego, n=18

N

n n D =

−( )3

2

→ =

( ) ( ) N D

18 15

2

∴ N D=135

R

135

ALTERNATIVA D

PREGUNTA N.º 30

La arista de un octaedro regular mide 6 m. Calculela distancia (en m) del centro del octaedro a unacara.

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 3

R

Tema: Poliedros regulares

a bh

c

En el gráfico se cumple que

a ·b=c ·h


Piden la distancia del centro a una cara.

B

M

O

S33

3 33 3

x x

3 26

T T

Sea O: centro del octaedro

OM = 3 2

OT ⊥ AMB

→ OT : distancia del centro a una cara

OT = x

MOS

3 3 2 3 3⋅ = ⋅ x

∴ x = 6

R6

ALTERNATIVA B


21/2721


PREGUNTA N.º 31

En la figura, AB es el lado de un exágono regular

inscrito en la circunferencia de centro O. El

diámetro CD es perpendicular a AB y D es punto

de tangencia. Si EF =3r .

Determine el valor deCF

CD π =( )3 14, .

r

C

F

B

D

A

E

O

A) 14

B) 12

C) 1

D)3

2 E) 2

R

Tema: Polígonos regulares

Si AB es lado de un exágono regular inscrito en

C , entonces la m AB = 60º y AB=r ; además,

m m AD DB = .

C

B

D

A

O


Nos pidenCF

CD

3/3r

3r

30º

r

C

B

D

A

E F

O

r

Calculamos CF .

En el CDF , se aplica el teorema de Pitágoras.

CF r r r

( ) = ( ) + −

2 2

2

2 3 3

3

CF r r r r ( ) = + + −2 2 22

24 93

2 3

CF r ( ) = −

2 2 40

32 3

(CF )2=r 2(9,87)

→ CF =r (3,14) (I) (valor aproximado)

y comoCD

r = π

CD

r = 3 14, (II)

De (I) y (II)

CF r

r CD

=

3 14

3 14

,

,

R1

ALTERNATIVA C


22/2722


PREGUNTA N.º 32

Por el vértice B de un triángulo rectángulo ABC (recto

en B). Se traza BD perpendicular al plano ABC, el

punto D se une con las vértices A y C. Si AB=9 u,

BC=12 u y BD =36 3

5u , entonces la medida del

diedro AC (en grados sexagesimales) es:

A) 37 B) 45 C) 53

D) 54 E) 60

R

Tema: Ángulo diedro

336

537º

53º h

9

12ββ

C

D

A

B


Piden el valor de β. ABC (producto de catetos): 9(12)=15h

h =

36

5

Luego

336

5

36

5

β

∴ β=60º

R60º

ALTERNATIVA E

PREGUNTA N.º 33

En la figura mostrada (tanθ)(cotβ) es igual a:

β

θ

(– 4, – 3)

(– 3, – 4)

X

Y

A)9

16 B) 1 C)

16

9

D)7

2 E) 3

R

Tema: Razones trigonométricas de ángulos en

posición normal

Recuerde que

r α

P ( x , y)

X

Y

tanα =y

x

cot α =

x

y


23/2723



Piden: (tanq)(cotb)

β

θ

(– 4, – 3)

(– 3, – 4)

X

Y

90º

– 90º

Se observa que

• cot ( º )90 4

3+ =

−

−θ

− =tanθ

4

3

tanθ = −4

3

• tan( º )− + = −

−90

4

3β

− − =tan( º )90 4

3β

− =cotβ

4

3

cotβ = − 4

3

(tan )(cot )θ β = −

−

=

4

3

4

3

16

9

R

16/9

ALTERNATIVA C

PREGUNTA N.º 34

Calcule el valor de E=sec80º+8cos280º

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

R

Tema: Identidades de arco triple


Piden

E=sec80º+8cos280º

= +1

808 80

2

cos ºcos º

Por ángulos complementarios

cos80º=sen10º

Reemplazando

E = +1

108 10

2

sen ºsen º

=+ ( )1 2 4 10

10

3sen º

sen º

Recuerde que

4sen3 x =3sen x – sen3 x

En el problema

E =+ −( )1 2 3 10 30

10

sen º sen º

sen º

E =+ −1 6 10 1

10

sen º

sen º

E=6

R6

ALTERNATIVA B


24/2724


PREGUNTA N.º 35

Al resolver la inecuación

arc sen arc x x −


25/2725


Entonces establecemos que:

0 ≤ arccos x ≤ p (I)

p

4 ≤ arccot x ≤

3

4

p (II)

Sumando (I) y (II)

p

4 ≤ arccos x +arccot x ≤

7

4

p

f ( x )

p4

≤ f ( x ) ≤ 7

4

p

Rf =

π π

4

7

4;

Luego

m M = =π π

4

7

4y

∴ M

m= 7

R

7

ALTERNATIVA D

PREGUNTA N.º 37

Cuántos valores de x ∈ −π π

2 2, satisfacen la

ecuación:

6sen(2 x ) – 8cos x +9sen x – 6=0

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 6

R

Tema: Ecuaciones trigonométricas


6sen(2 x ) – 8cos x +9sen x – 6=0

12sen x cos x – 8cos x +9sen x – 6=0

Factorizando

4cos x (3sen x – 2)+3(3sen x – 2)=0

→ (3sen x – 2)(4cos x +3)=0

Como x ∈ −π π

2 2; : sen x =

2

3

Como sen x> 0 → x ∈ 02

; π

Por lo tanto, existe un único valor para x .

R

1

ALTERNATIVA A

PREGUNTA N.º 38

En un triángulo acutángulo ABC . Calcule el

valor de:

E A B

A B

B C

B C

A C

A C=

−( )+

−( )+

−( )cos

sen sen

cos

sen sen

cos

sen sen

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

E) 8

R

Tema: Identidad de ángulos compuestos


26/2726



Nos piden calcular

E A B

A B

B C

B C

A C

A C

=−( )

+−( )

+−( )cos

sen sen

cos

sen sen

cos

sen sen

E A B A B

A B

B C B C

B C=

++

++

cos cos sen sen

se n se n

cos cos sen sen

se n se n

++cos cos sen sen

sen sen

A C A C

A C

E=cot Acot B+1+cot BcotC+1+cot AcotC+1

Se sabe por propiedad que si

A+ B+C=180º,

entonces

cot Acot B+cot BcotC+cot AcotC=1

∴ E=4

R

4

ALTERNATIVA B

PREGUNTA N.º 39

Sea

A={( x , y) ∈R2 / x =cos2t , y=sen2t ; t ∈R}

Entonces podemos afirmar que:

A) A es una semicircunferencia B) A es un segmento de recta C) A es una semielipse D) A es una recta

E) A es un segmento de parábola

R

Tema: Ecuación paramétrica de la recta


Sea

A={( x , y) ∈ R2 / x =cos2t , y=sen2t ; t ∈ R}

x =cos2t (I)

y=sen2t (II)

donde 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1

Sumando (I) y (II)

x +y=1

Se tiene la ecuación de un segmento de recta

debido a que x e y están acotados.

R A es un segmento de recta

ALTERNATIVA B

PREGUNTA N.º 40

En un triángulo ABC recto en A, el valor de laexpresión:

E

a b ab C

a b bc C

=−( ) +

+( ) −

2 2

2

42

22

sen

cot

donde a, b y c son los lados del triángulo, es igual a:

A) – 2 B) – 1 C) 1 D) 2 E) 4

R

Tema: Razones trigonométricas de un ángulo

agudo

Recordemos que

• 2sen2q=1 – cos2q

• cot q

2=cscq+cotq


27/27



Dato

A

B

C

a

b

c

Nos piden

E

a b ab C

a b bc C

=−( ) +

+( ) −

2 2

2

42

2

2

sen

cot

=−( ) +

+( ) −

a b ab C

a b bc C

2 2

2

2 22

22

sen

cot

=

−( ) + −( )

+( ) − +( )

a b ab C

a b bc C C

2

2

2 1

2

cos

csc cot

=−( ) + −

+( ) − +

a b ab b

a

a b bc a

c

b

c

2

2

2 1

2

=

−

−

=

a b

a b

2 2

2 2 1

R

1

ALTERNATIVA C

MATEMATICA FINALPBiMJRV8op65

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