E-Matematica · PDF fileAntonella Greco, Rosangela Mapelli E-Matematica E-Book di Matematica...

Antonella Greco, Rosangela Mapelli

E-MatematicaE-Book di Matematica per il triennio

Volume 1

COPIA SAGGIO Campione gratuito fuori commercio ad esclusivo uso dei docenti

© Garamond 2009 Tutti i diritti riservati Via Tevere, 21 Roma Prima edizione Volume 1 Cod. ISBN 978-88-86180-37-5

E–Matematica Indice

INDICE GENERALE

Disequazioni .................................................................................................................................... 6

DISEQUAZIONI .................................................................................................................................. 7

Disequazioni e loro proprietà .......................................................................................................... 7

Richiami ......................................................................................................................................... 7 Intervalli ......................................................................................................................................... 7 Tipi di Disequazioni ......................................................................................................................... 9 Principi di equivalenza .................................................................................................................... 9 Disequazioni di I grado ................................................................................................................. 10 Segno di un prodotto .................................................................................................................... 11 Disequazioni di II grado ................................................................................................................ 12 Disequazioni Fratte ....................................................................................................................... 13 Sistemi di disequazioni .................................................................................................................. 14

Disequazioni con valori assoluti ..................................................................................................... 15

Casi particolari di disequazioni in valore assoluto .......................................................................... 16 Disequazioni irrazionali ................................................................................................................. 18

Introduzione ................................................................................................................................. 18 Risoluzione di disequazioni irrazionali ........................................................................................... 18 Casi particolari di disequazioni irrazionali ..................................................................................... 19

Piano Cartesiano e Retta ................................................................................................................ 22

PIANO CARTESIANO ....................................................................................................................... 23

Coordinate di un punto ................................................................................................................. 23

Introduzione ................................................................................................................................. 23 Coordinate di un punto sulla retta ................................................................................................. 24 Distanza fra due punti .................................................................................................................. 24 Punto medio sulla retta ................................................................................................................. 25 Coordinate di un punto nel piano .................................................................................................. 25 Distanza tra due punti nel piano ................................................................................................... 26 Punto medio di un segmento nel piano .......................................................................................... 28 Baricentro di un triangolo ............................................................................................................. 28

Il metodo delle coordinate e i teoremi di geometria Euclidea ......................................................... 29

Luogo geometrico nel piano cartesiano ......................................................................................... 30

LA RETTA .......................................................................................................................................... 31

Equazioni di rette come luogo geometrico .................................................................................... 31

Introduzione ................................................................................................................................. 31 Equazione degli assi cartesiani ...................................................................................................... 31 Equazioni di rette parallele agli assi cartesiani ............................................................................... 32 Equazioni delle bisettrici dei quadranti .......................................................................................... 33 Equazioni della retta passante per origine ..................................................................................... 34

Coefficiente angolare .................................................................................................................... 35

Significato geometrico del coefficiente angolare ............................................................................. 35 Equazione retta generica ............................................................................................................... 38

Equazione in forma esplicita ......................................................................................................... 38 Equazione in forma implicita ......................................................................................................... 38 Equazione della retta passante per un punto con coefficiente angolare dato .................................. 41

A. Greco – R. Mapelli - 3 - © Garamond 2009


Equazione della retta passante per due punti ................................................................................ 41 Come disegnare una retta ............................................................................................................. 42

Rette parallele e perpendicolare .................................................................................................... 43

Rette parallele ............................................................................................................................... 43 Rette perpendicolari ...................................................................................................................... 43 Equazione dell’asse di un segmento .............................................................................................. 44 Posizione reciproca di due rette nel piano ...................................................................................... 44 Distanza di un punto da una retta ................................................................................................ 46 Equazione della bisettrice di un angolo .......................................................................................... 47

Circonferenza e Parabola ............................................................................................................... 48

CIRCONFERENZA ............................................................................................................................ 49

Equazione della circonferenza ....................................................................................................... 49

Introduzione ................................................................................................................................. 49 Equazione della circonferenza ....................................................................................................... 50 Raggio e centro della circonferenza ............................................................................................... 50 Posizioni particolari della circonferenza nel piano .......................................................................... 51

Retta e circonferenza nel piano ...................................................................................................... 54

Retta tangente alla circonferenza .................................................................................................. 55 Procedimenti per trovare la tangente ............................................................................................. 55 Condizioni generali per determinare l’equazione di una circonferenza ........................................... 57

Posizioni di due circonferenze nel piano ........................................................................................ 58

PARABOLA ....................................................................................................................................... 60

Equazione della Parabola ............................................................................................................... 60

Introduzione ................................................................................................................................. 60 Parabola con vertice nell’ origine e asse coincidente con l’ asse y. .................................................. 61 Concavità della parabola .............................................................................................................. 62 Equazione della parabola con asse parallelo asse y ....................................................................... 63 Vertice, Fuoco e direttrice della parabola ....................................................................................... 63 Parabola con asse di simmetria parallelo all’ asse x ....................................................................... 66

Posizioni di una retta rispetto ad una parabola .............................................................................. 68

Rette tangenti alla parabola .......................................................................................................... 69 Condizioni generali per determinare l’equazione di una parabola .................................................. 70

Segmento parabolico .................................................................................................................... 71

Teorema di Archimede (area del segmento parabolico) .................................................................. 71

Ellisse e Iperbole ............................................................................................................................ 73

ELLISSE ............................................................................................................................................. 74

Equazione dell’ellisse .................................................................................................................... 74

Introduzione ................................................................................................................................. 74 Equazione dell’ellisse con i fuochi posti sull’asse delle ascisse ......................................................... 75 Equazione dell’ellisse con i fuochi posti sull’asse delle ordinate ..................................................... 75 Caratteristiche dell’ellisse .............................................................................................................. 77 Eccentricità ................................................................................................................................... 78

Ellisse e retta nel piano .................................................................................................................. 79

Retta tangente all’ellisse................................................................................................................ 79 Procedimenti per trovare la tangente ............................................................................................. 80 Condizioni generali per determinare l’equazione di un’ellisse ......................................................... 81




L’equazione dell’ellisse traslata ...................................................................................................... 82

IPERBOLE ......................................................................................................................................... 83

Equazione dell’iperbole ................................................................................................................. 83

Introduzione ................................................................................................................................. 83 Iperbole ........................................................................................................................................ 83 Iperbole con fuochi appartenenti all’asse x .................................................................................... 84 Proprietà dell’iperbole ................................................................................................................... 85 Iperbole con fuochi appartenenti all’asse y .................................................................................... 86 Eccentricità ................................................................................................................................... 87

Iperbole equilatera ........................................................................................................................ 88

Iperbole equilatera ........................................................................................................................ 88 Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti ................................................................................... 88 Funzione Omografica .................................................................................................................... 90

Retta e iperbole ............................................................................................................................. 91

Retta tangente all’iperbole ............................................................................................................ 93 Procedimento per trovare la tangente ............................................................................................ 93

Iperbole traslata ............................................................................................................................ 95

Condizioni generali per determinare l’equazione di un’iperbole ..................................................... 95 Dimostrazioni ................................................................................................................................ 97

Dimostrazione: simmetria centrale ................................................................................................ 97 Dimostrazione: Traslazione ........................................................................................................... 97 Dimostrazione: baricentro di un triangolo ..................................................................................... 98 Dimostrazione: rette perpendicolari ............................................................................................... 98 Dimostrazione: Asse di un segmento .............................................................................................. 99 Dimostrazione: distanza punto retta generica ................................................................................ 99 Dimostrazione: Regola dello sdoppiamento ................................................................................. 100 Dimostrazione: equazione dell’ellisse con i fuochi posti sull’asse delle ascisse ............................... 100 Dimostrazione: ellisse traslata ..................................................................................................... 101 Dimostrazione: equazione dell’iperbole ....................................................................................... 102 Dimostrazione: funzione Omografica .......................................................................................... 102 Dimostrazione: iperbole equilatera riferita ai propri asintoti ......................................................... 103 Dimostrazione: iperbole traslata .................................................................................................. 103 Approfondimento: Fuoco dell’iperbole ......................................................................................... 104

Formulario ...................................................................................................................................... 105

Disequazioni ............................................................................................................................... 105 Disequazioni di secondo grado .................................................................................................... 105 Disequazioni con modulo ............................................................................................................ 105 Disequazioni irrazionali .............................................................................................................. 105 Piano cartesiano e retta .............................................................................................................. 106 Circonferenza .............................................................................................................................. 107 Parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate....................................................................... 107 Parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse ......................................................................... 107 Elisse con i fuochi sull’asse delle ascisse ....................................................................................... 108 Ellisse con i fuochi sull’asse delle ordinate .................................................................................... 108 Iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse ................................................................................... 109 Iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate ................................................................................ 109 Iperbole equilatera ...................................................................................................................... 110

GLOSSARIO .................................................................................................................................... 111

E–Matematica Disequazioni

Disequazioni

Disequazioni e loro proprietà

Disequazioni con modulo

Disequazioni irrazionali


E–Matematica Disequazioni: disequazioni e loro proprietà

DISEQUAZIONI

PREREQUISITI [Calcolo algebrico – Equazioni - Disequazioni di I grado - Disequazioni di II grado] OBIETTIVI Sapere [Disequazioni fratte - Sistemi di disequazioni - Valore assoluto:definizione e proprietà – Equazioni e disequazioni in valore assoluto - Disequazioni irrazionali] Saper Fare [Saper svolgere disequazioni fratte - Saper svolgere sistemi tra disequazioni – Saper svolgere equazioni e disequazioni in valore assoluto -Saper svolgere disequazioni irrazionali]

Disequazioni e loro proprietà

Richiami

Una disuguaglianza in cui compaiono una o più incognite prende il nome di disequazione [G]. Noi ci occuperemo di disequazioni dove compare una sola incognita:

Definizione È detta disequazione una disuguaglianza tra due espressioni algebriche verificata da un insieme di valori dell’incognita che compare in almeno una delle due espressioni.

)x(B)x(A)x(B)x(A <∨>

L’insieme dei valori che verificano la disequazione è detto “soluzione” [G] della disequazione e tali valori, sostituiti al posto dell’incognita, rendono la disequazione una disuguaglianza vera. Risolvere una disequazione, quindi, vuol dire determinare l’insieme delle soluzioni. In generale l’insieme delle soluzioni è un intervallo. sottraiamo due numeri naturali non sempre è possibile avere come risultato un numero naturale.

Intervalli

Gli intervalli sono particolari sottoinsiemi dell’insieme R.

Definizione

Considerati si definisce intervallo limitato l’insieme dei numeri reali [G] x compresi tra

ab/Rb,a <∈ab ∧



Definizione

Considerato si definisce intervallo illimitato l’insieme dei numeri reali x che precedono o seguono

Ra∈a

Gli intervalli si possono rappresentare in tre modi: - Tramite disuguaglianze. - Tramite indicazione degli estremi, racchiusi in parentesi quadrate o tonde. - Tramite rappresentazione grafica.

Limitati

Intervallo aperto a destra

axb <≤

[ )a;b

Intervallo aperto a sinistra

axb ≤<

( ]a,b

Intervallo aperto

axb <<

( )a,b

Intervallo chiuso

axb ≤≤

[ ]a,b

Illimitati

Intervallo aperto illimitato inferiormente

ax <

( )a;∞−

Intervallo aperto illimitato superiormente

ax >

( )+∞;a

Intervallo chiuso illimitato superiormente

ax ≥

[ );a +∞

Intervallo chiuso illimitato inferiormente

ax ≤

( ]a;∞−




Tipi di Disequazioni

Una disequazione può essere in senso largo o in senso stretto. Disequazione in senso largo

)x(B)x(A)x(B)x(A ≤∨≥ Risolvere una disequazione in senso largo vuol dire ricercare le soluzioni che verificano contemporaneamente la disequazione e l’equazione. Disequazione in senso stretto

)x(B)x(A)x(B)x(A <∨> Risolvere una disequazione in senso stretto vuol dire ricercare le soluzioni che verificano solo la disequazione. Inoltre: Una disequazione è intera se l'incognita non compare al denominatore, fratta se l'incognita compare anche al denominatore. Prima di enunciare i principi di equivalenza che permettono di risolvere le disequazioni è necessario sapere che

Definizione

Due disequazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Principi di equivalenza

Primo Principio di equivalenza delle disequazioni

Addizionando o sottraendo ad entrambi i membri di una disequazione una stessa espressione si ottiene una disequazione equivalente ed equiversa alla disequazione di partenza.

Come conseguenza di questo principio: Si possono trasportare i termini da un membro all'altro della disequazione purché si cambi il loro segno

Secondo Principio di equivalenza delle disequazioni

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per un numero positivo si ottiene una disequazione equivalente ed equiversa alla disequazione di partenza. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per una quantità negativa si ottiene una disequazione equivalente ma controversa alla disequazione di partenza.


Disequazioni di I grado

Le disequazioni di I grado possono essere scritte nella forma:

baxbax <∨> in senso stretto oppure baxbax ≤∨≥ in senso largo.

Consideriamo la disequazione , applicando il II principio di equivalenza otteniamo: bax >

a>0 abx >

b>0 Non esiste nessun x

a=0 b=0 Non esiste nessun x b<0

bx0 >

Rx∈∀

a<0 abx <

Medesimo ragionamento vale anche per le altre disequazioni

Esempio

25

x4)1x(3x2 −<−+ E’ una disequazione lineare numerica

25

x43x3x2 −<−+ Applichiamo il I principio di equivalenza

25

3x4x3x2 −<−+ 25

3x −< 21

x < ax21ax +>− E’ una disequazione letterale

a1x2ax +>− ( ) a1x2a +>−

Dobbiamo studiare il segno del I coefficiente, otteniamo i seguenti casi:

- 2aa1

x2a−+

>⇒> In questo caso il coefficiente della x è positivo. Dividiamo per a-2 e non

cambiamo il verso della disequazione - Rx3x02a ∈∃⇒>⇒= Sostituiamo al posto del parametro a il valore 2 e otteniamo una disuguaglianza falsa, per qualsiasi valore di x.

- 2aa1

x2a−+

<⇒< In questo caso il coefficiente della x è negativo. Dividiamo per a-2

cambiamo il verso della disequazione




Segno di un prodotto

Esempio

Svolgere la seguente disequazione ( 0)x4)(3x)(2x + − <−

Per determinare l’insieme delle soluzioni della disequazione dobbiamo porre ogni singolo fattore maggiore di zero, cioè studiare il segno di ogni fattore:

4x0x43x03x

2x02x

<⇒>−−>⇒>+

>⇒>−

Riportiamo sopra una retta orientata i valori trovati, e tracciamo in corrispondenza delle linee verticali. Riportiamo l’ insieme di soluzione di ogni singolo fattore ponendo il segno positivo, dove è maggiore di zero, e il negativo nel verso opposto. Tracciamo al termine una linea orizzontale e applichiamo la regola del segno del prodotto in ciascun intervallo. La disequazione è verificata per: -3 <x<2 v x>4

Osservazione

La disequazione è in senso stretto quindi non si accettano le soluzioni dell’equazione. In corrispondenza di tali soluzioni, nel grafico, poniamo un pallino vuoto.

Conclusione

Per risolvere una disequazione composta dal prodotto di più fattori

0)...x(C)x(B)x(A0)...x(C)x(B)x(A <••∨>••

basta porre:

• ogni singolo fattore maggiore di zero;

• determinare le singole soluzioni;

• riportare su un grafico le soluzioni trovate;

• moltiplicare tra loro i segni;

• scegliere l’intervallo delle soluzioni che verificano la disequazione assegnata.


Disequazioni di II grado

Una disequazione di II grado completa assume sempre la forma:

con 0cbxax2 >++ 0a ≠analogamente se al posto di >, si sostituisce <, , . Supponiamo che il I° coefficiente sia positivo , (nel caso in cui a<0 basta cambiare di segno a tutti i termini, e invertire il verso della disequazione).

0a >

Per determinare le soluzioni della disequazione dobbiamo:

considerare l’equazione associata 0cbxax2 =++

determinare il discriminante [G] ac4b2 −=ΔOtteniamo i seguenti casi

0>Δ

0cbxax2 >++ 21 xxxx >∧< Se a concorde [G]con il verso della disequazione, soluzioni esterne all’intervallo delle radici.

0cbxax2 <++ 21 xxx << Se a discorde [G] con il verso della disequazione, soluzioni esterne all’intervallo delle radici.

Esempio

Risolvere la seguente disequazione: 01x3x2 2 ≥+−

L’equazione associata è: 01x3x2 2 =+−

Calcoliamo il discriminante 0189ac4b2 >Δ⇒=−=Δ⇒−=Δ

Determiniamo le soluzioni dell’equazione 1x4

13xx

21

x4

13x =⇒

+==∧=⇒

−=

Determiniamo le soluzioni della disequazione: , verso concorde con il segno del primo coefficiente, la disequazione è verificata per valori esterni all’ intervallo delle radici.

0a >

1x21

x ≥∧≤

0=Δ

0cbxax2 >++ a2b

x,Rx −≠∈∀ Se a concorde con il verso della disequazione, è verificata per qualsiasi valore di x, escluso il valore che verifica l’equazione.

0cbxax2 <++ Rx∈∃ Se a discorde con il verso della disequazione, non ammette nessuna soluzione.

Esempio

Risolvere la seguente disequazione: 09x6x2 >+−

L’equazione associata è: 09x6x2 =+−

Calcoliamo il discriminante 00994

ac2b

4

2=Δ⇒=−=

Δ⇒−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Δ

Determiniamo le soluzioni dell’equazione 3xx 21 == Determiniamo le soluzioni della disequazione: , verso concorde con il segno del primo coefficiente, la disequazione è verificata per qualsiasi valore reale di x, escluso 3.

0a >

3x,Rx ≠∈∀




0<Δ

0cbxax2 >++ Rx∈∀ Se a concorde con il verso della disequazione, è verificata per qualsiasi valore di x.

0cbxax2 <++ Rx∈∃ Se a discorde con il verso della disequazione, non ammette nessuna soluzione.

Esempio

Risolvere la seguente disequazione: 01xx2 <++

L’equazione associata è: 01xx2 =++

Calcoliamo il discriminante 0341ac4b2 <Δ⇒−=−=Δ⇒−=ΔDeterminiamo le soluzioni della disequazione: verso discorde con il segno del primo coefficiente, la disequazione non è mai verificata .

0a >

Rx∈∃/

Disequazioni Fratte

Una disequazione fratta, ridotta in forma normale, è del tipo:

0)x(B)x(A>

o eventualmente con diversi tipi di disuguaglianza[G]

Risolvere una disequazione fratta vuol dire studiare il segno di un rapporto, cioè determinare per quali valori dell’incognita il rapporto tra due espressioni algebriche è positivo o negativo.

Per risolvere una disequazione fratta si procede nel seguente modo:

Si riduce la disequazione a forma normale, cioè nel rapporto tra due polinomi; Si pone il Numeratore maggiore di zero (maggiore o uguale se la disequazione è in senso largo); Si pone il Denominatore maggiore di zero e mai uguale a zero, per l’esistenza della frazione; Si riportano gli insiemi delle soluzioni del numeratore e del denominatore nel grafico Si applica la regola dei segni

Si scelgono gli intervalli che verificano la disequazione fratta

Esempio

Risolvere la disequazione:

0x3x

4x2

2<

−

−

Poniamo

3x0x0x3x0D

2x2x04x0N2

2

>∧<⇒>−⇒>

>∧−<⇒>−⇒>

Riportiamo nel grafico le soluzioni trovate: La disequazione è verificata 3x20x2 < ∧ < <<−

* utilizziamo questo simbolo per indicare che il Denominatore non può mai essere nullo.


Sistemi di disequazioni Sistemi di disequazioni

Definizione Definizione

Un sistema di disequazioni è un insieme di disequazioni nella stessa incognita, per le quali cerchiamo l’eventuale insieme di soluzioni comuni.

Un sistema di disequazioni è un insieme di disequazioni nella stessa incognita, per le quali cerchiamo l’eventuale insieme di soluzioni comuni.

Dalla definizione si deduce che: Dalla definizione si deduce che:

Risolvere un sistema di disequazioni vuol dire determinare l’eventuale insieme delle soluzioni che verificano contemporaneamente tutte le disequazioni. Risolvere un sistema di disequazioni vuol dire determinare l’eventuale insieme delle soluzioni che verificano contemporaneamente tutte le disequazioni.

Per risolvere un sistema di disequazioni si procede nel seguente modo: Per risolvere un sistema di disequazioni si procede nel seguente modo:

Si risolvono singolarmente tutte le disequazioni; Si risolvono singolarmente tutte le disequazioni; Si riportano gli insiemi delle soluzioni in un grafico; Si riportano gli insiemi delle soluzioni in un grafico; Si fa l’intersezione tra gli insiemi trovati determinando il sottoinsieme comune. Se non

esistono valori comuni il sistema non ammette soluzioni (l’insieme delle soluzioni coincide con l’insieme vuoto).

Si fa l’intersezione tra gli insiemi trovati determinando il sottoinsieme comune. Se non esistono valori comuni il sistema non ammette soluzioni (l’insieme delle soluzioni coincide con l’insieme vuoto).

Esempio Esempio

Risolvere: ⎪⎨ Risolvere:

⎪⎪⎩

⎪⎧

≥

<+−

≥−

0x

06x5x

0x2x3

2

2

2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<+−

≥−

0x

06x5x

0x2x3

2

2

2

Risolviamo singolarmente le disequazioni: Risolviamo singolarmente le disequazioni:

a) a) 32

x0x0x2x3 2 ≥∧≤⇒≥−

b) 3x206x5x2 <<⇒<+−

c) Rx0x2 ∈∀⇒≥Rappresentiamo le tre soluzioni in uno stesso grafico, indicando con tratto continuo l’intervallo soluzione di ciascuna disequazione, per poter individuare la parte comune Il sistema è verificato per 3x2 <<


E–Matematica Disequazioni: disequazioni con valori assoluti

Disequazioni con valori assoluti Introduzione

Definizione

Si definisce valore assoluto [G] di un numero reale x, il numero x se è positivo o nullo, il

suo opposto se è negativo. In generale: ⎩⎨⎧

<−≥

=0x,x

0x,xx .

Esempio

Se 3303x =+⇒>+= ;

Se 3)3(303x =−−=−⇒<−=

Dalla definizione possiamo dedurre che:

Proprietà

Rx,xx

Ry,x,yxyx

Ry,x,,yxyx

0yRy,x,y

x

yx

Ry,x,yxyx

Rx,xx

2

22

∈∀=

∈∀≤⇔≤

∈∀±=⇔=

≠∧∈∀=

∈∀•=•

∈∀−=

Rx,0

0xRx,0

∈∀≥

≠∧∈∀>

x

x

Le equazioni e le disequazioni in valore assoluto, per alcuni semplici casi, si possono risolvere tenendo conto della definizione.

Vediamo qualche esempio.

Esempio

1. Rx4x ∈∃/⇒−= L’equazione è impossibile, perché il valore assoluto di un numero reale è

sempre positivo.

2. 9x9x ±=⇒=



Esempio

3. Rx13x ∈∃/⇒−=+ L’equazione è impossibile, perché il valore assoluto di un numero reale

è sempre positivo.

4. 2x04x04x 22 ±=⇒=−⇒=− Il valore assoluto di un numero reale è zero, quando il

numero è zero.

5.

23

x1x6x42x2

2x34x2x34x2x34x

=∨−=⇒=∨=−

+−=−∨−=−⇒−=−

Due valori assoluti sono uguali quando o sono uguali o sono opposti. 6. Rx11x ∈∃/⇒−<+ Un numero reale in valore assoluto è sempre positivo quindi, non può

mai essere minore di un numero reale negativo. 7. 4x,Rx04x −≠∈∀⇒>+ Un numero reale in valore assoluto è sempre positivo quindi è

sempre maggiore di zero, ad esclusione di x=-4. Sostituendo, infatti, -4 si ottiene 0>0 che è una disuguaglianza falsa. 8. Rx04x ∈∀⇒≥+ Un numero reale in valore assoluto è sempre positivo quindi è sempre

maggiore di zero. 9. Rx01x ∈∃/⇒<+ Un numero reale in valore assoluto è sempre positivo quindi, non può

mai essere minore di zero. 10. 1x,Rx01x −=∈∃/⇒≤+ L’unico valore accettabile è quello che rende nullo il primo

membro della disequazione in senso largo.

11. 3x,Rx03x9x2 ≠∈∀⇒>−+− La disequazione è sempre verificata, perché somma di

valori positivi, ad esclusione di x=3 che annulla contemporaneamente i due moduli.

Casi particolari di disequazioni in valore assoluto

I Caso

Consideriamo la disequazione +∈< Rk,k)x(f

Per definizione di valore assoluto la disequazione equivale ai due seguenti sistemi

⎩⎨⎧

−><

∨⎩⎨⎧

<≥

⇒⎩⎨⎧

<−<

∨⎩⎨⎧

<≥

k)x(f0)x(f

)Bk)x(f0)x(f

)Ak)x(f

0)x(f)B

k)x(f0)x(f

)A

Il sistema A è verificato per k)x(f0 <≤

Il sistema B è verificato per 0)x(fk <<−

Facciamo l’unione tra i due insiemi di soluzioni 0)x(fkk)x(f0 <<−∪<≤ , otteniamo k)x(fk <<− . Conclusione

k)x(fkRk,k)x(f <<−⇒∈< +

Risolvere k)x(fk <<− equivale a svolgere il sistema , cioè si determina: ⎩⎨⎧

−><

k)x(fk)x(f

1. l’insieme delle soluzioni della prima disequazione 1S

2. l’insieme delle soluzioni della seconda disequazione 2S

L’insieme delle soluzioni di +∈< Rk,k)x(f è 21 SSS ∩=




Esempio

Risolvere la disequazione: 2x3x2 <−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>∨<

+<<

−⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+−

<−−⇒<−<−⇒<−

2x1x2

173x

2173

02x3x

02x3x2x3x22x3x

2

222

La disequazione è verificata per 2

173x21x

2173 +

<<∨<<−

II Caso

Consideriamo la disequazione +∈> Rk,k)x(f

Per definizione di valore assoluto la disequazione equivale ai due seguenti sistemi

⎩⎨⎧

−<<

∨⎩⎨⎧

>≥

⇒⎩⎨⎧

>−<

∨⎩⎨⎧

>≥

k)x(f0)x(f

)Bk)x(f0)x(f

)Ak)x(f

0)x(f)B

k)x(f0)x(f

)A

Il sistema A è verificato per k)x(f >

Il sistema B è verificato per k)x(f −<Facciamo l’unione tra i due insiemi di soluzioni, otteniamo

k)x(fk)x(f >∨−< . Conclusione

k)x(fk)x(fRk,k)x(f >∨−<⇒∈< +

Risolvere equivale a determinare k)x(fk)x(f >∨−<

1. l’insieme delle soluzioni della disequazione 1S k)x(f −<

2. l’insieme delle soluzioni della disequazione 2S k)x(f >

L’insieme delle soluzioni di +∈> Rk,k)x(f è 21 SSS ∪=

Esempio

Risolvere la disequazione: 2x3x 2 >−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<

+>∨

−<⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

<+−

>−−⇒>−∨−<−⇒>−

2x12

173x

2173

x

02x3x

02x3x2x3x2x3x2x3x

2

2222

La disequazione è verificata per . 2

173x2x1

2173

x+

>∨<<∨−

<

E–Matematica Disequazioni: disequazioni irrazionali


Introduzione

Definizione

Una disequazione irrazionale è una disuguaglianza in cui compaiono uno o più radicali contenenti l’incognita. )x(g)x(f ≥

Le disequazioni irrazionali possono avere:

radicali di indice dispari. radicali di indice pari.

Per risolvere le disequazioni irrazionali bisogna distinguere i seguenti casi:

La disequazione contiene solo radicali di indice pari: In questo caso tutti i radicali devono essere contemporaneamente postivi o nulli. Bisogna quindi porre le condizioni di esistenza dei radicali, ponendo ogni radicando maggiore o uguale a zero.

La disequazione contiene solo radicali di indice dispari: In questo caso non bisogna porre alcuna condizione, perché un radicale di indice dispari esiste sia che sia negativo sia che sia positivo il suo radicando.

Risoluzione di disequazioni irrazionali

Per risolvere una disequazione irrazionale si deve cercare di trasformarla in una razionale, elevando, in modo opportuno, entrambi i membri della disequazione ad una stessa potenza. Ricordiamo che:

Se dobbiamo elevare entrambi i membri di una disequazione a potenza pari, è possibile solo se entrambi i membri sono positivi. La disequazione che si ottiene è equivalente a quella data ma, solo nel dominio della disequazione data.

Esempio

Risolvere 1x22x +>− Determiniamo il dominio della disequazione

2x:.E.C

21

x

2x

01x202x

≥⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−≥

≥⇒

⎩⎨⎧

≥+≥−

Svolgiamo la disequazione nel suo dominio:

Rx3x

2x3x

2x1x22x

2x∈∃⇒

⎩⎨⎧

−<≥

⇒⎩⎨⎧

>−≥

⇒⎩⎨⎧

+>−≥

La disequazione non è verificata per alcun valore reale di x.



È sempre possibile elevare entrambi i membri di una disequazione a potenza dispari. La disequazione che si ottiene è sempre equivalente a quella data.

Casi particolari di disequazioni irrazionali

Consideriamo le disequazioni dove compare un solo radicale, del tipo

)x(g)x(f)x(g)x(f nn <∨>

L’indice del radicale può essere sia pari che dispari. Consideriamo separatamente i due casi. Indice dispari In questo caso possiamo elevare entrambi i membri alla potenza n-esima e risolvere la disequazione equivalente.

[ ][ ]nn

nn

)x(g)x(f)x(g)x(f

)x(g)x(f)x(g)x(f

<⇒<

>⇒>

Indice pari Dobbiamo considerare separatamente i due sotto casi: I caso) )x(g)x(fn <

La condizione di esistenza del radicale è: 0)x(f ≥Il primo membro della disequazione, per la condizione posta, è positivo. Dobbiamo porre positivo anche il secondo membro: 0)x(g >Se sono verificate entrambe le condizioni precedenti, possiamo elevare entrambi i membri alla

potenza n-esima: . [ ]n)x(g)x(f <

Conclusione

La disequazione )x(g)x(fn < è equivalente al sistema:

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>≥

n)x(g)x(f

0)x(g0)x(f

Esempio

Risolvere 3xx4x2 +<− Svolgiamo il sistema equivalente alla disequazione data:

( )4x0x

109

109

x

3x4x0x

9x6xx4x

3x4x0x

3xx4x

03x0x4x

2222

2

≥∨≤<−⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−>

−>≥∨≤

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++<−

−>≥∨≤

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+<−

>+≥−

L’insieme delle soluzioni della disequazione data è: [ )+∞∪⎥⎦⎤

⎜⎝⎛−= ;40,

109

S




II caso) )x(g)x(fn >

In questo caso il II membro g(x) può essere positivo, nullo o negativo. Se il I membro è positivo e il II membro è negativo, la disequazione è verificata perché una

quantità positiva è sempre maggiore di una quantità negativa. Si ottiene:

⎩⎨⎧

<≥

0)x(g0)x(f

Se il I membro è positivo e il II membro è positivo o nullo si può elevare all’n-esima potenza la disequazione perché entrambi i membri sono positivi. Si ottiene:

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≥≥

n)x(g)x(f

0)x(g0)x(f

L’insieme delle soluzioni della disequazione data sarà dato dall’ unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi

⎩⎨⎧

<≥

0)x(g0)x(f

V

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≥≥

n)x(g)x(f

0)x(g0)x(f

Nel secondo sistema la condizione di positività del radicando è implicitamente soddisfatta dalla

condizione , quindi può essere tralasciata ( )n)x(g)x(f >

Conclusione

La disequazione )x(g)x(fn > è equivalente a:

⎩⎨⎧

<≥

0)(0)(

xgxf

V

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≥≥

nxgxf

xgxf

)()(

0)(0)(

Se è l’insieme di soluzioni del primo sistema e è l’ insieme delle soluzioni del

secondo sistema, l’insieme delle soluzioni della disequazione sarà : 1S 2S

21 SSS ∪=

Esempio

Risolvere: 2xx3 −>−

( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+<≤∨<⇒

+<<

−

≥∨

⎩⎨⎧

<≤

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−>−

≥−∨

⎩⎨⎧

<−≥−

⇒−>−

253

x22x2

53x

253

2x

2x3x

2xx3

02x

02x0x3

2xx3 2

Detto l’insieme delle soluzioni del primo sistema e 2x:S1 <2

53x2:S2

+<≤ l’insieme delle

soluzioni del secondo sistema 2xSSS 21 <⇒∪= . La disequazione è verificata per 2x <


6 C i l di i i i i li

5. Come risolvere le disequazioni con moduli

4. Come risolvere i vari tipi di disequazioni di grado superiore al secondo

2. Un sistema di disequazioni è un insieme di disequazioni nella stessa incognita, per le quali cerchiamo l’eventuale insieme di soluzioni comuni

3. Quali sono i principi di equivalenza per le disequazioni

HAI IMPARATO CHE ... 1. Una disequazione una disuguaglianza tra due espressioni algebriche verificata da un

insieme di valori dell’incognita che compare in almeno una delle due espressioni


E–Matematica Piano cartesiano e retta

Piano Cartesiano e Retta

Coordinate di un punto

Il metodo delle coordinate e i teoremi di geometria Euclidea

Luogo geometrico nel piano cartesiano

La Retta

Coefficiente angolare

Equazione retta generica

Rette parallele e perpendicolare


E–Matematica Piano cartesiano: coordinate del punto

PIANO CARTESIANO PREREQUISITI [Insiemi numerici - Saper operare con gli insiemi - Concetto di coppia ordinate – Calcolo algebrico - Equazioni di 1° - Geometria elementare - Teorema di Pitagora - Teorema di Talete - Concetto di traslazione - Concetto di parallelismo e di perpendicolarità] OBIETTIVI Sapere [Individuare i punti su una retta e nel piano - Concetto di distanza fra due punti – Concetto di punto medio di un segmento - Concetto di baricentro del triangolo – L’equazione di una retta - Individuare rette parallele e incidenti - Individuare rette perpendicolari - Concetto di luogo geometrico - Distanza di un punto da una retta] Saper Fare [Determinare le coordinate di punti sulla retta e nel piano - Determinare la distanza fra due punti sulla retta e nel piano - Saper determinare le coordinate del punto medio sulla retta e nel piano - Saper determinare le coordinate del baricentro di un triangolo - Saper risolvere attraverso il piano cartesiano alcuni teoremi di geometria piana - Determinare l’equazione di una retta – Determinare intersezioni tra due retta - Determinare l’equazione di rette parallele o perpendicolari - Determinare l’equazione dell’asse di un segmento e della bisettrice di un angolo – Saper calcolare la distanza di un punto da una retta e saper risolvere problemi che richiedano distanze] distanze]

Coordinate di un punto Coordinate di un punto

Introduzione

Fermat e Descartes, erano interessati alla scoperta di metodi generali per studiare le curve, sentivano acutamente la necessità di trovare dei metodi quantitativi ed erano impressionati dalla capacità dell’algebra di fornirli. Volsero perciò le loro ricerche all’applicazione dell’algebra alla geometria. Il metodo da essi creato viene chiamato geometria delle coordinate, o geometria analitica, e la sua idea centrale è quella di associare delle equazioni algebriche alle curve e alle superfici. Questa creazione costituisce uno dei filoni di pensiero più ricchi e più fruttuosi che siano mai stati aperti in matematica.

Ho deciso di abbandonare la geometria astratta, cioè la considerazione di questioni che servono soltanto a esercitare la mente, e questo allo scopo di studiare un altro tipo di geometria, che ha come oggetto la spiegazione dei fenomeni della natura. (Renè Descartes)

Percorrendo le principali strade o le linee ferroviarie ci accorgiamo che esiste un sistema di segnali chilometrici che ci permette di sapere, in ogni punto del tragitto, quanta distanza abbiamo percorso



quanta dobbiamo ancora percorrere. Questo perché è stata creata una relazione tra il tragitto fatto e i chilometri percorsi, cioè si è immaginato di individuare una retta r (la strada, la linea ferroviaria) sulla quale è stato segnato un punto O detta origine (il punto da cui siamo partiti), un verso di percorrenza (la direzione in cui stiamo andando) e un’unità di misura.

Coordinate di un punto sulla retta

Ad ogni punto P della retta r associamo la misura OP, dotata di segno positivo ( + ) se P si trova dalla parte positiva rispetto ad O, altrimenti dotata di segno negativo (-). Si stabilisce quindi una corrispondenza biunivoca fra i punti della retta e l’insieme dei numeri reali. Possiamo dire che ogni punto corrisponde ad un numero reale, e viceversa ogni numero reale corrisponde a un punto.

Definizione

Presa una retta r orientata, su cui sono stati fissati un’origine O e un’unità di misura, definiamo sistema di coordinate su una retta la corrispondenza biunivoca [G] tra i punti P e i numeri reali xP∈ℜ detti ascisse dei punti P

Distanza fra due punti

Prendiamo una retta orientata e consideriamo i punti A e B e le loro rispettive ascisse xA e xB, chiamiamo distanza di A da B, e la indichiamo con d(AB), la misura del segmento AB che si ottiene:

BA xxABd −=)( distanza orientata di A da B

AB xxABd −=)( distanza orientata di B da A

||)( BA xxABd −= distanza assoluta di A da B

In generale quando parleremo di distanza fra due punti ci riferiremo sempre a quella assoluta che sarà sempre un valore positivo



Esempio

Calcoliamo la distanza tra A(-3) e B( 5). 8|8||53||xx|)AB(d BA =−=−−=−=

Punto medio sulla retta

Dati due punti su una retta orientata A e B di ascissa rispettivamente xA e xB, vogliamo calcolare l’ascissa del punto medio M del segmento AB. Essendo M il punto medio, deve essere AM = MB, quindi indicata con xM la sua ascissa, deve essere:

da cui si ricava e quindi MBAM xxxx −=− BAM xxx +=22

BAM

xxx +=

Possiamo dire che l’ascissa del punto medio di un segmento non è altro che la media aritmetica delle ascisse dei punti estremi.

Esempio

Calcoliamo l’ascissa del punto medio del segmento di estremi A(-5) e B(2).

23

225

2xx

x BAM −=

+−=

+= Quindi l’ascissa del punto medio M è

23

−

Coordinate di un punto nel piano

Come per una retta r abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca tra i suoi punti e l’insieme dei numeri reali, è possibile stabilire una corrispondenza tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali. Introduciamo nel piano una coppia di rette orientate perpendicolari tra loro che chiamiamo x o asse delle ascisse e y o asse delle ordinate, chiamiamo origine e indichiamo con O il loro punto di incontro e infine stabiliamo un’unica unità di misura.

Definizione

Definiamo sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico nel piano l’insieme formato da due rette del piano, orientate e perpendicolari, sulle quali sia stata fissata la stessa unità di misura. Il punto di intersezione tra le due rette si chiama origine degli assi.

Per individuare un punto A in un sistema di assi cartesiani ortogonale dobbiamo assegnare una coppia ordinata di numeri reali dove: )y,x(A AA



- indica l’ascissa del punto A, cioè la distanza sull’asse

delle x del punto A dall’origine degli assi Ax

- indica l’ordinata del punto A, cioè la distanza sull’asse

delle y del punto A dall’origine degli assi Ay

- e vengono chiamate le coordinate del punto A Ax Ay

Abbiamo, quindi, associato al punto generico A del piano la coppia ordinata di numeri reali e si scrive )y,x( AA )y,x(A AA

Viceversa, considerati due numeri reali ed , e' possibile

determinare uno ed un solo punto A appartenente al piano, avente ascissa ed ordinata .

Ax Ay

Ax Ay

ti; i un punto sono positive o negative a seconda

Distanza tra due punti nel piano

iano vogliamo trovarne la distanza, vogliamo trovare cioè mento AB e sarà se

punti hanno stessa ascissa

Se A e B hanno stessa ascissa cioè i punti si trovano su una tiamo

del segme di renza tra la lunghezza

o

Siccome la distanza tra due punti è un nu ero positivo, e noi

Conclusione Esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali: Ad ogni punto del piano corrisponde una coppia di numeri (dette le coordinate del punto) e ad ogni coppia ordinata di numeri reali corrisponde un punto del piano avente quei due numeri come coordinate.

Gli assi dividono il piano in quattro settori, detti quadranle coordinate ddel quadrante in cui si trova il punto.

Dati due punti )y,x(A e )y,x(B nel pAA BB

la misura del seg , ch mpre positiva. Possiamo individuare tre casi: I

BA xx =retta parallela all’asse delle y. Proiet i punti A e B sull’ asse y, otteniamo un segmento , cioè la lunghezza del segmento AB è uguale alla lunghezza ento : Determiniamo la lunghezza di com ffedel segmento e del segment , e otteniamo

m

operiamo con valori numerici reali, per determinare la distanza tra due punti aventi la stessa ascissa poniamo data la differenza tra le ordinate dei due punti in valore assoluto.

|yy|)AB(d BA −=




I punti hanno stessa ordinata

Se A e B hanno stessa ordinata cioè, i punti si trovano su una retta parallela all’asse delle x. Proiettiamo i punti A e B sull’ asse x, otteniamo un segmento , cioè la lunghezza del segmento AB è uguale alla lunghezza del segmento : Determiniamo la lunghezza di come differenza tra la

lunghezza del segmento e del segmento , e otteniamo

Siccome la distanza tra due punti è un numero positivo, e noi operiamo con valori numerici reali, per determinare la distanza tra due punti aventi la stessa ordinata poniamo la differenza tra le ascisse dei due punti in valore assoluto.

I punti hanno coordinate diverse

I punti si trovano su una qualsiasi retta. Se tracciamo le parallele agli assi che passano per i punti A e B, si forma il triangolo AHB, rettangolo in H, per il quale il segmento AB è l’ipotenusa. Applichiamo al triangolo il Teorema di Pitagora[G]. Individuiamo le coordinate del punto

e calcoliamo le misure dei cateti: )y,x(H BA ,

|xx||xx|)BH(d BABH −=−= |yy||yy|)AH(d BAHA −=−=

Sostituiamo nella relazione metrica del Teorema di Pitagora 22

BHAHAB += e otteniamo la misura del segmento AB.

2BA

2BA )yy()xx()AB(d −+−=

!! Attenzione

uole calcolare la distanza di un punto dall’origine degli assi, cioè il segmento

la formula si riduce a

Se si v

OP, 2P

2P yx)OP(d +=

Esempio

Calcoliamo la distanza tra i punti del piano A(-2;5) e B(1;0) Dobbiamo trovare la misura del segmento AB cioè:

34259)05()12()yy()xx()AB(d 222BA

2BA =+=−+−−=−+−=



Punto medio di un segmento nel piano

Dati due punti e trovare le coordinate del punto medio M dTracciamo la retta parallela all’asse delle xincontra l’asse delle y in yM. Abbiamo cosìrette parallele tagliate dalle trasversali AB e a di Talete, essendo M punto medio di AB s

t or to

)y,x(A AA )y,x(B BB nel piano vogliamo

el segmento AB. passante per M, che

costruito un fascio di yByA e, per il Teorem

arà yM punto medio di yByA; ricordando quanto rovato per la co dinata del pun

medio su una retta possiamo dire che 2

yM = . Lo stesso

ragionamento fatto per l’ordinata di M possiamo farlo per l’ascissa di M, troviamo così:

yy BA +

⎟⎠⎞

⎜⎝ 22⎛ ++ yy

,xx

M BABA

Dimostrazione [D] Conclusione

r trovare le coordinate del coordinate del punto medio M e

ioni

nto B è il simmetrico di A rispetto al punto M in una metria centrale [G].

sempio

le coordinate del punto edio M del segmento di estremi P(2,-6) e Q(-4,4)

licare la relazion

secondo estremo B di un segmento, conoscendo le dell’ altro estremo, si possono utilizzare le seguenti

⎧−−=

AM

AMB

yyxxx

22

Pe

equaz

Il pu⎩⎨ =By

sim

ETrova m

quindi ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

246

,2

42Me ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

2yy

,2

xxM BABA Basta app cioè

aricentro di un triangolo

ati tre punti , e , vertici di un iang del baricentro

n e el triangolo.

Le reltriang

)1,1(M −−

B

D )y,x(A AA

iamo trnto d’i

)y,x(B BB

ovare le contro dell

)y,x(C CC

coordinate mediane d

tr olo, vogl)y, G cioè il pux(G G

azioni per trovare le coordinate del baricentro [G] di un olo sono:

3xxx

x CBAG

++= e

3yyy

y CBAG

++=

Dimostrazione [D]

E–Matematica Piani cartesiano: coordinate e teoremi

Il metodo delle coordinate e i teoremi di geometria Euclidea È possibile dimostrare alcuni teoremi di geometria euclidea utraducendo gli enti geometrici e le loro proprietà in ent

tilizzando il metodo delle coordinate, ebrici, eseguendo successivamente i

ortuno sistema di riferimento, in modo

te:

sempio

egmento che congiunge i punti medi di lati è uguale alla metà del terzo lato.

miamo M e d N i punti medi de i AB e BC,

amo dimostrare ch

i algcalcoli. E’ importante, innanzitutto, fissare nel piano un oppda rendere il più semplice possibile i calcoli. Proviamo a dimostrare il seguente corollario al teorema di Tale

Dato un triangolo ABC, dimostrare che il s

Edue Chia

dobbi

i lat

e AC21

MN = . Disegniamo il

BC nel piano cartesiano, ponendo il lato

Dobbiamo dimostrare che

triangolo AACdeA

sull’asse della ascisse e poniamo che le coordinate i vertici del triangolo siano:

y;x(B),0;x( BBA )0;x(C), C

AC21

MN = Innanzitutto

azioni per determinarli. Otteniamo: troequ

viamo le coordinate dei punti medi, ricordando le

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

2yy

,2

xxN BCBC⎟

⎠⎞++

2yy

,2

xx BABA , e ⎜⎝⎛M .

mo la misura del segmento AC: essendo A e C due punti che hanno stessa ordinata la relazione

Calcpo

oliassiamo usare |xx|)AC(d CA −= . I punti M e N, hanno medesima ordinata, usiamo

quindi la medesima relazione e troviamo la misura di MN.

22|xx|)N CABA

NM −=−=xx

2xx

2xxxx

M(d CABC −=

−=

++

Confrontiamo le due relazioni:

2|xx|

|xx|AC21

MN CANM

−=−→=

Possiamo concludere, pertanto, che il teorema è verificato.


E–Matematica Piano cartesiano: luogo geometrico

Luogo geometrico nel piano cartesiano

Definizione

Si definisce luogo geometrico l’insieme di tutti e soli i punti del piano che

ess espressa attraverso una o più equazioni, ed il luogo geometrico risulta essere l'insieme di tutti e sol ) le cui coordinate soddisfano equazioni del tipo f(x,y)=0. !! Attenzione

rico, cioè se gode della proprietà azione del luogo ossia

soddisfano una data proprietà.

Se nel piano è definito un riferimento cartesiano, la proprietà che descrive il luogo geometrico può

ere i i punti P(x,y

Se il punto )y,x(A AA appartiene al luogo geometrichiesta, le sue coordinate soddisfano l’equ 0)y,x(f AA = e viceversa se una ia ordinata di numeri soddisfa l’equazione copp )y,x( A 0)y,x(f AA = A

allora il punto )y,x(A AA appartiene al luogo geometrico

Possono essere definiti come luoghi geometrici la retta, l'asse di un segmento, la bisettrice di un an tto), tutte

rico dei punt

Trovare il luogo geometrico dei punti del piano vuol dire considerare un punto generico del piano P(x,y) e uguagliare la sua ordinata al quadruplo della sua ascissa cioè:

golo, la circonferenza (vedi so le coniche, ecc.

Esempio

Trova il luogo geomet i del piano per cui l’ordinata è quadrupla dell’ascissa

x4y =


E–Matematica La retta: introduzione

LA RETTA

Equazioni di rette come luogo geometrico

A,B,C,H ∈ asse delle ordinate G,D,E ∈ asse delle ascisse

Intr

osa hanno in comune: la corda dell'equilibrista, la pista da bowling, un’autostrada, il filo a piombo rizzonte sul mare? Tutti possono essere rappresentati da una semplice retta tracciata

orizzontalmente o verticalm

quazione degli assi cartesiani

Anch n sistema cartesiano sono delle rette, sono retteessi h ristica di avere una coordinata uguale a zero. - Se (x0; 0), cioè avranno tutt che è l’equazione dell’asse x - Se appartengono all’asse delle ordinate sono del tipo (0;y0)

ioè avranno tutti che è l’equazione dell’asse y

oduzione

…il metodo della geometria analitica è così potente che normalissimi ragazzi diciassettenni possono usarla per

dimostrare risultati che avrebbero sconfitto i più grandigeometri greci - Euclide, Archimede, e Apollonio.” (E.Temple Bell)

Cdel muratore l’o

ente.

E

e gli assi di u perpendicolari tra di loro e i punti che appartengono ad

anno la caratte

i punti appartengono all’asse delle ascisse sono del tipo i 0=y

0=xc




Definizione

trico di tutti i punti del piano che espressione viene detta equazione

cisse.

L’asse delle ordinate è definito come hanno l’ascissa uguale a zero, c

dell’asse delle ordinate.

quazioni di rette parallele agli assi

ti che appartengono a queste rette? sserviamo i seguenti grafici.

ossiamo dedurre che e, hanno tutti la stessa ordinata h e

tta è punti appartengono a rette parallele all’asse delle ordinate hanno tutti la stessa ascissa k e eq zione della retta è

D one Una retta parallela all’asse delle ascisse è il luogo geometrico di tutti i punti del piano che hanno la stessa ordinata e la sua equazione è y = h con h ∈ ℜ Una retta parallela all’asse delle ordinate è il luogo geometrico di tutti i punti del piano che hanno la stessa ascissa e la sua equazione è x = k con k ∈ ℜ

ch

L’asse delle ascisse è definito come il luogo geomehanno l’ordinata uguale a zero, cioè y=0: questa dell’asse delle as

e il luogo geometrico di tutti i punti del piano ioè x=0: questa espressione viene detta equazione

E cartesiani

Consideriamo ora alcune rette parallele all’asse delle ascisse o delle ordinate. Qual è la caratteristica dei punO

P− se i punti appartengono a rette parallele all’asse delle ascissl’equazione della re hy = − se i

ua

efinizi

l’ kx =

A) Re B) Rette parallele asse delle ordinate e appartengono alla stessa retta

stessa ascissaI punti chhanno

tte parallele asse delle ascisI punti che appartengono alla st

se essa retta hanno

stessa ordinata


Esempio

le x di equazione y = 4

Equazioni delle bisettrici dei q

i dei quadranti di un sistema di assi

one di bisettrice possiamo dedurre che avrà la stessa distanza

dagli assi cioè il modulo delle coordinate sarà uguale |y|=|x|.

- se un punto appartiene alla bisettrice del I e III quadrante le sue coordinate saranno uguali cioè

Scrivi l’equazione del luogo geometrico dei punti che hanno ordinata uguale a 4 Trovare il luogo geometrico dei punti del piano che hanno tutti la stessa ordinata, la stessa y è la retta parallela alla’asse del

uadranti

Tracciamo le bisettriccartesiani; dalla definiziogni punto appartenente alla bisettrice

xy =

- se un punto appartiene alla bisettrice del II e IV quadrante le sue coordinate saranno uguali in valore assoluto, ma opposte cioè

xy −=

Definizione

bisettrice del I e III quadrante è il luogo geometrico di tutti i punti del piano che no uguali ascissa e ordinata e la sua equazione è y = x

drante è il luog piano pp

La han La bisettrice del II e IV qua o geometrico di tutti i punti del che hanno ascissa e ordinata uguali ma o oste e la sua equazione è y = -x




Equazioni della retta passante per origine

Consprendiamo su di essa due punti generici e

diverortogI triangolo OP’P e OQ’Q sono simili [G] perché hanno tutti e

e gli angoli congruenti, possiamo allora scrivere la seguente

ideriamo una retta r passante per l’origine degli assi, )y,x(P PP )y,x(Q QQ

si dall’origine degli assi, siano P’ e Q’ le proiezioni onali di P e Q sull’asse delle ascisse.

tr

uguaglianza: Q

Q

P

P' x

y

xy

'OQQ'Q

OP

P'P=→= Essendo P e Q due punti

generici possiamo affermare che pe tutti i punti delle retta r diversi dall’origine il rapporto t

costante cioè

r ra le coordinate rimane

0xmxy

≠→=

Definizione

Una retta r passante per l’origipiano che hanno l’ordinata

La relazione

ne degli assi é il luogo geometrico di tutti i punti del

proporzionale all’ascissa e la sua equazione è y = mx

mxy = è valida per tutti i punti della retta r, compre l’ e infatti le sue coordinate verificano la relazione 0Il parametro m viene chiamato coef

sa origin )0,0(O , = 0. ficiente angolare della retta.

E–Matematica La retta: coefficiente angolare

Coefficiente angolare

Significato geometrico del coefficiente angolare

Geometricam lare m

retta rispetto all’asse delle ascisse. Nel grafico la retta ha coefficiente angolare

ente il coefficiente angoè legato alla pendenza (inclinazione) della

5,123

m == .

Nel caso della retta passante per l’origine, il ficiente angolare è uguale al rapporto tra

sa di un qualsiasi punto ad essa appartenente.

Maggiore è l’angolo che la retta forma con l’asse x, nel verso positivo, maggiore è il coefficiente angolare.

coefl’ordinata e l’ascis

Rette passanti per l’origine degli assi Coefficiente angolare



Casi particolari Consideriamo, sulla retta passante per l’origine due punti, P e Q, di coordinate e )y,x( PP )y,x( QQ .

Indichiamo con PQ xxx −=Δ e con PQ yyy −=Δ .

xΔ e yΔOsserviamo come varia l’inclinazione della retta al variare di . e la retta forma con l’asse delle ascisse un angolo:

S

0°< α < 90° si ha che Δx >0 e Δy >0 m>0

90°< α < 180° si ha che Δx <0 e Δy >0 m<0

quindi m<0

α = 0° si ha che Δx 0 e Δy = 0 m=0 quindi m=0

α = 90° si ha che Δx = 0 e Δy 0 m nonquindi m non è definito

definito

α = 45

e x = y quindi m = 1

° si ha che α = 135° si ha che Δy > 0 con Δx=- Δy → m=-1 Δx =Δy >0 → m=1

Δ Δ Δx <0 ee |Δ Δx| = | y| quindi m = -1




Definizione

Si chiama coefficiente angolare di una retta del piano cartesiano, nonassi, il rapp nte

parallela agli orto costa

myyy QP =

Δ=

−

xΔ

e

!! Attenzione

Nel caso in cui uno dei due punti sia l’origine, il coefficiente angolare è dato dal

rapporto tra le coordinate del punto:

xx QP −

)y,x(P PP )y,x(Q QQ dove

mxy

0x0y

P

P

P

P ==−−

sempio

Trovare il coefficiente angolare della retta che passa per i punti A(2,-3) e B(-3,-2)

Ricordando ch

E

avremo ( )

51

51

)3(223

xxyy

xy

mBA

BA −=−

=−−−−−

=−−

=ΔΔ

= e BA

BA

xxyy

xy

m−−

=ΔΔ

=

E–Matematica La retta: equazione generica della retta

Equazione retta generica

Equ

Determiniamo l’equazione di una retta in posi generica, cioè non passante per

origine e non parallela agli assi.

onsideriamo una retta r non passante per parallela agli assi, chiamiamo

il punto in cui la retta r interseca l’asse del

miamo o anche

traslazione [G] del sistema di riferimento che orta l’origine O nel punto

Dimostrazione [D]

azione in forma esplicita

zione l’ Cl’origine e nonQ )q,0(

le ordinate.

= =

⎩⎨⎧

+=→τ

q'yy'xx

⎩⎨⎧

−=→τ

qy'yx'x

Chia

lap Q .

Nel n a uazione , sostituendo

in es

ertanto la relazione:

ppresenta l’equazione in forma esplicita di una generica retta del piano, o anche detta unzione lineare, dove m e il coefficiente angolare e q è detta ordinate all’origine, perché è ordinata del punto d’intersezione della retta con l’asse delle y.

e q=0 si ottiene l’equazione della retta che passa per l’origine.

quazione in forma implicita

ome abbiamo visto, ogni retta del piano è rappresentata da una relazione del tipo

'' mxy =uovo sistema x’Qy’ l retta r passa per l’origine Q e quindi avrà eq

sa le relazioni della traslazione [G] dimostrazione) otteniamo:

P qmxy += rafl’ S

E

C qmxy += cioè

a un’equazione di primo grado nelle incognite x e y. n’equazione generica di primo grado in due variabili del tipo:

dU 0cbyax =++

ppresenta anch’ essa l’equazione di una retta, e viene detta equazione della retta in forma plicita.

raim

eq. di r in x’Qy’

eq. di r in xQy

qmxymx'mx'y = qy →=−→ = +



Casi 1 caso 0c0b0a ≠∧≠∧≠

div

idendo tutti i membri dell’equazione per b

otteniamo

0cbyax =++

bc

xba

y −−= e ponendo:

→−=a

m coefficib

ente angolare

→−=b

q ordina

troviamo mx

cta all’origine

y += q che è l’equazione generica di una retta scritta

in forma esplicita

2 caso 0c0b0a =∧≠∧≠

l’equazione assume la forma 0byax =+ , possiamo scrivere

mxyxb

y =→−= , che è l’equazione di una ssante per

l’origine de

a retta pa

gli assi con

ba

m −= e 0bc

q =−=

3 caso 0c0b0a ≠∧≠∧=

l’equazione assume la form 0cby =+a , possiamo scrivere

hyb

y =→−= , che è l’equazione di unac

parallela all’asse delle

ascisse con

retta

0ba

m =−= e hbc

q =−=



4 caso 0c0b0a ≠∧=∧≠ equazione assume la forma l’ 0cax =+ , possiamo scrivere

kxac

=→−= che è l’equazione d retta parallela all’asse delle

ordinate con

x i una

ba

m −= non definito e bc

−=q non definito

5 caso 0c0b0a =∧=∧≠

l’equazione assume la forma

0ax = , possiamo scrivere che è equazione dell’asse delle ordinate

0x =l’

ba

m −=bc

q −= non definit e o non definito

6 caso 0c0b0a =∧≠∧=

l’equazione assume la forma 0by = , possiamo scrivere 0y = che è equazione dell’asse delle ascisse con

l’

0ba

m =−= e 0bc

q =−=

Esempio

Scrivere in forma esplicita l’equazione della retta 2x-4y+8=0 e individua coefficiente angolare e ordinata all’origine L’equazione della retta scritta in forma esplicita è del tipo qmxy += , quindi ricaviamo la y cioè

4x21

y += dove il coefficiente angolare è 21

m = e l’ordinata

all’origine è 4q =



Equazi pone della retta assa te per un punto con coefficiente angolare dato

Per determinare l’equaz e di due concoefficiente angolare ed un punto appartenenteConsideriamo una retta che abbia e m0, passi per il punto

Consideriamo il punto generico efinizio ngolar

n

ion una retta è necessario conoscere dizioni, per esempio il alla retta, oppure due punti per cui passa la retta.

coefficiente angolar )y,x(P 00 .

Q0

00 x

m =)y,x( , per d ne di coefficiente a e si ha xyy

−−

0

da

cui che po rre in forma esplicita: )xx(myy 000 −=− ssiamo po 00 y)xx(m +−= y

Tale equazione rappresenta quella di una retta, noti il coefficiente olare e le coordinate di un suo punto.

sempio

re l’equazion della retta passante per il punto P(-3;2) e avente coefficiente angolare m = 2 Andiamo a sostituire co inate ll’eq

ossia

ang

E

y −

Scrive e

efficiente angolare e coord del punto P ne uazione )3x(22)xx(my 000 −= y +=− l’equazione della retta cercata è

Equazione della retta passante per due punti

Dati i punti con

8x2y +=

)y,x(P 11 e )y,x(Q 22 21 xx ≠ vogliamo trovare l’equazione della retta che passa per questi punti.

Calcoliamo il coefficiente angolare 12

12xxyy

m−−

= sostituiamo questa espressione nell’equazione della

nte per un punto co golare noto )xx(myy 000 −=−retta passa n coefficiente an , sostituiamo le

e di uno dei d punti e tteniamo coordinat ue o

)xx(xy

11

1 − → xy

yy2

21 −

−=−

12

12

1

1xxyy

xxyy

−−

=−−

i ricaviamo da cu

l’equazione della retta che passa per due punti

12

1

12

1yy −xx

xxyy −

−=

−

sempio

rivere l’equazione della retta passante per i punti A(3;-2) e B(2;0)

mo a sostituire le coordinate dei punti nell’equazione

ESc

12

1

12

1xx

xxyy

yy−−

=−−

ossia Andia

3220y++ 3x2

−−

= l’equazione della retta cercata è 4x2y +−=

!! Attenzione

Per stabilire se tre punti )y,x(P 11 , )y,x(Q 22 e )y,x(T 33 sono allineati possiamo

sostituirli nella 12

2

12 xxyy −313 xyy x−

=−

, se troviamo u lianza i tre punti sono

La relazione

−n’uguag

allineati. 213 xyy 3x −

1212 xxyy −=

−

− viene anche detta condizione di

allineamento.




Come disegnare una retta

Per disegnare una retta partendo dalla sua equazione possiamo utilizzare due metodi: 1. metodo – per punti Assegniamo un valore alla x (var indipendente) e possiamo ricavare il valore as la y (var ); così troviamo delle coppie di valori, ch d

iabile sociato delile indipendente e sono soluzione ell’equazione iab

lineare in due incognite qmxy += . In sostanza, basta assegnare due valori alla variabile x e trovare i corrispondenti valori della variabile y, dato che per due punti passa una e una sola retta.

– dalla definizione di coefficiente angolare

Rico coefficiente angolare è legato alla pendenza della retta e che

2. metodo

mrdando che ilxxx QP Δ−

iamo affermare ch

yyy QP =Δ

=−

,

poss e nel passaggio da un punto di ascissa minore a un punto di ascissa maggiore sulla

Data una retta di coefficiente angolare

retta, m è l’incremento dell’ordinata per ogni unità di incremento dell’ascissa.

23

m = per passare da un punto P, appartenente alla retta, ad un

uo to Q possiamo spostarci prima verso destra (incremento delle ascisse) di due unità e poi verso l’alto ncremento delle ordinate) di tre unità.

o

s pun (i

Esempi

Disegnare la seguente retta 02y2x3 =+−

Per prima cosa scriviamo la retta in forma esplicita 1x2

y = rocedere in due

modi:

3+ poi possiamo p

1. modo

i corrispondenti per la variabile y. (Ricordando che per due punti passa una sola retta basta dare due valori alla variabile x) Assegniamo dei valori alla variabile x e troviamo

1y0x =→= e 2y2x =→=

2.modo mo che l’ordinata all’origine, nel nostro caso

senta l’intersezione della retta con l’asse Ricordia

1q = , rappredelle ordinate possiamo subito disegnare il punto

)1;0(A)q;0(A → , inoltre sappiamo che il coefficiente

angolare rappresenta la pendenza della retta e che

m= cioè m è l’incremento del xy

x

y

Q

Q

ΔΔ

=

ni unità di increm

x

y

P

P

−

−

per og

l’ordinata

ento dell’ascissa, nel nostro caso

2o spostarci prima verso destra le

ascisse) di 2 unità e ncremento delle te) di tre unità.

l’incremento delle ordinate ci si sar il basso.

3m = , quindi per passare dal punto A al punto B

possiam (incremento delpoi verso l’alto (i

ordinaSe il coefficiente angolare fosse stato negativo per

ebbe spostati verso

E–Matematica La retta: rette parallele e perpendicolari

Rette parallele e perpendicolare

Rette parallele

nza corrisponde un ben definito angolo che

Sappiamo che il coefficiente angolare è legato alla pendenza della retta e che ad ogni pendela retta forma con l’asse delle ascisse. Consideriamo due rette tra loro parallele [G] r di equazione 11 qxmy += e s di equazione

22 qxm +=y , essendo parallele gl α2 che formano con arallele

tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti

i angoli α1 e l’asse delle ascisse saranno congruenti, perché due rette p

congruenti. Essendo congruenti gli angoli formati dalle due rette con l’asse delle ascisse avranno uguali anche i coefficienti angolari cioè 11 mm = .

Generalizzazione

Due rette di equazioni qmxy += e 'qx'my += , non parallele all’asse delle ordinate, sono parallele se e solo ficiente angolare

Rett

Consper l

se hanno lo stesso coef 'mm =

e perpendicolari

ideriamo due rette non parallele agli assi e per comodità passanti ’origine:

r) my e s) xmyx1= 2=

La co che devono soddisfare i loro coefficienti angolari nel caso

ndizione in cui siano perpendicolari [G] è: 1mm 21 −= .

Dimostrazione [D]

Generalizzazione

Due r

ette di equazioni qmxy += e 'qx'my +=

enti angolari sono uno l’antireciproco dell’altrosono perpendicolari quando i

coeffici e si scrive

'm1

m −= o mm 1' −=



Equazione dell’asse di un segmento

L’asse [G] di un segmento è la retta perpendicolare al segmento che

edio. ne di tale retta possiamo procedere in due

odi:

b) Calcolar

passa per il punto mPer calcolare l’equazioma) Calcolare le coordinate del punto medio del segmento, poi il

coefficiente angolare della retta su cui giace il segmento ed infine applicare la relazione di perpendicolarità tra due rette.

e l’asse come luogo geometrico. Si determina la seguente equazione:

( ) ( ) ( ) ( )222

22

12

1 yyxxyyxx −+−=−+−

Dimostrazione [D]

Esempio

Stabilire se le rette di equazione r) 5x2y += e s) 01x4y2 =+− sono parallele; trovare poi l’equazione della retta parallela a r e che passi per A(-1,3)

Per stabilire se le rette sono parallele devo calcolare i loro coefficienti angolare e verificare che siano uguali per la retta s posso scriverla in forma esplicita

2mr = 1x2y −= e quindi trovo 2ms =

Le due rette sono perciò parallele olo l’equazione della retta parallela a r che passa per A(1,-3) utilizzo l’equazione

dov quindCalcy − )xx(my 000 −= e 2m = i )1x(23y −=+ l’equazione della retta cercata è 5x2y −=

E

Per

ango

sempio

2y + 5 = 0 passante per il

trovare l’equazione della retta perpendicolare a r dobbiamo prima trovare il coefficiente

lare di r cioè quindi

Scrivi l’equazione della perpendicolare alla retta r) 4x -punto P(-1 ; 1).

2m =21

m −=⊥ )xx(myy 000 −=−, utilizziamo l’ quazione e

sostituiamo quindi )1x(21

1y +−=− l’equazione della retta cercata è 21

+ x21

y −=

Pos

Due rette r e s di equazioni rispettivament

izione reciproca di due rette nel piano

e 'qx'my += e qmxy += (o scritte in forma implicita

0cbyx =++ e 0'cy'bx'a =a ++ ) nel piano possono intersecarsi, stabilirlo dobbiamo risolvere il sistema:

coincidere o essere parallele; per

o ⎩

⎨⎧

+=+=

'qx'myqmxy

⎩⎨⎧

=++=++

0'cy'bx'a0cbyax



Rette incidenti

(x,y).

o

Due rette si dicono incidenti quando hanno un punto in comune. Il sistema ammette, come soluzioni, una coppia ordinata di numeriIn questo caso esistono tra i coefficienti delle equazioni delle due rette le seguenti relazioni:

qmxy≠∧≠⇒

+='qq'mm

'qx'my⎨⎧

+=⎩ 'b'a0'cy'bx'a⎩ =++

b⎨

Rette coincidenti Due rette si dicono coincidenti quando hanno infiniti

unti in comune. Il sistema ammette infinite coppie ordinate di numeri (x,y)

ome soluzioni, cioè è indeterminato. questo caso esistono tra i coefficienti delle equazioni delle

ue rette le seguenti relazioni:

o

a0cbyax≠⇒

⎧ =++

p

cInd

'qq'myy

=∧=⎩⎨⎧

==

m'qx'm

qmx⇒

++

'cc

'bb

'aa

0'cy'b0cby

==⇒=++

=+

x'aax

⎩⎨⎧ +

RettDue do non hanno punti in cIl sissoluzio i, cioè è impossib

q o caso esistono tra i coefficienti delle equazioni delle ue e le seguenti relazioni:

o

e parallele rette si dicono parallele quan

otem

nuest rett

mune. a non ammette coppie ordinate di numeri (x,y) come

ile.

Ind

'qq'myy

≠∧=⎩⎨⎧

==

mx'm

qmx⇒

+'q+

'cc

'bba0cby

=⇒=+

'a0'cyx'aax

≠⎩⎨⎧

=+

tabilire se le rette di equazione r)

'b++

Esempio

S e s) 1yx3 =+5yx =− sono incidenti, coincidenti o parallele

denti o parallele bisogna calcolare i rapporti Per stabilire se le rette sono incidenti, coinci

'ccba 1b

,'b

,'a

e troviamo: 31a

'a= ,

1'b−

'bb

'aa≠ . = quindi le rette sono incidenti perché Per trovare il

punto d’incidenza devo

A(12;7) è il pun e rette hanno in comune

risolvere il sistema ⎩⎨ =+

−1yx3

yuso il metodo della sostituzione

⎧ += 5yx ⎧ += 5yx ⎧ = 12x

⎧ = 5x

to che le du⎩⎨ =++ 1y15y3

⎩⎨ = 14y4 ⎩

⎨ = 7y



Distanza di un punto da una retta

ta, è la misura di quel segmento cha o P e il piede H della perpendicolare condotta dal punto alla retta. Possiamo

Consideriamo l punto e la retta r parallela

all’asse delle y. Osservan ico possiamo dedurre che la distanza di P dalla è il segmento HP, dove

perché appartiene tta di equazione x=h; za sarà data da:

Vogliamo calcolare la distanza di un punto )y,x(P 00 da una retha per estremi il punt

cio

trovarci in tre situazioni: 1. situazione – retta parallela all’asse delle y

i )y,x(P 00

do il grafretta

alla re)y,h(H 0

pertanto la distan|xh|HP 0−=

2. situazione – retta parallela all’asse delle x

Consideriamo il punto e la retta r parallela all’asse delle x. Osserv ico possiamo dedurre che che la distanza di tta è il segmento HP, dove retta di equazione

data da:

)y,x(P 00

ando il graf P dalla re

perché appartiene alla)k,x(H 0

x=k , la distanza sarà |yk|HP 0−=

3. situazione – retta in posizione generica

Consideriamo il punto e la retta generica r di

equazione

)y,x(P 00

0cbyax =++ (o in forma esplicita qmxy += ). La distanza punto retta cioè la misura del

segmento PH è dato dalla relazione:

2200

ba

|cbyax|d

+

+ +=

1m2 +

|qymx|d 0 +−=

Dimostrazione [D]




Equazione della bisettrice di un angolo

settrici d Vogliamo determinare le equazioni delle bi egli angoli formati dalle due rette, non parallele tra loro,

r) cbyax ++ 0= e s) 0'cy'bx'a =++

Ricordando la definizione di bisettrice [G], consideriamo un e bisettrici, e

calcoliamo la distanza di P dalle rette r e s cioè calcoliamo PH e PK

generico punto P appartenente ad una delle du

22 ba

|cbyax|PH

+

++= e

22 'b'a

|'cy'bx'a|PK

+

++=

uguagliamole PH=PK

2222 'b'a

|'cy'bx'a|

ba

|cbyax|

+

++=

+

++ da cui

22

'cy'b ++±=

22 'b'a

x'a

ba

cbyax

++

++

Le equazioni delle due bisettrici sono:

2222 'b'a

'cy'bx'acbyax ++−=

++

ba ++

2222 'b'a

'cy'bx'acbyax=

++

ba +

++

+

]

HAI IMPARATO CHE...

1. Ad ogni punto del piano corrisponde una coppia di numeri (dette coordinate del punto) e ponde un punto del piano avente quei due

numeri come coordinate. 2. Come operare con i punti nel piano: calcolare distanze, le coordinate del punto medio di

un segmento, le coordinate del baricentro 3. Il concetto di luogo geometrico 4. L’equazione della retta nelle sue forme5. Il concetto di coefficiente angolare 6. Quando due rette sono parallele, perpe7. Come trovare la distanza fra un punto 8. Come trovare l’equazione della bisettri un angolo 9. Come trovare l’equazione dell’asse di un segmento

ad ogni coppia ordinata di numeri reali corris

ndicolari, coincidenti, incidenti una retta e

ce di

E–Matematica Circonferenza e parabola

Circonferenza e Parabola

Equazione della circonferenza

Retta e circonferenza nel piano

Posizione di due circonferenze nel piano

Retta e parabola nel piano

Segmento parabolic

Equazione della parabola

o


E–Matematica Circonferenza:l’equazione della circonferenza

CIRCONFERENZA

ico - Equazioni di 1° e 2° o cartesiano - Equazione della

tta - Distanza punto retta]

BIETTIVI

aper[Defin ogo geometrico - Conoscere le caratteristiche della circon oni di retta e circonferenza, parabola nel piano – Conos a, parabola - Conoscere le posizioni di due Saper[Stabi circonferenze nel piano in relazione alla distanza tra i centri nti alla circonferenza, alla parabola - Determinare la condizione di una retta rispetto ad una circonferenza , ad una parabola - Determinare l’equazione di una ci onferenza, parabola - Saper disegnare e riconoscere una circonferenza, parabola data l’equazione]

quazione della circonferenza

PREREQUISITI [Calcolo algebrico - Geometria elementare - Concetto di luogo geometrgrado - Sistemi di grado superiore al 2° - Saper operare nel pianre O S e

ire la circonferenza, parabola come luferenza, parabola - Conoscere le posizicere la condizione di tangenza tra retta e circonferenz circonferenze nel piano]

Fare lire le posizioni reciproche tra due - Determinare le rette tange

rc

E

Introduzione

e osserviamo questi oggetti subito notiamo che hanno tutti la forma di un erchio, il contorno del cerchio è chiamato circonferenza, tutti i punti che stanno u questa linea chiusa hanno la caratteristica di avere la stessa distanza dal centro.

ovare l’equazione della circonferenza,curva che fa parte di un insieme di curve chiamate coniche.

…Qual è 'l geomètra che tutto s'affige per misurar lo cerchio, e non ritrova,

pensando, quel principio ond'elli indige….. (Dante Alighieri)

ScsVogliamo tr



Definizione

Si definiscda un pun

e circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano [G] equidistanti to fisso detto centro.

ferenza

sistema di assi cartesiani ortogonali e consideriamo un unto generico P(x,y), vogliamo determinare l’equazione della

aggio r e di centro C( , ).

Equazione della circon

Fissiamo un pcirconferenza di rDalla definizione di circonferenza deduciamo che il segmento PC deve essere uguale al raggio r.

rPC = calcoliamo la distanza 22 )y()x()PC(d β−+α−= e

poniamo uguale a r : r)y()x( 2 +α− 2 =β− da cui 222 y()x( −+α− r) =β

o della circonferenza

ata l’equazione

che rappresenta l’equazione della circonferenza.

Raggio e centr

222 r)y()x( =β−+α−D della circonferenza, sviluppando i calcoli otteniamo

0ry2x2yx 22222 =−β+α+β−α−+ poniamo α−= 2a ; β−= 2b ; 222 rc −β+α= troviamo equazione scritta in modo canonico: l’

0=cbyaxyx 22 ++++ le coordinate del centro [G] e l’e tri

,b,c :

amo da:

con a,b,c spressione del raggio [G] in funzione dei paramePossiamo ricavare

a

ricavi α−= 2a → 2a

−=α β−= 2b → 2b

−=β

222 rc −β+α= → c4ba21

c2b

2a

r 2222

−+=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

lusione

L’equazione

Conc

0cbyaxyx 22 =++++ di secondo grado nelle incognite x e y è l’equazione di una circonferenza di:

centro c ⎟⎠⎝ 22⎞

⎜⎛ −−

b,

aC e raggio

22 ⎠⎝⎠⎝

Nell’equazione di una circonferenza manca, sempre, il termine in xy edei termini x2 e y2 sono uguali.

bar

22−⎟

⎞⎜⎛ −+⎟

⎞⎜⎛ −=

i coefficienti



!! Attenzione

Un’equazion 0cbyaxyx 22 =++++ è un’equazione della circonferenza se e e di tipo

→>−⎟⎞

⎜⎛−+⎟

⎞⎜⎛−= 0c

bar

22 solo se il raggio è una quantità reale positiva, cioè se

⎠⎝⎠⎝ 22

0c22

>−⎟⎠

⎜⎝−+⎟

⎠⎜⎝− . Se il rag

ba 22⎞⎛⎞⎛ gio è nullo la circonferenza degenera nel punto

⎟⎠⎝ 22

Posizioni particolari della circonferenza nel piano

a = b = 0

⎞⎜⎛ −−

b,

aC

La circonferenza ha equazione: 0cyx 22 =++

essendo 022b

0a

=−∧=− il centro ha coordinate

(0,0) e coincide con l’origine degli assi rtesiani, il raggio

Cca cr −=

a = c = 0

ione: La circonferenza ha equaz 0bx = , il

raggio è

yx 22 ++

|2b

|2b

r −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= , il centro ap

2partiene

all’asse delle y e ha coordinate C(0,r) essendo

|2b

02a

−=∧=− ed è tangente all’asse delle x |r

b = c=0

La circonferenza ha equazione:

nell’origine degli assi

0axyx 22 =++ , il

ggio è ra |2a

|2a

r2

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= , il centro appartiene

all coordinate C(r,0) esse’asse delle x e ha ndo

|2a

|r02

−=∧= ed è tangenteb

− all’asse delle y

nell’origine degli assi

a = 0



La a equazione:circonferenza h

0cbxyx 2

e y e ha coordinate

2 =+++ , centro appartiene all’asse

dell

)b

,0(C −= , essendo 2

02a=− e il raggio c

2−⎟

⎞ . 2b

r⎠

⎜⎝⎛−=

ferenza ha equa

b = 0 La circon zione:

0caxyx 22 , il centro appartiene a

delle x e ha coordina

=+++ ll’asse

te )0,2a

(−C = , essendo

02b=− e il raggio c

2 ⎠⎝

ar

2−⎟

⎞⎜⎛−=

c = 0

ferenza ha equazio

La circon ne:

0byaxy2 +

entr

x 2 =++ , passa per l’origine degli assi,

il c o ha coordinate ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

2b

,2a

C e il raggio

22 ba ⎞⎛⎞⎛22⎟⎠

⎜⎝−+⎟

⎠⎜⎝−=

Esempio

della circonferenzatrova le coordinate del centro e la misura del raggio

Ricordiamo che le coordinate del centro sono date da

r

Data l’equazione 05y6x4yx 22 =−+−+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−2

b,

2

aC e

quindi troviamo

L’espressione del raggio è

)3,2(C −

c2b

2a

r22−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= quindi 228594r ==−+=




sempio

rminare l’equazione della circonferenza che ha centro nel punto C(-1;2) raggio 3.

Utilizziamo l’ equazione conoscendo il centro e il raggio.

E

niamo 9x( +

Dete

Otte

222 r)y()x( =β−+α−

)2y()1 22 =−+ 04y4x2yx 22 =−−++

E–Matematica Circonferenza: retta e circonferenza nel piano

Retta e circonferenza nel piano Unnessun punto. Il verificarsi di uno qualsiasi di questi casi dipende dalla distanza [G] a cui si trova la ret irconferenza. Osserv gini:

La retta è secante, incontra la circonferenza in due punti, e la distanza CH è minore del raggio CA = r cioè

a retta e una circonferenza nel piano possono incontrarsi: in due punti, in un solo punto o in

ta rispetto al centro della ciamo le imma

rCH < La retta è esterna, non incontra la circonferenza (caso 2), se la distanza CH è maggiore del raggio CA = r cioè rCH > La retta è tangente, incontra la circonferenza in un punto doppio (caso 3), se la distanza CH è uguale del raggio CA = r cioè rCH = Per trovare i punti che hanno in comune la circonferenza e la retta dobbiamo risolvere il seguente sistema:

⎪⎩

⎪⎨⎧

+==++++

qmxy0cbyaxyx 22

L’equazione risolvente è un’equazione di secondo grado nella variabile x, le cui soluzioni dipendono

delta [G] o discriminante :

Se ∆> 0 ammette due soluzioni reali distinte e quindi la retta è secante Se ∆< 0 non ammette soluzioni reali e quindi la retta è esterna Se ∆= 0 ammette due soluzioni reali coincidenti e quindi la retta è tangente

Conclusione Retta secante [G] 2 punti in comune con la circonferenza , distanza retta raggio

dal

rd < nell’equazione risolvente > 0 Retta esterna [G] nessuna punto in comune con la circonferenza , distanza retta raggio rd > nell’equazione risolvente < 0

Retta tangente [G] 1 solo punto in comune con la circonferenza , distanza retta raggio rd = nell’equazione risolvente = 0



Retta tangente alla circonferenza

nd 2009

amo calcolare le equazioni delle rette condotte per un punto )y,x(A AAVogli , tangenti ad una

circonferenza 0cbyaxyx 22 =++++ . Stabiliamo innanzitutto se il punto è esterno, interno o appartiene alla circonferenza: conoscendo dove si trova il punto possiamo individuare quante sono le tangenti alla circonferenza

.

ato il punto

che passano per quel punto

il punto A è interno alla circonferenza C, non esiste

il punto A è ester acirconferenza C,

no all il punto A appartiene alla ci sono due circonferenza C, c’è una sola

nessuna tangente tangenti retta tangente

)y,x(A sostituiamo le sue coordinate nell’equazione della circonferenza C D AA

0cbyaxyx 22 =++++ possiamo ottenere: 1. un valore maggiore di zero A è esterno alla C 2. un’identità → A ∈ C 3. un valore minore di zero A è interno alla C

tta passante per

Procedimenti per trovare la tangente

Per trovare l’equazione della re )y,x(P PP tangente alla circonferenza

0cbyaxyx 22 =++++ possiamo procedere in diversi modi:

1 – metodo → metodo algebrico: imponendo la condizione di tangenza

equazione del fascio [G] proprio di rette che hanno come punto di sostegno il punto 1. Troviamo l’)y,x(P PP )xx(myy PP −=−

iamo l’ equazione del fascio in sistem2. Mett a con l’equazione della circonferenza,

⎪⎪⎨⎧

−=−=++++

x(myy0cbyaxyx 22

⎩ )xPP

3. Troviamo l’ equazione risolvente che è un’equazione di secondo grado in x o in y,

0c]y)xx(m[bax]y)xx(m[x 2PP

2 +++−+ PP =++− 4. Applichiamo la condizione di tangenza, cioè poniamo il 0=Δ 5. Ricaviamo i valori del coefficiente angolare, che saranno:

a) due distinti se il punto è esterno alla circonferenza b) due coincidenti in uno se il punto appartiene alla circonferenza

6. Sostituiamo i valori trovati nell’equazione del fascio e determiniamo l’equazione delle tangenti.

A. Greco – R. Mapelli - 55 - © Garamo


2 – metodo → metodo geometrico: la distanza della retta dal centro è uguale al raggio

della circonferenza 1. Scriviamo l’equazione del fascio che passa per il punto )y,x(P PP )xx(myy PP −=− 2. Calcoliamo le coordinate del centro della circonferenza C(α ,β ) e il raggio

c2b

2a

r22−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= .

3. Calcoliamo la distanza del centro dal fascio, utilizzando la proprietà che la distanza tra la retta tangente e il centro della circonferenza è uguale al raggio

4. Poniamo la distanza trovata uguale al raggio della circonferenza:

r1m

|ymxm|d

2PP =

+

+−β−α=

5. Ricaviamo i valori del coefficiente angolare, che saranno: a) due distinti se il punto è esterno alla circonferenza; b) due coincidenti in uno se il punto appartiene alla circonferenza

6. Sostituiamo i valori trovati nell’equazione del fascio e determiniamo l’equazione delle tangenti.

3 – metodo → metodo geometrico: tangente e raggio sono perpendicolari

1. che passa per il punto )y,x(P PP )xx(myy PP −=− Scriviamo l’equazione del fascio2. centro della circonferenza C( , ) 3. mo il coefficiente angolare mPC della retta che passa per il punto

Calcoliamo le coordinate del Calcolia )y,x(P PP , appartenete

alla circonferenza, e per il centro C(α ,β ) he la re

perpendicolari calc golare della retta tangente

4. Ricordando c tta su cui giace il raggio e la retta tangente alla circonferenza sono

oliamo il coefficiente anPCm1

m −= Sostituiamo il

el fascio passante per )y,x(P PP )xx(m

1yy P

PCP −−=− coefficiente trovato n

4 – metodo → metodo della regola de piamento llo sdop

crivere l’equazione della circonferenza 0cbyaxyx 22 ++++S =

Sostituire 2 2xx

x P+→ ,

yyy P+→ , si applica la regola dello sdoP

2 xxx → , P2 yyy → , ppiamento

0cyy

bxx

ayyxx PPP =+

++

+++

22P

ne Il 3 e 4 metodo per la ricerca dell’equazione della retta tangente alla circonferenza

!! Attenzio

valgono solo se il punto appartiene [G] alla circonferenza stessa




sempio

EE’ data la circonferenza di equazione 015x2yx 22 −+ qy4 =−+ trovare l’ e uazione della

Il punto A appartiene alla circonferenza infatti se sostituiamo le coordinate del punto A nella

retta tangente alla circonferenza nel suo punto A(-3,-4).

circonferenza otteniamo 015)4(4)3(2)4()3( 22 =−−+−−−+− 00 = quindi troveremo una sola tangente alla circonferenza passante per A. Scriviamo l’equazione del fascio di rette che ha come sostegno il punto A: )3x(m4y +=+ . Dato che A ∈ C sappiamo che la re

mo le co

tta tangente che passa per A

è perpendicolare al ordinate del centro della

circonferenza

la retta su cui giace il raggio. Calcolia

)2,1( −=⎟⎞ . Calcoliamo il coefficiente an

22b

,a

C⎜⎛ −− la retta che passa per A e

⎠⎝

per C

golare del

21

13)2(4

xxyy

xy

mCA

CAAC =

−−−−−

=−−

=ΔΔ

= troviamo il coefficiente della retta perpendicolare

2m

1

AC−=−= sostituiamolo nel fascio. Troviamo così la retta tangente 10x2y −−=m

ondizioni generali per determinare l’equazione di una circonferenza

C

L'equazione di una circonferenza 0cbyaxyx 22 =++++ dipende dai tre parametri a,b,c quindi per he ci p

de

Alc 1. La conoscenza delle coordinate degli estremi del diametro equivale a tre condizioni 2. nto appartenente alla circonfe nza rappresenta una

condizione . La conoscenza delle coordinate del centro rappresenta due condizioni . La conoscenza delle coordinate di un punto di tangenza rappresenta due condizioni

pio

Trovare l’equazione della circonferenza C che passa per il punto A(2,-1) e ha il centro C(-1,3) Il punto deve appartenere alla circonferenza quindi sostituiamo le sue coordinate nell’equazione

circonferenz .

ricavare l'equazione dobbiamo avere tre relazioni indipendenti fra loro c ermettano di rminare i parametri. te

uni casi che possono presentarsi più frequentemente:

La conoscenza delle coordinate di un pu re

34

Esem

a 0cbyaxyx 22 =++++generica della

Imponiamo il passaggio per A(2,-1) 0cb)1(a)2()1(2 22 =+−++−+ 05cba2 =++− appiamo che le coordinate del centro sono legate ai parametro a e b dalle seS

aguenti relazioni :

sostituiamo i valori dei parametri a e di b nella relazione

r A e ricaviamo il parametro c

α−= 2

trovata imp

2a =o

β−= 2b

nendo il passaggio p

6b −=

a 05cba2 =++−

05c64 =+++ 15c −= l’equazione cercata è 2yx 22 ++ 015y6x =−−

E–Matematica Circonferenza: posizioni di due circonferenze nel piano

Posizioni di due circonferenze nel piano Du ze in un piano possono essere: secanti, tangenti sia internamente che esternamente, est centriche. Se conosciammi

Le ci ono una interna allno , non hanno punti

lo stesso cento, non

Le in

e circonferenerne, interne sia concentriche che non con o la posizione dei centri e la sura del raggio di ciascuna circonferenza possiamo stabilire la loro posizione.

rconferenze s ’altra, ma n concentriche in comune

Le circonferenze sono una interna all’altra e oncentriche, cioè hannoc

hanno punti in comune

circonferenze sono esterne, non hanno punti mune co


E–Matematica Circonferenza: posizioni di due circonferenze nel piano


anno il punto D in comune

Le circonferenze sono secanti, hanno due punti in comune, i punti D e C

Le circonferenze sono tangenti esternamente, hanno un punto in comune A

Per stabilire se due circonferenze C

Le circonferenze sono tangenti internamente, h

0cbyaxyx 22 =++++ e C1 0cybxayx 11122 =++++ si

dobbiamo mettere in sistema le loro equazioni ⎪⎩

⎪⎨⎧

=++++

=++++

0cybxayx

0cbyaxyx

11122

22 intersecano

1aa ≠ e 1bb ≠

equazion

se possiamo applicare il metodo della riduzione sottraendo membro a membro e

otteniamo l’ e di una retta 0)cc(y)bb(x)aa( 111 =−+−+− . Questa retta è chiamata asse

radicale [G] ed è perpendicolare alla retta congiungente i centri delle due circonferenze.

Il sistema iniziale si è quindi ridotto a ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+−+−=++++

0)cc(y)bb(x)aa(

0cbyaxyx

111

22

• Se il sistema ammette due soluzioni distinte le circonferenze si intersecano • Se il sistema ammette una soluzione le circonferenze sono tangenti • Se il sistema non ammette soluzioni le circonferenze si non si intersecano

E–Matematica Parabola: equazione della parabola

PARABOLA

Equazione della Parabola

Introduzione

Il percorso che compie un pallone lanciato dal calciatore, l’acqua che zampilla dalla fontana, il proiettile sparato dal cannone, la pallina che rimbalza, ha la stessa forma in tutti i casi, si tratta di una curva particolare che in matematica viene chiamata parabola che vuol dire "mettere accanto"

Consideriamo un punto A nel piano cartesiano equidistante da un punto F e da una retta d, parallela all' asse x.

È stato osservato che i corpi lanciati, ovverossia i proietti,descrivono una linea curva di un qualche tipo; però, cheessa sia una parabola, nessuno l'ha mostrato. Che siacosì, lo dimostrerò insieme ad altre non poche cose, némeno degne di essere conosciute…. (Galileo Galilei)

Sup amo l punto A disti 12 sia da F (-3, 4)poni che iche alla retta d di equazione y = -4, cioè la distanza di A da E sia 12. Spostiamo il punto E lungo la retta d e osserviamo

Come puoi osservare dalle immagini riprodotte, il punto A disegna una curva.

il luogo che disegna il punto A



Tale curva è un luogo geometrico ed è chiamato parabola

D fisso

Fuoco [G] e da una retta d detta direttrice [G]

arabola con vertice nell’ origine e asse coincidente con l’ asse y.

Consideriamo il punto generico appartenente all’ asse y F(0, p) e la retta d: y=-p. Indichiamo con A (x; y) un punto generico del piano cartesiano. Il punto A deve essere equidistante da F e dalla retta d. Calcoliamo

efinizione

Si definisce Parabola il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto detto

P

pyAH += , otteniamo

( ) py2py2x +=−+

eleviamo al quadrato entrambi i membri

( ) ( 2py2py2x +=−+ ) 22222 ppy2yppy2yx ++=+−+

py4x2 = Ricavando y otteniamo p4

Poniamo

xy

2=

p41

a = l’ equazione diventa

2axy = equazione della parabola con vertice nell’ origine



Dalla relazione p41

a =

direttrice ,

ricaviamo p in funzione di a e determiniamo le coordinate del fuoco e l’

equazione della ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛a41

,0F e d: a41

y −= .

La parabola ammette asse di simmetria[G], in questo caso coincidente con l’ asse y, passante per il vertice [G] e per il fuoco.

Concavità della parabola

Osserva le parabole nella figura 1. Possiamo dedurr

Hanno tutte la concavità [G] verso l’alto

Il coefficiente a è positivo

alore di a l’apertura della nuisce

Fig. 1

durre che: Hanno tutte la concavità verso il basso

Al decrescere del va di a l’ apertura della parabola diminuisce

e Se a>0 la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto, e al crescere di a la apertura diminuisce. Se a<0 la parabola ha la concavità rivolta verso il basso, e al decrescere di a l’ apertura diminuisce.

e che:

Al crescere del vparabola dimi

Osserva le parabole nella figura 2. Possiamo de

Il coefficiente a è negativo lore

Fig. 2

Conclusion



Equazione della parabola con asse parallelo asse y

Consideriamo la parabola con vertice nell’ origine di

equazione 2axy = .

Prendiamo un punto nel piano ( )vv1 y;xV

Applichiamo una traslazione [G] di vettore 1OV , otteniamo un nuovo sistema di assi cartesiani YVX 1 .

In tale sistema l’equazione della parabola traslata 1P ,

congruente a quella data, è 2aXY =

Le equazioni della traslazione sono: ⎩⎨⎧

−=−=

v

v

yyYxxX

Sostituiamo nell’equazione della parabola 1P e

Oy. troviamo la sua equazione rispetto al sistema x

( )2vv xxayy −=−

vy2vaxxvax22axy

2vaxxvax22axvyy

++−=

+−=−

Poniamo

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−=

vy2vaxcvax2b

otteniamo cbx2axy ++=

equazione della parabola con asse parallelo all’ asse y.

ettrice della parabola

Vertice, Fuoco e dir

Dalle equazioni ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−=

vy2vaxcvax2b

determiniamo le coordinate del vertice.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=

−=⇒

+−=

−=⇒

+−−=

−=⇒

+=−=

a4ac42b

vy

a2b

vx

c2a4

2bavy

a2b

vx

c2

a2bavy

a2b

vx

vy2vaxcvax2b

Le coordinate del vertice sono ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−−

a4;

a2b

V L’ asse di simmetria ha equazione a2

bx −=

Il fuoco ha coordinate ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ Δ−−

1;

bF La direttrice ha equazione

a41

yΔ+

−= ⎠⎝ a4a2



Casi particolari

Osserva la figura al lato. La parabola passa per l’origine degli assi cartesiani. Le coordinate di O devono soddisfare l’ equazione della parabola

cbxaxy 2 ++= Sostituiamo e otteniamo:

0c = . L’ equazione della parabola diventa

bxaxy 2 +=

Osserva la figura a lato. La parabola ha il vertice sull’asse y, consegu ascissa del vertice è nulla, quindi:

entemente l’

0b0a2

b=⇒=−

Le coordinate del vertice sono )c;0(V

e l’equazione della parabola diventa

caxy 2 +=

al lato. La parabil vertice nell’ origine. La parabola è passante per l’ origine e ha il vertice sull’ asse y contemporaneamente, quindi valgono le due condizioni

Osserva la figura ola ha

0c0b =∧= . L’ equazione della parabola è

2axy =



Tabella Riassuntiva Equazione Parabola Generica nel piano

cbx2axy ++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−−a4

;a2

bV Vertice

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−−a4

1;a2

bF Fuoco

a41y Δ+−= direttrice;

a2bx −= asse di simmetria

ola con il vertice sull’ asse y Parab c2axy += )c;0(V Vertice

ola passante per l’ origine bx2axy += Parab

Paraborigi

ola con il vertice nell’ ne 2axy =

Esempio

fuoco direttrice e l’ la di equazione

Determinare il Vertice, il ,laasse di simmetria della parabo

12x72xy +−= e successivamente disegnane il grafico.

Le coordinate del Vertice sono ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−−a4

;a2

bV

e

.

Calcoliamo l’ ascissa del vertic27

a2b

27

a2b =−⇒−−=−

Calcoliamo l’ ordinata del vertice

41

a44a4−⇒−=− ac42b4849ac42b −=−−− .

Il vertice ha coordinate ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

41;

27V . L

⎠⎝’ asse di simmetria è parallelo all’ asse y e ha equazione

27x

a2bx =⇒−= Le coordinate del fuoco sono ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−−a4

1;a2

bF .

L’ ascissa del fuoco è uguale a quella del vertice, determiniamo l’ ordinata

0a4

ac42b14

48491a4

ac42b1 =+−⇒+−=+− Il fuoco ha coordinate ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;27F .

L’ equazione della direttrice è a4

1y Δ+−= , otteniamo21y

448491y −=⇒+ −−=



Parabola con asse di simmetria par sse x

Consideriamo la parabola di

equazion

allelo all’ a

e cbxaxy 2 ++=I e III quadrante di

e

e la bisettrice del equazion xy = .

Determiniamo la parabola simmetrica a quella data, rispetto a tale retta. Le equazioni della simmetria sono

⎩⎨⎧

==

xyyx

Applichiamole alla parabola e

otteniamo: cbyayx 2 ++=

zioni dell’ asse di simmetria e della direttrice si

applicando la medesima simmetria al rrispondenti formule relative alla parabola n asse di simmetria parallelo all’asse y, secondo la corrispondenza che segue:

Le coordinate del vertice, del fuoco e le equadeterminano le coco

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−−a4

;a2

bV il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Δ−a2

b;a4

V

⎟⎟⎞Δ−− 1;b

⎠a4a2⎜⎜

⎝

⎛F il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Δ−a2

b;a4

1F

a41 Δ+−= il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x èy

a41x Δ+−=

a2b− x = il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è

a2by −=

All e y e concavità verso l’alto corrisponde, nella simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, una parabola con asse parallelo all’ asse x e concavità rivolta verso destra.

se a>0 la concavità della parabola è verso destra se a<0 la conca

a parabola con asse parallelo all’ass

Conclusione

vità della parabola è verso sinistra




Casi particolari Per la parabola con asse parallelo all’asse x valgono le medesime proprietà viste per la parabola con asse parallelo all’asse y. Tabella Riassuntiva

Equazione

cby2ayx ++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Δ−a2

b;a4

V Vertice

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Δ−a2

b;a4

1F Fuoco

a41x Δ+−=

Parabola Generica nel piano

direttrice

a2by −= asse di simmetria

Parabola con il vertice sull’asse x c2ayx += )0;c(V Vertice

Parabola passante per l’origine by2ayx +=

2ayx = il vertice nell’origine Parabola con

Esemp

Data la parabola di equazion

io

e 12y72yx +−= , determina le coordinate del vertice, del fuoco e l’ equazione della direttrice

Le coordinate del Vertice sono ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Δ−a2

b;a4

V .

Calcoliamo l’ ascissa del vertice 41

a4ac4b

44849

a4ac4b −=−−⇒−−=−− .

Calcolia

22

mo l’ ordinata del vertice 27

a2b

27

a2b =−⇒−−=−

⎟⎟Il vertice ha coordinate⎠⎝

⎞⎜⎜⎛−

27;

41V . L’ asse di simmetria è parallelo all’ asse x e ha equazione

27

a2by =−= Le coordinate del fuoco sono ⎟⎟

⎠

⎞

⎝ a.

l’ ascissa

⎜⎜⎛ −Δ−

2b;

a41F

L’ ordinata del fuoco è uguale a quella del vertice, determiniamo

0a4

ac42b14

48491a4

ac42b1 =+−⇒+−=+− Il fuoco ha coordinate ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

27;0F .

L’ equazione della direttrice è a4

1x Δ+−= , otteniamo21x

448491x −=⇒−+−=

E–Matematica Parabola: posizione di una retta rispetto ad una parabola

Posizioni di una retta rispetto ad una parabola Una retta rispetto ad una parabola può essere:

Secante, se retta e parabola si incontrano in due punti

Tangente, se retta e parabola si incontra o no in un punt

Esterna, se retta e parabola non si incontrano in alcun punto

Per determinare la posizione della retta di equazione qmxy += rispetto alla parabola di equazione

cbxaxy 2 ++= bisogna svolgere il sistema tra l’equazione d la della parabola ella retta e quel

⎪⎩

⎪⎨⎧

++=

+=

cbxaxy

qmxy2

risolvendo si ottiene un’equazione di secondo grado, per la quale si può verificare uno dei casi seguenti:

0>Δ Secante ti

distinti. La retta incontra la parabola in due pun

⎪⎩

⎪⎨⎧ += qmxy

++= cbxaxy 2

0= TangenΔ te La o retta incontra la parabola in un punt

⎪⎩

⎪⎨⎧

++=

+= qmx

cbxaxy

y2

0<Δ

Esterna La retta non incontra la parabola

⎪⎩

⎪⎨⎧

++=

+= qmx

cbxaxy

y2




Rette tangenti alla parabola

1 – metodo → Il punto è esterno alla parabola

Data l' equazione di una parabola cbx2axy ++= e un punto )y,x(A 11 esterno alla alla parabola passanti per A

er risolvere questo problema dobbiamo procedere nel seguente modo:

parabola, determinare le equazioni delle rette tangenti P1. determinare il fascio di rette di centro A )xx(myy 1 =−

istema l' equazione della parabola con il fascio 1−

2. mettere in sproprio

⎪⎩ ++= cbxaxy

3. Ricord

⎪⎨⎧ −=− )xx(myy

211

si ottiene un' equazione di II grado.

ando che una retta è tangente ad una parabola quando il discriminante dell' equazione di II grado è nullo, poniamo la condizione 0=Δ

4. otteniamo un’ equazione di II grado in m. Si risolve e si determinano i due valori di m che, sostituiti nell’ equazione d le due rette tangenti

2 – metodo → Il punto appartiene alla parabola

el fascio daranno

eterminare l' equazione della retta tangente alla parabola di equazione cbx2axy ++= in un

unto

D

)y,x(A 11 suo p 1. Determiniamo l' equazione del fascio di centro A

)xx(myy 11 −=−

2. il c golare della retta tangente si trova con oefficiente anl’equazione 1ax2bm += oppure si utilizza la regola dello

sdoppiamento 3. Equazione re ta tangente in un punto appartenente alla

parabola t

c2

xxbxax

2yy 1

11 +

++=

+

Dimostrazione [D]

3 – metodo → Il punto è interno alla parabola

e il punto è interno alla parabola non esistono rette angenti alla parabola, ma solo secanti.

St


Condizioni generali per determinare l’equazione di una parabola

L'equazione di una parabola, sia quella con asse parallelo all’asse delle y, cbxaxy = 2 ++ sia quella con

sse parallelo all’asse delle x, cbyay2 ++=a x dipende dai tre parametri a,b,c quindi per ricavare dipendenti fra l ettano

punto 4. delle coordinate del vertice e dell’equazione della direttrice 5. Passaggio per due 6. Conoscenza dell’equazione dell’asse e della direttrice, e passaggio per un punto

lla parabola di equazione

alla parabola. tituiamo le coordinate di A nell’ equazione della

parabola e otteniamo: -6 => -2=-2, il pu

erminare l’ equpossiamo procedere in due modi:

ente utilizzando la relazione

l'equazione dobbiamo avere tre relazioni in oro che ci perm di determinare i parametri. Alcuni casi che possono presentarsi più frequentemente: 1. Passaggio per tre punti 2. Conoscenza delle coordinate del vertice e del fuoco 3. Conoscenza delle coordinate del vertice e passaggio per un

Conoscenza punti e tangenza ad una data retta

sempio E

Sos

-2=4det

m

Dopo aver verificato che il punto A(2; -2) appartiene ax32xy −= , determinare la tangente in A.

Verifichiamo che il punto A appartiene

nto A appartiene alla parabola. Per azione della retta tangente in A

1. modo Determiniamo il coefficiente angolare della retta tang

1m223max2b 1 =⇒⋅+−=⇒+= l’ equazione della retta tangente è

4xy2x2 = −⇒−=+ y2.modo Utilizziamo la formula dello sdoppiamento

cxax2

xx1

1 +=+

2

yyb 1+

+

4xy6x3x42y2x3x22

2y−=⇒−−=−⇒+−=

−

2

Esempio

Determinare l’ equazione della parabola passante per l’ origine e per i punti A(6; 0) e per B(1;2)

La parabola passa per l’ origine quindi ha equazione . Dobbiamo determinare il to A e per il punto B.

bx2axy +=valore dei due parametri a e b. Imponiamo il passaggio per il pun

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −= a6b

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=⇒

−=⇒

−=−=⇒

+==+

52a

512b

52aa6a2

a6bba2

0b6a36L’ equazione della parabola richiesta è

x5122x

52y +−=


E–Matematica Parabola: Segmento parabolico

Segmento parabolico

Teorema di Archimede (area del segmento parabolico)

Consideriamo la parabola con vertice nell’origine O (0,0) e che ha come asse quello delle ordinate 2ax= (a > 0); coy nsideriamo una retta r parallele all’asse delle ascisse che interseca la parabola nei

’arco AVB di parabola e dal segmento

Vogliamo trovare l’area del segmento parabolico. Questa area S risulta uguale alla differenza tra l’area dedelimitata dallA’B’, che per simmrisAV

I p e:

punti A e B.

Definizione

La regione finita S del piano delimitata dallAB viene detta segmento parabolico.

l rettangolo AA’BB’e quella della regione ’arco A’VB’ e dai segmenti AA’, BB’ e

etria rispetto all’asse delle y ulta doppia della regione T delimitata dall’arco e dai segmenti AA’ e VA’.

unti hanno coordinat )ah;h(A 2− , )ah;h(B 2 ,)0;h(− , )0;h('B ; avremo: 'A

T)'BB'AA( A2A −=

ve SA

Do32

)'BB'AA ah2ahh2'B'A'BB =⋅=⋅= (A

Per calcolare l’area della regione T si può utilizzare o mediante l’integrale definito i funzione, che dà

com

un metodo di approssimazione o un metodo d

e risultato 3ah1

A = . T 3

Troviamo perciò 333T)'BB'AA(S ah

34

)ah31

(2ah2A2AA =−=−= che non è altro che i 32

dell’area del

rettangolo AA’BB’

onclusione

area del segmento parabolico AVB è uguale ai

C

32

L’ dell’area del rettangolo AA’BB’

i Archimede). Questo risu nonpe

Co

(teorema d

ltato vale anche quando la retta che interseca la parabola è rpendicolare al suo asse.

nsideriamo una parabola di equazione cbxaxy 2 ++= e una generica retta r qmxy +=

tangente allache interseca la parabola nei punti A e B. Tracciamo la retta t

parabola e parallela alla retta r; tracciamo

sulla retta tangente t, l’area del segmento parabolico ABV è uguale a

le proiezioni di A e B

32

dell’area del rettangolo AA’BB’


E–Matematica Parabola: Segmento parabolico


HAI IMPARATO CHE...

2. Aminare l’equazione di una circonferenza date alcune condizioni

4. Conoscere le posizioni di retta e di una circonferenza e a determinarne le condizioni e le rette tangenti alla circonferenza

e posizioni reciproche tra due circonferenze nel piano in relazione alla distanza tra i

7.

8. A conoscere le caratteristiche della parabola alcune condizioni a determinarne le condizioni

ua area

1. La circonferenza è definita come il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro

conoscere le caratteristiche della circonferenza 3. A deter

5. A determinar6. A stabilire l

centri La Parabola è definita come il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto Fuoco

e da una retta d detta direttrice

9. A determinare l’equazione di una parabola date10. Conoscere le posizioni di retta e una parabola e11. A determinare le rette tangenti alla parabola 12. Il concetto di segmento parabolico e calcolare la s

E–Matematica Ellisse e iperbole


Ellisse e Iperbole

Equazione dell’ellisse

Ellisse e retta nel piano

Ellisse traslata

Equazione dell’iperbole

Retta e iperbole nel piano

Iperbole equilatera

Iperbole traslata

E–Matematica Ellisse: equazione dell’ellisse

ELLISSE

REREQUISITI alcolo algebrico - Geometria elementare - Concetto di luogo geometrico - Equazioni di 1° e 2° -

istemi di grado superiore al 2° - Saper operare nel piano cartesiano - Equazione della retta – oncetto di traslazione]

OBIETSaper[Defin bole come luogo geometrico - Conoscere le caratteristiche dell’ellisse e dell’ip e le posizioni di retta e ellisse, di retta e iperbole nel piano - Conoscere la condi llisse, tre retta e iperbole - Riconosce un’ellisse e un’iperbole traslata rispetto al centro degli assi] Saper[Determinare l’equazione di un’ellisse e di un’iperbole - Saper riconoscere e disegnare un’iperbole e un’ell minare la condizione di una retta rispetto ad un’iperbole e un’ ellisse Determinare le rette tangenti all’ellisse e all’iperbole - Determinare l’equazione di un’ellisse e di un’iperbole traslata, e tutte le sue caratteristiche]

quazione dell’ellisse

P[CSC

TIVI e ire l’ellisse e l’ipererbole - Conoscer

zione di tangenza tra retta ed e

Fare

isse data l’equazione - Deter -

E

Introduzione

’orbita di un satellite, la planimetria del Colosseo di Roma, quella del Velodromo Vigorelli di Milano, insieme dei segni zodiacali, possono essere descritti dalla stessa figura geometrica: l’ellisse. Una irconferenza un po’ schiacciata agli estremi, una figura che appena la guardi ti ricorda un uovo. llisse vuol dire “mancanza”. ogliamo trovare l’equazione dell’ellisse partendo dalla caratteristica che hanno tutti i punti che si ovano su questa curva. L'iperbole è una conica[G] .

" Posto che la forza centripeta sia inversamenteproporzionale al quadrato della distanza deiluoghi dal centro, e che sia conosciuta laquantità assoluta di quella forza, si ricerca lalinea che il corpo descriverà muovendo da unluogo dato con una velocità assegnata

secondouna data direzione". (Newton)

Ll’cEVtr



Definizione

ellisse il luogo dei punti [G] del piano per i tante la somma delle distanze [G] da due punti

dell’ellisse con i fuochi posti sull’asse delle

la x due punti

Si chiama quali è cosfissi F e F , detti fuochi [G] 1 2

Equazioneascisse

Per determinare l’equazione generica dell’ellisse con i fuochi sull’asse delle ascisse, fissiamo un sistema di assi cartesiani

)0,c(F1 −ortogonali, prendiamo sull’asse del e )0,c(F2 che sono disposti simmetricamente rispetto l’origine

ndiamo poi un punto generico P(x,y). degli assi, preDalla definizione di ellisse, possiamo ricavare che la somma delle misure dei segmenti F1P e F2P deve essere costante; poniamo questa costante uguale a 2a cioè a2PFPF 21 =+ e traduciamola analiticamente.

L’equazione cercata è: 1ba

yx2

2

2

2=+ con 222 bac −= e +ℜ∈b,a

Strian

e ricordiamo che la somma di due lati di un triangolo è sempre maggiore del terzo, osservando il golo 21PFF possiamo scrivere:

c2FFPFPFa2 121 >+= 2 = c2a2 > ca > e da 22 ca =− 2b ba > Dimostrazione [D]

l’asse delle ordinate

Equazione dell’ellisse con i fuochi posti s

er determinare l’equazione generica dell’ellisse c n i fuochi sull’asse

le ordinate, possiamo procedere nello stesso modo fatto per le determinazione di quella con i fuochi sull’asse delle ascisse. In questo caso, però, i fuochi avranno coordinate

ul

Pdel

o

)c,0(F1 − e )c,0(F2 e sarà 2b la somma dei segmenti PF1 e PF2. La relazione che ricaviamo dalla definizione di luogo geometrico sarà:

b2x)yc(x)yc( 2222 =+−++−−

svolgendo i calcoli arriviamo all’equazione canonica dell’ellisse data da:

1ba 22

=+ con yx 22222 abc −= e +ℜ∈b,a

In questo caso sarà ab > .



Conclusione

1L’espressione ba

egli assi cartesiani, i cui fuochi si trovano sempre ppartiene l’asse di simmetria maggiore.

a>b i fuochi si trovano su

yx2

2

2

2=+ è l’equazione canonica dell’ellisse con centro nell’origine

d sull’asse cartesiano cui aSe ll’asse delle ascisse. Se a<b i fuochi si trovano sull’asse delle ordinate.

ione

Se nell’equazione dell’ellisse

!!Attenz

1ba 22yx 22

=+ risulta ba = , l’equazione diventa

222 ayx =+ che è l’equazione di una circonferenza .

a con centro nell’origine e raggio

e e l’asse de cisse, dobbiamo risolvere il sistema:

Intersezione dell’ellisse con gli assi cartesiani

Per trovare i punti d’intersezione tra l’elliss lle as

⎪⎩

⎪⎨

⎧x

=

=+

0y

1b

y

a 2

2

2

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

0y

1a

x2

2

⎪⎩

⎪⎨⎧

==0y

ax 22 ⎩⎨⎧

=±=0y

ax

I punti )0,a(A1 − e )0,a(A2 sono i punti d’intersezione dell’ellisse con l’asse delle x. Per trovare i punti d’intersezione tra l’ellisse e l’asse delle ordinate, dobbiamo risolvere il sistema;

⎪⎩

⎪⎧

+x 22

⎨=

=

0x

1b

y

a 22 ⎪⎨

⎩

⎪⎧

=

=

0x

1b

y2

2

⎪⎩

⎪⎨⎧

=x

=0

by 22 ⎩⎨⎧

=±=0x

by

i )b,0(B2 − e )b,0(B1I punt sono i punti d’intersezione dell’ellisse con l’asse delle y. I punti )0,a(A , )0,a(A , )b,0(B1 − − e )b,0(B sono detti vertici dell’ellisse. 2 2 1

Coordinate dei fuochi di un’ellisse

Data l’equazione dell’ellisse 1b

y

a

x2

2

2

2=+ è possibile ricavare le coordinate dei fuochi:

la relazione 222 b• Se i fuochi sono sull’asse delle x, bisogna ricordare a −=c , dove a è il semiasse

maggiore e b è il semiasse minore, da cui possiamo ricavare 22 bac −±= quindi avremo che

)0,ba(F 221 −− e )0,ba(F 22

2 −

• Se i fuochi sono sull’asse delle y, bisogna ricordare la relazione 222 abc −= , dove b è il semiasse

maggiore e a è il semiasse minore, da cui possiamo ricavare 22 abc −±= quindi avremo che

)ab,0(F 221 −− e )ab,0(F 22

2 −



Esempio

Data l’equazione dell’ellisse Data l’equazione dell’ellisse 14

y9x 22

=+ determina le

coordinate dei fuochi e disegna la curva Trovo e essendo i fuochi sono sull’asse

oordina ei fuochi ricordando 3a = 2b =

ovo le cba >

te ddelle x tr

)0;ba(F 222 − )0;b− 22a−(F1

549ba 22 =−=− perciò )0;5(F1 −quindi (F2

aratteristiche dell’ellisse

e disegniamo un’ellisse di equazion

)0;5

C

e 1Sba

yx=+ in un sistema di assi cartesiani possiamo notare che

la curva: ha due assi di simmetria [G] , asse delle x e asse d ha un centro di simmetria [G] , che è rigine d assi car i può essere inscritta in un rettangolo, i cui punti di contatto con la curva sono i punti A1, A2, B1, B2 di

ione con gli assi ca

22

22

elle yl’o egli tesian

intersez rtesiani ha i vertici nei punti )0,a(A1 − , )0,a(A2 , )b,0(B2 − e )b,0(B1

ha i segmenti a2AA 21 = e b2BB 21 = chiamati assi e se ba > , 21AA è detto asse maggiore e 21BB è

detto asse minore mentre aOA2 = e bOB no chia sem se2 = so mati iassi, ab > , 21BB è detto asse

maggiore e 21AA è detto asse minore mentre aOA2 = e bOB2 = sono chiamati semiassi i F1 2 detti

l segmen ha i punt e F fuochi che si trovano sull’asse maggiore ha i to c o d focale mentre 2FF 21 = chiamat istanza cOF1 = semi distanza focale

Semidistanza focale

Semiasseminore

Semiasse maggiore

Semi distanza focale

Semiasse minore

Semiasse maggioreSemi distanza

focale

Semiasse minore

Semiasse maggiore

Semidistanza focale

Semiasseminore

Semiasse maggiore

Semidistanza focale

Semiasseminore

Semiasse maggiore

Semi distanza focale

Semiasse minore

Semiasse maggioreSemi distanza

focale

Semiasse minore

Semiasse maggiore




Eccentricità

L’e ] è quel parametro che determina di quanto l’ellisse è schiacciata. Vie definita eccentricità e il rapporto tra la misura della semi distanza focale e la mi

ccentricità [Gne

sura del semiasse maggiore:

per l’ellisse con i fuochi sull’asse delle ascisse a

baac

e22 −

==

llisse i fuo e deper l’e con chi sull’ass lle ordinate b

bbc

e2 −

==

emi distanza focale minore del semiasse cioè

a2

essendo la s o ac <bc < si ha 1e0 ≤≤

se 0e = allora 0ac

e == o 0bc== ie da cui c = 0 quind i fuochi

coincidono con il centro e si avrà che a = b e l’equazione dell’ellisse diventa 222 ayx =+ che non è altro che l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine degli

se

assi

1e = allora 1ac

e == o 1bc

e == quindi la semi distanza focale coincide con il semiasse

segmento, maggiore e l’ellisse degenera in un cioè si riduce all’asse maggiore.

E–Matematica Ellisse: ellisse e retta nel piano

Ellisse e retta nel piano Una retta e un’ellisse nel piano possono: incontrarsi in due punti, non solo punto.

incontrarsi o incontrarsi in un

Per trovare le due curve hanno in co

i punti che mune dobbiamo risolvere il seguente sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=+

qmxy

1b

y2

a

x22

2

dove la prima è l’equazione dell’ellisse e la seconda è l’equazione della retta.

L’equazione risolvente è un’equazione di secondo grado nella variabile x. Di tale equazione consideriamo il delta[G] : • Se ∆> 0 ammette due soluzioni reali distinte e quindi la retta è secante [G]. • Se ∆< 0 non ammette soluzioni reali e quindi la retta è esterna[G]. • Se ∆=0 ammette due soluzioni reali coincidenti e quindi la retta è tangente [G] .

Retta tangente all’ellisse

Vogliamo calcolare le equazioni delle rette condotte per un punto )y,x(P PP e tangenti ad un’ellisse. Stabiliamo innanzitutto se il punto è esterno, interno o appartiene [G] all’ellisse E; conoscendo dove si trova il punto possiamo individuare quante sono le tangenti all’ellisse che passano per quel punto.

Dato il punto )y,x(P PP sostituiamo le sue coordinate nell’equazione 1b

y

a

x2

2

2

2=+ dell’ellisse e se

troviamo: • un’identità P∈ E • un valore maggiore di zero P è esterno alla E • un valore minore di zero P è interno alla E



Procedimenti per trovare la tangente

er trovare l’equazione della retta passante per )y,x(P PP e tangente all’ellisse 1Pba 22

procedere in

yx 22=+ possiamo

diversi modi:

1 – metodo → metodo algebrico: imponendo la condizione di tangenza

1. Troviamo l’equazione del fascio proprio di rette che hanno come punto di sostegno il punto )y,x(P PP )xx(myy PP −=−

2. Mettiamola a sistema con l’equazione dell’ellisse

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−

=+

)xx(myy

1b

y

a

x

PP

2

2

2

2

3. Troviamo l’equazione risolvente, che è un’equazione di secondo grado in x o in y,

2222PP

22 baa]y)xx(m[bx =+−+ 4. Applichiamo la condizione di tangenza, cioè po iamo il 0=Δ n5. Ricaviamo i valori del coefficiente angolare, che saranno due distinti se il punto è ester

all’ellisse, sarà invece uno se il punto appartiene all’ellisse no

6. Sostituiamoli nell’equazione del fascio.

2 – metodo → metodo della regola dello sdoppiamento

Scriviamo l’equazione dell’ellisse 1ba 22

=+ yx 22

Sostituiamo nell’equazione canonica dell’ellisse P2 xxx → , P

2 yyy → , otteniamo l’equazione delle

retta 1ba 22

=+ yyxx PP

!!Attenzione

icerca dell’equazione della retta tangente all’ellisse è

sempio

e delle tangenti all’ellisse di equazione

Il 2° metodo per la rapplicabile solo se il punto appartiene all’ellisse stessa

E1

2y

3x 22

=+Trovare l’equazion nei suoi punti A

Determiniamo l’ ordinata dei punti A e B. Sostituiamo nell’ equazione dell’ ellisse la loro ascissa e

otteniamo:

e B di ascissa 1.

3

32y6y32 2 ±=⇒=+

I punti appartengono all’ ellisse quindi, per determinare l’ equazione delle tangenti utilizziamo la formula dello sdoppiamento

1b

yy

a

xx2P

2P =+

9y32x3 =+ Sostituiamo le coordinate di A e troviamo l’ equazione della retta tangente

Sostituiamo le coordinate di B e troviamo: 9y32x3 =−




Condizioni generali per determinare l’equazione di un’ellisse

L'equazione di un’ellisse 1yx

22=+ , con i fuoc tenenti a uno dei due ani e centro

nell’origine, dipende dai ba

22hi appar assi cartesi

due parametri a,b; perciò, per trovare l'equazione dobbiamo avere due lazioni tra i parametri a e b indipendenti fra loro, che messe a sistema mi permettano di determinare i

parametri. Alc casi h osso o presenta 1. vale a due condizioni. 2. La conoscenza delle coordinate di un punto appartenente all’ellisse rappresenta una condizione. 3. noscenza dell coordinate di un vertice corrisponde a una condizione. 4. La conoscenza delle coordinate dei fuochi rappresenta una condizione.

,0) e per eccentricità e = ½ Dai dati che abbiamo ci accorgiamo che l’ellisse ha i fuochi sull’asse delle ascisse.

La relazione c

re

uni c e p n rsi più frequentemente:

La conoscenza della misura dei semiassi a e b equi

La co e

5. La conoscenza dell’eccentricità rappresenta una condizione.

Esempio

ha per fuoco F(-4Trovare l’equazione dell’ellisse che

he lega fuoco ed eccentricità è ac

e = posiamo ricavare il valore del semiasse

maggiore a 84c

a === . Do

2

2c

1ebbiamo trovare ora il valore del semiasse b e usiamo la relazione

da cu l’equazione dell’ellisse cercata è22 ba −= i 481664cab 222 =−=−= 148y

64x 22

=+

ED -2) e B(2,- 1).

Sostituiamo le coordinate di ciascun punto nell’equazione dell’ellisse

sempio

etermina l’equazione dell’ellisse che passa per i punti A(1,

1ba

yx2

2

2

2=+ e mettiamo a

sistema le due equazioni trovate. Dobbiamo risolvere il sistema :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

1 ⎪⎩ =+ 2222 baab4

moltiplichiamo b

1

a

4

1b

4

a

1

22

22

la prima equazione per 4 e poi applichiamo il metodo d

da cui si ricava

⎪⎨⎧ =+ 2222 baa4b

ella riduzione

= 22 a5a ⎪⎩⎨

= 5a2

⎪⎩

⎪⎧

=+

=+22

2222

ab4

ba4a16b4 ⎪⎧ =2

222 ba3a15 ⎪⎧ =− 2 0)b315(a ⎪⎧ =2 5b ⎪⎧ = 5b2

⎨ 22ba ⎪⎩⎨

=+ 222 baab4 ⎪⎩⎨

=+ 2222 baab4 ⎪⎩⎨

+20

l’equazione trovata è 15

y5

x 22=+ . E’l’equazione di una particolare ellisse cioè di una circonferenza.

E–Matematica Ellisse: ellisse traslata

L’equazione dell’ellisse traslata

Consideriamo l’ellisse di equazione 1b

y

a

x22=+ con

centro nell’origine degli assi di un sistema cartesiano,

22

fuochi )0,c(F1 − e )0,c(F2i appartenenti all’asse delle ascisse e un punto )y,x(P qualsiasi del piano. Applichiamo una traslazione [G] di vettore )q,p(v , ricordando che la traslazione lascia invariate le distanze, la figura che troviamo è nuovamente un’ellisse. Infatti se a2PFPF =+ sarà anche 21

a2'P'F'P'F 21 =+ . L’ellisse che troviamo non ha più il ceO’ trasla

ntro nell’origine degli assi cartesiani ma in punto to rispetto ad O di un vettore )q,p(v .

L’e ’ellisse traslata [D] è 1)qy()px( 22

=−

+−

o può essere anche scritta quazione dellba 22

0edycxby22 =++++ e le coordinate del centro [G] sono date da ⎟⎞

⎜⎛ −−

d;

c'O ax

⎠⎝ b2a2Dimostrazione [D]

Conclusione

L’equazione dell’ellisse traslata può essere scritta 1b

)qy(

a2)px(

2

22=

−+

− o

e le coordinate del centro sono date da ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

b2d

;a2c

'O0edycxbyax 22 =++++

!!A

si posizione del piano cartesiano si trovi, un’ellisse è sempre simmetrica ro. Nel caso

uazione dell’ellisse in forma canonica, i suoi assi coincidono con gli assi

sempio

Verifica che l’equazione rappresenta un’ellissi traslate e

Dobbiamo trasformare l’equazion nella forma

ttenzione In qualsiarispetto ai suoi due assi, che sono perpendicolari tra loro, e al suo centl’eqcartesiani e il suo centro con l’origine.

E

trova il nuovo centro di simmetria

y8x10y2 22 −−−+

045y8x10y2x 22 =−−−+

e 045x = 1b

)qy(

a

)px(2

2

2

2=

−

per fare ciò usiamo il m mpletamento dei quadrati:

0458)825)25x10x( 2 =−−+−+− abbiamo aggiunto e tolto il valore 25 e 4 per poter

+−

etodo del co

ntesi. L’equazione può essere quindi scritta

sse traslata è data

y8y2( 2 +−avere il quadrato di un binomio nelle pare

12)2y2()5x( 22 =−+− l’equazione dell’elli 112

)1y(412

)5x( 22=

−+

− cioè

13

)1y(12

)5x( 22=

−+

− dove il centro è il è punto )1;5(

b2d

;a2c

'O =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−


E–Matematica Iperbole: equazione dell’iperbole

IPERBOLE Equazione dell’iperbole

Introdu

zione

Le frange di interferenza distru le pareti da una lampada, la forma delle ciminiere, la piantina del palazzo della regione di Roma, possono tessa figura geometrica: l’iperbole. Una curva con due rami che si estende all’infinito. Iperbole

re oltre” e spesso la parola viene usata con questo significato “Sempre il mondo fu pien di vendifrottole, che van spacciando le più strane iperboli” Vogliamo trovare l’equazione dell’iperbole, partendo dalla caratteristica che hanno tutti i punti che si trovano su questa curva. L'iperbo

e

1 2

Ipe

Conspia sull’asse x, simmetrici rispetto all’origine.

Deterpunti fissi e supponiamo che:

“……un dominio seimmaginari, finiti

nza limiti di innumerevoli campi dove reali e infiniti, entrano in piena parità, dove lo spirit

si diletta nell'equilibrio artistico e nella simmetrica reciprocità duna sorta on di c trappunto concettuale e logico - un reamincantato dove il pensiero si sdoppia e scorre ovunque in flussparalleli” (Cassius Ja

ttiva e costruttiva, la luce proiettata sulessere descritti dalla

ssignifica "anda

le è una conica [G].

Definizion Si definisce Iperbole il luogo dei punti [G] del piano che hanno costante la differenza delle distanze [G] da due punti fissi F e F detti fuochi [G].

ckson Keyser)

rbole

ideriamo il punto A generico nel no cartesiano e due punti fissi F1 e F2

miniamo la distanza di A dai due

costante2AF1AF =−

Antonella Greco – Rosangela Mapelli - 83 - © Garamond 2009


Come puoi osservriprodotte, il pun

are dalle immagini to generico A disegna

ti a F1 e F2 resta costante. punti F1 e F2 sono detti fuochi.

ogo geometrico le.

erbole con fuochi ppartenenti all’asse x

Consideriamo il punto A(x;y) appartenente all’iperbole e i fuochi appartenenti all’asse x,

una curva. La differenza tra le distanze di A pundI Tale curva è un luchiamata Iperbo

ed è

Ipa

( ) ( 0;c2F0;c1F ∧− ) .

a distanza tra i due fuochi è detta distanza Lfocale ed è uguale a 2c. Il punto medio del segmento 21FF , l’origine degli

assi, è detto centro dell’iperbole. Poniamo la condizione che a22AF1AF =− ,

n a costante. coConsideriamo il triangolo AF1F2. In un triangolo la differenza di due lati è sempre minore del terzo lato, quindi otteniamo:

2F1F2AF1AF <−

c => a<c

Calc

Otteniamo 2a<2

oliamo la misura di 1AF e 2AF : ( )2cx2y1AF ++= e ( )2cx2y2AF −+= Sostituiamo nella

ione relaz a22AF1AF =− sviluppiamo i calcoli e otteniamo:

12b

2y2a

2x =− Equazione canonica dell’iperbole avente i fuochi sull’asse x

Dimostrazione [D]



Proprietà dell’iperbole

L’ iperbole è simmetrica rispetto all- Consideriamo un pun

’asse x, all’asse y e all’origine degli assi. to P(x; y) dell’iperbole e il suo simmetrico rispetto all’asse x [G], P’(x, -y).

no l’equazione dell’iperbole, quindi P’ appartiene alla conica. l’iperbole e il suo simmetrico rispetto all’asse y, P”(-x, y).

soddisfano l’ equazione dell’iperbole, quindi P’’ appartiene alla conica. Consideriamo un punto P(x; y) dell’iperbole e il suo simmetrico rispetto all’origine [G],

P’’’(-x, -y). Le coordinate di P’’’ soddisfano l’equazione dell’iperbole, quindi appartiene alla conica.

i o il

istema tra le loro equazioni:

Le coordinate di P’ soddisfa- Consideriamo un punto P(x; y) del Le coordinate di P” -

intersezione con l’ asse x Per determinare le interseziondell’iperbole con l’ asse x svolgiams

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎩

⎪⎨ =

=∧=

−=⇒

==⇒

=

=−0yax

0yax

0y

2a2x

0y

12by

2ax

due

⎧ 22

Abbiamo ottenuto punti

( ) ( )0;a2V0;a1V ∧− detti vertici dell’iperbole. Il segmento 21VV è detto asse t verso.

L’asse traverso misura 2a.

ra

ra a

sse y risolviamo il sistema tra le due equazioni:

Il semiasse traverso misu intersezione con l’asse y Per determinare le intersezioni dell’iperbole con l’ a

⇒==0−=− ⎧

⎧ 222y2x⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎪

⎪⎨

xby12b2a

sistema impossibile.

’iperbole non ha intersezioni con l’asse y. averso

I punti

=⎩ 0x

LL’ asse y è detto asse non tr Fuochi

( ) ( 0;c2F0;c1F ∧− ) sono i fuochi dell’iperbole. Nel determinare l’abbiamo posto le seguenti condizioni:

equazione dell’iperbole

2b2a2c2a2cac =−⇒>⇒> da cui ricaviamo c e otteniamo:

⇒+=⇒=− 2b2a2c2b2a2c

2b2ac +±= Relazione per determinare le coordinate dei fuochi dell’iperbole Approfondimento [A] Asintoti Consideriamo le rette su cui giacciono le due diagonali del rettangolo DCGE. Le loro equazioni sono:

xabyx

aby =∧−= tali rette vengono dette asintoti [G].



Iperbole con fuochi appartenenti all’asse y

Consideriamo il punto A(x;y) appartenente all’iperbole e i fuochi appartenenti all’asse x, ( ) ( )c;0Fc;0F 21 ∧− .

La distanza tra i due fuochi è detta distanza focale ed è uguale a 2c. Il punto medio del segmento 21FF ,

l’origine degli assi, è detto centro dell’iperbole. Poniamo la condizione che

b22AF1AF =− , con b costante.

Calcoliamo la misura di 1AF e 2AF :

( )2cy2x1AF ++= e

( )2cy2x2 rAF −+= Sostituiamo nella elazione e otteniamo ( ) ( ) b22cy2x2cy2x =−+−++ .

Svolgendo i calcol medesimo ragionamento fatto per determinare l’equazione on i fuochi sull’asse x, otteniamo:

i e ripetendo ildell’iperbole c

12x2

12y2x =−−=− Equazione ca

2a2b2b2a

y∨ nonica dell’iperbole avente i fuochi sull’asse y.

I vertici hanno coordinate ( ) Vb;01V ∧ ( )b;02 −

Il segmento 21VV è detto asse traverso.

Conclusione

L’asse traverso misura 2b. Il semiasse traverso misura b.

12y

2x =−

ba

22 Equazione dell’iperbole riferita ai propri assi, con i fuochi sull’asse x.

12b

2y2x Equazione dell2 −=− ’iperbole riferita ai propri assi, con i fuochi sull’asse y.

rbol

a

Esempio

Data l’equazione dell’ipe e 14

y9x 22

=− ricava le

coordinate dei fuochi, le equazioni degli asintoti e

equazioni degli asintoti

disegna la curva

Trovo 3a = e 2b = i fuochi sono sull’asse delle x

Trovo le x32

y ±=

Trovo le coordi )0;ba(F )0;ba(F22 221 +− 2 + quindi nate dei fuochi ricordando

1349ba 22 =+=+ perciò )0;13(F1 − )0;13(F2




Eccentricità

Definizione

ceSi definis eccentricità [G] di un’ iperbole e si indica con e, il rapporto tra la

verso distanza focale e l’ asse tra

ac

e = se i fuochi si trovano su asse ll’ x;

b

l rapporto tra la d

ce = se i fuochi si trovano sull’asse y.

Nell’iperbole i istanza focale e la misura dell’asse traverso è sempre maggiore di 1 e oi r i.

sempio

zione dell’iperbol

misura l’apertura dei su am

E

e 149y

16x 22

=−Data l’equa determina l’eccentricità

i 53Trovo 4a = e 7b = , trovo il valore d 449a2 +=

Dato che l’iperbole ha i fuochi sull’asse delle x, si avrà

bc 2 =+=

453

ae =

c= che è un valore maggiore di 1

E–Matematica Iperbole:iperbole equilatera

Iperbole equilatera

Iper ole equilatera b

Se


22 ba = allora l’ equazione dell’iperbole è 222 ayx =− e l’ iperbole si

ice equilatera. FuochiEssendo a=b dalla

d

relazione 22 bac +±=

i ottiene S2ac ±=

uochi hanno coordinate: I f ( ) ( )0;2aF0;2aF1 ∧−

Asintoti Essendo a=b gli asintoti hanno equazione rispettivamente y = x e y = -x ovvero coincidono con le bisettrici dei quadranti. Eccentricità

Nell’iperbole equilatera l’eccentricità vale 2ea

2ae =⇒=

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

ideriamo un’iperbole equilatera riferita agli assi di equazione:

Cons

222 ay =− xRuotiamo i punti del piano in senso antiorario (o orario) di un angolo di 45°. Gl o con gli assi cartesiani, e per tale motivo l’iperbole viene ch le ita ai propri asintoti. Avendo effettuato una rotazione [G] in senso antiorario, l’asse traverso coinciderà con la bisettrice del I e III quadrante e l’asse non traverso coinciderà con la bisettrice del II e IV quadrante.

Riprendendo la definizione di iperbole l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti assume la forma: xy = k

Dimostrazione [D]

i asintoti dell’iperbole coinciderann

iamata iperbo equilatera rifer



Se k>0 L’ iperbole si trova nel I e III quadrante.

ono

Le coordinate dei fuochi s( ) ( )k2;k2Fk2;k2F 21 −−∧

I vertici si possono determinare intersecando la curva con la bisettrice deI e III quadranL’iperbole è

l te.

simmetrica rispettogine.

Se k<0 ole si trova nel II e IV quadrante.

Le coordinate dei fuochi sono

all’ori

L’iperb

( ) ( )k2;k2Fk2;k2F 21 −∧−

I vertici si possono determinare intersecando la curva con la bisettrice del II e IV quadrante.

è simmetrica rispetto

Se k=0 L’iperbole diventa xy=0 x=0 o y=0, si tratta di una curva degenere ridotta all’unione degli assi

propri asintoti è degenere nei suoi asintoti

L’iperbole all’origine.

cartesiani. Si dice che l’iperbole equilatera riferita ai



Funzione Omografica

La funzione di equazione dcxbaxy

+= con +

0bcad0≠c ≠−∧ è E’ atera con gli asintoti p

p

detta Funzione Omografica.

un’iperbole equilaralleli agli assi e con centro di simmetria nel

unto ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎛−1O⎝ c

a;cd

Dimostrazione [D]

Casi Particolari

Se la funzione assume la forma d

baxy += c=0 che rappresenta l’ equazione di una retta;

Se 0bcad =− kdb

ca

bcad ==⇒= l’ equazione della funzione diventa

dcxdcx ++)dcx(kdkckx

ydkbck++

=⇒=∧= ya =⇒ => l’ equazione della funzione diventa ky = , che

ra a retta parallela all’ asse x privata del punto di ascissa cd

x −= ppresenta un

Per verificare che la funzione omografica è un’iperbole equilatera è sufficiente scrivere l’equazione

dcxbaxy

++= nel sistema di riferimento XO1Y traslato nel punto O1 e verificare che l’equazione assume

la forma XY=K.

Esempio

Data la funzione

1x2x3y+−+= rappresentala

graficamente E’ una funzione omografica quindi, un’iperbole equilatera

Troviamo il centro )3;1()1

3;1

1(ca;

cdO −⇒

−−−⇒− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Troviamo gli asintoti 1cd

x =−= e 3ca

y −==

)cd

x(ca

y +=− ∓ → → 1x3y −=+ 4xy −= Troviamo gli assi

e 1x3y +−=+ → 2xy −−=

E–Matematica Iperbole: retta e iperbole

Retta e iperbole

eUna retta può intersecare [G] l’iperbole in due punti, in un punto o essere esterna ad essa. Analizziamo insi me tutti i casi.

1 caso →la retta interseca in due punti distinti l'iperbole.

Per verificare tale condizione ed eventualmente trovare i due punti, bisogna risolvere il sistema tra l'equazione dell'iperbole e quella della retta.

⎪⎩

⎨+= qmxy

ba 22 ⎪⎧

=− 1yx 22

Si ottiene un'equazione di II grado avente

il discriminante [G] maggiore di zero.

0>Δ na retta

Condizione affinché uintersechi l' iperbole in due punti distinti

2 caso →La retta interseca in due punti coincidenti l'iperbole (è tangente).

condizione ed eventualmente trovare il punto, bisogna risolvere il sistema tra l'equazione d le e quella della retta.

Per verificare tale

ell'iperbo

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ba

2

Si od e a zero. La retta è tangente all'iperbole.

+=

=−

qmxy

1yx

22

2

ttiene un'equazione di II grado avente il iscriminante ugual

0= Condizione af unΔ finché a retta sia tangent

e all’iperbole



3 caso → la retta interseca in un punto l’iperbole

Per verificare tale condizione ed eventualmente trovare il punto, bisogna risolvere il istema tra l'equazione

dell'iperbole e ds

ella retta.

⎪⎩

⎪⎨

+=

=−

qmxyba

122

Si o

⎧ yx 22

ttiene un'equazione risolvente di I grado. La retta è parallela ad uno degli asintoti dell'iperbole.

incontra cioè un solo ramo [G] , è che l'equazione risolvente siste

4 caso → La retta non interseca l'iperbole (esterna)

Condizione affinché una retta tersechi l'iperbole in un solo punto,in

il ma sia di I grado.

ificare tale condizione bisogna ere il sistema tra l'equazione

Per verrisolvdell'iperbole e della retta.

⎪⎩

⎪⎨

⎧=− 1

b

y

a

x2

2

2

2

+= qmxy

Si ottiene un'equazione di II grado avente il discriminante minore di zero.

0<Δ Condizione affinché una

retta non intersechi l' iperbole



Esempio

Stabilire se la retta 4x2y −=

equazione

è secante, esterna o tangente all’iperbole di

19

y4

x 22=−


Impostiamo il sistema ⎪⎩

⎪⎧x 22

⎨−=

=−

4x2y

19y

4

azione risolvente è ⇒

oliamo

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==−

4x2y36y4x9 22

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==−−

4x2y36)4x2(4x9 22

036)x1616x4(4x9 22 =−−+− 0100x64x7 2 =+−L’equ

Calc 032470010244

>=−=Δ

deduciamo che la retta e l’iperbole hanno due punti in

’iperbole.

R

V e rette condotte per un punto

comune quindi, la retta è secante all

etta tangente all’iperbole

)y,x(P PPogliamo calcolare le equazioni dell e tangenti ad una iperbole

12b

2y2

2=− .

a

x

Stabiliamo innanzitutto se il punto appartiene o non appartiene [G] all’ iperbole.

Dato il punto )y,x(P PP , sostituiamo le sue coordinate nell’equazione dell’iperbole I 12b

2y2a

2x =− e se

troviamo:

un’identità IP∈ una disuguaglianza IP ∉

Procedimento per trovare la tangente

Per trovare l’equazione della retta passante per )y,x(P PP e tangente all’iperbole

12b

2y2a

2x =− possiamo procedere nel seguente modo

1. [G] di rette che hanno come punto di sostegno il punto Troviamo l’equazione del fascio proprio)y,x(P PP )xx(myy PP −=−

2. Mettiamola a sistema con l’equazione dell’iperbole

⎪⎪

⎪⎨

−=−

=−

)xx(myy

12b

2y2a

2x

⎩

⎪⎧

PP. Troviamo l’equazione risolvente, che è un’equazione di secondo grado in x o in y

. Applichiamo la condizione di tangenza, cioè poniamo il

3

0=Δ 45. Ricaviamo i valori del coefficiente angolare, che saranno due distinti se il punto è esterno

all’iperbole, sarà invece uno se il punto appartiene all’iperbole

6. Sostituiamoli nell’equazione del fascio.



Metodo della regola dello sdoppiamento

Se il punto P appartiene all’iperbole si può determinare l’equazione della tangente utilizzando la regola del nto.

Scriviamo l’equazione dell’iperbole

lo sdoppiame

12b

2y2a

2x =−

Sostituiamo P2 xxx → , P

2 yyy → , si applica la regola dello sdoppiamento

2bPyy

2apxx

=−

Data l’equazione dell’iperbole

1

Esempio

123

o

yx 22=− trovare le equazioni delle sue rette tangenti

passanti per il punto P(3,2 ). Andiam a sostituire il punto nell’equazione dell’ellisse così possiamo sapere quante tangenti

dovremo trovare. Il punto P appartiene all’ellisse infatti 123

=− da cui s)2()3( 22

i ottiene 124

39

=− .

Possiamo pr in due modi:

1. mod

ocedere

o o il fascio di rette che ha come sostegno P e lo metto a sistema con l’equazione dell’ellisse

Scriv

⎪⎩

⎪⎨

=− 123 ⎪⎨

⎧ yx2⎧ yx 22

−=− )3x(m2y

l’equazione risolvente che

i

⎪⎩ +−==−

2m3mxy63 22

22

06)2m3mx(3x2 22 =−+−−

0)18 = applico la proprietà dsvolgendo i conti m9(x2)m32(x −+−

tangenza: m36m27()m6 22 +−−

0=Δ 0)18m36m27)(m32()6m9(4

=+−−+−= da cui 036m72 =+ che è lo sviluppo

adrato del binomio 0)1m(36 2 =− e si trova m

2222Δ m36 2 −

1del qu = l’equazione della retta tangente è 01yx −− =

2. modo

o usare la regola dello sdoppiamento cioè Dato che il punto appartiene all’iperbole possiam

1b

yy

a2xx

2PP =− sostituendo 1

2)2(y

3)3(x

=− svolgendo i calcoli otteniamo 1yx =− che è l’equazione

della retta tangente in P

E–Matematica Iperbole:iperbole traslata

Iperbole traslata Consideriamo l'iperbole con i fuochi sull'asse x


di equazione 12b

2y2a

2x − e applichiamo una =

traslazione di vettore )y;x(t oo . L'equazione

dell'iperbole traslata [G] nel nuovo sistema di

assi sarà 12b

2Y2a

2X =− .

Determiniamo l'equazione dell'iperbole nel ecchio sistema di riferimento. oi hé le equazioni della traslazione [D]

sono:

vP c

⎩⎨⎧

−=−= oxx

oyyY

X

l’eq a xOy

div

uazione dell'iperbole nel sistem

enta 1)yy()xx( 00 =

−−

−

ba 22

22

dalla quale, sviluppando i calcoli si ottiene

0edycxbyax 22 =+++− equazione d aslata

coordinate del centro [G] O’ sono

ell'iperbole tr

Le : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

b2d

;a2c

'O

Dimostrazione [D]

Condizioni generali per determinare l’equazione di un’iperbole

L'e le 1b

y

a

x2

2

2

2=−quazione di un’iperbo , con i fuochi appartenenti a u

centr rigine, dipende dai due parametri a,b; perciò, per trovare l'equazione di un’iperbole soddisfac nte condizioni assegnate, dobbiamo avere du ni indipendenti frasistema mi permettano di determinare i parametri. Alcuni casi che possono presentarsi più frequentemente: 1. enza della misura dei semiassi equivale a due condizioni 2. 3. 4. La conoscen ate dei fuoch5. La conoscenza dell’eccentricità rappresenta una condizione 6. rdinate di un fuoco e dell’equazione di un asintoto corrisponde a due

condizioni 7. La conoscenza delle coordinate di un vertice e di un fuoco corrisponde a due condizioni

8. Per determinare l’equazione di un’iperbole equilatera, sia del tipo

no dei due assi cartesiani e

o nell’oe e relazio loro che messe a

La conoscLa conoscenza delle coordinate di un punto appartenente all’iperbole rappresenta una condizione La conoscenza delle coordinate di un vertice corrisponde ad una condizione

za delle coordin i rappresenta una condizione

La conoscenza delle coo

222 ayx =− oppure kxy = è sufficiente una sola condizione, che non sia la conoscenza degli asintoti e dell’eccentricità, costante per ogni iperbole equilatera, ma che può essere data, per esempio, dal passaggio per un dato punto o dalla tangenza ad una retta.

E–Matematica Iperbole:iperbole traslata


Esempio

Determin zione dell’iperbole

Ricordiamo che

a l’equa che passa per i punti A(2;3) e avente per asintoti le rette . x2y ±=

da cui ab

2 = . xa

y ±= quazione deb

è l’e gli asintoti dell’ellisse. Quindi xab

x2 ±=±

La seconda relazione la troviamo ricordando che il punto A appartiene all’iperbole e quindi

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=−

2ab

1b

9

a

422

1b

9

a

422

−=− . Mettiamo a sistema le due relazioni trovate ⎪⎩

⎪⎨⎧

==−

a2bbaa9b4 2222

⎪⎩⎨

==−

a2b)a2(aa9)a2 2222

⎪⎩

⎪⎨⎧

==−

a2b0a7a4 24

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

7b

47

a2

⎪⎧ (4 perciò avremo che 47

a2 = e 7b2 = l’equazione

dell’iperbole cercata è 17

yx4 22

7=+

HAI IMPARATO CHE..

Si chiama ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2, detti fuochi.

A determinare l’equazione di una ellisse date alcune condizioni

una retta e

che hanno costante la differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi

latera, della funzione

. A conoscere le caratteristiche dell’ellisse

Conoscere le posizioni di di un’ellisse e a determinarne le condizioni

A determinare le rette tangenti all’ellisse

A riconoscere l’equazione dell’ellisse traslata

Si definisce Iperbole il luogo dei punti del piano A conoscere le caratteristiche dell’iperbole A determinare l’equazione di un’iperbole date alcune condizioni

Conoscere le posizioni di una retta e un’iperbole e a determinarne le condizioni A determinare le rette tangenti all’iperbole A riconoscere l’equazione: dell’iperbole traslata, dell’iperbole equi

omografica

E–Matematica Dimostrazioni

Dimostrazioni

Dimostrazione: simmetria centrale

Come

pu rdinate

nsideriamo il punto A, estremo del segmento AB ed M, punto dio di AB. Conosciamo il punto A di coordinate )y,x(A e il AA


nto M di coo ⎟⎠

⎜⎝ 2

,2

M BABA , vogliamo

erminare le coordinate di B. Il punto B si troverà rispetto

di simmetria tra A e B, cioè B è il

medio di

⎞⎛ ++ yyxx

detad A, dalla parte opposta di M, e alla medesima distanza di A da M. M e' centro simmetrico di A rispetto ad M. Le equazioni di una simmetria centrale si possono quindi dedurre dalle equazioni per determinare il punto un segmento.

⎩⎨⎧

−=−=

⇒⎩⎨⎧

+=+=

⎪⎩

⎪⎪⎧

+=

+=

AMB

AMB

ABM

ABM

ABM

ABM

yy2yxx2x

yyy2xxx2

2yy

y

2xx

x

onclusioni Dato un punto A e un centro O di simmetria si può determinare il simmetrico di A rispetto ad O, tramite le equazioni di una simmetria centrale:

na

⇒⎪⎨

C

Tor

im

ons di oorrasl iani in O’ e otteniamo il istemete ato. sse

pu iani avrà coordinate

e eq

oncS del nuovo sistema ha, rispetto al primo, le coordinate ,

valgono le relazioni: o anche

La traslazione di vettore

D ostrazione: Traslazione

C ideriamo un sistema di assi cartesiani xOy, un punto P dinate )y,x( PP e un punto O’ di coordinate (a,b). c

T iamo l’origine O del sistema di assi cartesa x’O’y’.

rminiamo le coordinate di P nel sistema traslsDO rvando la figura possiamo dedurre che:

axP − e by'y PP −= . 'P =x

Il nto P nel nuovo sistema di assi cartes)by,a P − xP −(

uazioni della traslazione sono: ⎩⎨⇒→y

'PP⎧ −=τ ax'x PP

'O

L−= by' PP

C lusioni e l'origine 'Oy'x

)b,a(O

⎩⎨⎧

+=+=

→τb'yya'xx

⎩⎨⎧

−=−=

→τby'yax'x

è data, quindi, dalle seguenti relazioni

Torna

⎩⎨⎧

+=+=

→τb'yya'xx

)b,a(v

⎩⎨⎧

−=−=

⇒→Ao'A

AO'As

yy2yxx2x

'AAO


Dimostrazione: baricentro di un triangolo

, vertici di un

triangolo, vo v del baricentro ediane del

mediana cui una è il nel nostro caso AG=2

dio del lato

Dati tre punti )y,x(A AA , )y,x(B BB e x(C C )y, C

ordinate gliamo tro are le co)y,x(G GG , cioè il punto d’incontro delle m

triangolo. Il baricentro divide la in due parti di doppio dell’altra, GM. Troviamo innanzitutto le coordinate di M punto me

BC


2xx

x BCM

+= ,

2yy

y BCM

+= .

Tracciamo dai punti M,G,A le parallele all’asseAbbiamo costruito un fascio

delle y. di rette parallele tagliate dalle trasversali AM e IH. Applicando

AG=2GM e EH=2IE il Teorema di Talete otteniamo le relazioni: Calcoliamo le misure dei segmenti:

MG xxIE −= e GA xxHE −= sostituiamo i valori trovati nella relazione EH=2IE

da cui si ricava: → →

ituiamo il valore di

)xx(2xx MGGA −=−

MAG x2xx3 += , sost

MGGA x2x2xx −=− MAGG x2xx2x −−=−−

2xx

x BCM

+= ricaviamo Gx3 BCA xxx += +

ed infine troviamo 3

xxxx CBA

G++

=

PossG so

iamo fare lo stesso ragionamento per calcolare l’ordinata del baricentro, pertanto le coordinate di no date dalle due relazioni:

3xxx

x CBAG

++= e

3yyy

y CBAG

++=

Torna

dicolari

ele agli assi e per comodità

e condizione debbano soddisfare i loro in cui le due rette siano perpendicolari.

ideriamo i punti P e Q appartenenti rispettivamente alla in modo tale che

Il triangolo POQ è rettangolo in O e quindi possiamo

applicare il teorema di Pitagora:

dove

Dimostrazione: rette perpen

Consideriamo due rette non parallpassanti per l’origine:

r) xmy 1= e s) y xm2= Vogliamo cercare qual

lari, nel caso coefficienti angoConsretta r e s alle rette e di ascissa 1,

)m,1(P 1 e )m,1(Q 2

222 OQOPPQ +=

|mm|PQ 21 −= , 21m1OP += , 2

2m1OQ +=

qu ostituendo 22

21

221 m1m1|mm| +++=− svol i

calcoli si o 212

2 mmm2m −+

indi s gendo

ttiene →

→Torna

221+2

12

1 m1m ++=

1m2 −= 2mm2 21 −= m1


Dimostrazione: Asse di un segmento

Per determinar ion gmento si putilizzare la definizione di asse come luogo geometrico. Consideriamo un segmento AB e un punto P, di coordina

)y,x( , ester

e l’equaz e dell’asse di un se uò

te no ad esso.

i B.

rtiene all’asse se e e otteniamo:

Siano )y,x( AA le coordinate di A e )y,x( BB le coordinate d

Per definizione di asse sappiamo che P appaolo se PA=PB. Calcoliamo le misure di PA e PB s

2A

2A )yy()xx(PA −+−= e 2

B2

B )yy()xx(PB −+−=

Sostituiamo nza nell’uguaglia e otteniamo2

A2

B2

B2

A2

A )xx()yy()xx()yy()xx( +−⇒−+−=−+− 2B

2B

2A )yy()xx()yy( −+−=−

Torna


razione: distanza punto retta generica

e la retta generica r di equazione

Per determangolo zza relativa all’ipote

e

Dimost

Consideriamo il punto )y,x(P 00

0 . are la distanza PH possiamo considerare il cbyax =++triangolo rett

Ricordando ch

inDPC dove PH è l’alte nusa.

: DC

PCPDPH

⋅=

Troviamo le coordin . C ha la stessa ordina ssiam

ate dei punti C e D ta del punto P e po o ricavare l’ascissa sostituendo

y0 nell’equazione della retta

0cbyax 0 =++ → a

cbyx 0 +

−= quindi )y,cby

(C 00 +

− a

D ha la stessa ascissa del punto P e possiamo ric rdinata sostituendox nell’equazione della retta

→

avare l’o 0

0cby0 =++b

caxy 0 +

−= quindi )b

cax,x(D 0

0+

− . Calcoliamo ora ax

le misure dei segmenti PD, PC, DC

|a

cbyax||

acby

x|PC 0000

++=

++= |

b||

bcaxbycax

y|PD 0000

++=

++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++=

20

0

20

0 bcax

ya

cbyxDC →⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++ 0000

bcaxby

acbyax

2 2

→

→++

+++

2

200

2

200

b

)cbyax(

a

)cbyax(→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

222

00b

1

a

1)cbyax( →

+++

2200ba

|cbyax| 22

ba

2200 ba|ab|

|cbyax|+

++ →

+=

⋅=

a|ba

DCPCPD

PH sostituiamo nella relazione ++

+++

2200

000

ba|ab|

|cbyx

cbyaxcby

e semplificando otteniamo

⋅+0ax

22

00

ba

|cbyax|

+

++

Torna

220 ba|cby +⋅++0

0000

ax|

|b||b|

|cbyax||a|

|cbyax| ⋅|a|⋅

++⋅

++


bola di equazione

Dimostrazione: Regola dello sdoppiamento

cbxaxy 2 ++="Determinare l' equazione della retta tangente alla para

in un suo punto )y;x(P 1 " 1

iniamo cio di


Determ l' equazione del fas centro P )xx(myy 1 =−

l'equazione della parabola 1− e svolgiamo il sistema con

0ymxcx)mb(axymxmxcbxax)xx(myy 2211

−+⇒+−=++⇒⎪⎨⎧ −=−

cbxaxy11112 =−++

⎪⎩ ++=

l' equazione di II grado ammette due soluzioni coincidenti conIl punto P appartiene alla parabola , quindi

21 xx = .

Per la relazione esistente tra le soluzioni di un' equazione di II grado e i suoi coefficienti sappiamo che:

121 x2aa

mbbxx =

−−⇒−=+ ricaviamo m e otteniamo 1ax2bm += sostituiamo nell'equazione del

fascio di rette : )xx)(ax2b(yy 11 1 −+=− 12

111

la condizione di appartenenza di P alla parabola

bxbxax2axx2yy −+−=−

Consideriamo cbx12

1 ++ axy1 =

moltiplichiamo entrambi i membri per 2 e otteniamo c2bx2ax2y2 12

11 +=

Sommiamo membro a memb

+

ro 12

111 bxbxax2axx2yy −+−=− e c2bx2ax2y2 12

11 ++=

otteniamo c2bxbxaxx2yy 111 +++=+ raccogliamo b e dividiamo per 2 c2

xxbxax

2yy 1

11 +

++=

+

che è l’equazione per determinare la retta tangente in un punto appartenente alla parabola Torna

isse con i fuochi posti sull’asse delle ascisse

i fuochi artesiani

rtogonali, prendiamo sull’asse della x due punti

Dimostrazione: equazione dell’ell

Per determinare l’equazione generica dell’ellisse conull’asse delle ascisse, fissiamo un sistema di assi cs

o )0,c(F1 − e )0,c(F2

degli ass che sono disposti simmetricamente rispetto l’origine

i, prendiamo un punto y). Dalla definizione di ellisse possiamo ricavare che omma delle misure dei segmenti F1P e F2P deve essere co te poniamo questa costante uguale a 2a, cioè

generico P(x, la sstana2PFPF 21 =+ . Calcoliamo

la misura dei segmenti 22

1 y)xc(PF +−−= e 222 y)xc(PF +−= sostituiamoli

nella relazione a2PFPF 21 =+ e troviamo a2y)xc(y)xc( 2222 =+−++−−

Vogliamo scrivere ques n modo più semplice, isoliamo un radicale,eleviamo al quadrato e semplifichiamo i termini uguali

ta equazione dell’ellisse in u

2222 y)xc(a2y)xc( +−−=+−− → 2222222 y)xc(a4xc2xca4xc2xc +−−−++=++

222 y)xc(a4a4xc4 +−=−

dividiamo per 4 ed eleviamo nuovamente al quadrato

)yxc2xc(axca2acx 22222422 +−+=−+ → 224222222 acxxa +− caay −= →

)ca(aya)ca(x 22222222 −=+− poniamo 222 b)ca( =− e sostituiamo 222222 bayabx =+



dividiamo ambo i membri per 22ba e otteniamo l’equazione canonica dell’ellisse che ha il centro

nell’origine degli assi 1b

y

a

x22=+ con

22 +ℜ∈b,a 222 bac −= e

Se ricordiamo che la somma di due lati di un triangolo è sempre maggiore del terzotriangolo

, osservando il 21PFF possiamo scrivere:

c2FFPFPFa2 2121 =>+= c2a2 > ca > e da 222 bca =− ba >

Torna

Ricordiamo le equazioni del

Dimostrazione: ellisse traslata

Determiniamo l’equazione dell’ellisse traslata.

la traslazione di vettore ) ⎩⎨⎧

+=+=

qy'ypx'x

q,p(v da cui ⎩⎨⎧ −= p'xx

e sostituiamo −= q'yy

ll’ellisse 1b

y

a

x2

2

2

2=+i valori della x e della y così trovati nell’equazione canonica de ; troviamo allora

1ba 22

)q'y()p'x( 22=

−+

− che, eliminando gli apici, scriviamo così 1

b

)qy(

a

)px(2

2

2

2=

−+

− oppure,

svolgendo i calcoli, 22222 bpx(b −+2222 baba

222 a)qy2qy(a)px2=

−++ da cui

0baqapbqya2xpb2yaxb 222222222222 =−++−−+ che può essere semplificata sostituendo:

'ab2 = 'ba2 = 'cpb2 2 =− 'dqa2 2 =− 'ebaqapb 222222 =−+

si ottiene: 0'ey'dx'cy'bx'a 22 =++++ Quella trovata è un’equazione di secondo grado nelle variabmolto simile all’equazione circonferenza; la differenza tra lcoefficienti di x2 e y2 sono diversi tra loro.

Le coordinate del centro dell’ellisse traslata Vogliamo ricavare le coordinate del centro dell’ellisse trasla

precedenza:

ili x e y , mancante del termine in xy, e due è che nell’equazione dell’ellisse i

ta, riprendiamo le sostituzioni fatte in

'cpb2 2 =− , 'dqa2 2 =− , 'ab2 = , 'ba2 = ricaviamo 'a2'c

p −= e 'b2'd

q −= le coordinate

del centro di simmetria ll’ellisse traslata sono de ⎟⎠

⎜⎝

−−'b2

;'a2

'O

⎞⎛ 'd'c

Torna


Dimostrazione: equazione dell’iperbole

( ) ( ) ( ) ( ) a22cx2y2cx2ya22cx2y2cx2y ±=−+−++⇒=−+−++

T o membro adicale o ne ivorasportiamo al second il r con segn gat ed eleviamo entrambi i membri al

uadrato. q

( ) ( ) ( ) ( )2

a22cx2y2

2cx2ya22cx2y2cx2y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±−+=++⇒±−+=++

( )2cx2ya42a4cx22c2x2ycx22c2x2y −+±+−++=+++ Svolgendo i quadrati otteniamo


( ) ( )2cx2ya2acxcxya4a4cx4 −+±=−⇒−+±=

drato e otteniamo

222

Eleviamo nuovamente entrambi i membri al qua

xca2xayxccx2cxyacxa2axc ⎟⎠

⎜⎝

22c2a2222acx2a24a22 −++=−+⇒−++=−+ 22222422 ⎞⎛

⎟⎠⎝⎠⎝⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ −+=−− 2a2c2a2y2a2x2a2c Essendo 2b2a2c2a2cac =−⇒>⇒> otteniamo

dividendo per 2b2a otteniamo l’ equazione 12b

2

2a

2

yx=−

Torna

2222yaxb=−

fica

ne dell’iperbole equilatera

ferita ai propri asintot

Dimostrazione: funzione Omogra

Consideriamo l’equazioi kxy = . ri

Prendiamo il punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

ca

;cd

O1 e applichiamo una

traslazione di vettore ⎟⎞⎛ ad

⎠⎝ cc⎜− ;t . Le equazioni

ella traslazione sono: d

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

⎪

⎪⎪⎨

⎧ +=⇒

−= dXx

acdxX

⎩⎪⎩−=+=

caYy

c

cyY

ostituiamo nell’equazione dell’iperbole e otteniamo: S

( ) 2kcadaXdcXY2kcaddYaXcXYkcaY

cdX ++=+⇒=−+−⇒=−+ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎛

⎝Poniamo

bkc2 =+ Otteniamo ( )dcXbaX

YbaXdcXY++

=⇒+=+ equazione della funzione omografica.

Torna

ad

(Iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi)


Dimostrazione: iperbole equilatera riferit


a ai propri asintoti

Vogliamo determinare l’equazione dell’ iperbole equilatera con semiasse

asverso

tr a e con semidistanza focale uguale a 2a , avente come asintoti gli assi cartesiani e come asse trasverso la bisettrice del I e III quadrante.

celi I triangoli rettangoli isosOAFFHO∧ sono congruenti2

OAFFHO 2≅ .

2aOFOF

aFHOHOA ==≅

2 =≅

Possiamo dedurre che le coordinate dei fuochi sono )a;a(F)a;a(F 1 −−∧

Per definizione di Iperbole co pun curva tale c e nsideriamo un to P(x;y) appartenente alla h

a2PFPF 1 =− ( ) ( ) ( ) ( ) a2ayaxayax 2222 =+++−−+−

Svolgendo i calcoli si ottiene 2

axy

2= Se consideriamo l’iperbole appartenente al II e al IV qua

pplicando il medesimo ragionamento si ottien

drante,

e 2

axy

2−= a

2a

k2

= kxy = , con k costante positiva o negativa rappresenta l’equazione dell’iperbole

Torna

Poniamo

equilatera riferita ai propri asintoti.

Dimostrazione: iperbole traslata

Data l’equazione

1b

)yy(

a

)xx( −2

20

2

20 =

−−

Sviluppando i calcoli si ottiene

0bayya2yayaxxb2xbxb 220

220

2220

220

222 =−+−−−+

Poniamo 2220

220

210

2222 ya2dxb2cabba ∧=∧−=∧=∧= 10111 bayaxbe −−=

sostituiamo e otteniamo 0eydxcybxa 1112

12

1 =+++− equazione dell'iperbole traslata

recedenti e sono: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

b2d

;a2c

'OLe coordinate del centro O1 si determinano dalle condizioni p cioè

1

10

1

10 b2

dy

a2c

=∧−=

Torna

x



zione

CostruiamoPrendiamo ll’asse y i due vertici B (0;b) e B1(0; non reali. Inviamo da ess ue rette parallele all’asse x che, intersecano le due rette

i nei punti D ,G,E.

triangolo ret ngolo O V2D. Applichiamo il Teorema di Pitagora

Approfondimento: Fuocodell’iperbole

Analizziamo il significato geometrico di questa rela

il rettangolo DCGE. su-b)

i d

parallele all’asse y passanti per i verticreali V1 e V2, ,C Consideriamo la diagonale DG e la semi diagonale OD, otteniamo il

ta

2b2a2OD

2D2V22OV2OD +=

+=

possiamo concludere che: 22 cOD = , quindi c è la misura della metà diagonale del

o.

Torna

rettangol

E–Matematica Formulario


FORMULARIO

disequazione di I grado in senso stretto disequazione di I grado in senso largo disequazione di II grado

Disequazioni

baxbax <∨> baxbax ≤∨≥

0cbxax >++ con 0a ≠ 2

0)x(A>

)x(disequazione fratta. Per risolverla studio il segno

stema di disequazioni. Soluzione intersezione delle soluzioni

Se a concorde con il verso della disequazione, soluzioni esterne all’ ntervallo delle radici Se a discorde con il verso della disequazione, soluzioni esterne all’intervallo delle radici

B

⎩⎨⎧

<+≥+

0dcx0bax

Si

Disequazioni di secondo grado

0>Δ 0cbxax2 >++ 1 xxx >∧< 2x 0a >

0a >0<Δ 0cbxax2 <++ 21 xxx <<

a2b

x −≠ Se a concorde con il verso della disequazione, è verificata per qualsiasi valore di x, escluso il valore che verifica l’equazione

,Rx∈∀0=Δ 0cbxax2 >++ 0a >

0=Δ Se a discorde con il verso della disequazione, non ammette nessuna soluzione Se a concorde con il verso della disequazione, è

0a >0 cbxax2 <++ Rx∈∃

0<Δ 0cbxax >++ verificata per qualsiasi valore di x.

0<Δ 2

2 Rx∈∀ 0a >

0cbxax <++ Rx∈∃ Se a discorde con il verso della disequazione, non ammette nessuna soluzione

isequazioni con modulo

0a >

D+∈< Rk,k)x(f k)x(fk <<− cioè

⎩⎨⎧

−><

k)x(fk)x(f

+∈> Rk,k)x(f k)x(fk)x(f >∨−<


Se indice dispari )x(g)x(f)x(g)x(f nn <∨> [ ][ ]nn

nn

)x(g)x(f)x(g)x(f

)x(g)x(f)x(g)x(f

<⇒<

>⇒>

Se indice pari )x(g)x(fn <

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>≥

n)x(g)x(f

0)x(g0)x(f

Se indice pari )x(g)x(fn >

⎩⎨⎧

<≥

0)x(g0)x(f

v

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≥≥

n)x(g)x(f

0)x(g0)x(f



etta Piano cartesiano e r

⎟⎠⎞

⎜⎝ 22⎛ ++ yy

,xx

M BABA Coordinate del punto medio di un segmento

Distanza tra due punti2BA

2BA )yy()xx()AB(d −+−=

3xxx

x CBAG

++=

3yyy

y C BA ++=

triangolo G

Coordinate del baricentro di un e

0y = Equazione asse delle ascisse

Equazione retta parallela all’asse delle ascisse

Equazione retta parallela all’asse delle ordinate

0x = Equazione asse delle ordinate

hy =

k= xxy = Equazione bisettrice del I e III quadrante

xy −= Equazione bisettrice del II e IV quadrante

form

0cbyax =++ Equazione canonica della retta

qmxy += Equazione retta in a esplicita

mxy = Equazione retta che passa per l’origine degli assi

0b;b

m ≠−= a Coefficiente angolare

0b;bc

q ≠−= ineOrdinata all’orig

mxy

xx

y Qy

QP

P =ΔΔ

=−

− lare

o con coefficiente angolare

Coefficiente ango

Equazione retta per un puntdato

000 y)xx(my +−=

1212 xxyy −=

− 11 xxyy −− Equazione della retta passante per due punti

12

13

12

13

xx

xx

yy

yy

−

−=

−

−

Condizione allineamento di tre punti

o Condizione di parall lismo tra le due rette 'mm = 0b'a'ab = − e

'm1

−= o o Condizione di perpendicolarità tra le due rette

) Equazione asse del segmento

1'mm −= 0'bb'aa =+ m

( ) ( ) ( )222 ( 222 yyxxyyxx −+−=−+− 11

2222 'b'a

'cy'bx'a

ba

cbyax

+

++±=

+

++

Equazione bisettrice

2200

ba

|cbyax|d

+

++= o

1m

|qymx|d

20

+

+−=

Distanza di un punto da una retta


Circonferenza

0cbyax2y2x =++++ con a,b,c

Equazione canonica della circonferenza

222 r)y()x( =β−+α− Equa a zione della circonferenz

);(C βα o ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

2b

,2a

C Coordinate del centro della circonferenza

c2b

2a

r22−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞⎛= Raggio della circonferenza ⎜

⎝−

0c2yy

b2xx

ayyxx PPPP =+

++

+++ Equa punto appartenente alla

circonf

Para ola con asse parallelo all’asse dell

zione retta tangente in un erenza (regola sdoppiamento)

b e ordinate

cbxaxy 2 ++= Equazione della parabola

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−−

a4;

a2b

V Coordinate del vertice

a2b

x −= Equazione asse di simmetria

a41

yΔ+

−= Equazione de direttrice lla

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−−

a41

;a2

bF Coordinate del fuoco

2axy = Equazione pa con vertice nell’origine degli assi rabola )0;0(V

bxaxy 2 += Equazione parabola che passa per origine degli assi Equazione p arabola con asse di simmetria asse delle ordinate, vertice

caxy 2 += )c;0(V

c2

xxbxax

2yy 1

11 +

++=

+ Equazione retta tangente in un punto appartenente alla parabola

1ax2bm += Coefficiente

Parab con asse arallelo all’asse dell

angolare della retta tangente

ola p e ascisse

cbyayx 2 ++= Equazione della parabola

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ−

a2b

;a4

V Coor inate del vertice d

a2b

y −= Equazione asse di simmetria

a41

xΔ+

−= Equazione della direttrice

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ−a2

b;

a41

F Coordinate del fuoco

2ayx = Equazione parabola con vertice nell’origine degli assi )0;0(V

byayx 2 += Equazione parabola che passa per origine degli assi

cayx 2 += Equazione parabola con asse di simmetria asse delle ascisse, vertice



)0;(cV

c+ Equazi2

yybxax

2xx 1

11 +

+=+

o nte alla parabola

Elisse fuochi sull’asse delle as

ne retta tangente in un punto appartene

con i cisse

1b

y

a

x2

2

2

2=+ con 222 bac −= , a>b e +ℜ∈b Equazione canonica dell’ellisse

)0,ba(F 221 −− e )0,ba(F 22

2 −

Coordinate dei fuochi

c2FF 21 = Distanza focale

a2AA 21 = Asse maggiore

b2BB 21 = Asse minore

)0,a(A1 − , )0,a(A2 , )b,0(B2 − e )b,0(1 CB oordinate dei vertici

aba

ac

e22 −

== con 1e0 << Eccentricità

1b

yy

a

xx2P

2P =+ zione retta tangente formula dello

sdoppiamento Equa

1b

)qy(

a

)px(2

2

2

2=

−+

− o 0edycxbyax 22 =++++ Equazione ellisse traslata

)q;p(O o ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

b2d

;a2c

'O Coordinate del centro

Ellisse con i fuochi sull’asse delle ordinate

1b

y

a

x2

2

2

2=+ con 222 abc −= , a<b e +ℜ∈a Equazione canonica dell’ellisse


)ab,0(F 221 −− e )ab,0(F 22

2 − Coordinate dei fuochi

c2FF 21 = Distanza focale

b2BB 21 = Asse maggiore

a2AA 21 = Asse minore

)0,a(A 1 − , )0, , )b,0(B2 − e )b,0(1 CoorA2 a( B dinate dei vertici

b

abbc

e22 −

== Eccentricità con 1e0 <<

1 b

yy

a

xx2P

2P =+ Equazione retta tangente formula dello

ento sdoppiam

1b

)qy(

a

)px(2

2

2

2=

−+

− o 0edycx =+++ Equbyax 22 + azione ellisse traslata

)q;p(O o ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

b2d

;a2c




Iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse

1b

y

a

x2

2

2

2=− Equazione canonica dell’iperbole

)0,a(A1 − , )0,a(A2 Coordinate dei vertici

)0,ba(F 22 +− e )0,ba(F 22 + 1 2


c2FF 21 = con c>a Distanza focale

a2AA 21 = Asse trasverso

b2B21 = Asse non trasverso B

xab

y ±= Asintoti

aba

ac

e22 +

== Eccentricità con 1e >

1b

yy

a

xx2P

2P =− Equazione retta tangente formula dello

nto sdoppiame

1b

)qy(

a

)px(2

2

2

2=

−−

− o 0edycxbyax 22 =+++− Equazione iperbole traslata

)q;p(O o ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

b2d

;a2c


Iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate

1ba 22yx 22

−=− o 1ab 22yx 22

=− Equazione canonica dell’iperbole

)0,a(A1 − , )0,a(A2 Coordinate dei vertici

)b2 e a;0(F 21 +− )b2 a;0(F 2

2 +


c2FF 21 = con c>a Distanza focale

a2AA 21 = sverso Asse tra

b2BB 21 = Asse non trasverso

xab

y ±= toti Asin

aba

ac

e22 +

== con 1e > Eccentricità

1b

yy

a

xx2P

2P −=− Equazione retta tangente formula dello

sdoppiamento

1b

)qy(

a

)px(2

2

2

2−=

−−

− o 0edycxbyax 22 =+++− Equazione iperbole traslata

)q;p(O o ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

b2d

;a2c




Iperbole equilatera 222 ayx =− Equazione dell’iperbole equilatera

)0,2a(F1 − e )0,2a(F2


xy ±= Asintoti

2= Eccentricità ekxy = Equazio quilatera riferita ai propri

asintoti ne dell’iperbole e

( ) ( )k2;k2Fk2;k2F 21 −−∧ con k>0

( ) ( )k2;k2Fk2;k2F 21 −∧− con k<0 Coordin

ate dei fuochi

dcxbaxy

++= con 0bcad0c ≠−∧≠ Funzione Omografica

E–Matematica Glossario

GLOSSARIO


A

......... ...........................................

AsintoI grafi alcune funzioni si estendonchiamate asintoti, che godono della proprietà di essere “tangen a all’infinito”. Si dice che una retta r è un r

grafico della funzione che si estende all’infinito , detto P un punto del grafico la sua proiez ne

rtogonale sulla retta, la distanza PH nde a zero al tendere di P all’infinito,

ioè al tendere all’infinito di almeno na delle coordinate di P. ’unica conica con asintoti è l’iperbole. ’asintoto, in questo caso, può essere efinito come elemento di separazione a l’insieme delle rette secanti passanti er il centro dell’iperbole e l’insieme elle rete esterne passanti per lo stesso entro.

sse del segmento 'asse di un segmento è la retta ortogonale al segmento che passa per il suo punto medio. 'asse di un segmento è il luogo dei punti che hanno uguale distanza dagli estremi del segmento.

sse radicale una retta che passa per i due punti di intersezione di due circonferenze ed è perpendicolare alla retta he unisce i centri delle due circonferenze

.......................................................................................................................................

aricentro baricentro di un triangolo è il punto di intersezione delle sue mediane, cioè dei segmenti che niscono ciascun vertice con il punto medio del lato opposto. Per ogni triangolo il baricentro è un suo unto interno e ciascuna delle tre mediane viene divisa dal baricentro in due parti in rapporto 2:1. vvero, il baricentro di un triangolo qualsiasi divide ciascuna mediana in due parti, a 2/3 della sua nghezza a partire dal vertice.

isettrice isettrice è il nome dato a un piano o linea o anche segmento, utilizzati per la bisezione di un'entità eometrica, come una retta o un angolo, in due parti uguali; in particolare, la bisettrice di un angolo è semiretta che divide l’angolo in due settori congruenti.

.. ............

................... ......................................

o all’infinito

..............

to ci di , per questi grafici possono esistere delle rette,

ti alla curv

asintoto peil

quando e H io

otecuLLdfrpdc ALL AÈc B

.. BIlupOlu BBgla



È anche definita comincidenti, si hanno

e il luogo dei punti del piano equidistanti da una coppia di rette. Se queste sono due bisettrici perpendicolari fra loro; se, invece, sono parallele, si avrà allora

n'unica bisettrice anch'essa parallela alle due e ivi compresa a metà strada.

.......................................................................................................................

se esiste, degli assi di simmetria della figura stessa. te da ciascun punto della linea chiusa.

ntro di una circonferenza sono

u C

.................. Centro In una figura piana è il punto d’incontro ,Nella circonferenza è il punto equidistan

In geometria analitica le coordinate del ce )2b

;2a

(C −−

vità verso il basso quando, tracciando una qualunque ncavità verso l’alto quando, tracciando una qualunque

e

ando hanno lo stesso segno. Per imporre che due numeri e il loro prodotto sia positivo

etria analitica la condizione necessaria e sufficiente perché un punto appartenga ad un luogo ssa e l’ordinata del punto, sostituite rispettivamente al posto della x e della y

ue rette r e r' perpendicolari tra loro e non parallele agli assi. Le loro equazioni, in

Concavità Diremo che una curva presenta una concatangente la curva si trova sotto la tangenteDiremo che una curva presenta una cotangente la curva si trova sopra la tangent Concordi Due numeri a e b si dicono concordi quincogniti siano concordi basta imporre ch Condizione di appartenenza

geomInf(x;y) = 0 è che l’ascinell’equazione del luogo, rendano vera l’equazione.

ondizione di perpendicolarità CConsideriamo dforma esplicita, saranno rispettivamente:

qmxy:r += 'qx'my:'r +=

dove m, m' sono discordi; le relazioni: 1'mm −=⋅ o m1

'm −=

esprimono la condizione di perpendicolarità tra rette in forma esplicita. Se le equazioni delle due tte sono in forma implicita, la condizione di perpendicolarità può scriversi nel modo seguente:

aa' + bb' = 0

a la curva ottenuta dall'intersezione di

Se l’angolo è

re

Conica Si definisce conicuna superficie conica indefinita a due falde con un piano. Indichiamo con • l’angolo formato dal piano che interseca la superficie conica con l’asse di simmetria s. Le diverse inclinazioni del piano, cioè il variare dell’ampiezza dell’angolo •, generano le diverse co niche. • °<β<α 90 allora la curva che si ottiene

dall'intersezione del piano con superficie conica indefinita a due falde è una curva chiusa chiamata ellisse.


• Se l’angolo °=β 90 cioè se il piano è perpendicolare all'asse della superficie conica indefinita a due falde, si ha una circonferenza.

• Se α=β allora si ottiene una curva illimitata chiamata parabola.


• Se l’angolo è αβ <<°0 si ottiene una curva composta da due rami illimitati, chiamata iperbole. toricamente lo studio delle coniche risale ai Greci che le studiarono, secondo la loro tradizione,

lizzando dei metodi esclusivamente geometrici, cioè come intersezioni di coni (o di cilindri che si

di studiare le n un modo del tutto diverso e molto più semplice.

nte una del tipo

Sutipossono pensare coni con il vertice all'infinito) con piani. Oggi l'utilizzo delle coordinate cartesiane, e quindi di metodi algebrici, ci permetteconiche iSi può dimostrare che nel piano cartesiano una conica può essere rappresentata mediagenerica equazione di secondo grado in x,y, e viceversa che una equazione

0feydxcybxyax 22 =+++++ di cui almeno uno dei tre coefficienti a, b, c è diverso da zero

'espressione

rappresenta una conica.

ac4b2 −L viene detto discriminante della conica.

Se 0ac4b2 >− si avrà un’iperbole.

Se 0ac4b2 <− si avrà un’ellisse.

Se 0ac4b2 =− si avrà una parabola. Continua

la mancanza di interruzioni, pause, lacune di ordine spaziale o temporale. In matematica

ei punti di una qualsiasi retta l’insieme p dei punti di un qualsiasi piano.

D

.............. ............ .....................................

il pporto fra le distanze da F e da d è costante per tutti i punti P della conica.

ario. Per imporre che due numeri incogniti

a sotto radice nella formula risolutiva

econdo gr

In italiano èè una proprietà che caratterizza da una parte l’insieme R dei numeri reali (a differenza dei razionali, che sono un insieme “discreto” cioè con lacune) e dall’altra l’insieme r de

Corrispondenza biunivoca È una relazione tra due insiemi A e B tale che ad ogni elemento di A corrisponde un e un solo elemento

i B e viceversa d

................................................................ ....... ... Direttrice Data una conica C e uoco F, si chiama direttrice relativa ad F la retta d tale chefissato un suo fra Discordi Due numeri a e b si dicono discordi se hanno segno contrsiano discordi, basta imporre che il loro prodotto sia negativo Discriminante – Delta - Δ Si definisce discriminante o Δ (delta) il termine che si trov

de l'equazione di s ado la2

x 2,1 = con b=Δ

ossono aver tre situazioni:

b Δ±−.

Si p

ac42 −



- i zero in tal caso si avranno due soluzioni reali e inte

al

il discriminante e' maggiore d 0ac4b2 >−=Δdist

- il discriminante e' ugu e a zero 0ac4b2 =−=Δ , in tal caso le due radici sono reali e coincidenti;

si ha una soluzione la doppia che vale a2b

x 2,1−

= ; l’equazione di secondo grado è il quadrato di un

binomio - il discriminante e' minore di zero 0ac4b2 <−=Δ in tal caso l’equazione non ammette soluzioni

reali

Una disequazione è unaDisequazione

disuguaglianza tra due espressioni, almeno una delle quali contenga una o terali. Riso rminare, se esistono, i valori numerici le lette

a disequazi i frazioni che vi compaiono non hanno denominatori tenenti var

ue disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni, cioè se i numeri che a la prima disuguaglianza sono gli stessi che rendono vera la seconda

o 1. i utilizza l’aggettivo “lineare” per descrivere funzioni il cui grafico corrisponde ad una retta in uno

econda del numero di incognite che vi compaiono

a distanza tra due punti è il segmento che li congiunge. La distanza di una punto da una retta o da un iano è la lunghezza del segmento avente per estremi il punto dato e la proiezione ortogonale del unto sulla retta o piano.

geometria analitica la distanza punto retta è data da

più variabili let lvere una disequazione significa deteche, sostituiti al re, rendono vera la disuguaglianza. Un one è intera se le eventualcon iabili Disequazioni Equivalenti Drendono ver Disequazione Lineare Una equazione o una disequazione è detta lineare quando è di primo grado, cioè quando tutti i monomi che vi compaiono sono al più di gradSspazio a due o più dimensioni a s Distanza Lpp

rba

|cbyax|d

22PP =

+

++= dove )y,x(P PPIn e

0cbyax =++ equazione retta.

tante tra la distanza di un punto della dello stesso punto dalla direttrice. Per l'ellisse la definizione può essere

E

......................................................................................................................................... Eccentricita’

una qualunque conica, viene detta eccentricità il rapporto cosInconica dal fuoco e la distanza

espressa tramite la seguente formula 2

2b1e −= . Normalmente è espressa dalla formula

aa

ce = , dove a

rappresenta il semiasse maggiore e la dista c rappresenta nza focale. ite in base alla loro eccentricità: Le coniche possono essere defin

• Se 1e0 << la curva è un’ellisse. • Se 0e = la curva è una circonferenza. • Se 1e = la curva è una parabola. • Se 1e > la curva è una iperbole.



quazione na delle due co

’equazione significa determinare se esistono, i valori numerici che rendono vera

EspInsie e e/o numeri legati fra loro da segni di operazioni.

EUguaglianza fra due espressioni, almeno u ntenente una o più variabili. Risolvere unl’uguaglianza

ressione me di letter

F

......................................................................................................................................... Fascio di rette Fascio di rette proprio è l'insieme di tutte le rette che passano per un punto )y;x(R 00 detto centro del

fascio. )xx(myy 00 −=− L’equazione del fascio è

Fascio improprio un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente angolare, cioè sono tutte parallele Kxmy 0 += Fuoco

Per una qualunque conica C, si dice fuoco un punto F del suo piano tale che per ogni punto P di C sia costante il rapporto tra la distanza di P dal fuoco F e quella da una retta fissa detta direttrice. L'ellisse e

.................................. Grado

a degli esponenti delle lettere che lo compongono. i dice grado di un polinomio il massimo dei gradi assoluti dei monomi che lo costituiscono. ata un’equazione (disequazione) f=0 dove f è un polinomio, si dice grado dell’equazione isequazione) il grado del polinomio f

afico di una funzione rafico di f(x) il

P(x,f(x)), con x elemento del dominio, in un piano riferito ad un sistema di assi

l'iperbole hanno due fuochi, che coincidono nel caso della circonferenza. La parabola ha un solo fuoco. I fuochi sono sempre interni alla conica. G

................................................................................................... ....

Si dice grado di un monomio la sommSD(d GrData una funzione f definita da A in B e di espressione analitica y = f(x), si definisce gluogo dei punticartesiani ortogonali xOy.


I

.........................................................................................................................................


itivo che può essere pensato come una collezione o aggregato di oggetti, con la e un oggetto appartiene o no alla

e si dice finito, altrimenti si dice finito. Generalmente un insieme si indica con una lettera maiuscola.

a teoria degli insiemi fu creata dal matematico Georg Cantor studiando i numeri reali, in particolare relazione al problema di stabilire quanti essi siano. Il linguaggio degli insiemi è divenuto uno umento importante per tutte le branche della matematica. Il concetto d’insieme è quanto di più mentare si riesca a immaginare e funziona benissimo come “mattone” fondamentale per la

concetto d’insieme era però già noto in precedenza, per esempio i greci ne usavano alcune icipazioni si trovano nei lavori di Galileo Galilei.

allo ell’insieme dei n ri reali. Un intervallo può essere chiuso, se contiene i

allo è min

.............................................................

uogo dei punti na figura F si dice luogo geometrico dei punti che godono di una proprietà P se sono verificate le

uenti due condizioni: • tutti i punti della figura godono della proprietà

bolo I, sono tutti quei numeri decimali illimitati che non frazione. Si tratta di numeri decimali illimitati aperiodici. Sono numeri

numeri naturali, rappresentati con il simbolo N, sono conosciuti come “i numeri per contare”, sono i umeri 0,1,2,3, … . I primi numeri, storicamente, ad essere stati usati dall’umanità. Sono numeri interi

enza segno. L’insieme di tutti i numeri naturali si indica N (iniziale di Naturali), i numeri naturali

Numeri razionali I numeri Razionali, rappresentati con il simbolo Q sono quei numeri esprimibili come risultato di una divisione tra interi, e dunque rappresentabili come frazioni

nsieme I

Concetto primcondizione che sia sempre possibile determinare senza ambiguità s

ollezione. Se gli elementi sono in un numero limitato l’insiemcinLinstrelecostruzione di ogni altro concetto matematico. Iloperazioni e altre ant IntervSottoinsieme non vuoto d umesuoi estremi, aperto se non contiene i suoi estremi, chiuso a destra, se dei suoi estremi contiene solo quello destro. Un intervallo si dice limitato se esistono due numeri, h e k, tali che ogni elemento dell’interv ore di h e maggiore di k L

.......................................................................... .. LUseg

• se un punto gode della proprietà P allora esso appartiene alla figura F N

......................................................................................................................................... Numeri irrazionali

numeri Irrazionali, rappresentati con il simI possono essere trasformati inirrazionali il numero e di Nepero e il numero Pi greco Numeri naturali I nssono infiniti.



all’unione dei Q (numeri esprimibili come risultato di una divisione tra interi, e dunque rappresentabili

.............................................................

ecrescente. E’ una legge er la quale se una grandezza di misura x raddoppia, triplica, quadruplica, l’altra grandezza di misura y

iventa un terzo, un quarto.

Numeri reali numeri Reali, rappresentati con il simbolo R, sono un insieme numerico formato dI

Razionali come frazioni) e degli Irrazionali (numeri non razionali, e dunque non derivanti dal rapporto tra due interi). Ulteriori sottoinsiemi dei reali sono l’insieme dei numeri Naturali N e l’insieme dei numeri Interi Z. P

............................................................................Proporzionalita’ Inversa La proporzionalità inversa esprime una relazione tra due grandezze di tipo dpsi dimezza, d

Questa legge è espressa dalla seguente equazione: kyx = . Nel piano cartesiano il suo grafico è un’iperbole equilatera che ha come asintoti gli assi cartesiani e come centro di simmetria l’origine degli assi. Proprietà delle disuguaglianze

e hai una qualsiasi disuguaglianza A<B o A>B puoi conservareS la disuguaglianza, cioè mantenere e tra i due membri, se effettui una delle seguenti operazioni:

• addizionare o sottrarre ad entrambi i membri lo stesso numero (se A>B allora A+C>B+C e A-

• moltiplicarli entrambi per uno stesso numero maggiore di zero (se A>B e C>0 allora AxC>BxC) trambi per uno stesso numero maggiore di zero (se A>B e D>0 allora A:D>B:D)

l’ordin

C>B-C)

• dividerli enPuoi invece invertire la disuguaglianza, cioè invertire l’ordine tra i due membri, se effettui una delle seguenti operazioni:

• moltiplicare entrambi i membri per uno stesso numero minore di zero (se A>B e C<0 allora

ividere entrambi i membri per uno stesso numero minore di zero (se A>B e D<0 allora A:D<B:D)

adicale adicale di un numero reale a, scritto com

AxC<BxC) d R

......................................................................................................................................... R

e n aLa radice n-esima o r , è un numero reale b tale che bn = a.

aggio , si dice raggio uno qualsiasi degli infiniti segmenti congruenti che congiungano

Dove n si dice indice del radicale e a radicando • Se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero. • Se la radice ha indice dispari il radicando può essere un numero reale qualsiasi RIn una circonferenzaun punto qualsiasi dalla circonferenza con il centro della circonferenza stessa. In geometria analitica

la misura del raggio è data da c22

r −⎟⎠

⎜⎝−+⎟

⎠⎜⎝−=

ba 22⎞⎛⎞⎛



amo di una curva un tratto di curva descritto con continuità da un punto. Si dice, ad

primibili come risultato di una divisione tra interi, e dunque rappresentabili come frazioni) degli Irrazionali (numeri non razionali, e dunque non derivanti dal rapporto tra due interi). Ulteriori ottoinsiemi dei reali sono l’insieme dei numeri Naturali Ν e l’insieme dei numeri Interi Z

etta esterna a retta r si dice esterna rispetto ad una conica C se non ha punti reali comuni con essa.

stesso piano si dicono parallele se non hanno punti in comune. In

o equi lentemente ortogonali, se intersecandosi

torno d un perno, detto asse di rotazione. Si può definire analogamente una rotazione di un corpo nel iano: in questo caso il perno è un punto, detto centro della rotazione. i dice rotazione di centro O e ampiezza •, assegnata, la trasformazione che mantiene fisso il punto O,

tto centro, e associa ad ogni punto P del piano, distinto da O, un punto P’ tale che la distanza OP sia

RSi chiama ramoesempio, che l’iperbole è costituita da due rami. Reali I Reali, rappresentati con il simbolo ℜ, sono un insieme numerico formato dall’unione dei Razionali Q (numeri eses RUn Rette parallele Due rette appartenenti allo geometria analitica due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare. Rette perpendicolari Due rette nel piano si dicono perpendicolari, vaformano quattro angoli uguali, tali angoli si dicono retti. In geometria analitica due rette sono perpendicolari se il coefficiente angolare di una è uguale

ll’antireciproco di quello dell’altra. a Retta secante Si chiama secante di una conica una retta che ha in comune con la conica due punti distinti. Precisamente una retta r seca una curva C in un punto P, se P è un punto comune ad r e a C se con P non coincidono altri punti comuni ad r e a C Retta tangente

unti Una retta r si dice tangente in un punto P ad una conica C se, r e C hanno in comune due pcoincidenti. Una retta r può essere tangente ad una curva (diversa da una conica) in un punto P se in quel punto ha con la curva due punti coincidenti comuni (si dice anche un contatto del secondo ordine), ma può essere anche secante in un punto Q. Rotazione

a rotazione di un corpo nello spazio è un movimento rigido avente una traiettoria circolare inLapSde

uguale alla distanza OP’ e che l’angolo ∧

'POP sia congruente a •. L’angolo • può essere positivo o egativo e può assumere ogni valore reale. La rotazione di centro O e ampiezza • si indica con il n

simbolo ),O(R α .

ono simmetrici rispettoalla retta r e se il segmento AB è perpendicolare alla retta stessa. Si chiama simmetria assiale, di retta r,

S

......................................................................................................................................... Simmetria assiale Due punti distinti A e B si dic ad una retta r se il loro punto medio appartiene


la trasfo


rmazione del piano in sé che ad ogni punto del piano associa il suo simmetrico rispetto alla

llineamento fra i punti, la distanza e il parallelismo

etria centrale

Distanza

rale è ottenuta dalla composizione di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari.

ne in una variabile è il valore che sostituito al posto della variabile

.......................................................................................................................................

lente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti:

retta r. In una simmetria assiale tutti i punti dell’asse di simmetria sono punti uniti nella trasformazione. Una simmetria assiale conserva l’a Simm“Si dice simmetria di centro O la corrispondenza che ad ogni punto del piano associa un altro punto P’ dello stesso piano, tale che il segmento PP’ abbia O come suo punto medio” La simmetria centrale è una trasformazione isometrica. Le proprietà invarianti di tale trasformazione sono:

Angoli Parallelismo.

La simmetria cent Soluzioni Soluzione di un’equazionell’equazione la trasforma in un’identità (uguaglianza vera). Soluzione di un’equazione in n variabili è un’n-pla di valori che sostituiti ordinatamente alle n variabili trasformano l’equazione in un’uguaglianza vera T

.. Teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo BAC, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equiva

222 ACABBC += da cui

22

ACABBC += ;

22

ABBCAC −= ;

22

ACBCAB −=

Teorema di Talete

Un fascio di rette parallele, secante due trasversali, determina su di esse classi di segmenti direttamente proporzionali.

HG:IHKD:JK =



a traslazione è una trasformazione isometrica del piano o dello spazio, avente come invarianti:

tenuta dalla composizione di due simmetrie assiali ad assi paralleli.

triangoli che hanno fondamentalmente la stessa forma ma dimensioni diverse si chiamano triangoli imili.

i sono simili se hanno lo stesso numero di lati, gli angoli corrispondenti congruenti e i lati

.......................................................................................................................................

lore Assoluto valore assoluto di un numero è il numero stesso privato del segno.

Traslazione Si dice traslazione una trasformazione geometrica in cui due punti si corrispondono se il segmento che li unisce è congruente ed equiverso ad un segmento orientato dato, detto vettore di traslazione. L

Distanza Angoli Parallelismo Orientamento dei punti.

La traslazione è ot

ngTria oli simili Due triangoli che hanno gli angoli congruenti o i lati in proporzione si dicono simili. I sDue poligoncorrispondenti proporzionali. V

.. VaIl Dato un generico numero relativo il suo valore assoluto si indica con a .

Esempi: 33 =+ 55 =−

Più in generale 0aaa >⇒= 0aaa <⇒−=

Variabile Quantità non conosciuta, in abeto, che può assumere tutti i valori numeri appartenenti ad insieme numerico Vertice Il vertice di una parabola è il punto d’intersezione della parabola con il suo asse di simmetria. Il vertice è il punto equidistante dal f oco e dalla direttrice. Se la parabola ha l’asse di simmetria parallelo

all’asse delle y e la sua equazione è

dicata con una delle ultime lettere minuscole dell’alfci un dato

u

cbxaxy 2 ++= ha coordinate ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−−

a4;

a2b

, se la parabola ha

elle x e la sua equazione è cbyayx 2 ++=l’asse parallelo all’asse d il vertice ha coordinate

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ−

a2b

;a4

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