Filosofia della matematica… matematica della filosofia.

Filosofia della Filosofia della matematica…matematica…matematica della filosofiamatematica della filosofia

Matematica in letteraturaMatematica in letteratura

““La vita, istruzioni per l’uso”La vita, istruzioni per l’uso” di Georges Perec. di Georges Perec.In questo romanzo Perec racconta come in un istantanea la vita di In questo romanzo Perec racconta come in un istantanea la vita di alcune persone che abitano in un condominio con 100 appartamenti: alcune persone che abitano in un condominio con 100 appartamenti: 10 piani con 10 appartamenti per piano. Supponendo che ad ogni 10 piani con 10 appartamenti per piano. Supponendo che ad ogni azione o situazione della vita di tali persone corrispondano ad azione o situazione della vita di tali persone corrispondano ad esempio delle lettere e dei numeri, si osserva che il condominio esempio delle lettere e dei numeri, si osserva che il condominio 10x10 è una quadrato alfanumerico: infatti sulla medesima riga o 10x10 è una quadrato alfanumerico: infatti sulla medesima riga o colonna non compare mai due volte la stessa lettera o lo stesso colonna non compare mai due volte la stessa lettera o lo stesso numero. Perec era membro di una associazione di cui facevano parte numero. Perec era membro di una associazione di cui facevano parte letterati che s’interessavano di matematica e viceversa matematici letterati che s’interessavano di matematica e viceversa matematici interessati di letteratura, l’ interessati di letteratura, l’ OuLiPo, OuLiPo, Ouvrois de Littérature Potentielle.Ouvrois de Littérature Potentielle.

““La disparition”,La disparition”, lipogramma di Georges Perec. lipogramma di Georges Perec. È interessante osservare come in tutto il romanzo, che supera le È interessante osservare come in tutto il romanzo, che supera le trecento pagine, non faccia mai uso della lettera “e”. La cosa trecento pagine, non faccia mai uso della lettera “e”. La cosa divertente è che prima che si capisse a cosa si riferiva il titolo, la divertente è che prima che si capisse a cosa si riferiva il titolo, la scomparsa, i critici avanzarono numerose ipotesi, e solo dopo che scomparsa, i critici avanzarono numerose ipotesi, e solo dopo che Perec stesso svelò il segreto si accorsero che a scomparire era stata Perec stesso svelò il segreto si accorsero che a scomparire era stata proprio la lettere “e”!.proprio la lettere “e”!.

““Se una notte d’inverno un viaggiatore”,Se una notte d’inverno un viaggiatore”, Italo CalvinoItalo Calvino

““Le avventure di Alice nel paese delle Le avventure di Alice nel paese delle meraviglie”,meraviglie”, Lewis Carrol Lewis Carrol

““Attraverso lo specchio e ciò che alice vi Attraverso lo specchio e ciò che alice vi trovò”,trovò”, Lewis Carroll Lewis Carroll

Possono essere letti come semplici romanzi, ma in cui un lettore Possono essere letti come semplici romanzi, ma in cui un lettore “competente” può facilmente notare la presenza di una struttura “competente” può facilmente notare la presenza di una struttura legata alla matematica, nonché di continui riferimenti alla legata alla matematica, nonché di continui riferimenti alla matematica od anche alla scienza.matematica od anche alla scienza.



La presenza di “influenze matematiche” La presenza di “influenze matematiche” in letteratura è stata raccolta in un in letteratura è stata raccolta in un antologia:antologia:

““Racconti Matematici”Racconti Matematici” curata da C. Bartocci.curata da C. Bartocci.

Kant “anticipa” GödelKant “anticipa” Gödel

Nella “Critica della Ragion Pura”, Immanuel Nella “Critica della Ragion Pura”, Immanuel Kant evidenzia la presenza di tre idee Kant evidenzia la presenza di tre idee trascendentali, che sorgono quando l’uomo trascendentali, che sorgono quando l’uomo spinge “al limite” alcuni aspetti di sé stesso o spinge “al limite” alcuni aspetti di sé stesso o della realtà che conosce. Le tre idee sono:della realtà che conosce. Le tre idee sono:

MondoMondoAnimaAnimaDioDio

Kant osserva che quando si cerca di trarre Kant osserva che quando si cerca di trarre una conclusione a partire da tali idee o di una conclusione a partire da tali idee o di dimostrare qualcosa riguardante le idee dimostrare qualcosa riguardante le idee trascendentali si giunge a una trascendentali si giunge a una contraddizione. Ad esempio fornisce una contraddizione. Ad esempio fornisce una dimostrazione del fatto che l’universo è dimostrazione del fatto che l’universo è finito, mentre subito dopo riesce a finito, mentre subito dopo riesce a dimostrare il contrario.dimostrare il contrario.


Ciò può essere considerato come un Ciò può essere considerato come un esempio “ante litteram” dell’indecidibilità esempio “ante litteram” dell’indecidibilità Gödeliana. Ovvero è impossibile da Gödeliana. Ovvero è impossibile da essere umani, all’interno del nostro essere umani, all’interno del nostro “sistema”, decidere se le proposizioni che “sistema”, decidere se le proposizioni che si spingono “al limite”, come quelle si spingono “al limite”, come quelle riguardanti le idee trascendentali, siano riguardanti le idee trascendentali, siano vere o false. Esse sono infatti indecidibili.vere o false. Esse sono infatti indecidibili.


Russel e FregeRussel e Frege

Frege era un logicista: ovvero sosteneva Frege era un logicista: ovvero sosteneva che tutta la matematica poteva ricondursi che tutta la matematica poteva ricondursi alla logica. Dunque attraverso la logica si alla logica. Dunque attraverso la logica si potevano dedurre i fondamenti e i potevano dedurre i fondamenti e i “comportamenti” della matematica. “comportamenti” della matematica. Questo deriva dall’ipotesi che tutti i Questo deriva dall’ipotesi che tutti i “processi” matematici siano di fatto “processi” matematici siano di fatto analitici.analitici.

Definizione di numero per Frege:Definizione di numero per Frege:

Il numero Il numero n n è la classe che raccoglie tutti è la classe che raccoglie tutti gli insieme di gli insieme di n n elementi. elementi.

Ma nella definizione del concetto di numero Ma nella definizione del concetto di numero si fa riferimento al concetto stesso.si fa riferimento al concetto stesso.

Si utilizza quindi la corrispondenza Si utilizza quindi la corrispondenza biunivoca, giungendo alla seguente biunivoca, giungendo alla seguente definizionedefinizione


I numeri sono classi di insiemi che hanno I numeri sono classi di insiemi che hanno la seguente proprietà: tutti gli insiemi la seguente proprietà: tutti gli insiemi della medesima classe possono essere della medesima classe possono essere messi in corrispondenza biunivoca, messi in corrispondenza biunivoca, ovvero:ovvero:

Se A,B appartengono alla medesima Se A,B appartengono alla medesima classe, ad ogni elemento di A classe, ad ogni elemento di A corrisponde uno e un solo elemento di B.corrisponde uno e un solo elemento di B.


Ma Bertrand Russel si accorse di una Ma Bertrand Russel si accorse di una contraddizione, di un problema nella contraddizione, di un problema nella definizione di insieme e di classe di definizione di insieme e di classe di insiemi, che rendeva vano il tentativo insiemi, che rendeva vano il tentativo logicista di Frege per “formalizzare logicista di Frege per “formalizzare logicamente” la matematica.logicamente” la matematica.

La contraddizione è evidenziabile nella La contraddizione è evidenziabile nella nota antinomia di Russel.nota antinomia di Russel.


Si provi a definire il seguente insieme come:Si provi a definire il seguente insieme come:

““L’insieme che contiene tutti gli insiemi che L’insieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono sé stessi come non contengono sé stessi come elemento”.elemento”.

La contraddizione a cui si giunge è evidente. Il La contraddizione a cui si giunge è evidente. Il problema nella definizione di insieme rende problema nella definizione di insieme rende allora vana anche tutta la formalizzazione che allora vana anche tutta la formalizzazione che da tale concetto scaturisce.da tale concetto scaturisce.


Funzioni ricorsiveFunzioni ricorsive

Consideriamo la funzione definita nel modo seguente:Consideriamo la funzione definita nel modo seguente:

Questa è la formulazione ricorsiva (implicita) della famosa Questa è la formulazione ricorsiva (implicita) della famosa sequenza di Fibonacci. Si osserva come sia una sequenza di Fibonacci. Si osserva come sia una funzione che vada dai naturali ai naturali.funzione che vada dai naturali ai naturali.

E se volessimo una formulazione esplicita f(n)=…?E se volessimo una formulazione esplicita f(n)=…?

nfnfnf

ff

f

12

1110

: NN

La forma esplicita della funzione è:La forma esplicita della funzione è:

Dove Dove ΦΦ è il numero aureo: è il numero aureo:

È interessante dunque osservare che per passare dalla È interessante dunque osservare che per passare dalla formulazione implicita a quella esplicita i numeri formulazione implicita a quella esplicita i numeri naturali, all’interno di cui la funzione stessa è naturali, all’interno di cui la funzione stessa è definita, non bastano più: compare infatti la radice definita, non bastano più: compare infatti la radice quadrata di 5, un numero irrazionale!quadrata di 5, un numero irrazionale!


5

1 nn

nf

2

51

Consideriamo ora questa funzione in forma Consideriamo ora questa funzione in forma implicita:implicita:

Proviamo dunque a calcolarla Proviamo dunque a calcolarla effettivamente:effettivamente:

È evidentemente una serie infinita di condizioni!È evidentemente una serie infinita di condizioni!


)1(

:

nfnnf

f NN

)()2()1(

:2 knfnnfnnfnnf

fk

NN

Si osserva però che la forma esplicita di tale funzione è Si osserva però che la forma esplicita di tale funzione è davvero semplicissima!davvero semplicissima!

Dunque è importante anche la forma con cui viene Dunque è importante anche la forma con cui viene espressa una funzione matematica. Forme diverse espressa una funzione matematica. Forme diverse hanno conseguenze diverse: si veda l’esempio hanno conseguenze diverse: si veda l’esempio precedente in cui, per una formulazione esplicita della precedente in cui, per una formulazione esplicita della serie di Fibonacci, non bastavano più i numeri naturali.serie di Fibonacci, non bastavano più i numeri naturali.


0

:

nf

f NN

Il “ruolo” delle Il “ruolo” delle dimostrazionidimostrazioni

Le dimostrazioni servono ad “accertare” Le dimostrazioni servono ad “accertare” (appunto dimostrare) la verità di un (appunto dimostrare) la verità di un teorema, di un asserto matematico.teorema, di un asserto matematico.

Sono dunque la garanzia, la prova Sono dunque la garanzia, la prova effettiva della verità.effettiva della verità.

Ma sono soltanto questo?Ma sono soltanto questo?

No!No!

Infatti si può giungere allo stesso risultato Infatti si può giungere allo stesso risultato (la verità di un teorema) attraverso (la verità di un teorema) attraverso diverse “strade”, con diversi metodi diverse “strade”, con diversi metodi dimostrativi.dimostrativi.

Dimostrazioni diverse possono portare a Dimostrazioni diverse possono portare a sviluppi diversi in quell’ambito di studio!sviluppi diversi in quell’ambito di studio!


La serie armonica converge?La serie armonica converge?

Apparentemente, sembra convergere, visto Apparentemente, sembra convergere, visto che il termine ennesimo, diviene sempre che il termine ennesimo, diviene sempre più piccolo. Di ciò fu data una più piccolo. Di ciò fu data una “dimostrazione” visiva (falsa).“dimostrazione” visiva (falsa).


1

1

n n

Sommando spicchietti sempre più piccoli:Sommando spicchietti sempre più piccoli:

Sembra si ottenga una area limitata..in Sembra si ottenga una area limitata..in realtà…realtà…


È possibile raggruppare gli elementi della serie È possibile raggruppare gli elementi della serie armonica in gruppi aventi per somma un valore armonica in gruppi aventi per somma un valore maggiore di ½:maggiore di ½:

Dunque la serie armonica maggiora la serie Dunque la serie armonica maggiora la serie ½+½+½+…, la cui somma evidentemente ½+½+½+…, la cui somma evidentemente diverge, dunque a maggior ragione deve diverge, dunque a maggior ragione deve divergere anche la serie armonica!divergere anche la serie armonica!


...8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

2

1

2

1

I numeri primi sono infiniti?I numeri primi sono infiniti?

Euclide dimostrò per primo che essi Euclide dimostrò per primo che essi sono infiniti.sono infiniti.


Siano pSiano p11, p, p2 2 ,, pp3 3 , , …… ,, ppn n gli unici n numeri primi. gli unici n numeri primi.

Costruiamo allora il numero:Costruiamo allora il numero:

pp11pp22pp33·…··…·ppnn+1+1

È evidente che tale numero non è divisibile per È evidente che tale numero non è divisibile per nessuno dei numeri primi conosciuti. nessuno dei numeri primi conosciuti.

Dunque o esiste un altro primo per cui esso sia Dunque o esiste un altro primo per cui esso sia divisibile, o è esso stesso un primo.divisibile, o è esso stesso un primo.


Reiterando il processo, si giunge alla Reiterando il processo, si giunge alla conclusione che i primi non possono conclusione che i primi non possono essere finiti, ma sono necessariamente essere finiti, ma sono necessariamente infiniti.infiniti.

Non è però l’unica dimostrazione.Non è però l’unica dimostrazione.

Eulero dimostrò la stessa cosa in modo Eulero dimostrò la stessa cosa in modo completamente diverso…completamente diverso…


Partiamo dall’assunto che la serie Partiamo dall’assunto che la serie armonica diverge.armonica diverge.

Ipotizziamo ora, per assurdo, che esista un Ipotizziamo ora, per assurdo, che esista un solo numero primo.solo numero primo.

Allora tutti i numeri sono esprimibili come Allora tutti i numeri sono esprimibili come potenze di quell’unico numero primo. La potenze di quell’unico numero primo. La serie armonica diventa dunque:serie armonica diventa dunque:


Ma questa è una serie geometrica di Ma questa è una serie geometrica di ragione 1/p, e poiché p>1, converge ed ragione 1/p, e poiché p>1, converge ed ha per somma:ha per somma:


1

2...

111

1

n ppn

1

1

1

p

p

nn

Si conclude che la serie armonica Si conclude che la serie armonica converge: il che è evidentemente converge: il che è evidentemente assurdo, dunque i numeri primi sono più assurdo, dunque i numeri primi sono più di uno. di uno.

E se fossero due?E se fossero due?


Se vi fossero due numeri primi p e q, allora Se vi fossero due numeri primi p e q, allora tutti i numeri dovrebbero essere tutti i numeri dovrebbero essere fattorizzabili secondo prodotti di potenze fattorizzabili secondo prodotti di potenze di p e di q.di p e di q.

In tal caso la serie armonica si può riscrive In tal caso la serie armonica si può riscrive nel modo seguente:nel modo seguente:


Ovvero:Ovvero:


0 01

11

i jji

n qpn

...11

1...11

11

221 qqppnn

Ma entrambi i termini fra parentesini sono Ma entrambi i termini fra parentesini sono progressioni geometriche di ragione <1, progressioni geometriche di ragione <1, dunque convergono. Il prodotto di termini dunque convergono. Il prodotto di termini finiti è ancora finito: si giunge finiti è ancora finito: si giunge nuovamente ad un assurdo.nuovamente ad un assurdo.

In generale dunque se i primi sono finiti si In generale dunque se i primi sono finiti si ha:ha:

primipn p

p

n 1

1

1


Dunque se i primi sono finiti, la serie Dunque se i primi sono finiti, la serie armonica dovrebbe convergere.armonica dovrebbe convergere.

Dal momento che si dimostra che la serie Dal momento che si dimostra che la serie armonica diverge, i numeri primi non armonica diverge, i numeri primi non possono essere finiti.possono essere finiti.

Si giunge alla stessa conclusione di Si giunge alla stessa conclusione di Euclide: i primi sono infiniti!Euclide: i primi sono infiniti!


La dimostrazione di Eulero fu però molto La dimostrazione di Eulero fu però molto più importante per il futuro della più importante per il futuro della matematica. Si arriverà in seguito infatti a matematica. Si arriverà in seguito infatti a definire una funzione molto importante, definire una funzione molto importante, detta zeta di Riemann:detta zeta di Riemann:


1

1)(

nsn

sz

Esempi di incompletezzaEsempi di incompletezza

““Ogni intero sta fra due quadrati Ogni intero sta fra due quadrati consecutivi”.consecutivi”.

Utilizzando la notazione [x] per indicarne la Utilizzando la notazione [x] per indicarne la parte reale si ha infatti:parte reale si ha infatti:

221 nnn

In questo caso però, partendo da un In questo caso però, partendo da un asserto che riguarda solo i numeri interi, asserto che riguarda solo i numeri interi, la dimostrazione ricorre ai numeri la dimostrazione ricorre ai numeri irrazionali…irrazionali…

È una dimostrazione per così dire “impura”.È una dimostrazione per così dire “impura”.


““La radice di 2 è razionale?”La radice di 2 è razionale?”La domanda si traduce matematicamente:La domanda si traduce matematicamente:

Con X e Y interi.Con X e Y interi.Una prima possibile dimostrazione Una prima possibile dimostrazione

dell’irrazionalità della radice quadrata di dell’irrazionalità della radice quadrata di due è la seguente:due è la seguente:


2

2

2y

x

Da cui risulta che x dev’essere pari, in Da cui risulta che x dev’essere pari, in quanto il suo quadrato è pari. Dunque quanto il suo quadrato è pari. Dunque possiamo porre: possiamo porre:

Ma allora anche y è necessariamente pari: ciò Ma allora anche y è necessariamente pari: ciò significa che la frazione x/y non è ridotta ai significa che la frazione x/y non è ridotta ai minimi termini. minimi termini.

Si può quindi procedere all’infinito senza trovare Si può quindi procedere all’infinito senza trovare una frazione ridotta ai minimi termini.una frazione ridotta ai minimi termini.

Radice di 2 non è razionale.Radice di 2 non è razionale.


22 2yx

22 242 yaax

Altra dimostrazione:Altra dimostrazione:

XX22 è un quadrato, dunque, scomposto in è un quadrato, dunque, scomposto in fattori primi, avrà tutti gli esponenti dei fattori primi, avrà tutti gli esponenti dei suoi fattori primi PARI.suoi fattori primi PARI.

Lo stesso vale per YLo stesso vale per Y22..

Ciò vale dunque anche per l’esponente Ciò vale dunque anche per l’esponente relativo al fattore 2:relativo al fattore 2:

m ed n sono pari.m ed n sono pari.

...22...22 22 nmyx


Ma allora si ottiene l’uguaglianza:Ma allora si ottiene l’uguaglianza:

Dove m è pari ed n+1 è dispari: non è Dove m è pari ed n+1 è dispari: non è possibile dunque che i due numeri siano possibile dunque che i due numeri siano uguali!!!uguali!!!


...2...2 1 nm

Possiamo ora considerare un sistema Possiamo ora considerare un sistema formale costruito a partire da proprietà formale costruito a partire da proprietà comuni ai reali e agli interi: ad esempio comuni ai reali e agli interi: ad esempio proprietà commutativa proprietà commutativa dell’addizione..ecc.dell’addizione..ecc.

Consideriamo la proposizione:Consideriamo la proposizione:


)2(, 22 yxyx

Essa è vera per gli interi, ma non è più Essa è vera per gli interi, ma non è più vera per i reali.vera per i reali.

Nel sistema formale da noi creato, è una Nel sistema formale da noi creato, è una proposizione indecidibile!!!proposizione indecidibile!!!

)2(, 22 yxyx


La matematica dunque contiene La matematica dunque contiene già in sé il “germe” della filosofia, già in sé il “germe” della filosofia, in quanto medita sempre su sé in quanto medita sempre su sé stessa.stessa.

Le dimostrazioni non sono Le dimostrazioni non sono soltanto una prova della verità, soltanto una prova della verità,

Filosofia e MatematicaFilosofia e Matematica

bensì sono già una prima bensì sono già una prima meditazione sulla matematica meditazione sulla matematica stessa, sono esse stesse stessa, sono esse stesse proposizioni “metamatematiche”.proposizioni “metamatematiche”.

Filosofia e MatematicaFilosofia e Matematica

Dunque:Dunque:

MEDITATE GENTE, MEDITATE GENTE, MEDITATE!MEDITATE!

Filosofia della matematica… matematica della filosofia.

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