APPENDICE

MATEMATICA E TRIGONOMETRIA

A.1.1 FREQUENZE DELLA SCALA CROMATICA TEMPERATA

ottave 0 1 2 3 4 5 6 7

DO 32.7032 65.4064 130.8128 261.6256 523.2511 1046.5023 2093.0045 4186.0090

DO# 34.6478 69.2957 138.5913 277.1826 554.3653 1108.7305 2217.4610 4434.9221

RE 36.7081 73.4162 146.8324 293.6648 587.3295 1174.6591 2349.3181 4698.6363

RE# 38.8909 77.7817 155.5635 311.1270 622.2540 1244.5079 2489.0159 4978.0317

MI 41.2034 82.4069 164.8138 329.6276 659.2551 1318.5102 2637.0205 5274.0409

FA 43.6535 87.3071 174.6141 349.2282 698.4565 1396.9129 2793.8259 5587.6517

FA# 46.2493 92.4986 184.9972 369.9944 739.9888 1479.9777 2959.9554 5919.9108

SOL 48.9994 97.9989 195.9977 391.9954 783.9909 1567.9817 3135.9635 6271.9270

SOL# 51.9131 103.8262 207.6523 415.3047 830.6094 1661.2188 3322.4376 6644.8752

LA 55.0000 110.0000 220.0000 440.0000 880.0000 1760.0000 3520.0000 7040.0000

LA# 58.2705 116.5409 233.0819 466.1638 932.3275 1864.6550 3729.3101 7458.6202

SI 61.7354 123.4708 246.9417 493.8833 987.7666 1975.5332 3951.0664 7902.1328

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A.1.2 CENNI DI MATEMATICA - LOGARITMI

Si definisce logaritmo in base b di un numero a quel numero che elevato alla baseb d il numero in questione, cio

se c=logb a allora bc = a.I logaritmi possono essere in qualsiasi base, ma per scopi musicali quelli pi utilizzati

sono quelli in base 2 e quelli in base 10. I logaritmi in base 2 trovano applicazionenella conversione tra frequenza (in Hz) e altezza (in intervallo) dei suoni.

Infatti si ha

altezza = log2 (frequenza / frequenza del DO0)

e

frequenza = (frequenza del DO0) * 2 altezza

Se si vuole, per esempio, calcolare laltezza di un suono di 440 Hz:

altezza = log2 (440 / 32.703) = LA3

E, viceversa, per calcolare la frequenza di un LA3:

frequenza(LA3) = 32.703 * 2 3.75 = 440 Hz

A.1.3 CENNI DI MATEMATICA - DECIBEL

Lorecchio sensibile a grandissime variazioni di intensit sonora. Per evitare alloranumeri con troppi zeri, si ricorre alla forma esponenziale di quei numeri.

Dato che, per esempio, il numero

0.00000000000001

esprimibile come

1 * 10 -14

se consideriamo il solo esponente, avremo a che fare con sole due cifre invece checon 15. Si definisce allora un comodo modo per esprimere grandezze che possonoassumere valori molto diversi fra loro (cio variabili entro una vasta gamma)

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mediante luso del deciBel (1/10 di Bel, dal fisico americano Alexander GrahamBell, simbolo dB), che definito come:

dB = 20 * log (A) / log (A0)

in cui A il valore sottoposto a misura, e A0 il valore di riferimento, ossia il valorepreso convenzionalmente come zero.

Il deciBel non quindi una unit di misura, come lHertz o il metro, ma solo un modoconvenzionale per esprimere il rapporto fra due grandezze. Anche se, in genere, inacustica viene impiegato per esprimere lampiezza o lintensit sonora di un segnale,nulla vieta di applicare questo metodo di misurazione alla frequenza o ad altre grandezze.

Un semplice calcolo permette di compilare la seguente tabella di corrispondenza fradeciBel e grandezze assolute:

dB valore dB valore dB valore dB valore0 1 -30 .032 -60 .001 -90 .000032

-2 .794 -32 .025 -62 .00079 -92 .000025

-4 .631 -34 .02 -64 .00063 -94 .00002

-6 .501 -36 .016 -66 .0005 -96 .000016

-8 .398 -38 .013 -68 .0004 -98 .0000126

-10 .316 -40 .01 -70 .000316 -100 .00001

-12 .251 -42 .008 -72 .00025

-14 .200 -44 .006 -74 .0002

-16 .158 -46 .005 -76 .00016

-18 .126 -48 .004 -78 .000125

-20 .1 -50 .0032 -80 .0001

-22 .079 -52 .0025 -82 .000079

-24 .063 -54 .002 -84 .000063

-26 .05 -56 .0016 -86 .00005

-28 .04 -58 .00125 -88 .00004

A.1.4 CENNI DI TRIGONOMETRIA - MISURA DEGLI ANGOLI

Un qualsiasi angolo pu essere misurato utilizzando due diverse unit di misura: ilgrado sessagesimale (la trecentosessantesima parte di un cerchio o angolo giro) oppureil radiante, che quellangolo per cui larco sotteso uguaglia il raggio (fig.A-1-1), cioper il quale AB = OA. Questo angolo vale dunque:

1 rad = 57.2988

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e il suo valore pu essere ricavato ricordando che la circonferenza del cerchio vale:

2 ** r = 6.2831853 * r

se r = 1 allora langolo per cui l'arco sotteso vale 1 sar appunto:

180/ = 180/3.1415927 = 57.2988

A.1.5 CENNI DI TRIGONOMETRIA - FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

Dato un certo angolo (fig. A-1-1), il rapporto fra AC e r (=OA) si chiama senodellangolo e si indica con sin(), mentre il rapporto fra OC e r si chiama cosenodellangolo, e si indica con cos(). Il rapporto fra AC ed OC (uguale al rapporto fra HBe OH) si chiama tangente dellangolo, e si indica con tg(). Per r = 1, si ottengono iseguenti valori fondamentali di queste tre funzioni trigonometriche:

gradi sin() cos() tg() gradi sin() cos() tg()0 0 1 0 180 0 -1 0

5 .2588191 .9659258 .2679492 195 -.2588191 -.9659258 .2679492

30 .5 .8660254 .5773503 210 -.5 -.8660254 .5773502

45 .7071068 .7071068 1 225 -.707107 -.7071066 1.000001

60 .8660254 .5 1.732051 240 -.8660256 -.4999999 1.732052

75 .9659258 .2588191 3.732051 255 -.9659259 -.258819 3.732052

90 1 0 270 -1 0 -105 .9659258 -.2588191 -3.732051 285 -.9659259 .258819 -3.732051

120 .8660254 -.5000001 -1.732051 300 -.8660256 .5 -1.732051

135 .7071068 -.7071068 -1 315 -.707107 .7071067 -1

150 .5000001 -.8660254 -.5773504 330 -.4999998 .8660256 -.5773499

165 .2588189 -.9659259 -.2679491 345 -.2588188 .9659259 -.267949

Fig. A-1-1

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A.1.6 CENNI DI TRIGONOMETRIA - ESPRESSIONE IN RADIANTI

Con riferimento a quanto detto in A.1.4, per un angolo di 360 l'arco coincide conlintera circonferenza, che equivale a 2; quindi

2 * * r360 = _____________ rad = 2 * rad

r

Riportiamo in tabella la corrispondenza fra radianti (misurati in frazioni di ) e angolisessagesimali:

gradi rad gradi rad gradi rad gradi rad0 0 90 /2 180 180 3/2

A.1.7 CENNI DI TRIGONOMETRIA - LEGAME CON IL TEMPO

possibile costruire per via grafica le funzioni trigonometriche descritte,semplicemente misurando sul cerchio trigonometrico di fig. A-1-1 i valori delle funzionistesse in corrispondenza di intervalli regolari di un angolo .

Se poi si immagina che il raggio che forma langolo ruoti in senso antiorario convelocit costante, possibile legare le funzioni trigonometriche al tempo. Detta infatti la velocit angolare, cio langolo che il raggio descrive in 1 secondo, langolo descrittoin un tempo qualsiasi t sar:

= * t

Se il raggio descrive lintera circonferenza f volte al secondo, langolo (espresso inradianti) percorso in 1 secondo sar:

= 2 * * f * t

dove f precisamente la frequenza del moto armonico.Se si sceglie un raggio di dimensione arbitraria A, A sar la massima ampiezza del

moto armonico, e lespressione dellampiezza istantanea (lampiezza in un qualsiasimomento) sar dunque:

I = A * sin ( 2**f*t )

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questa l'equazione del moto armonico sinusoidale.Se poi, invece di iniziare allistante 0, il moto inizia allistante t0, anche questo ritardo

pu essere espresso in funzione di un angolo, che solitamente si indica con . Lequazionedel moto armonico sinusoidale, completa del ritardo di fase, quindi:

I = A * sin (2**f*t + )

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