Matematica e didattica della matematica -...

Matematica e didattica della matematica Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria

a.a. 2008-09 Docente: Ana Millán Gasca

Lezione 5 La teoria dei numeri

“Ogni numero intero che non sia primo può essere costruito moltiplicando questi elementi di base primari. Ogni molecola esistente nel mondo fisico può essere costruita utilizzando gli atomi della tavola periodica degli elementi chimici. Un elenco dei numeri primi è la tavola periodica del matematico.[…] Padroneggiare questi elementi di base offre al matematico la speranza di poter scoprire nuovi metodi per costruire la mappa di un percorso che attraversi le smisurate complessità del mondo matematico.

Eppure, a dispetto della loro apparente semplicità e della loro natura fondamentale, i numeri primi restano gli oggetti più misteriosi studiati dai matematici. In una disciplina che si dedica a trovare andamenti regolari e ordine, i numeri primi presentano la sfida estrema. Provate a esaminare un elenco di numeri primi. Scoprirete che è impossibile prevedere quando apparirà il successivo. L’elenco sembra caotico, casuale, e non fornisce alcun indizio riguardo al modo di determinare il suo prossimo elemento. L’elenco dei numeri primi è il ritmo cardiaco della matematica, ma è una pulsazione stimolata da un potente coktail a base di caffeina.”

Marcus du Sautoy, L’enigma dei numeri primi (pp. 15-16)

SOMMARIO: 5.1 Divisibilità: la struttura moltiplicativa di N. 5.2 La divisione in N. 5. 3 I numeri primi e il teorema fondamentale dell’aritmetica. 5.4 Congruenze. 5.5 Le quattro operazioni nella scuola primaria. Bibliografia: Che cos’è la matematica, Supplemento al cap. 1. 5.1 Divisibilità: la struttura moltiplicativa di N ESEMPIO 5.1 Confronti questi due numeri naturali: 1362 e 8.

Calcoli la loro differenza. Quale è invece il rapporto fra di loro? Risponda alla domanda: 1362 è multiplo di 8? Forse lei ha applicato uno dei criteri di divisibilità. Ricordi che tali criteri dipendono dalla base del

sistema di numerazione che si usa: quindi i criteri di divisibilità che lei conosce sono quelli del sistema posizionale decimale. Provi invece a usare la definizione di multiplo 3.4.

Eseguiamo la divisione: si tratta di un algoritmo che in tre passi ci fornisce due numeri. Quali sono i due numeri? Che uguaglianza possiamo scrivere con i due numeri di partenza (1362, 8) e i due numeri che abbiamo

ottenuto (170, 2)? Tra quali due multipli successivi di 8 possiamo collocare il numero 1362?

Matematica e didattica della matematica Ana Millán Gasca

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Nella lezione 3 abbiamo esaminato l’ordine e la regolarità dei numeri naturali. In questa lezione ci avventuriamo nei loro “limiti” o “difetti”, i quali però sono precisamente ciò che li rende più affascinanti e degni di studio: proprio da questi aspetti, che sono l’inizio della teoria dei numeri, ha preso l’avvio la matematica come disciplina nel mondo greco. I temi che saranno trattati nella lezione girano attorno alla seguente definizione – che ci è nota fin dalla scuola elementare – a partire dalla quale approfondiremo la nostra conoscenza dei numeri naturali: DEFINIZIONE 5.1 Un numero naturale n si dice divisore o fattore di un altro numero naturale m se esiste un numero naturale s tale che

!

m = s " n In tal caso si dice che m è multiplo di n. Si usa anche dire che m è divisibile per n. Nell’insieme dei numeri naturali N, questa definizione stabilisce una relazione binaria, la

relazione “essere multiplo”. Questa relazione verifica le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva, ed è quindi analoga alla relazione “essere maggiore o uguale”,

!

" (si veda la proprietà 3.1). Per questo motivo anche la relazione “essere multiplo” è detta relazione d’ordine.

PROPRIETÀ 5.1 (I) (proprietà riflessiva della relazione “essere multiplo”)

!

ogni numero naturale n è multiplo di se stesso

(II) (proprietà transitiva della relazione “essere multiplo”)

!

per ogni terna di numeri naturali n,m,l se n è multiplo di m e m è multiplo di l, allora n è multiplo di m (III) (proprietà antisimmetrica della relazione “essere multiplo”)

!

per ogni coppia di numeri naturali n,m, se n è multiplo di m e m è multiplo di n, allora n = m

ESERCIZIO 5.1. (a) Dimostri le tre proprietà della relazione binaria essere multiplo. Per farlo deve applicare la definizione 5.1. (b) Rifletta: la relazione “essere multiplo” è anche un ordine totale?

Quindi, nell’insieme N vi sono due relazioni d’ordine: la relazione “essere maggiore o

uguale”, che abbiamo definito usando l’addizione; e la relazione “essere multiplo”, che abbiamo definito usando la moltiplicazione e che descrive la struttura moltiplicativa dei numeri naturali.

La relazione “essere multiplo” non è un buon ordinamento; ma non è nemmeno una relazione d’ordine totale: dati due numeri naturali qualsivoglia, non sempre uno dei due è multiplo dell’altro (come nel esempio con il quale abbiamo iniziato la lezione). Lo studio della struttura che la relazione “essere multiplo” stabilisce nei numeri naturali è lo studio delle proprietà di divisibilità, che costituiscono i primi elementi della teoria dei numeri: si tratta di un argomento molto profondo, che tuttavia viene introdotto nella scuola primaria, e per insegnarlo è importante avere una consapevolezza del suo ruolo basilare nella matematica.

Nel corso della lezione ci occuperemo anche della quarta delle “quattro operazioni” della matematica elementare nella scuola primaria, la divisione, e concluderemo la lezione con alcune riflessioni sulla didattica delle quattro operazioni.


3

L’ARITMETICA NEGLI ELEMENTI DI EUCLIDE

“Tutto è numero”, è il motto attribuito a Pitagora, il leggendario fondatore della “setta” filosofica dei pitagorici (di cui non ci è pervenuto alcuno scritto). Il fascino per i numeri derivava in parte dai rapporti numerici che i pitagorici scoprirono associati alla produzione di suoni musicali. Ma nel pensiero dei pitagorici troviamo l’eco delle antiche idee dei Babilonesi e degli Egizi sul rapporto fra i numeri e l’ordine dell’universo.

L’aritmetica greca trattava soltanto i numeri interi positivi o numeri naturali 1, 2, 3, 4, … (più precisamente, l’uno non era da loro considerato un numero, bensì ciò che generava tutti i numeri).

Le righe seguenti sono tratte dall’inizio del libro VII degli Elementi di Euclide. Questo è il primo dei tre libri dedicato all’aritmetica, dove sono raccolte molte proprietà dei numeri . Si tratta di un elenco di definizioni: individui in ognuna di esse la parola definita.

«I Unità è ciò secondo cui ciascun ente è detto uno. II Numero è una pluralità composta da unità. III Un numero è parte di un numero, il minore di quello maggiore, quando esso misuri il

maggiore. […] VI Numero pari è quello che è divisibile in due parti uguali. VII Numero dispari è quello che non è divisibile in due parti uguali, ossia quello che

differisce di un’unità da un numero pari. […] XI Numero primo è quello che è misurato soltanto dall’unità. XII Numeri primi fra loro sono quelli che hanno soltanto l’unità come misura comune. XVI Si dice che un numero moltiplica un numero quando il moltiplicato si aggiunge tante

volte come unità vi sono nell’altro e risulta un numero»

ESERCIZIO 5.2

(a) Trovi la parola definita in ognuna delle definizioni del Libro VII degli Elementi trascritte nel riquadro.

(b) Colleghi la definizione di numero con i numeri figurati dei pitagorici. (c) Confronti l’introduzione dei numeri naturali attraverso la funzione successore e il principio di

induzione presentata nella Lezione 4 con la definizione di unità e di numero in di Euclide. (d) Nella Lezione 4 abbiamo introdotto nell’insieme dei numeri naturali N due relazioni binarie

d’ordine: “essere maggiore o uguale” (confronto additivo fra numeri) ed “essere multiplo” (confronto moltiplicativo). Quale di esse è oggetto di una definizione e quale non lo è?

(e) Scriva la definizione III in termini moderni, usando una scrittura simbolica. Quale parola usiamo oggi al posto di “parte”? Confronti entrambe le versioni della definizione, dal punto di vista della precisione e dell’intelligibilità.

(e)Vi sono nella definizione III parole non definite? (f) Il verbo “misurare” usato nelle definizioni III (divisore) e XI (primo) fa riferimento al confronto

additivo oppure al confronto moltiplicativo fra i numeri naturali?

ESERCIZIO 5.3. Consideri l’insieme A dei multipli di 2, l’insieme B dei multipli di 3, l’insieme C dei multipli di 6, l’insieme D dei dispari, l’insieme E dei numeri che danno resto 1 nella divisione per 3.

Esplori questi insiemi, trovando alcuni elementi e con l’aiuto di diagrammi di Eulero Venn. Trovi relazioni di inclusione fra questi insiemi. Trovi

!

A" B. Trovi

!

A"D e A#D. Rappresenti graficamente la relazione fra A, D, N. Trovi

!

B"D . Esplori la relazione fra B, E e N, rappresentandola graficamente e trovando

!

B" E e B# E . A, B, C, D e E sono sottoinsiemi di N. Provi a descriverli per comprensione.


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5.2 La divisione in N «E poi le divisioni non le reggo.

– Perché no? – Ma perché quando si usa il più o il meno, o si moltiplica, i conti

tornano sempre. Quando si divide invece no. Spesso c’è un qualche resto che mi da un fastidio tremendo.

– La domanda che bisogna porsi è: quando succede? – Succede cosa? chiese Roberto. – Quando succede che c’è un resto e quando non succede, spiegò il

mago. È questo il punto essenziale. A certi numeri glielo si legge in faccia che si possono dividere senza resto.»

– (Hans M. Ensensberger, Il mago dei numeri, “La terza notte”)

Nella lezione 3 abbiamo già trattato le limitazioni “intrinseche” della struttura algebrica dei numeri naturali, ossia della struttura determinata dalle operazioni di addizione e di moltiplicazione dei numeri naturali. Entrambe queste operazioni in N non hanno la proprietà dell’elemento simmetrico, e ciò equivale a dire, rispettivamente, che in N non sempre possiamo eseguire le sottrazioni e non sempre possiamo eseguire le divisioni (cfr. §3.6).

Per quanto riguarda la sottrazione di due numeri naturali m e n, essa può essere eseguita soltanto se

!

m " n; infatti, in questo caso possiamo trovare un numero naturale k tale che

!

m = n + k , che si chiama differenza e che è il risultato della sottrazione m meno n, e si scrive:

!

m " n = k

Abbiamo anche visto, nella lezione 3, che per superare questa limitazione dobbiamo considerare ampliare il sistema dei numeri considerando l’insieme dei numeri interi Z.

Per quanto riguarda la divisione di due numeri naturali m e n, essa può essere eseguita soltanto se m è multiplo di n. Infatti, dati due numeri n e m, con

!

n " 0 , se m è multiplo di n si usa anche dire che m è divisibile per n proprio perché in tal caso possiamo trovare un numero naturale s tale che

!

m = s " n , che si chiama quoto e che è il risultato della divisione m diviso n, e si scrive:

!

m ÷ n = s

A scuola si usa dire che in tal caso si ha una “divisione esatta”, che ci permette di dare una risposta alla domanda “quante volte sta n in m?” Vedremo nella lezione che per superare questa limitazione dobbiamo considerare ampliare il sistema dei numeri considerando l’insieme dei numeri razionali Q.

Tuttavia, il caso della divisione ha un aspetto che non ha il caso della sottrazione: anche quando né n è multiplo di m né m è multiplo di n, possiamo eseguire una divisione, la divisione con resto, che da come “risultato” non uno ma due numeri, ossia il quoziente e il resto.

DEFINIZIONE 5.2 Divisione con resto. Dati due numeri naturali n e m, con

!

n " 0 , dividere m per n vuole dire trovare due numeri naturali q, r , con la condizione

!

0 " r < n , e tali che sia

!

m = n " q + r In tal caso q si chiama quoziente, r si chiama resto. Nella divisione con resto n e m si indicano rispettivamente come divisore e dividendo.


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Si osservi che nella definizione si richiede che il resto sia strettamente minore del divisore

(eventualmente può anche essere zero). Infatti, ciò che si fa nella divisione con resto è trovare il multiplo del divisore più vicino ma minore del dividendo, indicando la distanza che lo separa dal dividendo (questo è il resto). Nell’esempio 5.1, il multiplo di 8 più vicino e minore di 1362 è 1360 (ossia

!

8 "170), che dista 2 dal dividendo 1362.

NOTA BENE: Due usi della parola divisore. Si osservi che nella definizione 5.2 si usa la stessa parola “divisore” della definizione 5.1, ma in un senso diverso, poiché n è un divisore di m nel senso della definizione 5.1 soltanto se il resto è zero.

La proprietà interessante è che in N è sempre possibile eseguire una divisione con resto.

PROPRIETÀ 5.2. Dati due numeri naturali n e m, con

!

m " 0, esistono un unico numero naturale q e un unico numero naturale r , con la condizione

!


!

m = n " q + r

NOTA BENE: Si osservi che la divisione con resto in N non è l’operazione inversa della moltiplicazione.

La divisione “esatta”, valida soltanto fra coppie di numeri i quali sono uno multiplo dell’altro, rientra nella definizione più generale di divisione con resto in N, che è invece valida per qualsivoglia copia di numeri naturale: infatti, nel caso della divisione che si usa dire “esatta” si ha una divisione nella quale il resto è zero (e in tal caso il quoziente si usa chiamare quoto). Dimostrazione della proprietà di esistenza di quoziente e resto.

Supponiamo che n e m siano due numeri naturali e che sia

!

m " 0. Distinguiamo due casi: Se m è multiplo di n, allora esiste un numero q tale che

!

m = n " q e quindi abbiamo un’uguaglianza del tipo richiesto nella proprietà:

!

m = n " q + 0 . Se m è non multiplo di n, allora sarà compreso fra due multipli successivi di n:

!

n " q < m < n " q +1( ) Poiché

!

n " q < m possiamo calcolare la loro differenza che sarà un numero naturale r:

!

r = m " n # q Quindi abbiamo trovato due numeri q e r che verificano l’uguaglianza richiesta; vediamo se r

verifica la duplice disuguaglianza richiesta: poiché

!

n " q < m , si ha che

!

r > 0 e poiché

!

m < n " q +1( ) , ossia

!

m < n " q + n , si ha

!

m " n # q < n vale a dire

!

r = m " n # q < n

L’algoritmo della divisione fra numeri naturali che si impara nella scuola elementare ci permette volta per volta di ottenere i due numeri, quoziente e resto, che sappiamo che esistono e sono unici.


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ESEMPIO 5. 2 IL PROBLEMA DEL CAMION. L’idea centrale della divisione con numeri naturali è quella della ricerca di multipli. Dividere un numero naturale per un altro significa trovare un multiplo del secondo e decomporre il secondo come addizione di due termini: il multiplo trovato e il resto.

Eseguire una divisione anche “difficile” nasconde in fondo soltanto questa idea. Se invece si confonde la divisione con il suo algoritmo nel sistema di numerazione oggi corrente, identificando l’idea matematica relativa ai numeri naturali con la disposizione grafica dei numeri stessa, emergono errori come quello del famoso problema del camion:

Un camion dell’esercito può trasportare 36 soldati. Quanti camion occorrono per trasportare 1128

soldati dalla caserma al campo di addestramento? Ha risposto 31? Oppure ha risposto 31 con il resto di 12? La divisione in N, l’ultima delle “quattro operazioni” della matematica elementare, non è

soltanto uno strumento per risolvere problemi pratici come quelli di ripartizione. Il lavoro su di essa approfondisce il senso del numero dei bambini e la sua capacità di astrazione, mostrando loro che tra i numeri intercorrono legami di vario tipo, non solo l’ordinamento lineare ma anche quelli multiplo-divisore. Dato un qualsivoglia numero naturale n, la divisione con resto fornisce una rappresentazione di ogni numero naturale riguardo alla proprietà essere multiplo di n, attraverso una decomposizione del tipo

!

k " n + r .

L’algoritmo euclideo Dati due numeri naturali a e b, consideriamo l’insieme dei divisori comuni a a e b;

indichiamo con MCD

!

a,b( ) il massimo tra i divisori comuni. Solo il numero 0 ha infiniti divisori (infatti ogni numero naturale è divisore di 0), e in questo caso,

!

MCD a,0( ) = a perché a e il maggiore fra i divisori di a. In generale l’insieme dei divisori comuni a due numeri diversi da 0 è finito e possiamo ottenere il massimo. Osserviamo anche che

!

MCD a,1( ) =1 Possiamo calcolare effettivamente il massimo comun divisore di due numeri calcolando

prima i divisori di a, poi i divisori di b, confrontando e trovando i numeri che dividono sia a sia b e infine trovando il massimo. La divisione con resto in N fornisce un algoritmo, ossia un metodo sistematico di calcolo, sicuro e veloce, che permette di trovare il massimo comun divisore di due numeri naturali. Questo algoritmo si ispira a un algoritmo analogo presente negli Elementi di Euclide.

ESEMPIO 5.3 Supponiamo che vogliamo ottenere il MCD(32,40). Possiamo trovare tutti i divisori di 32 e tutti quelli di 40. Proviamo però a calcolare il quoziente e il resto della divisione con dividendo 40 e divisore 32:

!

40 = 32 "1+ 8

Poiché

!

8 = 40 " 32 #1, se un numero divide 40 e 32, allora quel numero è anche un divisore di 8 Viceversa, se un numero divide 32 e 8, allora quel numero è anche divisore di 40. Quindi i divisori comuni a 32 e 40 sono gli stessi divisori comuni a 32 e 8: abbiamo ridotto il problema di partenza a uno più semplice, perché coinvolge numeri minori. Possiamo esprimere questa idea attraverso la seguente proprietà generale.

PROPRIETÀ 5.3 Dati due numeri naturali a e b, con

!

a = b " q + r, allora

!

MCD a,b( ) =MCD b,r( ) Dimostrazione Per dimostrare la proprietà basta dimostrare che l’insieme dei divisori comuni a a e b è uguale all’insieme dei divisori comuni a b e r. Per dimostrare questa uguaglianza spezziamo il ragionamento in due parti Sia u un divisore comune a a e b; dobbiamo verificare che u è anche divisore di r. Si ha che

!

a = k " u e b = l " u, con k,l # N , quindi, applicando le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione dei numeri naturali e la proprietà distributiva:


7

!

r = a " b # q = k # u " (l # u) # q = u # k " (u # l) # q = u # k " u # (l # q) = u # (k " l # q), con

!

k " l # q$ N Sia ora u un divisore comune a b e r; dobbiamo verificare che u è anche divisore di a. Si ha che

!

b = k " u e r = l " u , con k, l # N , quindi, applicando le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione dei numeri naturali e la proprietà distributiva:

!

a = b " q + r = k " u( ) " q + l " u = k " (u " q) + l " u = k " (u " q) + l " u = k " (q " u) + l " u = (k " q) " u + l " u = (k " q + l) " u

Abbiamo provato così che entrambe le coppie di numeri a,b e b, r hanno gli stessi divisori comuni, e quindi entrambe coppie di numeri hanno lo stesso massimo comun divisore. ESEMPIO 5.4 Calcoliamo il massimo comun divisore di 187 e 77

!

187 = 77 " 2 + 33 quindi MCD(187,77) = MCD(77,33)

77 = 33 " 2 +11 quindi MCD(77,33) = MCD(33,11)

33 =11" 3+ 0 quindi MCD(33,11) = MCD(11,0) =11

Quindi

!

MCD(187,77) =11. Dopo tre passi iterativi, ossia della ripetizione per tre volte di un’istruzione che consiste nell’eseguire una divisione, siamo arrivati al risultato. Per ogni divisione abbiamo ottenuto un resto, che abbiamo usato come divisore nel passo iterativo successivo: primo resto 33, secondo resto 11, terzo resto 0. (Per ogni divisione abbiamo ottenuto anche un quoziente, ma lo scartiamo perché non serve al nostro scopo) La successione dei resti è decrescente perché la divisione con resto fornisce sempre un resto strettamente minore del divisore scelto. Quindi, dopo un numero finito di ripetizioni si arriva per forza a un resto 0; questo resto indica che l’algoritmo è concluso: il penultimo resto ottenuto, 11, grazie alla proprietà 5.3, è il massimo comun divisore di 187 e 11. Possiamo esprimere quindi la procedura usando degli indici ben costruiti:

ALGORITMO EUCLIDEO PER IL CALCOLO DEL MCD

!

a,b( ) , con

!

b " 0

!

a,ba= b"q1 +r1# $ # # # r1 (0 < r1 < b)

b,r1b= r1 "q2 +r2# $ # # # r2 (0 < r2 < r1)

r1,r2 r1 = r2 "q3 +r3# $ # # # r3 (0 < r3 < r2)

.....

rn%2,rn%1 rn%2 = rn%1 "qn +rn# $ # # # # rn (0 < rn < rn%1)

rn%1,rn rn%1 = rn " qn+1 + 0 $ fine dell'algoritmo

!

MCD(a,b) = rn

Si arriva a un resto 0 dopo un numero n di passi perché ogni resto è strettamente minore di quello ottenuto nel passo precedente:

!

0 < rn

< rn"1 < ...< r

3< r

2< r

1< b

Sono richiesti quindi al più b passi, ma di solito molto meno perché la differenza tra due resti consecutivi è spesso maggiore di 1.


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5.3 I numeri primi e il teorema fondamentale dell’aritmetica.

“Il pomeriggio, davanti a una grande folla, al duca e a un battaglione di guardie in posizione di saluto militare, Pilâtre riempì lentamente di aria calda un sacchetto di pergamena orientando la fiamma attraverso due tubi. Nessuno pensava che ci sarebbe voluto tanto tempo. La metà dei presenti era già andata via quando il pallone cominciò a gonfiarsi e l’altra metà se ne andò prima che quello si elevasse esitante dal suolo. Le corde si tesero, l’assistente di Pilâtre staccò i tubi, la piccola cesta si mosse e Gauss, che sussurrava qualcosa rannicchiato sulla superficie intrecciata, sarebbe saltato giù volentieri se Pilâtre non l’avesse fermato.

Non ancora, ansimò Pilâtre. Stava pregando? No, sussurrò Gauss. Conto i numeri primi, lo faccio sempre

quando sono nervoso.” Daniel Kehlmann, La misura del mondo (p. 55)*

Dato un numero naturale scelto a piacere, possiamo trovare tutti i suoi divisori o fattori. Ad

esempio, i divisori di 14 sono 1, 2, 7 e 14; il numero 20 ne ha due in più sono 1, 2, 4, 5,10 e 20. Possiamo quindi ottenere delle fattorizzazioni di qualsiasi numero, ossia delle decomposizioni del numero usando la moltiplicazione:

!

14 =14 "1= 2 " 7

20 = 4 " 5 =10 " 2 = 2 " 2 " 5 = 20 "1

Ovviamente, cambiando l’ordine dei fattori ne possiamo trovare altre. Alcuni numeri hanno solo da fattorizzazione banale, come ad esempio

!

13 =13"1. Questi sono i numeri primi, che sono gli “atomi” o “mattoni” dell’aritmetica. Infatti, sappiamo che ogni numero naturale può essere generato attraverso la funzione successore

!

1

1+1

(1+1) +1

(1+1) +1( ) +1

...

ma questa decomposizione ci fornisce poca informazione sul numero. I numeri primi, invece, ci forniscono la carta d’identità di tutti gli altri numeri, poiché ogni numero ammette una fattorizzazione come prodotto di primi che è molto interessante, in quanto questa decomposizione può essere eseguita in un unico modo (se non si considera l’ordine dei fattori). Questa proprietà basilare è il teorema fondamentale dell’aritmetica.

La seguenti due definizioni riguardano i numeri naturali diversi da 0 e 1. DEFINIZIONE 5.3 Un numero naturale maggiore di 1 si dice primo se non ammette divisori diversi da sé stesso e da 1. Un numero naturale diverso da 0 e 1 si dice composto se non è primo. * Jean-François Pilâtre de Rozier (1754-1785), fu uno studioso francese di fisica e chimica e pioniere dei voli in mongolfiera. Il duca di Brunswick sostenne economicamente Gauss, che era di famiglia molto umile, per poter continuare gli studi al liceo.


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Sia a un numero naturale composto scelto a piacere. Poiché è composto, ossia non è primo, ha un divisore c diverso da 1 o da sé stesso. Quindi (si ricordi la definizione di divisore con cui abbiamo aperto la lezione), a può essere scritto come prodotto di c per un terzo numero k:

!

a = c " k

Se c e k sono primi, abbiamo dimostrato la proprietà. Supponiamo invece che c non sia primo, allora anche lui avrà un divisore c1 e potremmo scrivere

!

a = c " k = c1" l " k

E chiaro dalla nostra intuizione sui numeri naturali (che si basa anche sulla nostra consuetudine con essi fin dalla scuola elementare, ed in particolare sul fatto che abbiamo eseguito molte scomposizioni in fattori primi di numeri naturali) che questo processo si può ripetere anche molte volte, ma a un certo punto si arresta. Ad esempio:

!

150 =15 "10 = 5 " 3"10 = 5 " 3" 2 " 5

Sembra quindi abbastanza chiaro che ogni numero naturale può essere scomposto come prodotto di primi. In matematica però bisogna dimostrare che è così e che è così sempre. La nostra esperienza numerica ci potrebbe suggerire questa via: ogni numero ha un divisore primo, basta iniziare dal 2, provare poi con il 3, con il 5, il 7…può essere lungo, ma una volta trovato un divisore primo p, avremo

!

a = p " k . Se k è primo abbiamo finito; altrimenti applichiamo di nuovo la strategia: cerchiamo un divisore primo di k. Ad esempio,

!

150 = 3" 50 = 3" 2 " 25 = 3" 2 " 5 " 5 Otteniamo una fattorizzazione diversa dalla prima soltanto per l’ordine in cui sono disposti i fattori primi. Proviamo a dimostrare questa proprietà più semplice, ossia che ogni numero naturale ha un divisore primo. A questo scopo potremmo usare quanto sappiamo dei numeri naturali. In questo caso, invece che usare il principio di induzione conviene usare il principio di minimo (si veda la lezione 3: ogni sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali ha un elemento minimo) abbinata a una tecnica di dimostrazione che fu già usata dai matematici greci, e che in particolare è usata da Euclide nei suoi libri consacrati all’aritmetica: la riduzione all’assurdo. PROPRIETÀ 5.4 Ogni numero naturale diverso da 1 ha un divisore primo. Dimostrazione. Supponiamo falsa l’affermazione, ossia supponiamo che esiste un numero diverso da 1 che non ha un divisore primo. Abbiamo quindi un numero “anomalo”, e ce ne possono essere degli altri. Prendiamo allora il minimo di tutti i numeri naturali che non hanno un divisore primo, a. Sappiamo allora che a è composto (se fosse primo avrebbe un divisore primo, sé stesso), quindi può essere espresso come prodotto di due numeri naturali:

!

a = r " s, 1< r,s < a

Poiché r è minore strettamente di a, e a è il minimo di tutti i numeri naturali che non hanno un divisore primo, allora r deve avere un divisore primo p, ossia

!

r = p " k , quindi

!

a = r " s = p " k " s


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In altre parole, abbiamo trovato un divisore primo di a, e quindi siamo arrivati a una contraddizione. PROPRIETÀ 5.5 Ogni numero naturale può essere espresso come prodotto di primi.

Ecco come descrive questo ragionamento un matematico attuale esperto di teoria dei numeri, Marcus Du Satoy, nel suo libro L’enigma dei numeri primi (ed. Rizzoli, pp. 69-71):

“La cosa curiosa è che il loro ragionamento inizia chiedendoci che esistano dei numeri anomali, numeri che né sono primi ne possono essere scritti come prodotto di numeri primi. Se questi numeri anomali esistono, allora quando passiamo in rassegna l’intera sequenza dei numeri dobbiamo prima o poi imbatterci nel minore di essi. Lo chiameremo N. Poiché questo ipotetico numero N non è un numero primo, dobbiamo essere in grado di scriverlo come prodotto di due numeri A e B minori di N. Se non fosse possibile farlo, infatti, N sarebbe un numero primo.

Dato che A e B sono minori di N, la nostra definizione di N comporta che A e B possano essere espressi come prodotti di numeri primi. Perciò se moltiplichiamo fra loro tutti i primi che compongono A per tutti i primi che compongono B, dobbiamo necessariamente ottenere il numero N. A questo punto abbiamo mostrato che N può essere scritto come prodotto di numeri primi, e ciò contraddice la definizione di N. ma allora la nostra ipotesi di partenza, che cioè esistano numeri anomali, non è sostenibile. Quindi ogni numero deve potersi esprimere come prodotto di numeri primi”

Rifletta su questa dimostrazione: dove è stato utilizzato il principio di minimo? Ora riflettiamo sulla tecnica di dimostrazione di una proprietà per riduzione all’assurdo: essa

consiste nel partire dal presupposto che sia falsa la proprietà che si intende dimostrare, e sviluppa le conseguenze di questa ipotesi fino ad arrivare a una contraddizione. Continua così du Sautoy:

“Quando ho provato a esporre questo ragionamento ad alcuni amici, costoro hanno avuto la

sensazione che da qualche parte si nascondesse un imbroglio. C’è qualcosa di vagamente subdolo nel nostro gambetto di apertura: si ipotizza che esistano cose che non vogliamo esistano e si finisce per dimostrare che non esistono. Questa strategia di pensare l’impensabile divenne uno strumento potente per la costruzione delle dimostrazioni da parte degli antichi greci. Essa si basa su un principio logico: un’affermazione deve essere vera oppure falsa. Se partiamo dal presupposto che l’affermazione sia falsa e finiamo in una contraddizione, possiamo dedurne che il nostro presupposto era sbagliato e concludere che l’affermazione deve essere vera.

La tecnica di dimostrazione ideata dagli antichi greci fa leva sulla pigrizia di buona parte dei matematici. Invece di affrontare il compito impossibile di eseguire infiniti calcoli espliciti per dimostrare che tutti i numeri possono essere costruiti utilizzando numeri primi, il ragionamento astratto cattura l’essenza di ognuno di quei calcoli. È come conoscere il modo per salire una scala infinita senza dover portare a termine fisicamente l’impresa”.

PIGRIZIA E MATEMATICA

Pensandoci bene, anche nell’insegnamento della matematica si può far leva sulla pigrizia dei

bambini, che è un ottimo stimolo per mettere all’opera un ragionamento astratto. Nella matematica della scuola primaria non si tratta di salire una scala infinita, ma di cose ben più semplici, che coinvolgono operazioni fra quantità finite. Ad esempio, per distribuire 300 lampadine fra i 15 alberelli di una piazza che deve essere illuminata per la festa non c’è bisogno di distribuire ad una ad una le 300 lampadine facendo il giro della piazza, per fortuna abbiamo la divisione, che è un’operazione, ossia un impresa mentale! Eppure a scuola oggi, per agevolare l’apprendimento, vi è chiede ai bambini di disegnare (e anche colorare) 300 oppure 30 lampadine: non si tratta di cattiveria, ovviamente, ma l’idea guida in questi casi è quella di far fare qualcosa di “pratico”, di “concreto”, costringendo tuttavia in tal modo i bambini a qualcosa di simile a portare fisicamente a


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termine l’impresa. Ma la matematica è proprio per non esser costretti a disegnare le 300 lampadine… se si può far colorare ai bambini, basta farlo una volta e si convinceranno ben presto dell’utilità di mettere in moto la mente in tali casi.

Abbiamo dimostrato che ogni numero naturale ha una fattorizzazione prima; ma il fatto

veramente notevole, ciò che rende i numeri è che questa fattorizzazione è unica (a parte l’ordine dei fattori). Ciò che rende centrali i numeri primi nell’aritmetica o teoria dei numeri è il fatto che la scomposizione di un numero in fattori primi è unica (a parte l’arbitrarietà dell’ordine). Per la suaper la sua importanza, che indica la centralità dei numeri primi nell’aritmetica, questa proprietà è qualificata come “teorema fondamentale”.

TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA Ogni numero naturale maggiore di uno può essere scomposto in modo unico in un prodotto di primi.

Per dimostrare l’unicità della scomposizione, si procede di nuovo per riduzione all’assurdo e si applica il principio di minimo. Si suppone quindi che esista un numero naturale suscettibile di due scomposizioni

!

a = p1" p

2" ..." pn = q

1" q

2" ..." qn

Si sceglie quindi il minimo tra tali numeri “anomali” e si procede nel ragionamento fino ad arrivare a una contraddizione (si veda Courant,Robbins, pp. 61-62). Questo teorema si ritrova negli Elementi di Euclide, dove è dimostrata usando l’algoritmo euclideo

Quanti sono i primi?

Per rispondere a questa domanda si usa anche una dimostrazione per riduzione all’assurdo.

PROPRIETÀ 5.6 Esistono infiniti primi. Dimostrazione. Supponiamo che questa affermazioni sia falsa. Dunque supponiamo che esista un

numero finito di primi. Non ci interessa precisamente quali siano, ma soltanto che sono in numero finito, ossia li possiamo contare. Quindi possiamo indicarli, usando gli indici, nel modo seguente:

!

p1, p

2, p

3,..., pn

La lettera n dell’ultimo indice sta a indicare che questi numeri sono precisamente n. Ogni altro

numero, allora, sarà composto e quindi, per la proprietà che abbiamo dimostrato prima, sarà prodotto di primi (al meno di uno fra i

!

p1, p

2, p

3,..., pn ).

Costruiamo ora un numero A che sia diverso di ognuno di questi primi e che, nel contempo, non sia multiplo di nessuno di essi. Usiamo uno stratagemma che possiamo capire bene ricordando quanto sappiamo della divisione con resto. Il numero

!

A = p1" p

2" p

3" ..." pn +1

proprio per come lo abbiamo costruito, da resto 1 nella divisione per ognuno degli n primi (il quoziente della divisione è proprio il prodotto degli altri

!

n "1 primi). Nel contempo, A è maggiore di ognuno dei primi

!

p1, p

2, p

3,..., pn . Quindi questo numero nel contempo è composto e non è composto, ossia siamo arrivati a

una contraddizione derivata dalla nostra supposizione iniziale del fatto che il numero dei primi sia finito. Dunque deve essere vero il contrario, e la nostra proprietà è dimostrata.

I matematici hanno cercato in vano una “formula” che sia in grado di fornirci tutti i numeri primi. Essi sembrano quindi non rispondere ad alcuna regola, come se la loro distribuzione fosse casuale, caotica. Sono state tentate anche altre strade. Ad esempio, quella di trovare formule che


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generino sempre primi, anche se non generano tutti i primi (due esempi si trovano negli esercizi). Altri studiosi hanno provato a studiare le proprietà dei numeri primi, come nel caso della famosa congettura di Goldbach. Gauss, da parte sua, studiò la presenza di numeri primi in segmenti di numeri naturali: ad esempio quanti numeri primi ci sono fra 1 e 10; fra 1 e 100; fra 1 e 1000 e così via. Egli compilò tavole di numeri primi fino a 3000000 al fine di studiare “empiricamente” quel che possiamo considerare la “densità” dei numeri primi (per saperne di più, potete leggere L’enigma dei numeri di Marcus du Sautoy). Uno degli strumenti applicati da Gauss per agevolare la sua ricerca è la teoria delle congruenze numeriche, di cui ci occupiamo nel paragrafo successivo. 5.4 Congruenze La divisione con resto nasconde quindi una ricerca di multipli, e questo ci fa intuire che lo studio dei resti ci permette di esaminare più da vicino la struttura moltiplicativa di N. Questo studio è la teoria delle congruenze. In questo paragrafo consideriamo però la divisione con resto per tutti i numeri interi. Infatti la definizione 5.2 si può generalizzare senza difficoltà nel modo seguente: DEFINIZIONE 5.4 Divisione con resto in Z Dato un numero intero m, e dato un numero naturale n con

!

n " 0 , dividere m per n vuole dire trovare due numeri interi q, r , con la condizione

!


!

m = n " q + r In tal caso q si chiama quoziente, r si chiama resto.

ESERCIZIO 5.4. (a) Esegua la divisione con resto – 1362 diviso 8. (b) Esegua la divisione per 3 dei numeri seguenti: – 6, – 3, – 5, –2. ESEMPIO 5.5 Ricordiamo la famiglia

!

B,E,F{ } di sottoinsiemi di N dell’esercizio 5.3:

!

B = 3 " k /k # N{ } = 0,3,6,9,12,...{ }

E = 3 " k +1/k # N{ } = 1,4,7,10,...{ }

F = 3 " k + 2 /k # N{ } = 2,5,8,...{ }

Esaminiamo la collezione di divisioni con resto che abbiamo ottenuto

!

0 = 0 " 3+ 0 3 =1" 3 + 0 6 = 2 " 3+ 0 ....

1= 0 " 3+1 4 =1" 3+1 7 = 2 " 3+1 ...

2 = 0 " 3+ 2 5 =1" 3+ 2 8 = 2 " 3+ 2 ...

... ... ....

Possiamo senza difficoltà estendere questo criterio ai numeri negativi


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!

"3 = "1( ) # 3 + 0 " 6 = "2( ) # 3+ 0 ....

"2 = "1( ) # 3 +1 " 5 = "2( ) # 3 +1 ...

"1= "1( ) # 3+ 2 " 4 = "2( ) # 3+ 2 ...

... ... ....

E otteniamo i seguenti tre sottoinsiemi di Z:

!

0[ ] = ...,"9,"6,"3,0,3,6,9,12,...{ }

1[ ] = ...,"5,"2,1,4,7,10,...{ }

2[ ] = ...,"4,"1,2,5,8,...{ }

Si osservi che in ognuno di questi insiemi possiamo ordinare i numeri e otteniamo un termine dal precedente aggiungendo sempre la differenza 3; per esempio, gli elementi di [1] si ottengono con la legge:

!

1+ 3 " z , con

!

z " Z .

Possiamo rappresentare questi numeri su una circonferenza, usando tre punti su di essa. Allo stesso modo, noi rappresentiamo tutte le ore su un singolo orologio usando dodici punti sulla sua circonferenza. La tredicesima ora di un giorno è rappresentata dallo stesso punto della prima ora, la quattordicesima dal punto della seconda, e così via.

Si osservi che questi sottoinsiemi sono disgiunti a due a due. Inoltre, l’unione dei tre sottoinsiemi è l’insieme Z. Quindi la relazione binaria “dare lo stesso resto nella divisione per 3” ci ha permesso di “classificare” tutti i numeri interi dal punto di vista della divisibilità per 3.

Consideriamo infine, con uno sforzo di astrazione, l’insieme formato da questi di questi tre sottoinsiemi:

Z3

!

= 0[ ], 1[ ], 2[ ]{ } Quindi Z3 è un insieme finito formato da tre elementi (è un insieme i cui elementi sono a sua volta tre insiemi) ESEMPIO 5.6 Ripeta passo a passo la costruzione che abbiamo svolto per la relazione “dare lo stesso resto nella divisione per tre” per il caso “dare lo stesso resto nella divisione per cinque” per arrivare all’insieme Z5. (Aiuto: Inizi considerando i possibili resti nella divisione per 5; trova svolto il lavoro nel libro Che cos’è la matematica?) Abbiamo visto quindi che per studiare i resti possiamo considerare tutti i numeri interi positivi e negativi, e non soltanto i numeri naturali. Possiamo descrivere in termini del tutto generali, per qualsivoglia numero naturale d, la struttura determinata in Z dalla relazione binaria “dare lo stesso resto nella divisione per d”, che si chiama relazione di congruenza e il cui studio fu iniziato da Gauss. DEFINIZIONE 5.5. Dato

!

d " N , diciamo che due numeri interi a,b sono congrui modulo d se danno lo stesso resto nella divisione per d. NOTAZIONE. Si scrive:

!

a " b modd( )


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PROPRIETÀ 5.7 Le seguenti affermazioni sono equivalenti: (i)

!

a " b modd( ) (ii) esiste un numero

!

z " Z tale che

!

a = b + z " d (iii) d divide

!

a " b Osservazione sulla dimostrazione. Per dimostrare questa proprietà basta applicare la definizione di congruenza. Osservate che dire che l’affermazione (i) è equivalente a l’affermazione (ii) richiede dimostrare due implicazioni:

!

(i)" (ii)(i)# (ii) supponiamo vera (i) e dimostriamo che allora si verifica (ii)

(i)$ (ii) supponiamo vera (ii) e dimostriamo che allora si verifica (i)

% & '

Questa relazione binaria non è una relazione d’ordine come le relazioni “maggiore o uguale” oppure “essere multiplo” nell’insieme N. La relazione di congruenza fra numeri presenta invece delle analogie con l’uguaglianza fra numeri. Essa verifica infatti delle proprietà analoghe, come le seguenti. PROPRIETÀ 5.8 La relazione di congruenza modulo d nell’insieme Z per qualsivoglia numero naturale d verifica le seguenti proprietà: (I) Proprietà riflessiva:

!

a " a modd( ) #a$ Z (II) Proprietà simmetrica:

!

se a " b modd( ), allora b " a modd( ) #a,b$ Z (III) Proprietà transitiva:

!

se a " b modd( ) e b " c modd( ), allora a " c modd( ) #a,b,c $ Z ESERCIZIO 5.5 Dimostri le tre proprietà.

La congruenza fra numeri si comporta quindi un po’ come la uguaglianza stessa fra numeri.Anzi, oltre ad essere riflessiva, simmetrica e transitiva essa “rispetta” le operazioni di addizione e moltiplicazione, proprio come l’uguaglianza numerica, ossia ha buone proprietà algebriche. Infatti noi sappiamo dall’algebra studiata a scuola che se

!

a = b e

!

e = f , allora si ha:

!

a + e = b + f

a " e = b " f

a # e = b # f

Allo stesso modo si hanno le seguenti proprietà algebriche

PROPRIETÀ 5.9 (PROPRIETÀ ALGEBRICHE DELLE CONGRUENZE). Dato un modulo

!

d " N qualsivoglia, e dati quattro numeri

!

a,b,e, f " Z con

!

a " b e

!

e " f (mod d), sono vere le seguenti uguaglianze:

!

a + e " b + f

a # e " b # f

a $ e " b $ f

(mod d)


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Grazie a queste proprietà algebriche è possibile usare il fatto che due numeri siano congrui

per un certo modulo per indagare i divisori di numeri anche molto grandi. ESEMPIO 5.7 Torniamo alle potenze di 7 del problema dell’inventario di una casa del papiro Rhind (si veda la lezione 5):

7 è uno dei resti della divisione per 12, possiamo scrivere quindi

!

7 " 7 (mod 12)

!

49 = 7 " 7 da resto 1 nella divisione per 12, ossia

!

72"1 (mod 12)

!

343 = 7 " 7 " 7 da resto 7 nella divisione per 12, ossia

!

73" 7 (mod 12)

Quest’ultima affermazione potete provarla eseguendo la divisione 343 diviso 12, ma basta semplicemente applicare la terza proprietà algebrica delle congruenze e moltiplicare le prime due congruenze: non soltanto questo ragionamento è più comodo, ma soprattutto esso può essere applicato con un semplice e così via alle infinite potenze di 7. Vediamo Che resto darà

!

2401= 7 " 7 " 7 " 7 nella divisione per 12? Moltiplichiamo la seconda congruenza per sé stessa è otteniamo che

!

74"1 (mod 12) .

Allo stesso modo, moltiplicando la seconda per la terza congruenza otteniamo che

!

75" 7 (mod 12)…

Ed è facile convincersi del fatto che tutte le potenze dispari di 7 saranno congrue con 7 modulo 12, ossia senza eseguire la divisione sappiamo che nella divisione per 12 il numero 7135 da resto 7 (anche se non sappiamo proprio che numero è). Questo genere di calcoli, usati nella ricerca di primi, erano quelli che eseguiva Gauss quando era nervoso (secondo la visione romanzata di Lehmann) oppure, come lui stesso scriveva al suo collega Johann Encke, quando impiegava un quarto d’ora libero per passare in rassegna un intervallo di mille numeri qua e là, spingendosi fino a numeri vicini a 3.000.000 (si pensi che fra il numero 1 e il numero 1.000.000 vi sono 78.498 numeri primi: e Gauss non aveva un computer!).

Ogni qualvolta consideriamo la congruenza modulo un certo numero naturale n, sono definiti

n sottoinsiemi dell’insieme Z: – l’insieme dei multipli di n, che indichiamo prendendo come rappresentante lo 0 – l’insieme dei numeri che danno resto 1 nella divisione per n, che indichiamo prendendo

come rappresentante 1, e così via fino a – l’insieme dei numeri che danno resto

!

n "1 nella divisione per n, che indichiamo prendendo come rappresentante il numero

!

n "1. Indichiamo con il simbolo Zn l’insieme formato da questi sottoinsiemi, che si chiamano classi

di congruenza.

Zn

!

= 0[ ], 1[ ], 2[ ],..., n "1[ ]{ } ESERCIZIO 5.6 Z7 è un insieme finito? Quale è la sua cardinalità? Consideri la congruenza modulo 7 e scriva per estensione e per comprensione la classe di congruenza [2]. ESEMPIO 5.8 L’aritmetica dell’orologio riguarda l’insieme Z12. Infatti, le lancette dell’orologio indicano l’ora “modulo” 12: se due persone si chiamano alle 7 di mattina e si danno appuntamento 3 ore dopo si vedranno alle 10; ma se si sentono invece alle 23 l’incontro sarà alle 2. Scriviamo:


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!

26 " 2 mod12( ) 5.5 Le quattro operazioni nella scuola primaria

Fino a tempi recenti, le quattro operazioni erano introdotto nella scuola primaria fin dalla

classe prima. Negli ultimi anni si è registrata una tendenza a introdurre in classe prima soltanto l’addizione, e soltanto numeri molto piccoli. Questa scelta danneggia il senso del numero del bambino e il suo interesse per la matematica.

Scrittura dei numeri e addizione

Fin dai primi giorni della classe prima i bambini lavorano sulla scrittura delle dieci cifre, i simboli di base del nostro sistema di notazione numerica. Questa attività ha un aspetto grafico che lo avvicina alla scrittura: oltre alle lettere dell’alfabeto, i bambini devono imparare a riconoscere nelle sue varie forme e tracciare agevolmente (rispettando proporzioni, allineamento e orientamento delle linee) la forma corsiva di altri dieci simboli.

La scrittura delle cifre 1,2, …9 è accompagnata da una riflessione matematica sui primi numeri naturali: quelli che esse rappresentano da sole (i numeri da uno a nove) e quelli che esse rappresentano prendendole a coppie (i numeri a due cifre).

Lo studio dell’addizione approfondisce la riflessione dei bambini sul concetto di numero naturale: l’idea di successore, l’ordinamento dei numeri, il carattere infinito. L’addizione è quindi la prima operazione che deve essere introdotta, e il lavoro su di essa deve iniziare insieme al lavoro sulla scrittura delle cifre, in tre forme:

– risoluzione orale di semplici problemi che si risolvono con un’addizione – calcolo mentale di semplici addizioni – scrittura in riga di semplici addizioni

La sottrazione

La fase immediatamente successiva è quella del lavoro in abbinamento su addizione e

sottrazione, che deve accompagnare il lavoro di introduzione del principio di scrittura posizionale delle cifre (decine e centinaia) e il lavoro sul confronto fra numeri e l’uso dei simboli > , <. =.

È stato opportunamente segnalato che ritardare l’introduzione di una seconda operazione ha portato i bambini a credere che la parola operazione sia sinonimo di addizione.

Riflettiamo sulla sottrazione dal punto di vista della matematica superiore. In Z possiamo sempre eseguire le sottrazioni: la sottrazione di due numeri interi è l’addizione

al primo numero dell’opposto del secondo numero; ad esempio:

!

4 " 5 = 4 + "5( ) = "1

Per questo motivo diciamo che la sottrazione in Z è l’operazione inversa dell’addizione:

!

m + n " n = m

!

m+n

" # " $n

" # " m

n$n

" # " +n

" # " n


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Questa circostanza ci fornisce un’indicazione didattica importante: lo studio dell’addizione e della sottrazione deve essere abbinato fin dalla classe prima:

!

5 + 3 = 8 quindi 8 " 3 = 5

7 " 2 = 5 perché 5 + 2 = 7 (prova dell'addizione)

Il secondo ragionamento corrisponde all’idea classica di prova della sottrazione, che da una parte serve a correggere gli eventuali errori (rafforzando l’autonomia di azione intellettuale del bambino), sia a rafforzare la consapevolezza del significato dell’addizione). A questo approccio bisogna aggiungere il confronto fra numeri (l’idea di maggiore e minore) che ci indica anche le sottrazioni che non possono essere eseguite.

Moltiplicazione e divisione

La moltiplicazione, abbinata alla divisione, è stata insegnata storicamente fin dal primo anno della scuola dell’obbligo, ovviamente in esempi numerici semplici.

La moltiplicazione può essere collegata a molti problemi, e non soltanto a quelli di proporzionalità diretta. Vi sono ad esempio i problemi geometrici di disposizioni quadrate o rettangolari, e i problemi combinatori (di conteggio, usando i diagrammi ad albero).

Il concetto di pari e dispari, le tabelline (che forniscono elenchi di multipli), sono i primi passi nella comprensione della struttura moltiplicativa di N. Qui, come nel caso del binomio addizione-sottrazione, un’idea chiave è quella dell’abbinamento delle operazioni di moltiplicazione e divisione, che corrisponde all’idea classica di prova della divisione:

!

30 ÷ 5 = 6 perché

!

6 " 5 = 30 Nel contempo, la divisione rende chiaro che non tutti i numeri sono legati dalla relazione

multiplo-divisore: infatti in tali casi compare il resto. Le tabelline allora forniscono un primo “bauletto” di coppie multiplo-divisore. La divisione con resto può essere capita meglio risolvendo semplici problemi.

Questo lavoro, da svolgere progressivamente nel corso della scuola primaria, è coronato dall’introduzione del concetto di numeri primo, che apre un’altra strada allo stupore: i numeri naturali sono infiniti in un modo perfettamente regolare, mentre i numeri primi, anch’essi infiniti, sfuggono al nostro controllo. Questo lavoro è anche propedeutico all’introduzione delle frazioni.

La divisione unifica molti problemi, fra cui quelli detti di “contenenza” e di “ripartizione”. Infatti, bisogna ricordare che, dato un numero

!

D = n "m , possiamo chiedere di dividere D in n oppure in m parti uguali (la divisione di ripartizione); oppure indagare quante parti uguali possiamo ottenere (divisione di contenenza). Ad esempio, consideriamo un numero:

!

D = n "m = n + n + n + ...+ n (m volte) Come ricorda Marc Le Bris, nelle prime divisioni che si propongono ai bambini in riferimento

a collezioni di piccoli oggetti (dividere sei biscotti tra due fratelli), il numero m delle volte rappresenta un primo passo di astrazione nella considerazione delle quantità attraverso i numeri. Ricordiamo però che la potenza della matematica sta nella capacità di sintesi, per cui un concetto matematico permette di “aggredire” intellettualmente contesti specifici diversi.

LA DIVISIONE, PERCHÉ ASPETTARE TANTO

Marc Le Bris, un maestro francese autore di un notevole libro intitolato Et vos enfants ne

sauront pas lire … ni compter (Stock, 2004) ha osservato: “l’operazione matematica della divisione


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è da trent’anni il centro di una battaglia titanica. Alcuni responsabili pedagogici del ministero dell’educazione nazionale hanno voluto a tutti i costi escludere il suo apprendimento dal corso di studi scolastico. La divisione sarebbe, secondo quanto si spiega ai maestri nelle conferenze di pedagogia, un’operazione bastarda, pesante, stancante, priva di interesse, in intelligente, che bisognerebbe sopprimere!” (intervento su “La scuola primaria: l’origine dell’insuccesso scolastico”, nel volume a cura di Laurent Lafforgue e Liliane Lurçat, La débâcle de l’école, de Guibert, Paris, 2007, p. 49). Egli si riferisce alla Francia, ma qualcosa di analogo è successo in molti paesi occidentali. Fino a non molto tempo fa, la divisione, nei casi più semplici, si iniziava in prima elementare: ripartire piccole quantità di oggetti fra amici e fratelli, poniamo sei macchinine per due bambini, è d’altra parte una situazione che si può analizzare oralmente e che emerge in modo spontaneo. Oggi, si aspetta spesso fino alla classe terza, quando gli esempi più semplici sono ormai fuori tempo massimo.

Lettura 5.1 Pitagora e il suo tempo

«Pitagora è nato in un periodo culturalmente stimolante. Il sesto secolo a.C. è caratterizzato da

importanti, a volte addirittura sensazionali, progressi nei settori più differenti. Si può dire senza esagerazione che questo è il periodo in cui vennero poste le fondamenta nella filosofia della natura, nella letteratura (i primi scritti in prosa), nell’arte e nell’architettura, come anche nella medicina e nella tecnica, della fioritura della cultura greca nell’età di Pericle e oltre. Il punto focale di questi sviluppi fu meno la madrepatria greca che la Ionia nell’Asia Minore, di cui faceva parte anche l’isola natale di Pitagora, Samo. Tra questa regione e le colonie greche in piena espansione nell’Italia meridionale e in Sicilia esisteva un vivace scambio. […]

Almeno l’elite ionica sembra dunque essere stata eccezionalmente aperta, curiosa e cosmopolita. Ciò concorda con il fatto che in questo periodo a Samo vennero realizzati capolavori architettonici e tecnici, che ancora un secolo dopo hanno destato l’incondizionata ammirazione di Erodoto. Essi erano: una galleria scavata nelle mura cittadine per assicurare l’approvvigionamento idrico della città, un gigantesco molo nel porto e “come terzo il tempio più grande di tutti quelli che conosciamo, il cui primo architetto fu Reco, figlio di Filea, una nativo dell’isola” (Erodoto, Storie, 3,60). Si dice che un altro architetto di questo tempio fu Teodoro – anch’egli di Samo – il quale trattò anche in un testo specialistico del gigantesco tempio di Era dal duplice peristilio (Vitruvio, Sull’architettura). Questo artista eccezionalmente poliedrico e innovativo, che si pensa abbia inventato, tra l’altro, uno strumento per misurare angoli, la livella ad acqua e il tornio, fu nello stesso tempo scultore, tecnico, architetto e – come il padre di Pitagora, secondo una parte della tradizione – tagliatore di gemme. Egli fece per esempio il famoso anello di Policrate, l’enorme cratere d’argento che Creso offrì a Delfi, e – da non dimenticare a causa del suo legame con Pitagora, l’“Apollo Iperboreo” – l’immagine del culto di Apollo Pizio a Samo.

La galleria scavata nel crinale di montagna a nord della città dall’architetto Eupalino di Megera per garantire un approvvigionamento a lungo termine di acqua, viene celebrata ancora ai nostri giorni come una “impresa insuperata di ingegneria”. Per abbreviare i tempi di costruzione si prese l’ardita decisione di affrontare la galleria, che misura 1036 metri, da entrambi i lati contemporaneamente. Nel mezzo dei lavori il crescente pericolo che la galleria crollasse e l’afflusso di acqua costrinsero evidentemente a tracciare una nuova linea di condotta, che richiedeva rilevanti capacità di disegno e di calcolo da parte di coloro che erano implicati (la deviazione introno alla zona problematica venne effettuata probabilmente utilizzando un modello planimetrico nella forma di un grande triangolo isoscele”. Anche da un punto di vista pratico l’impresa di ingegneria è sorprendente: quasi cinquemila metri cubi di roccia vennero tagliati dalla montagna usando martelli e scalpelli e portati alla luce, altri trecento metri cubi vennero nuovamente trasportati dentro per


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finire, con la massima cura, le pareti della galleria. Questa struttura viene oggi datata, in base ai ritrovamenti archeologici, intorno al 550 a.C. circa, cioè ancora prima del periodo in cui Policrate prese il potere (circa il 535 a.C.) Così la sua costruzione cade nella tarda giovinezza di Pitagora. È difficilmente pensabile che non fosse familiare a Pitagora questo ardito progetto di ingegneria, che venne certamente progettato a un tavolo da disegno, e che deve aver richiesto anni per essere realizzato.

[Tratto da Christoph Riedweg, Pitagora, cap. II “Alla ricerca del Pitagora storico”, Vita e Pensiero, Milano, pp. 99-102] Esercizi 1) Quale sono le regolarità dei numeri naturali che abbiamo individuato nel corso della lezione 3? 2) L’enigma dei numeri nelle antiche civiltà. Discuta il tema seguente, anche alla luce dei capitoli 1, 2 e 3 del libro All’inizio fu lo scriba: Fin dalla creazione dei primi sistemi di numerazione, i numeri hanno esercitato sugli uomini di tutte le culture un fascino che va molto al di là degli aspetti di utilità: in essi sembrava essere nascosto il mistero più profondo dell’universo. 3) Spieghi la differenza tra aritmetica pratica e teoria dei numeri.

«La maggior parte delle proposizioni della teoria dei numeri, come accade per la matematica nel suo complesso, non si riferiscono a un singolo oggetto – il numero 5 o il numero 32 – ma a un’intera classe di oggetti aventi qualche proprietà in comune, come la classe di tutti i numeri pari,

2, 4, 6, 8, …, o la classe di tutti i numeri interi divisibili per 3,

3, 6, 9, 12,… o la classe di tutti i quadrati dei numeri interi,

1, 4, 9, 16, … e così via.» (Courant, Robbins, Che cos’è la matematica, pp. 59-60)

4) I pitagorici e l’indagine greca sui numeri (usi il primo paragrafo del capitolo 3 del libro All’inizio fu lo scriba). 5) La definizione di numero pari, di numero dispari, di numero primo e di numero composto che si trovano nel libro VII degli Elementi di Euclide (il primo dei tre dedicati alla teoria dei numeri) rientrano nello studio della divisibilità? Spieghi perché. 6) Quanti sono i divisori del numero 72? 7) Dimostrare che se un numero naturale n divide a e b (con a, b due numeri naturali), allora n divide

!

a + b . (Rileggere quanto abbiamo detto su che cosa è una proposizione e che cosa è una dimostrazione nella lezione 3). 8) Nei paragrafi 5.1 e 5.2 la parola divisore è stata usata con due accezioni diverse. Spiegare la differenza.


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9) La divisione con resto in N è l’operazione inversa della moltiplicazione in N? 10) Consideri il problema seguente:

“In un banco del mercato le arance costano 1 euro al kg, e in un altro 3 euro al kg. Nel primo banco le zucchine costano 2 euro al kg, quanto costeranno nel secondo banco?”

Valuti le previsioni possibili, a seconda che stabiliamo fra i prezzi del mercato un confronto

additivo o moltiplicativo. 11) Esamini il ragionamento proporzionale nel seguente testo, che è presentato in un sussidiario di classe seconda collegandolo alla moltiplicazione di numeri naturali.

«– Io sono più vecchia di te, Giorgio, se contiamo i miei anni come quelli dei cani – disse Lea. Il fratello alzò gli occhi e sospirò. – È proprio così, se contiamo i miei anni come quelli dei cani. Capito? Un anno di cane è come

sette anni di un umano. Prendi Balù per esempio, il cane qui sotto. Lui ha sei anni, ma la mamma mi ha detto che è come se ne avesse quarantadue. Tu hai dodici anni mentre io ne ho sei, ma se li contiamo come gli anni dei cani, io ne ho quarantadue, come Balù. Quindi sono più vecchia.

Giorgio le spiegò: – Senti, se io ho dodici anni come ragazzo, come cane ne avrei …– si concentrò, contando sulla punta delle dita sotto il tavolo. – Ne avrei ottantaquattro, più o meno. Quindi, calcolando i nostri anni come quelli dei cani, io ne avrei sempre il doppio di te.»

Tratto da Sally Warner, Anni di canne, Piemme, Milano, 1999 (adattamento nel libro Francesca

Fortunato, Il tempo delle ciliegie, 2, Il libro di lettura, Minerva Italica, Milano) Quali domandi porrebbe in classe in una “conversazione matematica”? Provi a pensare anche alla costruzione di una tabella. Confronti il paradosso o inganno che vi è sotto al ragionamento della bambina con la vicenda di Bartolomeo e Teresa 12) Esamini la risoluzione dei seguenti due problemi e li colleghi alla divisione in N o divisione con resto:

(a) «In 170 bambini si sono iscritti al corso di inglese il sabato mattina. Le insegnanti di inglese vogliono formare gruppi di 20 bambini: quanti gruppi di inglese devono organizzare?» (b) «Abbiamo a disposizione 1 m e 70 cm di nastro rosso per attaccare un piccolo pezzo di nastro ad ogni bambino della classe I (20 bambini) in gita al parco vicino alla scuola. Di quale lunghezza dobbiamo tagliare i pezzi di nastro?» Rifletta sull’uso dei sottomultipli delle unità di lunghezza per evitare l’uso di numeri diversi

dai numeri naturali. Possiamo risolvere questi problemi in classe in prima elementare? Possiamo proporre questi problemi come lavoro individuale in prima elementare? Come si può proporre questo problema come lavoro collettivo? Ha senso risolvere questi problemi usando materiali concreti (ad esempio un pezzo di nastro)?

13) Consideri il seguente problema elementare. La classe prima, formata da 18 bambini, e la classe seconda, formata da 23 bambini, vanno in gita accompagnate da tre maestre. Per gli spostamenti si prenotano dei pulmini da dieci posti. Come possiamo distribuire i bambini? Analizzi il problema in vista di una discussione con i bambini spiegando i concetti matematici sottostanti.


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14) Applicare il crivello di Eratostene descritto nel libro Il mago dei numeri per trovare tutti i numeri primi minori o uguali di 100. 15) Possiamo usare lo stratagemma che ci è servito che esistono infiniti numeri primi per ottenere numeri primi. Applicare il procedimento per costruire cinque primi, a partire da

!

p1

= 2, p2

= 3. 16) «I numeri primi hanno un ruolo molto importante in aritmetica perché costituiscono i

“mattoni di base” per la struttura moltiplicativa di N» (Di Sieno, Levi, Aritmetica di base, p. 56) Spiegare il ruolo dei numeri primi nella struttura moltiplicativa di N. Quale teorema matematico rivela tale ruolo?

17) (i) Definire la relazione di congruenza modulo 5 definita sull’insieme dei numeri interi Z.

(ii) Determinare le classi di equivalenza che essa determina in Z. (iii) L’insieme quoziente è un insieme finito? (iv) Giustificare se la seguente proposizione è vera o falsa:

!

8 " #7 mod 5

18) (i) I numeri 27 e 15 sono congrui modulo 4?; (ii) 0 e 6 sono congrui modulo 3? (iii) 0 e11 sono congrui modulo 5? Sono congrui modulo 3? (iv) quando due numeri sono congrui modulo 10?

19) Rappresentare graficamente sulla circonferenza gli insiemi Z4 e Z6. Sono due insiemi finiti? 20) Discutere il brano seguente:

«Nell’aritmetica ordinaria dei numeri naturali si possono sempre eseguire le due operazioni fondamentali, l’addizione e la moltiplicazione. Ma le “operazioni inverse”, la sottrazione e la moltiplicazione, non sono sempre possibili. […] Un gran passo per rimuovere queste restrizioni fu compiuto quando si introdusse il simbolo 0, ponendo

!

a " a = 0. Ma ancora più importante fu l’introduzione dei simboli –1, –2, –3, …, che, insieme con la definizione

!

b " a = " a " b( ) nel caso

!

b < a, resero la sottrazione possibile senza restrizioni nel campo dei numeri interi positivi e negativi. Per includere i nuovi simboli –1, –2, –3, …, in un’aritmetica più estesa che comprenda i numeri interi sia positiva che negativi, dovremmo, naturalmente, definire le operazioni su di essi in maniera tale che siano mantenute le proprietà originarie delle operazioni aritmetiche.» (Courant, Robbins, Che cos’è la matematica, p. 96)

21) Quale è l’etimologia e il significato della parola algoritmo? 22) Che cosa è contare? Enunci la definizione matematica di contare (e di insieme finito) e spieghi il ruolo del contare nei primi passi del bambino nella matematica. 23) I concetti di base di una delle più antiche branche della matematica, la teoria dei numeri, quali l’idea di pari e dispari, i concetti di multiplo e di numero primo sono introdotte nella scuola primaria. Discuta questa affermazione anche alla luce del triplice ruolo della matematica elementare nella scuola primaria esaminati nella lezione 1. 24) Dimostri che il prodotto di due multipli di 12 è divisibile per 9.


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25) Calcoli i MCD (61,24); MCD (105, 385). 26) Un bandito insieme ai suoi seguaci ha accumulato un bottino di 660 monete d’oro. Arriva il momento di ripartire i guadagni, e il bandito afferma: dividerò il bottino in parti uguali (i seguaci sono ben 35), io mi terrò soltanto il resto. È proprio buono questo bandito, oppure è furbo? Analizzi questo problema in vista della sua applicazione in classe nella scuola elementare. 27) Quale è il lato del minor quadrato che si può costruire unendo piastrelle di 6 cm x 15 cm? Analizzi questo problema in vista della sua applicazione in classe nella scuola elementare. 28) Per dividere un grande spazio nel reparto amministrativo di una fabbrica, che misura 12 m x 18 m, si stabiliscono recinti quadrati uguali. Quali sono le possibili soluzioni? Analizzi questo problema in vista della sua applicazione in classe nella scuola elementare. Altri esercizi: Aritmetica di base, cap. 3; In equilibrio su una linea di numeri

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