Matematica e didattica della matematica -...

Matematica e didattica della matematica Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria

a.a. 2008-09 Docente: Ana Millán Gasca

Lezione 6 Il sistema dei numeri nella matematica: i numeri razionali (parte II) 6. 3. Necessità intrinseca dei numeri razionali: la costruzione di Q come estensione dei numeri interi (continua)

ESERCIZIo 6.2 : Usiamo la notazione frazionaria dei numeri razionali. Consideri i numeri

!

1

4 e

!

1

2; esegua la

addizione e la moltiplicazione usando le definizioni. Verifichi che usando le frazioni equivalente

!

2

8 e

!

3

12 il

risultato è una frazione equivalente alle frazioni ottenute in precedenza. Le operazioni di addizione e di moltiplicazione di numeri razionali verificano le otto

proprietà (1)-(8) di cui godevano l’addizione e la moltiplicazione dei numeri interi (si confronti la lezione 3):

1) proprietà commutativa dell’addizione:

!

"n,m # Q,n + m = m + n

2) proprietà commutativa della moltiplicazione:

!

"n,m # Q,n $m = m $ n

3) proprietà associativa dell’addizione:

!

"l,n,m # Q,l + n + m( ) = l + n( ) + m 4) proprietà associativa della moltiplicazione:

!

"l,n,m # Q,l $ n $m( ) = l $ n( ) $m 5) proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione:

!

"l,n,m # Q,l $ n + m( ) = l $ n + l $m 6) proprietà di esistenza dell’elemento neutro per la moltiplicazione: si tratta del numero

razionale 1 (abbiamo visto che in Q esso è

!

1,1( )[ ]) il quale verifica che

!

"n # Q,n $1= n 7) proprietà di esistenza dell’elemento neutro per l’addizione: si tratta del numero razionale

0 (abbiamo visto che in Q esso è

!

0,1( )[ ]) il quale verifica che

!

"n # Q,n + 0 = n 8) proprietà dell’elemento simmetrico per l’addizione (elemento opposto)

!

"n # Q,$n* # Q tale che n + n*

= 0 .

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Ana Millán Gasca

11

ESERCIZIO 6.3. Consideri il numero razionale

!

3,4( )[ ] . Quale è il numero razionale opposto? Scriva l’espressione decimale dell’opposto e proponga due notazioni frazionarie. Verifichi che l’addizione di

!

3,4( )[ ] con il suo opposto è

!

0,1( )[ ] .

Dato un numero razionale

!

v = a,b( )[ ] , quale è il suo elemento opposto?

Oltre a queste proprietà algebriche, nell’insieme Q si ha un’altra proprietà: ogni numero

razionale v ha un elemento simmetrico per la moltiplicazione, detto anche inverso di v, ossia esiste un altro numero razionale che moltiplicato per v da come risultato 1.

Aggiungiamo quindi la proprietà:

9) proprietà dell’elemento simmetrico per la moltiplicazione:

!

"v # Q,$v* # Q : v % v* =1. ESEMPIO 6.5 Consideriamo di nuovo il numero razionale

!

3,4( )[ ] .

!

3,4( )[ ] = c,d( )" Z # Z*: 3 $ d = 4 $ c{ } = 3,4( ), %3,%4( ), 6,8( ), %6,%8( ), 9,12( ),...{ }

L’inverso di

!

3,4( )[ ] è il numero razionale

!

4,3( )[ ]

!

4,3( )[ ] = c,d( )" Z # Z*: 4 $ d = 3 $ c{ } = 4,3( ), %4,%4( ), 8,6( ), %8,%6( ), 12,9( ),...{ }

Se prendiamo come rappresentate dell’intera classe la coppia

!

6,8( ), che in forma di frazione è

!

6

8, allora

l’inverso è la classe di tutte le coppie equivalenti a

!

8,6( ), ossia in forma di frazione

!

6

8.

Verifichiamo che è così:

!

3,4( )[ ] " 4,3( )[ ] = 3 " 4,4 " 3( )[ ] = 12,12( )[ ] =1

Per ottenere l’elemento simmetrico di un numero razionale v (detto inverso di v, e si scrive

!

1

v) basta

scegliere un rappresentante della classe v, e considerare la classe di equivalenza della coppia ordinata che si ottiene cambiando l’ordine delle due componenti:

dato

!

v " Q, allora

!

v = a,b( )[ ] e l’inverso di v è

!

1

v= b,a( )[ ]

Inverso di un numero intero

Un numero intero non ha inverso nell’insieme Z, ma visto come numero razionale ha un inverso che è un numero razionale non intero:

ESEMPIO 6.6

!

7visto come numero razionale

" # " " " " " " " 7,1( )[ ] inverso" # " " 1,7( )[ ] scritto come frazione

" # " " " " " 1

7


12

La divisione in Q La divisione in Q può essere eseguita sempre, essa è semplicemente la moltiplicazione per

l’inverso: dati due numeri razionali v e w,

!

v ÷ w = v "1

w

Ad esempio,

!

1

4÷3

5=1

4"5

3=5

12

La divisione in Q associa ad ogni coppia di numeri razionali v e w (naturali o no) un solo

numero q, il quoziente, che verifica la condizione

!

v = w " q Essa è l’operazione inversa della moltiplicazione nel senso che se parto dal numero v, lo

divido per il numero w e poi moltiplico il risultato per w, ottengo di nuovo il numero v di partenza.

Le “due divisioni” dei numeri interi In particolare, la divisione fra due numeri interi si può sempre eseguire se li vediamo in Q:

!

7 ÷ 3 =7

3

oppure, scritto in modo completo usando le classi di equivalenza:

!

7,1( )[ ] ÷ 3,1( )[ ] = 7,3( )[ ] Si ricordi che la divisione nell’aritmetica elementare, ossia la divisione in N che abbiamo

studiato nella lezione 5, non è l’operazione inversa della moltiplicazione che si può avere solo immergendo N in Q.

Nel nostro esempio, la divisione in N associa a dividendo 7 e divisore 3 il quoziente 2 e il resto 1:

!

7 = 3 " 2 +1

6.4. L’ordinamento dei numeri razionali. Interpretazione geometrica.

Nell’ampliare il sistema dei numeri da N a Z abbiamo conservato l’ordinamento totale. Anche l’insieme Q ha un ordinamento totale: infatti possiamo sempre comparare due frazioni e sapere quale è maggiore dell’altra. Questo ci permette anche di rappresentare le frazioni sulla retta numerica. Vediamo come si definisce questa relazione d’ordine nel quadro teorico che abbiamo costruito. Ci serve prima distinguere numeri razionali positivi e negativi, con una definizione molto semplice che usa il confronto fra il segno del numeratore e del denominatore. Numeri razionali positivi e negativi Due numeri interi si dicono concordi se sono entrambi positivi o entrambi negativi; si dicono discordi se uno è positivo e l’altro negativo. Dato un numero razionale v qualsivoglia, e prendiamo un rappresentante

!

v = a,b( )[ ]


13

– se a e b sono concordi, e scegliamo a piacere un altro rappresentante

!

c,d( ), allora c e d saranno concordi

– se a e b sono discordi, e scegliamo a piacere un altro rappresentante

!

c,d( ), allora c e d saranno discordi

(per convincersi basta riflettere al legame aritmetico fra i quattro numeri a, b, c e d). DEFINIZIONE Un numero razionale

!

v = a,b( )[ ] si dice positivo se a e b sono concordi. Un numero razionale

!

v = a,b( )[ ] si dice negativo se a e b sono discordi. L’ordinamento totale di Q

Ora possiamo definire la relazione binaria “essere maggiore o uguale” nell’insieme Q. DEFINIZIONE Dati due numeri razionali v, z, si dice che v è maggiore o uguale di z, e si scrive

!

v " z se

!

v = z oppure esiste un numero razionale positivo w tale che

!

v = z + w . Questa relazione è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, e quindi è una relazione d’ordine in Q. Questo ordinamento estende quello dei numeri interi, vale a dire, se

!

n " m in Z allora anche come numeri razionali si ha che

!

n,1( )[ ] " m,1( )[ ] (prendendo come rappresentante la frazione ridotta

ai minimi termini:

!

n

1"m

1. Come succedeva già in Z, questa relazione d’ordine non è un buon

ordinamento (il sottoinsieme dei interi negativi, ad esempio, non ha minimo). L’ordinamento di Q è diverso da quello di Z perché esso non ha “buchi” o salti. Fra due numeri interi come 8 e 15 vi sono sei numeri interi; ma fra numeri interi come 3 e 4, oppure tra -2 e -1, non vi è nessun altro numero intero. Invece scegliendo a piacere due numeri razionali, vi è sempre un altro numero razionale. ESEMPIO 6.7 Considerare i due numeri razionali

!

v = [(3,5)] e

!

z = [(9,5)]. Trovi la loro scrittura decimale e una scrittura frazionaria. Rappresenti graficamente in vari modi questi numeri razionali. Rappresenti graficamente v e z sulla linea dei numeri, e consideri il segmento di estremi v e z. Quale è il numero razionale w che, sulla linea dei numeri, si trova rappresentato dal punto medio di tale segmento? In generale, fra due razionali diversi esiste sempre almeno uno “intermedio”: si dice per questo motivo che i numeri razionali hanno la proprietà di densità. PROPRIETÀ DI DENSITÀ Dati

!

v,z " Q,

!

v < z, esiste

!

w " Q tale che

!

v < w < z

Per dimostrare questa proprietà basta vedere che il numero razionale

!

v + z

2 che è a “metà strada” verifica la

condizione. Iterando questa procedura, è facile convincersi del fatto che fra due razionali diversi esistono infiniti razionali; fra due razionali esiste il punto medio, fra il primo di essi e il punto medio esiste il punto medio, e così via. Quanti sono i numeri razionali?

Dalla proprietà di densità non bisogna ricavare l’idea che i razionali “siano molto di più” degli interi. Ricordiamo però che bisogna stare molto attenti nei ragionamenti riguardanti gli insiemi infiniti: abbiamo visto l’esempio dei numeri pari che è un sottoinsieme dell’insieme N ; poi


14

abbiamo visto che, anche se i numeri negativi sembrano “molti di più” oppure “il doppio” dei numeri naturali. L’insieme dei numeri pari, così come l’insieme dei numeri interi, sono insiemi numerabili, ossia, esiste una corrispondenza biunivoca fra questi insiemi e l’insieme N.

Anche l’insieme Q è numerabile: può essere stabilita una corrispondenza biunivoca fra l’insieme Q e l’insieme dei numeri naturali (si veda Che cos’è la matematica, pp. 124-125) 6.5. La scrittura dei numeri razionali in forma decimale.

Oltre alla notazione frazionaria, ogni numero razionale ha un’espressione decimale o sviluppo decimale nel sistema di numerazione posizionale decimale. Esempio 6.8 Torniamo per l’ultima volta al numero razionale dell’esempio 6.3

!

3,4( )[ ] = 3,4( ), "3,"4( ), 6,8( ), "6,"8( ), 9,12( ),...{ }# Q che possiamo rappresentare usando la notazione frazionaria di uno dei rappresentanti:

!

3,4( )[ ] in forma di frazione" # " " " " "

3

4,6

8,

9

12,…

oppure possiamo rappresentare con la sua espressione decimale, ossia, separando la parte intera (che in questo caso è 0) dalla parte frazionaria e usando la decomposizione della parte frazionaria come somma di frazioni decimali:

!

3,4( )[ ]" # " 3

4= 7 $

1

10+ 5 $

1

100" # " 0,75

Per ottenere la parte intera di un numero razionale, che si colloca a sinistra della virgola

nell’espressione decimale posizionale, ci basta eseguire la divisione in N del numeratore per il denominatore: il quoziente è la parte intera.

Per esempio, consideriamo il numero razionale

!

29,4( )[ ]" # " 29

4

eseguiamo la divisione 29 diviso 4 e otteniamo:

!

29 = 7 " 4 +1. Quindi 7 è la parte intera dell’espressione decimale. La parte frazionaria si desume dalla divisione in N che abbiamo appena

eseguito è

!

1

4:

!

29

4= 7 +

1

4

che dobbiamo esprimere come somma di frazioni decimali moltiplicate per certi numeri. Questi numeri possiamo calcolarli ad esempio usando l’algoritmo di divisione con la virgola:

!

1

4= 2 "

1

10+ 5 "

1

100# $ # parte frazionaria 25


15

La rappresentazione decimale dei numeri varia a seconda della base di numerazione scelta.

Questo tipo di scrittura dei numeri non interi usando il principio posizionale fu per molto tempo un uso di tipo erudito, in particolare in astronomia. La sua origine si colloca nell’epoca babilonese, e continuò ad essere usata dagli studiosi greci e oltre; ma la procedura antica aveva due differenze importanti con quella moderna: – non usavano la virgola: gli scribi capivano il significato posizionale intero o frazionario delle cifre a seconda del contesto – usavano indicare la parte non intera dei numeri usando un decomposizione in frazioni sessagesimali, ossia

!

a1"1

60+ a

2"1

602

+ a1"1

603

+ ...

La rappresentazione decimale posizionale dei numeri razionali usando le frazioni decimali ha un significato aritmetico ben preciso se il rappresentante ridotto ai minimi termini del numero divide qualche potenza di 10. In questo caso si avrà quindi una rappresentazione posizionale decimale di questa forma:

!

v = an"10

n+ a

n#1 "101

+ ...+ a2"10

2+ a

1"10 + a

0+ b

1"1

10+ b

2"1

102

+ ...+ bm"1

10m

Se il denominatore non verifica la condizione menzionata, si ha uno sviluppo decimale illimitato: si hanno infinite cifre decimali dopo la virgola, che però presenta una regolarità, ossia le cifre dopo la virgola si ripetono periodicamente. Ad esempio, la frazione dell’esempio 6.1,

!

34

7= 4,857142857142...

quindi il numero 4,85 era soltanto una approssimazione, poiché nella matematica pratica le approssimazioni con espressione decimale limitata bastano. Infatti in questo caso l’espressione decimale ha un significato aritmetico molto chiaro. Vediamo invece il significato dell’espressione decimale periodica in un caso semplice:

!

1

3= 0,3333...

Torniamo qui ai misteriosi puntini …. che indicano l’infinito. Ma che significa in questo caso questa rappresentazione? Abbiamo che

!

1

3= 3 "

1

10+ 3 "

1

102

+ 3 "1

103

+ 3 "1

104

+ ...

Quindi si tratta di una somma infinita, che esce fuori dal recinto dell’aritmetica, della matematica elementare. La matematica moderna si occupa di queste somme infinite grazie al concetto astratto di limite, che è una delle idee che hanno portato allo sviluppo di branche moderne come l’analisi


16

matematica. Grazie all’analisi la matematica ha fornito alla fisica e alla scienza un potente strumento di ricerca delle leggi dei fenomeni naturali. Esercizi 1) Seguendo la traccia dell’esempio 6.1, consideri il seguente problema:

Abbiamo a disposizione un’ora alla radio per 7 brevi interviste. Quanto tempo possiamo dedicare ad ogni intervista?

2) «Presso gli Egizi le sole frazioni ad avere diritto di cittadinanza erano quelle con numeratore

unitario, eccezion fatta per rarissimi casi come la frazione

!

2

3, per la quale esisteva sia un nome

particolare (che tradotto suona “due parti”), quasi a voler sottolineare il fatto che, con la

aggiunta di

!

1

3, si ottiene l’unità, sia un simbolo particolare. Tutte le altre frazioni venivano

espresse come somma di frazioni unitarie e poiché il ritrovarle doveva essere piuttosto complicato, esistevano delle tabelle di facile consultazione, adatte a questo scopo.» (Silvia Roero, in L’alba dei numeri )

Il numeratore 1 della frazione unitaria

!

1

n (detto in termini moderni, l’inverso del numero naturale n)

non si scriveva: tale frazione veniva annotata scrivendo il simbolo per n sormontato dal geroglifico che stava per “parte”.

Scriva, usando la notazione egizia, le seguenti frazioni: a)

!

1

5 ; b)

!

2

5; c)

!

3

5

3) In uno dei più importanti documenti della matematica egizia, il rotolo di cuoio (risalente al 1650 a. C. circa e conservato presso il British Museum), si ritrova una tabella di decomposizione di frazioni unitarie in somma di due o più frazioni unitarie. Provi a ricostruirne alcune righe:

!

1

8

!

1

40

!

1

!

1

20

!

1

5

!

1

3

!

1

!

1

4

!

1

5

!

1

!

1

!

1

3

!

1

2

!

1

!

1

!

1

!

2

3

!

1

7

!

1

42

!

1

!

1

14


17

3) Spieghi brevemente i tre punti di vista secondo cui può essere considerata una frazione, e proponga un esempio per ognuno di essi. A quale dei tre si può ascrivere la notazione percentuale, come ad esempio 40%? 4) Verifichi che la relazione di equivalenza sull’insieme

!

Z " Z* data da:

!

a,b( )R

!

a',b'( ) se

!

a " b'= b " a' è una relazione di equivalenza. Risponda alle seguenti domande usando la definizione della relazione R. i)

!

3,6( ) appartiene alla classe di equivalenza di

!

21,42( )? ii)

!


!

"3,"6( )? iii)

!


!

1,"3( )?. 5) I numeri razionali

!

21,42( )[ ] ,

!

"3,"6( )[ ] ,

!

1,"3( )[ ] sono positivi o negativi? Scelga per ognuno di essi due rappresentanti e li scriva sia come coppia ordinata, sia come frazione. Rappresenti graficamente questi numeri usando una retta. 6) Che cos’è un numero razionale? Che rapporto intercorre fra il concetto di numero razionale e le frazioni? 7) Quale è la scrittura decimale dei numeri razionali dell’esercizio 5? 8) Ricordiamo che in N non possiamo definire un’operazione interna che sia l’inversa della moltiplicazione. Detto in altri termini, l’operazione moltiplicazione in N non gode della proprietà di esistenza dell’elemento simmetrico. Illustri qual’è la situazione in Q. Esiste l’operazione inversa della moltiplicazione? Ogni numero razionale ha un elemento simmetrico? Quale è l’elemento simmetrico del numero razionale [(4,7)]? 9) Il numero 4 è un numero razionale? Precisare in quale senso, ricordando l’immersione di Z in Q. Il numero 4 ha un elemento opposto in Q? Ha un elemento inverso in Q? 10) Consideri i numeri naturali 7 e 15 in Q. Quale è il risultato dell’operazione 7:15 in Q? Illustri la differenza tra il concetto di quoziente introdotto nel § 6.3 e quello introdotto nella lezione 3. 11) Consideri i numeri 0 e 2. Li rappresenti come estremi di un segmento di 16 cm. Divida il segmento in due parti e ripeta l’operazione cinque volte. Associ un numero razionale a ognuno dei punti ottenuti. Quanti numeri razionali vi sono fra 0 e 1? Quanti numeri interi? La divisibilità all’infinito di un segmento di retta è uno dei temi dei famosi paradossi di Zenone di Elea. Ad esempio, Zenone affermava che il moto non può esistere, perché per percorrere la distanza che separa un punto da un altro dobbiamo percorrere prima la metà del tragitto, poi la metà del tragitto rimanente, poi ancora la metà: quindi non arriverà mai. Il percorso è quindi:

!

1+1

2+1

4+1

8+ ...

I pensatori greci si confrontarono con l’infinito matematico sia per molteplicità (la generazione di infiniti numeri naturali aggiungendo 1) sia per divisibilità, come in questo ultimo esempio. Così come la matematica moderna è riuscita a ricondurre a degli assiomi l’infinito dei numeri naturali, essa ha anche escogitato delle procedure per ottenere la somma delle somme infinite.


18

12) Rappresenti sulla linea dei numeri, calcoli la parte intera e ottenga la scrittura decimale dei

numeri razionali -4, 7,

!

1

2,

!

9

8,

!

"9

8.

13) Dobbiamo eseguire l’addizione dei due numeri razionali seguenti:

!

8

7 e

!

10

6. Quali rappresentanti

è utile scegliere per facilitare il calcolo? Esprimere in notazione frazionaria entrambi questi numeri usando la frazione ridotta ai minimi termini. 14) (i) Definire la relazione di congruenza modulo 4 definita sull’insieme dei numeri interi Z.

(ii) Determinare le classi di equivalenza che essa determina in Z. (iii) L’insieme quoziente è un insieme finito? (iv) A quale classe di equivalenza appartengono i multipli di 4? (v) Giustificare se la seguente affermazione è vera o falsa:

!

18 " #9 mod 4 15) Una confezione in scatola di 30 cioccolatini è in offerta al supermercato. Sei amici hanno

comprato una scatola e intendono dividerla a parti uguali; ma Marco oggi non è potuto venire. Quanti cioccolatini hanno mangiato? Confrontiamo i cioccolatini rimasti con la scatola: come possiamo indicare il rapporto. Discuta il problema alla luce delle idee introdotte nella lezione in vista di una discussione a scuola.

16) Dividere 13 caramelle fra 5 amiche; dividere 13 cm di nastro in 5 parti. Scriva un problema e

prepari la discussione in classe alla luce dei concetti discussi nella lezione 3 e nella lezione 6. Ricordi il ruolo dei sottomultipli

Altri esercizi: Aritmetica di base, cap. 4, no.1-9, 19-22; In equilibrio su una linea di numeri, cap. 4, no. 50-67.

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