Matematica Basica Para Administ

8/15/2019 Matematica Basica Para Administ

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UNIVERSID

FACULTAD

INSTIT

INFORME FINAL

“TEXTO: MESTUDIAN

ECONO

AUTOR: E

(PERIODO DE EJE

Del 01 de Febrero

RESOLUCIÓN REC

1

D NACIONAL DEL CALLAO

E CIENCIAS ADMINISTRATIVA

TO DE INVESTIGACIÓN

DE TRABAJO DE INVESTIG

ATEMATICA BASICA PES DE ADMINISTRACIO

IA Y CONTABILIDAD”

O. SIMON BENDITA MAMANI

UCIÓN:

el 2008 al 31 de Marzo del 2010

ORAL Nº 332-2008-R)

Marzo de 2010

ALLAO - PERÚ

CIÓN

RAN,


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INFORME FINAL 2010

A.-ÍNDICE

B.-RESUMEN

C.-INTRODUCCIÓN

D.-MARCO TEÓRICO

E.-MATERIALES Y MÉTODOS

F.-RESULTADOS

G.-DISCUSIÓN

H.-REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

I.-APÉNDICE

J.-ANEXOS


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B. RESUMEN

El presente Proyecto de Investigación tuvo como propósito la elaboración

de un texto universitario titulado MATEMATICA BASICA PARA

ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD.

El texto se propone apoyar la formación profesional de los alumnos de las

Escuelas Profesionales de Administración, Economía y Contabilidad, en el

curso de Matemática Básica. Se trata de un texto básico que expone de

manera sucinta los temas teóricos correspondientes de Matrices,

determinantes, Nociones de lógica, Teoría de conjuntos, Sistema de

números Reales, Inecuaciones, Valor Absoluto, Máximo Entero, la Recta,

La Circunferencia, La Parábola, La Hipérbola, La Elipse y Funciones en los

números reales, en las que se pone mayor énfasis a la resolución de

problemas que tienen aplicaciones a las especialidades de Administración,

Economía y Contabilidad.

La elaboración de este texto permite que los alumnos no tengan dificultad

de desarrollar el curso, ya que esta didácticamente plasmada los tipos de

problemas para cada uno de los temas, y asimismo, el docente podrá

utilizar como consulta en los capítulos de mayor interés Además, los

diversos temas tratados en este texto son abordados bajo un enfoque

didáctico y analítico, que es la forma correcta de resolver las diversas

situaciones problemáticas presentadas.

El texto titulado MATEMATICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE

ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD, presenta al inicio de

cada capítulo un resumen teórico y luego problemas de aplicación.


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C. INTRODUCCIÓN

El proyecto de investigación realizado está referido a la elaboración de un

texto universitario, cuya finalidad es apoyar en la formación profesional de

los alumnos de las Facultades de Administración, Economía y Contabilidad.

Durante mi experiencia en la docencia universitaria, en el intento de

encontrar textos necesarios para la enseñanza del curso de Matemática

Básica, he comprobado que los textos utilizados son muy extensos, donde

los temas de estudio se hallan muy dispersos y por lo general se

encuentran en una secuencia que no necesariamente corresponde a la

secuencia de un curso para los alumnos de las Facultades de

Administración, Economía y Contabilidad, por tal motivo es necesario hacer

una sistematización de acuerdo al sílabo de la asignatura que estudia los

temas: Matrices, determinantes, Nociones de lógica, Teoría de conjuntos,

Sistema de números Reales ,Inecuaciones, Valor Absoluto, Máximo Entero

la Recta, La Circunferencia, La Parábola, La Hipérbola, La Elipse y

Funciones en los números

El Texto MATEMATICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE

ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD, elaborado por el

autor es completo y único, dado que la gran mayoría de los textos no

contiene los capítulos que se desarrolla para el curso de matemática básica.

No se conoce actualmente un texto similar.

En la actualidad los estudiantes han disminuido su rendimiento de la

matemática, tal es así que se considera importante su dominio para las

especialidades de Administración, Economía y Contabilidad, y que nos


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permita desarrollar los modelos Matemáticos, así mismo cálculos de

estimaciones para la toma de decisiones.

Los profesores que desarrollan esta asignatura ven con preocupación ante

tal situación, muy a pesar que se cuenta con textos modernos para su

estudio, posiblemente sea la forma como dichos textos se encuentran

diversificados en la temática de Matemática, que confunde el alumno, como

es el caso para ingenierías, que es una Matemática pura, a diferencia de los

estudiantes de Administración, economía y contabilidad.

Esta responsabilidad atribuida a los docentes de Matemática es

básicamente porque de la metodología y el contenido de sus cursos va a

depender el grado de aprendizaje de los alumnos a su cargo.

De esta información surge de inmediato el cuestionamiento al contenido de

los cursos a la metodología que aplican los docentes en el dictado de sus

clases. Esto significa que se debe apuntar a las nuevas corrientes de

calidad total y excelencia, también en el campo educativo, para lo cual

surge el término de calidad educativa que pretende replantear la concepción

clásica de educar hacia una formación profesional de especialidad.

Actualmente la Matemática se ha convertido en parte fundamental de

muchas de las teorías administrativas.

Las matemáticas permiten interpretar fenómenos para tomar decisiones,

asignar recursos de manera eficaz, motivando el desarrollo de nuevas

teorías y métodos. Una de las principales herramientas es la matemática

aplicada con un enfoque científico.

Las matemáticas aplicadas difieren de la matemática pura en un aspecto

muy importante en la matemática para los símbolos que representan


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conceptos abstractos cuyas propiedades se fijan por definición, mientras

que en la matemática aplicada muchos símbolos corresponden a variables

que se observan en el mundo real, las propiedades de tales variables tiene

que determinarse por observación y no por definición abstracta y luego

enunciarse en forma matemática, en las matemáticas aplicadas es posible

determinar la precisión empírica de las deducciones.

Del análisis matemático según la ciencia pura o la aplicada, solo difiere en

cuanto al aspecto empírico de las definiciones, supuestos y conclusiones y

no en relación con los métodos deductivos.

Es esencial tener una práctica amplia en la resolución de problemas para

realizar un buen estudio del análisis matemático. Los estudiantes

descubrirán la importancia de la aplicación de matemática en los asuntos de

finanzas, contabilidad, operación, bancaria, ventas, mercadotecnia,

transportes, producción industrial y a muchas otras áreas relacionadas.

Las matemáticas proporcionan una estructura matemática lógica dentro de

la cual pueden estudiarse las relaciones cuantitativas .El análisis

matemático toma las definiciones y supuestos tal como se dan y obtienen

las conclusiones que se desprenden lógicamente de ellos.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En base a la descripción y el análisis del problema se expresa los siguientes

planteamientos:

-¿Qué temática se debe considerar en el curso de matemática básica para

que los estudiantes de administración, economía y contabilidad, mejoren su

nivel académico en su formación profesional?


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-¿Qué nuevas metodologías debe emplear los docentes en la enseñanza de

las matemáticas para los estudiantes de administración, economía y

contabilidad?

ALCANCE

-Investigación aplicada.

-El sector que será beneficiado por los resultados de la investigación serán

los estudiantes y profesores de las facultades de administración, economía

y contabilidad; y público en general interesado.

IMPORTANCIA

-Permitirá que los estudiantes y profesores puedan contar con un texto

estandarizado que facilite el desarrollo del contenido temático de la

matemática básica para las disciplinas de administración, economía y

contabilidad.

-Contribuirá al mejoramiento de la calidad de formación profesional.

-Permitirá un mejor uso de las potencialidades humanas

JUSTIFICACION

-El estudiante contara con un texto básico de la matemática básica en su

formación profesional interdisciplinaria.

-El docente dispondrá de los contenidos temáticos básicos para el

desarrollo de su disciplina

-El proceso de formación profesional sería más eficiente y en consecuencia

eficaz.


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D. MARCO TEÓRICO

En la presente investigación se presenta la teoría resumida y simplificada

para los dieciséis capítulos del presente texto. Esto ha sido posible por la

experiencia de dieciséis años en la docencia universitaria que tiene el autor,

en la enseñanza del curso de matemática básica.

Por ejemplo, en el capítulo 1 “Algebra matricial”, comprende definición de

matrices, tipos de matrices, y operaciones matrices, parte fundamental del

algebra lineal como para poder operar posteriormente de forma adecuada

con los elementos de algebra matricial

En el capítulo 2 “Determinantes”, definición de determinantes, solución de

matriz por el método de cofactores, matriz adjunta, matriz inversa, solución

de las ecuaciones por el método de matrices y su aplicación. se utilizan en

la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y, en el caso de los

alumnos de Ciencias, la geometría en el espacio.

En el capítulo 3 “Nociones de lógica”, concepto de lógica, enunciado

abierto, proposiciones, proposiciones compuestas: negación, disyunción,

conjunción, condicional y bicondicional-tablas de verdad, al respecto se

enuncian las leyes lógicas que rigen los procesos del pensamiento

humano; así como de los métodos que han de aplicarse al razonamiento y

la reflexión para lograr un sistema de raciocinio que conduzca a resultados

que puedan considerarse como certeros o verdaderos.

En el capítulo 4,5 y 6 “teoría de conjunto, operaciones de conjunto y

cuantificadores”, definición de conjunto, determinación de un conjunto, tipos

de conjunto y propiedades. Aplicación Unión, intersección, diferencia,


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diferencia simétrica, conjunto universal, complemento de un conjunto. el

tema trata de identificar los elementos que pertenecen y los que no

pertenecen a un conjunto, interpretar correctamente la notación simbólica

en la definición de conjunto, representar conjuntos en diagramas de ven y

realizar operaciones entre conjuntos (unión, intersección, diferencia y

diferencia simétrica)

El capítulo 7 “sistema de números reales, inecuaciones, valor absoluto,

producto cartesiano y relaciones en los números reales”, trata de un

conjunto de operaciones de ecuaciones e inecuaciones, propiedades,

axiomas, método de puntos críticos y representación.

En los capítulos 8,9,10,11y 12, ”la línea recta, la circunferencia, la

parábola, la elipse y la hipérbola”, trata de la construcción de curvas

geométricas con ecuaciones definida de la forma ,que permite identificar de

forma inmediata para ser representadas en el plano cartesiano mediante

técnicas básicas del análisis matemático y del algebra en un determinado

sistema de coordenadas.

En el capítulo 13,”Funciones en los números reales”, finalmente podremos

identificar como el subconjunto de los números reales se transforma en

imagen, se llama dominio de la función, asi mismo se construye tipos de

funciones y desarrollar la composición de funciones, donde se obtiene otra

imagen de otro subconjunto de números reales.


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E. MATERIALES Y MÉTODOS

Se ha utilizado información en forma resumida de las universidades nacionales

y particulares relacionadas a las facultades de administración, economía y

contabilidad, que hacen uso de los textos de matemáticas básica en su

curricula para los estudiantes de esta especialidad que les permite

desarrollarse en el proceso de su formación profesional.

Así mismo se ha utilizado los syllabus que hacen los estudiantes de las

especialidades de administración, economía y contabilidad.

DETERMINACION DEL UNIVERSO

El presente trabajo de investigación tomara en cuenta a los textos que utilizan

los docentes y estudiantes a las disciplinas de administración, economía y

contabilidad.

Se tomara en cuenta la metodología que utilizan los docentes en la enseñanza

de la matemática

DETERMINACION DE LA MUESTRA

El presente trabajo de investigación tomara en cuenta a las disciplinas

correspondientes a las áreas de administración, economía y contabilidad.

Se tendrá como unidad de información a los docentes responsables del

desarrollo de la matemática a los estudiantes de administración, economía y

contabilidad.


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TECNICAS DESCRIPTIVAS

Procedimiento:

-Se seleccionara cada uno de los materiales de información.

-en la revisión bibliográfica se tomara en cuenta el contenido temático de la

matemática.

-Se confrontara ideas y criterios de desarrollo metodológico que emplean los

docentes especialistas en la materia.

-Se procesara los datos confrontados que sirvan de base para una adecuada

estandarización del contenido temático de la matemática.

-A partir de la base del contenido temático se formulara la nueva estructura

temática de la materia de estudio.

-Se contrastara con otros textos de la matemática básica como alternativas de

solución, con las diferentes disciplinas que demande de ellos.

TECNICAS ESTADISTICAS

-Aplicaciones técnicas estadísticas: se tomara en cuenta un muestreo de la

información mediante encuestas, entrevistas, observaciones, cuestionarios y

otras formas que sean necesarios.

-Papeles de trabajo se obtendrán resúmenes para realizar diagnósticos,

pronósticos y reportes de avances específicos para las conclusiones

estadísticas.

-Medición de resultados: ejecutar la comparación de lo hallado versus lo

realizado en las desviaciones, correcciones y ajustes.

-Resultado final: en el presente proyecto de investigación se obtendrán

conclusiones finales, recomendaciones y cuadros aplicativos reales.


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-Aplicación de los modelos matemáticos: para conocer las opiniones de los

expertos e intereses de dicha temática, se tomara en cuenta en todo cuanto

sea necesario, a fin de ultimar correcciones antes de la impresión final y

sustentación.


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F. RESULTADO

El resultado de la presente investigación es la elaboración del texto

universitario titulado “TEXTO: MATEMATICA BASICA PARA

ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD”,

el cual se adjunta al presente. El texto contiene trece capítulos y un

apéndice.

La teoría desarrollada en el texto, responde a los aspectos básicos de la

matemática básica .Los problemas resueltos en el texto, tienen el propósito

de dar las pautas de la aplicación de la teoría desarrollada.

Se ha logrado un texto base para la asignatura de matemática básica, en la

formación universitaria de los estudiantes de administración, economía y

contabilidad.


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G. DISCUSIONES

El texto universitario titulado investigación es la elaboración del texto

universitario titulado “MATEMATICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE

ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD”, es el resultado de la

investigación a que se refiere el presente informe ,se caracteriza por

presentar la teoría en forma resumida y dando mayor énfasis a la resolución

de problemas de aplicación. Los problemas resueltos han sido

cuidadosamente seleccionados de tal forma que nos permitan comprobar

las propiedades y leyes en la resolución de los problemas presentados. La

mayoría de los textos sobre matemática básica ,no presentan muchos

problemas resueltos en forma didáctica que permita al alumno obtener la

solución de problemas planteados de forma inmediata y eficaz. Ello

conllevaría una mejor comprensión a los estudiantes.

Por tal razón ,el presente texto ayudara a los estudiantes ha comprender

mejor la teorías de matrices, determinantes, conjunto, lógica, inecuaciones,

la recta, la circunferencia, la parábola, la hipérbola, la hipérbola, la elipse y

funciones. Conocimientos fundamentales en su formación profesional, para

luego cuando lleve los cursos de especialidad puedan abordar problemas

reales, a los cuales darán solución siempre y cuando conozcan y apliquen

correctamente.


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15

H. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

• ARYA, J. LARDNER, R. OTEYZA, E. PALMAS VELAZCO, O.

”MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION, ECONOMIA,

CIENCIAS BIOLOGICA Y SOCIALES”, 3era. EDICION EDITORIALPRENTICE HALL HISPANOAMERICANA.

• CHIANG ALPHA C. “METODOS FUNDAMENTALES DE ECONOMIA

MATEMATICA”, EDITORIAL. MC. GRAW – HILL.3era EDICION.

• DRAPES,JEAN E, KLINGMAN,JANE S. “MATEMATICAS PARA LA

ADMINISTRACION Y ECONOMIA” EDITORIAL.MEXICO.HARLA .1976

• HAEUSSLEER E.F. Y RICHARD S. PAUL. ”MATEMATICA PARA

ADMINISTRACION, ECONOMIA,CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA “

EDITORIAL PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.8va.EDICION

MEXICO

• HOEL PAUL G. ”MATEMATICAS FINITAS Y CALCULO CON

APLICACIONES A LOS NEGOCIOS” EDITORIAL. LIMUSA MEXICO

• LANG, SERGE “INTRODUCCION A ANALISIS MATEMATICO”ADDISSON-WESLEY IBEROAMERICANA, S.A.

• LARSON Y HOSTETLER. ”CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA”

EDITORIAL. MC. GRAW – HILL.3era EDICION, MADRID.

• LEITHOLD LOUIS. ”CALCULO PARA CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,

BIOLOGICAS Y SOCIALES” EDITORIAL.MEXICO. HARLA .1988

• SYDSAETER Y HAMMOND. “MATEMATICAS PARA EL ANALISISECONOMICO” EDITORIAL.PRENTICE HALL MADRID 1996

• WEBER (DRAPER) JEAN. “MATEMATICA PARA ADMINISTRACION Y

ECONOMIA” EDITORIAL.MEXICO. HARLA .1990


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16

• F.S. BUDNICK “MATEMATICA APLICADAS A LA ADMINISTRACION,

ECONOMIA Y CIENCIAS SOCIALES” EDITORIAL 2. MC. GRAW – HILL

HALL.

• CABALLERO R. ”MATEMATICA APLICADAS A LA ADMINISTRACION,

ECONOMIA Y A LA EMPRESA” EDITORIAL PIRAMIDE.

• ARYA, J.C. Y LARDNER,R.W. “MATEMATICA APLICADAS A LA

ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CIENCIAS SOCIALES” EDITORIAL

PRENTICE-HALL.

• JEAN E. WEBER-EDUARDO ESPINOZA RAMOS “SOLUCIONARIO DE

MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA” EDITORIAL

SERVICIOS GRAFICOS J.J. 2da. EDICION, 2003.

• FIGUEROA GARCIA, RICARDO. “MATEMATICA BASICA”

NOVENA EDICION. IMPRESO EN RFG. LIMA PERU 2006.

• LARSM, RON – HOSTELLER, ROBERT “CALCULO Y GEOMETRIA

ANALITICA” OCTAVA EDICION, MCGRAW – HILL

INTERAMERICANA DE MEXICO, S.A. DE C.V. 2006

• VENERO BALDEN, ARMANDO. “MATEMATICA BASICA”, IMPRESO EN

LOS TALLERES GRAFICOS TOP-JOB E.I.R.L.. LIMA PERU

• ANTONIO CALDERON “MATEMATICA BASICA”, EDITORIAL

UNIVERSITARIA URP-04/2005

• ESPINOZA RAMOS, EDUARDO “ANALISIS MATEMATICO I”

3era EDICION. EDITORIAL SERVICIOS GRAFICOS J.J. 2008

• ESPINOZA RAMOS, EDUARDO “MATEMATICA BASICA”

1era EDICION. GEMAR, LIMA PERU. 2001

• ESPINOZA RAMOS, EDUARDO “MATEMATICA BASICA”

PUBLICACION LIMA SERVICIOS GRAFICOS J.J.2005


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I APENDICE

ENCUESTA

INSTRUCCIONES

La presente encuesta que se realizara a los profesores y estudiantes de las

diferentes universidades nacionales y particulares específicamente a las

facultades de administración, economía y contabilidad.

Al respecto se le solicita que elija una sola alternativa como respuesta, la que

usted considere correcta marcando con un aspa (x) o escribiendo una sola

alternativa, agradecemos su gentil colaboración.

DATOS PERSONALES

01. Sexo: Masculino ( ) Femenino ( )02. Edad.Procedencia.Provincia03. Tipo de ocupación docente ( ) estudiante ( )04. Enseñanza en universidad nacional ( ) particular ( )05. Estudia en una universidad nacional ( ) particular ( )

ECONOMIA

06. Tu situación económica del estudiante que influye en el rendimientoAcadémico. Bueno ( ) Regular ( )

07. Tienes apoyo económico de tus padresSi ( ) No ( )

08 Si trabajara que horario elegiría tarde ( ) mañana ( ) noche ( )

ESTUDIO

09. Alguna vez eligió un texto base de matemática básica con relación a suespecialidad

Si ( ) no ( )10. El contenido temático del texto de matemática debe mejorar para elevar elrendimiento académico

Si ( ) no ( )

12.Cuentas con una computadoraSi ( ) no ( )


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13. realizan seminarios de matemática en forma permanente en sus facultades.Si ( ) no ( )

14. Que dificultad considera usted que exista en el aprendizaje de lamatemática..

15. Influye la metodología que emplea los docentes en la enseñanza de lamatemática a los estudiantes.

Si ( ) no ( )

16. Los docentes si elevaran el nivel de enseñanza seriaEficiente ( ) Confiable ( ) Preciso ( ) Oportuno ( )

17 Se considera necesario realizar mejoras en los syllabusSi ( ) no ( )

18. En la actualidad el uso de la computadora ayuda a realizar sus trabajos en

formaEficiente ( ) Confiable ( ) Preciso ( ) Oportuno ( )

19. considera útil el uso del internet para mejorar el desarrollo de lamatemática

Si ( ) no ( )

20.Por que considera necesario mejorar la parte didáctica de los textos dematemática.

21. Por que no realiza círculos de estudio de matemática o considera suficienteel texto de matemática

22. Que tipo de problemas considera usted que dificulta en la enseñanza de lamatemática a los estudiantes de las facultades de administración, economía ycontabilidad


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J ANEXO

CUADRO Nº 01

Procedencia de los Docentes y Estudiantes de

Administración, Economía y Contabilidad

Procedencia Docentes EstudiantesUniversidades Nacionales 50 500Universidades Particulares 30 100

total 80 600Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao

CUADRO Nº 02

Situación Económica de los Estudiantes que influyen en loAcadémico

Procedencia Bueno Regular Universidades Nacionales 300 200Universidades Particulares 60 40

Total 360 240Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao

CUADRO Nº 03Horario de Estudio por los Estudiantes de Administración

Procedencia Mañana Tarde Noche TotalUniversidades Nacionales 50 25 50 125Universidades Particulares 30 15 30 75

Total 80 40 80 200Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao

CUADRO Nº 04

Horas de Estudio por los Estudiantes de Economía

Procedencia Mañana Tarde Noche TotalUniversidades Nacionales 40 15 40 95Universidades Particulares 20 15 20 55

Total 60 30 60 150Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao


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CUADRO Nº 05Horas de Estudio por los Estudiantes de Contabilidad

Procedencia Mañana Tarde Noche Total

Universidades Nacionales 60 25 60 145Universidades Particulares 40 25 40 105Total 100 50 100 250

Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao

CUADRO Nº 06Realizan Seminarios de Matemática en su Facultad

Procedencia SI NO Total

Universidades Nacionales 200 100 300Universidades Particulares 150 150 300350 250 600


CUADRO Nº 07

Los Docentes influyen en el rendimiento Académico de los estudiantes

Procedencia Confiable Objetivo Eficiente Preciso Total

Universidades Nacionales 200 100 60 30 390Universidades Particulares 100 50 40 20 210300 150 100 50 600


CUADRO Nº 08La Internet influye en el Rendimiento de los Estudiantes

Procedencia SI NO Total

Universidades Nacionales 250 120 370Universidades Particulares 150 80 230400 200 600



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CUADRO Nº 09La Metodología que cumplen los Docentes influye en elapoyo de los Estudiantes

Procedencia SI NO TotalUniversidades Nacionales 300 20 320Universidades Particulares 250 30 280

550 50 600



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UNIVERSID

FACULTADINSTIT

INFORME FINAL

“TEXTO: M

ESTUDIANECONO

AUTOR: E

(PERIODO DE EJE

Del 01 de FebreroRESOLUCIÓN REC

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AD NACIONAL DEL CALLAO

E CIENCIAS ADMINISTRATIVASUTO DE INVESTIGACI N

DE TRABAJO DE INVESTIG

ATEMATICA BASICA P

ES DE ADMINISTRACIOIA Y CONTABILIDAD”

O. SIMON BENDITA MAMANI

UCIÓN:

el 2008 al 31 de Marzo del 2010ORAL Nº 332-2008-R)

Marzo de 2010

CALLAO - PERÚ

CIÓN

RA

N,


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ÍNDICE DE CONTENIDO

PREFACIO .. X

CAPÍTULO 1

ALGEBRA MATRICIAL ...1

1.1 INTRODUCCION ....1

1.2 TIPOS DE MATRICES ..2

1.3 OPERACIONES DE MATRICES .5

1.4 INVERSA DE UNA MATRIZ .10

CAPÍTULO 2DETERMINANTES .13

2.1 DEFINICIÓN ..13

2.2 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 15

2.3 REGLA DE SARRUS .....20

2.4 MATRIZ DE COFACTORES ..26

2.4.1 MÉTODO DE COFACTORES PARA HALLAR LA INVERSA DE UNAMATRIZ ...27

2.5 ADJUNTA DE UNA MATRIZ .28

2.6 INVERSA DE UNA MATRIZ MEDIANTE LA ADJUNTA ..29

2.7 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ

INVERSA ..30

2.8 REGLA DE CRAMER .33

2.9 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES .. 42

2.9.1 SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES....45


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2.10 RANGO DE UNA MATRIZ ..51

2.10.1 OPERACIONES ELEMENTALES QUE PUEDEN REALIZARSE

CON UNA MATRIZ PARA CALCULAR SU RANGO SIN QUE

ÉSTE VARÍE ....52

2.10.2 CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ ..53

2.11 EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MATRICES ...56

2.12 EJERCICIOS PROPUESTOS DE MATRICES..84

2.13 INSUMO PRODUCTO ...112

CAPÍTULO 3

NOCIONES DE LOGICA 118

3.1 DEFINICION ..118

3.2 ENUNCIADOS ABIERTOS Y ENUNCIADOS CERRADOS 121

3.3 PROPOSICIONES COMPUESTAS ...124

3.4 LÓGICA PROPOSICIONAL ....126

CAPÍTULO 4

TEORIA DE CONJUNTOS ....145

4.1 DEFINICION ...145

4.2 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO.146

4.3 TIPOS DE CONJUNTO 147

4.4 PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES ...164

CAPITULO 5

OPERACIONES DE CONJUNTO .165

5.1 DEFINICION ...165

5.1.1 UNIÓN ..165

5.1.2 INTERSECCIÓN .165


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25

5.1.3 PARTICIONES.....167

5.1.4 DIFERENCIA ...167

5.1.5 COMPLEMENTO 169

5.1.6 DIFERENCIA SIMÉTRICA 170

5.1.7 DIAGRAMAS DE VENN ...170

5.2 RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA

PROPOSICIONAL ..170

5.3 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS ..171

5.4 PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS O PRODUCTO CRUZ 172

CAPITULO 6

CUANTIFICADORES .....174

6.1 DEFINICION 174

6.2 EJERCICIOS DE CONJUNTOS. . 174

CAPITULO 7

SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES .179

7.1 DEFINICION.179

7.2 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES .....179

7.3 DESIGUALDADES ...183

7.3.1 CONSECUENCIAS PRINCIPALES DE LA PROPIEDAD DEORDEN ...184

7.4 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES .186

7.5 INTERVALOS .188 7.6 SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES ...192


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26

7.7 EL NÚMERO COMPLEJO ...193

7.7.1 LOS COMPLEJOS COMO PARES ORDENADOS .194

7.8 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE INTERVALOS, DESIGUALDADES Y

VALOR ABSOLUTO 202

7.9 POLINOMIOS Y ECUACIONES POLINÓMICAS ..217

7.9.1 DEFINICIONES ...217 7.9.1.1 IGUALDAD DE POLINOMIOS ..219

7.9.2 OPERACIONES CON POLINOMIOS 219

7.10 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA 225

7.10.1SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS. .227

7.10.2 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE POLINOMIOS..231

7.10.3 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ECUACIONES

CUADRÁTICAS. FACTORIZACIÓN DE SUMAS Y DIFERENCIA

DE CUBOS 235 7.10.4 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE POLINOMIOS ..238

7.10.5 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE ECUACIONES

CUADRATICÁS ..239

CAPITULO 8

LINEA RECTA 241

8.1 INTRODUCCIÓN .241

8.2 PENDIENTE E INCLINACIÓN DE UNA RECTA ..245

8.3 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA ..247

8.4 ECUACIÓN SEGMENTARIA DE LA LINEA RECTA ...251

8.5 ECUACIÓN GENERAL DE LA LINEA RECTA .252


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27

8.6 ANGULO ENTRE DOS RECTAS. PERPENDICULARIDAD Y

PARALELISMO ENTRE RECTAS .256

8.7 COORDENADAS DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS259

8.8 ECUACIONES DE LAS BISECTRICES DE LOS ÁNGULOS

DETERMINADOS POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN .260

8.9 LA PARALELA MEDIA Y LA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

PARALELAS ..261

8.10. FAMILIA DE RECTAS .263

8.11 EJERCICIOS RESUELTOS ....265

CAPITULO 9

LA CIRCUNFENRENCIA ..290

9.1. DEFINICION 290

9.2. ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA CIRCUNFERENCIA .290

9.3. CONDICIÓN PARA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO

GRADO EN DOS VARIABLES X E Y REPRESENTE UNA

CIRCUNFERENCIA. .292

9.4. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DETERMINADA POR TRES

CONDICIONES .293

9.5. PUNTOS COMUNES A UNA CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA..293

9.5.1. RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA Y DE

PENDIENTE CONOCIDA293

9.5.2. RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA POR UN PUNTO

DADO DE LA CURVA.295

9.5.3 POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS NO

CONCÉNTRICAS .297


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28

9.6. EJERCICIOS RESUELTOS 301

CAPITULO 10

LA PARABÓLA ...307

10.1 DEFINICIONES 307

10.2. ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA PARÁBOLA.. 308

10.3. TRASLACIÓN DE EJES ..312

CAPITULO 11

LA ELIPSE .319

11.1. DEFINICIONES...................................................................................319

11.2. ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA ELIPSE ..320

11.3. CONSTRUCCION DE LA ELIPSE .324

CAPITULO 12

LA HIPERBOLA .327

12.1 DEFINICIONES ..327

12.2. ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA HIPÉRBOLA 328

12.3 ANALISIS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO .332

12.4. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA PARÁBOLA 333

12.5 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA ELIPSE 340

12.6. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA HIPÉRBOLA ..342

12.7. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA ECUACIÓN DE 2º GRADO .346

12.8 EJERCICIOS PROPUESTOS .348

CAPITULO 13

FUNCIONES ..355

13.1 INTRODUCCION .355

13.2 DEFINICIONES 356


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29

13.3 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 359

13.4 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES..360

13.5 FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO n. 363

13.6 FUNCIÓN MAYOR ENTERO MENOR O IGUAL A x. ..365

13.7 FUNCIÓN DEFINIDA A TRAMOS.365

13.8 FUNCIÓN RACIONAL 366

13.9 FUNCIONES PARES E IMPARES ..368

13.10 OPERACIONES CON FUNCIONES..369

13.11 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES..372

13.11.1 FUNCIONES MONÓTONAS372

13.11.2 FUNCIONES INYECTIVAS ..372

13.11.3 FUNCIONES INVERSAS..374

13.11.4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ...379

13.11.4.1TEOREMA (LEYES DE LOS EXPONENTES) ...379

13.11.4.2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL .381

13.11.5 LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 384

13.11.5.1TEOREMA

(PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS) 384

13.11.5.2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. 385

13.12 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL..388

13.13EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE

FORMULACIÓN EXPONENCIAL.392

13.14 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 393

BIBLIOGRAFIA ...395


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30

PREFACIO

La idea de hacer este libro nació debido a la inquietud de los estudiantes

que llevan el curso de matemática básica, con el propósito de poner a la

disposición del estudiante y docentes de las especialidades de administración,

economía y contabilidad.

Las matemáticas siempre han sido importantes para las ciencias y para la

tecnología de diferentes maneras y lo serán, aún más, para aquellas naciones

que comprendan la naturaleza del conocimiento moderno.

La motivación al sacar a la luz pública este libro es, precisamente, ofrecer

una primera descripción de lo que ha sido el quehacer matemático en las

facultades de administración, economía y contabilidad, que permita realizar una

reflexión de la importancia de las matemáticas en las tareas nacionales

fundamento esencial en la aplicación y formación profesional.

Se decidió hacer de este libro solamente una introducción a estudios más

pormenorizados sobre el decurso de las matemática básica, para de esta

forma, buscar una mayor proyección de nuestro estudio

La Asignatura de matemática básica, considerado base fundamental su

estudio, dado que es el inicio de los conocimientos para su desarrollo de las

asignaturas siguientes a estudiar.

El texto de matemática básica para los estudiantes de administración,

economía y contabilidad, constituirá como guía para elevar el nivel académico

de los estudiantes de esta especialidad.


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31

El desarrollo del texto de matemática básica se considera importante porque

permite:

1. Establecer un adecuado contenido temático en el curso de matemática

básica para los estudiantes de administración, economía y contabilidad,

a fin de elevar el nivel académico para su formación profesional.

2. Aplicar una metodología estandarizada en la enseñanza de la

matemática básica para los estudiantes de administración, economía y

contabilidad.

El presente TEXTO: MATEMATICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE

ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD, es un texto básico que

expone de manera sucinta los temas teóricos correspondientes matrices,

determinantes, lógica, conjunto, sistema de números reales, la recta,

circunferencia, la parábola, la hipérbola, la elipse y funciones, se realiza con

mayor énfasis a la resolución de problemas que tienen aplicaciones a la

especialidad de administración, economía y contabilidad.

Para una mejor comprensión, se requiere que el alumno tenga los

conocimientos sólidos de las leyes y principios en los fundamentos

matemáticos que se requieren sobre todo para resolver los diferentes tipos de

problemas que se presentan. De manera específica se requiere que el alumno

conozca el Análisis de las matrices, inecuaciones y funciones, herramienta

fundamental para el desarrollo de los problemas de una Asignatura de

matemática básica.


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CAPÍTULO 1

ALGEBRA MATRICIAL

1.1 INTRODUCCION

El estudio de la econometría requiere cierta familiaridad con el algebra

matricial. La teoría de matrices simplifica la descripción, desarrollo y aplicación

de los métodos

Econométricos.

Álgebra Matricial es una materia del plan de estudios de la carrera de

Contaduría Pública, por lo cual orientaremos algunas de nuestras unidades

hacia la resolución de problemas del campo de las ciencias económicas y

sociales.

El Álgebra lineal es una rama de la Matemática que trata las propiedades

comunes de los sistemas algebraicos, en particular el Álgebra matricial hace

énfasis en la resolución de dichos sistemas mediante las matrices.

MATRIZ

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en

general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.

Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij

dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se

denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, y los elementos de

las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a,


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33

b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij

.

Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la

matriz.

Donde: A = (aij)mxn

El número total de elementos de una matriz Am×n es mn

En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico

de matrices.

1.2 TIPOS DE MATRICES

MATRIZ FILA

Una matriz fila está constituida por una sola fila pero varias columnas.

Ejemplo:

Sea la siguiente matriz A, de orden 1x3

MATRIZ COLUMNA

La matriz columna tiene una sola columna pero varias filas.

Ejemplo:


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34

Sea la siguiente matriz A, de orden 3x1

MATRIZ RECTANGULAR

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo sudimensión mxn.

Ejemplo:

Sea la siguiente matriz, A de orden 2x3

MATRIZ CUADRADA

La matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de renglones ycolumnas.

Si la dimensión de una matriz es m x n, una matriz cuadrada es tal que m = n.

las siguientes matrices son cuadradas.

Ejemplo:

Sea la siguiente matriz, A de orden 3x3.

3x3

IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementosque ocupan la misma posición en ambas son iguales

Para que las matrices A y B seaniguales, se tiene que cumplir que a= 7 y b = 5.


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MATRIZ NULA

En una matriz nula todos los elementos son ceros

Ejemplos:


MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de ladiagonal principal son ceros.

Ejemplos:


3x3

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la

diagonal principal son ceros.

Ejemplos:

Sea la siguiente matriz A, de orden 3x3.

3x3

MATRIZ DIAGONAL

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajode la diagonal principal son ceros.

Ejemplos:


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36


3x3

MATRIZ ESCALAR

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de ladiagonal principal son iguales.

Ejemplos:


3x3

MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de ladiagonal principal son iguales a 1.

Ejemplos:


3x3

1.3 OPERACIONES DE MATRICES

SUMA Y RESTA DE MATRICES

La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij) p×q de la misma dimensión(equidimensionales).

Donde : m = p y n = q ,entonces se obtiene otra matriz C

Por lo tanto: C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij) m×n


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37

Es decir, la matriz suma se obtienen: sumando los elementos de las dosmatrices que ocupan la misma posición.

Notación:

Propiedades de la suma de matrices

De la dimensión

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutroA + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto

A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos estáncambiados de signo.

Conmutativa

A + B = B + A


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PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

El producto de un número real k (escalar), por una matriz A = (aij) es otra

matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se

obtiene multiplicando k por aij, es decir, bij = kaij.

Propiedades del producto de un escalar por una matriz

1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)

2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)

3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)

4. 1A = A (elemento unidad)

Propiedades simplificativas

1. A + C = B + C A = B.

2. k A = k B A = B si k es distinto de 0.3. k A = h A h = k si A es distinto de 0.


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PRODUCTO DE MATRICES

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se

obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera más

formal, los elementos de P son de la forma:

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de

filas de B. Es más, si A tiene dimensión mxn y B dimensión nx p, la matriz P,

será de orden mxp.

Dicho de otra forma, el elemento ij-ésimo de AB es igual al producto punto del i-

ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B. Es decir:

El número de filas de C es igual al de A, y el número de columnas de C es igual

as de B. En otras palabras, si A es una matriz de p x q y B una matriz de q x r ,

entonces C es una matriz de p x r. Obviamente, si A y B son matrices

cuadradas del mismo tamaño, C también será también una matriz cuadrada del

mismo tamaño. Lo anterior es suficiente para deducir que el producto de AB no

es igual a BA. Puede darse el caso especial donde AB = BA, a lo cual se dice

que las matrices son conmutativas.


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40

EJEMPLO:

a) Hal lar e l producto de las matr ices AxB

b) Hal lar e l producto de las matr ices AxB

Para hallar la nueva matriz de la forma será : C = AB

Aplicamos producto interno.


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De tal manera reemplazamos los valores obtenidos en la matriz C :

1.4 INVERSA DE UNA MATRIZ

Sean A y B matrices de n x n, y suponiendo que la multiplicación

AB = BA = Identidad, entonces la matriz B se le llama inversa de A, y se

escribe . De esta manera:


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PROPIEDADES:

• Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.

• La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.

• Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa

realiza funciones análogas.

• Observación

Podemos encontrar matrices que cumplen AB = I, pero que BA I, en

tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que

B es la inversa de A "por la derecha".

De la definición anterior se deduce que , si A tiene inversa.

Nosotros podemos conocer fácilmente si una matriz tiene inversa; basta con

encontrar su determinante, y si resulta cero, no tiene inversa; cualquier otro

número nos indica que tiene inversa.

Para encontrar la inversa de una matriz puede resultar un poco difícil,

dependiendo del tamaño de la misma .


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43

Un ejemplo sencillo se muestra a continuación. Sea:

Para encontrar la inversa de A o ,.

Si tomamos la definición de inversa encontramos que , entonces:

Resolviendo encontramos:

Igualando término a término según posición de los elementos, encontramos

una serie de ecuaciones que al resolverlas obtenemos el resultado:

Sin embargo, este no es el método más adecuado, ya que por el método de

eliminación de Gauss-Jordan es posible encontrar la inversa de una matriz más

rápidamente (este método se verá más adelante).


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CAPÍTULO 2

DETERMINANTES

2.1 DEFINICIÓN

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único

número real llamado el determinante de la matriz.

Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos

por det(A) o también por |A| (las barras no significan valor absoluto).

El determinante de esta matriz es a11× a22 - a12× a21

El determinante de esta matriz es a11× a

22× a

33+ a

21× a

32× a

13+ a

31× a

12× a

23- a

13× a

22× a

31

- a23

× a32

× a11

- a33

× a21

× a12

Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3

Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:

En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus

correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un

esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:


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Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea

Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se

suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que

recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij.

Dada la matriz

la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:

Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matriz

complementaria del elemento aij , y se representa por ij

Se llama adjunto de aij , y se representa por Aij, al número (–1)i+jaij.

El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de

una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.

Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de

la 1ª fila se tiene:


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46

La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a

ambos lados de la igualdad.

Nota

Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una

unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas

con muchos ceros

2.2 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

-Los determinantes de una matriz y de su traspuesta son iguales. |A| = |tA|.

-Si en una matriz se intercambian de posición dos filas o dos columnas, el

determinante cambia de signo.

-Si se multiplican todos los elementos de una fila (o de una columna) por un

número, el determinante queda multiplicado por ese número.

-Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son iguales, el determinante es

cero.

-Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son proporcionales, el

determinante es cero.

-Si descomponemos en dos sumandos cada número de una fila (o de una

columna) de una matriz, la suma de los determinantes de las dos matrices

obtenidas con la descomposición en sumandos, es igual al determinante de la

matriz original.

-Si una fila (o columna) es combinación lineal de las otras filas (o columnas) de

una matriz, el determinante es cero.


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-Si cambiamos una fila (o una columna) por la obtenida por la suma de esa fila

mas el producto de otra fila (o columna) por una constante, el determinante no

varía.

Se pueden hacer transformaciones, siguiendo las reglas anteriores, en una

matriz, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna) sean

ceros y el determinante no varié.

Determinante de una matriz de orden 1

Si es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a.

EJEMPLO 1:

Si , entonces det(A)=-2 o

Si , entonces det(A)=0 o

Si , entonces det(A)=2 o

Menores y confectores de una matriz de orden n

Sea A una matriz de orden , definimos el menor asociado al elemento

de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y la

columna j de la matriz A. El cofactor asociado al elemento de A esta

dado por

:

Sea

e menor asoc a o a a11.e menor asoc a o a a

12.

e menor asoc a o a a21

.

e menor asoc a o a a22

.

e co actor asoc a o a e emento a11

.


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48


.


.


.

Determinante de una matriz de orden superior

Si A es una matriz de orden , entonces el determinante de la matriz A es

la suma de los elementos de la primera fila de A multiplicados por sus

respectivos cofactores.

.EJEMPLO 3:

Hallar el determinante de la matriz

como en el ejemplo 2.2 habíamos calculado los confectores para esta matriz A,

entonces se tiene que

EJEMPLO 4: Determinante de una matriz de orden 2

Sea

Para calcular el determinante de una matriz basta conocer los confectores de los

elementos de la primera fila.


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Por lo tanto

OBSERVACION

Como vemos en este ejemplo, para calcular el determinante de una matriz de

orden 2, se multiplican los elementos de la diagonal principal y se le resta el

producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Calcular el determinante de la matriz

EJEMPLO 5:

Hallar el determinante de la matriz

Solución

Para encontrar el menor se elimina el primer renglón y la primera columna de A y

se calcula el determinante de la matriz resultante.


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De manera similar, para encontrar el menor , se elimina el primer renglón y la

segunda columna de A0 y se calcula el determinante de la matriz resultante.

para encontrar el menor , se elimina el primer renglón y la tercera columna de A

los confectores son

el determinante de la matriz A se calcula así


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EJEMPLO 6: Determinante de una matriz de orden 3

Sea:

Calculemos los menores:

Por lo tanto,

2.3 REGLA DE SARRUS

Paso 1

Escriba la matriz A y enseguida las primeras dos columnas de A como se

muestra a continuación


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Paso 2

Calcule los productos indicados por las flechas (que a continuación se

indican). Los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia

abajo se toman con signo positivo, mientras los productos correspondientes a

las flechas que se dirigen hacia arriba se toman con signo negativo.

Paso 3

Sume los productos con los signos adecuados según se determinó en el paso 2

EJEMPLO 7:

Calcular el determinante de la matriz A .usando la regla de Sarrus.

Paso 1

Paso 2


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Paso 3

Como vemos los resultados obtenidos en los ejemplos 2.5 y 2.7 son idénticos.

OBSERVACIÓN

La regla de Sarrus únicamente se puede utilizar para determinantes de orden3.

TEOREMA . Sea A una matriz de orden n, entonces el determinante de A estadado por

Desarrollo del i-ésimo renglón

o tal vez

Desarrollo del j-ésima columna

EJEMPLO 8: Sea:

Calcular el determinante de A desarrollándolo por la primera fila.


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Calcular el determinante de A desarrollando por la tercera fila.

Calcular el determinante de A desarrollando por la primera columna.

Calcular el determinante de A desarrollando por la segunda columna.

OBSERVACIÓN .

1. Como vemos en el ejemplo anterior el determinante de la matriz A es el mismono importando la fila o la columna por la que se desarrolle.

2. Como no importa la fila o la columna por la cual se desarrolle el determinantedebemos elegir aquella fila o columna que tenga mayor número de ceros paratener que calcular menos confectores.


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EJEMPLO 9: Calcule el determinante de la matriz

Para calcular dicho determinante debemos elegir la fila 3 o la columna 1 yaque ambos poseen un cero como componente. Calculemos desarrollándolopor la columna 1.

Desarrollando los determinantes de orden 3 por Sarrus tenemos:

MATRICES TRIANGULARES

Una matriz de orden n se llama triangular superior si todas las entradas por

debajo de la diagonal principal son ceros y se denomina triangular inferior si

todas las entradas por encima de la diagonal principal son ceros. Una matriz


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que es triangular superior e inferior se denomina matriz diagonal. Una matriz

diagonal en la cual todas las entradas de la diagonal principal, son iguales se

llama matriz escalar.

atr z tr angu ar super or atr z tr angu ar n er or

atr z agona atr z esca ar

Para encontrar el determinante de las matrices anteriores basta multiplicar los

elementos de la diagonal principal

EJEMPLO 10:

Sean:

Entonces:


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2.4 MATRIZ DE COFACTORES

Sea A una matriz cuadrada de orden n.

Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que

se denota habitualmente Ai,j.

Por ejemplo, con n = 4, i = 3 y j = 2:

El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla

(i, j): M i, j = det( A i, j ) .

En el ejemplo, M 3,2 = 34

El cofactor de ai,j

, es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de la

matriz

A =( ai,j ), es la menor multiplicada por el signo (-1)i + j.

Se le nota c i, j = (-1)i + j

Mi,j o ai,j con una tilde encima.En el ejemplo, c 3, 2 = (-1)5 × 34 = -34.

La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota como A o

A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A,


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cuando existe, gracias a la relación:

Atcom A =tcom A A = det A In, donde In es la matriz identidad de orden n.

2.4.1 MÉTODO DE COFACTORES PARA HALLAR LA INVERSA DE UNA

MATRIZ

Antes de comenzar con el desarrollo del determinante por el método de

confectores se debe antes tener un concepto muy importante que se tiene a

continuación:

MENOR.- Es igual al determinante de la matriz que resulta al eliminar una

fila y columna, es decir es el determinante de la matriz que se obtiene al

eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz, por ejemplo si en

una matriz de 3 x 3 eliminamos la fila y columna la menor viene

denominada complementaria.

COFACTOR.- Se representa con la letra y su cálculo se

da de la siguiente manera:

Así para el cálculo del determinante se consigue de la siguiente manera si se

escoge a la i-ésima fila para el desarrollo:


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Para el cálculo con las j-ésima columna se obtiene de la siguiente manera:

Otra de las formas para la obtención del signo del menor es mediante la

siguiente matriz de signos de n x n:

CONDICIONES PARA QUE UN DETERMINANTE SEA CERO.-

Las condiciones para que el determinante de una matriz sea cero (det(A)=0)

son las siguientes:

• a) Toda una fila o columna conste de ceros

• b) Dos filas o columnas sean iguales

• c) Una fila o una columna sea dependiente o múltiplo de otra fila o columna

correspondientemente.

2.5 ADJUNTA DE UNA MATRIZ

Antes de entrar a la resolución de la adjunta de una matriz antes debemos

recordar que el cofactor de una matriz viene dado como veces el

determinante de la matriz obtenida al eliminar el i-ésima fila y j-ésima

columna de la matriz. Siendo A la matriz de n x n, entonces la matriz de

confectores de A se da de la siguiente manera:


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La transpuesta de esta matriz se denomina adjunta de la matriz y su

denotación es: es decir la transpuesta de la matriz A es la siguiente:

2.6 INVERSA DE UNA MATRIZ MEDIANTE LA ADJUNTA

Dada una matriz A invertible, no singular de n x n, entonces la inversa de

una matriz viene dado por la siguiente relación:


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2.7 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ

INVERSA

El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se

basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual

se le quiere calcular la inversa.

Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz

identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a

A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la

matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A-1).

Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:

a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo,

sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.

b) Permutar dos filas

c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.

Nota: se recomienda iniciar por la primera columna de la matriz Identidad,

luego con la segunda columna, así sucesivamente.

Entonces, Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz

inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierdade M y la matriz identidad I en la derecha.


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EJEMPLO 1.-Consideremos una matriz A de 3x3 arbitraria

1º Primeramente ampliamos la matriz A con la matriz identidad

de orden 3, por ser la matriz A de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad

izquierda de la matriz A y la matriz identidad ahora estará a la

derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz

inversa: A-1.

F2 - F1

F3 + F2

F2 - F3

F1 + F2


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(-1) F2

Finalmente se obtiene la matriz inversa de A

EJEMPLO 2.- Para hallar le matriz inversa de A, se obtiene de la siguientemanera:

La matriz inversa de A es

EJEMPLO 3.- Dada la siguiente matriz determinar su inversa:

Para esto colocamos la matriz identidad a continuación de la matriz A y

tratamos de conseguir la identidad:


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Procedemos a hacer cero a -1 mediante la eliminación de Gauss – Jordan

multiplicando la primera fila por 1 y sumándole a la segunda y tenemos de la

siguiente manera:

Ahora procedemos a hacer cero a 4, multiplicando la segunda fila por -4 y

sumándole a la primera y obtenemos lo siguiente:

Si en los lugares de la diagonal tuviéramos números diferentes de 1 lo que

procedemos a realizar es la división de toda la fila por ese número, así de esta

manera la inversa de la matriz a es la siguiente:

Para comprobar realizamos el producto por la matriz primitiva y obtendremos la

matriz identidad.

2.8 REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer es una aplicación práctica de los determinantes para la

resolución de sistemas de ecuaciones simultáneas de n ecuaciones con n

incógnitas. Está regla puede aplicarse sólo a sistemas de ecuaciones

lineales que tienen soluciones únicas.


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Si se tiene un sistema de ecuaciones como el siguiente:

La soluciones de "x" y "y" viene dados de la siguiente manera:[11]

Donde det (D) es el determinante de los coeficientes. Para la determinación de

los valores de las incógnitas se obtiene a partir de la matriz A al sustituir la

columna donde se encuentre la incógnita por la columna de las constantes c, y

ese resultado dividirlo para el determinante de la matriz.

EJERCICIOS RESUELTOS

1.-La siguiente matriz determinar si es simétrica o no:

Si realizamos la transpuesta de esta matriz tenemos:

Como podemos observar la transpuesta y matriz original son idénticas por lo

tanto podemos decir que la matriz A es simétrica.


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2.-Dada la matriz A de m x n calcular su transpuesta:

La transpuesta de la matriz se conseguirá mediante el cambio de filas en

columnas, así la nueva matriz será de n x m:

3.-Para realizar la eliminación de Gauss – Jordan a la siguiente matriz y de esta

manera conseguir el determinante:

Mediante el método de Gauss – Jordan la matriz se tiene de la siguiente

manera:

Por lo tanto el determinante de la matriz se consigue con el producto de la

diagonal de la matriz ya que esta es una triangular superior:

4.-Calcular el determinante de la matriz cuadrada de 2 x 2:

El determinante de la matriz A se consigue de la siguiente manera:


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5.-Encontrar el determinante de la siguiente matriz:

Al desarrollar el determinante nos queda de la siguiente manera:

El valor del determinate es:

6.-Encontrar el determinante de la siguiente matriz:

Al desarrollar el determinante nos queda de la siguiente manera:

El valor del determinate es:

7.-Encontrar el determinante de la siguiente matriz por el método de

confectores escogiendo una fila para el desarrollo:


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Para el desarrollo del determinante utilizaremos la siguiente fórmula:

8.-Encontrar el determinante de la misma matriz de A3.3 por el método de

confectores escogiendo ahora una columna para el desarrollo:

Para el desarrollo del determinante utilizaremos la siguiente fórmula:

A6

9.-Determinar la adjunta de la siguiente matriz:

La solución de la adjunta se consigue siguiendo el esquema en la parte

superior del trabajo:

Realizaremos el cofactor de y el cálculo de los demás confectores serán

idéntico:


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La inversa de la matriz se consigue de la siguiente manera:

11.-Para la demostración de la Regla de Cramer se considera el siguiente

sistema:

Al multiplicar por la primera ecuación y por la segunda ecuación y luego

sumar los resultados se obtiene:

Al despejar suponiendo que se obtiene:

De la misma manera se puede despejar

Como podemos observar tanto el numerador como el denominador pueden ser

representados como determinante:


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12.-Determinar los coeficientes x, y, z del siguiente sistema de ecuaciones:

Desarrollando los determinantes de cada uno de ellos por el método de

confectores el resultado es el siguiente:

13.-Encontrar el área de el triangulo cuyo vértices son los puntos

como se indica en la figura.


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Se toma el valor absoluto del área ya que el área no puede ser considerada

como negativa.

14.-Determinar si los puntos son colineales

Si desarrollamos el determinante por medio de los confectores podemos

determinar que es igual a cero:

Así de esta manera comprobamos que los tres puntos son colineales.

15.-Determinar la ecuación de la recta determinada por los puntos:


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0

La ecuación de la recta que pasa por los puntos es por lo

tanto la ecuación es una recta paralela al eje de las x.

2.9 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

INTRODUCCIÓN

La discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales, empleando

distintos procedimientos, completa el estudio del álgebra matricial que se

realiza en 2º de Bachillerato. Con esta unidad se pretende que el alumnado

aplique lo estudiado en las Unidades de Matrices y Determinantes a la

discusión y resolución de los sistemas de ecuaciones lineales. Comienza con

la identificación de los distintos elementos de un sistema de ecuaciones

lineales (incógnitas, coeficientes, términos independientes), su escritura

utilizando notación matricial y su clasificación. Posteriormente, como paso

previo a su resolución en los casos en que sea posible, se efectúa su

"discusión" o estudio de su compatibilidad, utilizando el Teorema de Rouché-

Fröbenius o el método de Gauss. Por último, se describen tres

procedimientos para su resolución, en el caso de que sean compatibles:Regla de Cramer, Método de Gauss y a través de la matriz inversa.

El dominio de los métodos para discutir y resolver un sistema de ecuaciones

lineales permitirá al alumnado afrontar el planteamiento y resolución de


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problemas diversos. Si se siguen estudios de Ciencias los aplicarán también

en Geometría para estudiar las posiciones relativas de rectas en el plano y en

el espacio, posiciones relativas de planos y de rectas y planos en el espacio,

etc.

OBJETIVOS

• Valorar la importancia del estudio de los sistemas de ecuaciones

lineales, dentro del álgebra matricial, así como el valor de los

conceptos y procedimientos vistos en las Unidades de Matrices y

Determinantes y su aplicación en esta Unidad.

• Escribir un sistema de ecuaciones lineales utilizando la notación

matricial.

• Conocer los criterios de equivalencia de los sistemas de ecuaciones

lineales.

• Discutir un sistema de ecuaciones lineales, utilizando el Teorema de

Rouché-Fröbenius y el Método de Gauss.

• Resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible (determinado o

indeterminado), utilizando la Regla de Cramer, el método de Gauss y

la matriz inversa.

La teoría general de matrices encuentra una de sus aplicaciones más

inmediatas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con múltiples

incógnitas. Aunque posteriormente fue objeto de un extenso desarrollo teórico,


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este campo de las matemáticas surgió en realidad como un instrumento de

cálculo para facilitar las operaciones algebraicas complejas.

Matriz identidad y matriz inversa

Dada una matriz cuadrada A de orden n x n (o, simplemente, n), se define

matriz identidad I como la que, con la misma dimensión n, está formada por

elementos que son todos nulos salvo los situados en la diagonal principal, cuyo

valor es 1. Es decir: A . I = I . A = A.

Para dicha matriz A de orden n, se dice que existe una matriz inversa A-1

también de orden n, cuando el producto de ambas es igual a la matriz

identidad: A . A-1 = A-1 . A = I.

Toda matriz que tiene inversa se dice inversible o regular, mientras que cuando

carece de inversa se denomina matriz singular.

Para calcular la matriz inversa de una dada, puede recurrirse a la resolución de

las ecuaciones que plantearía el producto de matrices A . X = I, siendo los

coeficientes de A e I conocidos y los de X correspondientes a las incógnitas.

También se puede aplicar el llamado método de reducción o gaussiano, según

el siguiente esquema:

• Dada la matriz original A = (aij), con i, j = 1, 2, ..., n, se forma primero su

matriz ampliada (A | I).

• Después, se aplican operaciones elementales sobre las filas de la matriz

hasta conseguir reducir A a la matriz unidad. Las mismas

transformaciones se van haciendo en I. La nueva matriz obtenida es A-1.


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• Las operaciones elementales que se pueden aplicar a las matrices

ampliadas son:

• Multiplicación de una fila por un número distinto de cero.

• Suma ordenada a los elementos de una fila del múltiplo de los de otra.

• Intercambio de filas.

EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede escribirse siempre en forma

matricial de la siguiente forma:

donde A es la matriz de los coeficientes, X la matriz de las incógnitas y B la

matriz de los términos independientes.

Así, por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales:

2.9.1 SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Resolución de un sistema por la matriz inversa

Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales

mediante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica

consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión


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matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los

coeficientes (si existe). De este modo:

Cuando la matriz de los coeficientes no es inversible, el sistema no tiene

solución (es incompatible).

Resolución de un sistema por eliminación gaussiana

El procedimiento más utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales

mediante matrices es el llamado método de eliminación gaussiana, que consta

de los siguientes pasos:

• Se forma la matriz ampliada del sistema incorporando a la de los

coeficientes, por la derecha, una nueva columna con los elementos de la

matriz de los términos independientes.

• Se aplican operaciones elementales sobre las filas de esta matriz

ampliada, hasta lograr que por debajo de la diagonal principal de la

matriz todos los términos sean nulos.

• Se obtiene entonces un sistema equivalente de ecuaciones de

resolución inmediata.

• Este método permite también realizar una rápida discusión del sistema:

• Si la última fila de la matriz resultante de la transformación de la

ampliada produce una ecuación del tipo 0x + 0y + cz = k, con k igual 0,

el sistema es compatible determinado (tiene una solución única).


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• Cuando esta última fila corresponde a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z

= k, el sistema es incompatible (carece de solución).

• Si esta última fila se traduce en una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = 0, el

sistema será compatible indeterminado (con infinitas soluciones).

Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales por el

método de eliminación gaussiana.

EJERCICIO 01

Sistema compatib le determinado

EJERCICIO 02


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Sistema compatible indeterminado

EJERCICIO 03

sistema compatible determinado

EJERCICIO 04


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sistema compatible determinado

Aplicación de las matrices y los determinantes a los sistemas de ecuaciones

lineales

Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con

n incógnitas de la forma:

donde aij son los coeficientes, x i las incógnitas y bi son los términos

independientes.

Representación matricial de un s.e.l.

El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto

de matrices de la forma:

De modo simplificado suele escribirse Am,n Xn,1 = Bm,1 , donde la matriz A

de orden m x n se denomina matriz de coeficientes.


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También usaremos la matriz ampliada, que representaremos por A', que es la

matriz de coeficientes a la cual le hemos añadido la columna del término

independiente:

Discusión de un s.e.l.: Teorema de Rouché-Fröbenius

Dado un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes A, matriz ampliada

A' y rangos respectivos r y r' se verifican:

1. El sistema de ecuaciones es compatible cuando rango(A) = rango(A')

2. En caso de compatibilidad existen dos posibilidades:

Si r = r' = n (nº de incógnitas) Sistema compatible determinado (una únicasolución)

Si r = r' < n (nº de incógnitas) Sistema compatible indeterminado (infinitassoluciones)

Al valor n - r se le llama grado de libertad del sistema.

REGLA DE CRAMER

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas

(n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. que cumple estas condiciones

se le llama un sistema de Cramer).

El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el

determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante

que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna

de los términos independientes.


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Ejemplo

b) Por inversión de la matriz de coeficientes

Si AX = B, entonces X = A-1B.

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas

(n=m) y es compatible determinado.

2.10 RANGO DE UNA MATRIZ

Llamamos menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de

eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p.

Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz

obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).

En una matriz cualquiera Am×n puede haber varios menores de un cierto orden

p dado.

• Definición 1º

RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores

distintos de cero. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o

de columnas.

• Definición 2º

RANGO de una matriz es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas)

que son linealmente independientes.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede

establecer una combinación lineal entre ellas.

P. Ej., si f 1 = 2f 3 - 3f 4, entonces decimos que f1 es linealmente dependiente

de f 3 y f 4.


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Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede

establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango o característica de una matriz A se simboliza del siguiente modo :

rang(A) o r(A)

2.10.1 OPERACIONES ELEMENTALES QUE PUEDEN REALIZARSE CON

UNA MATRIZ PARA CALCULAR SU RANGO SIN QUE ÉSTE VARÍE

1. Intercambiar dos líneas entre sí.

2. Suprimir una línea que tenga todos sus elementos nulos.

3. Suprimir una línea que sea proporcional a otra.

4. Suprimir una línea que sea combinación lineal de otra/s

5. Multiplicar o dividir una línea por un número distinto de cero.

6. Sustituir una línea i de este modo : L i = aLi + bL j

7. Sustituir una línea i de este modo : L i = Li + aL j

Las propiedades anteriores NO pueden ser aplicadas en el cálculo de

determinantes, pues alterarían el valor de los mismos, excepto en el caso 7.

Sin embargo, todas ellas pueden utilizarse para averiguar el rango de una

matriz sin que se modifique el valor de éste.

Como mínimo, el rango de una matriz siempre será 1, salvo para la matriz nula,

cuyo rango es cero.

Para poder calcular el rango de una matriz ésta no tiene por que ser

necesariamente cuadrada.

Una matriz cuadrada de orden "n", como máximo su rango es n.

Una matriz cuadrada de orden "n" es inversible (regular) si el rango es n. Es

decir, cuando las filas (columnas) son linealmente independientes.


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Diremos que dos matrices A y B son equivalentes ( A~B) si tienen el mismo

rango.

2.10.2 CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

1º Método: basado en el cálculo de menores.

Comenzando por el orden k=2 , se realiza el proceso

siguiente (para una etapa k cualquiera)

Se busca un menor de orden k , entonces el rango

será k

Se añade a dicho menor una fila i , y cada una de las

columnas que en él no figuran, obteniéndose así menores

de orden k+1. Si todos estos menores son nulos, significa

que la fila i es combinación lineal de las k filas del menor

anterior, por lo que podemos eliminar esa fila.

Seguimos probando con las restantes filas, si todos los

menores así formados son nulos, entonces la matriz tiene

sólo k filas linealmente independientes, que son las que

aparecen en el menor, y por tanto su rango es k .

Si alguno de los menores k+1 es distinto de cero, el rango

es k+1 y repetimos el proceso para otro orden k

superior.


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EJEMPLO 01:

Si al elegir un menor de orden 2 nos da 0, elegimos otro, y así sucesivamente

hasta elegir todos, si todos son 0, el rango es 1. De la misma forma, cuando

elegimos menores de orden 3.

2º Método: conocido como "método de Gauss"

Se utiliza con frecuencia en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Vamos a describir el método por filas (de igual forma sería por columnas).

Básicamente consiste en hacer nulos los elementos que hay debajo de los a ii

con i= 1, 2, 3,..., m-1 ; y el rango final será el número de filas distintas de cero.

El método consta de m-1 etapas, siendo m el número de filas.

En una etapa i cualquiera se deja fija la fila i , y tomando como

referencia el elemento aii , por medio de operaciones elementales

(nombradas anteriormente) se hacen cero todos los elementos de

su columna que estén por debajo de él.

Si el elemento aii es igual a cero, es preciso intercambiar

previamente esa fila por alguna otra fila de debajo, y si no es


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posible (porque también sea cero) con alguna columna de la

derecha, hasta conseguir que aii sea distinto de cero (es

conveniente, para evitar cálculos tediosos que sea 1, si no lo

fuera, utilizando operaciones sencillas intentaremos cambiarlo a

1).

Finalmente, el rango es el número de filas distintas de cero que aparecen en la

matriz.

EJEMPLO 02:

EJEMPLO 03:


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2.11 EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MATRICES

1.-Dadas las matrices:

Calcular:

A + B; A - B; A x B; B x A; At.

RESPUESTA


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2.-Sean las matrices:

Sean las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones:

(A + B) 2; (A - B) 2; (B) 3; A B t C.

RESPUESTA


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3.-Dadas las matrices:

RESPUESTA

Justificar si son posibles los siguientes productos:

1.-(A t B ) C

(At3 x 2 B2 x 2 ) C3 x 2 = (At B )3 x 2 C3 x 2

No se puede efectuar el producto porque el número de

columnas de

(At B) no coincide con el nº de filas de C.

2.-(B Ct

) At

(B2 x 2 Ct2 x 3 ) A

t3 x 2 = (B C )2 x 3 A

t3 x 2 =

= (B C t A t ) 2 x 2

4.- Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el

producto A M C

RESPUESTA

A3 x 2 Mm x n C3 x 2 m = 2

5.- Determinar la dimensión de M para que C t M sea una matriz

cuadrada. Dadas las matrices:


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RESPUESTA

Ct2 x 3 Mm x n m = 3 n = 3

6.- Demostrar que: A2

- A - 2 I = 0, siendo:

RESPUESTA

7.-Sea A la matriz . Hallar An , para n

RESPUESTA


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8.-Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz para

que resulte la matriz .

RESPUESTA

9.-Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

RESPUESTA


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10.-Calcular la matriz inversa de:

RESPUESTA

Construir una matriz del tipo M = (A | I)

Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en

la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la

matriz inversa: A-1.


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11.-Calcular la matriz inversa de:

RESPUESTA

1. Construir una matriz del tipo M = (A | I)

2. Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz

identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.

2-

1

3+

2

F2

- F3

F1

+ F2

(-1) F2

La matriz inversa es:

12.-Calcular el rango de la matriz siguiente:


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RESPUESTA

F1 - 2 F2

F3 - 3 F2

F3 + 2 F1

Por tanto r(A) =2.

13.-Hallar el rango de la matriz siguiente:

RESPUESTA

F3 = 2F1

F4 es nula

F5 = 2F2 + F1

r(A) = 2.


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14.-Calcular el rango de la matriz siguiente:

RESPUESTA

F2 = F2 - 3F1

F3= F3 - 2F1

Por tanto r(A) = 3 .

15.-Siendo:

16.-Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:


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17.-Siendo:

Resolver la ecuación matricial:


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18.-Resolver; en forma matricial, el sistema:

RESPUESTA


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19.-Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

20.-Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías:

A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y peq

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