Matematica I (para Universidad)

8/9/2019 Matematica I (para Universidad)

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INTRODUCCION

La presente Gua de Ejercicios y Problemas de Matemtica I para el estudiante

representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinacin Acadmica yel rea de Matemtica vienen realizando en cada semestre acadmico. Su

elaboracin est decididamente orientada a incrementar la calidad del proceso de

enseanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemtica I, en la Unidad Acadmica de

Estudios Generales.

Esta Gua que se presenta, contiene ejercicios y problemas de aplicacin de

cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarn en el presente semestre

acadmico 2013 - II, por lo que est dividida en cuatro unidades, de acuerdo al silabo

correspondiente. Estas unidades son: Lgica matemtica y conjuntos, los nmeros

reales, funciones, tpicos de geometra analtica y aplicaciones de la programacin

lineal.

Es nuestra intencin y propsito, que la presente gua sea en un instrumento

bsico de trabajo para el estudiante y que contribuya a la formacin profesional y

acadmica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la

Asignatura de Matemtica I, as como tambin el de mejorar los procesos de

enseanza aprendizaje.

La Coordinacin del rea de Matemtica


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MAT EMTI CA I SEMESTRE ACADMICO 2013-II

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SEMANA 1

LGICA MATEMTICA

1. ENUNCIADO. Es toda oracin o frase que exprese alguna idea, a travs de

afirmaciones, negaciones, preguntas, rdenes, saludos, emociones, etc.

2. ENUNCIADO ABIERTO. Es aquel enunciado que contiene variables o letras, pero no

tiene la propiedad de ser verdadero o falso.

3. PROPOSICIN LGICA. Una proposicin es un enunciado cuya propiedad

fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas a la vez. Por tantono puede ser ambigua.

Una proposicin se representa simblicamente por letras minsculas tales como: p ,

q , r, s ,.. llamadas variables proposicionales.

4. VALOR DE VERDAD. Si p es una proposicin, su valor de verdad se denota con

( )V p y escribimos:

( )V p V si el valor de p es verdadero y

( )V p F si el valor de p es falso.

5. PROPOSICIN SIMPLE. Es aquella proposicin lgica que consta de un solo sujeto y

un predicado. Se llaman variables proposicionales.

6. PROPOSICIN COMPUESTA. Es aquella proposicin lgica compuesta de dos o ms

proposiciones simples.

7. OPERADORES LGICOS. Son signos que representan palabras y que son usados

para relacionar proposiciones. Tenemos:

- Conjuncin:

- Disyuncin dbil o inclusiva:

- Disyuncin fuerte o exclusiva:

- Condicional:

- Bicondicional:

- Negacin: ~


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8. TABLAS DE VERDAD.

9. SIGNOS DE AGRUPACIN. Los signos de agrupacin , , se usan en lgica

cuando se trata de obtener esquemas lgicos ms complejos. Otra finalidad de estos

signos es darle mayor o menor jerarqua a los operadores.

10. FRMULA LGICA. Es una combinacin de variables proposicionales y operadores

lgicos. Se evala mediante tablas de verdad.

Las frmulas lgicas o esquemas moleculares, se evalan mediante tablas de valores

de verdad, el nmero de valores de verdad queda determinado por 2n

, donde n es elnmero de proposiciones.

Si al evaluar una frmula lgica resulta que todos los valores de verdad de su operador

principal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGA.

Si todos estos valores son falsos, es una CONTRADICCIN.

Si es una combinacin entre valores verdaderos y falsos, entonces se tiene una

CONTINGENCIA.

CONJUNCIN

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

DISYUNCINDBIL

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

DISYUNCINFUERTE

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

CONDICIONAL

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

BICONDICIONAL

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

NEGACIN

p ~ p

V

F

F

V


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EJERCICIOS

I. De las siguientes expresiones, indicar cules son proposiciones lgicas, justificar.

1. El da de hoy es jueves.

2. Hace calor!3. Qu edad tienes?

4. Prohibido fumar.

5. Maana llover.

6. El verano es una estacin playera.

7. Las rosas son hermosas.

8. El cero es un nmero natural.

9. Todo nmero entero es negativo.

10. 5 2 8x 11. 8 4 6x

12. El nmero 2221 es divisible por 2.

13. 3 8 1 2 3

14. 97 es un nmero primo.

15. 3 4 10x y

II. Simbolizar y determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1. El mes de Marzo tiene 30 das y el mes de febrero 31 das.2. Arequipa no es la Ciudad Blanca o Trujillo es la Capital de la eterna Primavera.

3. El da tiene 24 horas si y slo si, una hora tiene 60 minutos.

4. Mario Vargas Llosa gan el Nobel en el 2011 o Humala es el Presidente del Per.

5. Si, 3 2 5 , entonces 204 es mltiplo de 17.

6. 10 es mltiplo de 3 y 30 es divisor de 600.

7. 99 es mltiplo de 3 4 no es un numero par.

8. No es verdad que, 4 3 6 y que 10 2 8 .

9. Si Junn est en el Per entonces Ro de Janeiro est en Argentina.

10. Es falso que, Alan Garca no sea el actual presidente de la repblica ya que perdien las elecciones generales del 2011.

11. Csar Vallejo escribi El Tungsteno no obstante Mario Vargas Llosa escribi LaFiesta del Chivo.

12. El ao de 1821 se proclam oficialmente la independencia del Per, sin embargo el 2de mayo 1866 se inmortaliz Don Jos Glvez defendiendo al Per de la invasinchilena.


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III. Establecer la tautologa, la contradiccin y la contingencia de las siguientesproposiciones:

1. ~p q p q p q

2. ~ ~ ~ ~p q p q p q

3. ~ ~ ~p q p r

4. ~p q p r q p

5. p p q r p r

6. ~ p p q r p r

7. ~ ~ ~ ~p q r r p q

8. ~ ~ ~ ~p q r p q r

9. ~ ~ ~ ~p r p q r

10.

~p V q V p q p

11. ~ ~p q p q p q V

12. ~ ~ ~p q V V p V V V

13. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~p q p p q


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IMPLICACIN LGICA

Dadas las proposiciones A y B; se dice que, A implica a B cuando unidos con la condicional

, resulta una tautologa. Se simboliza: AB y se lee: A implica a B, y si A no implica a B,

entonces se escribe: A

B.

EJERCICIOS:

Demostrar que A implica a B, en los siguientes ejercicios:


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SEMANA 2

CONJUNTOS

Agrupaciones?, para qu?

En la vida diaria nos encontramos ante situaciones en las cuales de manera natural

agrupamos objetos, personas, proyectos, etc., que tienen alguna cualidad en comn. Por

ejemplo los compaeros de la escuela, las enfermedades del corazn, estudiantes de

matemtica, entre otros. Nos hacemos preguntas respecto a estas agrupaciones y sus

componentes, por eso la matemtica se encarga de estudiarlas y este estudio es conocido

como Teora de Conjuntos.

1. IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO. De manera intuitiva diremos que un conjunto es una

coleccin bien definida de objetos. A cada uno de estos objetos le denominamos

elemento del conjunto. Un conjunto se denota por una letra mayscula, sus elementos

se encierran entre llaves y se separan por comas cuando el conjunto esta expresado por

extensin.

2. DETERMINACIN DE CONJUNTOS.

2.1. POR EXTENSIN. Aqu se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista deelementos la escribimos entre llaves.

2.2. POR COMPRENSIN. Aqu se escribe una propiedad que cumplen todos los

elementos que estn en el conjunto.

3. RELACIN DE PERTENENCIA. Cuando un elemento se encuentra en un conjunto se

dice que este elemento pertenece al conjunto y se denota por pertenece.

4. SUBCONJUNTO. Es aquel que forma parte de otro. Se denota por y se lee es

subconjunto de est contenido en. Un conjunto A es subconjunto de B si y slo sicada elemento de A tambin es elemento de B y se denota por A B .

El conjunto vaco es subconjunto de todo conjunto A.

5. DIAGRAMA DE VENN-EULER. Son grficos que nos ayudan a ilustrar algunas ideas.

En el caso de la teora de conjuntos se usan diagramas de Venn-Euler. Se usan

generalmente crculos para graficar los conjuntos y un rectngulo para el conjunto

universal.

6. CARDINAL DE UN CONJUNTO. Es la cantidad o nmero de elementos de un conjuntoy se denota por n A .


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7. CONJUNTOS ESPECIALES.

7.1. CONJUNTO UNIVERSAL. Es aquel formado por todos los elementos con los

cuales estamos trabajando en un problema particular. Se denota por U . Es muy

importante establecer el conjunto universal, ya que eso determinar nuestro marco

de referencia.

7.2. CONJUNTO VACO. Es aquel que carece de elementos. Se denota por .

7.3. CONJUNTOS DISJUNTOS. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en

comn.

7.4. CONJUNTO UNITARIO. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

7.5. CONJUNTO POTENCIA. El conjunto potencia de un conjunto A , es el conjunto

formado por todos los subconjuntos de A . Se denota por P A y el nmero deelementos de 2nP A , donde n es el nmero de elementos de A .

7.6. CONJUNTO FINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada.

7.7. CONJUNTO INFINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es ilimitada.

Por ejemplo el conjunto de nmeros reales.

EJERCICIOS:

I. Expresar por extensin los siguientes conjuntos:

1. 2/ 1 ; ; 1 4A x x n n n

2.3

/ ; ;0 53

nB x x n n

n

3. 2/ 1; ; 2 4C x x n n n

4. / 2 11;D x x x es impar

5. / ; ; 3 33

nA x x n n

n

6. /B x x es un da de la semana

7. / 6C x x es un nmero natural menor que

8. 2/ 1; ; 2 5A x x n n n

9. 2 */ ; ;1 5B x x n n n n

10. / 4 8;D x x x es par


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II. Resolver:

1. Si / 1 5A x x . Determinar P A .

2. Si * / 0 3A x x . Determinar P A .

3. Cules de las siguientes afirmaciones son falsas:

a) 0 b) 0

c) d)

4. Dado el conjunto 3,4, 6 ,8A , colocar verdadero o falso, segn corresponda:

a) 3 A b) 4 A c) 8 A

d) 3,8 A e) A f) 6 A

g) A h) 6 A i) 6 A

5. Cules de los siguientes conjuntos son vacos:

a) /A x x b) 3/ 3B x x

c) / 1/C x x d) 2/ 4 0D x x

6. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) / 6 7A x x es un conjunto vaco.

b) / 3B x x es mltiplo de es un conjunto infinito.

c) 1,2,3A y 1,1,3,2,3B son disjuntos

d) 1,2,3,4E es subconjunto de /1 4F x x

e) * /A x x es par y /B x x es impar son disjuntos.

f) El nmero de elementos de P A es 2n .

g) 3,6,9,12,...,30P es un conjunto finito.

h) / 42N x x es un nmero entero mayor que es un conjunto finito.


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CUANTIFICADORES

FUNCIN PROPOSICIONAL.La funcin proposicional es un enunciado abierto de la forma

( )P x , es decir, se trata de una expresin que contiene alguna variable que al ser sustituidapor un valor particular se convierte en proposicin.

Por ejemplo:

2( ) : 3 10P x x es un enunciado abierto

2(2) : 2 3 10P es una proposicin falsa

2(3) : 3 3 10P es una proposicin verdadera

CUANTIFICADORES. Los cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto o

funcin proposicional en una proposicin para lo cual su misin es indicar cuntos

elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta funcin proposicional.

1. CUANTIFICADOR UNIVERSAL. Representado por , se emplea para afirmar quetodos los elementos de un conjunto cumplen con determinada funcin proposicional.

Notacin: Ax :, se lee: para todox , que pertenece al conjunto A , se cumple

que

2. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. Representado por , se usa para indicar que almenos un elemento de un conjunto cumple con determinada funcin proposicional.

Notacin: Ax /, se lee: existe algn x , que pertenece al conjunto A , tal que secumple que

NEGACIN DE LOS CUANTIFICADORES.

:)(/~ AxxpAx ( )~ p x la negacin de un existencial da un universal

/)(:~ AxxpAx ( )~ p x la negacin de un universal da un existencial

NOTA.

En general, la proposicin universal :x A P x es verdadera si la propiedad ( )P x lo es,

es decir, si cumple con cada uno de los elementos de A y es falso si hay al menos unelemento de A que no cumple la propiedad ( )P x .

En general, la proposicin existencial : ( )x A P x es verdadera si en A hay al menos un

elemento x que cumple ( )P x y es falsa si ningn elemento de A cumple con ( )P x , estoes, todo elemento de A no cumple ( )P x .


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EJERCICIOS

I. Dado el conjunto { 3, 2, 1, 0,1, 2, 3}A . Determine el valor de verdad de las

siguientes proposiciones.

1) AxAx 5/ 2) 2: 5 6 0x A x x

3) x A /4

82

x 4) x A / 2 10 2x

5) x A : 4 61

x

x

6) x A : 2 4 5x

II. Consideremos el conjunto: / 4 7A x x , diga si son verdaderas o falsas

las siguientes proposiciones, justificando su respuesta.

1) x A : 2 4 8x 2) x A / 4 2 12x

3) x A : 3 2 6x 4) x A / 55

23

x

5) x A : 72

13

x 6) x A : 34 5 6x

7) x A / 2 3 13x 8) x A : 3 9 24x

9) x A / 5

5

2

x 10) x A / 2( 8)( 1) 0x x

III. Dado el conjunto { 2, 1, 0,1, 3, 4,5,7}B . Negar cada una de las siguientesproposiciones y luego establecer su valor de verdad.

1) x B : 2 5 16x 2) x B : 2 3 26x

3) x B / 5 1 38x 4) x B : 4 1 55

x

5) x B / 102 3

2

x

6) x B / 2 2 45x

7) x B : 4 2 30x 8) x B / 5 3 10x

9) x B : 2 24

x

x

10) x B / ( 6)( 9) 0x x


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SEMANA 3

OPERACIONES CON CONJUNTOS

1. UNIN. Dado dos conjunto A y B, la unin de A y B se define como:

/A B x x A x B

Siempre se cumple que A A

2. INTERSECCIN. Dado dos conjuntos A y B, la interseccin de A y B se define como:

/A B x x A x B

Dos conjuntos son disjuntos si A B . Adems siempre se cumple que A .

3. DIFERENCIA. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos A y B se definecomo:

/A B x x A x B

A BU

A BU

A BU


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4. DIFERENCIA SIMTRICA.Dado dos conjuntos A y B, la diferencia simtrica de A y B sedefine como:

/A B x x A B x B A

5. COMPLEMENTO. Dado un conjunto A y el conjunto universal U, donde A U , sedefine el complemento de A como:

/' cA A x x U x A

Siempre se cumple que: 'U y ' U .

EJERCICIOS

I. Resolver:

1. Sean los conjuntos: / 0 9U x x , / 1 5A x x x y

/ 0 9B x x x es par . Hallar:

a) A B b) ' 'A B c) A B

d) ( )P A e) ( )P B f) ( ) ( )P A P B

2. Sean los conjuntos / 3 6A x x , * / 2 4B x x y U A B ,

determine:

a) B A b) ( ) 'A B A c) A B

A BU

AU


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3. Sean los conjuntos * / 2 1 0A x x x x ,

2 2/ 1 4 0B x x x y U A B , determine 'E A B

4. Considerando / 4 7U x x , *

/ 0 4A x x x y / 2 7B x x x es par , determinar:

a) A U b) ' 'A B A c) A B

d) P A e) P B f) P A P B

5. Sean los conjuntos * / 2 6A x x y / 1 4B x x , determine:

A B A B B A A B .

6. Sean los conjuntos / 3 1 1 0A x x x x ,

2 2/ 1 9 0B x x x y U A B , determine E A B A B

7. Sean los conjuntos / 5 3A x x , 1,2,3,4,5,6 4,5,6B ,

3,4,5,6C y U A B C , determine E C A A B .

II. APLICACIONES

1. A un grupo de 35 alumnos se les ha tomado un examen de Matemtica y un examende Economa, obtenindose los siguientes resultados: 20 alumnos aprobaronMatemtica; 24 alumnos aprobaron Economa y 14 aprobaron ambas asignaturas.Cuntos alumnos aprobaron por lo menos un curso?, Cuntos alumnos aprobaronslo Matemtica?, Cuntos alumnos no aprobaron ninguna de las dosasignaturas?.

2. De un total de 200 personas sobre su preferencia acerca de dos productos A y B, 50dijeron no consumir el producto A y 40 no consumir el producto B. Si 15 personas

manifestaron no consumir ninguno de ellos. Cuntos consumen los dos productos?

3. De un conjunto de 40 personas se tiene la siguiente informacin: 15 personas que no

estudian ni trabajan, 10 personas que estudian y 3 personas que estudian y trabajan.

Cuntas personas realizan una sola actividad?.

4. En una reunin hay 160 personas de los cuales se tiene la siguiente informacin: los

que toman son el triple de los que fuman, los que fuman y toman son 40 y los que no

fuman ni toman son 12. Cuntos solamente toman?.


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5. En un aula hay 72 alumnos que gustan de la msica rock o salsa. La cantidad de los

que gustan el rock es el quntuplo de los que slo gustan la salsa; la cantidad de los

que slo gustan el rock es el triple de los que gustan ambos gneros. Cuntos

alumnos slo gustan de un gnero?

6. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican bsquet, 14

ftbol y 11 tenis. 6 alumnos practican los tres deportes, 2 practican ftbol y bsquet

pero no tenis, 1 practica bsquet y tenis pero no ftbol, 3 practican slo tenis.

Cuntos alumnos practican slo un deporte? .

7. Una agencia de Turismo convoc a un concurso para administradores con

conocimientos de algn idioma extranjero. De los que se presentaron, 25 saben

ingls, 21 francs y 17 alemn. Adems 17 saben ingls y francs; 14 ingls y

alemn; 11 francs y alemn y 9 ingls, francs y alemn. Cuntas personas se

presentaron al concurso?.

8. En una encuesta realizada en 100 viviendas de un distrito se obtuvo que:

60 casas tenan aparatos de TV a color

30 casas tenan equipo de sonido

20 casas tenan DVD

21 casas tenan TV a color y equipo de sonido.

15 casas tenan TV a color y DVD

4 casas tenan equipo de sonido y DVD.

Cuntas casas, como mximo, no tenan estos aparatos?

9. Un grupo de alumnos de Administracin ha planeado realizar una investigacin sobre

las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las pelculas A, B y C.

Despus de encuestar a 50 personas se obtuvo la siguiente informacin: 20 han visto

la pelcula A; 17 han visto la pelcula B; 23 han visto la pelcula C. 6 han visto las

pelculas A y B, 8 han visto las pelculas B y C, 10 han visto las pelculas A y C.

Adems se sabe que 2 han visto las tres pelculas. Cuntas personas han visto una

sola pelcula?, Cuntas personas han visto al menos dos pelculas?

10. En una encuesta realizada a personas adultas de la regin norte del pas, conrespecto al gnero de cine que preferan, se obtuvo la siguiente informacin: 120prefieren la comedia; 100 prefieren el gnero policial; 50 les gusta el suspenso. 10prefieren los gneros policial y comedia; 16 prefieren comedia y suspenso; 16prefieren suspenso y policial. 6 les agrada los tres gneros. Si se entrevist a untotal de 290 personas, Cuntos optan por uno slo de estos gneros? , Cuntosslo prefieren la comedia?

11. Un grupo de 60 chef se presentaron a un Concurso de Cocina en las siguientes

especialidades: postres, cremas y pastas. Obtenindose como resultado que: 30ganaron en la especialidad de pastas. 25 ganaron en la especialidad de postres. 20


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ganaron en la especialidad de cremas. 5 ganaron en pastas y postres pero no en

cremas. 7 ganaron en pastas y cremas. 1 gan en las tres especialidades. Adems

se sabe que el nmero de los que ganaron slo postres es la mitad de los que

ganaron la especialidad de pastas. Determine cuantos ganaron, al menos, en dos de

las especialidades.

12. Para obtener la licencia de conducir, hay que aprobar necesariamente 3 exmenes:

el mdico, el de manejo y el de reglas de trnsito. En una evaluacin de 80 personas

que solicitaron la licencia de conducir, aprobaron el examen mdico 26, y son tantos

como los que aprobaron el examen de manejo, pero la mitad de los que aprobaron el

examen de reglas de transito. 12 aprobaron el examen mdico y el de manejo; 8

aprobaron el examen mdico y el de reglas, 10 aprobaron el examen de manejo y

reglas. Si ninguno pudo obtener su licencia para conducir (es decir, ninguno aprob

los tres exmenes), determine cuntos aprobaron slo uno de los exmenes.

13. De una encuesta realizada a 130 personas para establecer sus preferencias de

lecturas de las Revistas Magaly TV, Gisela y Caretas, se obtiene el resultado

siguiente: todos leen alguna de las tres revistas, 75 leen Magaly TV , 15 leen

Magaly TV y Gisela pero no Caretas, 11 leen Gisela y Caretas pero no Magaly TV ,

20 leen slo Caretas. El nmero de personas que leen las tres revistas es 12 y el

nmero de los que leen Magaly TV y Caretas es el doble del nmero de los que leen

las 3 revistas. El nmero de los que leen slo Gisela es el mismo que el total de los

que leen Magaly TV y Caretas. Determine:a) El nmero de personas que leen solamente Magaly TV.b) El nmero de personas que leen solo dos revistasc) El nmero de personas que leen solo Magaly TV y Caretas.

14. En la Unidad Acadmica de Estudios Generales, se realiz una encuesta a un grupo

de 200 alumnos, sobre la responsabilidad en el cumplimiento de sus tareas,

puntualidad a clase y confianza en aprobar sus cursos; obteniendo los siguientes

resultados: 100 responden que son responsables con sus tareas, 110 responden

tener confianza en aprobar sus cursos y 120 responden que su asistencia es puntuala clase; 60 responden ser responsables en sus tareas y confan aprobar sus

cursos, 20 responden ser responsables con sus tareas y ser puntuales a clase pero

no confan aprobar sus cursos, 80 responden ser puntuales a clase y confan en

aprobar sus cursos. Adems, segn la respuesta de los alumnos, se estima que 50

alumnos son responsables, puntuales y confan aprobar sus cursos. Cuntos

alumnos son slo puntuales a clase?, Cuntos alumnos no son responsables, no

llegan puntuales a clase y no tienen confianza de aprobar sus cursos?, Cuntos

alumnos cumplen con, por lo menos, dos de las tres preguntas?


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15. Un grupo de 160 jvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertas

marcas de bebida gaseosa (Coca Cola, Inca Kola y Pepsi) y se obtuvo el resultado

siguiente: los que beben Coca Cola son 59, los que beben Inca Kola 73 y los que

beben Pepsi 77. Los que beben Inca Kola y Pepsi son 22, Pepsi y Coca Cola 17,

solamente Coca Cola 30. Adems, los que beben Inca Kola y Pepsi, pero no CocaCola, son la mitad de los que solamente beben Coca Cola. Cuntos jvenes beben

las tres bebidas?, Cuntos jvenes beben solamente una de las tres bebidas.

16. En un estudio de mercado, para conocer la marca de automvil que prefieren los

peruanos, se realiz una encuesta a 310 personas obtenindose los siguientes

resultados: 140 personas prefieren la marca Nissan; 70 prefieren la marca Volvo y

110 la marca Toyota; 20 personas prefieren las marcas Volvo y Toyota pero no la

marca Nissan; 15 personas prefieren las marcas Volvo y Nissan; 25 personas

prefieren las marcas Nissan y Toyota. Adems se sabe que el nmero de personasque prefieren las tres marcas, es la sptima parte de los que prefieren la marca

Volvo.

a) Cuntas personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de

Automvil?

b) Cuntos personas prefieren, por lo menos, dos de las tres marcas?

c) Cuntas persona prefieren slo dos de las tres marcas de automvil?

17. En una encuesta realizada a 300 personas, se determin que 20 slo leen el diarioA, 10 leen slo los diarios A y B, 40 leen slo los diarios B y C, 20 leen slo los

diarios A y C. Se conoce que, el nmero de personas que leen los tres diarios, es el

cudruplo de los que leen slo el diario C y a la vez es el doble de los que leen slo

el diario B. Si todas leen al menos un diario, halle el nmero de personas que leen al

menos dos diarios.

18. Csar, funcionario de una agencia de viajes, realiza una encuesta a un grupo de

turistas europeos sobre sus preferencias de pasar sus vacaciones en Sudamrica y

se obtuvo que: 13 prefieren Brasil y Per pero no Argentina; 12 prefieren slo Brasil.9 slo prefieren Per. 50 prefieren Per o argentina, de los cuales 7 prefieren Brasil

pero no Per y 4 prefieren Per y argentina pero no Brasil. 40 prefieren Brasil. Si

todos los turistas prefieren por lo menos un pas, determine:

a) El nmero de turistas que prefieren al menos dos pases.

b) El nmero de turistas que prefieren solo un pas.

c) El nmero de turistas que fueron encuestados.


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SEMANA 4

ECUACIONES LINEALES

Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones

que conforman una ecuacin son llamadas lados o miembros, y estn separados por el

signo de igualdad =. Toda ecuacin lineal con una incgnita se puede expresar de la

forma: 0ax b , con 0a .

Resolver una ecuacin consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera

dicha igualdad.

La solucin es tambin llamada raz de la ecuacin siendo expresada por: a

b

x

1. Resolver x

a) 5 ( 4 1) 6 (3 5) ( 2)x x x x x

b) 4 3 ( 2) 2( 8) 4 ( 6)x x x x

c) 6 2 8 3 2 14x x x

d) 2 24 3 (5 4) 3 ( 1)x x x x

e) 2 2 2

3 1 5 3 4 2x x x

f) 64

89

2

37

xx

g)11 4 10

2 33 6

x xx

h) 21

53

14

98

3

72

xxx

i) 4321 2 xxxx

j) 112112 xxxxx

k) 522 22 xx

l) 18

3

3

1

2

1

6

5

xx

xx

m) 012

78

5

6

6

52

5

3

2

13

5

4

xxx


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19

APLICACIONES

1. El ingreso mensual total de una guardera por el cuidado de x nios est dado por

450I x , y sus costos mensuales totales estn dados por 380 3500C x . Cuntos

nios se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de equilibrio?.

2. Una compaa de refinacin de maz produce gluten de maz para alimento de ganado,

con un costo variable de $76 por tonelada. Si los costos fijos son $110000 por mes y el

alimento se vende en $126 por tonelada, cuntas toneladas deben venderse para que

la compaa tenga una utilidad mensual de $540000?

3. Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $20. El costo

de fabricacin de cada cartucho es de $12. Los costos fijos mensuales son de $8000.

Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, cuntos cartuchos debe vender

el fabricante para llegar al punto de equilibrio?

4. Un fabricante de lmparas vende nicamente a mayoristas en su sala de exhibicin. El

gasto semanal total, incluyendo seguros, costos de mantenimiento y alquiler de la sala

de exhibicin, es de 5800 dlares. Si cada lmpara es vendida en 172 dlares, y el costo

de produccin de cada lmpara es de 52 dlares, cuntas lmparas deber el

fabricante producir y vender cada semana, si quiere asegurar una ganancia de 4400

dlares?.

5. Para una compaa que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de

mano de obra y material es de $21 por calentador .Los costos fijos son $70000. Si elprecio de venta de un calentador es $35.

a) Cuntos calentadores debe vender para que la compaa tenga una utilidad de

$140000?

b) Cul ser el ingreso para esa utilidad?

6. La compaa Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y

un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $60000, determine:

a) El nmero de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $90000.b) Cul ser el ingreso para esa utilidad?

c) Cul ser el costo total para esa utilidad?

7. Un fabricante de casacas, vende cada casaca a 80 soles. Si el costo de fabricacin

es de 60 soles por unidad, y los costos fijos es de 1200 soles semanal. Halle:

a) El numero de unidades que debe vender el fabricante, semanalmente, para obtener

una utilidad de 2800 soles.

b) El ingreso para esa utilidad


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20

8. Una empresa de bebidas energizantes determina que puede vender a un precio de 2.5

soles cada unidad. Si tiene un costo que no depende de la produccin de 2000 soles

semanal, y un costo de produccin de 1,5 soles cada unidad, determine:

a) El nmero de unidades que debe producir y vender la empresa para tener una

utilidad de 4000 soles por semana.

b) El costo total para esa utilidad.

9. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compaa determina que el costo

del material es de $ 2,50 y el de mano de obra de $ 4. El gasto general, sin importar el

volumen de ventas es de $ 5000. Si el precio para un mayorista es de $ 7,40 por

unidad, determine el nmero de unidades que debe venderse para que la compaa

tenga utilidades de $6493.

10. Suponga que los consumidores comprarn q unidades de un producto al precio de

10002

q dlares por unidad. Cuntas unidades deber vender para obtener un

ingreso de $5000?.

11. Se sabe que los consumidores comprarn q unidades de un producto si el precio es

de200

10q

dlares por unidad. Cuntas unidades deber vender para obtener un

ingreso de $4000?.

12. Un comerciante vende, mensualmente, q unidades de un artculo de su tienda al precio

de323

15q

dlares por unidad. Si tiene un costo que no depende de la produccin de

$600 y un costo de produccin unitario de $8, determine el nmero de unidades que

debe vender, para que sus utilidades sean de $1200 mensuales.


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21

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACION DE SEGUNDO GRADO

Definicin.

Una ecuacin de segundo grado es aquella expresin en la que el exponente mximo es 2,

siendo adems racional y entera y, de la forma: 2 0ax bx c ; donde , ,a b c , son

nmeros reales y 0a .

Clases:

Completas: 2 0ax bx c

Incompletas: 2 0ax bx , donde 0c ; 2 0ax c , donde 0b

METODOS DE SOLUCION

Los mtodos para resolver una ecuacin de segundo grado son:

a) Por Factorizacin.

Se factoriza a travs del aspa simple. Para obtener las soluciones o races se

iguala cada factor a cero:

Ejemplo:

Resolver: 032 2 xx

Factorizando por aspa simple: 032 2 xx

x2 3

x 1

Los factores son: (2 3)( 1) 0x x

Igualando a cero cada factor: 01;032 xx

Resolviendo se obtiene: 1;2

3 xx

El conjunto solucin es: 32

. ; 1C S


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22

b) Por la Formula General:

Una ecuacin de segundo grado puede resolverse utilizando la formula general:

2

42b b acx a donde cba , y son los coeficientes de la ecuacin.

Procedimiento

a) Se halla el valor de los coeficientes: cba , y .

b) Se reemplaza el valor de los coeficientes en la frmula general.

c) Se reducen los trminos semejantes en cada miembro

d) Se despeja la incgnita.

Adems, de acuerdo al valor del discriminante se tiene:

Si, 2 4 0b ac , entonces las races son reales y diferentes.

Si, 2 4 0b ac , entonces las races son complejas.

Si, 2 4 0b ac , entonces las races son reales e iguales.

Ejemplo:

Resolver: 0682 2 xx

Los valores de cba , y son: 2 , 8 , 6a b c

Reemplazando en la formula general (F.G.), se tiene:

2( 8) ( 8) 4(2)(6)

2(2)x

=

8 64 48

4

=

8 16

4

=

4

48

Entonces:4

48

1

x y4

48

2

x 31

x y 12

x

El conjunto solucin es: 1;3. SC


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23

EJERCICIOS

Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 2 6 55 0x x b) 025102 xx

c) 26 13 5 0x x d) 2 2 9 0x x

e) 2 22 6 6 8x x x x f) 22 3 0x x

g) 214 28 0x h) 25 2

03 7

x x

i)

2

24 2

x x

j)2

0,3 1,3 1 0x x

k) 25 1 2 2 7 8x x x x l) 2(2 1) (3 2)x x x

m) 2(3 2) (2 3)x x x n) 22( 1)(2 1) 6( 1) 10 5 1x x x x x

o) 643 xx p) 24 4 1 0x x

EJERCICIOS DE REPASO

Resolver las siguientes ecuaciones:

1) 2 81x 2) 214 28 0x

3) ( 6)( 6) 13x x 4) (2 5)(2 5) 119 0x x

5) ( 11)( 11) 23x x 6) 2 7x x

7) 221 100 5x 8) 2 22 6 6 8x x x x

9) 2 2( 3) (2 5) 16x x 10) (4 1)(2 3) ( 3)( 1)x x x x

11) 2 12 35 0x x 12) 2 3 2 0x x


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APLICACIONES

1. Un terreno rectangular de 4x8 m. se usa como jardn. Se decide poner una vereda en

toda la orilla interior de modo que 12 m2del terreno se dejen para flores. Cul debe ser

el ancho de la vereda?

2. Una compaa determina que si produce y vende q unidades de un producto, el ingreso

total por las ventas ser q100 . Si el costo variable por unidad es de S/. 2 y el costo

fijo es S/. 1200, determine los valores de q para que la utilidad sea cero.

3. La ecuacin de ingresos de cierta compaa es: 2340 4I p p ; donde p es el precio

en dlares del producto que fabrica esa compaa. Cul ser el precio para que el

ingreso sea de $ 6000, si el precio debe ser mayor de $ 40?

4. El ingreso mensual de cierta compaa est dado por

2

800 7 ,R p p donde p es elprecio en nuevos soles del producto que fabrica esa compaa. A que precio el ingresoser de S/. 10,000, si el precio debe ser mayor de S/. 50?

5. Cuando el precio de un producto es de p dlares por unidad, suponga que un fabricante

suministrar 23 4p p unidades del producto al mercado y que los consumidores

demandarn 224 p unidades. Si el valor de p para el cual la oferta es igual a lademanda, se dice que el mercado esta en equilibrio, halle el valor de p .

6. Una compaa de muebles para computadoras tiene la ecuacin de ingresos mensuales

dada por: 2450 9I p p , donde p es el precio en dlares de cada mueble. Determinee precio de cada mueble para que el ingreso mensual sea de 5400 dlares, si el precio

debe ser mayor que 20 dlares.

7. Suponga que un comerciante vender q unidades de un producto, cuando el precio es

de )110( q dlares por unidad. Determine el nmero de unidades que debe vender a fin

de obtener un ingreso por ventas de 3000 dlares, si debe vender ms de 50 unidades.

8. Un fabricante de camisas puede vender q unidades semanales al precio de p dlares

por unidad, en donde qp 150 . El costo total de producir q unidades de camisas esde )401800( q dlares. Halle el nmero de camisas que debe vender a la semana para

obtener una utilidad de 1200 dlares, si el nmero de camisas debe ser mayor que 50.

9. Un fabricante de pantalones puede vender q unidades semanales al precio de

p dlares por unidad, en donde qp 185 . El costo total de producir q unidades depantalones es de )452800( q dlares. Halle el nmero de camisas que debe vender a

la semana para obtener una utilidad de 2000 dlares, si el nmero de camisas debe ser

mayor que 60.


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25

10. El ingreso obtenido al vender q unidades de un producto est dado por 400 900I q

y el costo total para producir q unidades de este producto es 210 400 5000CT q q .

Halle el menor nmero de unidades que se debe vender para obtener una utilidad de

S/. 11650.

11.AGROEXPORT vende q toneladas mensuales de mangos al precio de p dlares

por tonelada, en donde 690p q . El costo total de producir q toneladas es de(18100 250 )q dlares. Halle el nmero de toneladas que debe vender al mes para

obtener una utilidad de 23900 dlares, si debe ser mayor que 280.

12. El ingreso obtenido en soles al vender q unidades de un producto est dado por2300I q q . Si y el costo de produccin de una unidad de este producto es S/.200 y

los costos sin importar el volumen de ventas es S/.1000, cuntas unidades debe

venderse , para que la utilidad sea de S/. 600, si el numero de unidades debe ser mayor

que 70?.


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SEMANA 5

DESIGUALDADES LINEALES

Propiedades de las desigualdades

1) Si a b a c b c

2) Si 0 a b

a b y c ac bc yc c

3) Si 0 a b

a b y c ac bc yc c

Desigualdades Lineales

0ax b , a y b son constantes y 0a

se lee menor que

se lee menor o igual que

se lee mayor que

se lee mayor o igual que

Ejemplo 1:

Resolver: 4 8 3 5x x

Pasando las variables al primer miembro: 4 3 5 8x x

Simplificando: 7 13x

Dividiendo entre 7: 13

7x

El conjunto solucin es: 13,7

CS

Ejemplo 2:

Resolver: 2 6 6 9x x


Simplificando: 8 3x

Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 8: 38

x


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27

El conjunto solucin es: 3,8

CS

Ejemplo 3:

Resolver: 4 3 22 3 2 4x x

Multiplicando por 12 (MCD): 24 16 18 6x x


Simplificando: 22 6x

Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 6: 311

x

El conjunto solucin es: 3 ;11CS

EJERCICIOS:

I. Resolver:

1. 3 5 5 1x x 2. 4 5 6 13x x

3. 0,1(0,03 4) 0,02 0,434x x 4.1 3

42 2

x x

5.7 8

4 3x x 6.

5 1 7( 1)

3 2

x x

7.2 0,01

9 0,10,2

xx

8.

3 5 2 9

3 4 12 15

x x x

9.3(2 2) 6 3

2 5 10

x x x 10.

6 3 3(2 6)

2 4

x xx

11.2 4

(4 2) ( 2) (4 5)3 13

x x x 12.6 3 11 14

22 5 4 5 5

x xx

13.3 1 9

11 (5 14) (2 )2 3 5

x x x 14.2 15 10 5 2

(8 5 )2 3 3

x xx


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28

APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES

Obtener ganancia: 0U ; 0t tI C No obtener prdida: 0U ; 0t tI C

1. Si al doble de la edad de Juan se resta 17 aos resulta menor que 35, pero mayor que31. Cul es la edad de Juan?.

2. Miguel tiene S/.520 para gastar en ropa. Si compra un terno que cuesta S/. 250 y elprecio de unas camisas es de S/. 30 cada una, determine el mayor nmero de camisasque l puede comprar.

3. Una empresa produce jarras de vidrio. Las jarras tienen un precio unitario de venta de

S/. 18 y un costo unitario de S/. 13. Si los costos fijos son de S/. 300000, determine elnmero mnimo de jarras que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.

4. Ricardo, se dedica a la venta de sndwich de pollo. El precio de venta al pblico es deS/. 1,50 cada uno. Si el costo unitario de S/. 0,80 y los costos fijos de S/. 20,0 determineel nmero de sndwich de pollo que deben venderse para que Ricardo no tengaprdidas.

5. En la produccin del peridico La Voz se tiene que los costos de materia prima es deS/. 0,20 y el costo de mano de obra es S/. 0,30, por unidad. El costo que se tiene sin

importar el volumen de ventas, es de S/. 1000 mensual. El precio de cada peridico esS/. 1,00. Determine el nmero de peridicos que se deben vender para que la empresaeditorial obtenga utilidades.

6. Los nios de una escuela compran q unidades de galletas Dulcesabor al precio de

102

q por unidad. Cul es el nmero mnimo de unidades de galletas que deben

venderse para que el ingreso sea mayor que S/. 130?

7. Hoy, un fabricante tiene 2 500 unidades de un producto. El precio unitario del producto

es S/. 4,0. El prximo mes el precio por unidad se incrementar en S/. 0,50. El fabricantequiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2500 unidades no sea menor queS/. 10750, Cul es el nmero mximo de unidades que pueden venderse este mes?

8. Lupita prepara marcianos de fruta para vender en su barrio. Gasta S/. 0,20 en fruta yS/. 0,20 en otros insumos (como azcar, bolsas de marcianos, etc...) por unidad.Adems, debe aportar S/. 20,0 mensual por consumo de luz, agua y gas que utiliza parala preparacin de los mismos. Si los vende a S/. 0,50 cada uno. Cuntos marcianosdebe elaborar y vender para obtener utilidades?


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SEMANA 6

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Procedimiento:

Resolver la inecuacin como si fuera una ecuacin, las races o soluciones de la ecuacin,

sern los extremos del intervalo o los intervalos correspondientes al conjunto solucin.

Depende de la relacin de orden que tenga la inecuacin, para establecer el conjunto

solucin.

Sea la inecuacin: 2 0ax bx c , entonces:

1) 2 0ax bx c , al resolver supongamos que obtenemos como soluciones 1x m

y 2x n

2) Como la relacin de orden es , entonces el conjunto solucin ser

; ;x m n y m< n

Nota:

Si la desigualdad hubiera sido solo>el conjunto solucin sera: ; ;x m n

Si la inecuacin fuera: 2 0ax bx c se procede de la misma forma pero el conjuntosolucin estara dado por ,m n , en el caso de ser solo


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30

Para analizar:

Si la inecuacin es de la forma 2( ) 0ax b el conjunto solucin es:

.

Si la inecuacin es de la forma 2( ) 0ax b el conjunto solucin es:

Cul sera el conjunto solucin si en las desigualdades cuadrticas anteriores no existe el

igual?

EJERCICIOS

Resolver:

1.2

11 28 0x x 2.2

3 8 5 0x x

3. 23 14 5 0x x 4. 24 0x

5. 24 81 0x 6. 24 4 3 0x x

7. 212 0x x 8. 2 3 5 0x x

9. 2 0x x 10. 23 8 5 0x x

11. 25 14 55x x 12. 2 6 9 0x x

13. 2 8 16 0x x 14. 1211)2)(3( xxx

15. 2 7 10 2 4x x x 16. )3)(2(3)3(2 xxx

17. 2 23 2 5 1x x x x 18. 23 8 4 0x x

19. 2( 4) 0x 20. 2(2 5) 0x


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SEMANA 7

APLICACIONES DE DESIGUALDADES CUADRTICAS

(Produccin y utilidades). Las ventas mensuales x de cierto artculo cuando su precio esp dlares estn dadas por xp 3200 . El costo de producir x unidades al mes delartculo es )5650( xC dlares. Cuntas unidades de este articulo debern producirse

y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2200 dlares?

Solucin.

( ) ( )I unidades vendidas precio por unidad

)3200( xxI

23200 xxI

El costo C (en dlares) de fabricar x unidades es xC 5650 , la utilidad U (mensual)obtenida por producir y vender x unidades est dada por:

CIU

)5650()3200( 2 xxxU

2 195 3 650U x x

Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que

2200U

2195 3 650 2200x x

Al escribir esto en la forma estndar y dividir todo entre -3 (notando que el signo de la

desigualdad se invierte), se obtiene la desigualdad:

2 65 950 0x x

Que es una inecuacin cuadrtica, por lo tanto, el conjunto solucin de la desigualdad es elintervalo cerrado 8.42;2.22

Rpta.

Para alcanzar la meta requerida el nmero de unidades producidas y vendidas por mes

debe estar entre 23 y 42 inclusive.

xpI


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32

(Decisin de precios). Una peluquera tiene un promedio de 120 clientes semanales a un

costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento del 75% en el precio, la

peluquera perder 10 clientes. Cul debe ser el precio mximo que puede cobrarse de

modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?

Solucin.

Sea x el nmero de incremento de 75% por encima de $8. Entonces el precio por corte decabello es (8 0,75 )x dlares, y el nmero de clientes ser de (120 10 )x por semana.

Entonces: Ingresos totales semanales= numero de clientesprecio por corte

)75.08)(10120( xxI

Los ingresos por los 120 clientes actuales son 960$8120 por tanto los nuevos ingresos

deben ser al menos $960

(120 10 )(8 0,75 ) 960x x

Simplificando

210 7,5 0x x

Por tanto la solucin de la desigualdad es el intervalo 4/3,0

Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $( 8 + 0,75(4/3) ) = $9,00

Rpta. El precio mximo que puede cobrarse es $9,00

(Ingresos del fabricante). Al precio de p dlares por unidad, x unidades de cierto articulo

pueden venderse al mes en el mercado con xp 5500 . Cuntas unidades debern

venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $12500?

Solucin.

Ingresos totales semanales = numero de unidades x precio

; 12500I

(500 5 ) 12500x x 2500 5 12500x x 25 500 12500 0x x

2 100 2500 0x x 2( 50) 0x

La solucin de la desigualdad es 50x

Rpta. Al mes se deben venderse 50 unidades.

)5-(500 xxI


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EJERCICIOS

1. La fbrica de cierto artculo ha estimado que su ganancia en miles de dlares est

dado por la expresin 2( ) 6 582 76G x x x donde (x en miles) es el nmero de

unidades producidas. Qu nivel de produccin le permitir obtener una ganancia deal menos S/. 14000?

2. La demanda mensual de un cierto artculo cuando su precio es de p dlares viene

dada por200

3

p

unidades. Los costos generales de la planta son 650 dlares

mensuales y el costo de produccin de cada unidad es de 46 dlares. Qu

producciones garantizan que el beneficio mensual sea de por lo menos 1325 dlares?

3. El costo de producir x lmparas esta dado 2300 70C x x . Si estas se pueden

vender a

140 soles. Cuntas deben producirse y venderse para obtener utilidadessemanales de al menos 900 soles?

4. Juguetes BASA puede vender al mes, a un precio de p dlares por unidad, x

unidades de cierto artculo, con 120p x . Si los costos totales son de (950 15 )x

dlares, Cuntas unidades debern producirse y venderse cada mes para obtener

una utilidad de al menos $1800?

5. Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada una. El

costo C (en dlares) de producir x unidades cada semana, est dado por

2 300 26400C x x . Cuntas unidades debern producirse y venderse a lasemana para obtener alguna utilidad?

6. Las ventas mensuales x de ciertoproducto cuando su precio es p dlares est

dada por: 240 4p x . El costo de producir x unidades del mismo

artculo es 700 20C x dlares. Cuntas unidades de ste artculo debernproducirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de $2300?

7. Si el precio p de cierto articulo depende de la cantidad demandada q y est dado

por 120 2p q , y adems se tienen costos fijos de $300 y el costo de produccin de

cada unidad es de $20. Cuntas unidades deben producirse y venderse para obtenerutilidades de al menos $900?

8. Al precio de p dlares por unidad, x unidades de cierto artculo pueden venderse

al mes en el mercado con 600 5p x . Cuntas unidades debern venderse

cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $18000?

9. En el ejercicio anterior, si cuesta (3500 75 )x dlares producir x unidades.

Cuntas unidades debern producirse y venderse con el objeto de obtener una

utilidad de al menos $10000?


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34

10. En el ejercicio 8, si cuesta (2800 45 )x dlares producir x unidades. A qu preciop deber venderse cada unidad para generar una utilidad mensual de por lo menos

$12500?

11. UNIQUE vende 300 unidades de un cosmtico cuando su precio unitario es de $60.Por cada disminucin de $5 en el precio se vendern 45 unidades ms. Qu precio

mximo deber fijar para obtener ingresos de al menos $19500?

12. Un editor puede vender 12000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno; por

cada dlar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. Qu

precio mximo deber fijarse a cada ejemplar con el objeto de lograr ingresos de por lo

menos de $ 300000?

13. Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobrndoles $4 por

corte. Por cada incremento de 50% en el precio el peluquero pierde 8 clientes. Quprecio mximo deber fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520?

14. Un estilista cobra $20 por cortar el cabello, con ese precio tiene 120 clientes por

semana. Si sabe que por cada dlar que aumente el precio, perder cuatro clientes,

Qu precio mximo deber fijar para obtener ingresos semanales de al menos

$2500?

15. Un comerciante puede vender 8 electrodomsticos a $15 cada uno. Por cada

incremento de $2 en el precio, deja de vender 1 electrodomstico. Cadaelectrodomstico le cost al comerciante $7, quien desea generar utilidades de al

menos $64. Qu precio mximo podr fijar y qu cantidad se vender a este precio?

16. Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debevender rpidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p cntimos

por kilo, vender x kilos, con 1000 20x p . Qu precio deber fijar con el fin de

obtener ingresos de por lo menos $12000?


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35

SEMANA 8

FUNCIONES

I. SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES

A continuacin se indica como asignar un par ordenado, ),( ba de nmeros reales a

cada punto de un plano.

Se representa un sistema de coordenadas rectangulares, o cartesiano, en un plano

mediante dos rectas perpendiculares, llamados ejes coordenados, que se intersectan en

el origen O. A la lnea horizontal se le llama eje x (eje de abscisas), y a la lnea vertical,eje y (eje de las ordenadas).

Cada punto p en un plano xy debe tener asignado un par ordenado ( , )P a b . a sellama abscisa de p y b ordenada de p . Se dice que p tiene las coordenadas ),( ba .

EJERCICIOS

Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares y si es posible, indique el

cuadrante al que pertenece cada punto.

a) ( 2, 6) (1, 1) (5, 7) (6, 3)

b) )9,2()11,0()0,2()8,1(

c) (0, 3) ( 2, 1) (3,5) ( 4,6)

d) (0,0) (3, 3) ( 4, 5) ( 1, 6)

y

x

I

CUADRANTE

II

CUADRANTE

IIICUADRANTE

IVCUADRANTE

(eje de las ordenadas)

( eje de las abscisas)

y

xa

b

( , )a b

o


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36

II. FUNCIONES

Definicin de Funcin

Una funcin de A en B , es una relacin BAf que hace corresponder a cada

elemento ""x del conjunto A a lo ms un elemento ""y del conjunto .B

La notacin de una funcin es )(xfy que se lee y es igual a fde x , donde ""x es la variable independiente e ""y la variable dependiente.

El conjunto de valores que puede tomar ""x se denomina dominiode una funcin, y al

conjunto de valores que puede tomar ""y se le denomina rango de la funcin.

Formas de Representar una Funcin

Con el fin de describir una funcin especfica podemos usar las siguientes formas:

a) Verbal (mediante una descripcin con palabras).

El inters bancario producido por un capital, est en funcin del tiempo que est

depositado.

b) Algebraica (por medio de una frmula explcita).

Con una frmula: 2( ) .A r r que es el rea de un crculo.

c) Visual (con una grfica).

d) Numrica (a travs de una tabla de valores).

Con una tabla de valores.

w(kilos) C(w) (dlares)

0 < w 1

1 < w 2

2 < w 3

3 < w 4

4

6.5

8.5

10

Costo de enviar por correo de primera clase una encomienda.

x

y

( )f x


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37

e) Diagrama Sagital

Dominio Rango

f) Conjunto de Pares Ordenados

1 2

4, 2 ; ,3 ; 0,1 ; 6,0 ; , 32 5

g

ges una funcin.

EJERCICIOS

1) Analiza cules de las siguientes correspondencias son funciones y cules no.

Fundamenta tus respuestas.

a) A cada nmero real se le asocia su doble.

b) El costo del servicio de luz del distrito de Miraflores y los vecinos.

c) El peso de un estudiante y el nmero de estudiantes de un saln.

d) Las personas y la huella digital de su dedo ndice de la mano derecha.

e) El nmero de latidos del corazn de una persona y las personas a las que se les

tomo las medidas.

2) Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es unafuncin.

a) (2; 3), (3;4), ( 3;1), (4;5)

b) (1;2), (2;2), (3;3)

c) (1;1), (2;7), (1;4), ( 2;7)

d) (1;2),(5;2),(3; ),( ; 2),( ,5)a a a

e)6

(0;2),( 1;3),(0; ),( 1;2),(1, 6)3

f) ( 2;1),(6; 2),(3; 16),(4;1),(3, 4) g) 3( 3;0),(0;0),(2; 8),(5;3),(2; 2)

h) 2 2(3;2),( 3 ;7),( 1;2 ),(0;2),(9;7)

i)1 4

1;3 ,(2;1), ;2 ,( , )3 3

a a

A B

f


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38

3) Si fes una funcin determinar ba, e indicar su dominio y rango.

a) (3;4),(7;8),(3; ),(7; )f b a

b) (2;4), (3;5), (2;3 2), (4;6), (3, 1)f a b

c) ( ; ), ( ;14), ( ; ), ( ;4)f a a b a b b a b

d) (1; ), ( 3;2), (1;5 ), (1,6)f a b a

e) 2(3; 1), (2; ), (3; ), (2;2)f b a b

f) 2 3( 1;2 ), (2;5 ), (3;5), (2, 625), ( 1;64)a b a bf

g) 2 2(5;7), ( 1; ), ( ;2 ), (5; 2 ), ( 1;2)f a b a b b a a b

h) 2(1;27),(7;2),(2;4 ),(1,3 ),(2;16)a b a bf

4) Cul de los siguientes diagramas representa una funcin? Justifique su respuesta.

b)

d)

a)A B

A B

AB

c) A B


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39

5) De los siguientes grficos, determinar cules son funciones. Justifique su respuesta.

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)


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40

EJERCICIOS

1. Evala las siguientes funciones en los valores indicados:

Funcin )4(f )32(f )1(f )(af )2( af

53)( xxf

xxf 1)(

33)( xxf

21)( xxf

2. Determinar el valor de la funcin, para cada una de las siguientes funciones:

a) 9)( xf , )5(;)(;)4( fhff

b)2

( ) 3 5f x x , ( 1) ; ( ) ; ( )f f a f x h

c)5

( )3

xf x

x

, ( 1) ; (0) ; ( )f f f x h

d) 42)( 2 xxxf , ( ) ; (0) ; ( 3)f h f f

e) 163)( 2 xxxf , )11(;)31( ff

f)2

1( ) 6

2f x x

,1

( ) ; (0) ; ( 1)3

f f f

g) 27)( xxf , 1( ) ; ( 5) ; (0)3

f f f

h) 371)( xxxf ,

)3(;)(;)3

1( ftff

i)

2,86

2,25)(

2

xx

xxxxf

)0(;)6(;)3

1( fff ; )2(f

j)

84;16

44;)(

2

2

xx

xxxf ,

62)1(3

4233

ff

ffH

k)

;11;

10,5;

5,0;

)(

xab

xba

xa

xf

af

ffH

12

4312


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41

3. Dada la grfica de la funcin:

a) Hallar(8) ( 3)

(5) (3) ( 5)

f f

f f f

b) Hallar los valores de x para los cuales se cumple que: .0)( xf

y

x1

3

5

6

3 8

1

38

3

2

5 6


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42

SEMANA 10

FUNCIONES ESPECIALES

Funciones especiales

1. Funcin constante.

( )f x c , donde c es una constante, Dom f , cfRan

2. Funcin lineal

,)( baxxf con 0a , Dom f .

3. Funcin cuadrtica2( ) ,f x ax bx c con 0a , Dom f .

4. Funcin polinomial

),()( xpxf donde )(xp es un polinomio, Dom f

5. Funcin Racional

( )( )

( )

p xf x

q x , donde )()( xqyxp son funciones polinomiales.

/ ( ) 0Dom f x q x

6. Funcin Raz Cuadrada

( ) ( )f x p x , entonces: 0)(: xpfDom

7. Funcin por partes o tramos

1 1

2 2

3 3

( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ,

f x x Dom f

f x f x x Dom f

f x x Dom f

21 fDomfDomfDom 3fDom .


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43

DOMINIO DE UNA FUNCIN f: RR

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

1.2

4( )

xf x

x x

04 x x4

02 xx

10

0)1(

xx

xx

,4 0,1Dom f

2. 6 3 3( )3 4

xf xx

036 x x2

043 x 43x

3/4 ,2Dom f

EJERCICIOS

Determine el dominio de las siguientes funciones:

1. 9)( xf

2. xxxf 22

3. 2518)( xxxf

4. 216)( xxf

5. xxf 25)(

6.xx

xxf

2

3)(

2

7.232

25)(

2

4

xx

xxxf

8.x

xxxf

24)(

2

9.12

3)(2

xx

xxf

10.16

252)(

2

2

x

xxf

11.1

326)(

2

x

xxf

12. 6)( 2 xx

xxf

13. 214

7)(

x

xxf

14. xx

xxf 5

32

49)(

15.21

2)(

x

xxf

16.x

xxf

26

32)(

17.12

1054)(

2

2

xx

xxxf

18. 65)( 2

xxxf

19.4

65)(

2

x

xxxf

20.

0;1

2;2)(

3 xx

xxxf

4 23 4


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44

Hallar el dominio y el rango de cada funcin representada en los grficos siguientes:

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

y

x( 3,0)

(0,3) (2,3)

y

x

y

x

( 3,5)

(0,1)

y

x

1( , 2)2

4

y

x(0, 1)

(3,6)

(0,4)(4,4)

y

x3

3

35

4

1 2

x

4

3 1 3

y

4

2

5

y

x

6

5 21

2

3

2

(g) (h)


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45

Intersecciones con los ejes coordenados

- Interseccin con el eje x

Hacemos 0)( xfy , y hallamos el valor dex .

- Interseccin con el eje y

Hacemos 0x , y hallamos el valor dey .

Ejemplo

Dada la siguiente grfica )(xfy

Tenemos:

Dominio:

, 8 6 5,0 1,8domf

Rango:

, 4 3 2,3Ranf

Puntos deinterseccin conel eje x

(3,0), (7,0)

Punto deinterseccin conel eje y

(0, 4)

y

x1

3

5 5 7

4

3 8

1

68

3 2

2


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46

OPERACIONES CON FUNCIONES

1. Suma de funciones

f g x f x g x , gDomfDomgfDom )(

2. Diferencia de funciones

f g x f x g x , gDomfDomgfDom )(

3. Multiplicacin de funciones

xgxfxfg . , gDomfDomgfDom ).(

4. Divisin de funciones

f f xxg g x

, gDomfDomgfDom )( 0)(/ xgx

5. Composicin de funciones

,)()( xgfxgf ( ) ( ) ( ) ( )Dom f g x Dom g g x Dom f

,)()( xfgxfg ( ) ( ) ( ) ( )Dom g f x Dom f f x Dom g

Observacin

Las operaciones entre funciones estn definidas siempre y cuando el dominio de lasnuevas funciones sea distinto de vaco.

Ejemplos

1. Si ( ) 1 ( ) 2,f x x y g x x hallar ))(( xgf y ( )( )f

xg

Solucin

Como ;1Dom f y Dom g , entonces:

;1Dom f g , ;1 2f

Domg

Luego: ( ) ( ) ( ) 1 2f g x f x g x x x

( ) 1( )

( ) 2

f f x xx

g g x x


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49

SEMANA 11

FUNCIN LINEAL

RECTAS

Pendiente de una recta

Sean 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la

recta se define como:2 1

2 1

y ym

x x

cambio vertical

cambio horizontal

Podemos caracterizar la orientacin de una recta por su pendiente:

Pendiente cero Recta horizontal

Pendiente indefinida Recta vertical

Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha

Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha

ECUACIONES DE RECTAS

Ecuacin puntopendiente

Sea la recta L con pendiente m que pasa por el punto 0 0( , )x y , tiene por ecuacin:

0 0( )y y m x x . Siempre debemos dejar la ecuacin de la recta de la forma y = mx+b.

Ejemplo 1:Hallar la recta que pasa por (1,4) que tiene pendiente 5.

Solucin.Tenemos punto de paso (1,4) y 5m luego la ecuacin de la recta es 4 5( 1)y x

simplificando : 5 1L y x .


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50

Ecuacin que pasa por dos puntos

Sea la recta L que pasa por los puntos 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y . Entonces la ecuacin de

recta es: 0 0( )y y m x x . Primero hallamos la pendiente m y luego tomando comopunto de paso a uno de los puntos dados se obtiene la ecuacin de la recta. Recordar

que siempre debemos dejar la ecuacin de la recta de la forma y = mx+b.

Ejemplo 2: Hallar la ecuacin de la recta L que pasa por: 1;2 y 3;5 .

Solucin.

Es claro que5 2 3

3 ( 1) 4m

y tomando como punto de paso cualquiera de ellos,

digamos el punto 3;5 , se tiene la ecuacin: 3

5 34

y x . Reduciendo tenemos:

3 11:4 4

L y x .

Ejercicios

1) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

a) 1;1 y 2;5 b)1 3

,3 5,2 4

y

c) 2; 3 y 0;6

2) En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuacin de la recta con las

condiciones dadas:

a) Pasa por el punto 2;1 con pendiente 3m .

b) Pasa por4

2;5

y 5m .

c) Pasa por (-1,3) y (2,5)

d) Pasa por el origen y de pendiente -4.

e) Corta al eje x en 3, de pendiente 2.

f) Corta al eje y en 5 de pendiente 4.

g) Corta al eje x en 6 y al eje y en 3.

h) Pasa por 1;5 y tiene la misma pendiente que la recta: 3y x .

i) Pasa por el punto 2; 4 y tiene la misma pendiente que la recta que pasa por los

puntos: 0; 2 y 1;5 .

j) Que pasa por 0; 4 y tiene la misma pendiente que la recta L : 2 1x y .


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51

APLICACIONES

Demanda Lineal Oferta Lineal

mes cantidad de equilibrio

nes precio de equilibrio.

Ejemplo

Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio

de $ 40 por unidad y de 300 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuacin de

demanda, si dicha ecuacin es lineal.

Solucin.

Segn los datos, es claro que 150q y 40p ; tambin 300q y 35p . Por el hechoque es lineal, el precio p y la cantidad q estn relacionados linealmente, de modo que

podemos representar en un plano cartesiano de ejes q y p , los puntos

150,40 300,35y , hallando as la ecuacin de la recta que pasa por dichos puntos.

Hallando la pendiente, tenemos que35 40 1

300 150 30m

, y tomando como punto de paso,

cualquiera de ellos, digamos (40, 150) tenemos la recta1 454

30 3p q

, que es la ecuacin

de demanda.

q

pPendiente

negativa

q

p

Pendientepositiva

q

p

m

n (m,n) Punto de equilibrio


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52

EJERCICIOS

1) (Ecuacin de demanda). Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de un

producto cuando el precio es de $ 20 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de

$ 40 cada una. hallar la ecuacin de la demanda, suponiendo que es lineal. Hallar elprecio por unidad cuando se requiere 35 unidades.

2) (Ecuacin de demanda). La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de

30000 ejemplares cuando el precio es de $ 15 c/u y de 20000 libros cuando el precio es

de $ 25 c/u. hallar la ecuacin de demanda para el libro, sabiendo que es lineal.

3) (Ecuacin de oferta). Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precio

es de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1500. Hallar la ecuacin de

oferta, sabiendo que es lineal.

4) (Ecuacin de oferta). Suponga que un fabricante de zapatos colocara en el mercado

50 mil pares cuando el precio es $ 35 el par y 35 mil pares de zapatos cuando el precioes de $ 30. determine la ecuacin de oferta, sabiendo que p y q estn relacionados

linealmente.

5) (Funcin de demanda). Sea la funcin de demanda de un producto:551

( )4

qp f q

.

Si la demanda de un producto es de 255, Cul ser el precio unitario (en dlares) del

producto?

6) (Funcin de demanda). Sea la funcin de demanda de un producto:2200 2

( )3

qp f q

. Si la demanda de un producto es de 350, Cul ser el precio

unitario (en dlares) del producto?

7) (Funcin de demanda). Se tienen dos bienes B1, B2, cuyas funciones de demanda

son:90 3

( )5

pq f q

y ( ) 140 12q f q p , respectivamente, donde p est

expresado en dlares.

Si el precio unitario de ambos bienes es de $ 5,75, Cul de los dos bienes tendr

mayor demanda?.

Existe algn precio del mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la

misma?

8) (Funcin de oferta). Se tienen dos bienes A, B, con ecuaciones de oferta dadas por( ) 5 20p f q q y ( ) 15 120p f q q respectivamente. Un consumidor acude al

mercado con las intenciones de comprar uno, cualquiera de dichos bienes. Si el

consumidor esta dispuesto a pagar $ 12 por cada unidad del bien comprado, Cul delos bienes debera comprar?


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53

9) (Funcin de oferta) Una compaa va a entregar mensualmente 5000 linternas de

bolsillo a un precio de S/.50 la unidad; si el precio unitario es de S/.35, ofrece 2000

unidades. Suponiendo que la funcin de la oferta es lineal. Obtenga la funcin de la

oferta.

10) (Punto de equilibrio) Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado

bien son, respectivamente:

180 15 6 18

2

pq s p

y . Obtenga el punto de equilibrio.

11) (Ecuacin de costo). Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto

es de $ 40 y el costo para 20 unidades es de $ 70. Si el costo C esta relacionado deforma lineal con la produccin q , determine el costo de producir 35 unidades.

12) (Ecuacin de demanda). Una compaa ha analizado sus ventas y ha encontrado que

sus clientes compran 10 artculos mas de sus productos por cada S/. 2,50 de reduccin

en el precio unitario. Cuando el precio es de S/. 12,75 la compaa vende 500 unidades.Asumiendo que la relacin entre la cantidad demandada q y el precio unitario p es

lineal. Cul es la ecuacin de la demanda?

13) (Ecuacin de oferta). En un cierto mercado se sabe que cuando el precio de una

lmpara es de S/. 2000, no hay lmparas disponibles, sin embargo, por cada S/. 1000 de

aumento en el precio, se dispone de 20 lmparas ms para el mercado. Asumiendo quela relacin entre la cantidad ofrecida q y el precio unitario p es lineal. Cul es la

ecuacin de la oferta?


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54

SEMANA 12

FUNCIN CUADRTICA

FUNCIN CUADRTICA

fes una funcin cuadrtica si y slo si puede escribirse en la forma 2( )f x ax bx c ;

donde a , b y c son constantes, con 0a .

Representacin grfica de una funcin cuadrtica.

Su grfica es una curva, llamada parbola, y es simtrica respecto a la recta vertical

hx , llamada eje de simetra y con vrtice khV , .

si 0a , 2 y ax bx c si 0a ; cbxaxy 2

la parbola se abre hacia arriba. la parbola se abre hacia abajo.

( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k ( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k

k valor mnimo de la funcin k valor mximo de la funcin

Coordenadas del vrtice

Las coordenadas del vrtice son: , ,2 2

b bV h k f

a a

y

xh

k ( h ; k )

y

xh

k( h ; k )


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55

Ejemplo 1

Determinar dominio, rango y grfica de 2( ) 2 5 3y f x x x

Solucin:

Primero hallamos el vrtice

Como ,2a 5b y 3c , luego8

22 2(2)

bh

a

y

2(2) 2(2) 5(2) 3 1f

Entonces el vrtice es: (2,1)V

Como 02a , entonces la parbola se abre hacia arriba

Grfica

Ejemplo 2

Determinar dominio, rango y grfica de 2342)( xxxfy

Solucin:

Primero hallamos el vrtice

Como ,3a 4b y 2c , luego h= 1)3(2

6

2

a

b y

4)1(3)1(42)1( 2

f

Entonces el vrtice es: )4,1(V

Como 03 a , entonces la parbola se abre hacia abajo

Grfica

( )Dom f R

( ) 1,Ran f

( )Dom f

( ) , 4Ran f

3

x2

1 ( 2 ; 1 )

y

y

x

( 1;4)4

1


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57

APLICACIN DE LA FUNCIN CUADRTICA

Recuerda:

Ejemplo:

El ingreso de una empresa algodonera se estima a travs del tiempo de acuerdo a la

siguiente funcin2

24 288 64I t t , donde I es el ingreso en miles de dlares y tes eltiempo medido en aos.

a) En que ao se alcanzar el mximo ingreso y cunto ser

b) Grafique la funcin ingreso.

Solucin:

a) 224 288 64I t t

Luego 2(6) 24(6) 288(6) 64I

(6) 800I

El mximo ingreso se alcanzar en el 6to ao.

El mximo ingreso ser de 800 mil dlares.

b) Grfica:

T TU I C ; TI pq donde: p precio unitario y q cantidad.

( , ) ,2 2

b bV h k f

a a

es el vrtice de una parbola.

I

t6

800(6,800)


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58

APLICACIONES

1. La funcin de demanda de un fabricante de muebles es qqfp 71400)( , dondep es el precio (en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).

a) Encuentre el nivel de produccin que maximiza el ingreso total del fabricante.b) Determine el ingreso mximo.

2. La funcin de demanda para una compaa de seguros para autos esqqfp 132600)( , donde p es el precio (en dlares) por unidad cuando se

demandan q unidades (semanales).

a) Determine el nivel de produccin que maximizar el ingreso total del fabricante.

b) Determine el ingreso mximo.

c) Grafique la funcin ingreso.

3. La funcin de demanda para el fabricante de un producto es ,31200)( qqfp endonde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades.

a) Determine el nivel de produccin que maximizar el ingreso.

b) Determine este ingreso mximo.

c) Grafique la funcin ingreso.

4. La utilidad diaria por la venta de rboles de jardinera de un almacn, esta dada por2

( ) 169 16P x x x , en donde x es el numero de rboles vendidos.

a) Determine la cantidad de rboles vendidos que maximizar la utilidad.

b) Determine dicha utilidad mxima.

5. El ingreso mensual por conceptos de venta de q unidades de cierto artculo est dado

por 201.012)( qqqI soles. Determine el nmero de unidades que debe vendersecada mes con el propsito de maximizar el ingreso. Cul es el mximo ingresocorrespondiente?

6. Para una empresa dedicada a la venta de materiales de construccin se tiene que lafuncin ingreso se expresa como 2 100 2500I p p , determinar el ingresomximo de dicha empresa.

7. Un grupo de inversionistas le encarg a una compaa de investigacin de mercadoque estimara los ( )f t miles de alumnos que estudiaron en cierta universidad entre los

aos 2000 y 2008, donde 20082000,)12(9

10)( ttttf . Estime el nmero

mximo de alumnos que estudiaron en la universidad entre esos aos. Indique el aoen que se obtuvo la mxima cantidad de alumnos.


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59

8. Una compaa de productos de belleza estima que t meses despus de la introduccinde un nuevo perfume, ( )h t miles de mujeres lo usarn, donde

2( ) 18 3600, 0 12.h t t t Estime el nmero mximo de mujeres que usarnel producto.

9. Una fbrica vende 300 carteras al mes, a $15 cada una. Se desea aumentar el precio yse estima que por cada incremento de $1 en el precio de venta, se vendern 4 carterasmenos. Si el costo de cada cartera es de $10.

a) Hallar la funcin utilidad mensual.

b) Determinar el nmero de carteras que se deben vender para obtener la utilidadmxima.

c) Graficar la funcin utilidad.

10. Los costos de produccin de una empresa que ensambla computadoras se expresa

mediante la funcin 2( ) 3 780 60000C q q , en donde q representa el nmero decomputadoras ensambladas.

a) Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que elcosto sea mnimo.

b) Determinar dicho costo.

c) Graficar la funcin costo.

11. Se estima que, de aqu a t aos, el nmero de personas que visitarn el parque de

las leyendas ser dado por la funcin 2( ) 30 120 3000N t t t .

a) Actualmente Cul es el nmero de personas que visitan el parque de lasleyendas

b) Determinar el ao en que ser registrado el menor nmero de visitantes.


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SEMANA 13

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

Sistema de Ecuaciones Lineales.

Al conjunto de ecuaciones:

253

542

yx

yx se le llama sistema de 2 ecuaciones lineales

con 2 variables. Las variables o incgnitas son x e y. el problema consiste en encontrar

valores para x e y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas (de manera

simultnea). a estos valores se les llama soluciones del sistema.

Interpretacin Geomtrica.

Como las ecuaciones del sistema son lineales, sus grficas son rectas. Si los dibujamos en

un mismo plano, existen slo 3 posibilidades:

1 .

2.

3.

y

L1

L 2

(xo;yo)

xo x

L 1

L2

y

x

Un slo punto de interseccin.El sistema tiene solucin nica:

0

0

x x

y y

No hay interseccin.El sistema no tiene solucin.

Infinitos puntos de interseccin.El sistema tiene infinitas soluciones.Se le llama Solucin paramtrica.

( )

x rr R

y f r

y

x

L 1 L 2


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Mtodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, antes de usar uno de los mtodos, es

conveniente alinear los trminos en x y en y:

A. Mtodo de eliminacin por adicin

Ilustramos este mtodo para el sistema:

)2.....(253

)1.....(542

yx

yx

Busquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales, excepto por el signo, para

esto multiplicamos a la ecuacin (1) por 3 y a la ecuacin (2) por -2, as queda un sistema

equivalente:

4106

15126

yx

yx

Luego sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos: 112 y que es unaecuacin lineal en la variable y, fcil de resolver: 2/11y

Para obtener el valor de x, reemplazamos 2/11y en cualquiera de las ecuaciones

originales (1) (2), para este caso elegimos la ecuacin (1):

2/11

542

y

yx

5)2/11(42 x

que es una ecuacin lineal en la variable x, fcil de resolver, as 2/17x . Por lo tanto, la

solucin del sistema es nica: 2/11,2/17 yx

Esta solucin cumple en ambas ecuaciones.

B. Mtodo de eliminacin por sustitucin

Ilustramos este mtodo, con el sistema:

)2.....(253

)1.....(542

yx

yx

Primero escogemos una de las ecuaciones, en este caso (1) y despejamos una de lasvariables, en este caso despejamos la variable y, as obtenemos:

2534

25

yx

xy

Luego sustituimos el valor de y en la ecuacin (2), resultando una ecuacin lineal, de una

variable, fcil de resolver:

2)4

25(53

xx , luego 2/17x .


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(0,0)

(-1,1)

x + y = 0x

y

Reemplazamos, el valor hallado de x en la ecuacin (1) se obtiene una ecuacin lineal en la

variable y, fcil de resolver:

54)2

17(2

y , luego 2/11y .

Por lo tanto, la solucin del sistema es nica: 2/11,2/17 yx .

Esta solucin cumple en ambas ecuaciones. Se pudo haber elegido la ecuacin (2) y

despejar la variable x, y proceder de manera similar.

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES.

Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel sistema en el que al menos una ecuacin noes lineal. Se puede resolver un sistema no lineal, por el Mtodo de eliminacin por

sustitucin.

Ejemplos:

1. Resolver:

0

2

yx

xy

Despejamos una variable (cualquiera) de la ecuacin lineal.

Por ejemplo y, as:

0

2

yx

xy

luego reemplazamos en la ecuacin no lineal: 2xx , la cual es una ecuacincuadrtica, que al resolver se obtiene: 10 xx .

Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:

s 0x entonces 0y ; s 1x entonces 1y .

Por lo tanto, las soluciones del sistema no lineal son:

0

0

y

x

1

1

y

x

Forma Grfica


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64

2. Resolver:

1

1

xy

xy

Observamos que en la ecuacin lineal, la variable y est despejado. Slo queda sustituir

en la ecuacin no lineal: 1 1 x x , la cual es una ecuacin con radical que nos lleva auna ecuacin cuadrtica. Resolviendo se obtiene: 1)1( 2 xx , entonces resolviendose tiene: 10 xx

Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:

s 0x entonces 1y ; s 1x entonces 0y

Por lo tanto las soluciones del sistema no lineal son:

1

0

y

x

0

1

y

x

Forma Grfica

I. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

5123

34

yx

yx b)

5438

3625

wv

wv

c)

2

11

6

5

8

3

22

1

3

2

yx

yx

d)

3

2

2

1

6

1

4

1

2

1

wz

wz

e)

326

6124

pq

qp f)

1932

3

pq

qp

II. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

a)

03

4y 2

yx

x b)

18

6

22 xy

yx c)

0

8

2

2

xy

yx

d)

2

2

qp

qp

e)

2 0

3 2 1 0

p q

q p

f)

25

1

p q

p q

(0,1)(-1,0)

y = x+1

x

y

1 y x


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APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES.

1. En los problemas siguientes, se proporciona una ecuacin de oferta y una de demandapara un producto. Si p representa el precio por unidad en dlares y q el nmero de

unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio.

a) Oferta:3

2100

p q ; demanda:7

12100

p q

b) Oferta: 35 2 250 0q p ; demanda: 65 785 0q p

c) Oferta : 2 20p q ; demanda : 2200 2p q

2. En los problemas a) , b) y c) se representa el ingreso total en T

I dlares yT

C el

costo total en dlares para un fabricante. si q representa tanto el nmero de unidades

producidas como el nmero de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de equilibrio.

Esquematice un diagrama de equilibrio

qI

qCa

T

T

3

45002)

60085.0

05.0)

qC

qIb

T

T

303

)10()

2

qC

qIc

T

T

3. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son: 125 250 0p p y100 1100 0p q respectivamente, encuentre el precio de equilibrio y la cantidad de

equilibrio.

5. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son;6

5150

p q y9

20 0150

p q

respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dlares y q el nmero

de unidades, encuentre el punto de equilibrio y mustrelo grficamente.

6. Si las ecuaciones de oferta y de demanda s

Matematica I (para Universidad)

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