Matematică 1 (Analiză)Notit,e de seminar

Adrian ManeaCurs: Mircea Olteanu

21 ianuarie 2021

Cuprins

1 Serii de numere reale pozitive 21.1 Seria geometrică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Seria armonică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Criterii de convergent, ă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Criterii de convergent, ă (cont.). Serii oarecare 62.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Serii alternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Aproximarea sumelor seriilor convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Convergent, a seriilor — Exercit, ii 10

4 S, iruri s, i serii de funct, ii 124.1 S, iruri de funct, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.1.1 Convergent, ă punctuală s, i convergent, ă uniformă . . . . . . . . . . . . . . 124.1.2 Transferul proprietăt, ilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Serii de funct, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4 Polinomul Taylor s, i seria Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.5 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Derivate part, iale 235.1 Extreme libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Metoda celor mai mici pătrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 Funct, ii implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Extreme cu legături 316.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7 Integrale improprii s, i cu parametri 35

7.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8 Integrale duble 438.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.2 Metode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

9 Integrale triple 469.1 Resurse suplimentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

10 Integrale curbilinii 4910.1 Elemente de teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.2 Formula Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

10.2.1 Forme diferent, iale ı̂nchise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5110.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5110.4 Exercit, ii suplimentare (ETTI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

11 Integrale de suprafat, ă 5511.1 Integrale de suprafat, ă de spet, a ı̂ntı̂i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5511.2 Integrale de suprafat, ă de spet, a a doua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5611.3 Formula Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5611.4 Parametrizări uzuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.5 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.6 Formula lui Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5911.7 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5911.8 Resurse suplimentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

12 Examen 2018–2019 6112.1 Numărul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6112.2 Numărul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.3 Restant, ă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Index 64

1

SEMINAR 1

SERII DE NUMERE REALE POZITIVE

Intuitiv, o serie poate gı̂ndită ca o sumă innită, dată de o regulă a unui termen general. Deexemplu, seria:

∑n≥0

3n5n2 + 2n − 1

are termenul general de forma xn =3n

5n2 + 2n − 1s, i putem rescrie seria mai simplu ∑ xn, presu-

punı̂nd implicit că indicele n ia cea mai mică valoare permisă s, i merge pı̂nă la ∞.Natura seriilor este fundamental diferită de cea a s, irurilor prin faptul că seriile acumulează.

De exemplu, să considerăm s, irul constant an = 1, ∀n. Atunci, evident, limn→∞

an = 1. Pe de altăparte, dacă luăm seria de termen general an, adică ∑ an, observăm că aceasta are suma ∞, decieste divergentă.

În continuare, vom studia criterii prin care putem decide dacă o serie este sau nu conver-gentă. Dar ı̂nainte de aceasta, vom folosi foarte des două serii particulare, pe care le detaliem ı̂ncontinuare.

1.1 Seria geometricăPornim de la progresiile geometrice studiate ı̂n liceu. Fie (bn) o progresie geometrică, cu primultermen b1 s, i cu rat, ia q. Deci termenul general are formula bn = b1qn−1. Atunci suma primilor ntermeni ai progresiei se poate calcula cu formula:

Sn =n

∑k=1

bk = b1 ⋅qn − 1q − 1

.

Dacă, ı̂nsă, ı̂n această sumă considerăm ”tot, i“ termenii progresiei, obt, inem seria geometrică,anume ∑n≥1

bn.

2

Suma acestei serii coincide cu limn→∞

Sn s, i se poate observa cu us, urint, ă că seria geometrică esteconvergentă dacă s, i numai dacă |q| < 1. Mai mult, ı̂n caz de convergent, ă, suma seriei se poatecalcula imediat ca ind b1 ⋅

11 − q

.

1.2 Seria armonicăAceastă serie se mai numes, te funct, ia zeta a lui Riemann s, i se denes, te astfel:

� (s) = ∑n≥1

1ns, s ∈ ℚ.

Remarcăm cı̂teva cazuri particulare:

� (0) = ∑ 1 = ∞

� (1) = ∑1n= ∞

� (2) = ∑1n2

=� 2

6� (−1) = ∑ n = ∞

� (−2) = ∑ n2 = ∞.

Rezultatul general este:

Teoremă 1.1: Seria armonică � (s) este convergentă dacă s, i numai dacă s > 1.

1.3 Criterii de convergent, ăNe păstrăm ı̂n continuare ı̂n contextul seriilor cu termeni reali s, i pozitivi, pe care le scriem ı̂ngeneral ∑ xn.

Convergent, a poate decisă us, or folosind criteriile de mai jos.

Criteriul necesar: Dacă limn→∞

xn ≠ 0, atunci seria ∑ xn este divergentă.

Observaţie 1.1: Să remarcăm că, as, a cum ı̂i spune s, i numele, criteriul de mai sus dă doar condit, iinecesare, nu s, i suciente pentru convergent, ă! De exemplu, pentru � (1), termenul general tindecătre 0, dar seria este divergentă.

Criteriul de comparat, ie termen cu termen: Fie ∑ yn o altă serie de numere reale s, i pozi-tive.

3

• Dacă xn ≤ yn, ∀n, iar seria ∑ yn este convergentă, atunci s, i seria ∑ xn este convergentă;

• Dacă xn ≥ yn, ∀n, iar seria ∑ yn este divergentă, atunci s, i seria ∑ xn este divergentă.

Acest criteriu seamănă foarte mult cu criteriul de comparat, ie de la s, iruri. Astfel, avem că uns, ir mai mare (termen cu termen) decı̂t un s, ir divergent este divergent, iar un s, ir mai mic (termencu termen) decı̂t un s, ir convergent este convergent. Celelalte cazuri sı̂nt nedecise.

De asemenea, mai remarcăm că, ı̂n studiul seriei ∑ xn apare seria ∑ yn, care trebuie aleasăconvenabil astfel ı̂ncı̂t să aibă loc condit, iile criteriului. În practică, cel mai des vom alege aceastănouă serie ca ind o serie geometrică sau una armonică, cu rat, ia, respectiv exponentul aleseconvenabil.

Criteriul de comparat, ie la limită: Fie ∑ yn o altă serie de numere reale s, i pozitive, astfelı̂ncı̂t lim

n→∞

xnyn

∈ (0,∞). Atunci cele două serii au aceeas, i natură, adică ∑ xn este convergentă dacă

s, i numai dacă ∑ yn este convergentă.

Criteriul raportului: Fie = limn→∞

xn+1xn

.

• Dacă > 1, atunci seria ∑ xn este divergentă;

• Dacă < 1, atunci seria ∑ xn este convergentă;

• Dacă = 1, atunci criteriul nu decide.

Criteriul radical: Fie = limn→∞

n√xn.

• Dacă > 1, atunci seria ∑ xn este divergentă;

• Dacă < 1, atunci seria ∑ xn este convergentă;

• Dacă = 1, atunci criteriul nu decide.

4

1.4 Exercit, ii1. Studiat, i convergent, a seriilor ∑ xn ı̂n cazurile de mai jos:

(a) xn = (3n

3n + 1)n; (D, necesar)

(b) xn =1n!

; (C, raport)

(c) xn =1

n√n + 1

; (C, comparat, ie la limită cu � (3/2))

(d) xn = arcsinn + 12n + 3

; (D, necesar)

(e) xn = (1 −1n)

n; (D, necesar)

(f) xn =n!n2n

; (C, raport)

(g) xn = (n + 13n + 1)

n; (C, radical)

(h) xn = (1 −1n)

n2

; (C, radical)

(i) xn =1

7n + 3n; (C, comparat, ie cu geometrică)

(j) xn =2 + sin n

n2; (C, comparat, ie cu armonică)

(k) xn =sin2 nn2 + 1

; (C, comparat, ie cu armonică)

(l) xn =√n4 + 2n + 1 − n2; (D, comparat, ie cu armonică)

2*. Studiat, i convergent, a s, irurilor cu termenul general xn din exercit, iul anterior s, i comparat, icu comportamentul seriilor.

5

SEMINAR 2

CRITERII DE CONVERGENT, Ă (CONT.). SERII OARECARE

Pe lı̂ngă criteriile prezentate ı̂n seminarul anterior, vor mai de folos s, i altele, pe care le enu-merăm mai jos. În continuare, ment, ionăm că vom lucra cu o serie de forma ∑ xn s, i sı̂ntem ı̂nipoteza xn ∈ ℝ+, ∀n ∈ ℕ.

Criteriul Raabe-Duhamel: Fie limita următoare:

= limn→∞

n(xnxn+1

− 1) .

Atunci:

• Dacă > 1, seria este convergentă;

• Dacă < 1, seria este divergentă;

• Dacă = 1 criteriul nu decide.

În multe situat, ii, criteriul Raabe-Duhamel este folositor cı̂nd criteriul raportului nu decide.Remarcat, i că, ı̂n acest caz, limita de mai sus este o nedeterminare de forma ∞ ⋅ 0, care de multeori se poate calcula s, i este diferită de 1.

Criteriul logaritmic: Fie limita:

= limn→∞

− ln xnln n

.

• Dacă > 1, seria este convergentă;

• Dacă < 1, seria este divergentă;

6

• Dacă = 1, criteriul nu decide.

Criteriul condensării: Dacă (xn) este un s, ir descrescător s, i cu termeni pozitivi, atunci seriile∑ xn s, i ∑ 2nx2n au aceeas, i natură.

Criteriul integral: Fie f ∶ (0,∞)→ [0,∞) o funct, ie descrescătoare s, i denim s, irul:

an = ∫n

1f (t)dt.

Atunci seria ∑ f (n) este convergentă dacă s, i numai dacă s, irul (an) este convergent.

2.1 Exercit, ii1. Studiat, i natura următoarelor serii cu termeni pozitivi, cu termenul general xn dat de:

(a) xn =1ln n

; (D, integral/comparat, ie)

(b) xn =1

n ln n; (D, integral/condensare)

(c) xn =1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1)2 ⋅ 4 ⋅ 6⋯ 2n

(D, Raabe)

(d) xn = (1 −3 ln n2n )

n

(C, logaritmic)

(e) xn =1

n n√n

(D, comparat, ie/logaritmic)

(f) xn = (1ln n)

ln(ln n); (D, logaritmic)

(g) xn = n2e−√n (C, logaritmic)

(h) xn =an(n!)2

(2n)!, a > 0. (raport, discut, ie a?4)

7

2.2 Serii alternanteÎn continuare, discutăm s, i cazul cı̂nd termenii seriei pot negativi. Dar vom interesat, i doar deun caz particular, anume acela al seriilor alternante, adică acelea ı̂n care un termen este negativ,iar celălalt pozitiv. Mai precis, o serie ∑ xn se numes, te alternantă dacă xn ⋅ xn+1 < 0, pentru oricen.

Singurul criteriu de convergent, ă pe care ı̂l folosim pentru aceste cazuri este:Criteriul lui Leibniz: Fie ∑n(−1)nxn o serie alternantă. Dacă s, irul (xn) este descrescător s, i

converge către 0, seria este convergentă.De asemenea, vom mai interesat, i s, i de:

• serii absolut convergente, adică acele serii pentru care s, i seria modulelor, s, i seria dată sı̂ntconvergente;

• serii semiconvergente, adică acele serii pentru care seria init, ială este convergentă, dar seriamodulelor este divergentă.

Evident, cum x ≤ |x |, rezultă că orice serie absolut convergentă este convergentă, dar reciprocanu este adevărată.

Pentru acest caz, avem:Criteriul Abel-Dirichlet: Presupunem că seria ∑ xn se mai poate scrie sub forma ∑ �nyn,

unde (�n) este un s, ir monoton s, i mărginit (deci convergent). Dacă s, i seria ∑ yn este convergentă,atunci seria init, ială ∑ �nyn este convergentă.

Formulare alternativă: Dacă (�n) este un s, ir monoton, care tinde către 0, iar s, irul cu termenulgeneral Yn = y1 +⋯ + yn este mărginit, atunci seria ∑ �nyn este convergentă.

De exemplu, studiem seria ∑n(−1)n

n. Este o serie alternantă, deci:

• seria modulelor este � (1), care este divergentă;

• pentru seria dată, aplicăm criteriul lui Leibniz, cu s, irul xn =1n

, care este descrescător către0, deci seria este convergentă.

Concluzia este că seria ∑(−1)n

neste semiconvergentă.

Exercit, iu: Folosind criteriul Leibniz, studiat, i natura seriei cu termenul general:

xn = (−1)nloga nn

, a > 1.

2.3 Aproximarea sumelor seriilor convergentePresupunem că avem o serie convergentă s, i alternantă. Se poate arăta foarte simplu că, dacănotăm cu S suma seriei, iar cu sn suma primilor n termeni, cu xn termenul general al seriei, are

8

loc inegalitatea:" = |S − sn| ≤ xn+1. (2.1)

Cu alte cuvinte, eroarea aproximat, iei are ordinul de mărime al primului termen neglijat.Deocamdată, exemplele simple pe care le studiem sı̂nt de forma:Exercit, iu: Să se aproximeze cu o eroare mai mică decı̂t " sumele seriilor denite de termenul

general xn de mai jos:

(a) xn =(−1)n

n!, " = 10−3;

(b) xn =(−1)n

n3√n, " = 10−2.

În ambele cazuri, se foloses, te inegalitatea din (2.1), de unde se scoate n. Se obt, ine n = 6 pentruprimul exercit, iu s, i n = 4 pentru al doilea.

Concluzia este că, pentru a obt, ine valoarea sumei seriei cu o precizie de 3, respectiv 2 zecimale,este sucient să considerăm primii 5, respectiv primii 3 termeni ai seriei. Eroarea este comparabilăcu primul termen neglijat din serie.

9

SEMINAR 3

CONVERGENT, A SERIILOR — EXERCIT, II

Studiat, i convergent, a seriilor de forma ∑ xn. În cazul seriilor alternante, decidet, i s, i convergent, aabsolută sau semiconvergent, a:

(1) xn = (arctan 1)n; (D, radical)

(2) xn =√n ⋅ ln(1 +

1n)

; (D, comparat, ie la limită)

(3) xn =1

n − ln n; (D, comparat, ie la limită)

(4) xn = (−1)nn + 1n3

; (C, Leibniz)

(5) xn =ln n

2n3 − 1; (C, comparat, ie)

(6) xn =n√2

n2; (C, comparat, ie/integral)

(7) xn =√n + 1 −

√n

3√n2

; (C, comparat, ie)

(8) xn =1

n ln2 n; (C, integral)

(9) xn =ln nn2

; (C, comparat, ie)

(10) xn =e 1nn

; (D, comparat, ie la limită)

10

(11) xn =(−1)n ln n

√n

; (C, Leibniz)

(12) xn =(−1)nn!(2n)!

; (C, Leibniz)

(13) xn =arctan nn2 + 1

; (C, comparat, ie/integral)

(14) xn =√n

ln(n + 1); (D, necesar)

(15) xn = (−1)n+12n + 13n

; (C, Leibniz)

(16) xn =3√n3 + n2 − n

n2; (part, ial 2018–2019)

(17) xn = (−1)nn

n2 − 1; (part, ial 2018–2019)

(18) xn = (−1)n(√n2 + 1 − n); (part, ial 2018–2019)

(19) xn =an

2n2 + 1; (discut, ie după a)

(20) xn = (−1)n(2n)!nn

; (part, ial FIA)

(21) xn = (n

n + a)n2

, a > 0; (discut, ie după a)

(22) xn =(−1)n

22n ⋅ n!(part, ial FIA)

(23) xn =an

n3, a > 0. (discut, ie după a)

11

SEMINAR 4

S, IRURI S, I SERII DE FUNCT, II

4.1 S, iruri de funct, ii

4.1.1 Convergent, ă punctuală s, i convergent, ă uniformăFie (fn)n ∶ ℝ → ℝ un s, ir (o familie) de funct, ii, adică pentru ecare n ∈ ℕ, avem cı̂te o funct, iefn ∶ ℝ → ℝ. Putem gı̂ndi aceste s, iruri de funct, ii ca pe nis, te generalizări ale s, irurilor de numerereale. Dacă ı̂n cazul acela, regula generală era xată, dată de xn = x(n), ı̂n cazul s, irurilor de funct, ii,pentru ecare indice n, putem avea cı̂te o regulă diferită, dată de o funct, ie fn.

Dacă s, irurile de numere reale au drept limită un număr real s, i astfel putem spune că un s, ir denumere reale aproximează un număr real, ı̂n cazul s, irurilor de funct, ii, limita va , ı̂n general, ofunct, ie. Deci putem spune că aceste s, iruri aproximează funct, ii. Însă not, iunea de convergent, ă ı̂ncazul s, irurilor de funct, ii este ceva mai subtilă.Deniţie 4.1: Fie (fn)n ∶ D ⊆ ℝ → ℝ un s, ir de funct, ii.

Spunem că s, irul (fn)n converge punctual (simplu) la funct, ia f dacă are loc:

limn→∞

fn(x) = f (x), ∀x ∈ D.

Pe scurt, putem nota aceasta prin fnPC−−→ f sau fn

s−→ f , iar funct, ia f se va numi limita punctuală a

s, irului (fn).Acest tip de convergent, ă este foarte puternic, deoarece este denit destul de grosier, astfel că

avem nevoie de ranări ale conceptului.Celălalt tip de convergent, ă este denit mai jos.

Deniţie 4.2: În condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, spunem că s, irul (fn) este uniform convergentla funct, ia f dacă:

∀" > 0, ∃N" > 0 a. ı̂. |fn(x) − f (x)| < ", ∀n ≥ N" , ∀x ∈ D.

12

Notat, ia va fnUC−−→ f sau fn

u−→ f .

Cu alte cuvinte, s, irul (fn) se păstrează arbitrar de aproape de funct, ia limită, de la un anumitrang ı̂ncolo.

Ca s, i ı̂n cazul s, irurilor de numere, se va folosi mai des ı̂n exercit, ii o teoremă de caracterizare.

Propoziţie 4.1: În condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, are loc:

fnu−→ f ⇔ lim

n→∞supx∈D

|fn(x) − f (x)| = 0.

Se poate vedea că proprietatea de convergent, ă uniformă o implică pe cea de convergent, ăpunctuală, ı̂nsă reciproca este falsă.

De exemplu, e fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = xn, n ≥ 1.Atunci se poate vedea imediat că:

limn→∞

fn(x) =

{0, 0 ≤ x < 11, x = 1

.

De aici rezultă că fns−→ f , unde funct, ia f este denită pe cazuri mai sus.

Dar un calcul simplu arată că:

limn→∞

supx∈[0,1]

|fn(x) − f (x)| = 1 ≠ 0,

deci s, irul nu este uniform convergent.

4.1.2 Transferul proprietăt, ilorÎn unele situat, ii, putem verica proprietăt, ile de convergent, ă simplă s, i mai ales uniformă printransferul proprietăt, ilor. Cu alte cuvinte, vom s, ti ce proprietăt, i analitice (continuitate, integrabi-litate) ale funct, iilor se păstrează prin convergent, ă s, i aceasta ne va da condit, ii necesare pentru astudia acel tip de convergent, ă.

Teoremă 4.1 (Transfer de continuitate): Fie fn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ un s, ir de funct, ii.Dacă ecare fn este funct, ie continuă, iar s, irul fn converge uniform la funct, ia f , atunci f este

continuă.

Această teoremă ne ajută să vericăm convergent, ă uniformă astfel: dacă s, tim (am demonstrat)că ecare termen fn este funct, ie continuă, iar funct, ia f , obt, inută prin convergent, a punctuală as, irului (singurul candidat posibil s, i pentru convergent, a uniformă!) nu este o funct, ie continuă,atunci s, tim sigur că s, irul nu converge uniform la f .

13

Teoremă 4.2 (Integrare termen cu termen): Fie fn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ un s, ir de funct, ii s, i f ∶ D ⊆ ℝ → ℝo funct, ie.

Dacă fnu−→ f , atunci are loc proprietatea de integrare termen cu termen, adică:

limn→∞ ∫

b

afn(x)dx = ∫

b

af (x)dx.

Cu alte cuvinte, dacă s, tim că are loc convergent, a uniformă, atunci limita s, i integrala potcomuta.Teoremă 4.3 (Derivare termen cu termen): Fie fn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ un s, ir de funct, ii s, i f ∶ D ⊆ ℝ → ℝo funct, ie.

Presupunem că funct, iile fn sı̂nt derivabile, pentru orice n ∈ ℕ. Dacă fns−→ f s, i dacă există o

funct, ie g ∶ D ⊆ ℝ → ℝ astfel ı̂ncı̂t f ′nu−→ g, atunci f este derivabilă s, i f ′ = g.

Această proprietate este similară celei de integrabilitate s, i ne arată că, dacă are loc convergent, apunctuală a s, irului funct, iilor s, i uniformă a s, irului derivatelor, atunci limita s, i derivata pot comuta.

4.2 Serii de funct, iiPasul următor este să studiem serii de funct, ii. Pentru convergent, a acestora, avem un singurcriteriu de utilizat.Teoremă 4.4 (Weierstrass): Fie (an) un s, ir cu termeni pozitivi, ∑ fn(x) o serie de funct, ii, cu ecarefn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ, astfel ı̂ncı̂t |fn(x)| ≤ an pentru orice x ∈ D, iar seria ∑ an este convergentă, atunciseria ∑ fn converge uniform.

Transferul proprietăt, ilor se formulează pe scurt astfel (vom păstra notat, iile s, i contextul dinteorema lui Weierstrass de mai sus):

• Transfer de continuitate: Dacă fn sı̂nt funct, ii continue, iar seria ∑ fn converge uniform la f ,atunci funct, ia f este continuă.

• Integrare termen cu termen: Dacă seria ∑ fn converge uniform la f , atunci f este integrabilăs, i are loc:

∫b

a∑nfn(x)dx = ∑

n∫

b

afn(x)dx,

pentru orice interval [a, b] ⊆ D ⊆ ℝ din domeniul de denit, ie al funct, iilor fn.

• Derivare termen cu termen: Presupunem că toate funct, iile fn sı̂nt derivabile. Dacă seria ∑ fnconverge punctual la f s, i dacă există g ∶ D → ℝ astfel ı̂ncı̂t ∑ f ′n converge uniform la g,atunci f este derivabilă s, i f ′ = g.

Toate aceste proprietăt, i, ı̂nsă, vor utile ı̂ntr-un caz particular de serii de funct, ii, anume acelaal seriilor de puteri.

14

4.3 Serii de puteriPornim cu o serie de funct, ii ∑ fn, dar ı̂n care ecare termen fn este o funct, ie de tip polinomial.Astfel că, de fapt, seriile de puteri pot scrise ı̂n general sub forma ∑ an(x − a)n, cu an, a ∈ ℝ, cazı̂n care se numesc serii de puteri centrate ı̂n a, denite de s, irul (an).

În majoritatea cazurilor, vom lucra cu serii de puteri centrate ı̂n origine, care se vor scrie, ı̂ngeneral, ∑ anxn.

Toate rezultatele de la serii de funct, ii sı̂nt valabile s, i cu demonstrat, ii imediate, dat ind căfunct, iile polinomiale sı̂nt us, or de studiat. Rezultatele specice sı̂nt următoarele.

Teoremă 4.5 (Abel): Fie ∑ an(x − a)n o serie de puteri centrată ı̂n a ∈ ℝ. Atunci există un număr0 ≤ R ≤ ∞ astfel ı̂ncı̂t:

• Seria este absolut convergentă pe intervalul (a − R, a + R);

• Seria este divergentă pentru |x | > R;

• Seria este uniform convergentă pentru [−r , r], pentru 0 < r < R.

Numărul R se numes, te raza de convergent, ă a seriei, iar intervalul (a−R, a+R) se numes, te intervalulde convergent, ă.

Problema centrală acum va calculul razei de convergent, ă, care se poate face cu unul dintrecriteriile de mai jos.

Teoremă 4.6 (Cauchy-Hadamard): Fie ∑ an(x − a)n o serie de puteri. Fie R raza sa de convergent, ăs, i e ! = lim sup n

√|an|. Atunci:

• R = !−1, pentru 0 < ! < ∞;

• R = 0, dacă ! = ∞;

• R = ∞, dacă ! = 0.

Teoremă 4.7: În condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, raza de convergent, ă se poate calcula s, i cuformula:

R = limn→∞

||||anan+1

||||.

Observaţie 4.1: Remarcăm că proprietăt, ile de transfer sı̂nt imediate ı̂n cazul seriilor de puteri.Rezultă că, dacă ∑ an(x − a)n este o serie de puteri convergentă la S(x), atunci:

• Seria derivatelor, ∑ nan(x − a)n−1, are aceeas, i rază de convergent, ă cu seria init, ială s, i aresuma S′(x);

15

• Seria primitivelor, ∑ann + 1

(x − a)n+1 are aceeas, i rază de convergent, ă cu seria init, ială, iarsuma sa este o primitivă a funct, iei S.

În exercit, ii, se va folosi foarte des seria geometrică, ı̂mpreună cu derivata s, i o primitivă a ei.Astfel, pentru cazul convergent (|q| < 1), avem:

∑ aqn =a

1 − q⇒

∑ aqn+1

n + 1= −a ln(1 − q)

∑ anqn−1 =−a

(1 − q)2.

4.4 Polinomul Taylor s, i seria TaylorOrice funct, ie cu proprietăt, i analitice ”bune“ poate aproximată cu un polinom.

Deniţie 4.3: Fie D ⊆ ℝ un interval deschis s, i f ∶ D → ℝ o funct, ie de clasă Cm(D), adică estecontinuă s, i are derivata continuă, pı̂nă la a m-a iterat, ie.

Pentru orice a ∈ D denim polinomul Taylor de grad n ≤ m asociat funct, iei f ı̂n punctul aprin:

Tn,f ,a =n

∑k=0

f (k)(a)k!

(x − a)k .

Restul (eroarea de aproximare), numit s, i restul Lagrange este denit prin:

Rn,f ,a = f (x) − Tn,f ,a(x).

Pentru cazul particular al polinomului Taylor de grad 1, acesta se mai numes, te aproximat, ialiniară a funct, iei f , iar pentru gradul 2, aproximat, ia pătratică.

Evident, acest polinom poate folosit mai departe pentru a studia seria Taylor asociată uneifunct, ii. Formal, conceptul este denit mai jos.

Teoremă 4.8 (Seria Taylor): Fie a < b s, i f ∈ C∞([a, b]), astfel ı̂ncı̂t să existe M > 0 cu |f (n)(x)| ≤ M ,pentru orice n ∈ ℕ, x ∈ [a, b].

Atunci pentru orice x0 ∈ (a, b), se denes, te seria Taylor a lui f ı̂n jurul punctului x0, care va uniform convergentă pe [a, b], iar suma sa este funct, ia f , adică avem:

f (x) = ∑n≥0

f (n)(x0)n!

(x − x0)n, ∀x ∈ [a, b].

Pentru cazul particular x0 = 0, seria se numes, te Maclaurin.

16

Observaţie 4.2: Dacă nu se specică punctul ı̂n jurul căruia să se facă dezvoltarea ı̂n serie Taylorpentru funct, ia f , vom presupune că lucrăm cu serii Maclaurin.

Observaţie 4.3: Conform proprietăt, ilor de aproximare a sumelor seriilor convergente din semi-narul anterior, s, tim că eroarea de aproximare (restul Lagrange, ı̂n acest caz) este comparabilă cuprimul termen neglijat din seria Taylor (echivalent, cu următorul termen din polinomul Taylor).

Seriile Taylor uzuale pentru funct, iile elementare, ı̂mpreună cu domeniile de convergent, ă,sı̂nt date mai jos.

ex = ∑n≥0

1n!xn, x ∈ ℝ

11 − x

= ∑n≥0

xn, |x | < 1

11 + x

= ∑n≥0(−1)nxn, |x | < 1

cos x = ∑n≥0

(−1)n

(2n)!x2n, x ∈ ℝ

sin x = ∑n≥0

(−1)n

(2n + 1)!x2n+1, x ∈ ℝ

(1 + x)� = ∑n≥0

�(� − 1)(� − 2)⋯ (� − n + 1)n!

xn, |x | < 1, � ∈ ℝ

arctan x = ∑n≥0

(−1)n

2n + 1x2n+1, |x | ≤ 1.

Seriile pentru alte funct, ii se pot obt, ine e prin calcul direct, e prin derivare sau integraretermen cu termen a seriilor de mai sus.

4.5 Exercit, ii1. Să se studieze convergent, a punctuală s, i uniformă a s, irurilor de funct, ii:

(a) fn ∶ (0, 1)→ ℝ, fn(x) =1

nx + 1, n ≥ 0;

(b) fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = xn − x2n, n ≥ 0;

(c) fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =√x2 +

1n2, n > 0;

(d) fn ∶ [−1, 1]→ ℝ, fn(x) =x

1 + nx2;

17

(e) fn ∶ (−1, 1)→ ℝ, fn(x) =1 − xn

1 − x;

(f) fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) =2nx

1 + n2x2;

(g) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x + n

x + n + 1;

(h) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x

1 + nx2.

2. Să se arate că s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =1narctan xn

converge uniform pe ℝ, dar:

( limn→∞ fn(x))′

x=1≠ lim

n→∞f ′n (1).

Rezultatele diferă deoarece s, irul derivatelor nu converge uniform pe ℝ.

3. Să se arate că s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = nxe−nx2

este convergent, dar:

limn→∞ ∫

1

0fn(x)dx ≠ ∫

1

0limn→∞

fn(x)dx.

Rezultatul se explică prin faptul că s, irul nu este uniform convergent. De exemplu, pentru xn =1n

,avem fn(xn)→ 1, dar, ı̂n general, fn(x)→ 0.

4. Să se dezvolte următoarele funct, ii ı̂n serie Maclaurin, precizı̂nd s, i domeniul de convergent, ă:

(a) f (x) = ex ;

(b) f (x) = sin x ;

(c) f (x) = cos x ;

(d) f (x) = (1 + x)� , � ∈ ℝ;

18

(e) f (x) = 11 + x

;

(f) f (x) = ln(1 + x);

(g) f (x) = arctan x ;

(h) f (x) = ln(1 + 5x);

(i) f (x) = 3 ln(2 + 3x).

5. Să se calculeze raza de convergent, ă s, i mult, imea de convergent, ă pentru următoarele seriide puteri:

(a) ∑n≥0 xn;

(b) ∑n≥1 nnxn;

(c) ∑n≥1(−1)n+1xn

n;

(d) ∑n≥1nnxn

n!;

(e) ∑(x − 1)2n

n ⋅ 9n;

(f) ∑(x + 3)n

n2;

(g) ∑n + 2n2 + 1

(x − 2)n;

(h) ∑n + 1√

n4 + n3 + 1 (x + 12x + 3)

n.

6. Găsit, i mult, imea de convergent, ă s, i suma seriilor:

(a) ∑n≥0(−1)nx2n+1

2n + 1;

(b) ∑2n

2n + 1xn;

(c) ∑n

n + 1xn.

19

7. Să se calculeze cu o eroare mai mică decı̂t 10−3 integralele:

(a) ∫12

0

sin xx

dx ;

(b) ∫12

0

ln(1 + x)x

dx ;

(c) ∫1

0e−x

2dx .

8. Să se calculeze polinomul Taylor de grad 3 ı̂n jurul originii pentru funct, iile:

(a) f (x) = 3 ln(2 + x);

(b) f (x) = arctan x ;

(c) f (x) =√1 + 2x .

9. Găsit, i aproximarea liniară s, i pătratică a funct, iilor:

(a) f (x) = 3√x ;

(b) f (x) = sin(cos x);

(c) f (x) = esin x ;

(d) f (x) = arcsin x .

10. Folosind seria Taylor, aproximat, i cu o eroare mai mică decı̂t 10−3 numerele:

(a) 3√65;

(b) sin 32;

(c) arctan 12

;

(d) e−0,2;

(e) ln 1, 1;

20

(f) ln 4;

(g) ln 5.

Indicat, ie: Atent, ie la domeniile de convergent, ă!

11*. Arătat, i că seriile numerice de mai jos sı̂nt convergente s, i calculat, i sumele lor, folosindserii de puteri:

(a) ∑n≥0

(−1)n

3n + 1;

(b) ∑n≥0

(n + 1)2

n!;

(c) ∑n≥1

n2(3n − 2n)6n

.

Indicat, ii:

(a) Seria satisface criteriul lui Leibniz, deci este convergentă.

Pentru a găsi suma, pornim cu seria de puteri ∑(−1)nx3n+1

3n + 1.

Intervalul de convergent, ă este (−1, 1), iar pentru x = 1, avem seria dată.Fie f suma acestei serii de puteri ı̂n intervalul (−1, 1). Derivăm termen cu termen s, i obt, inem:

f ′(x) = ∑(−1)nx3n =1

1 + x3,

pentru |x | < 1, ca suma unei serii geometrice alternate.Rezultă:

f (x) = ∫dx1 + x3

=16ln

(x + 1)2

x2 − x + 1+1√3arctan 2x − 1

√3 + c,

pentru |x | < 1. Calculı̂nd f (0), găsim c = �6√3

.

(b) Se foloses, te seria pentru ex , din care obt, inem seria pentru (x+x2)ex , pe care o derivăm termencu termen.Pentru x = 1, se obt, ine seria cerută, cu suma 5e.

(c) Descompunem seria ı̂n două, apoi folosim seria de puteri ∑ n2xn, pe care o derivăm termencu termen, pentru a obt, ine seria pentru nxn−1, apoi seria pentru nxn.

21

12. Studiat, i convergent, a seriilor de funct, ii:

(a) ∑n2√n!(xn + x−n), cu x ∈ [

12, 2];

(b) ∑nx

1 + n5x2, x ∈ ℝ;

(c) ∑cos(3nx)2n

, x ∈ ℝ;

(d) ∑ xn(1 − x), x ∈ [0, 1];

(e) ∑(x + n)2

n4, x ∈ [0, 2];

(f) ∑ln(1 + nx)

nxn, x > 0;

(g) ∑xe−nx√n, x ≥ 0;

(h) ∑ ne−nx , x ≥ 1.

Indicat, ii: În ecare caz, se găses, te valoarea maximă a funct, iei |fn|, pe care o notăm cu an, apoistudiem convergent, a seriei numerice ∑ an.

22

SEMINAR 5

DERIVATE PART, IALE

În general, putem lucra cu funct, ii de mai multe variabile, sub forma f ∶ ℝn → ℝ, funct, ii careacceptă n variabile ca ”date de intrare“ s, i rezultatul este o variabilă reală, deci f (x1,… , xn) = y ∈ ℝ,pentru orice n-tuplu (x1,… , xn) ∈ ℝn.

Cazurile pe care le vom ı̂ntı̂lni cel mai des la acest seminar vor , ı̂nsă, n = 2 s, i n = 3, cazuriı̂n care variabilele de intrare se vor nota, respectiv (x, y) sau (x, y, z).

Fie, deci, f ∶ ℝ3 → ℝ o funct, ie de 3 variabile reale, cu valori reale, f = f (x, y, z).Putem deni derivata part, ială a funct, iei f după variabila x , de exemplu, ca ind derivata

obt, inută prin tratarea lui y s, i z ca parametri (”constante“). Notat, ia este)f)x

sau fx sau )xf .Similar se pot deni s, i celelalte derivate part, iale. Un exemplu simplu:

f ∶ ℝ3 → ℝ, f (x, y, z) = 3x2y + 5xey + sin(yz).

Avem:

fx = 6xy + 5ey

fy = 3x2 + 5xey + z cos(yz)fz = y cos(yz).

Calculele pot continua s, i putem deni derivatele part, iale de ordin superior :

fxx =)2f)x2

=))x (

)f)x)

s, i similar pentru derivate mixte de forma fxy , fyx sau derivate de ordin s, i mai mare.În cazul funct, iilor pe care le vom folosi, are loc:

23

Teoremă 5.1 (Teorema de simetrie a lui Schwarz): În anumite ipoteze1, derivatele mixte au pro-prietatea de simetrie, adică fxixj = fxjxi sau, scris pe larg:

)2f)xi)xj

=)2f)xj)xi

, ∀xi , xj .

În exercit, iile pe care le vom aborda, vor de folos derivatele de ordinul ı̂ntı̂i s, i cele de ordinulal doilea. În plus, pentru o funct, ie de 3 variabile reale, f ∶ ℝ3 → ℝ, f = f (x, y, z), se denes, telaplacianul (sau operatorul Laplace) prin:

Δf = fxx + fyy + fzz .

Similar, desigur, putem deni laplacianul s, i pentru funct, ii de 2 variabile reale prin:

Δf = fxx + fyy .

O funct, ie se numes, te armonică dacă Δf = 0.

Dată o funct, ie de 3 variabile, se poate deni diferent, iala totală, care cont, ine laolaltă informat, iilefurnizate de derivatele part, iale. Pentru o funct, ie f ∶ ℝ3 → ℝ, diferent, iala totală se notează df s, ise calculează cu formula:

df = fxdx + fydy + fzdz,

unde dx, dy, dz sı̂nt diferent, ialele elementare (nu se calculează! ele constituie vectori-bază ı̂ntr-un anumit spat, iu vectorial).

O expresie ca mai sus, de forma df , se numes, te 1-formă diferent, ială, pe care o vom reı̂ntı̂lniı̂n studiul integralelor curbilinii.

Avem mai departe s, i diferent, iala totală de ordinul al doilea, denită pentru aceeas, i funct, ie demai sus prin:

d2f = fxxdx2 + 2fxydxdy + fyydy2,

expresie care se mai numes, te 2-formă diferent, ială s, i pe care o vom reı̂ntı̂lni ı̂n studiul integralelorde suprafat, ă.

De asemenea, o altă not, iune utilă este aceea a polinoamelor Taylor pentru funct, ii de mai multevariabile. Fie f = f (x, y) o funct, ie de 2 variabile s, i e A(xA, yA) ∈ ℝ2 un punct arbitrar. În exercit, ii,vom ı̂ntı̂lni doar polinoamele Taylor de grad 1 s, i 2, care se denesc astfel, ı̂n jurul punctului A:

T1(X, Y ) = f (A) +11! [

fx (A)(X − xA) + fy(A)(Y − yA)]

T2(X, Y ) = T1(X, Y ) +12! [

fxx (A)(X − xA)2 + fyy(A)(Y − yA)2 + 2fxy(A)(X − xA)(Y − yA)] .

1O prezentare a teoremei se poate găsi aici, iar ı̂n exercit, iile de la seminar, ipotezele vor vericate automat.

24

https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives#Schwarz.27s_theorem

Ca ı̂n cazul seriilor Taylor pentru funct, iile de o singură variabilă, eroarea aproximat, iei folosindaceste polinoame este comparabilă cu primul termen neglijat.

5.1 Extreme libereFie o funct, ie de 2 variabile f ∶ ℝ2 → ℝ, f = f (x, y). Ne propunem să studiem valorile saleextreme, adică să ı̂i găsim minimul s, i maximul, considerı̂nd că funct, ia este denită, derivabilă s, icontinuă pe tot domeniul de denit, ie.

Pas, ii pe care ı̂i urmăm sı̂nt:

(1) Rezolvăm sistemul de ecuat, ii dat de anularea derivatelor part, iale de ordinul ı̂ntı̂i, din careaăm punctele critice, care este posibil să e de extrem. As, adar, rezolvăm sistemul:

{fx = 0fy = 0

⟹ A1(x1, y1), A2(x2, y2) …

(2) Pentru ecare dintre punctele critice Ai se alcătuies, te matricea hessiană a funct, iei, alcătuitădin derivatele de ordinul al doilea s, i se evaluează matricea ı̂n punctele critice:

Hf (Ai) = (fxx (Ai) fxy(Ai)fyx (Ai) fyy(Ai))

(3) Fie Ai un punct critic xat. Calculăm valorile proprii �1,2 ale matricei hessiene Hf (Ai) s, i deci-dem astfel:

• Dacă �1, �2 > 0, atunci punctul Ai este de minim local;• Dacă �1, �2 < 0, punctul Ai este maxim local;• Dacă �1 ⋅ �2 < 0, punctul Ai nu este de extrem;• Dacă �1 ⋅ �2 = 0, nu putem decide.

(4) Se repetă procedura pentru ecare dintre punctele critice.

5.2 Metoda celor mai mici pătrateAceastă metodă este strı̂ns legată de conceptul de interpolare, care ne ajută să găsim cea maipotrivită curbă, pornind de la un set de puncte (reprezentı̂nd, eventual, date experimentale).

Cazul particular pe care ı̂l vom discuta este acela al curbelor liniare, deci atunci cı̂nd se cautăcea mai potrivită dreaptă pentru un set de puncte. Această dreaptă se mai numes, te dreaptă deregresie s, i spunem că ea mediază ı̂ntre un set de puncte date, ı̂n sensul că optimizează erorile.

25

Pe scurt, dacă se dă un set de date experimentale, distribuite ı̂ntr-un anume fel ı̂n plan s, i avemde găsit cea mai potrivită dreaptă care să medieze ı̂ntre aceste puncte, sı̂ntem ı̂n situat, ia din gura5.1.

Figura 5.1: Dreapta ŷ = b0 + b1x care mediazăı̂ntre punctele yi , cu calculul erorilor ri

Această dreaptă se va găsi astfel ı̂ncı̂t suma pătratelor erorilor să e minimă. Motivul simplueste că erorile pot s, i pozitive, s, i negative, iar mai mult, erorile mari vrem să e ”amplicate“ demetodă, erorile mai mici ind de o important, ă inferioară. De aceea, metoda se numes, te metodacelor mai mici pătrate.

Fie, deci, dreapta y = ax + b, dreapta de regresie liniară pe care o căutăm, care să mediezeı̂ntre punctele Pi(xi , yi).

Echivalent, putem scrie relat, ia s, i funct, ional, ı̂n sensul că dreapta căutată se asociază uneifunct, ii f (x) = ax+b. Atunci, dacă punctul Pi se găses, te pe această dreaptă, are loc relat, ia f (xi) = yi .Rezultă că eroarea poate calculată prin diferent, a |yi−f (xi)| s, i vom interesat, i de suma pătrateloracestor erori. Aceasta va funct, ia pe care ı̂ncercăm să o minimizăm, iar argumentele sale sı̂ntcoecient, ii a, b care denesc dreapta căutată

As, adar, denim:F (a, b) = ∑

i(f (xi) − yi)2 = ∑

i(axi + b − yi)2.

Metoda dores, te, deci, să minimizeze eroarea, deci problema revine la a găsi M(a, b) punctulde minim al funct, iei F (a, b) de mai sus. Coordonatele punctului vor deni dreapta de regresiecăutată.

5.3 Funct, ii impliciteFunct, iile implicite sı̂nt denite de ecuat, ii care, ı̂n general, nu se pot rezolva sau se rezolvă foartedicil. De exemplu, dacă avem o ecuat, ie de forma:

xy + 2x sin y = 0

26

s, i vrem să exprimăm de aici funct, ia y = y(x), constatăm că acest lucru nu este posibil, deoareceecuat, ia nu poate rezolvată pentru y. Astfel, vom spune ı̂n acest caz că y a fost denită implicitde ecuat, ia de mai sus.

Trecem direct la exemplicarea not, iunilor teoretice pe exercit, ii rezolvate.

1. Funct, ia z = z(x, y) este denită implicit de ecuat, ia:

(y + z) sin z − y(x + z) = 0.

Calculat, i expresia:E = z sin z

)z)x

− y2)z)y

.

Solut, ie: Notăm expresia implicită dată cu F (x, y, z). Pentru a putea exprima z = z(x, y), decica funct, ie, este necesar ca expresia F să depindă funct, ional de z, adică să nu aibă pe z doar caparametru ori drept constantă. As, adar, avem o condit, ie de existent, ă a funct, iei implicite z = z(x, y),anume )F

)z≠ 0.

Presupunem acum că ne aăm ı̂n ipoteza de mai sus, i.e. condit, ia de existent, ă este satisfăcută.Atunci, pentru a exprima )z

)xs, i)z)y

, vom deriva expresia F , deoarece doar acolo apare funct, ia z.Obt, inem:

)F)x

=)z)x

sin z + (y + z) cos z)z)x

− y(1 +)z)x)

= 0

Rezultă:)z)x

=z

sin z + (y + z) cos z − y.

Similar:)F)y

= (1 +)z)y)

sin z + (y + z) cos z)z)y

− (x + z) − y)z)y

= 0.

Rezultă:)z)y

=x + z − sin z

sin z + (y + z) cos z − y.

Înlocuind ı̂n expresia cerută, obt, inem E = 0.

Un alt tip de exercit, iu de care sı̂ntem interesat, i este acela al extremelor pentru funct, ii deniteimplicit.

2. Să se determine extremele funct, iei y = y(x), denită implicit de ecuat, ia:

x3 + y3 − 2xy = 0.

Solut, ie: Fie F (x, y) = x3 + y3 − 2xy, astfel ı̂ncı̂t condit, ia dată este F (x, y) = 0.

27

Pentru a extrage funct, ia y = y(x), este necesar să punem condit, ia de existent, ă:

)F)y

≠ 0⇒ 3y2 − 2x ≠ 0.

Acum, s, tiind că avem funct, ia y = y(x), extremele acesteia se determină folosind derivatay′(x), pe care nu o putem obt, ine altfel decı̂t prin intermediul funct, iei F . Avem, as, adar:

)F)x

= 3x2 − 3y2y′ − 2y − 2xy′ = 0.

Obt, inem de aici:y′(x) =

2y − 3x2

3y2 − 2x.

Pentru extreme, avem condit, iile: ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

y′(x) = 0F (x, y) = 0)F)y

≠ 0

Rezultă y = 3x2

2s, i ı̂nlocuim, obt, inı̂nd perechea de solut, ii:

(x, y) = (2 3√33,2 3√43 )

.

Pentru a decide natura punctului de mai sus, este necesar să calculăm y′′, care se obt, inederivı̂nd din nou expresia pentru y′(x). Avem:

y′′(x) =(2y′ − 6x)(3y2 − 2x) − (6yy′ − 2)(2y − 3x2)

(3y2 − 2x)2.

Evaluı̂nd pentru x = 23√23

, unde y′ = 0, găsim:

y′′(2 3√24 )

= −3 < 0,

deci punctul este de maxim local.

5.4 Exercit, ii1. Vericat, i dacă următoarele funct, ii de 2 variabile sı̂nt armonice (presupunem că domeniile dedenit, ie au fost date corect):

28

(a) f (x, y) = ln(x2 + y2);

(b) f (x, y) =√x2 + y2;

(c) f (x, y) = arctan xy+ arctan

yx

;

(d) f (x, y) = x + yx − y

.

2. Găsit, i punctele de extrem pentru funct, iile de 2 sau 3 variabile, denite corespunzător peℝ2 sau ℝ3:

(a) f (x, y) = x3 + y3 − 6xy;

(b) f (x, y) = 3xy2 − x3 − 15x − 36y + 9;

(c) f (x, y) = 4xy − x4 − y4;

(d) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2x + 6y − 6z;

(e) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − xy + x − 2z;

(f) f (x, y, z) = 1x+xy+yz+ z, x, y, z ≠ 0.

3. Arătat, i că funct, iile următoare verică ecuat, iile indicate:

(a) f (x, y) = '(yx )

,

x)f)x

+ y)f)y

= 0.

(b) f (x, y, z) = '(xy, x2 + y2 + z2),

xz)f)x

− yz)f)y

+ (y2 − x2))f)z

= 0.

(c) f (x, y) = y'(x2 − y2),1x)f)x

+1y)f)y

=1y2f (x, y);

(d) f (x, y, z) = xyzln x + x'(

xy,zx)

, pentru x > 0 s, i z ≠ 0, ecuat, ia ind:

x)f)x

+ y)f)y

+ z)f)z

−xyz− f (x, y, z) = 0.

29

4. Găsit, i dreptele de regresie care mediază ı̂ntre punctele:

(a) (1, 3), (2, 4), (−1, 0);

(b) (2, 3), (−1, −1), (0, 2);

(c) (1, 0), (2, 1), (3, 2), (−1, 2);

(d) (1, 1), (2, 1), (−1, 0), (−2, 1);

(e) (1, 0), (2, 1), (−1, 1), (−2, −2).

5. Fie funct, ia z = z(x, y), denită implicit prin:

g(y2 − x2, z − xy) = 0,

unde g ∈ C1(ℝ2). Calculat, i expresia:

E = y)z)x

+ x)z)y

.

6. Să se determine extremele funct, iei y = y(x), denită implicit de ecuat, iile:

(a) x3 + y3 − 3x2y − 3 = 0;

(b) 2x2y + y2 − 4x − 3 = 0;

(c) (x2 + y2)2 = x2 − y2;

(d) x2 − 2xy + 5y2 − 2x + 4y = −1;

(e) x2 + y2 − e2 arctanxy = 0.

7. Fie funct, ia z = z(x, y), denită implicit de ecuat, ia:

F (x, y, z) = x2 + 2y2 + z2 − 4z = 12.

Să se calculeze derivatele part, iale de ordinul ı̂ntı̂i s, i al doilea pentru funct, ia z.

30

SEMINAR 6

EXTREME CU LEGĂTURI

În seminarul anterior am văzut cum se studiază punctele de extrem s, i valorile extreme pentrufunct, ii de 2 sau 3 variabile, denite pe ı̂ntreg domeniu, ℝ2 sau ℝ3. În multe situat, ii, ı̂nsă, domeniulde denit, ie va doar o port, iune a planului sau spat, iului, denită prin (in)ecuat, ii.

Există mai multe posibilităt, i pentru a delimita domeniul de denit, ie s, i le prezentăm ı̂n ordineacrescătoare a dicultăt, ii.

Considerăm, pentru simplitate, că lucrăm cu o funct, ie de două variabile:

f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f = f (x, y).

Pentru toate cazurile cı̂nd domeniul de denit, ie are o frontieră (chiar s, i interval des-chis), studiul se ı̂mparte ı̂n 2 etape: pe interior s, i pe frontieră.

Pentru domenii de tip dreptunghiular, D = [a, b] × [c, d]:

• se studiază mai ı̂ntı̂i pe interiorul domeniului, adică IntD = (a, b)×(c, d), cu metoda din cazulextremelor libere. Se impune condit, ia ca punctele critice să apart, ină interiorul domeniului.

• se studiază apoi pe frontieră (FrD = )D), care poate ı̂mpărt, ită ı̂n mai multe bucăt, i: x =a, y ∈ [c, d] s, i celelalte, caz pentru care funct, ia devine de o singură variabilă. În exempluldat, avem f (x, y) = f (a, y) = g(y), pentru care se studiază extremele ca ı̂n liceu, ind vorbade o funct, ie de o singură variabilă.

Pentru domenii delimitate de ecuat, ii sau inecuat, ii de gradul ı̂ntı̂i, de forma D = {x ∈[a, b], m1x + n1 ≤ y ≤ m2x + n2}, studiul se poate face ca mai sus pe interior, iar pe frontieră, sesubstituie x ∈ [a, b], iar y = m1x +n1, respectiv x ∈ [a, b], iar y = m2x +n2, ı̂n ambele cazuri avı̂ndfunct, ii de o singură variabilă.

Domeniile delimitate de ecuat, ii oarecare se studiază folosind o metodă generală (care, dealtfel, poate folosită s, i ı̂n celelalte cazuri), numită metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Astfel,

31

să presupunem că avem un domeniu de forma D ∶ E(x, y) ≤ � ∈ ℝ, cum ar , de exemplu,interiorul unui disc:

D ∶ x2 + (y − 2)2 ≤ 9.

Metoda constă ı̂n:

• studiul pe interiorul domeniului, ca ı̂n cazul extremelor libere, dar se impune condit, ia capunctele critice să satisfacă inegalitatea strictă E(x, y) < � ;

• pe frontieră, se denes, te funct, ia lui Lagrange:

F (x, y) = f (x, y) − �E(x, y), � ∈ ℝ

s, i se reia calculul, pentru funct, ia F , cu parametrul �. Mai precis, avem de rezolvat sistemul:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Fx = 0Fy = 0E(x, y) − � = 0

⟹ (x, y, �), puncte critice.

Din aceste puncte, extragem perechile (x, y), pe care le folosim mai departe. Rezultatulcentral este:

Teoremă 6.1: O funct, ie continuă denită pe un domeniu compact1este mărginită s, i ı̂s, i atinge mar-ginile.

Mai departe, putem continua ca ı̂n cazul extremelor libere, i.e. cu matricea hessiană pentrupunctele critice (xc , yc) obt, inute, e putem cita teorema s, i va sucient să calculăm f (xc , yc).Aceasta deoarece punctele de extrem sigur sı̂nt printre punctele critice (teorema lui Fermat dinliceu) s, i deci, valoarea maximă dintre f (xc , yc) va punctul de maxim, iar cea minimă, punctul deminim.

6.1 Exercit, ii1. Fie funct, ia f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x3 + y3 − 6xy . Determinat, i valorile extreme ale

funct, iei pentru:

(a) D = [0, 1] × [0, 1];

(b) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 5}.1Compacitatea este un concept matematic destul de subtil s, i nu us, or de ı̂nt,eles. Intuitiv, ı̂nsă, va sucient să

ment, ionăm că domeniile care din punct de vedere geometric nu au ”găuri“ sı̂nt compacte. În particular, ceea ce vomfolosi ı̂n exercit, ii (discuri, elipse, triunghiuri etc.) vor toate compacte, deci sı̂ntem ı̂n ipotezele teoremei.

32

2. Fie funct, ia f ∶ D → ℝ2, f (x, y) = x2 + xy + y2 − 4 ln x − 10 ln y + 3. Determinat, i valorileextreme ale funct, iei, dacă D este domeniul maxim de denit, ie (extreme libere!).

3. Fie funct, ia f ∶ D → ℝ2, f (x, y) = 3xy2 − x3 − 15x − 36y + 9.

(a) Pentru D = ℝ2, determinat, i valorile extreme ale funct, iei.

(b) Pentru D = [−4, 4] × [−3, 3], determinat, i valorile extreme ale funct, iei.

4. Fie funct, ia f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = 4xy − x4 − y4. Determinat, i valorile extreme alefunct, iei pentru:

(a) D = ℝ2;

(b) D = [−1, 2] × [0, 2];

5. Fie f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x3 + 3x2y − 15x − 12y. Aceeas, i cerint, ă ca mai sus pentru:

(a) D = ℝ2;

(b) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x ≥ 0, y ≥ 0, 3y + x ≤ 3}.

6. Determinat, i valorile extreme pentru funct, iile f , denite pe domeniile D, unde:

(a) f (x, y) = xy(1 − x − y), D = [0, 1] × [0, 1];

(b) f (x, y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2, D = (−∞0) × (0,∞);

(c) f (x, y) = x3 + 8y3 − 2xy, D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x, y ≥ 0, y + 2x ≤ 2};

(d) f (x, y) = x4 + y3 − 4x3 − 3y2 + 3y, D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 < 4}.

7. (Part, ial ETTI, Prof. Purtan) Fie funct, ia: f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x2 +2xy −4x −y. PentruD = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ −x2 + 2x}, determinat, i valorile extreme ale funct, iei.

8. (Examen ACS, Prof. Olteanu) Aat, i valorile extreme ale funct, iei:

f (x, y) = x2 + y2 − 3x − 2y + 1

pe mult, imea K ∶ x2 + y2 ≤ 1.

9*. Dintre toate paralelipipedele dreptunghice cu volum constant 1, determinat, i pe cel cu ariatotală minimă.

33

10. Fie funct, ia f ∶ D → ℝ, f (x, y, z) = x + 2y − 2z. Găsit, i extremele funct, iei pentru D ={(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ x2 + y2 + z2 ≤ 16}.

11. Fie funct, ia f ∶ D → ℝ, f (x, y, z) = −4x − 3y + 6z. Găsit, i extremele funct, iei pentruD = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ x2 + y2 + z2 ≤ 1}.

12. Fie funct, ia f ∶ D → ℝ, f (x, y) = xy2(x + y − 2). Găsit, i extremele funct, iei pentru D ={(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x + y ≤ 3, x, y ≥ 0}.

13. Fie funct, ia f ∶ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = xy . Găsit, i extremele funct, ie pentru D = {(x, y) ∈ ℝ ∣x2 + 2y2 ≤ 1}.

34

SEMINAR 7

INTEGRALE IMPROPRII S, I CU PARAMETRI

Integralele improprii sı̂nt integrale ı̂n care e unul dintre capete este innit, e funct, ia nu estedenită ı̂n cel put, in un punct din domeniul de integrare. De exemplu:

• ∫1

0

ln xx

este improprie ı̂n x = 0;

• ∫∞

0

ln xx

este improprie ı̂n ambele capete.

Pentru aceste integrale, calculul se poate face trecı̂nd la limită, dacă unul dintre capete esteinnit. Mai precis, avem:

∫∞

af (x)dx = lim

t→∞ ∫t

af (x)dx,

dacă integrala nu este improprie s, i ı̂n capătul x = a sau ı̂n alt punct din interiorul domeniului.Pentru celelalte cazuri, există criterii de convergent, ă, care depăs, esc scopul acestui seminar.

Le includem mai jos, pentru completitudine.

*****Fie a, b ∈ ℝ s, i f ∶ [a, b) → ℝ o funct, ie local integrabilă (i.e. integrabilă pe orice interval

compact [u, v] ⊆ [a, b)).

Integrala improprie (ı̂n b) ∫b

af (x)dx se numes, te convergentă dacă limita:

limt→b ∫

t

af (x)dx

35

există s, i este nită. Valoarea limitei este valoarea integralei. În caz contrar, integrala se numes, tedivergentă.

Dacă f ∶ [a,∞) → ℝ este local integrabilă, atunci integrala improprie (la ∞) ∫∞

af (x)dx se

numes, te convergentă dacă limita:

limt→∞ ∫

t

af (x)dx

există s, i este nită. Valoarea limitei este egală cu valoarea integralei.

Integrala improprie ∫b

af (x)dx se numes, te absolut convergentă dacă integrala ∫

b

a|f (x)|dx

este convergentă.Criteriile de convergent, ă pentru integralele improprii sı̂nt foarte asemănătoare cu cele pentru

serii (amintit, i-vă, că, de fapt, integralele denite se construiesc cu ajutorul sumelor innite, adicăserii, v. sumele Riemann).

As, adar, avem:Criteriul lui Cauchy (general): Fie f ∶ [a, b) → ℝ local integrabilă. Atunci integrala

∫b

af (t)dt este convergentă dacă s, i numai dacă:

∀" > 0, ∃b" ∈ [a, b) a.̂ı. ∀x, y ∈ (b" , b), || ∫y

xf (t)dt || < ".

Criteriul de comparat, ie (”termen cu termen“): Fie f , g ∶ [a, b)→ ℝ astfel ı̂ncı̂t 0 ≤ f ≤ g.

• Dacă ∫b

ag(x)dx este convergentă, atunci s, i integrala ∫

b

af (x)dx este convergentă;

• Dacă integrala ∫b

af (x)dx este divergentă, atunci s, i integrala ∫

b

ag(x)dx este divergentă.

Criteriul de comparat, ie la limită: Fie f , g ∶ [a, b)→ [0,∞), astfel ı̂ncı̂t să existe limita:

= limx→b

f (x)g(x)

.

• Dacă ∈ [0,∞), iar ∫b

ag(x)dx este convergentă, atunci ∫

b

af (x)dx este convergentă;

• Dacă ∈ (0,∞) sau = ∞, iar ∫b

ag(x)dx este divergentă, atunci s, i ∫

b

af (x)dx este diver-

gentă.

36

Criteriul de comparat, ie cu1x�

: Fie a ∈ ℝ s, i f ∶ [a,∞) → [0,∞) local integrabilă, astfelı̂ncı̂t să existe:

= limx→∞

x� f (x).

• Dacă � > 1 s, i 0 ≤ < ∞, atunci ∫∞

af (x)dx este convergentă;

• Dacă � ≤ 1, iar 0 < ≤ ∞, atunci ∫∞

af (x)dx este divergentă.

Criteriul de comparat, ie cu1

(b − x)�: Fie a < b s, i f ∶ [a, b)→ [0,∞), local integrabilă, astfel

ı̂ncı̂t să existe: = lim

x→b(b − x)� f (x).

• Dacă � < 1 s, i 0 ≤ < ∞, atunci ∫b

af (x)dx este convergentă;

• Dacă � ≥ 1 s, i 0 < ≤ ∞, atunci ∫b

af (x)dx este divergentă.

Criteriul lui Abel: Fie f , g ∶ [a,∞)→ ℝ, cu proprietăt, ile:

• f este de clasă C1, limx→∞

f (x) = 0, iar ∫∞

af ′(x)dx este absolut convergentă;

• g este continuă, iar G(x) = ∫x

af (t)dt este mărginită pe [a,∞).

Atunci integrala ∫∞

af (x)g(x)dx este convergentă.

Exercit, iu: Folosind criteriile de comparat, ie, să se studieze natura integralelor improprii:

(a) ∫∞

1

dx√x2 + 1

(D);

(b) ∫1

0

x2√1 − x2

dx (C);

(c) ∫1

0

sin x1 − x2

dx (D);

37

(d) ∫∞

1

x√x3 − 1

dx (C x = 1, D x → ∞⇒ D);

(e) ∫∞

1

ln x√x3 − 1

dx (C);

(f) ∫∞

1

dxx√x − 1

dx (C x → ∞, D x = 1⇒ D);

(g) ∫∞

1

dxx(ln x)�

, � > 0 (D);

*****Un caz particular care ne interesează este acela al integralelor improprii cu parametri. Un

exemplu este:

I (m) = ∫

�2

0ln(cos2 x +m2 sin2 x)dx, m > 0,

care se poate rezolva folosind tehnica de derivare ı̂n interiorul integralei, adică:

I ′(m) = ∫

�2

0

))m

ln(cos2 x +m2 sin2 x)dx.

Exemple rezolvate:Să se calculeze integralele, folosind derivarea sub integrală:

(a) I (m) = ∫�2

0ln(cos2 x +m2 sin2 x)dx,m > 0;

(b) I (a) = ∫�2

0ln(a2 − sin2 �)d�, a > 1;

(c) I (a) = ∫1

0

arctan axx√1 − x2

dx, a > 0.

Solut, ii:(a) Dacă considerăm funct, ia:

f (x,m) = ln(cos2 x +m2 sin2 x),

observăm că este continuă s, i admite o derivată part, ială continuă ı̂n raport cu m.Atunci obt, inem:

)f)m

= I ′(m) = 2m ∫

�2

0

sin2 xcos2 x +m2 sin2 x

dx

38

Pentru a calcula integrala, facem schimbarea de variabilă tan x = t s, i atunci:

dt =1

cos2 xdx.

Integrala init, ială se poate prelucra:

I ′(m) = 2m ∫

�2

0

sin2 xcos2x(1 +m2 tan2 x)

dx.

As, adar, pentru a obt, ine sin2 x ı̂n funct, ie de t calculăm:

sin2 x1 − sin2 x

= t2 ⇒ sin2 x =t2

1 + t2.

În ne, integrala devine:

I ′(m) = 2m ∫∞

0

t2

(1 +m2t2)(1 + t2)dt.

Făcı̂nd descompunerea ı̂n fract, ii simple, obt, inem:

t2

(1 +m2t2)(1 + t2)=

1m2 − 1(

1t2 + 1

−1

m2t2 + 1).

s, i calculăm ı̂n ne integrala I ′(m) = �m+1 . Integrăm s, i găsim I (m) = � ln(m + 1) + c. DeoareceI (1) = 0, rezultă c = −� ln 2 s, i, ı̂n ne:

I (m) = � lnm + 12

.

(b) Dacă considerăm funct, ia:

f (�, a) = ln(a2 − sin2 �),

observăm că este continuă s, i admite o derivată part, ială continuă ı̂n raport cu a.Atunci avem:

I ′(a) =)f)a

= ∫

�2

0

2aa2 − sin2 �

d�.

39

Cu schimbarea de variabilă t = tan � , avem succesiv:

I ′(a) = ∫∞

0

2aa2 − t21+t2

⋅1

1 + t2dt

= ∫∞

0

2at2(a2 − 1) + a2

dt

=2a

a2 − 1 ∫∞

0

1t2 + a2a2−1

dt

=2a

a2 − 1⋅√a2 − 1a

⋅ arctan t√a2 − 1a

|||∞

0

=2√a2 − 1

⋅�2

=�√a2 − 1

.

Integrăm pentru a obt, ine I (a) s, i găsim:

I (a) = ∫�√a2 − 1

da = � ln(a +√a2 − 1) + c.

Pentru a calcula constanta c, putem rescrie integrala din forma init, ială:

I (a) = ∫

�2

0ln(a

2(1 −

sin2 �a2 ))

d�

= ∫

�2

0ln a2d� + ∫

�2

0ln(1 −

sin2 �a2 )

d�.

Putem considera limita a → ∞ s, i atunci integrala de calculat tinde la 0, deci c = −� ln 2.

Concluzie: I (a) = � ln a +√a2 − 12

.

(c) Dacă considerăm funct, ia f (x, a) =arctan axx√1 − x2

, observăm că este continuă s, i admite o deri-vată part, ială continuă ı̂n raport cu a. Atunci:

I ′(a) =)f)a

= ∫1

0

dx(1 + a2x2)

√1 − x2

.

Pentru a calcula integrala, facem schimbarea de variabilă x = sin t s, i obt, inem:

I ′(a) = ∫

�2

0

dt1 + a2 sin2 t

.

40

Mai departe, aplicăm schimbarea de variabilă tan t = u s, i obt, inem succesiv:

I ′(a) = ∫∞

0

du(1 + a2)u2 + 1

=�2⋅

1√1 + a2

.

As, adar, printr-o integrare ı̂n funct, ie de a, găsim:

I (a) =�2ln(a +

√1 + a2) + c.

Cum I (0) = 0, găsim c = 0.

Însă accentul pentru acest seminar va cădea pe funct, iile lui Euler, Beta s, i Gamma, care sedenesc astfel:

Γ(t) = ∫∞

0x t−1e−xdx, t > 0

B(p, q) = ∫1

0xp−1(1 − x)q−1, p, q > 0.

Remarcăm că integrala Gamma este improprie pentru x → ∞, iar integrala Beta nu esteimproprie, ci doar cu parametri.

Proprietăt, ile pe care le vom folosi ı̂n exercit, ii sı̂nt:

(1) B(p, q) = B(q, p), ∀p, q > 0;

(2) B(p, q) = Γ(p) ⋅ Γ(q)Γ(p + q)

;

(3) B(p, q) = ∫∞

0

yp−1

(1 + y)p+qdy;

(4) Γ(1) = 1;

(5) Γ(t + 1) = t ⋅ Γ(t), ∀t > 0;

(6) Γ(n) = (n − 1)!, ∀n ∈ ℕ∗.

7.1 Exercit, iiCalculat, i, folosind funct, iile B s, i Γ, integralele:

(a) ∫∞

0e−x

pdx, p > 0;

41

(b) ∫∞

0

4√x

(x + 1)2dx ;

(c) ∫∞

0

dxx3 + 1

;

(d) ∫�2

0sinp x cosq xdx, p > −1, q > −1;

(e) ∫1

0xp+1(1 − xm)q−1dx, p, q, m > 0;

(f) ∫∞

0xpe−x

qdx, p > −1, q > 0;

(g) ∫1

0lnp x−1dx, p > −1;

(h) ∫1

0

dxn√1 − xn

, n ∈ ℕ;

(i) ∫e

1

1xln3 x ⋅ (1 − ln x)4dx ;

(j) ∫1

0

√ln1xdx ;

(k) ∫∞

0

x2

(1 + x4)2dx ;

(l) ∫∞

−1e−x

2−2x+3dx .

42

SEMINAR 8

INTEGRALE DUBLE

8.1 Exercit, iiReprezentat, i grac domeniile date de următoarele (in)ecuat, ii:

(a) D1 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ y = x2, y2 = x}

(b) D2 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x = 2, y = x, xy = 1};

(c) D3 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 2y};

(d) D4 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ x, y ≥ 0};

(e) D5 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ y = 0, x + y − 6 = 0, y2 = 8x};

(f) D6 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 2x + 2y − 1}.

8.2 Metode de calculCazurile particular care ne interesează sı̂nt de 4 feluri.

Integralele pe dreptunghiuri se calculează direct, ca nis, te integrale iterate. De exemplu,pentru D = [a, b] × [c, d], avem:

∬Df (x, y)dxdy = ∫

d

c∫

b

af (x, y)dxdy = ∫

b

a∫

d

cf (x, y)dxdy,

ultima egalitate rezultı̂nd dintr-o teoremă, numită teorema lui Fubini.Integralele pe domenii intergrac se calculează prin a le descrie ca pe nis, te dreptunghiuri,

cu o latură variabilă.

43

Considerăm, de exemplu, cazul D1 de mai sus. Acest domeniu poate descris astfel (vedet, idesenul):

x ∈ [0, 1], y ∈ [x2,√x],

deci putem calcula integrale duble pe acest domeniu sub forma:

∬D1f (x, y)dxdy = ∫

1

0∫

√x

x2f (x, y)dydx.

Integralele pe cercuri centrate ı̂n origine se calculează folosind trecerea la coordonatepolare: {

x = r cos ty = r sin t

, (r , t) ∈ [0,∞) × [0, 2� ).

Aceasta este, de fapt, o schimbare de variabile, deci trebuie schimbate s, i diferent, ialele, folosindmatricea jacobiană:

dxdy ↦ |J |drdt, unde J =||||xr xtyr yt

||||= r .

Astfel, de exemplu, dacă D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 4}, putem calcula:

∬Df (x, y)dxdy = ∫

2

0∫

2�

0f (r , t) ⋅ rdtdr .

Pentru cercuri necentrate ı̂n origine sau alte domenii arbitrare, se explicitează ca do-menii intergrac. De exemplu, pentru domeniul D4 din primul exercit, iu, avem:

(x −12)

2+ y2 ≤

12, y ≥ 0,

care este un disc, centrat ı̂n (12, 0) s, i cu rază

12

, din care se ia doar partea superioară, cores-punzătoare lui y ≥ 0. As, adar, acesta poate descris astfel (vedet, i desenul):

x ∈ [0, 1], y ∈[0,√12− (x −

12)2].

Integrala se calculează ı̂n continuare pe acest domeniu.

Pentru toate cazurile de mai sus, aria domeniului D se calculează prin:

A(D) = ∬Ddxdy.

44

8.3 Exercit, ii

1. Calculat, i ∬Df (x, y)dxdy ı̂n următoarele cazuri:

(a) D = [0, 1] × [2, 3], iar f (x, y) = xy2;

(b) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y ≤ x2 + 1}, iar f (x, y) = x ;

(c) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ y = x, y = x2}, iar f (x, y) = 3x − y + 2;

(d) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 1}, iar f (x, y) = ex2+y2 ;

(e) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x ≥ 0, y ≥ 0}, iar f (x, y) = e−2(x2+y2);

(f) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ x, y ≥ 0}, iar f (x, y) = xy .

2. Calculat, i ariile domeniilor de mai sus.

3. Calculat, i aria domeniului:

D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x + y ≥ 0}.

45

SEMINAR 9

INTEGRALE TRIPLE

Integralele triple pe care le vom calcula se rezolvă folosind o abordare de tipul domeniilor inter-grac. Astfel, dacăΩ este un domeniu de tip corp tridimensional, delimitat de suprafet, e de ecuat, iidate, se poate calcula volumul domeniului Ω cu formula:

V (Ω) = ∭Ωdxdydz,

iar de cele mai multe ori, se calculează init, ial integrala după z, deoarece suprafet, ele sı̂nt date ı̂naceastă formă.

Exercit, iu: Calculat, i volumul corpului delimitat de suprafet, ele de ecuat, ii date:

(a) z = x2 + y2 (paraboloid) s, i z = x + y (plan);

(b) z = x2 + y2 − 1 s, i z = 2 − x2 − y2 (2 paraboloizi);

(c) x2 + y2 + z2 = 1 (sferă) s, i x2 + y2 =12

(cilindru).

Indicat, ii: (a) Se calculează mai ı̂ntı̂i integrala după z, deoarece o reprezentare gracă ne vaajuta să vedem că ı̂n sensul crescător al axei OZ ı̂ntı̂lnim mai ı̂ntı̂i paraboloidul, apoi planul,conform gurii 9.1.

Astfel, avem de calculat:

V (Ω) = ∭Ωdxdydz = ∬

D∫

x2+y2

x+ydzdxdy,

unde D este proiect, ia pe planul XOY a gurii, care se poate obt, ine foarte simplu eliminı̂nd z dincele două ecuat, ii, adică:

x2 + y2 = x + y,

46

Figura 9.1: Intersect, ia ı̂ntre paraboloidul z = x2 + y2 s, i planul z = x + y

care este un cerc. După aceea, integrala pe D se calculează ca o integrală dublă.

Atent, ie! Volumul unui corp, ca s, i aria unui domeniu bidimensional, trebuie să e pozitiv!Dacă din calcule corecte rezultă un volum negativ, ı̂nseamnă că s-au luat gres, it capetele de inte-grare (ı̂n exemplul de mai sus s-a luat z de la paraboloid la plan).

În unele exercit, ii, ı̂n special cı̂nd apar sfere sau cilindri, se pot folosi coordonate specice:Coordonatele sferice: (r , �, ') ∈ ℝ+ × [0, � ) × [0, 2� ), reprezentate ı̂n gura 9.2.

Figura 9.2: Coordonatele sferice r , �, '

47

Schimbare de coordonate este dată de:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = r sin � cos 'y = r sin � sin 'z = r cos �

.

Nu uitat, i, ı̂n acest caz, să calculat, i s, i jacobianul schimbării de coordonate:

J =||||||

xr x� x'yr y� y'zr z� z'

||||||.

Coordonate cilindrice: (r , t, z) ∈ ℝ+ × [0, 2� ) × ℝ, care sı̂nt, practic, coordonatele polare,

”mutate“ ı̂n lungul axei OZ . De aceea, schimbarea de coordonate este dată de:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = r cos ty = r sin tz = z

.

Iar jacobianul transformării se calculează similar, cu derivatele lui x, y, z ı̂n raport cu r , t s, irespectiv z.

9.1 Resurse suplimentare• Lect, iile online ale Prof. Travis Kowalski, ı̂n special lista Calculus 3, ı̂ncepı̂nd cu lect, ia 17

pentru integrale duble: link;

• GeoGebra, pentru reprezentări grace, ı̂n special tridimensionale: link;

• Exercit, ii rezolvate ale Prof. R. Purtan de la ETTI: integrale duble s, i integrale triple.

48

https://www.youtube.com/watch?v=le1JlwBkAog&list=PLE7F8F33E161D1425&index=23https://www.geogebra.org/3d?lang=enhttps://adrianmanea.xyz/docs/18-19-etti-am1/purtan-int-duble.pdfhttps://adrianmanea.xyz/docs/18-19-etti-am1/purtan-int-triple.pdf

SEMINAR 10

INTEGRALE CURBILINII

10.1 Elemente de teorieIntegrale curbilinii de spet, a ı̂ntı̂i

Fie = (t) o curbă netedă, denită pe un interval t ∈ [a, b]. Se denes, te integrala curbiliniea unei funct, ii f ∶ ℝ3 → ℝ, f = f (x, y, z) prin formula:

∫

f (x, y, z)ds = ∫

b

af (x(t), y(t), z(t)) ⋅

√x ′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt.

De asemenea, cı̂teva cazuri particulare de interes sı̂nt:

• lungimea curbei se obt, ine pentru f = 1, deci:

( ) = ∫b

a

√x ′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt ;

• dacă funct, ia f reprezintă densitatea unui r pe care ı̂l aproximăm cu o curbă netedă , atuncimasa rului se calculează cu formula:

M( ) = ∫

f (x, y, z)ds;

• ı̂n aceeas, i ipoteză de mai sus, coordonatele centrului de greutate al rului, xGi se calculeazăcu formula (am notat x1 = x, x2 = y, x3 = z):

xGi =1M ∫

xif (x1, x2, x3)ds,

unde M este masa calculată mai sus.

49

Integrala curbilinie de spet, a a douaFie ! = Pdx + Qdy + Rdz o 1-formă diferent, ială. Se denes, te integrala curbilinie a formei !

ı̂n lungul curbei ca mai sus prin formula:

∫

! = ∫

b

a(P ◦ )x ′ + (Q ◦ )y′ + (R ◦ )z′dt,

unde = (t), t ∈ [a, b] este o parametrizare a curbei .O aplicat, ie zică importantă a integralelor curbilinii de spet, a a doua este calculul circulat, iei

cı̂mpurilor vectoriale.Fie, deci, un cı̂mp vectorial ı̂n spat, iu:

V⃗ = P (x, y, z)i⃗ + Q(x, y, z)j⃗ + R(x, y, z)k⃗.

Atunci circulat, ia1 cı̂mpului vectorial ı̂n lungul unei curbe netede se calculează cu integralacurbilinie:

∫

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

s, i putem asocia o 1-formă diferent, ială cı̂mpului, anume:

! = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz.

10.2 Formula Green-RiemannAceastă formulă, care face parte din formulele integrale esent, iale pe care le vom studia, ne permitesă transformăm o integrală curbilinie de spet, a a doua ı̂ntr-una dublă.

Mai precis, avem formula:

∫

Pdx + Qdy = ∬

K

)Q)x

−)P)y

dxdy,

unde K este suprafat, a bidimensională ı̂nchisă de curba .Observat, ie importantă: Pentru a putea aplica formula Green-Riemann, este necesar ca dru-

mul să e ı̂nchis, pentru a putea descrie o suprafat, ă ı̂nchisă K ! De asemenea, evident, formadiferent, ială trebuie să e de clasă C1, inclusiv ı̂n K , pentru a putea calcula derivatele part, iale.

1Circulat, ia unui cı̂mp vectorial este analogul uxului, dar ı̂n dimensiune 1. Astfel, dacă uxul se calculeazăpentru cı̂mpuri care traversează o suprafat, ă (vom ı̂ntı̂lni conceptul ı̂n lect, ia despre integrale de suprafat, ă), circulat, iase calculează pentru cı̂mpuri ı̂n lungul unor curbe.

50

10.2.1 Forme diferent, iale ı̂nchiseFie � = Pdx +Qdy o 1-formă diferent, ială de clasă C1 pe o vecinătate a K = Int( ). Această formădiferent, ială se numes, te ı̂nchisă dacă are loc:

)Q)x

=)P)y

.

Se poate observa, folosind formula Green-Riemann, că pentru forme diferent, iale ı̂nchise, inte-grala curbilinie ı̂n lungul oricărui drum este nulă. Această observat, ie se mai numes, te independent, ade drum a integralei curbilinii sau teorema Poincaré.

10.3 Exercit, ii1. Să se calculeze următoarele integrale curbilinii de spet, a ı̂ntı̂i:

(a) ∫

xds, unde ∶ y = x2, x ∈ [0, 2];

(b) ∫

y5ds, unde ∶ x = y

4

4, y ∈ [0, 2];

(c) ∫

x2ds, unde ∶ x2 + y2 = 2, x, y ≥ 0;

(d) ∫

y2ds, unde ∶ x2 + y2 = 4, x ≤ 0, y ≥ 0.

2. Calculat, i, direct s, i aplicı̂nd formula Green-Riemann, integrala curbilinie ∫

� ı̂n următoarele

cazuri:

(a) � = y2dx + xdy, unde este pătratul cu vı̂rfurile A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2);

(b) � = ydx + x2dy, unde este cercul centrat ı̂n origine s, i de rază 2.

3. Calculat, i următoarele integrale curbilinii de spet, a a doua:

(a) ∫

xdy − ydx , unde ∶ x2 + y2 = 4, y = x

√3 ≥ 0 s, i y =

x√3

;

(b) ∫

(x + y)dx + (x − y)dy, pe domeniul:

∶ x2 + y2 = 4, y ≥ 0;

51

(c) ∫

yx + 1

dx + dy, unde este triunghiul cu vı̂rfurile A(2, 0), B(0, 0), C(0, 2).

4. Să se calculeze ∫

ydx + xdy pe un drum de la A(2, 1) la B(1, 3).

5. Să se calculeze circulat, ia cı̂mpului de vectori V⃗ de-a lungul curbei , pentru: V⃗ = −(x2 +y2)i⃗ − ⃗x2 − y2 j⃗, cu:

∶ {x2 + y2 = 4, y < 0} ∪ {x2 + y2 − 2x = 0, y ≥ 0}

6. Să se calculeze masa rului material , cu ecuat, iile parametrice:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x(t) = ty(t) = t2/2, t ∈ [0, 1]z(t) = t3/3

iar densitatea f (x, y, z) = √2y.

7. Fie forma diferent, ială:� =

−yx2 + y2

dx +x

x2 + y2dy.

Să se calculeze ∫

� , unde este cercul centrat ı̂n origine s, i cu raza 2.

8. Să se calculeze integrala curbilinie ∫

xydx +

x2

2dy, pe conturul:

∶ {x2 + y2 = 1, x ≤ 0 ≤ y} ∪ {x + y = −1, x, y < 0}.

Indicat, ie: Curba nu este ı̂nchisă, deci nu putem aplica formula Green-Riemann. Considerămsegmentul orientat [AB], cu A(0, −1), B(0, 1), cu care ı̂nchidem curba. Denim C = ∪ [AB] s, iacum putem aplica Green-Riemann pe C . Vom avea, de fapt:

∫C� = ∫

� + ∫

[AB]�,

unde � este forma diferent, ială de integrat.Putem calcula acum integrala pe C cu Green-Riemann, iar cea pe [AB] cu denit, ia, obt, inı̂nd

ı̂n nal integrala pe .

9. Calculat, i, folosind integrala curbilinie:

(a) lungimea unui cerc de rază 2;

52

(b) lungimea segmentului AB, cu A(1, 2) s, i B(3, 5);

(c) lungimea arcului de parabolă y = 3x2, cu x ∈ [−2, 2];

(d) lungimea arcului de hiperbolă xy = 1, cu x ∈ [1, 2].

10.4 Exercit, ii suplimentare (ETTI)Calculat, i integralele curbilinii de mai jos:

Spet, a ı̂ntı̂i:

(a) ∫

ye−xds, unde parametrizarea curbei este dată de:

∶

{x(t) = ln(1 + t2)y(t) = 2 arctan t − t

, t ∈ [0, 1];

(b) ∫

(x2 + y2) ln zds, unde parametrizarea curbei este dată de:

∶

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x(t) = et cos ty(t) = et sin tz(t) = et

, t ∈ [0, 1];

(c) ∫

xyzds, unde parametrizarea curbei este:

∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x(t) = t

y(t) =23√2t3

z(t) =12t2

, t ∈ [0, 1];

(d) ∫

x2yds, unde = [AB] ∪ [BC], iar capetele segmentelor sı̂nt A(−1, 1), B(2, 1), C(2, 5);

(e) ∫

x2ds, unde este dată de:

∶ x2 + y2 = 2, x, y ≥ 0;

53

(f) ∫

(x2 + y2)ds, unde este sectorul de cerc x2 + y2 = 1, parcurs de la A(0, −1) la B(1, 0);

(g) Calculat, i lungimea segmentului [AB], unde A(1, 2), B(3, 5).

Spet, a a doua: ∫

! pentru:

(a) ! = (x2 + y2)dx + (x2 − y2)dy, unde este dată de:

∶

{x(t) =

√t

y(t) =√t + 1

, t ∈ [1, 4];

(b) ! = 1y2 + 1

dx +y

x2 + 1dy, unde este dată de:

∶

{x(t) = t2

y(t) = t, t ∈ [0, 1];

(c) ! = √xdx + xy2dy , unde este parabola y = x2, pentru x ∈ [0, 1].

54

SEMINAR 11

INTEGRALE DE SUPRAFAT, Ă

11.1 Integrale de suprafat, ă de spet, a ı̂ntı̂iIntegralele de suprafat, ă reprezintă generalizarea ı̂ntr-o dimensiune superioară pentru integralelecurbilinii. Astfel, multe dintre formulele s, i abordările de calcul pe care le vom folosi vor similare.

Fie Φ ∶ D → ℝ3 o pı̂nză parametrizată s, i e Σ = Φ(D) imaginea ei (i.e. suprafat, ă pe care vomintegra). Fie f ∶ U ⊆ Σ → ℝ o funct, ie continuă (deci integrabilă), denită pe (o port, iune din)imaginea pı̂nzei.

Vom interesat, i de un caz particular (s, i, totodată, cel mai des ı̂ntı̂lnit) pentru integrala desuprafat, ă, anume cı̂nd pı̂nza este dată ı̂ntr-o parametrizare carteziană. Adică ecuat, ia suprafet, eipoate scrisă ı̂n forma z = z(x, y).

Integrala de suprafat, ă de spet, a ı̂ntı̂i a funct, iei f pe suprafat, a Σ parametrizată cartezian prinz = z(x, y) este:

∫Σf (x, y, z)d� = ∬

Df (x, y, z(x, y)) ⋅

√1 + p2 + q2dxdy,

unde:

• D este domeniul de denit, ie al parametrizării carteziene, adică proiect, ia pe planul XOY asuprafet, ei (z ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ);

• coecient, ii de sub radical sı̂nt p =)z)x

s, i q =)z)y

.

În cazul particular ı̂n care f = 1, se obt, ine aria suprafet, ei Σ.

55

11.2 Integrale de suprafat, ă de spet, a a douaFie, ca mai sus, o pı̂nză tridimensională, pe care o considerăm a parametrizată:

Φ ∶ D → ℝ3, Φ(u, v) = (X (u, v), Y (u, v), Z (u, v)).

Fie, de asemenea, o 2-formă diferent, ială1:

! = Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.

Integrala pe suprafat, a orientată Σ = Φ(D) a 2-formei diferent, iale ! se denes, te prin:

∫Σ! = ∬

D(P ◦ Φ) ⋅

D(Y , Z )D(u, v)

+ (Q ◦ Φ) ⋅D(Z, X )D(u, v)

+ (R ◦ Φ) ⋅D(X, Y )D(u, v)

dudv,

unde D este domeniul parametrizării ((u, v) ∈ D), iar D(Y , Z )D(u, v)

etc. sı̂nt jacobienii parametrizării(X, Y , Z ) ı̂n funct, ie de u, v. Concret, de exemplu, avem:

D(X, Y )D(u, v)

=||||Xu XvYu Yv

||||,

s, i celelalte, folosind notat, ia simplicată Xu =)X)u

etc. 2

Într-o formă simplicată, putem scrie integrala folosind un determinant formal:

∫Σ! = ∫

||||||

P ◦ Φ Q ◦ Φ R ◦ ΦXu Yu ZuXv Yv Zv

||||||dudv.

11.3 Formula Gauss-OstrogradskiAceastă formulă ne permite să schimbăm o integrală de suprafat, ă de spet, a a doua cu una triplă,similar formulei Green-Riemann, dar ı̂n dimensiune superioară.

1! este o 2-formă diferent, ială deoarece ea cont, ine produse de cı̂te 2 elemente diferent, iale dx, dy, dz. De aseme-nea, notat, ia ∧ (citită ”wedge“ sau ”produs exterior“) este o notat, ie specică pentru produsul care se denes, te ı̂ntrediferent, ialele dx, dy, dz. Alternativ, putet, i găsi scrierea s, i prin juxtapunere:

! = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy.

Însă acest produs nu este comutativ, deci ordinea ı̂n care scriem 2-forma diferent, ială este esent, ială! (observat, i per-mutările circulare: dydz → dzdx → dxdy).

2Ordinea scrierii jacobienilor este, evident, esent, ială. Pentru a-i ret, ine mai us, or, observat, i că ordinea urmează toto permutare circulară, asemănătoare diferent, ialelor din 2-forma diferent, ială !.

56

Păstrı̂nd notat, iile s, i contextul de mai sus, formula Gauss-Ostrogradski se scrie:

∫Σ! = ∭

KPx + Qy + Rzdxdydz,

unde K = IntΣ este solidul care are drept frontieră suprafat, a Σ, iar Px , Qy , Rz notează derivatelepart, iale corespunzătoare coecient, ilor din 2-forma diferent, ială !.

Observaţie 11.1: Formula Gauss-Ostrogradski are, ca s, i formula Green-Riemann, condit, ii de apli-care (existent, ă). Încercat, i să le formulat, i, analizı̂nd formula.

Formula Gauss-Ostrogradski se mai numes, te formula ux-divergent, ă. Într-adevăr, folosindo interpretare zică, se poate asocia 2-formei diferent, iale ! cı̂mpul vectorial V⃗ = (P, Q, R), iarmembrul stı̂ng, adică integrala de suprafat, ă, calculează uxul cı̂mpului V⃗ prin suprafat, a Σ. Înzică, acesta se denes, te ca produsul scalar dintre cı̂mpul vectorial s, i versorul normal la suprafat, ă.Membrul drept este, după cum se poate vedea us, or, divergent, a cı̂mpului vectorial ı̂n solidul IntΣ,deci avem:

∫ΣV⃗ ⋅ n⃗d� = ∭

K∇ ⋅ V⃗ dxdydz.

Pentru cazul cı̂nd suprafat, a este parametrizată, adică avem:

Φ = Φ(X (u, v), Y (u, v), Z (u, v)),

se pot calcula vectorii tangent, i la suprafat, ă, după direct, iile lui u s, i v, prin derivate part, iale:

T⃗u =)Φ)u

, T⃗v =)Φ)v

.

Apoi, normala la suprafat, ă se poate calcula prin produs vectorial3. O variantă simplă de aret, ine formula de calcul pentru produsul vectorial foloses, te determinantul formal:

N⃗ = T⃗u × T⃗v =

|||||||

i⃗ j⃗ k⃗T⃗ 1u T⃗ 2u T⃗ 3uT⃗ 1v T⃗ 2v T⃗ 3v

|||||||

,

unde T⃗ iu,v notează componenta i a vectorului T⃗u,v .Ulterior, vectorul normal N⃗ devine versorul normal n⃗, prin normare, adică n⃗ = 1

||N⃗ ||N⃗ .

Dar, t, inı̂nd cont că avem relat, ia ı̂ntre diferent, iale d� = ||N⃗ ||dudv, rezultă că obt, inem:

∫ΣV⃗ ⋅ n⃗d� = ∫

ΣV⃗ ⋅

1||N⃗ ||

N⃗ ⋅ ||N⃗ ||dudv = ∬DV⃗ ⋅ N⃗ dudv.

3amintit, i-vă, produsul vectorial al doi vectori este un vector perpendicular pe planul dat de cei doi factori

57

11.4 Parametrizări uzualeUrmătoarele formule de parametrizare pot folosite ı̂n calcule:(1) Sfera: Fie R > 0 s, i (u, v) ∈ D = [0, �] × [0, 2� ). Parametrizarea sferei Φ = Φ(u, v) este:

Φ(u, v) = (R sin u cos v, R sin u sin v, R cos u);

(2) Elipsoidul: Fie a, b, c > 0 s, i (u, v) ∈ D = [0, �] × [0, 2� ). Parametrizarea elipsoidului este:

Φ(u, v) = (a sin u cos v, b sin u sin v, c cos u);

(3) Paraboloidul: Fie a > 0, ℎ > 0 s, i (u, v) ∈ D = [0, ℎ] × [0, 2� ). Parametrizarea paraboloiduluieste:

Φ(u, v) = (au cos v, au sin v, u2);

(4) Conul: Fie ℎ > 0 s, i (u, v) ∈ D = [0, 2� ) × [0, ℎ]. Parametrizarea conului este:

Φ(u, v) = (v cos u, v sin u, v);

(5) Cilindrul: Fie a > 0, 0 ≤ ℎ1 ≤ ℎ2 s, i (u, v) ∈ [0, 2�] × [ℎ1, ℎ2]. Parametrizarea cilindrului este:

Φ(u, v) = (a cos u, a sin u, v).

11.5 Exercit, ii1. Calculat, i vectorii tangent, i s, i versorul normalei la suprafet, ele parametrizate din sect, iunea

anterioară.

2. Să se calculeze integrala de suprafat, ă de prima spet, ă:

∫Σf (x, y, z)d�,

unde f (x, y, z) = y√z, iar Σ ∶ x2 + y2 = 6z, z ∈ [0, 2].

3. Folosind integrala de suprafat, ă, calculat, i aria suprafet, ei Σ, unde:

Σ ∶ 2z = 4 − x2 − y2, z ∈ [0, 1].

4. Calculat, i uxul cı̂mpului vectorial V⃗ prin suprafat, a Σ pentru:

V⃗ = yi⃗ + xj⃗ + z2k⃗, Σ ∶ z = x2 + y2, z ∈ [0, 1].

5. Calculat, i ∫Σ!, unde:

58

(a) • ! = ydy ∧ dz + zdz ∧ dx + xdx ∧ dy;• Σ ∶ x2 + y2 = z2, z ∈ [1, 2].

(b) • ! = x(z + 3)dy ∧ dz + yzdz ∧ dx − (z + z2)dx ∧ dy;• Σ ∶ x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0.

6. Calculat, i uxul cı̂mpului:

V⃗ = (x + y)dy ∧ dz + (y + z)dz ∧ dx − 2zdx ∧ dy

prin emisfera Σ ∶ x2 + y2 + z2 = 4, z > 0.

11.6 Formula lui StokesAceastă ultimă formulă integrală ne permite să schimbăm o integrală curbilinie de spet, a a douacu una de suprafat, ă de spet, a a doua.

Fie Σ o suprafat, ă cu bord (frontieră) s, i e o 1-formă diferent, ială� = Pdx + Qdy + Rdz,

care este de clasă C1 ı̂ntr-o vecinătate a lui Σ.Notăm frontiera lui Σ prin )Σ, care este o curbă (conturul suprafet, ei) sau, mai precis, un drum

neted.Are loc formula lui Stokes:

∫)ΣPdx + Qdy + Rdz = ∫

Σ()R)y

−)Q)z )

dy ∧ dz + ()P)z

−)R)x )

dz ∧ dx + ()Q)x

−)P)y)

dx ∧ dy.

În notat, ie vectorială, dacă asociem cı̂mpul vectorial V⃗ = (P, Q, R) 1-formei diferent, iale � ,atunci formula lui Stokes se scrie:

∫)ΣV⃗ ⋅ dr⃗ = ∫

Σ(∇ × V⃗ ) ⋅ n⃗d�,

unde ∇× V⃗ = rotV⃗ se numes, te rotorul cı̂mpului vectorial, calculat cu ajutorul produsului vectorial

formal ı̂ntre operatorul diferent, ial ∇ = ())x

,))y

,))z)

s, i cı̂mpul V⃗ = (P, Q, R).

11.7 Exercit, ii

7. Să se calculeze, folosind formula lui Stokes, integrala curbilinie ∫

� pentru cazurile:

(a) � = (y −z)dx +(z −x)dy +(x −y)dz, iar curba este frontiera suprafet, ei Σ ∶ z = x2+y2, z = 1;

(b) � = ydx + zdy + xdz, iar curba este frontiera suprafet, ei Σ ∶ x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 0.

59

11.8 Resurse suplimentareFormula Green-Riemann, formula Gauss-Ostrogradski s, i formula Stokes se numesc, ı̂ngeneral, formule integrale. Pentru coerent, ă, le-am introdus ı̂n capitolele potrivite, ı̂n loc să lededic un capitol separat.

Recomand materialele Prof. Purtan, care cont, in exercit, ii rezolvate complet:

• integrale de suprafat, ă;

• formule integrale.

60

https://adrianmanea.xyz/docs/18-19-etti-am1/purtan-int-sup.pdfhttps://adrianmanea.xyz/docs/18-19-etti-am1/purtan-f-int.pdf

SEMINAR 12

EXAMEN 2018–2019

12.1 Numărul 11. Să se ae valorile extreme ale funct, iei:

f (x, y) = x2 + y2 − 3x − 2y + 1

pe mult, imea K ∶ x2 + y2 ≤ 1.

2. Calculat, i ∫∞

0

dxx4 + 1

.

3. Să se calculeze volumul corpului mărginit de suprafet, ele:{z = x2 + y2

2 = x2 + y2 + z2.

4. Să se calculeze uxul cı̂mpului V⃗ = (x + z2, y + z2, −2z) prin suprafat, a x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0.

5. Să se calculeze aria suprafet, ei:

Σ = {(x, y, z) ∣ x2 + y2 + z2 = R2, z ≥ 0} ∩ {(x, y, z) ∣ x2 + y2 ≤ Ry}.

(Aria lui Viviani)

61

12.2 Numărul 21. Să se ae valorile extreme ale funct, iei:

f (x, y) = x ⋅ y, pe K ∶ 2x2 + y2 ≤ 1.

2. Calculat, i ∫∞

0

dxx3 + 1

.

3. Să se calculeze volumul corpului obt, inut prin intersect, ia suprafet, elor:{2 = x2 + y2 + z2

z2 = x2 + y2, z ≥ 0

4. Să se calculeze aria suprafet, ei 2 − z = x2 + y2, z ∈ [0, 1].

5. Calculat, i uxul cı̂mpului vectorial V⃗ = q4� ⋅r⃗r3 prin:

(a) Sfera centrată ı̂n origine s, i cu rază R > 0;

(b) Orice suprafat, ă Σ ı̂nchisă, care nu cont, ine originea.

Observat, ie: r⃗ = (x, y, z) s, i r = ||r⃗ || =√x2 + y2 + z2.

(Legea lui Gauss)

12.3 Restant, ă1. Studiat, i convergent, a seriei de puteri:

∑n≥1