Marco Bolzon I Simulazione – Seconda prova –...

Marco Bolzon

I Simulazione – Seconda prova – Fisica

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Problema n. 1

In laboratorio di fisica, con il tuo gruppo, devi realizzare alcuni esperimenti per la verifica del feno-meno dell’induzione magnetica, utilizzando l’onda triangolare fornita da un generatore di funzioni.

Collegate al generatore un solenoide avente 3600 spire/m e inserite al suo interno, al centro, una bobina compatta costituita da 80 spire avente un diametro di 4,0 cm, in modo tale che il campo magnetico →B al centro del solenoide sia parallelo all’asse della bobina. Il solenoide può essere at-traversato da una intensità di corrente massima pari a 0,30 A.

L’andamento della corrente nel solenoide in funzione del tempo è rappresentato in figura (si considera l’induttanza trascurabile).

Marco Bolzon

I Simulazione – Seconda prova Fisica

Figura 1

V

V0

0

–V0

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 t(s)


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I Simulazione – Seconda prova – FisicaMarco Bolzon

a) Determina l’intensità massima del campo magnetico che il solenoide può produrre al suo in-terno.

b) Descrivi qualitativamente e quantitativamente la f.e.m. presente ai capi A e B della bobina, e fai un grafico dell’andamento di questa f.e.m. in funzione del tempo.

c) Analizza il campo magnetico generato dalla bobina, e fai un confronto con quello generato dal solenoide.

Pensate anche di collegare una resistenza R = 2 kΩ ai capi della bobina.

d) Calcola il valore dell’energia dissipata su R in un tempo pari a 10 minuti, ed esponi il metodo utilizzato (induttanza e resistenza della bobina sono trascurabili).

Il tuo amico Michele propone poi di collegare un multimetro digitale direttamente al generatore di funzioni per misurare la tensione efficace Veff

, dalla quale ottenere il valore massimo V0 della

tensione del generatore: V0 = 2V

eff. Tu proponi una relazione diversa per il calcolo di V

0 e le mi-

sure sperimentali ti danno ragione: dal voltmetro ottieni Veff

= 2,44 V; con l’oscilloscopio misuri V

0 = 4,2 V.

e) Spiega queste misure con un procedimento fisico-matematico.

Figura 2 Figura 3

Function generator

ΔV

A

B

i

i0

0

–i0

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 t(s)


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La documentazione in dotazione con lo spettroscopio riporta la formula di Balmer, scoperta dall’omonimo fisico svizzero nel 1885:

/ , , ,a m m n n m n a m2 3 645610>2 2 2 7m = - = = -^ h

a) Descrivi il significato fisico della misura ottenuta, calcolando il valore m e l’energia dei fotoni emessi. Lo spettro registrato contiene anche altre righe le cui lunghezze d’onda non sono calcolabili

mediante la formula di Balmer. Purtroppo nella documentazione non c’è nulla che possa aiutarti, quindi devi ricavarti una relazione adatta allo scopo. Giacomo, tuo compagno di viaggio, afferma che non è possibile: la legge di Balmer e le leggi della spettroscopia in genere sono leggi empiriche. Tu, invece, ricordi bene il legame tra la spettroscopia e la teoria quantistica applicata ai modelli atomici. b) Riporta i passaggi principali del modello atomico di Bohr, calcola il cosiddetto “raggio di Bohr”,

evidenziando il significato fisico delle ipotesi effettuate.Giacomo si mostra ancora scettico riguardo alle tue considerazioni, così gli spieghi che potete

usare i dati sperimentali ottenuti per verificare il modello di Bohr, che è valido per tutti gli atomi idrogenoidi (atomi ionizzati aventi un nucleo di carica Ze con Z numero atomico e un unico elettrone, come He+, Li++, … )c) Ricava l’espressione che esprime l’energia dell’elettrone di un atomo idrogenoide nei diversi

livelli energetici En = –Z2 me e4 / n2 8h2 ε02 e applicala per verificare la misura sperimentale.A questo punto Giacomo vuole verificare se le informazioni riportate nella documentazione dello

strumento di misura si possono ottenere a partire da quanto gli hai spiegato.d) Verifica la formula di Balmer e il valore della costante.

6750

4500

2250

4800 5300 5800 6300 6800 7300 7800 8300

Hβ4861 A

Hα6563 A

wavelenght (A)

Figura 4

Problema n. 2

Fai parte dell’equipaggio di una missione spaziale e stai esaminando lo spettro di emissione di una stella: la riga più intensa è quella relativa all’idrogeno, chiamata H-a e lo strumento di misura ti fornisce una lunghezza d’onda di 656,3 nm.


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Quesiti

1. Andrea ti racconta di aver assistito all’esperimento del cosiddetto “disco di Barlow”: un disco conduttore ruota attorno a un asse fisso, in presenza di un campo magnetico. Un galvanometro è collegato, da un lato con l’albero di rotazione e, dall’altro, mediante un contatto strisciante, con l’orlo del disco.

Mentre il disco è in rotazione l’amperometro rileva la presenza di corrente indotta, nonostante il flusso attraverso il circuito rimanga costante. Rassicuri Andrea mostrandogli quanto scritto dal cele-bre fisico Richard P.Feynman (premio Nobel per la fisica nel 1965): “La regola del flusso in questo caso non funziona. Deve essere applicata a circuiti nei quali il materiale del circuito resta lo stesso: quan-do il materiale del circuito cambia occorre ritornare alle leggi fondamentali” [The Feynman Lectures on Physics, vol. II, Parte 1, pag. 17-5, Addison-Wesley]. Considera la forza applicata agli elettroni di conduzione in movimento, quelli che si trovano nel tratto del disco AB appartenente al circuito col-legato con il galvanometro, e spiega come si origina la corrente misurata dall’amperometro.

2. Hai a disposizione un magnete permanente cilindrico di sezione 3 cm2, lunghezza l = 50 cm, e una bobina della stessa lunghezza avente 4000 spire che può contenere, al suo interno, il magnete. Considera costante il campo magnetico all’interno del magnete, B = 8,3 . 10-2 T, e tra-scurabile all’esterno. Spiega come puoi ottenere, ai capi della bobina, la forza elettromotrice del seguente grafico:

MAGNETE

GALVANOMETRO

DISCOCONDUTTORE

NS

A

B

Figura 5

Figura 6

12

0

–12

t0 2t0 t

fem (mV) bobina


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3. Nelle seguenti foto puoi osservare l’interno di due diversi carica-cellulare, aventi una struttura molto simile. Spiega qualitativamente il ruolo degli elementi che riesci a riconoscere, e le leggi fisiche alla base del funzionamento del dispositivo. In particolare soffermati sul ruolo del nucleo ferromagnetico.

4. La foto seguente mostra una bobina collegata a un generatore in c.a. (frequenza 50 Hz). Il multi-metro digitale a destra misura la tensione efficace ai capi della bobina, mentre quello di sinistra la corrente efficace. Spiega dal punto di vista fisico, anche solo qualitativamente, come mai il valore della corrente misurata non è uguale al rapporto tra la tensione e il valore della resistenza della bobina. Effettuando la misura in c.c. pensi di ottenere gli stessi valori?

Figura 7

Figura 8


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5. Un laser di intensità 1mW e lunghezza d’onda 632,8 nm emette un fascio luminoso cilindrico di 2 mm di diametro: determina l’intensità media dell’onda elettromagnetica. Il fascio laser col-pisce una superficie perfettamente assorbente: calcola l’energia trasmessa in 30 secondi e la pressione di radiazione. Cosa cambia se la superficie è perfettamente riflettente? Determina inoltre l’energia di ciascun fotone emesso.

6. Dall’interno della tua astronave Morpheus, che ha i motori spenti e che non risente in modo ap-prezzabile di alcun campo gravitazionale, osservi l’astronave Neo che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a te. Dall’osservazione misuri che l’orologio a bordo di Neo rallenta di 8 s per ogni minuto segnato dal tuo orologio di bordo: determina la velocità dell’astronave Neo nel tuo sistema di riferimento. Se un membro dell’equipaggio della Neo effettua la stessa misura, ottiene i tuoi stessi risultati? A un certo punto la tua astronave si mette in moto con velocità 0,65c nella stessa direzione ma con verso opposto rispetto all’altra astronave: determina la velocità della Neo misurata nel tuo sistema di riferimento.

7. In una pubblicazione leggi quanto segue: ITER is a large-scale scientific experiment that aims to demonstrate the technological and scientific feasibility of fusion energy. Twentieth-century fusion scien-ce has identified the most efficient fusion reaction to reproduce in the laboratory setting: the reaction between two hydrogen (H) isotopes, deuterium (D) and tritium (T):

2H + 3H à 4He + n

Le masse sono, nell’ordine: 2,014102u; 3,016049u; 4,002603u e 1,008665u, dove u è l’unità di massa atomica u = 1,66 . 10 –27 kg. Determina l’energia liberata dalla reazione, esprimendola in MeV.

Supponendo di ricavare il deuterio dall’acqua e ipotizzando che la sua presenza sia dello 0,01% rispetto agli atomi di idrogeno totali presenti (1 atomo di deuterio ogni 10.000 atomi di idroge-no), calcola la massa di deuterio e la massa minima d’acqua necessaria per il funzionamento di una centrale elettrica da 1 GW, per un anno.

Trova l’abbassamento del livello del lago di Garda, corrispondente al prelievo della quantità d’ac-qua calcolata, sapendo che la sua superficie è di 370 km2.

8. Una sorgente di onde elettromagnetiche emette radiazioni che possiamo considerare monocro-matiche a una lunghezza d’onda di 45 nm. Discuti l’efficacia del suo utilizzo negli esperimenti per lo studio dell’effetto fotoelettrico e per lo studio degli spettri atomici, effettuando una com-parazione dal punto di vista fisico.

9. Prendiamo in esame l’esperimento mentale (gedankenexperiment) il-lustrato in figura, nel quale si vuole determinare la traiettoria di una particella. Un dispositivo lancia un elettrone con una velocità oriz-zontale v all’interno di una camera dove è stato fatto il vuoto. Per “vedere” (misurare) la traiettoria, viene accesa una lampadina che emette fotoni aventi frequenza f come indicato in figura. Il fotone che colpisce l’elettrone viene rilevato tramite un sensore. Discuti l’esperimento e, in particolare, spiega l’evoluzione del concetto di traiettoria in meccanica quantistica.

10. Spiega che cosa s’intende in meccanica quantistica per “collasso della funzione d’onda” e pro-poni un esempio.

v'

v' RIVELATORE

e–

e–

e–

nf

Figura 9


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Soluzioni

Problema 1

a) L’intensità massima del campo magnetico all’interno del solenoide è:

, ,B ni TmA m A mT4 10 3600 0 30 1 30 0 07 1 1$ $ $ .n r= = - - -^ ^ ^h h h

b) L’andamento del campo magnetico del solenoide in funzione del tempo è lo stesso della corren-te, già rappresentato nel grafico del testo (onda triangolare):

( ) ( )B t n i t0 $ $n=

L’andamento è periodico, con periodo T = 0,02 s (quindi f = 1/T = 50 Hz). Nel primo semiperiodo (da 0 s a 0,01 s) il campo magnetico aumenta linearmente nel tempo, da –B

0 a +B

0. Per essere

più precisi, il modulo del campo magnetico diminuisce fino a 0,005 s, istante in cui si annulla, e poi aumenta fino a raggiungere il valore +B

0. Ai capi della bobina è presente quindi una f.e.m.

indotta generata dalla variazione del flusso del campo magnetico concatenato con la bobina:

( ) ( )t N t N S fdtd

B emB&$ $U U

= =-

L’andamento lineare di B crea una f.e.m. costante in tutto l’intervallo da 0 s a 0,01 s (infatti il valore della derivata in un punto coincide con il coefficiente angolare della tangente alla “curva” nel punto stesso e quindi, nel caso di una retta, il coefficiente angolare è lo stesso in tutti i pun-ti). Si ottiene la f.e.m. dividendo la variazione del flusso totale nel tratto considerato per il valore dell’intervallo di tempo:

,

,,f

t tB N S

fs

T mmV

20 01

2 1 3 10 80 2 1027 3em

Bem

0

3 2 4 2

&$ $ $ $ $ $ $ $

.r

DDU

D=- =- =- -

- -^ ^h h

Nel successivo semiperiodo, da 0,01 s e 0,02 secondi, la variazione del flusso ha lo stesso valore, ma di segno opposto, quindi la f.e.m. in-dotta sarà +27,3 mV.

Il grafico sotto rappresenta l’anda-mento della f.e.m. indotta ai capi AB della bobina, e può essere confron-tato con l’andamento della corrente nel solenoide riportata nel secondo grafico.

i Solenoide

i0

0

–i0

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 t(s)0,06

femAB Bobina

f0

0

–f0

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 t(s)0,06

Figura 10


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c) L’andamento del campo magnetico è descritto in figura.

Assimilando la bobina a un solenoide ideale l’intensità del campo magnetico →Bb al suo interno è costante, mentre il verso cambia ogni semiperiodo: infatti il verso della corrente indotta nella bobi-na è tale da opporsi, tramite il flusso del campo magnetico da essa stessa pro-dotto, alla variazione che l’ha generata. Quindi il vettore campo magnetico della bobina →Bb è sempre opposto al vettore variazione campo magnetico →B del so-lenoide e si inverte ogni semiperiodo.

d) Sulla resistenza R viene dissipata ener-gia per effetto Joule. La differenza di potenziale applicata alla resistenza è, in valore assoluto, costante, quindi la dissipazione avviene con una potenza costante pari a: P = V2/R.

L’energia dissipata in 10 minuti è:

,

,,E P t

Rf

tV

s J2 0 10

27 3 1010 60 2 2 10

em2

3

3 2

4

$

$$ $.D D

X= = =

-

-^ ^h h

Il generatore di funzioni applica il segnale in tensione riportato nel testo.

Si tratta di un segnale alternato e variabile nel tempo, quindi la potenza istantanea disponibile continua a variare, anche se in modo periodico. Il voltmetro fornisce la misura del valore efficace della tensione, che permette di calcolare la potenza media su intervalli di tempo “grandi” (almeno 2 ordini di grandezza) rispetto al periodo del segnale e, di con-seguenza, l’energia fornita dal generatore nell’intervallo di tempo Dt è calcolabile nel seguente modo:

E P tRV

tmeff2

D D= =

e) Si deve calcolare il valore medio del quadrato del segnale V(t) del generatore. Sfruttando le proprietà di simmetria e periodicità del segnale possiamo effettuare il calcolo in un intervallo di tempo pari a T/4 e dedurre dal grafico in figura la forma analitica del segnale (T = 0,02 s):

( ) ( )V tTVt V t

TVt

4 160 2

2

022

&= =

Dovendo calcolare la media di una funzione continua ricorriamo al teorema della media inte-grale:

/

( )

VT

V t dt

4eff

T

2

2

0

4

&=

#

i(t)

Generatore

Solenoide

Bobina

BS (t)

BB (t)

i0

0,01 0,02 t(s)

–i0

Figura 11

Figura 12

V

V0

0,0050t(s)


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/V

T

TVt dt

TV

t dtTV t

TV T V

4

4

4 43

43 4 3

eff

T

TT

2

2

2022

0

4

3

302

2

3

302

0

43

0

4

3

302

3

302

$$

= = = = =; E#

#

Quindi la relazione esatta tra Veff

e V0 è:

VV

V V3

3eff eff0

0+ $= =

Applicandola alla misura ottenuta con il voltmetro si ottiene:

, ,V V V3 2 44 4 20 $ .= ^ h

L’errore di Michele consiste quindi nel voler applicare la relazione valida per le tensione alterna-ta sinusoidale, presente nella rete elettrica delle nostre case, a questo segnale che, pur essendo alternato, ha un andamento temporale diverso e quindi fornisce una potenza media diversa.

Problema 2

a) Sussiste una relazione tra la frequenza f rilevata sperimentalmente dallo spettroscopio e l’ener-gia dell’elettrone nei livelli atomici: se un elettrone passa da un’orbita a energia maggiore E

2 a

un’orbita a energia minore E1 si ha: (E

2 – E

1) = h f , dove h è la costante di Planck.

Ricaviamo il valore di m dalla formula di Balmer:

, ,

,amm m am a m m

a m m

m

44 4 4

6 563 10 3 6456 10

4 6 563 1092

22 2 2 2

7 7

7

& & &$ $

$ $m m m m m

mm=

-- = - = =

-=

-=- -

-

^ ^ ^ ^^h h h h

h

Da cui si ottiene m = 3. L’energia di ciascun fotone emesso è:

,

,,

, /E hf hc

m

JsJ

m s

656 3 10

6 626 103 0 10

3 0 109

34

19

8

$

$$

$m

= = = =-

-

-

^^ ^

hh h

b) Il calcolo può essere effettuato utilizzando la fisica classica; la novità introdotta da Bohr riguarda la quantizzazione del momento angolare:

, con 1, 2, 3, ...L n h2r

=

Nel modello di Bohr l’atomo di idrogeno è costituito da una carica positiva ferma e da un’uguale carica di segno opposto in orbita circolare attorno a essa, a distanza r. Infatti, poiché la massa della carica positiva è quasi 2000 volte più grande di quella negativa, si fa coincidere il centro di massa del sistema a due corpi con il centro della carica positiva. Applicando la seconda legge della dinamica F = ma e scrivendo per F l’espressione della forza coulombiana tra le due cariche e per a l’accelerazione centripeta:

r

erm v

4e

02

2 2

rf= (1)

Uguagliando il momento angolare dell’elettrone in orbita circolare L mvr= con il momento an-golare quantizzato si ottiene:


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m vr n h vrmnh

2 2e

e

&r r

= =

Sostituendo quest’ultima espressione nella (1) ed esplicitando rispetto a r si ottiene:

r nm eh

n

e

2

2

20

rf

= (2)

Per n = 1 dal calcolo si ottiene il raggio di Bohr: r1 = 5,29•10-11 m.

c) Per un atomo idrogenoide bisogna sostituire nella (1) e nella (2) alla carica del protone +e la carica +Ze del nucleo composto da Z protoni. La (1) diventa:

r

Ze m v4

e0

22

rf= (3)

Mentre la (2) si scrive:

r nZ m eh

n2

22

20

rf

= (4)

Per ricavare l’energia dei diversi livelli bisogna sommare l’energia cinetica e l’energia potenziale dell’elettrone:

E K U m vr

Ze21

4e2

02

2

rf= + = - (5)

Utilizzando la (3) per l’energia cinetica si ottiene:

Er

Zer

Zer

Ze214 4 80

2

2

02

2

02

2

rf rf rf= - =-

Ora possiamo sostituire la relazione (4) che contiene la quantizzazione delle orbite:

E Zen hZ m e

8n

e

0

2

2 20

2

$rf f

r=-

Semplificando si ricava l’espressione dell’energia di ciascun livello energetico:

En hZ m e18

ne

2 202

2 4

f=- (6)

d) Per ricavare la formula di Balmer analizziamo la transizione di un elettrone dell’atomo di idro-geno (Z = 1) da un livello eccitato con numero quantico m>2 al livello n=2: la frequenza f della radiazione emessa soddisfa la seguente relazione:

hf E Em n= -

Sostituendo f = c/l e usando l’espressione (6) per le energie dei livelli:

h cm hm e

n hm e1

818

e e

2 202

4

2 202

4

m f f=- +

Esplicitando l e raccogliendo i termini simili:

h cm e

n m1

81 1e

302

4

2 2m f= -c m


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Questa relazione è nota come formula di Rydberg. Per ottenere la formula di Balmer dobbiamo farne il reciproco ricavando l:

m eh c

n mm n

m eh c

m nm8 8 4

e e4

302

2 2

2 2 1

4

302

2 2

2

m f f= - =

-

-

c m

Si ottiene quindi:

m eh c

m nm32

e4

302

2 2

2

m f=

-

L’ultima cosa che resta da verificare è il valore della costante:

,

,,

,

, / , /a

m eh c Js F m m s32

9 11 10

32 6 63 103 6 10

1 60 10

8 85 10 3 00 10

e4

302

31

34

7

19 4

3 34 8

$

$ $$

$ $

$ $ $ $f= = =-

-

-

-

-

^ ^^ ^ ^

h hh h h


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Soluzione dei quesiti

1) Nel disco di Barlow gli elettroni di conduzione che si trovano nel tratto AB ruotano con velocità istantanea →v perpendicolare al tratto AB e, quindi, su di essi agisce la forza di Lorentz dovuta alla presenza del campo magnetico, anch’esso perpendicolare a →v : →F = q →v x →B. La forza è diretta verso l’asse di rotazione del disco (verso il punto B). Si origina quindi una differenza di potenziale fra i due punti A e B, causata proprio dal moto degli elettroni. Collegando i punti A e B a un amperometro si chiude il circuito costituito dal tratto AB del disco, dai fili di collega-mento con il galvanometro e dalla parte di disco tra il contatto strisciante e B. La d.d.p. tra A e B è responsabile della corrente rilevata dall’amperometro. Questo caso è stato analizzato anche dallo stesso Faraday e costituisce una violazione alla “regola del flusso” (o legge di Faraday Neu-mann Lenz): si ha una corrente indotta in assenza di variazione del flusso del campo magnetico. La forza di Lorentz, che permette di spiegare il fenomeno, è invece una “legge fondamentale”, sempre valida.

2) Posizioniamo il magnete fermo all’esterno della spira. All’istante t = 0 lo mettiamo in moto con velocità costante v facendolo entrare all’interno della bobina: il flusso del campo magnetico concatenato con la bobina cresce linearmente con la posizione x del magnete rispetto a un estremo della bobina.

Si ha quindi B S NlxU = ` j

Per la legge di Faraday-Neumann e Lenz la forza elettromotrice f ai capi della bobina è:

fdtd

lB S N

dtdxU=- =- ` j

Il termine dx/dt rappresenta la derivata della posizione x occupata dal magnete rispetto al tem-po e rappresenta quindi la velocità v del magnete. Si ottiene la relazione:

( )vf

lB S N=-

da cui ricaviamo, in modulo, la velocità:

v,

,0,060 / 6,0 /

B S Nf l

T m

V mm s cm s

0 083 3 10 4000

12 10 0 54 2

3

$

$= = = =-

-

^ ^^ ^

h hh h

6 @

Se v è costante, lo è anche f. Se il magnete, dopo un tempo t0 = l / v = 8,3 s inizia a uscire dalla

bobina il flusso diminuisce con la stessa legge. Il valore delle f.e.m. è lo stesso, ma con segno opposto, fino al tempo 2t

0 = 16 s.

3) Il dispositivo che viene comunemente chiamato carica-cellulare, con chiaro riferimento alla sua funzione, è un trasformatore-raddrizzatore di tensione.

Nelle foto sono evidenti le due bobine, isolate tra loro da un punto di vista elettrico (sono completamente “circondate” da plastica). Una delle due bobine viene collegata alla presa di corrente, dove preleva la tensione alternata di rete a 230 V (circuito primario). La corrente alter-nata che l’attraversa genera un campo magnetico variabile concatenato con l’altra bobina: lì si genera così una f.e.m. indotta dalla variazione del flusso del campo magnetico, secondo la legge di Faraday-Neumann. La bobina del secondario funge quindi da “generatore” a bassa tensione per l’utilizzatore. Dalle foto risulta evidente che lo spessore dei fili conduttori nelle due bobine (anch’essi isolati elettricamente) è diverso. Infatti le due bobine si differenziano per il numero delle spire, che soddisfa il cosiddetto rapporto di trasformazione: V1

/V2 = N

1/N

2. Supponendo

una trasformazione ideale, senza perdite, si ha per la conservazione dell’energia: V1 i

1 = V

2 i

2.


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14


Abbassando la tensione, cresce l’intensità di corrente: avere fili più spessi limita il rischio che questi possano fondere per effetto Joule, sempre presente, danneggiando irreversibilmente il dispositivo.

Nelle foto è ben visibile la forma del nucleo ferromagnetico, che si trova all’interno delle bobi-ne, e che le avvolge completamente all’esterno. Il suo ruolo è fondamentale: le linee del campo magnetico generato dalla bobina del primario rimangono intrappolate al suo interno e si conca-tenano con l’altra bobina. Inoltre il valore di B viene amplificato di un coefficiente pari alla per-meabilità magnetica relativa. Si nota anche che il nucleo non è costituito da un unico elemento conduttore, ma da tante lamelle. Le singole lamelle sono incollate tra loro con materiale isolante (colla, resina, …) in modo da minimizzare le correnti parassite (di Foucault).

4) Per prima cosa è bene precisare che i valori indicati dagli strumenti di misura sono i valori effi-caci, dal momento che il generatore applica una tensione alternata con le stesse caratteristiche della tensione di rete (sinusoidale, uguale frequenza). Nella foto sono visibili la resistenza della bobina, 2kΩ e la sua induttanza L = 4 H. Considerando solo la resistenza della bobina e applican-do la legge di Ohm si ottiene il seguente valore per l’intensità di corrente:

,,i

RV V

mA2000

6 653 325R

DX

= = =^^

hh

Il valore sperimentale in figura è inferiore del 14%, troppo per essere imputato solo all’errore dovuto alla resistenza interna dell’amperometro. Deve esserci un fenomeno, nel circuito, che ha l’effetto di aumentare la resistenza: questa maggiore resistenza complessiva (equivalente) del circuito, fa circolare meno corrente. La causa è legata all’autoinduzione elettromagnetica della bobina: l’intensità di corrente che la attraversa è variabile nel tempo (in modo sinusoidale), e quindi anche il campo magnetico generato dalla bobina stessa è variabile

( ) ( )B t n i t0n=

Si ha una variazione nel tempo del flusso del campo magnetico concatenato con la bobina stessa (autoconcatenato). Quindi per la legge di Faraday-Neumann-Lenz si generano correnti indotte che si oppongono alla variazione del flusso che le ha generate: f.e.m. = – dF

B/dt. Questa oppo-

sizione si manifesta sperimentalmente come un aumento della resistenza. In effetti, volendo effettuare una verifica quantitativa dobbiamo calcolare l’impedenza Z della

bobina, tenendo conto sia della resistenza che della sua reattanza induttiva, utilizzando i valori nominali:

R L fL s H2 2 50 4 1257L1 $~ r r X= = = =-^ ^h h

,,Z R X i

ZV V

A23622362

6 652 81L

2 221

&X DX

= + = = = =^ ^h h

5) L’intensità è /IAP

m

WW m

10

103186 2

3

2

$r= = =-

-

^^

hh

I. Superficie perfettamente assorbente. Energia trasmessa alla superficie: E P t W s mJ10 30 303D= = =-^ ^h h

Pressione di radiazione:

,

/,

/pcl W

Pam s

m

3 0 10

3181 068

2

$n= = =^

^hh

II. Superficie perfettamente riflettente. , ,E p p Pa0 2 2 12 n= = =l l


© M

onda

dori

Edu

catio

n

15

© M

onda

dori

Edu

catio

n

15


L’energia del singolo fotone emesso è:

,

,,

, /E hf hc

m

JsJ

m s

632 8 10

6 626 103 1 10

3 0 109

34

19

8

$

$$

$ $m

= = = =-

-

-

^^ ^

hh h

6) Il sistema di riferimento Oxy dell’astronave Morpheus può essere considerato inerziale.

Applichiamo la dilatazione dei tempi prevista dalla relatività spe-ciale:

't

cvt

1 2

2D D=

-

Useremo, per comodità: 'cv t t

1 2&b

bD D= =

-

' ' ' ,tt

tt

tt1 1 1 1

6052 0 502 2

2

2

2

2

2

2

& & &b b bDD

DD

DD- = - = = - = - =

L’astronave Neo sta viaggiando ad una velocità di 0,50c rispetto alla Morpheus. La situazione a bordo della Neo è perfettamente simmetrica: in quel sistema di riferimento è

l’astronave Morpheus a muoversi con velocità –0,5c (in verso opposto) e, quindi, è l’orologio a bordo della Morpheus che è visto rallentare di 8 secondi ogni minuto, osservandolo dalla Neo.

Determiniamo adesso la velocità relativa di un’astronave rispetto all’altra, sia con la relazione classica di Galileo per la composizione di velocità, sia con la composizione relativistica delle velocità, confrontando i risultati.

Quando l’astronave Morpheus viaggia a –0,65c (la velocità viene misurata nel sistema di riferi-mento inerziale Oxy in cui, precedentemente, l’astronave era in quiete), in verso opposto alla Neo, la relatività classica porterebbe a un valore di velocità maggiore di quello della luce:

, , ,V c c c0 5 0 65 1 15= + =

Applichiamo la composizione relativista delle velocità:

''u

cu v

u v

1 x

2

=+

+

Poniamo: u = V

N = 0,5c: velocità della Neo mi-

surata nel sistema di riferimento Oxy (quello in cui, precedentemente, l’astronave Morpheus era in quiete);

u' = V'N = velocità (da determinare) del-

la Neo misurata nel nuovo sistema di riferimento O'x'y', solidale con l’astro-nave Morpheus in movimento;

v = VO’x’y’

= VM = – 0,65c: velocità del

nuovo sistema di riferimento O'x'y', cioè la velocità della Morpheus, misurata nel sistema di rife-rimento Oxy.

' ' ', 0,, ,

,ucuu v u v

cuv u u v u

cuv

u v

c

c cc c

c11 1

0 5 650 5 0 65

0 872 2

2 2

& &$

+ = + - = - =-

- =

--

+=` ^j h

In questo caso si ottiene una velocità minore di c.

0

y

xM

N VN

I. Morpheus “ferma”

Figura 13

Figura 14

0 x

yy'

x' 0'

M N

II. Morpheus in movimento

VMVN


© M

onda

dori

Edu

catio

n

16

© M

onda

dori

Edu

catio

n

16


7) L’energia liberata dalla reazione si ottiene calcolando il difetto di massa e moltiplicando per c2, come previsto dalla relatività di Einstein. La differenza tra le masse al primo e al secondo mem-bro è:

, , , , ,m u2 014102 3 016049 4 002603 1 008665 1 8883 10 2$D = + - + = -^ ^h h

L’energia è:

, , , / ,E m c kg m s J1 8883 10 1 66 10 9 00 10 2 82 102 2 27 16 2 2 12$ $ $ $ $ $D= = =- - -^ h

Per ottenere il risultato in MeV bisogna dividere per la carica dell’elettrone e per il fattore 106:

, /

,,E

ev J

JMeV

1 60 10

2 82 1010 17 619

12

6

$

$$= =-

-

-

^^

hh

Con un atomo di deuterio si ottiene un’energia di 17,6 Me. Calcoliamo quindi il numero minimo di atomi necessari per il funzionamento continuo per un anno di una centrale da 1 GW:

( ),

/,N H

J

J s s

2 82 10

10 365 24 36001 12 102

12

9

28

$

$ $ $$= =-

+

^^ ^

hh h

Dividendo per il numero di Avogadro otteniamo il numero di moli, da moltiplicare poi per la massa atomica, che approssimiamo con 2,0 g/mol:

( ),

,, / ,m H

molkg mol kg

6 02 10

1 12 102 0 10 37 22

23 1

28

3

$

$$ $= =-

-

^^ ^h

h h

Nell’ipotesi del testo abbiamo un atomo di deuterio ogni 104 atomi di idrogeno, vale a dire un atomo di deuterio ogni 5000 molecole d’acqua. Moltiplichiamo, quindi, il numero N di atomi di deuterio ottenuto precedentemente per 5000, e calcoliamo poi la massa d’acqua dividendo per il numero di Avogadro e moltiplicando per la massa molecolare (18,0 g/mol):

,

,, / ,m H O

molkg mol kg t

6 02 10

1 12 10 500018 0 10 1 67 10 16702 23 1

28

3 6

$

$ $$ $ $= = =-

-^ ^^ ^h h

h h

L’abbassamento del livello del lago di Garda che corrisponde a questa quantità è:

/

,,h

SV m

d S kg m m

kgm

10 370 10

1 67 104 5 103 3 6 2

6

6

$ $

$$= = = = -

^^

hh

Il risultato trovato (meno di 5 millesimi di millimetro) spiega perché le riserve di deuterio come combustibile vengano considerate inesauribili, in grado cioè di soddisfare per migliaia di anni l’intero fabbisogno energetico del pianeta.

8) I. Effetto fotoelettrico. L’esperimento evidenzia una frequenza di soglia f

0 al di sotto della quale non avviene l’emissione

del fotoelettrone: questo aspetto non trova spiegazione nell’ambito della fisica classica. Einstein formulò l’ipotesi che l’energia della radiazione fosse quantizzata. L’energia di ciascun fotone emesso dalla sorgente è:

,,

, /E hf hc J s

Jm s

45 10

6 626 104 42 10

3 00 109

34

18

8

$

$$

$m

= = = =-

-

-^ ^h h

Esprimiamo il risultato in elettronvolt, l’unità di misura utilizzata su scala atomica:

, /

,,E

J eVeV

1 60 10

4 42 1027 619

18

$$

= =-

-


© M

onda

dori

Edu

catio

n

17

© M

onda

dori

Edu

catio

n

17


È possibile effettuare l’esperimento con campioni che abbiano un potenziale di estrazione L0 = hf0 minore dell’energia del fotone. In tal caso l’energia cinetica con cui l’elettrone esce dalla super-ficie del campione è:

K E hf0= -

II. Spettri atomici. In questo caso, invece, la radiazione può provocare la transizione di un elettrone del campione

da un livello ad energia minore a uno a energia maggiore, solo se la differenza di energia DE uguaglia esattamente l’energia del fotone assorbito. Se invece l’energia del fotone è legger-mente maggiore o minore del “salto energetico”, il fotone non viene assorbito e la transizione non avviene. L’elettrone che si trova nello stato eccitato può successivamente ricadere in uno dei livelli permessi a energia inferiore, emettendo una radiazione di lunghezza d’onda ben defi-nita, evidenziata da una riga nello spettro rilevato sperimentalmente:

E hf E hcEhc

" "m

m= = =

9) Nell’ambito della meccanica classica l’errore sperimentale nella determinazione della posizione può essere reso più piccolo di una qualsiasi quantità fissata e. In questo caso si potrebbe ridurre l’errore prendendo lampadine con intensità luminose molto piccole (per limitare gli effetti della “pressione di radiazione” dell’onda elettromagnetica), aumentando il numero di osservazioni e utilizzando rivelatori sempre più sensibili. Inoltre si possono utilizzare lunghezze d’onda piccole per limitare eventuali effetti della diffrazione sul rivelatore. Classicamente non esiste un limite teorico all’errore sperimentale nella determinazione della posizione di una particella.

Heisenberg invece dimostrò che, in meccanica quantistica, questo limite esiste. Nel caso illu-strato, per la quantizzazione dell’energia, il fotone cede alla particella una quantità di moto ∆p dell’ordine di hf/c = h/l e la particella viene fatta deviare dalla sua traiettoria, come nell’effetto Compton. L’incertezza ∆x con cui la particella viene rilevata è dell’ordine della lunghezza d’onda l. Così si ottiene:

x p hx .D D

Aumentando il numero di osservazioni aumentano gli urti e la traiettoria della particella diventa disordinata, sempre meno definita. Per limitare le perturbazioni bisogna allora utilizzare luce o onde elettromagnetiche a bassa frequenza e, quindi, con elevata lunghezza d’onda. Questo au-menta però il disturbo dovuto alla diffrazione: sul rivelatore la traccia della particella non è più un puntino piccolo e facilmente localizzabile, ma una serie di cerchi di diffrazione, che possono anche sovrapporsi. Anche cercando il miglior compromesso per minimizzare i disturbi, si può dimostrare che il prodotto tra l’indeterminazione ∆x sulla posizione della particella e l’indeter-minazione ∆px

sulla sua quantità di moto lungo la stessa direzione x non può essere inferiore a:

x p h2

x $ rD D

Questa relazione esprime uno dei due principi di indeterminazione. L’ordine di grandezza del se-condo membro, 10–34, è talmente piccolo che rende l’effetto di indeterminazione trascurabile per le particelle classiche, con masse dell’ordine del grammo. Per l’elettrone (massa 10–30 kg) e per tutte le particelle elementari aventi masse così piccole, l’indeterminazione è tale da rendere impossibile l’individuazione della traiettoria. Si tratta di un limite teorico e non sperimentale. Per le particelle quantistiche non è più possibile quindi utilizzare espressioni come “la particella si trova nel punto di coordinate (x, y, z) al tempo t”, oppure “la traiettoria è una parabola”. A ogni particella è possibile, però, associare una funzione d’onda che indica la probabilità che la parti-cella si trovi in un certo volume dello spazio intorno al punto di coordinate (x, y, z) e in un certo intervallo di tempo Dt centrato intorno all’istante t.


© M

onda

dori

Edu

catio

n

18

© M

onda

dori

Edu

catio

n

18


10) L’equazione di Schroedinger permette di calcolare la fun-zione d’onda il cui modulo al quadrato fornisce informazio-ni circa la probabilità che la particella si trovi in un certo volumetto ∆V contenente il punto di coordinate (x, y, z) dello spazio fisico, e in un intervallo di tempo ∆t centrato attorno all’istante t. Prima che avvenga la misura il sistema può essere descritto in termini probabilistici con la fun-zione d’onda, sovrapposizione di tutti le possibili evoluzio-ni della particella nello spazio-tempo. L’atto della misura perturba il sistema e l’evoluzione della funzione d’onda e fa “trovare” la particella in una determinata posizione, in un certo istante. Si passa da una sovrapposizione di stati possibili a uno stato certo, quello misurato.

Tutte le altre possibili evoluzioni del sistema, non misu-rate, diventano impossibili, sono escluse dalla misura: in questo senso si parla di “collasso della funzione d’onda”.

Lanciando elettroni, uno per volta, su uno schermo con due fenditure si osserva, come nell’esperimento di Young, una figura di interferenza. La figura viene prodotta dalla fun-zione d’onda dell’elettrone-onda, che è la sovrapposizione di tutte le possibili evoluzioni dell’elettrone: elettrone che passa nella fenditura di sinistra, elettrone che passa nella fenditura di destra, elettrone che collide con lo schermo e non passa, ecc.

Se, però, viene inserito un rivelatore che permette di osservare (misurare) da quale fenditura passa l’elettrone, la figura di interferenza scompare: la funzione d’onda collassa e si rende certo il passaggio per una precisa fenditura. Il risultato sperimentale coincide con la descrizione clas-sica, quella che si otterrebbe lanciando palline attraverso due fenditure.

Figura 15

Figura 16

figuradi interferenza

fotone oelettrone

Esempio: Interferenza a elettrone singolo

Rivelatore


Marco Bolzon I Simulazione – Seconda prova –...

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