Ingranaggi conici, processi tecnologici di taglio/rettifica, micro-geometria delle ruote dentate

Meccanica Applicata alle Macchine

3 Maggio 2013

UNIVERSIT DI PISA

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale (DICI)

Alessio Artoni

Ingranaggi CONICI

denti dritti

denti obliqui

denti a spirale

Ingranaggi spiroconici e ipoidi

coppia conica per assi incidenti

(coppia spiroconica)

coppia conica per assi sghembi

(coppia ipoide)

coni primitivi

iperboloidi primitivi

Ingranaggi spiroconici e ipoidi

Modulo power take-off(motore turbofan GE F404)

Differenziale posteriore(BMW)

SPIROCONICI

applicazioni aeronautichee automotive (spinte: F1)

IPOIDI

applicazioni automotive

Ingranaggi spiroconici e ipoidi: applicazioni automotive

Ingranaggi spiroconici e ipoidi: applicazioni aerospace

Ingranaggi spiroconici e ipoidi: applicazioni marine

Generazione ingranaggi spiroconici/ipoidi

Generazione virtuale per inviluppo con ruota pianoconica

Schema concettuale per taglio Generated

Lutensile materializza un dente della ruota pianoconica.

[ingranaggio spiroconico, face-hobbing, altezza dente costante]

Corona (Formate)

Pignone(Generated)

Utensile per il taglio del pignone con generazione per inviluppo (Generated)

Utensile per il taglio della corona con generazione per

inviluppo (Generated)

Schema concettuale per taglio Formate

Lutensile materializza (il negativo di) un dente della corona(qui il concetto di ruota pianoconica non viene utilizzato).

[ingranaggio spiroconico, face-hobbing, altezza dente costante]

Utensile per il taglio di forma della corona

(Formate)

Corona (Formate)

Pignone(Generated)

Utensile per il taglio del pignone con generazione per inviluppo (Generated)

Esempio di processo di taglio ingranaggi cilindrici

Taglio con shaper (coltello Fellows)

Video:http://www.youtube.com/watch?v=_j6KQ96YZM0

Esempi di processo di taglio ingranaggi cilindrici

Taglio con hob (creatore)

Video:http://www.youtube.com/watch?v=yXAXvAXFwN0

Esempio di ciclo di lavoro ingranaggi cilindrici

Video:http://www.youtube.com/watch?v=XZgsV0AZJJ0

Esempio di rettifica ingranaggi cilindrici

Rettifica con mola a vite

Video:http://www.youtube.com/watch?v=lLZfN734MIc

Tipico layout per taglio ingranaggi conici

Principali metodi di taglio ingranaggi conici

Face-milling(single indexing)

Face-hobbing(continuous indexing)

Metodo face-milling per taglio ingranaggi spiroconici/ipoidi

Video:http://www.youtube.com/watch?v=tNks3OdE-FE

Metodo face-milling per rettifica ingranaggi spiroconici/ipoidi

Metodo face-hobbing per taglio ingranaggi spiroconici/ipoidi

Video:http://www.youtube.com/watch?v=7paLPW3CjEs

Il differenziale

Filmato del 1937 prodotto dalla Chevrolet Motor Division (General Motors)

Video:http://www.youtube.com/watch?v=yYAw79386WI

Il differenziale Torsen

Video:http://www.youtube.com/watch?v=Z9iPqIQ_8iM

Un fatto

Nella quasi totalit delle ruote dentate cilindriche usatenellambito della trasmissione di potenza, puri profili aevolvente non esistono.

In generale, la micro-geometria di tutti i tipi di ruote dentatenominalmente in contatto di linea viene modificata per averecontatto nominale di punto.

Perch le micro-correzioni?

Linee di contatto nominali su denti dritti ed elicoidali (profili a evolvente)

Cosa accade in caso di deformazioni elastiche dei denti edisallineamenti (errori di montaggio, deformazioni elastichesotto carico dei supporti, imperfezioni costruttive)?

In caso di disallineamenti, il contatto potrebbe trasferirsiirrimediabilmente sugli spigoli del dente (edge-contact)

Contact Stress Distribution

Torque = 1000 lbf-in (113 N-m)

(MPa)

1647157815101441137213041235116710981029961892823755686618549480412343274206137690

Perch le micro-correzioni?

(ruota a denti dritti, 1 sola coppia di denti in presa)

Un metodo molto usato per stabilizzare il contatto nelleruote a denti dritti la bombatura del dente (lead crowning)

Bombatura del dente

Esempio di pignone con bombatura (estrema)

Per le ruote dentate cilindriche, la bombatura pressochindispensabile anche lungo il profilo. Si parla quindi di profilecrowning e lead crowning

Bombatura del dente

Storicamente, profile crowning e lead crowning hanno avutocome obiettivo principale quello di tenere la zona dei contattisufficientemente lontana dai bordi ed evitare edge-contact.

I denti sono deformabili sotto carico. Si flettono.

Perch le micro-correzioni?

Per evitare urti, necessario introdurre una spoglia suldente, cio rimuovere materiale (alterando il profilo aevolvente) nella zona di testa (tip relief) e/o nella zona dipiede (root relief).

denti in presa, flessi

denti indeformati

rischio di collisione prematura

backlash

Spoglia del dente

Tip relief Tip relief e end relief

Errori geometrici, disallineamenti, deformabilit, urti, ecc.causano errori di trasmissione, principale causa dirumorosit e vibrazioni delle ruote dentate.

Perch le micro-correzioni?

Tip relief, end relief, lead crowning e profile crowningpossono essere usati efficacemente per minimizzare lerroredi trasmissione.Oltre a questi tipi di modifiche micro-geometriche neesistono altre, pi sofisticate, dette di ordine superiore.

( ) ( ) ( )r th r ct p p p c

p

ze

z

Consentono di distribuire il contatto in modo da sfruttarebene la fascia attiva del dente ed evitare edge-contact.

Importanza delle micro-correzioni

Alleviano lentit degli urti durante la presa di contatto.

Consentono di minimizzare lerrore di trasmissione.

Consentono di ridurre lo sforzo di flessione a piede dente(bending stress).

Massimizzazione vita a fatica della coppia.

Minimizzazione rumorosit e vibrazioni.

Massimizzazione densit di potenza trasmissibile.

Profilo utensile modificato (rispetto a quello necessario pertagliare denti a evolvente).

Realizzazione pratica delle micro-correzioni

Le micro-correzioni prescritte (entit variabili tra 10 e 400 m)risultano accurate solo se realizzate mediante rettifica.

Moti macchina modificati (durante il taglio di generazioneper inviluppo).

Sono necessari strumenti di calcolo (ad es. FEM) in grado distimare con accuratezza i parametri del contatto (pressioni dicontatto, contact pattern, errori di trasmissione, ecc.)

Come si stabilisce lentit delle micro-correzioni?

necessario formulare il problema in questione come unproblema di ottimizzazione, con opportuni obiettivi, le cuivariabili di progetto coincidano con i valori ottimali daassegnare alle micro-correzioni.

NON ESISTONO FORMULE (sensate).Lentit delle correzioni fissata tipicamente sulla base diesperienza individuale, know-how aziendale, trial and error.

Multi-objective Ease-off Optimization of Hypoid Gearsfor Their Efficiency, Noise and Durability Performances

11th ASME International Power Transmission and Gearing Conference

August 28-31, 2011, Washington, DC, USA

Alessio Artoni1 (speaker),Marco Gabiccini1, Massimo Guiggiani1, and Ahmet Kahraman2

1 University of PisaDept. of Mechanical, Nuclear and Production Engineering

Pisa, Italy

2 The Ohio State UniversityGear and Power Transmission Research Laboratory

Columbus, Ohio, USA

Motivation 1/22

An ease-off topography

Micro-geometry (ease-off) optimization can remarkablyenhance gear performance (especially, contact propertiesand transmission error).

Micro-geometry optimization has long been a tedious time-consuming (and costly) trial-and-error procedure.

(m)

Motivation 2/22

Micro-geometry optimization involves often conflictingobjectives, as well as design constraints.

Several software packages exist to accurately perform loaded tooth contact analysis, but they are mostly used a posteriori, to test some tentative tooth flank modification.

Transmission error (motion graph)

Contact pressure distribution

Our goal 3/22

To devise an automatic method to accurately optimize the ease-off topography of (hypoid) gears

in the presence of conflicting objectives

in the presence of constraints

including the available LTCA program in the loop.

Fundamentals of multi-objective optimization (MOO) 4/22

Space of the decision variables Space of the objectives

Pareto frontfeasible region F

MOO problems generally have infinitely many solutions: the so-calledPareto-optimal solutions, which form the Pareto front. For each of them, it isimpossible to reduce one objective further without necessarily increasingsome other objective.

(conflicting objectives,to be minimized)

A nave approach to MOO 5/22

In gear literature, optimal solutions have typically been sought by solving

(scalarization through weighting)

This has strong limitations:

non-convex Pareto front extreme case

feasible objective region

Selected MOO method: achievement function 6/22

Projection of any reference point onto the Pareto front can be obtained byminimizing a special scalarizing function called achievement function

We specify an arbitrary reference point (desirable values for the objective functions,known by the gear engineer):

infeasible reference point feasible reference point

where the selected achievement function is

Pareto front exploration: reference point method 7/22

Exploring the Pareto front is often useful to the gear practitioner to compare different(but equally optimal) trade-off solutions.

The reference point method

Handling constraints 8/22

In problem

the feasible region F is determined by the problem constraints, which can be of theform

general nonlinear constraints:

bounds on the design variables:

To solve such a constrained problem, an exact penalty function formulation wasfound to be successful:

penalty parameter

single-objective,bound-constrained problem

F

F

What can easily go wrong 9/22

Objective functions and constraints:

PPLTE

profile crowning

ca. 5 m tip removal

estimation of partial derivatives is unreliable

spurious local minima

Classical optimization algorithms cannot be used

are computed by LTCA programs they are nonsmooth.

are generally nonlinear they may be multimodal (have multiple local minima)

obtained solutions may not be Pareto-optimal

a feasible problem may appear infeasible

A GLOBAL optimization method would be needed

Optimization algorithm requirements 10/22

To obtain a Pareto-optimal solution, an optimization algorithm is needed thatcan solve

Such an algorithm must meet the following requirements:

be able to globally solve bound-constrained problems

handle nonsmooth (discontinuous) objective functions

be as computationally efficient as possible

Selected global optimization algorithm: DIRECT 11/22

Extensive investigations of modern global nonsmooth optimization identified anappropriate method:

Features:

be able to globally solve bound-constrained problems

It is a global optimization method, and it requires bound constraints

handle nonsmooth (discontinuous) objective functions

It is based on a direct search technique: no smoothness is assumed

be as computationally efficient as possible

It is quite efficient on lower-dimensional problems (say, up to 20 variables)

The DIRECT algorithm

Implementation for hypoid gears 12/22

DIRECT global optimization algorithm,with bound constraint handling

(implemented with archive to minimize function calls)

LTCAinterface to LTCA (input)

interface to LTCA (output)

achievement function

exact penalty function problem

optimal ease-off

solution satisfactory?

NO

gen

erat

e n

ew r

efer

ence

po

ints

YES

design variables(and their bounds)

objective functions(efficiency, pmax, LTE)

initial reference point

constraints(allowable contact area, max ease-off)

normalizing coeffs., convergence

parameters, and other numerical parameters

INPUT

OUTPUT

Design variables 13/22

We need to be able to control the micro-geometry, namely the ease-off topography:

ease-off(m)

it is represented here as apolynomial surface up to the4th degree

it can be expressed by:4 4

0 0

( , ; ) i ji

i

i j

jm u v x u v

x

The polynomial coefficients xij are our design variables (up to 14), to be determined:

01 02 40( , , , )x x xx

Sets of design variables used in tests 14/22

VARIABLES FOR TEST 1

5 design variables, first- and second-degree ease-off coefficients:

pressure angle

profile crowningspiral angle

twist (or warping)

lengthwise crowning

VARIABLES FOR TEST 2

14 design variables: third- and fourth-degree ease-off coefficients are added.

Objective functions 15/22

In the following numerical application, three (concurrent) objective functions werechosen:

average efficiency loss

pmax, maximum contact pressure

LTE, transmission error under load

The LTCA program used to evaluate the objective functions is the Hypoid AnalysisProgram (HAP), developed at The Ohio State University:

LTCA model: Kolivand, M., and Kahraman, A., 2009. A load distribution model for hypoid gearsusing ease-off topography and shell theory. Mech. Mach. Theory, 44(10), pp. 1848-1865.

Efficiency model: Kolivand, M., Li, S., and Kahraman, A., 2010. Prediction of mechanical gearmesh efficiency of hypoid gear pairs. Mech. Mach. Theory, 45(11), pp. 15681582.

Constraints 16/22

We need to avoid edge-loading.

( ) 0L xROOT

TO

E

Allowable Contact Area (ACA)

We require that the total load L actingoutside a pre-specified ACA be zero:

One should comply with ANSI/AGMA 2005-D03 standard, Annex F, which specifies:

min ACAmax ACA

Sample face-hobbed gear set for numerical tests 17/22

Basic design data Value

Ratio 11:43

Offset (mm) 30.0

Shaft angle (deg) 90.0

Nominal torque (Nm) 250.0

Nominal assembly errors E = 0.0 mm

P = 0.0 mm

G = 0.0 mm

= 0.0 deg

Nominal operating conditions

Pinion speed (RPM) 2000

Lubricant type 75W90

Lubricant temperature (C) 90

Pinion surface Rq roughness (m) 1.34*

Gear surface Rq roughness (m) 1.67*

*values for lapped surfaces, derived from:Masseth, J., and Kolivand, M., Lapping and superfinishing effects on hypoid gears surface finish and transmission errors, Proc. of the ASME IDETC/CIE 2007 Conference, Sept. 4-7, 2007, Las Vegas

Basic design conditions (drive side) 18/22

(Basic design obtained from Gleason Special Analysis File)

average efficiency loss = 4.93% (i.e., 95.07% efficiency)

pmax, maximum contact pressure = edge-contact

LTE, loaded transmission error (RMS) = 27.7 rad

edge-loading

gear contact pattern

initial ease-off

Reference points 19/22

Initial reference point:

Three additional reference points are then generated by the reference point method:

4.93% 4.00%

edge-contact 1100 MPa

27.7 rad 0.0 rad

basic design

Results of TEST 1 (5 design variables) 20/22

= basic design values

Results of TEST 2 (14 design variables) 21/22

= basic design values

Conclusions 22/22

A simulation-based optimization method has been proposedto obtain Pareto-optimal ease-off topographies for hypoidgears with high accuracy.

Different (equally optimal) Pareto-optimal solutions can be obtained through reference points.

Gear engineers can choose among a number of trade-off solutions, eventually selecting the one that is most appropriate for their application.

Numerical tests confirmed that contact pressures, loaded transmission error and also efficiency can be concurrently optimized by proper ease-off modifications.

Identificazione dei parametri macchina/utensile ottimali

Una volta determinata la micro-geometria ottimale, comerisalire ai valori dei parametri macchina/utensile con cuigenerare tecnologicamente tale micro-geometria? un problema di cinematica inversa (identificazione deiparametri).

Modello cinematico del generatore ipoide (Gleason)

Vettore dei parametri macchina

Modello del generatore cradle-style

Universal Motion Concept (UMC)

modified roll

vertical motion

helical motion

ecc

Modello del profilo mola

Modello matematico del processo di generazione

La superficie inviluppo generica del dente espressa da

famiglia inviluppante

equation of meshing

dove il vettore dei parametri macchina.

La superficie di base del dente generata con (parametri macchina di base ease-off nullo).

Il vettore normale alla superficie , con

La superficie target del dente generabile con i parametri incogniti(parametri macchina target ease-off prescritto).

Per la modellazione del metodo face-milling stato adottato lapproccio invariante, che non richiede sistemi di riferimento.

Definizione di ease-off target

Superficie target

Superficie di base

Griglia standard 5 x 9 (sul fianco attivo)

Discretizzazione del problema:

Vettore ease-off target (valori assegnati ai vari punti griglia):

Punti target:

Definizione di ease-off residuo

Con valori generici dei parametri macchina :

calcolabile risolvendo il seguente sistema di 4 equazioni scalari

in 4 incognite:

Superficie target

Superficie di base

Superficie intermedia

Si ottiene

Formulazione come problema NLS (nonlinear least squares)

Lo scopo minimizzare il vettore di ease-off residuo

ovvero minimizzarne una qualche norma. Se si sceglie la norma euclidea, il problema quello di trovare che fornisca il minimo della funzione obiettivo (scalare)

Si tratta di un problema non lineare di ottimizzazione non vincolata ai minimi quadrati (NLS).

una funzione (residuo) fortemente non lineare, ed tale che

Per risolvere il problema NLS, il metodo diLevenberg-Marquardt con trust-region si rivelato il pi efficace.

In caso di failure di una coppia spiroconica aeronautica

Un recente progetto di ricerca DICI

Ottimizzazione micro-geometria ingranaggi spiroconici pertransfer gearbox (TGB) ed inlet gearbox (IGB) dei motoriturbofan General Electric GEnx.

Applicazioni:

Boeing 787 Dreamliner Boeing 747-8 Intercontinental/Freighter

Alcuni riferimenti bibliografici:

F.L. Litvin, A. Fuentes, Gear Geometry and Applied Theory, 2nd edition, CambridgeUniversity Press, NewYork, USA, 2004

J. Klingelnberg (Ed.), Kegelrder: Grundlagen, Anwendungen, Springer Verlag, 2007

H.J. Stadtfeld, Handbook of Bevel and Hypoid Gears, Rochester Institute of Technology,Rochester, NY, USA, 1993

La rumorosit degli ingranaggi (2a parte), http://www.biancogianfranco.com, 2012