M. Parvis Gennaio 2004 - sermis.polito.it · L’incertezza con cui sono caratterizzati i resistori...

Esercizi sulla propagazione delle incertezze

M. Parvis

Gennaio 2004

Indice

1 Questa dispensa..... 6

2 Regole generali su come affrontare i problemi (nella vita edin sede di esame) 72.1 Modalita di svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Modello deterministico o probabilistico . . . . . . . . . . . . . 72.3 Presentazione dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Esercizi svolti 93.1 Resistenze in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.6 Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Incertezza di un partitore - I parte . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.1 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.2 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.3 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.4 Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Incertezza di un partitore - II parte . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.6 Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Scelta di un metodo di misura - I parte . . . . . . . . . . . . . 203.4.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

3.4.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.6 Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.5 Produzione di una misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.5 RISPOSTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5.6 SOLUZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Esercizi generici sul calcolo delle incertezze 314.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Esercizi sull’uso degli strumenti di base 345.1 Caratteristiche degli strumenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1.1 Oscilloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.1.2 Voltmetro a vero valore efficace . . . . . . . . . . . . . 355.1.3 Voltmetro a valore medio . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.4 Voltmetro di picco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.5 Voltmetro in continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.6 Strumenti ad indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2

5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 Altri esercizi 576.1 Scelta di un metodo di misura - II parte . . . . . . . . . . . . 57

6.1.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.1.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.1.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.1.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.1.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.2 Misura della componente alternata di un segnale . . . . . . . . 596.2.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3 Errori nel ponte di Wheatstone - I parte . . . . . . . . . . . . 616.3.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.4 Errori nel ponte di Wheatstone - II parte . . . . . . . . . . . . 626.4.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.5 Errori nel ponte di Wheatstone - III parte . . . . . . . . . . . 636.5.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3

6.5.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.5.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.5.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.5.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.6 Misura di un carico induttivo ad alto cosφ - I parte . . . . . . 656.6.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.6.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.6.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.6.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.6.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.7 Misura di un carico induttivo ad alto cosφ - II parte . . . . . . 676.7.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.7.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.7.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.7.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.7.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.8 Misura di un carico induttivo a basso cosφ - I parte . . . . . . 686.8.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.8.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.8.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.8.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.8.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.9 Misura di un carico induttivo a basso cosφ - II parte . . . . . 696.9.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.9.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.9.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.9.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.9.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.10 Determinazione della resistenza interna di un voltmetro . . . 706.10.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.10.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.10.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.10.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.10.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.11 Dimensionamento di un partitore - I parte . . . . . . . . . . . 716.11.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.11.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.11.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.11.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.11.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.12 Dimensionamento di un partitore - II parte . . . . . . . . . . . 72

4

6.12.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.12.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.12.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.12.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.12.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.13 Dimensionamento di un partitore - III parte . . . . . . . . . . 736.13.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.13.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.13.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.13.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.13.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.14 Misura di una piccola resistenza - I parte . . . . . . . . . . . . 746.14.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.14.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.14.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.14.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.14.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.15 Misura di una piccola resistenza - II parte . . . . . . . . . . . 756.15.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.15.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.15.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.15.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.15.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.16 Propagazione di grandi errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.16.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.16.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.16.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.16.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.16.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.17 Errori nel ponte di Wheatstone - IV parte . . . . . . . . . . . 786.17.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.17.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.17.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.17.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.17.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.18 Resistenze in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.18.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.18.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.18.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.18.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.18.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

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Capitolo 1

Questa dispensa.....

Questa dispensa e stata pensata per facilitare l’apprendimento del tratta-mento dell’incertezza nelle misure (elettroniche e non). In questa dispensasono contenuti piu di 50 problemi sul trattamento dell’incertezza simili aquelli che lo studente potrebbe trovarsi a dover affrontare sia nella vita sia,nell’immediato, in fase di superamento dell’esame.

In particolare questa dispensa contiene:

• problemi svolti

• problemi di tipo generale non legati al mondo elettronico

• problemi legati all’impiego della strumentazione elettronica di base

• problemi di approfondimento

Questa dispensa NON contiene la teoria della misura e del trattamentodell’incertezza.

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Capitolo 2

Regole generali su comeaffrontare i problemi (nella vitaed in sede di esame)

2.1 Modalita di svolgimento

Nessun risultato e accettato se mancano i passaggi logico-matematici cheportano a tale risultato, anche se il risultato e corretto . In mancanza deipassaggi intermedi il problema viene considerato completamente non risolto.

2.2 Modello deterministico o probabilistico

Se il testo non indica diversamente

• Se tutte le incertezze sono fornite secondo il modello determinstico,impiegare il modello deterministico.

• Se anche una sola incertezza e fornita secondo il modello probabilistico,impiegare il modello probabilistico.

Se e necessario convertire un’incertezza espressa secondo il modello deter-ministico in un’incertezza espressa secondo il modello probabilistico e il testonon dice diversamente, ipotizzare una distribuzione di probabilita uniforme(rettangolare).

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2.3 Presentazione dei risultati

I risultati del problema, come per ogni misurazione, devono essere fornitiin modo corretto e utile per chi deve impiegare la misura, che non deveessere costretto ad eseguire calcoli e conversioni per arrivare a decodificare ilrisultato secondo quanto desiderato. In particolare

• Impiegare il corretto numero di cifre significative e scrivere il risultatocompleto di unita di misura e di incertezza in una delle forme accettate.

• Se il testo non dice altrimenti, ed ove possibile, si puo indifferente-mente esprimere l’incertezza in modo assoluto o relativo; diversamenteesprimere l’incertezza secondo quanto richiesto.

• Se il testo richiede il risultato in una specifica unita di misura ed unospecifico multiplo o sottomultiplo e obbligatorio impiegare quella unitadi misura e quel multiplo o sottomultiplo.

• Unita non SI possono essere accettate solo se il testo del problemarichiede espressamente il loro uso.

• Se non specificato diversamente i tempi si misurano in secondi. Se vienerichiesto un risultato in giorni, ore o minuti e obbligatorio convertireil risultato in tali unita ricordando che non e accettabile impiegare lefrazioni di ora ecc.. (esempio 3.25 ore non e un risultato accettabile, sideve eseguire obbligatoriamente la conversione in 3 h 15’).

• Convenzionalmente un mese vale 30 giorni ed un anno vale 365 giorni.

Il mancato rispetto delle regole di presentazione dei risultati comportauna penalizzazione sul giudizio dell’esercizio

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Capitolo 3

Esercizi svolti

Questi esercizi svolti affrontano diversi problemi principalmente metodologiciutili per comprendere le implicazioni della produzione di una misura. Sonodiscussi sia il trattamento deterministico sia il trattamento probabilisticodell’incertezza. Per la comprensione completa di questi esercizi e necessarioche l’allievo abbia seguito le lezioni sulla propagazione dell’incertezza e suglistrumenti di base ed abbia le conoscenze dei corsi obbligatori di matematicae fisica piu le nozioni base di elettrotecnica. Lo svolgimento degli eserciziriportati al capitolo 4 non richiede di aver compreso a fondo le problematichedi questo capitolo.

3.1 Resistenze in serie

Un esempio utile per verificare i diversi comportamenti dei metodi per espri-mere l’incertezza viene da un semplice caso in cui si proceda alla creazionedi un resistore di elevato valore a partire dalla serie di un numero opportunodi resistori di valore inferiore.

3.1.1 PROBLEMA

Determinare l’incertezza di un resistore da 10MΩ ottenuto dalla serie di 10resistori da 1MΩ

3.1.2 DATI

Resistori 1MΩ± 1%

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3.1.3 DOMANDE

Determinare l’incertezza del resistore da 10MΩ in modo deterministico e conl’analisi statistica dell’incertezza.

3.1.4 COMMENTI

L’incertezza con cui sono caratterizzati i resistori e di tipo B e deve esseretrattata di conseguenza.

3.1.5 RISPOSTE

• Incertezza calcolata in modo deterministico: 1%

• Incertezza calcolata in modo probabilistico ed ipotesi di distribuzio-ne di probabilita rettangolare 0.18%(1σ) , nel caso di distribuzionetriangolare 0.13%(1σ)

3.1.6 Soluzione

La prima operazione da compiere, sia si decida di operare secondo il modelloprobabilistico, sia si decida di operare secondo il modello deterministico,e esprimere la grandezza cercata in funzione delle grandezze misurate. Inquesto caso l’equazione e molto semplice, riconducendosi ad una semplicesommatoria:

Rtot =∑10

i=1Ri

Le derivate della funzione (ovvero i coefficienti ci ) sono parimenti sempliciin quanto tutte unitarie.

Dal punto di vista deterministico quindi lo scarto massimo di Rtot esemplicemente pari alla somma degli scarti, che per ipotesi sono tutti uguali:

∆Rtot = 10∆Ri

Lo scarto massimo relativo di Rtot e quindi identico alla scarto massimodei singoli resistori impiegati e quindi pari all’1%:

∆Rtot

Rtot= 10∆Ri

Rtot= 10∆Ri

10Ri= ∆Ri

Ri

Dal punto di vista probabilistico l’incertezza tipo combinata di Rtot , nel-l’ipotesi che le incertezze che affliggono i singoli resistori siano indipendenti,e:

uc(Rtot) =√∑10

i=1u2c(Ri)

Per la stima dell’incertezza tipo u(Ri) dei singoli resistori e necessarioricorrere a informazioni a priori e quindi si e in presenza di una stima dell’in-certezza di tipo B, che e dichiarata nella forma: il valore e R±a . Come visto

10

in precedenza, la stima dell’incertezza si basa su una scelta della distribuzionegeneralmente assunta di tipo rettangolare o triangolare.

Le due scelte portano ai seguenti risultati:

Distribuzione Incertezza tipo Incertezza tiporelativa

Rettangolare u(Ri) =√

a2

3=

√(0.01Ri)

2

3= 5.8kΩ u(Ri)

Ri= 0.58%

Triangolare u(Ri) =√

a2

6=

√(0.01Ri)

2

6= 4.1kΩ u(Ri)

Ri= 0.41%

L’incertezza tipo combinata di Rtot diventa quindi:

Distribuzione Incertezza tipo comb. Incertezza tiporelativa comb.

Rettangolare u(Rtot) =√

10u2(Ri) = 18kΩ u(Rtot)Rtot

= 0.18%

Triangolare u(Ri) =√

10u2(Ri) = 12kΩ uc(Ri)Ri

= 0.13%

Un confronto empirico dei risultati determinati nel caso di incertezzacalcolata secondo il metodo deterministico e probabilistico si puo otteneredeterminando il fattore di copertura necessario per ottenere che l’incertezzatipo estesa sia espressa da un numero identico allo scarto massimo.

Distribuzione Fattore dicopertura pereguaglianza neisingoli resistori

Fattore dicopertura pereguaglianzanel resistoresomma

Rapporto tra ifattori di coper-tura

Rettangolare 1.7 5.5√

10 ≈ 3.2

Triangolare 2.4 7.6√

10 ≈ 3.2

In questo esempio, in cui compaiono incertezze tutte della stessa entita, ilmetodo di caratterizzazione statistica produce una contrazione dell’incertezzadi una entita pari alla radice quadrata del numero dei termini coinvolti equindi di circa tre volte. Se si fosse analizzata una serie di cento resistori, lariduzione sarebbe stata pari a dieci volte e cosı via.

L’osservazione che sorge spontanea e evidentemente: e corretto che l’in-certezza continui a decrescere (indefinitamente) all’aumentare del numero diresistori? Evidentemente, se davvero si ipotizza che i contributi di incertezzasiano indipendenti, la cosa e apparentemente ragionevole, ma e altrettantoragionevole che:

11

• I resistori siano in qualche modo parenti tra loro, cioe ad esempio pro-vengano da uno stesso costruttore e quindi il loro valore effettivo, purse certamente compreso nella fascia dichiarata dal costruttore, appar-tenga ad una distribuzione che non e esattamente centrata sul valoremedio.

• I resistori siano stati misurati per confronto con un campione che ha unasua propria incertezza, che pero e sempre la stessa (anche nel segno) pertutti i resistoriIn altre parole e le incertezze che affliggono i resistori nonsono scorrelatee dunque in dovrebbe essere impiegata l’equazione distima dell’incertezza in cui sono tenute in conto le correlazioni. L’effettodella correlazione e quello di porre un limite alla riduzione di incertezzaottenibile con il metodo probabilistico: se la correlazione fosse unitarianon si avrebbero riduzioni, con valori di correlazione tra uno e zero lariduzione cresce via via fino a raggiungere il valore precedentementecalcolato.

A questo punto pero nasce il problema di conoscere (o determinare) la cor-relazione esistente tra i diversi resistori e questo puo essere ottenuto:

• Tramite conoscenze a priori, ad esempio legate ai processi produttividegli oggetti, al tipo di controlli di qualita cui i resistori sono sottoposti,al tipo di campione utilizzato per definire il loro valore, al fatto che iresistori appartengano tutti ad una stessa partita ovvero siano statifabbricati in tempi diversi, ecc. Si tratta chiaramente di informazionimolto complesse e delicate, che richiedono una analisi assolutamentenon facile.

• Tramite determinazione del fattore di correlazione per mezzo di mi-surazioni. Anche questo e un procedimento molto delicato, che passaattraverso la misurazione del valore dei resistori (e di altri resistori dellostesso tipo) al fine di evidenziare anomalie, come ad esempio un valoremedio non corrispondente al centro della fascia. Pero, se tali misura-zioni sono fatte con il livello di accuratezza necessario, non vi e ragionedi non impiegare i valori misurati in luogo di quelli nominali ed as-segnare ad essi l’incertezza corrispondente alla misurazione effettuata,trasferendo cosı il problema su un altro piano.

Si puo dunque concludere che il problema e di difficilissima soluzione equindi, salvo casi particolarmente fortunati, l’unico consiglio che si puo daree quello di prestare estrema attenzione agli effetti per cosı dire secondari,ogniqualvolta una analisi od elaborazione statistica tende a ridurre in modoconsiderevole l’incertezza di una misura.

12

3.2 Incertezza di un partitore - I parte

I partitori vengono sovente impiegati per variare (diminuire) valori di ten-sione. L’incertezza del rapporto puo essere molto piccola se il rapporto dipartizione e prossimo ad uno.

PROBLEMA

Determinare l’incertezza del rapporto di attenuazione K ottenuto con unpartitore di tensione.

3.2.1 DATI

• Partitore di tensione formato da due resistori R1 ed R2 connessi in serie.Uscita del partitore ai capi del resistore R2

• Prima condizione R1 = 9900Ω± 1% R2 = 100Ω± 1%

• Seconda condizione R1 = 100Ω± 1% R2 = 9900Ω± 1%

DOMANDE

Determinare l’incertezza con cui si ottiene il rapporto di partizione nei duecasi

3.2.2 COMMENTI

3.2.3 RISPOSTE

• Nel primo caso si ha K = 0.01 ± 0.8%(1σ) (e 2% con il metododeterministico)

• Nel secondo caso si ha K = 0.99 ± 0.008%(1σ) ( 0.02% con il metododeterministico)

3.2.4 Soluzione

Il modello a cui si fa riferimento e:

K = R2

R1+R2

13

Quindi i valori richiesti del rapporto di partizione sono, nei due casi:

K1 = 0, 01K2 = 0, 99

Il modello si presenta sotto forma di rapporto; cio potrebbe far pensare distimare l’incertezza semplicemente come:

x = ab⇒

Mod.deterministico : εx = εa + εb

Mod.probabilistico :(

u(x)x

)2=

(u(a)

a

)2+

(u(b)

b

)2

dove ε rappresenta l’incertezza relativa associata alla grandezza indicata apedice.

Cio e SBAGLIATO! Le formule sono valide solo se a e b sono indipen-denti , cosa che non si verifica nell’esempio in esame. In questo caso e quindinecessario procedere al calcolo dell’incertezza a partire dalla derivazione dellaformula che esprime la grandezza richiesta in funzione delle grandezze misu-rate (o di cui si conosce il valore). Si noti che pero, come sovente accade,e possibile aggirare la necessita di calcolare esplicitamente le derivate dellafunzione purche si proceda ad alcune elaborazioni matematiche. Si tratta, inpratica, di eliminare la dipendenza reciproca di numeratore e denominatore;cio si ottiene esprimendo il rapporto di partizione come:

K = 1

1+R1R2

A questo punto, prima di procedere alla stima dell’incertezza, giova ricor-dare le formule presentate a lezione valide per modelli di tipo somma:

x = a± b⇒ Mod.deterministico : ∆x = ∆a + ∆bMod.probabilistico : uc(x)2 = u2(a) + u2(b)

dove ∆ rappresenta l’incertezza assoluta associata alla grandezza indicataaccanto.

Le formule presentate1 si prestano bene alla stima dell’incertezza nelcaso in esame: l’unica accortezza richiesta e che le si applichi al modelloriformulato nel modo indicato.

Secondo il modello deterministico si ha:

1L’importanza di disporre di formule che semplifichino i passaggi di calcolo (in questocaso eliminando il calcolo di derivate, che talora possono essere piuttosto complesse) nonva trascurata: si vengono cosı a minimizzare le possibilita di errori di calcolo e di errori dibattitura sulla calcolatrice quando si sostituiscono i valori numerici in formule complicate.

14

εK = ε1 + ε1+

R1R2

= ε1+

R1R2

← ε1 = ∆11

= ∆1 = 0

dal che si puo verificare che, come gia dovrebbe essere noto, l’incertezza rela-tiva associata ad una grandezza e uguale a quella associata al suo reciproco;lo stesso vale, naturalmente, se l’incertezza e stimata in modo probabilistico.

E, ricordando che ∆x = εxx , si ha che:

εK =∆

(1+

R1R2

)1+

R1R2

= R2

R1+R2

(∆1 + ∆

(R1

R2

))=

= K∆(

R1

R2

)= K R1

R2εR1

R2

= R1

R1+R2(εR1 + εR2)

Quindi, sostituendo i valori numerici dati, si ha che:

εK,1 ≈ 2%εK,2 = 0, 02%

Secondo il modello probabilistico si ha:

(uc(K)

K

)2=

(u(1)

1

)2+

u

(1+

R1R2

)1+

R1R2

2

=

u

(1+

R1R2

)1+

R1R2

2

=

= K2(u2(1) + u2

(R1

R2

))=

= K2u2(

R1

R2

)= K2

(R1

R2

)2 (u2(R1)

R21

+ u2(R2)R2

2

)=

=R2

1

(R1+R2)2

(u2(R1)

R21

+ u2(R2)R2

2

)

Quindi:

u2c(K) =

(R1R2

(R1+R2)2

)2 (u2(R1)

R21

+ u2(R2)R2

2

)Da cui, sostituendo i valori numerici dati (e trattando l’incertezza sulle resi-stenze come contributo di tipo B, con distribuzione rettangolare), si ha che,grazie alla simmetria della formula ricavata rispetto ad R1 ed R2 , l’incertez-za tipo combinata assoluta e la stessa per ciascun valore di K :

uc,1,2(K) ≈ 8 · 10−5

Quindi:

uc,1(K)

K≈ 0, 8%

uc,2(K)

K≈ 0, 008%

15

3.3 Incertezza di un partitore - II parte

L’uso di resistori con comportamento simile nei confronti delle grandezze diinfluenza consente di minimizzare gli effetti di tali grandezze

3.3.1 PROBLEMA

Determinare l’incertezza del rapporto di attenuazione K ottenuto con unpartitore di tensione.

3.3.2 DATI

• Partitore di tensione formato da due resistori R1 ed R2 connessi in serie.Uscita del partitore ai capi del resistore R2

• Resistori R1 = R2 = 5000Ω± 1% a 20C

• Coefficiente di temperatura dei resistori α = 0.4%(C−1)±4·10−4(C−1)

3.3.3 DOMANDE

Determinare l’incertezza con cui si ottiene il rapporto di partizione nel casodi operazioni con temperature comprese tra 10C e 30C

3.3.4 COMMENTI

3.3.5 RISPOSTE

K = 0.5± 0.4%(1σ) ( ±1.4% con il metodo deterministico)

3.3.6 Soluzione

Il modello a cui si fa riferimento e:

K = R2(1+α2∆t)R1(1+α1∆t)+R2(1+α2∆t)

Quindi il valore nominale (ossia a 20C , per ∆t = 0 ) del rapporto dipartizione e:

K = 0, 5

17

L’incertezza della misura di K, indipendentemente dal fatto che si usi unmodello probabilistico o deterministico per la sua stima, consta di due con-tributi, uno legato all’incertezza sulle resistenze ed uno legato all’incertezzasui coefficienti di temperatura (si osserva che non e presente il termine diincertezza dovuto a ∆t in quanto non si tratta di un valore misurato2, madel parametro in funzione delle cui variazioni si vuole valutare la variazionedell’incertezza di misurazione di K).

I due contributi citati possono essere confrontati, verificando che il secon-do e trascurabile rispetto al primo.

A questo scopo si devono calcolare le derivate dell’equazione di modellorispetto ai quattro parametri ( R1, R2, α1, α2 ), valutandone i valori in corri-spondenza dei valori nominali dei parametri stessi, che sono forniti come datidel problema. Ponendo R = R1 = R2 e α = α1 = α2 , risulta per il modellodeterministico:

∆KR = 14

∆R1+∆R2

R; ∆Kα = 1

4∆t(∆α1+∆α2)

(1+α∆t)

Per il calcolo dei corrispondenti valori numerici, si puo osservare che, trattan-dosi di un’operazione finalizzata alla stima dell’incertezza, e lecito compierealcune approssimazioni (ed ovviamente lo stesso vale per il modello probabi-listico); in particolare, se α∆t 1 (cosa che si verifica nel caso proposto), siha che:

∆Kα ≈ 14∆t(∆α1 + ∆α2)

Quindi, poiche

∆R1 = ∆R2 = 50Ω∆α1 = ∆α2 = 4 · 10−4(C−1)

si conclude che

∆KR ≈ 5 · 10−3

∆Kα ≈ 2 · 10−3 ⇒ ∆K = ∆KR + ∆Kα = 7 · 10−3 ⇒ ∆KK

= 1, 4%

2Ovviamente cio non significa che a ∆t deve essere associata un’incertezza nulla: alcontrario, dal momento che i suoi valori estremi costituiscono un’indicazione di massimadell’intervallo operativo di interesse, si deve ritenere che i risultati ottenuti svolgendo l’eser-cizio possano essere applicati anche a temperature ad essi vicine. Un’incertezza dell’ordinedel 20% sui valori di ∆t forniti puo in questa fase essere considerata ragionevole.

18

Secondo il modello probabilistico si ha invece:

u2c,R(K) = u2(R1)+u2(R2)

16R2

u2c,α(K) = ∆t2 u2(α1)+u2(α2)

16R

E, poiche

u2(R1) = u2(R2) ≈ 833Ω2

u2(α1) = u2(α2) ≈ 5, 3 · 10−8(C−2)

si conclude che

uc,R(K) ≈ 2 · 10−3

uc,α(K) ≈ 8 · 10−4 ⇒ uc(K) =(u2

c,R(K) + u2c,α(K)

) 12 = 2, 1 · 10−3

⇒ uc(K)K≈ 0, 4%

19

3.4 Scelta di un metodo di misura - I parte

Sovente nell’esecuzione di una misura si e nella condizione di scegliere diverseconfigurazioni e strategie tutte idonee ad ottenere il risultato richiesto seb-bene con diverse accuratezze. In questo esercizio si osservera come diversiparametri, in genere secondari, possano condizionare la scelta del metodomigliore.

3.4.1 PROBLEMA

Misurare la corrente che fluisce in un circuito misurando la caduta di tensioneche essa provoca ai capi di uno shunt. Sono disponibili due shunt di valorediverso ed un voltmetro elettronico.

3.4.2 DATI

• Voltmetro elettronico con tre portate: FS = 1V ; 10V ; 100V , incertezzadichiarata dal costruttore nella forma ∆V = 0.01%lettura+0.001%FS; resistenza di ingresso infinita

• Shunt tipo A: RA = 100Ω accuratezza dichiarata dal costruttore εRA=

0.01%

• Shunt tipo B: RB = 1000Ω accuratezza dichiarata dal costruttore εRB=

0.015%

• Valore nominale della corrente 1mA

3.4.3 DOMANDE

Determinare l’incertezza con cui si misura la corrente utilizzando i due re-sistori di shunt e indicare quale di essi consente di ottenere l’incertezzaminore.

3.4.4 COMMENTI

L’incertezza di misura del voltmetro e data con una formula binomia (termineassoluto piu termine relativo). Con strumenti per cui l’incertezza sia data conformule di questo genere si ha una incertezza relativa complessiva che cresceal diminuire del valore letto a causa della presenza del termine assoluto, ilcui peso relativo e maggiore quando si utilizza lo strumento all’inizio dellascala. In questo esercizio, non avendo a disposizione portate inferiori ad 1V ,

20

le condizioni di migliore impiego del multimetro saranno quelle con lo shuntdi valore piu elevato; d’altra parte lo shunt di valore piu elevato, e affetto daun maggiore incertezza e quindi la decisione di quale configurazione utilizzarenon e evidente prima di svolgere i calcoli.

3.4.5 RISPOSTE

• Impiegando lo shunt A si ha una incertezza (distribuzione rettangolare)pari a uc(I) = 1.3 · 10−4 ( 3 · 10−4 con il metodo deterministico)

• Impiegando lo shunt B si ha una incertezza (distribuzione rettangolare)uc(I = 1.1 · 10−4 ( 2.6 · 10−4 con il metodo deterministico)

• Conviene quindi impiegare lo shunt B che, pur essendo di qualita infe-riore, porta il voltmetro elettronico a lavorare a fondo scala e quindi incondizioni migliori.

3.4.6 Soluzione

La prima operazione da fare e esprimere il misurando in funzione delle gran-dezze effettivamente misurate:

I = VR

L’espansione in serie di Taylor di tale formula e:

∆I = 1R∆V − V

R2 ∆R

L’incertezza sulla corrente espressa secondo il modello deterministico e:

∆I = 1R∆V + V

R2 ∆R

Dove nel caso si utilizzi lo shunt da 100Ω si ha:

∆V100 = 10−4 · 0.1 + 10−5 · 1 = 2 · 10−5V∆R100 = 10−4 · 100 = 0.01Ω

Mentre per lo shunt da 1000Ω si ha:

∆V1000 = 10−4 · 1 + 10−5 · 1 = 1.1 · 10−4V∆R1000 = 1.5 · 10−4 · 1000 = 0.15Ω

21

e quindi:

∆I100 = 2·10−5

100+ 0.01·0.1

1002 = 3 · 10−7V ⇒ ∆I100I

= 3 · 10−4

∆I1000 = 1.1·10−4

1000+ 0.15·1

10002 = 2.6 · 10−7V ⇒ ∆I100I

= 2.6 · 10−4

Se si impiega il modello probabilistico l’incertezza sulla corrente e invece:

uc(I) =√

u2c(V )R2 + u2

c(R)R4

Per determinare la varianza e lo scarto tipo da associare alle letture di ten-sione e degli shunt si ricorre all’ipotesi di distribuzione rettangolare dell’in-certezza e quindi:

u2c(V ) = ∆V 2

3; u2

c(R) = ∆R2

3

e quindi:

u2c100(V ) = (2·10−5)2

3= 1.3 · 10−10V 2 ⇒ uc100(R) = 0.012

3= 33 · 10−6Ω2

u2c1000(V ) = (1.1·10−4)2

3= 4 · 10−9V 2 ⇒ uc1000(R) = 0.152

3= 7.5 · 10−3Ω2

L’incertezza diventa quindi:

u100(I) =(

1.3·10−10

104 + 33·10−6·0.12

108

)1/2= 0.13 · 10−6A⇒ uc100(I)

I= 1.3 · 10−4

u1000(I) =(

4·10−9

106 + 7.5·10−3·12

1012

)1/2= 0.11 · 10−6A⇒ uc1000(I)

I= 1.1 · 10−3

La conclusione, quale che sia la metodologia di analisi dell’incertezza impie-gata, e che conviene operare con lo shunt di valore piu alto, che fa funzionareil voltmetro in modo migliore.

22

3.5 Produzione di una misura

3 Si vuole conoscere il valore della resistenza interna di un voltmetro magne-toelettrico, per due diversi scopi:

• operare correzioni per l’effetto del carico strumentale in misurazioni ditipo voltamperometrico (si tratta in questo caso di verificare l’attendi-bilita del dato fornito dal costruttore, ad esempio perche si teme chepossa essere variato per qualche motivo);

• raddoppiare la portata del voltmetro tramite l’impiego di un resistoreaddizionale esterno, mantenendo inalterata la classe dello strumento.

3.5.1 PROBLEMA

Scegliere un metodo di misurazione adeguato per misurare il valore dellaresistenza interna di un voltmetro magnetoelettrico.

3.5.2 DATI

• Voltmetro per correnti continue in classe 0,5, con fondo scala di 100 Ve carico strumentale dichiarato di 200 Ω/V ;

• Strumenti disponibili:

– ohmetro a tre cifre e mezza di risoluzione con incertezza di±1 count±0, 7% lettura;

– milliamperometro in classe 0,2 e con FS = 10 mA e resistenzainterna RA ≈ 10 Ω ;

– vari resistori (si suppone di disporre di tutti quelli necessari inogni caso) con incertezza di 2 · 10−4 .

3.5.3 DOMANDE

Determinare il metodo di misurazione piu idoneo, compatibilmente con glistrumenti disponibili, a perseguire gli scopi richiesti.

3Questo esercizio e dovuto a Ugo Grimaldi

23

3.5.4 COMMENTI

• Il valore nominale del misurando e 100 V · 200 Ω/V = 20 kΩ .

• Nell’enunciare il secondo scopo della misurazione si richiede implicita-mente di stimare l’incertezza di misura secondo il modello determini-stico: infatti solo in questo caso ha senso parlare di indice di classe delvoltmetro che si vuole realizzare. Ciononostante, nel corso dello svolgi-mento dell’esercizio sara frequentemente consigliato, a mo’ di esercizio,di stimare l’incertezza anche applicando il modello probabilistico.

• Con gli strumenti disponibili si possono adottare sostanzialmente quat-tro metodi di misurazione:

– diretto, con l’ohmetro;

– con un metodo pseudo-voltamperometrico, in cui il voltmetro eutilizzato come strumento di misura, essendo la sua resistenzainterna il misurando;

– con il ponte di Wheatstone, usando i resistori campione ed ilmilliamperometro per rilevare la condizione di azzeramento delponte;

– con il metodo della resistenza serie, ossia misurando la stessa ten-sione (per comodita prossima al fondo scala) prima con il voltme-tro da solo, poi ponendo una resistenza in serie ad esso (si puodimostrare che, per questa misurazione, la condizione ottimale equella in cui il voltmetro misura intorno al 40% della scala ( eser-cizio a pag. 70), il che richiede una resistenza in serie R ≈ 12 kΩ );in tal modo, dette V0 la tensione misurata dal voltmetro da solo eV1 quella misurata con la resistenza in serie, applicando la formuladel partitore di tensione si ha:

V1 = RV

R+RVV0 ⇒ RV = R V1

V0−V1

Ovviamente, affinche il metodo possa essere applicato, si richiedeche la tensione misurata sia stabile, entro l’accuratezza richiesta,nell’intervallo tra le due misurazioni.

Per il primo scopo si puo ritenere ragionevole conoscere il valore dellaresistenza interna del voltmetro con un’incertezza del 10% , trattandosidi una sorta di incertezza del second’ordine. Si provi a verificarlo, sullabase delle seguenti indicazioni:

24

– si suppone di eseguire una misurazione voltamperometrica conil voltmetro connesso a valle; si suppone altresı che l’incertez-za data dai due strumenti usati (voltmetro ed amperometro) siacomplessivamente dell’ 1% ;

– l’incertezza del consumo εV = Rx

RVsia anch’essa dell’ordine dell’1%,

cosicche e necessario procedere ad una correzione dell’effetto deiconsumi (vale a dire che il modello della misurazione deve esseremodificato in modo da tenere in conto la resistenza interna delvoltmetro).

Per il secondo scopo si puo ritenere appropriato misurare la resistenzainterna del voltmetro con un’incertezza relativa dell’ordine di 10−3.Infatti:

– un voltmetro magnetoelettrico e realizzato con un milliamperome-tro in serie ad una resistenza campione molto stabile (in genere dimanganina);

– il peso maggiore tra i contributi che determinano la classe dellostrumento e quello del milliamperometro, quindi si puo ritenereche nel caso in esame il milliamperometro sia in classe 0,4 e larestante incertezza sia dovuta alla resistenza 4 da 20 kΩ; il cal-colo dell’incertezza su tale resistenza, che puo quindi essere age-volmente effettuato facendo riferimento ai valori di fondo scala,conduce a ritenere che essa sia stata misurata dal costruttore conun’incertezza relativa dello 0, 1%;

– il raddoppio della portata del voltmetro si ottiene aggiungendo inserie ad esso un’altra resistenza da 20 kΩ;

– non volendo degradare le prestazioni dello strumento, si deve usareuna resistenza addizionale della stessa qualita di quella interna,ossia almeno con incertezza di 10−3;

– il nuovo voltmetro cosı ottenuto e quindi ancora in classe 0,5 se laresistenza interna e misurata con incertezza di 10−3.

4Una simile ripartizione dell’incertezza puo apparire irragionevole, nel senso che unaresistenza di manganina puo essere considerata di qualita molto superiore a quella citata.In realta la resistenza interna del voltmetro e costituita da un resistore molto stabile (quelloin manganina) in serie alla bobina, la quale, pur avendo un valore di resistenza molto piubasso dell’altra, essendo di rame, ha una variabilita molto maggiore con la temperatura:cio impedisce di assicurare il valore della serie di resistenze con un’accuratezza superiorea quella citata.

25

3.5.5 RISPOSTA

• Per il primo scopo proposto il metodo piu adatto e quello diretto, conl’ohmetro.

• Non e possibile conseguire il secondo scopo proposto con la sola stru-mentazione disponibile; si puo pero dire che, nell’ipotesi che il resisto-re addizionale esterno sia noto con incertezza relativa di 10−3, il mi-glior metodo di misurazione adottabile, che e il ponte di Wheatstone,consente di realizzare un voltmetro di portata doppia in classe 1,5.

3.5.6 SOLUZIONE

Nello svolgimento dell’esercizio si seguira passo per passo lo schema di produ-zione di una misurazione proposto a lezione, conducendo in parallelo l’analisidei quattro metodi di misurazione consigliati.

Oggetto e scopo della misurazione

Nella programmazione di una misurazione il primo termine con cui confron-tarsi e l’incertezza intrinseca del misurando. Nel caso di una resistenza,definita in corrente continua, due sono i principali fenomeni che concorronoall’incertezza intrinseca:

• le resistenze di contatto e collegamento;

• le variazioni di temperatura rispetto a quella di riferimento indicataper il misurando, in questo caso i (20± 1) C stabiliti dalle norme CEIper strumenti come quello impiegato in questo problema.

Nel caso in esame le resistenze di contatto e collegamento hanno influenzasempre trascurabile: infatti, anche nell’ipotesi di condizioni circuitali pessi-me, sono al massimo dell’ordine del decimo di ohm, che, confrontato con ilvalore del misurando, costituisce un’incertezza approssimativa di 5 · 10−6.

Per il coefficiente di temperatura della manganina si puo assumere il valo-re α ≤ ±2·10−5C−1. Supponendo di effettuare la misura a 20C e nel campodi temperature ammesso, che e di ±1C, ci si attende una variazione relativadi resistenza di ±2 · 10−5, che e anch’essa trascurabile rispetto all’incertezzatollerata.

Si conclude pertanto che un modello del misurando adeguato a renderepossibile, almeno in linea di principio, la misurazione e: il valore (uni-co) della resistenza interna di un voltmetro magnetoelettrico (de-finita a due morsetti) a (20± 1)C. Si puo quindi proseguire con lapianificazione della misurazione.

26

Programmazione della misurazione

I diversi metodi di misura adottabili con la strumentazione disponibile sonostati gia presentati.

Il metodo diretto usa come campioni per la misurazione quelli interniall’ohmetro (in strumenti come quello menzionato si tratta di solito di uncampione di tensione e di un certo numero di campioni di resistenza: lostrumento esegue in realta una misurazione di tipo voltamperometrico).

Il metodo pseudo-voltamperometrico usa come campioni materiali lemolle di richiamo delle bobine interni ai due strumenti.

Il metodo a ponte di Wheatstone usa come campioni le resistenze delponte.

Il metodo della resistenza serie usa come campioni materiali le molledi richiamo della bobina del voltmetro e la resistenza inserita in serie.

Con ciascuno dei quattro metodi si puo evitare il ricorso a misurazio-ni ripetute, dal momento che con questo misurando e con questi strumentil’esperienza indica che le sorgenti di incertezza di natura aleatoria - le soleper cui abbia utilita un metodo di misurazione a letture ripetute - hannorilevanza trascurabile rispetto alle altre sorgenti di incertezza.

La previsione dell’incertezza di misura porta, per i quattro metodi, aiseguenti risultati:

• Ohmetro

Si puo supporre che l’espressione tre cifre e mezza faccia riferimentoad una indicazione massima sul display dello strumento del tipo 2999o 1999 (entrambi i casi possono corrispondere a strumenti con indi-cazione tre cifre e mezza). La portata dello strumento deve essere laminima superiore al valore nominale del misurando; essa sara quin-di, nei due casi, 29, 99 kΩ e 199, 9 kΩ. La componente assoluta di in-certezza (±1/; count) vale quindi rispettivamente ±10 Ω e ±100 Ω (±un’unita sull’ultima cifra letta sul display). La componente relativadi incertezza ( ±0, 7% della lettura ) e la stessa nei due casi e vale:0, 7% · 20 kΩ = 140 Ω.

Si conclude che l’incertezza assoluta, con i due possibili ohmetri, e di150 Ω o 240 Ω , corrispondenti ad incertezze relative di 0,75% e 1,25%.

• Metodo pseudo-voltamperometrico

Occorre innanzi tutto scegliere la tensione di alimentazione del circui-to in modo da minimizzare i contributi di incertezza degli strumentiutilizzati: come si vede la migliore scelta (se ne lascia per esercizio ladimostrazione formale) e un’alimentazione prossima a 100 V , che porta

27

il voltmetro a lavorare a fondo scala. In questo modo, pero, la correnteche attraversa il milliamperometro e di 5 mA , cosicche esso lavora ameta scala. L’incertezza relativa della misurazione puo essere stimatacon la formula (nel caso si adotti un modello deterministico; si lasciaper esercizio la stima secondo il modello probabilistico):

εRV= εI + εV = 0,002·10mA

5mA+ 0,005·100V

100V≈ 1%

• Ponte di Wheatstone

La formula per la stima dell’incertezza, secondo il modello determi-nistico, in una misurazione di resistenza con il ponte di Wheatstone(costituito dalle resistenze RV , misurando, e R1 , R2 e R3 ), trascuran-do altre cause di incertezza di ordine superiore grazie all’applicazione diopportune precauzioni circuitali ed operative (come spiegato a lezione),e:

εRV= εR1 + εR2 + εR3 + σ

ove σ e la sensibilita del circuito, che puo essere stimata per via teoricasecondo quanto spiegato a lezione. Supponendo di realizzare il pontein modo che sia, nominalmente, RV = R1 = 20 kΩ e R2 = R3 = 10 kΩ,si ottiene:

σ ≈ 2RVdIE

dove E e la tensione di alimentazione del ponte e dI e la minima de-viazione dallo zero segnalata dal milliamperometro. Per il valore diquest’ultima si puo assumere il valore dell’incertezza strumentale delmilliamperometro, che vale 20µA.

Si ottiene quindi:

εRV= 3 · 2 · 10−4 + 2 · 20 kΩ20 µA

E= 6 · 10−4 + 0,8V

E

L’incertezza relativa εRVdipende quindi dalla tensione di alimentazione

del ponte. Nel caso in esame questa e a sua volta vincolata alla mas-sima tensione sopportabile dal voltmetro, rappresentata dal suo valoredi fondo scala FS = 100 V . Ne segue che la massima tensione dialimentazione dl ponte e E = 200 V , e dunque εRV

≈ 0,45%. Un ul-teriore limitazione alla tensione viene posta dalla massima dissipazioneammessa dei resistori. In questo caso i componenti piu sollecitati sonoi resistori da 10kΩ che devono poter dissipare una potenza di 1W.

• Resistenza serie

La formula per la stima dell’incertezza, secondo il modello determini-stico, e in questo caso:

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εRV= εR + δV

V0

1+ββ−β2

ove δV e l’incertezza assoluta del voltmetro, determinata dalla suaclasse, e β e il rapporto tra V1 e V0 (il cui valore, come si e detto, ecirca 0, 4 ).

L’incertezza relativa ottenibile e quindi εRV≈ 3% .

Si puo quindi concludere la pianificazione della misurazione con la valuta-zione critica dell’adeguatezza dei metodi di misurazione adottabili agli scopiprefissi.

• Primo scopo

Tutti i metodi di misurazione adottabili sono adeguati per il primo sco-po (un’alimentazione minima di 8 V e necessaria per il ponte di Wheat-stone): si scegliera l’uso dell’ohmetro perche e quello di piu semplice erapida esecuzione.

• Secondo scopo

Nessuno dei metodi realizzabili risulta efficace per misurare la resisten-za interna del voltmetro con l’accuratezza richiesta. Benche a strettorigore si debba concludere che la misurazione non puo essere esegui-ta con la strumentazione disponibile, due interessanti considerazionipossono essere sviluppate:

1. Il metodo che fornisce il risultato piu prossimo a quello desidera-to e il ponte di Wheatstone. Si puo valutarne l’efficacia in modopiu tangibile calcolando l’indice di classe del voltmetro di porta-ta FS = 200 V che si ottiene misurando RV con tale metodo.Il nuovo voltmetro risulta costituito dal milliamperometro, dallaresistenza RV e dal resistore addizionale; si ha percio la relazione:

Vletta = (RV + R)I

ove I e la corrente che attraversa il voltmetro ed il resistore ad-dizionale. L’incertezza assoluta a fondo scala, secondo il modellodeterministico, si puo stimare come:

δV = IFS(δRV + δR) + (RV + R)δI

ove IFS e la corrente di fondo scala del milliamperometro, che vale5mA , e δI e la sua incertezza strumentale, che e gia stata calcolatae vale 20 µA . Dal valore di δV cosı calcolato, detto FS ′ = 200 Vil fondo scala del voltmetro ottenuto, si ricava che la sua classe e:

cl = FS

′100δV ≈ 1,5

29

2. L’esame della formula che esprime l’incertezza di misura per ilponte di Wheatstone consente d’altra parte di stabilire una possi-bile via da percorrere per rendere possibile il raggiungimento delloscopo prefisso: l’eccessivo valore dell’incertezza che si ottiene contensioni di alimentazione del ponte normali e dovuto all’elevatovalore di dI , mentre l’accuratezza dei resistori campione e inveceadeguata allo scopo; pertanto l’acquisizione di un miglior rivelato-re di zero offre la possibilita di ottenere il risultato richiesto. DettaεR l’incertezza relativa con cui sono note le resistenze campione,la sensibilita amperometrica dI del nuovo rivelatore deve essere:

dI ≤ (εRV− εR) E

2RV= 2µA

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Capitolo 4

Esercizi generici sul calcolodelle incertezze

Questi esercizi sono concentrati sul calcolo delle incertezze e possono essererisolti da una persona che, oltre alle lezioni sul calcolo dell’incertezza, abbiaseguito i corsi obbligatori di matematica e fisica. Scopo di questi esercizie dimostrare di aver capito le regole di propagazione dell’incertezza nellemisurazioni indirette. L’esame non puo essere considerato superato se non siraggiunge la sufficienza nello svolgimento di questo tipo di esercizi.

4.1

Un apparecchio per la misura della densita di un liquido si compone di unavasca rettangolare con dimensioni nominali 10cm 2 cm e massa a vuoto no-minale 0.1kg. La misura si ottiene introducendo liquido nella vasca fino adun’altezza nominale di 5cm e pesando la vasca piena. Se:

• le dimensioni della vasca sono note con un’incertezza assoluta di ±1mm

• il misuratore ad ultrasuoni ha incertezza pari a ±0.1mm ± 0.01% delvalore misurato

• la massa a vuoto e nota con incertezza dello ±0.5%

• la massa misurata e 200± 1g

determinare la densita del liquido

31

4.2

Una emulsione di acqua distillata ed olio ha una densita di 0.9kg/dm3± 1%.Se l’olio ha densita 0.8g/cm3 ± 0.01g/cm3, quale e la concentrazione di olionell’emulsione?

4.3

Si deve stimare la densita di una lastra radiografica. Per fare cio si eseguono10 misure locali che danno i seguenti valori

m1 = m2 = m3 = 0.9m4 = m5 = m6 = 0.8m7 = m8 = m9 = 0.7

m10 = 0.8

(4.1)

Le misure possono essere considerate statisticamente indipendenti conincertezza u(m) = 0.01. Quale e l’incertezza della densita media ? Se lesingole misure si possono considerare a distribuzione gaussiana, quale valoredi densita massima fornireste con probabilita del 99.7% ?

4.4

Un sistema di misura di posizione viene impiegato per rilevare le coordinatedi tre punti A=(0,0) cm; B=(10,5) cm; C=(5,10) cm.

Se l’incertezza con cui e nota ciascuna coordinata e ±0.01cm, quanto valel’area del triangolo ABC ?

4.5

Un sistema di misura di posizione viene impiegato per rilevare le coordinatedi tre punti A=(0,0) cm; B=(0,10) cm; C=(20,0) cm.

Se l’incertezza con cui e nota ciascuna coordinata e ±0.01cm, quanto valel’angolo con vertice in B ?

4.6

Una vasca cilindricha diametro di base pari a 2m± 1cm ed altezza 3± 1cm.Se la si vernicia con un impermeabilizzante che copre 3m2/kg ± 1%, quantoimpermeabilizzante e necessario ?

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4.7

la lunghezza della radice di un dente viene stimata a partire da una radiogra-fia. I due punti estremi A e B della radice vengono fatti indicare da diversioperatori ed il risultato, in coordinate lastra, e A=(10,20) u(a)=1 B=(50,80)u(b)=2.

Una taratura ha indicato che uno spostamento sulla lastra pari a 50 unitacorrisponde a 2cm± 0.1cm. Quale e la lunghezza della radice ?

4.8

Un distanziale viene realizzato giustapponendo una trave della lunghezza0.19m ± 1% ed una trave di lunghezza 0.01m ± 5%. Quale e la lunghezzacomplessiva della trave ?

4.9

Un tracciante viene eliminato dall’organismo in ragione costante del 2% ±0.1% del valore iniziale all’ora. Dopo quanti giorni la concentrazione residuascende sotto il 10% del valore iniziale ?

4.10

Un grave viene lasciato cadere da un’altezza di 10m± 1cm. Essendo l’acce-lerazione di gravita pari a 9.81m/s2± 1%, dopo quanto tempo il grave cadraa terra ?

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Capitolo 5

Esercizi sull’uso degli strumentidi base

Questi esercizi sono concentrati sull’uso della strumentazione di base e pos-sono essere svolti da chi e in grado di svolgere gli esercizi di cui al capitolo 4ed ha seguito le lezioni relative alla strumentazione di base. L’esame non puoessere considerato superato se non si raggiunge la sufficienza nella risoluzionedi questo tipo di esercizi.

5.1 Caratteristiche degli strumenti

Per la determinazione delle incertezze durante i calcoli si faccia riferimentoalla seguente tabella, che riporta le caratteristiche di strumenti analoghi aquelli disponibili in laboratorio.

5.1.1 Oscilloscopio

• Impostazione della base tempi a scatti 1-2-5 tra 20ns/div e 1 s/div

• Incertezza della base tempi: 0.01%

• Incertezza del valore di ritardo impostato: 0.01% del valore impostato+200 ps

• Impostazione del fattore di scala a scatti 1-2-5 tra 0.1V/div e 10V/div

• Incertezza del fattore di scala verticale: 1.5%

• Banda passante dell’oscilloscopio: 60MHz

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5.1.2 Voltmetro a vero valore efficace

• Accoppiamento AC (misura le sole componenti alternative del segnale)

• Range 1V e 10V

• Incertezza 0.1% della lettura piu 0.05% del range

5.1.3 Voltmetro a valore medio

• Tarato in valore efficace

• Range 1V, 10V

• Classe 1

• Tre tipi di raddrizzatori

– Raddrizzatore a doppia semionda con accoppiamento in continua

– Raddrizzatore a doppia semionda con accoppiamento in alternata

– Raddrizzatore a singola semionda per semionda positiva ed accop-piamento in continua

5.1.4 Voltmetro di picco

• Tarato in valore efficace

• Range 1V, 10V

• incertezza 3% + 0.01% range

• due tipi di schemi

– condensatore in serie e diodo per semionde positive

– diodo in serie per semionde positive

5.1.5 Voltmetro in continua

• Range 1V, 10V

• incertezza 0.01% lettura + 0.005% range

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5.1.6 Strumenti ad indice

• Range indicato volta per volta

• Carico strumentale indicato volta per volta

• Incertezza strumentale espressa come classe

• Incertezza di lettura trascurabile

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5.2

Determinare l’ampiezza dei due segnali, la loro frequenza e lo sfasamentoreciproco.

Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DCSensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DCTime base A 1ms/divTime base B offDelay 300msTrigger Slope: + Coupl.:DC

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5.3



38

5.4



39

5.5



40

5.6

Determinare l’ampiezza dei due segnali e lo sfasamento reciproco.

Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DCSensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DCTime base A XYTime base B offDelay 300msTrigger Slope: + Coupl.:DC

41

5.7

Determinare l’ampiezza dei due segnali e lo sfasamento reciproco.


42

5.8

Determinare l’ampiezza dei due segnali e lo sfasamento reciproco


43

5.9

Determinare lo sfasamento dei segnali impiegando la seconda base tempiper amplificare la parte di interesse. Indicare i valori necessari di velocita eritardo della seconda base tempi.


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5.10

Determinare lo sfasamento dei segnali impiegando la seconda base tempiper amplificare la parte di interesse. Indicare i valori necessari di velocita eritardo della seconda base tempi.


45

5.11

Determinare l’impostazione del trigger, sensibilita e base tempi per visualiz-zare nel modo migliore il disturbo presente sulla sinusoide.

Sensitivity Channel A 2V/div Coupl.:DCSensitivity Channel B off Coupl.:DCTime base A 1ms/divTime base B offDelay 300msTrigger Slope: + Coupl.:DC

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5.12

Determinare l’impostazione del trigger, sensibilita e base tempi per visualiz-zare nel modo migliore il disturbo presente tra i segnali sinusoidali.

Sensitivity Channel A 2V/div Coupl.:DCSensitivity Channel B off Coupl.:DCTime base A 10ms/divTime base B offDelay 300msTrigger Slope: + Coupl.:DC

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5.13

Determinare il tempo di salita del segnale.

Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DCSensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DCTime base A 20ns/divTime base B offDelay 300msTrigger Slope: + Coupl.:DC

48

5.14

Determinare le indicazioni attese dal voltmetro a vero valore efficace, dei tretipi di voltmetro a valor medio e dal voltmetro valore di picco; tenere contoanche delle incertezze dell’oscilloscopio.


49

5.15



50

5.16



51

5.17



52

5.18



53

5.19



54

5.20

Determinare l’indicazione attesa dal voltmetro in continua; tenere contoanche delle incertezze dell’oscilloscopio.


55

5.21

E’dato un segnale ad onda quadra, simmetrico, di ampiezza e duty cycle nonnoti. Il voltmetro a vero valore efficace indica 1V ed il voltmetro a valormedio a doppia semionda con accoppiamento in continua indica 2V. Quantovalgono l’ampiezza ed il duty cycle del segnale?

5.22

E’dato un segnale ad onda quadra, simmetrico, di ampiezza e duty cycle nonnoti. Il voltmetro di picco a vero valore efficace con diodo in serie indica1V ed il voltmetro a valor medio a singola semionda con accoppiamento incontinua indica 0.5V. Quanto valgono l’ampiezza ed il duty cycle del segnale?

5.23

Si misura un segnale ad onda quadra, non simmetrico e con duty cycle 0.5. Ilvoltmetro a vero valore efficace indica 4V ed il voltmetro in continua indica1V. Quali sono i valori massimo e minimo del segnale ?

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Capitolo 6

Altri esercizi

Questi esercizi aggiuntivi, parzialmente commentati e con indicazione del ri-sultato, consentono di esplorare diversi aspetti del calcolo delle incertezze. Losvolgimento di questi esercizi richiede la conoscenza degli argomenti trattatinel corso piu quelli dei corsi obbligatori di matematica e fisica.

6.1 Scelta di un metodo di misura - II parte

In questo esercizio, prosecuzione dell’esercizio 3.2 si terranno gli effetti delconsumo dello strumento, che possono alterare i risultati di un processo dimisura anche in modo significativo.

6.1.1 PROBLEMA

Misurare la corrente che fluisce in un circuito misurando la caduta di tensioneche essa provoca ai capi di un shunt. Sono disponibili due shunt di valorediverso ed un voltmetro elettronico di cui si conosce l’impedenza di ingresso.

6.1.2 DATI

• Voltmetro elettronico con fondo scala FS = 1V ; 10V ; 100V , accuratez-za dichiarata dal costruttore εV = 0.01%lettura+0.001%FS ; resisten-za di ingresso del voltmetro dichiarata dal costruttore Ri = 1MΩ; εRi

=10%

• Shunt tipo A: RA = 100Ω accuratezza dichiarata dal costruttore εRA=

0.01%

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• Shunt tipo B: RB = 1000Ω accuratezza dichiarata dal costruttore εRB=

0.015%

• Valore nominale della corrente 1mA

6.1.3 DOMANDE

Determinare l’incertezza con cui si misura la corrente utilizzando i due resi-stori di shunt e indicare quale di essi consente di ottenere l’incertezza minore.Considerare l’effetto della resistenza di ingresso del voltmetro, che non si puoassumere infinita, e procedere alla sua correzione.

6.1.4 COMMENTI

Essendo nota la resistenza di ingresso del voltmetro e possibile procedere allacorrezione dei sui effetti introducendoli nella formula impiegata per il calcolodella corrente. Ovviamente la correzione non sara completa, visto che laresistenza stessa e nota con una incertezza non trascurabile, ma si trattera diun incertezza sulla correzione che, salvo casi anomali sara minore degli altricontributi di incertezza in gioco.

6.1.5 RISPOSTE

• Incertezza impiegando lo shunt A uc100(I)I

= 1.3 · 10−4 a 1σ e distribu-zione rettangolare ( εI = 3.1 · 10−4 con il modello deterministico).

• Incertezza impiegando lo shunt B uc1000(I)I

= 1.2 · 10−4 a 1σ e distribu-zione rettangolare ( εI = 3.6 · 10−4 con il modello deterministico).

• I risultati ottenibili con i due metodi di calcolo dell’incertezza que-sta volta portano a conclusioni di tipo diverso ! Si noti come l’effettodella sommatoria quadratica legato al trattamento probabilistico del-l’incertezza, di fatto elimini il contributo di incertezza connesso con ilconsumo dello strumento, almeno nel caso di resistenza inferiore.

58

6.2 Misura della componente alternata di un

segnale

In questo esercizio si vedranno gli effetti sull’incertezza su una misurazionecondotta sostanzialmente per differenza

6.2.1 PROBLEMA

Determinare la componente alternata a frequenza 100Hz presente nella ten-sione disponibile all’uscita di un sistema di raddrizzamento filtrato con uninduttore serie. Si ha a disposizione un voltmetro magnetoelettrico ed unoelettrodinamico.

6.2.2 DATI

• Voltmetro magnetoelettrico: classe 0.5, fondo scala 100V , 100 divisioni

• Voltmetro elettrodinamico: classe 1, fondo scala 100V , 100 divisioni

• Lettura del voltmetro magnetoelettrico 80 div

• Lettura del voltmetro elettrodinamico 85 div

6.2.3 DOMANDE

Determinare il valore picco-picco della componente alternata e la sua incer-tezza

6.2.4 COMMENTI

• Gli strumenti magnetoelettrici sono intrinsecamente sensibili al valoremedio della grandezza che viene loro applicata mentre gli strumentielettrodinamici sono sensibili al suo valore efficace.

• L’indice di classe di uno strumento e un metodo per fornire una indica-zione di incertezza assoluta, che viene riportata come percentuale delfondo scala dello strumento stesso e quindi classe 1 indica incertezzaassoluta costante per tutte le letture pari all’uno percento del sondoscala.

• L’uscita di un sistema di raddrizzamento del tipo descritto si puoesprimere come V = Vm + Vpsinωt .

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6.2.5 RISPOSTE

Il valore picco-picco della componente alternata e 81V con una incertezzadi 5.2V (1σ) pari a circa il 6.4% ( 12.3V con il metodo deterministico pari acirca il 15% )

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6.3 Errori nel ponte di Wheatstone - I parte

Il ponte di Wheatstone e largamente impiegato come sistema di zero per ladeterminazione di valori resistivi con elevata accuratezza.

6.3.1 PROBLEMA

Effettuare una misura di resistenza tramite un ponte di Wheatstone.

6.3.2 DATI

• Ponte di Wheatstone con i quattro lati formati in sequenza da R1, R2, Rx,Rc

ed alimentazione connessa alle giunzioni R1 −Rc ed R2 −Rx

• Rc resistore a sette decadi 10kΩ; 1kΩ; 100Ω; 10Ω; 1Ω; 0.1Ω accuratezzadi ciascun resistore di ciascuna decade εRc = 2 · 10−4

• R1 = 100kΩεR1 = 2 · 10−4

• R2 = 1kΩεR2 = 5 · 10−6

• Rx resistore incognito

• Si ottiene l’azzeramento del ponte per Rc = 12000.0Ω

6.3.3 DOMANDE

Determinare la il valore della resistenza incognita e la sua incertezza.

6.3.4 COMMENTI

Il resistore a decadi e un resistore in cui il valore complessivo viene ottenutocome somma di termini, inseriti tramite opportuni commutatori. Questaconsiderazione e importante nel trattamento probabilistico dell’incertezza.

6.3.5 RISPOSTE

Il resistore incognito vale 120Ω con incertezza uc(Rx) = 0.018Ω1σ (distribu-zione rettangolare) pari a circa 0.015% (0.041% con il modello deterministico)

Il calcolo dell’incertezza espressa in forma statistica e stato fatto consi-derando scorrelate le incertezze dei resistori componenti la cassetta anchese probabilmenteuna qualche forma di correlazione tra di essi esiste (vedereprimo esercizio).

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6.4 Errori nel ponte di Wheatstone - II parte

Il ponte di Wheatstone e largamente impiegato come sistema di condiziona-mento per sensori di grandezze fisiche nei quali la traduzione e affidata aduna variazione di resistenza.

6.4.1 PROBLEMA

Effettuare una misura di temperatura utilizzando un resistore in platinoPT100 montato in un ponte di Wheatstone.

6.4.2 DATI

• Ponte di Wheatstone come nell’esercizio precedente ma con Pt100 Ptin luogo di Rx

• Pt resistore al platino RPt0 = 100Ω± 1 · 10−2Ωa0C con coefficiente ditemperatura α = 4 · 10−3 ± 1 · 10−5C−1

• Si ottiene l’azzeramento del ponte per Rc = 12000.0Ω

6.4.3 DOMANDE

Determinare la temperatura a cui si trova il PT100 e la incertezza dellatemperatura stessa.

6.4.4 COMMENTI

Nel trattamento probabilistico dell’incertezza si dispone gia di una incertezzafornita sotto forma di scarto tipo dall’esercizio precedente. Si provi anche aimpiegare una incertezza tipo determinata dal valore deterministico dell’e-sercizio precedente. Il valore e piu grande di quello determinato partendodall’inizio perche?

6.4.5 RISPOSTE

La temperatura e 50C con una incertezza di 0.087C(1σ) ( 0.25C con ilmetodo deterministico)

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6.5 Errori nel ponte di Wheatstone - III par-

te

In questa terza parte si terra conto della presenza del galvanometro e dell’ef-fetto della sensibilita finita

6.5.1 PROBLEMA

Effettuare una misura di temperatura utilizzando un resistore in platinoPT100 montato in un ponte di Wheatstone.

6.5.2 DATI

• Ponte di Wheatstone come nell’esercizio precedente

• Sensibilita del galvanometro 10µV /div (si supponga infinita la resi-stenza interna).

• Alimentazione del ponte 10V

6.5.3 DOMANDE

• Determinare la temperatura a cui si trova il PT100 e la sua incertezzatenedo conto della presenza del galvanometro

• La sensibilita del galvanometro e sufficiente ?

• Sara possibile azzerare il ponte o sara necessario interpolare ?

6.5.4 COMMENTI

6.5.5 RISPOSTE

• La temperatura e 50C come nell’esercizio precedente e l’ incertezza e0.087C(1σ) ( 0.25C con il metodo deterministico) come nell’esercizioprecedente

• La sensibilita del galvanometro consente di apprezzare variazioni diresistenza di temperatura di 0.03C e dunque la sensibilita e certamentesufficiente.

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• La sensibilita del galvanometro corrisponde ad una variazione di Rc

pari a 1.2Ω , valore che e ampiamente superiore alla risoluzione di Rc

, che e 0.1Ω . Per questo motivo non ci sara necessita di interpolare.

64

6.6 Misura di un carico induttivo ad alto cosφ

- I parte

Questo e il primo di quattro esercizi molto simili in cui le diverse combinazionidei valori di resistenza e reattanza producono effetti molto diversi.

6.6.1 PROBLEMA

Misurare i parametri di un carico induttivo formato da un resistore in serie adun induttore potendo eseguire prove sia in corrente continua sia in correntealternata.

6.6.2 DATI

• Voltmetro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 10V , 100 div.

• Amperometro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 1A , 100 div.

• Wattmetro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 10W , cosφ = 1 , 100div.

• Letture in corrente continua: voltmetro 91.5 div; amperometro 100 div.

• Letture in corrente alternata: voltmetro 100 div, amperometro 100 div,wattmetro 91.5 div

6.6.3 DOMANDE

Determinare il valore di resistenza e reattanza ed impedenza del carico conla minore incertezza possibile

6.6.4 COMMENTI

:

• Le informazioni sono ridondanti; si tratta di scegliere il modo piucorretto di impiegare i dati.

• Gli strumenti elettrodinamici forniscono una indicazione che e legataal valore efficace della grandezza misurata

• Il wattmetro fornisce una indicazione che vale P = V · I · cos(φ)

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6.6.5 RISPOSTE

Conviene ricavare la resistenza dalle misure in corrente continua ottenendocosı 9.15Ω± 0.43%(1σ) ( 1.05% con il metodo deterministico). L’impedenzasi puo ricavare solo dalle grandezze alternate e vale 10Ω±0.4%(1σ) ( 1% conil metodo deterministico). Il modo piu conveniente di ricavare la reattanza etramite l’impiego delle sole grandezze in corrente alternata con cui si ottiene4Ω ± 2.7%(1σ) ( 8% con il metodo deterministico). Impiegando anche legrandezze continue si otterrebbe invece 4Ω±3.4%(1σ) ( 11.7% con il metododeterministico).

66

6.7 Misura di un carico induttivo ad alto cosφ

- II parte

6.7.1 PROBLEMA

Misurare un carico induttivo formato da un resistore in serie ad un induttoreavendo gia determinato il valore di resistenza in precedenza.

6.7.2 DATI




• Resistenza del carico 9.165Ω± 0.1%

• Letture (in corrente alternata): voltmetro 100 div, amperometro 100div, wattmetro 91.5 div

6.7.3 DOMANDE

Determinare il valore di reattanza ed impedenza del carico con la minoreincertezza possibile

6.7.4 COMMENTI

Anche in questo esercizio le informazioni sono ridondanti; si tratta di scegliereil modo piu corretto di impiegare i dati.

6.7.5 RISPOSTE

L’ impedenza e la stessa dell’esercizio precedente e vale 10Ω ± 0.4%(1σ) (1% con il metodo deterministico). Il modo piu conveniente di ricavare lareattanza e questa volta a partire dall’impedenza tenendo conto del valore diresistenza. Si ottiene 4Ω± 2.6%(1σ) ( 6.8% con il metodo deterministico)

67

6.8 Misura di un carico induttivo a basso cosφ

- I parte

6.8.1 PROBLEMA

Misurare un carico induttivo formato da un resistore in serie ad un induttorepotendo eseguire prove sia in corrente continua sia in corrente alternata.

6.8.2 DATI




• Letture in corrente continua: voltmetro 40 div; amperometro 100 div.

• Letture in corrente alternata: voltmetro 100 div, amperometro 100 div,wattmetro 40 div

6.8.3 DOMANDE

Determinare il valore di resistenza, reattanza ed impedenza del carico con laminore incertezza possibile

6.8.4 COMMENTI

Le informazioni sono ridondanti; si tratta di scegliere il modo piu corretto diimpiegare i dati.

6.8.5 RISPOSTE

Conviene ricavare la resistenza dalle misure in corrente continua ottenendocosı 4Ω± 0.78%(1σ) (1.75% con il metodo deterministico). La impedenza sipuo ricavare solo dalle grandezze alternate a vale 10Ω± 0.41%(1σ) (1% conil metodo deterministico). Il modo piu conveniente di ricavare la reattanza etramite l’impiego delle sole grandezze in corrente alternata con cui si ottiene9.16Ω± 0.44%(1σ) (1.24% con il metodo deterministico)

68

6.9 Misura di un carico induttivo a basso cosφ

- II parte

6.9.1 PROBLEMA

Misurare un carico induttivo formato da un resistore in serie ad un induttoreavendo gia determinato il valore di resistenza in precedenza.

6.9.2 DATI




• Resistenza del carico 4Ω± 1 · 10−5

• Letture (in corrente alternata): voltmetro 100 div, amperometro 100div, wattmetro 40 div

6.9.3 DOMANDE

Determinare il valore di reattanza ed impedenza del carico con la minoreincertezza possibile

6.9.4 COMMENTI

Anche in questo esercizio le informazioni sono ridondanti; si tratta di scegliereil modo piu corretto di impiegare i dati.

6.9.5 RISPOSTE

L’ impedenza e la stessa dell’esercizio precedente e vale 10Ω±1% . Il modo piuconveniente di ricavare la reattanza e questa volta a partire dalle sole misurein corrente alternata senza utilizzare il valore di resistenza preventivamentedeterminato. Si ottiene 9.16Ω± 1.2%

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6.10 Determinazione della resistenza interna

di un voltmetro

In questo esercizio si osserveranno i problemi relativi all’ottimizzazione dellemisure per differenza

6.10.1 PROBLEMA

Determinare la resistenza interna di un voltmetro tramite due misure atensione fissa, una delle quali condotta ponendo in serie al voltmetro unaresistenza di valore noto.

6.10.2 DATI

• Voltmetro 100V fs classe 0.5

• Resistenza interna dell’ordine di 100kΩ

6.10.3 DOMANDE

• Determinare il valore di resistenza serie che rende minima l’incertezzanella stima di Ri

• Determinare l’incertezza risultante nel caso migliore.

6.10.4 COMMENTI

Nella ricerca del valore ottimo si deve ricordare che esiste un solo grado diliberta; cioe, fissata la resistenza serie, il valore di tensione letto e univoca-mente determinato. Conviene esprimere tutto in funzione del rapporto trala lettura con la resistenza serie inserita e quella senza.

6.10.5 RISPOSTE

• La lettura senza resistenza serie conviene sia fatta al fondo scala; laresistenza serie deve essere pari a

√2Ri

• nelle condizioni migliori l’incertezza e circa il 3%

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6.11 Dimensionamento di un partitore - I par-

te

6.11.1 PROBLEMA

Costruire un divisore resistivo 1:2 (uscita meta dell’ingresso) usando duecassette a decadi identiche

6.11.2 DATI

• Cassetta a quattro decadi 1 − 10 − 100 − 1000Ω , ciascuna decadeimpostabile tra 0 e 9.

• Accuratezza delle decadi 1·10−2, 1·10−3, 5·10−4, 1·10−4 rispettivamenteper le decadi 1, 10, 100, 1000Ω

6.11.3 DOMANDE

• Determinare i valori di resistenza da impostare sulle due decadi peravere il partitore piu accurato

• Determinare l’incertezza del rapporto di partizione

6.11.4 COMMENTI

Esistono varie possibili combinazioni che producono la stessa accuratezza

6.11.5 RISPOSTE

• Le resistenze impostate sulle due cassette devono essere uguali. Datoche la decade da 1000Ω e la migliore conviene utilizzare solo quella;pertanto sono valide tutte le coppie tra 1000− 1000Ω e 9000− 9000Ω

• L’incertezza del rapporto e 1 · 10−4

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6.12 Dimensionamento di un partitore - II

parte

6.12.1 PROBLEMA

Costruire un divisore resistivo 1:2 usando due cassette a decadi identichenell’ipotesi che ad esso sia applicato un carico variabile tra R = ∞ e R =100kΩ

6.12.2 DATI

• Cassetta a quattro decadi 1 − 10 − 100 − 1000Ω , ciascuna decadeimpostabile tra 0 e 9.

• Accuratezza delle decadi 1·10−2, 1·10−3, 5·10−4, 1·10−4 rispettivamenteper le decadi 1, 10, 100, 1000Ω

6.12.3 DOMANDE



6.12.4 COMMENTI

Essendo il carico variabile non e possibile impostare a priori il rapporto dipartizione per ottenere il valore corretto.

6.12.5 RISPOSTE

• Le resistenze impostate sulle due cassette devono essere uguali. Te-nendo conto dell’effetto del carico i due valori migliori sono le coppie10 + 10Ω e 100 + 100Ω

• L’incertezza del rapporto in entrambi i casi e 1 · 10−3

72

6.13 Dimensionamento di un partitore - III

parte

6.13.1 PROBLEMA

Costruire un divisore resistivo 1:10 usando due cassette a decadi con diversecaratteristiche

6.13.2 DATI

• Cassetta A a tre decadi 100− 1000− 10000Ω , ciascuna decade impo-stabile tra 0 e 9.

• Accuratezza delle decadi della cassetta A 2 · 10−4, 1 · 10−4, 1 · 10−4

rispettivamente per le decadi 100, 1000, 10000Ω

• Cassetta B a tre decadi 100− 1000− 10000Ω , ciascuna decade impo-stabile tra 0 e 9.

• Accuratezza delle decadi della cassetta B 2 · 10−3, 1 · 10−3, 1 · 10−3

rispettivamente per le decadi 100, 1000, 10000Ω

6.13.3 DOMANDE


• Determinare la posizione migliore per la cassetta piu accurata (verso ilterminale comune o verso l’ingresso)


6.13.4 COMMENTI

6.13.5 RISPOSTE

• Le resistenze impostate sulle due cassette devono essere in rapporto9:1. Sono utilizzabili valori tra 1000− 9000 e 10000− 90000 .

• La posizione della cassetta piu accurata e ininfluente.

• L’incertezza del rapporto e 1 · 10−4

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6.14 Misura di una piccola resistenza - I par-

te

6.14.1 PROBLEMA

Si vuole misurare una piccola resistenza con un metodo volt-amperometricoma gli strumenti disponibili sono poco adatti

6.14.2 DATI

• Voltmetro 1.2V fs , 240 div. classe 0.5

• Amperometro 1Afs , 200 div. classe 0.5

• Resistenza da misurare circa 50mΩ

6.14.3 DOMANDE

Determinare l’incertezza con cui si determina la resistenza incognita

6.14.4 COMMENTI

Conviene utilizzare la massima corrente possibile per ridurre al minimo leincertezze

6.14.5 RISPOSTE

L’incertezza e circa 12.5%

74

6.15 Misura di una piccola resistenza - II par-

te

6.15.1 PROBLEMA

Si vuole misurare una piccola resistenza con un metodo volt-amperometrico,ma gli strumenti disponibile sono poco adatti; in particolare, il voltmetroe poco sensibile e lavora all’inizio della scala. Si decide quindi di inserireun resistore molto accurate in serie al misurando in modo da far lavorare ilvoltmetro vicino al fondo scala e quindi con piccoli errori.

6.15.2 DATI

• Voltmetro 1.2V fs , 240 div. classe 0.5

• Amperometro 1Afs , 200 div. classe 0.5

• Resistenza da misurare circa 50mΩ

• Resistenza campione 1Ω± 1 · 10−4

6.15.3 DOMANDE

Determinare l’incertezza con cui si determina la resistenza incognita

6.15.4 COMMENTI

Non sempre quel che luccica e oro !

6.15.5 RISPOSTE

L’incertezza e circa 22.5%

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6.16 Propagazione di grandi errori

Le tecniche di linearizzazione delle funzioni coinvolte nelle misurazioni con-dotte in modo indiretto consentono grandi semplificazioni nel calcolo del-la propagazione degli errori, ma devono essere usate sempre con cautela,specialmente in presenza di errori .. grandi..

6.16.1 PROBLEMA

Si vuole determinare la potenza assorbita da un bipolo ma si hanno a disposi-zione strumenti con campo di misura molto ampio in rapporto alle grandezzepresenti nel circuito

6.16.2 DATI

• Si dispongono il voltmetro e l’amperometro per misurare rispettiva-mente la tensione ai capi del bipolo e la corrente in esso circolante

• Voltmetro classe 1 100 V f.s. 100 divisioni

• Amperometro classe 1 10 A f.s. 100 divisioni

• Lettura voltmetro 3 div.

• Lettura amperometro 4 div.

6.16.3 DOMANDE

Determinare il valore di potenza assorbita dal bipolo in modo che l’incertezzasia la minima possibile

6.16.4 COMMENTI

Gli errori sono molto grandi visto che gli strumenti lavorano all’inizio dellascala. In questi casi puo accadere che la linearizzazione applicata usualmentenella propagazione degli errori introduca di per se errori inaccettabili. Seil sistema non e lineare e anche possibile che le fasce di incertezza sianodissimmetriche rispetto al valore nominale e quindi che questo valore, benchesembri il piu naturale da usare, non sia quello che rende minima l’incertezza.

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6.16.5 RISPOSTE

• Linearizzando si ottiene P = 1.2 W con incertezza 58 %

• Effettuando una analisi senza linearizzazione si ottengono P min 0.6W e P max 2 W. Il risultato che rende minima l’incertezza espressa inmodo simmetrico e quindi P = 1.3 W con incertezza 54 %

• Se non si modifica il valore centrale ma si mantiene 1.2 W l’incertezzamassima raggiunge il 66 %

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6.17 Errori nel ponte di Wheatstone - IV par-

te

Scopo di questo esercizio e l’analisi delle incertezze nel caso si debbano mi-surare piccole differenze rispetto ad un valore che non e necessario sia notocon grande accuratezza

6.17.1 PROBLEMA

Misurare variazioni di temperatura dell’ordine di 1C attorno ad un valoredi 50C utilizzando un resistore in platino PT100 montato in un ponte diWheatstone.

6.17.2 DATI

• Ponte di Wheatstone e Pt100 come negli esercizi precedenti

• La temperatura attorno a cui si lavora e 50C

• La variazione di temperatura da misurare e 1C

6.17.3 DOMANDE

• Con che incertezza e possibile misurare una variazione di temperaturadi 1C ?.

• Le incertezze nella conoscenza dei parametri del PT100 influiscono sulrisultato finale ?

6.17.4 COMMENTI

L’incertezza (in valore assoluto) che si consegue nella misura della tempera-tura e diversa da quella ottenuta negli esercizi precedenti perche in questocaso si effettua solo la misura di un incremento di una quantita anziche delsuo valore totale. Molti strumenti e metodi di misura si comportano me-glio in questa situazione. Fanno eccezione quei dispositivi caratterizzati daun errore assoluto costante lungo la scala (come ad esempio gli strumenti aindice)

78

6.17.5 RISPOSTE

• La misurazione si puo effettuare con una incertezza di 6, 6 · 10−4C

• L’incertezza nella conoscenza del valore di α non e piu trascurabile

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6.18 Resistenze in parallelo

6.18.1 PROBLEMA

Costruire un resistore da 950Ω avendo a disposizione due resistori fissi da500Ω ed una cassetta a decadi

6.18.2 DATI

• Resistore fisso RA valore nominale 500Ω , incertezza 2 · 10−5

• Resistore fisso RB valore nominale 500Ω incertezza 5 · 10−5

• Cassetta a decadi valore massimo 100kΩ risoluzione 1Ω incertezza 1 ·10−3

6.18.3 DOMANDE

Determinare il valore da impostare sulla cassetta e l’incertezza del resistoreottenuto utilizzando tutte le possibili combinazioni di circuiti serie-parallelo.

6.18.4 COMMENTI

La cassetta a decadi ha una incertezza notevolmente superiore ai resistorifissi e quindi e assurdo utilizzarla da sola. Le altre tre possibili combinazionidanno risultati analoghi ma ovviamente non identici.

6.18.5 RISPOSTE

Vi sono sette configurazioni che producono il risultato richiesto: 1- cassettausata da sola, impostata a 950Ω con incertezza finale 1 · 10−3 ; 2- cassetta inserie a RA , impostata a 450Ω con incertezza 4, 84 · 10−4 ; 3- cassetta in seriea RB impostata a 450Ω con incertezza 5 · 10−4 ; 4- cassetta in parallelo allaserie di RA e RB , impostata a 19000Ω con incertezza 8, 32 ·10−5 ; 5- cassettain parallelo a RA il tutto in serie a RB , impostata a 4500Ω con incertezza8, 22 · 10−5 ; 6- cassetta in parallelo a RB il tutto in serie a RA , impostataa 4500Ω con incertezza 7, 92 · 10−5 , 7- cassetta in serie al parallelo di RA edRB impostata a 700Ω con incertezza 7, 46 · 10−5

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M. Parvis Gennaio 2004 - sermis.polito.it · L’incertezza con cui sono caratterizzati i resistori...

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