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CONTROLLI AUTOMATICI

Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa

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Ing. Luca Gentili

Tel. 051 2093975

e-mail: [email protected]

http://www.lar.deis.unibo.it/people/lgentili

LUOGO DELLE RADICILUOGO DELLE RADICI

Controlli Automatici Luogo delle radici -- 2

ProprietProprietàà dei sistemi in retroazionedei sistemi in retroazione

Le radici sono i poli delsistema in retroazione

Sistema del 1°ordine

Nuovo polo

Equazione caratteristica



Sistema del 2°ordine

Radici reali distintis=-1, s=-4



• I poli del sistema in retroazione variano al variare del

guadagno .

Poli


Luogo delle radiciLuogo delle radici

• Strumento per tracciare la collocazione nel piano

complesso dei poli di un sistema in retroazione

unitaria la variare del guadagno


Luogo delle radici: proprietLuogo delle radici: proprietàà

1. Ha tanti rami quanti sono i poli del sistema in catena aperta

• Ciascun polo, spostandosi, traccia un ramo

2. Ogni ramo:

• Parte ( ) dalla posizione di un polo in catena

aperta

• Termina ( ) nella posizione di uno zero del

sistema o va all’infinito

3. Il luogo è simmetrico rispetto all’asse reale

4. Un punto dell’asse reale appartiene al luogo se lascia a destra un numero dispari di singolarità (poli e zeri)

5. Ha asintoti in numero pari al grado relativo (zeri all’infinito)


Luogo delle radici: proprietLuogo delle radici: proprietàà

6. Gli asintoti si incontrano in un punto dell’asse reale e formano una stella con gli angoli tutti uguali tra loro; il

punto di incontro è

7. Gli asintoti formano con l’asse reale gli angoli

Dove n e m rappresentano rispettivamente il numero di poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta.


Luogo delle radici: asintotiLuogo delle radici: asintoti

Controlli Automatici Luogo delle radici -- 9Cristian Secchi Controlli Automatici

Luogo delle radici: tracciamentoLuogo delle radici: tracciamento

Utilizzando le proprietà enunciate è possibile tracciare rapidamente il luogo delle radici. I passi da seguire sono:

1. Tracciare sul piano complesso zeri e poli del sistema in catena aperta, contrassegnando i poli con una X e gli zeri con un O.

2. Ricavare il numero di asintoti facendo la differenza tra il numero di poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta.

3. Trovare il punto di incrocio degli asintoti e gli angoli che formano con l'asse reale.

4. Trovare i punti dell'asse reale che stanno sul luogo delle radici

5. Tracciare il luogo delle radici tenendo conto che esso deve essere simmetrico rispetto all'asse reale.


Sistemi del 1Sistemi del 1°° ordineordine

Zero all’infinito


Sistemi del 2Sistemi del 2°°ordineordine


Sistemi del 2Sistemi del 2°°ordine con zeroordine con zero

δ=0.78Due poli complessiconiugati


Progetto di un controllore in retroazioneProgetto di un controllore in retroazione

G(s)C(s)+

-r(t) y(t)e(t) u(t)

L(s)=C(s)G(s), Guadagno dGuadagno d’’anelloanello

Dato un plant G(s) costruire un controllore C(s) in modo che l’uscita y(t) del sistema chiuso in retroazione:

soddisfi le specifiche di controllo


Specifiche di controlloSpecifiche di controllo

•• Specifiche statiche: Specifiche statiche: specifiche relative al massimo errore a regime tollerato. Si risolvono facendo in modo che il guadagno d’anello abbia un numero opportuno di poli nell’origine oppure un guadagno a regime minore di un certo valore dipendente dalla specifica. Sono indipendenti dal comportamento dinamico del sistema.

•• Specifiche dinamiche: Specifiche dinamiche: specifiche relative al comportamento dinamico della risposta, cioè il suo andamento prima di raggiungere il valore a regime. Tipicamente queste specifiche vengono date in termini di massimasovraelongazione percentuale e di tempo di assestamento.


Utilizzo del luogo delle radiciUtilizzo del luogo delle radici

Per i sistemi elementari oppure approssimabili come sistemi elementari (cioèin presenza di poli dominanti) risulta semplice identificare regioni del piano in cui devono stare i poli del sistema in retroazione per soddisfare le specifiche.

Il luogo delle radici può essere usato per studiare il comportamento dei poli del sistema chiuso in retroazione e per disegnare un controllore in modo da fare in modo che , per certi guadagni, il sistema chiuso in retroazione abbia tutti i poli all’interno della regione desiderata.


Passi per la costruzione del controllorePassi per la costruzione del controllore

1. Tenendo conto delle specifiche statiche aggiungere poli nell’origine.

2. Esaminare il guadagno d’anello ottenuto per determinare l’ordine (eventualmente trascurando poli recessivi) del sistema

3. Tracciare sul piano di Gauss le regioni relative alle specifiche di controllo

4. Vedere se con una semplice azione proporzionale (C(s)=k) è possibile soddisfare le specifiche dinamiche, cioè far entrare i poli del sistema chiuso in retroazione (più eventuali poli aggiunti nell’origine per soddisfare le specifiche statiche) nella regione desiderata.

5. Se non è possibile soddisfare le specifiche con un semplice controllore proporzionale, costruire, per tentativi, un controllore tale che esista un k per cui i poli del sistema controllato stiano nelle regioni desiderata.

6. Fare una verifica simulativa del controllore ottenuto. E’ possibile utilizzare rltool per verificare la correttezza dell’algoritmo di controllo disegnato.

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LUOGO DELLE RADICILUOGO DELLE RADICIFINEFINE

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