Lucia 2010 [Lezioni Di Scienza Delle Costruzioni - 01] R0.1.0

8/8/2019 Lucia 2010 [Lezioni Di Scienza Delle Costruzioni - 01] R0.1.0

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1 Finalit, ipotesi e modelli della meccanica strutturale: concetti fondamentali

modelli meccanici delle strutture;

spostamenti e deformazioni;

i modelli meccanici dei materiali;

forze e tensioni;

Corso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale Lucia

Struttura e risposta strutturale;

vettori, tensori, unit di misura;

la reazione dei vincoli;

la statica dei sistemi rigidi e dei corpi deformabili;

i sistemi di vettori (statica grafica).

modello delle azioni esterne;


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Per costruzione si intende non solo lopera civile realizzata in cemento armato (edificio, diga, ponte etc.)

oppure in acciaio (capriata di copertura, serbatoio in pressione etc.) ma anche qualunque macchinario oapparecchiatura che luomo costruisce per la propria utilit. In ogni costruzione sempre individuabile una

struttura portante (ossatura portante) a cui viene affidato il compito di resistere alle sollecitazioni indotte

dalle azioni esterne.

Struttura e risposta strutturale

La struttura portante pu immaginarsi costituita da uninsieme di elementi strutturali tra di loro

interconnessi ed in grado di reagire con lambiente circostante.

Al fine di garantire la sicurezza, lattitudine al servizio e la durabilit delle costruzioni necessario

conoscere la struttura, ossia prevedere il suo comportamento in funzione di tutti i possibili stimoli cui potr

essere sottoposta durante la sua vita.

Per prevedere il comportamento della struttura, la meccanica strutturale fa uso di modelli matematici che

servono a semplificare il complesso problema fisico reale; tali modelli risultano appropriati solo se i dettagli

trascurati non impediscono di cogliere gli aspetti essenziali del fenomeno e quindi sono in accordo con irisultati sperimentali.

Le informazioni che si deducono dal modello matematico di comportamento della struttura al

variare delle cause sollecitanti, costituiscono la risposta strutturale.

2/41 a.a. 2010-11 FINALITA, IPOTESI E MODELLI DELLA MECCANICA STRUTTURALE: CONCETTI FONDAMENTALI



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Modello della azioni esterne

Modello geometrico del sistema

Modello meccanico dei materiali

Risposta strutturale

INPUT

SOLLECITANTE

SISTEMA

STRUTTURALE

Risposta strutturale OUTPUT

ANALISI DELLA RISPOSTA:

VERIFICHE STRUTTURALIVerifica

soddisfacente?

Progetto esecutivo

sino

MODELLOMATEMATICO DI

STRUTTURA



Struttura e risposta strutturale


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Con il modello delle azioni esterne vengono definiti i carichi agenti sulle strutture sulla base

delle indicazioni fornite dalla normativa in vigore. Le azioni possono essere classificate

secondo la loro variazione nel tempo (a), nello spazio (b), oppure secondo il loro carattere

statico o dinamico (c).

(a) Secondo la variazione nel tempo le azioni possono venir classificate in: azioni permanenti, se le variazioni

sono trascurabili (es. peso proprio della struttura); azioni variabili se le variazioni sono frequenti o continue e

non trascurabili rispetto al valor medio. Le azioni variabili comprendono i carichi dovuti allutilizzo dellopera,le forze risultanti dal vento, dalla neve, dagli effetti della temperatura, etc; azioni accidentali se intervengono

solo raramente, comprendono le forze dovute urti, esplosioni, valanghe, terremoti etc.

(b) Secondo la variazione nello spazio le azioni si classificano in: azioni fisse, la cui distribuzione sulla

struttura definita senza ambiguit; azioni libere se possono avere qualunque distribuzione arbitraria sulla

struttura.

(c) Le azioni secondo loro natura possono essere di due tipi: azioni statiche che non generano accelerazioni

significative sulla struttura o su parti di essa; azioni dinamiche che generano accelerazioni significative sulla

struttura.



Modello delle azioni esterne


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Un corpo continuo occupa una porzione B di contorno dB dello spazio euclideo tridimensionale.

Gli elementi geometrici da considerare sono:

i punti P, interni al corpo oppure posti al contorno;

i volumi V estraibili dal corpo, con il loro contorno dV;

le superfici S, con il loro contorno dS poste sul contorno esterno dB oppure internamente al corpo;

le linee linterne al corpo o poste sul contorno.



Modelli meccanici delle strutture


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I modelli tridimensionali analizzati nella meccanica strutturale sono i corpi solidi, caratterizzatidalla propriet di conservare nel tempo la forma o quantomeno un ordine tra le parti

componenti che permette di identificare il corpo ad ogni istante.

E possibile quindi assumere una configurazione di riferimento fissa B0, detta anche configurazionemateriale o lagrangiana. I punti della configurazione di riferimento detti punti materiali, individuano con le

loro coordinate i punti del corpo solido che possono assumere nel tempo posizioni diverse nello spazio. La

configurazione effettivamente assunta ad un dato istante B invece la configurazione deformata

(relativamente alla configurazione di riferimento).





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Tra i modelli di solidi tridimensionali, il modello di Saint-Venant risulta sicuramente quello maggiormente

studiato nella scienza delle costruzioni.

Si tratta del problema di un

solido cilindrico di

materiale omogeneo eisotropo caricato solo in

corrispondenza delle basi.

I risultati che si ottengono dalla soluzione di tale problema, detto problema di Saint-Venant, si estendono

alla trave generica comunque caricata ottenendo cos una meccanica della trave nota come teoria tecnica

delle travi.





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Un solido che si sviluppa prevalentemente in una direzione, ovverosia che ha due dimensioni trascurabilirispetto alla terza pu essere schematizzato attraverso un modello monodimensionale facendo riferimento

ad una linea media l.

Il modello monodimensionale pi semplice quello di filo, caratterizzato dalla scarsa resistenza alla

variazione di forma. E possibile, infatti, atteggiare il filo secondo una linea geometrica qualsiasi. Lordine tra

le parti che compongono il filo viene comunque sempre mantenuto cosicch non improprio catalogare i

fili tra i corpi rigidi.





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La trave un solido monodimensionale che presenta una non trascurabile resistenza alla variazione di

forma. Tale capacit dipende oltre che dal materiale di cui composta la trave anche dalla geometria

tridimensionale della trave stessa.

Ad ogni punto delle linea media, che viene detto asse della trave, corrisponde una sezione retta, figura a

geometria bidimensionale che si ottiene intersecando lasse della trave con un piano perpendicolare alla

linea dasse stessa.

La trave un solido monodimensionale con struttura: alla geometria monodimensionale della

linea media necessario aggiungere la geometria bidimensionale delle sezioni rette associate

ai punti della linea dasse.

Detta l la lunghezzadellelemento trave ed H

una dimensione

significativa della sezione

trasversale, il modello

monodimen-sionale a

trave attendibile se

risulta H/l


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Se la sezione della trave composta da parti di spessore medio e piccolo rispetto alla dimensione media

globale H della sezione, la trave viene detta trave a sezione sottile (e/H


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Un solido che si sviluppa prevalentemente in due direzioni, ovverosia che ha una dimensione trascurabile

rispetto alle altre due, viene modellato geometricamente facendo riferimento ad un modello

bidimensionale caratterizzato da una superficie media S.

Il modello bidimensionale pi semplice

quello di membrana, caratterizzato, come per

i fili, da una scarsa resistenza alla variazione di

forma. Comunque a causa della doppia

curvatura di una superficie, una membrana

possiede una maggiore rigidit alla variazione

di forma rispetto ad un filo.

Una lastra invece un modello bidimensionale

con struttura, nel senso che alla geometria

bidimensionale della superficie media

necessario aggiungere la geometria

monodimensionale dei segmenti ortogonali ai

punti della superficie media. La lastra adifferenza della membrana presenta una non

trascurabile resistenza alla variazione di forma.

Se bmax indica lo spesso massimo ed H la dimensione significativa della superficie media, affinch il modello

risulti attendibile deve risultare bmax/H


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Fissata la configurazione di riferimento B0 di un solido, possibile individuare, per ogni punto materiale X, la

configurazione deformata B attraverso il vettore spostamento u:

Lo spostamento u risulta evidentemente

dipendente dalla configurazione di

riferimento.

Se la posizione x della generica particella di posizione iniziale X dipende dal tempo allora disegna nel tempo una

traiettoria di velocit v:

t

uv lim

t

0

dove x corrisponde ad X nella configurazione

deformata.

X u x x X



Spostamenti e deformazioni


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Nel passare dalla configurazione B0 alla configurazione B il corpo solido si deforma. E possibile, infatti,

definire delle misure di deformazione associate alle linee, superfici e volumi interni al corpo.

Dilatazione lineare (o allungamento per unit

di linea) e (adimensionale):

l L

L

Dilatazione quadratica (o allungamento per unitdi superficie) (adimensionale):

0

0

V V

V

Dilatazione cubica (o allungamento per

unit di volume) (adimensionale):

0

0

S SS





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Due linee orientate r0 ed s0 nella configurazione di riferimento B0 diventano nella configurazione deformata

B, red s, e langolo da esse individuato in B0 diventa in B.

La variazione g dellangolo tra due linee che si

ha nel corso della deformazione viene

chiamato scorrimento:

Quale differenza tra due angoli lo scorrimento ha le dimensioni di un angolo e pu quindi essere

misurato in radianti.

Processo deformativo congruente avviene senza lacerazioni o sovrapposizioni di materiale,

conservando quindi la continuit della struttura.





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Le forze ed i momenti esterni applicati ad un generico volume V di un corpo continuo rappresentano

lazione che lambiente esterno al volume esercita nel volume stesso.

Forza esterna per unit di volume f:

V P

F(V )f P lim

V

dove F la forza che interessa tutto il volume

V definito in un intorno del punto P.

Forza esterna per unit di superficie p: S P

F ( S )p P lim

S

dove F la forza che interessa tutta la superficie S definito in un intorno del punto P.



Forze e tensioni


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Definita una generica superficie S contenente il punto P ed interna al mezzo continuo, che separa il corpo in

due parti, si individuano due facce attraverso le quali si esercitano le azioni di una parte sullaltra

(necessarie affinch le due parti restino individualmente in equilibrio con le forze esterne).

Si definisce tensione t o forza interna per

unit di superficie ([F]/[L2] associata a P e ad S

S P

F ( S )t P,S lim

S

Ipotesi di Chauchy: la tensione t(P,S) dipende

dalla superficie S tramite la normale n ad S in

P.

t P,S t( P,n )

Principio di azione e reazione: le tensioni agenti sulle due facce di una stessa superficie sono luna opposta

allaltra, ovvero hanno uguale direzione e modulo e verso opposto.

t n t( n )



Forze e tensioni


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Fissata una giacitura di normale n nellintorno di un punto P di un corpo continuo, la tensione che agisce

sulla giacitura pu scomporsi in due componenti: una nella direzione normale ed una nella direzione

parallela alla giacitura

La componente nella direzione normale viene

detta componente normale di tensione o

tensione normale, mentre quella in direzione

tangenziale viene detta componente

tangenziale di tensione o tensione tangenziale.

Dato un sistema di riferimento cartesiano

ortogonale Oxyz si consideri nellintorno di un

punto P un cubo avente facce parallele ai piani

coordinati. Su ogni faccia del cubo (giacitura)

agiscono tre componenti di tensioni: una

normale e due tangenziali



Forze e tensioni


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Le componenti di tensione uscenti concordi con gli assi definiscono una matrice detta matrice degli sforzi,

che rappresenta lo stato di tensione nellintorno di un punto.

x xy xz

yx y yz

zx zy z

Le componenti di tensione relative ad una faccia del cubo

definiscono una colonna della matrice degli sforzi.

Teorema di reciprocit delle tensioni tangenziali.

Date nellintorno di un punto P, due giaciture ortogonali

tra loro, le componenti tangenziali sulle due giaciture,

nelle direzioni ortogonali allo spigolo comune sono

uguali in modulo e orientate entrambe verso lo spigolo

comune oppure orientate entrambe nella direzione

opposta.



Forze e tensioni


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Il teorema si dimostra imponendo lequilibrio alla rotazione intorno allasse x passante per P ed ortogonale

agli assi y e z di un cubo di lato b con centro in P.

0 yz zydx dz dy dx dy dz

equilibrio attorno ad x:

yz zy

Equazioni di equilibro

Ad ogni parte (ad ogni volume estraibile del corpo) si richiede di soddisfare le due equazioni di equilibrio:

F 0M 0

(equilibrio alla traslazione)

(equilibrio alla rotazione)

Equazioni cardinali della statica

Le sole equazioni di equilibrio sono sufficienti e stabilire la statica del corpo rigido ma non del corpo

continuo deformabile.



Forze e tensioni


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Il punti dei sistemi strutturali anzich liberi di muoversi liberamente, possono essere obbligati ad assumere

solo posizioni compatibili con certe condizioni dette di vincolo.

I problemi della statica per essere risolti devono riguardare sistemi i cui vincoli risultino almeno sufficienti

ad impedire qualunque movimento. Se i vincoli sono insufficienti il sistema si definisce labile, se i vincoli

sono strettamente sufficienti il sistema si dice isostatico, mentre la struttura si definisce iperstatica se i

vincoli risultano sovrabbondanti.



Le reazioni vincolari


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Materiali omogenei. Un materiale detto omogeneo se le sue caratteristiche non variano dapunto a punto, ovverosia non variano nello spazio occupato dal materiale.

I modelli meccanici dei materiali, impiegati nellanalisi strutturale, dipendono dalla raffinatezza dellanalisi

condotta, dal tipo di struttura analizzata e dallentit delle azioni cui il materiale sottoposto.

Le caratteristiche meccaniche dei materiali strutturali vengono determinate tramite prove su elementi

semplici detti provini, costruiti con il materiale oggetto di indagine ed opportunamente sollecitati. Al fine

della riproducibilit delle prove e del confronto dei risultati ottenuti, le prove sono standardizzate sia nellaforma dei provini che nel modo di sollecitarli.

Materiali isotropi. Un materiale detto isotropo in un dato punto se le sue caratteristiche non

variano al variare della direzione uscente dal punto. Il materiale detto isotropo se risulta

isotropo in ogni punto.



I modelli meccanici dei materiali


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Prova di trazione monoassiale. Viene effettuata su un provino a forma di cilindro allungato a sezione

simmetrica, sollecitato da una forza di trazione ad unestremit la cui retta dazione passa per lintersezione

tra i due assi di simmetria (assenza di inflessioni laterali).

Il provino presenta uno stato di deformazione

omogeneo, almeno ad una certa distanza dalle sue

sezioni di estremit fin tanto che lintensit della forza

resta limitata.

In una sezione ortogonale allasse, sufficientemente

lontana dagli estremi, agisce la sola tensione normale

s=F/A con A = sezione del cilindro dopo lapplicazione

della forza. Lo stato di tensione detto di trazione

semplice.

I risultati della prova vengono riportati in un

diagramma tensione-dilatazione lineare.

La tensione viene normalmente espressa in termini di tensione nominale s0=F/A0 con A0 area iniziale del

provino. Se la dilatazione superficiale di A0 piccola la tensione nominale approssima opportunamente la

tensione vera s=F/A.





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Anche la dilatazione lineare viene espressa in termini nominali:

0

0

0

l l

l

dove l ed l0 rappresentano rispettivamente la

lunghezza del provino soggetto alla forza F e nella

configurazione scarica (indeformata).

Prova di torsione. Viene effettuata su un provino a forma di cilindro cavo allungato di spessore sottile b e

composto da materiale omogeneo che viene fissato ad unestremit e assoggettato allaltra ad un momento

torcente Mt. Nella zona centrale del provino si crea uno stato di sforzo omogeneo di taglio semplice.

Superficie media di raggio

Rm e altezza h

Stato di tensione di taglio

semplice





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Si pu ipotizzare, in virt dello spessore sottile, che lungo la generica corda la tensione tangenziale sia

approssimativamente costante e abbia la direzione della linea media.

I risultati della prova a torsione vengono riportati in un diagramma tensione-scorrimento.

22

t

m

M

bR

Modelli ideali di comportamento. Le risposte dei materiali alle diverse azioni che li sollecitano possono

essere fatte rientrare in tre tipi fondamentali:

Elasticit. Un materiale detto elastico se la deformazione provocata dallapplicazione di certe forze si

annulla una volta che le forze siano state rimosse.

Con riferimento a prove di trazione monoassiale, se il comportamento del materiale elastico si ottiene una

curva che passa dallorigine degli assi e che viene percorsa in un senso se la forza viene incrementata (fase

di carico) mentre viene percorso nel verso opposto se la forza viene diminuita (fase di scarico),

mR

h

tensione scorrimento





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Dal diagramma s-e (tensione normale-dilatazione lineare) risulta definito il

modulo di Young o modulo di elasticit normale:

EE tan

[F]/[L2]

Plasticit. Un materiale detto plastico se tutta o parte della deformazione dovuta alle forze applicate non

viene recuperata, una volta che tali forze siano state rimosse.

Si dice che un materiale ha un comportamento elasto-plastico se solo una parte della deformazione dovuta

alle forze applicate non viene recuperata. Tale comportamento accompagnato dalla presenza di un

dominio di elasticit allinterno del quale le deformazioni sono totalmente recuperabili superato il quale si

manifesta il comportamento plastico.

Se la deformazione proporzionale allintensit delle forze applicate si parla di elasticit lineare. La

proporzionalit tra tensione e deformazione nota come legge di Hooke.

Dal diagramma t-g (tensione tangenziale-scorrimento) risulta definito il modulodi elasticit tangenziale o modulo di Coulomb:

G

G tan

[F]/[L2]





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Le deformazioni plastiche si manifestano superata la tensione di

snervamento tensione limite del dominio elastico. Se la curva di carico

del provino vergine oltre il limite di snervamento crescente,

snervando il materiale provoca un innalzamento del limite di

snervamento, fenomeno che ha il nome di incrudimento.

Il modello pi semplice possibile per un materiale elasto-plastico rappresentato da un diagramma

composto da una bilatera: una linea passante dallorigine degli assi a rappresentare un comportamento

iniziale elastico lineare ed una linea raccordata alla precedente in corrispondenza della tensione di

snervamento a rappresentare un successivo comportamento plastico ancora lineare.





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Viscosit. Un materiale detto viscoso se la sua risposta alle sollecitazioni varia con il tempo. Un materiale

viscoso modifica quindi la sua risposta nel tempo senza che si modifichino le azioni che lo sollecitano.

Nel caso di solidi viscoelastici il comportamento identico a quello dei solidi elastici se le forze sollecitanti

sono praticamente istantanee, mentre se i carchi sono applicati per lunghi periodi anche con valori costanti

nel tempo le deformazioni aumentano.

Con riferimento ad una prova di trazione semplice, in breve intervallo di tempo (quasi istantaneamente

viene applicata una tensione s provocando una deformazione elastica istantanea e0. Mantenendo poi

costante la tensione, la dilatazione continua a svilupparsi nel corso del tempo raggiungendo il valore

asintotico e

. la differenza e0-e viene definita elasticit ritardata.




C di S i d ll C i i


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Prove su materiali metallici. I materiali metallici presentalo a livello di provino un comportamento analogoa trazione e compressione, la prove standard pi semplice da realizzare indubbiamente la prova a trazione

semplice.

Diagramma tensione nominale-dilatazione nominale di un acciaio per struttura metallica (Fe360).

Il diagramma caratterizzata, nella parte iniziale, da un tratto elastico lineare, fino al valore della tensione di

snervamento e da un successivo tratto perfettamente plastico.




C di S i d ll C i i


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In realt lo snervamento avviene ad un

valore sss detto di snervamento superiore,

successivamente la tensione diminuisce

fino a stabilizzarsi sul valore denominato

snervamento inferiore ssi che a differenza

di sss non dipende dalla forma del provino

e pertanto viene assunto come valore diriferimento.

Al tratto perfettamente plastico segue un tratto ad incrudimento positivo seguito a sua volta da un tratto ad

incrudimento negativo. La tensione massima sr, raggiunta al passaggio tra incrudimento positivo e negativo

viene definita tensione di rottura. Dopo il raggiungimento della tensione di rottura si sviluppa un fenomeno

di localizzazione delle deformazione noto come strizione e consiste in un restringimento localizzato che fa

perdere lomogeneit nel provino.




C di S i d ll C t i i


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Nella presente trattazione si studier la risposta strutturale di sistemi sollecitati da azioni applicate quasi

staticamente, cio in modo da non provocare accelerazioni sensibili al sistema. Pertanto vengono

trascurate le azioni inerziali che determinano la risposta in condizioni dinamiche.

Per studiare la struttura resistente necessario conoscere tutte le forze esterne che la

sollecitano. Perci noti i carichi, occorre innanzitutto determinare le reazioni dei vincoli.

Queste devono soddisfare alla condizione di mantenere in equilibrio il corpo qualora vengano

sostituite ai vincoli, cio di fare equilibrio con i carichi.

Tale condizione a volte sufficiente per determinare le reazioni, il sistema strutturale in tali casi pu essere

studiato come un insieme di corpi rigidi (strutture isostatiche), in altri casi (strutture iperstatiche) oltre alle

condizioni di equilibrio necessario fare riferimento anche alla congruenza degli spostamenti tra i corpi che

compongono la struttura e tra i corpi ed i vincoli esterni (statica dei corpi deformabili).



La statica dei sistemi rigidi e dei corpi deformabili

C di S i d ll C t i i


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Ogni corpo solido sotto lazione di forze esterne si

deforma. Se le forze non raggiungono valori eccessivi

(comunque allinterno del limite elastico) le

deformazioni risultano piccolissime rispetto alle

dimensioni del corpo. Risulta pertanto spontaneo

studiare lequilibrio del corpo, soggetto ai carichi e

alle reazioni dei vincoli, trascurando le deformazioni

elastiche cio considerandolo come rigido.

Non sempre per questa semplificazione possibile,

per cui spesso si costretti a tener conto delle

deformazioni, casi b) e c).

Se gli spostamenti dei corpi sono piccoli sempre

lecito imporre lequilibrio nella configurazione

indeformata, che evidentemente nota al momento

dellanalisi.

In alcuni casi (b) per garantire equilibrio tra reazionivincolari e carichi esterni e necessario far riferimento

alla configurazione deformata. Il calcolo della risposta

strutturale prevede la soluzione di un problema non

lineare (lequilibrio viene imposto in una

configurazione incognita).



La statica dei sistemi rigidi e dei corpi deformabili

C di S i d ll C t i i d P l L


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Vettori. Un vettore ordinario v, nello spazio euclideo tridimensionale, caratterizzato da un modulo e,

se il modulo diverso da zero, da una direzione orientata nello spazio.v

Lopposto

v di un vettore v ha lo stessomodulo e direzione ma verso opposto.

Il vettore u + v somma di due vettori si pu

calcolare graficamente con la regola del

parallelogramma.

Il prodotto di uno scalare a per un vettore definisce un vettore di modulo e di direzione orientata pari

a quella di voppure opposta a seconda che a sia positivo o negativo. v

Il prodotto scalare o interno uv di due

vettori definisce lo scalare:

u v u v cos

dove a indica langolo tra le direzioniorientate di u e di v.

Il prodotto vettoriale o esterno u x vdefinisce un vettore di modulo: u v u v sin

Avente quale direzione quella ortogonale al piano di u e v e di verso definito in modo tale che i vettori u, v,

u x vcostituiscano, in questo ordine una terna destra.



Vettori, tensori ed unit di misura

Corso di Scienza delle Costruzioni d i P l L i


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Rappresentazione algebrica (in componenti) di vettori. Si definisce una terna di assi cartesiani ortogonali

Oxyz, ex, ey, ez siano i versori degli assi.

Un qualunque vettore vpu esprimersi come:

x x y y z z i iiv v e v e v e v e

Secondo tale rappresentazioni le operazioni vettoriali diventano:

i j ij

1 se i=je e

0 se i j

con i=x,y,z

Il vettore algebrico delle componenti vale:

x

y

z

v

v v

v




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Tensori. Un tensore doppio o tensore una trasformazione lineare nello spazio dei vettori che ad un

vettore vassocia un altro vettore u.

Operazioni con i tensori doppi:

Il prodotto tensoriale equivale ad un tensore doppio:

Proiezione di un vettore nella direzione e:

La rappresentazione algebrica di

un tensore A, relativamente ad un

dato sistema di coordinate, risulta

quindi essere la matrice 3x3

composta dagli scalari Aij, detti

componenti di A:




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Unit di misura. Si fa riferimento al sistema internazionale (SI).




Corso di Scienza delle Costruzioni dott ing Pasquale Lucia


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Risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati.

Dato S sistema di vettori applicati (A1, u1), (A2, u

2), . (An, un) si definisce risultante R del sistema il vettore

somma dei vettori u1, u2, . un.

nj

j

R u

1

Si definisce momento risultante rispetto ad un punto O (polo) il vettore somma dei momenti dei singoli

vettori tutti valutati rispetto ad O.n

j

jj

M(O ) ( A O ) u

1

Definizioni base

Dato un vettore applicato (A, u), avente r come retta dazionee fissato un generico punto O, distinto da A, si definisce

vettor momento o momento M(O) di (A, u) rispetto al polo O

il vettore definito dalla seguente relazione:

M(O ) ( A O ) u



I sistemi di vettori (statica grafica)



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Legge di trasposizione dei momenti. Il momento risultante di un sistema S di vettori applicati rispetto ad un

polo O pari alla somma del momento risultante di S rispetto al polo O e del momento, rispetto ad O del

risultante applicato in O.

M(O') M(O ) (O O') R

se O viene assunto lungo una retta parallela ad R per OM(O)=M(O).

Sistemi equivalenti. Due sistemi S ed S di vettori applicati si dicono equivalenti quando hanno egual

risultante ed egual momento risultante rispetto a tutti i punti del dominio in cui definito il polo, ossia

quando soddisfano, qualunque sia il polo P, alle relazioni:

R R'; M(P) M '( P )

per accertarsi che sussista lequivalenza in assoluto (per ogni polo) sufficiente provare lesistenza di un

punto O con riferimento al quale si abbia:

R R'; M(O) M '(O )






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Sistemi piani. Si dicono piani i sistemi di vettori applicati le cui rette dazione

appartengono tutte ad un piano. Per essi il risultante R se diverso da 0

appartiene al piano ed il momento risultante M(O) rispetto ad un polo O

appartenente allo stesso piano di R normale ad R.

Il sistema equivalente al risultante R applicato allasse centrale;

se R=0 il sistema equivalente ad una coppia di momento M pari al momento risultante rispetto ad un

punto qualsiasi.

vale il teorema di Varignon (per i sistemi ad invariante scalare nullo): il momento risultante rispetto ad un

qualsiasi polo O pu essere calcolato semplicemente valutando il momento della risultante R rispetto ad O.

M(O) ( O ) R

Detto (Aj, uj) un vettore applicato del sistema, il suo momento rispetto al polo generico nel piano O si pu

esprimere come prodotto del versore i normale al piano per la componente del momento Mj rispetto ad i:

j j

iM (O) M i

dove un punto qualsiasi dellasse centrale.

Il momento risultante vale:j

i ij

M(O) M i M i

con Mij momento statico di uj rispetto ad O.

con Mi momento del sistema rispetto ad O.






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Molto frequentemente nelle applicazioni di statica necessario comporre un sistema piano di vettori, ossia

determinare il risultante equivalente o la coppia risultante; inversamente pu essere richiesto didecomporre un vettore applicato in un sistema piano ad esso equivalente.

Le operazioni di composizione e decomposizione possono compiersi per via grafica o per via analitica. In

ogni caso evidente che occorre fissare innanzitutto opportune scale atte a rappresentare nel rapporto

voluto le lunghezze (scala delle lunghezze) e le intensit (scala delle intensit/forze)

Il procedimento grafico di composizione

di un sistema piano di n vettori

concorrenti pu comporsi per via grafica

oltre che per applicazione ripetuta del

procedimento valido per la composizione

del due vettori anche e pi agevolmente

attraverso la poligonale dei vettori.

Se la poligonale aperta la risultante R

diversa da 0 ed individuata dal lato dichiusura della poligonale (segmento

orientato O4). Loperazione di

composizione si completa conducendo

per il punto A la retta parallela ad R.





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