Lucia 2010 [Lezioni Di Scienza Delle Costruzioni - 03] R0.1.0

5/10/2018 Lucia 2010 [Lezioni Di Scienza Delle Costruzioni - 03] R0.1.0 - slidepdf.com

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3 Geometria delle masse

Corso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale Lucia

• Baricentri e momenti statici;

• Momenti del secondo ordine;

• Teoremi di trasposizione;

• Circolo di Mohr e direzioni principali d’inerzia;

• Centro relativo ad un asse e polarità d’inerzia;

• Elisse centrale d’inerzia e nocciolo centrale d’inerzia;

• Caratteristiche inerziali di figure piane.



Nel presente capitolo si parlerà di masse, non necessariamente intese come masse materiali, non si farà

infatti alcuna ipotesi circa la loro natura salvo quella che siano tra di loro omogenee.

P6 (m6)

P5 (m5)

P4 (m4)

P3 (m3)

P1 (m1)

P2 (m2)

sistema continuo A

M P dA sistema discreto i

i ..N

M m

1

se m=cost la massa si dice uniformemente distribuita ed il relativo sistema materiale si dice omogeneo. In

particolare se si assume m=1, la massa si identifica con la misura del campo in cui è diffusa trasformandosi

in un volume, in un’area o in una lunghezza.


Baricentri e momenti statici

2/29 a.a. 2010-’11 GEOMETRIA DELLE MASSE



Ad un sistema discreto di masse mi applicate nei punti Pi del piano x,y si associa un sistema di vettori

paralleli (Pi, mi) con direzione arbitraria e modulo proporzionale ai valori delle masse concordi e verso

arbitrario (si assume che le masse siano tutte caratterizzate dal medesimo segno).

Il centro del sistema così definito si dice baricentro delle

masse assegnate, si indica usualmente con G e coincide

con il punto intorno al quale ruota l’asse centrale del

sistema quando i singoli vettori ruotano intorno ai

rispettivi punti di applicazione restando fra di loro

paralleli.

P2 (m2)

P1 (m1)

P3 (m3)

P4 (m4)

P5 (m5)

P6 (m6)

x

y

O

i ii ..n

m P O

(G O)M

1

i ii ..n

G

m y

yM

1

i ii ..n

G

m x

xM

1

Nel caso di sistema

continuo

A

P P O dA

(G O)M

AG

P ydAy

M

A

G

P xdA

xM






Determinazione grafica della posizione del baricentro.

La costruzione grafica della posizione del baricentro discende direttamente dalla definizione come punto di

intersezione degli assi centrali dei vettori masse per due direzioni distinte.

Le due direzioni possono essere scelte l’una normale

all’altra, in questo modo è necessario costruire un solo

poligono funicolare p.

pil poligono relativo alla direzione normale risulta avere i lati

ortogonali ai lati di p e si dice normal poligono






Proprietà distributiva: quando una figura piana è

decomponibile in altre più semplici di cui si conosce già la

posizione dei relativi baricentri Gi, è lecito concentrare inquesti ultimi le aree mi=Ai·m corrispondenti alle varie figure,

riducendo così il problema alla determinazione del

baricentro G del sistema discreto G i(mi).

Proprietà fondamentale del baricentro è quella collegata

all’eventuale presenza di un asse di simmetria (ortogonale o

obliquo): il baricentro di un sistema discreto o di una figura

piana dotata di un asse di simmetria (meridiana) appartiene al

medesimo asse. Il baricentro di una figura (sistema discreto)

dotata di due assi di simmetria coincide con il punto di

intersezione dei due assi (meridiane).






Momento statico di una massa mi concentrata nel punto Pi rispetto ad un asse è per definizione pari al

prodotto mi·di con di distanza orientata valutata secondo una qualsiasi direzione.

yi

Pi (mi)

y

x

yin

xi

xin

O

x i iS m y

y i iS m x

valutando la distanza in direzione

ortogonale all’asse:

n

x i iS m y sen

n

y i iS m x sen

Momento statico di un sistema discreto di n masse:

x i ii ..n

S m y

1

y i ii ..n

S m x

1

n

x i ii ..n

S m y sen

1

n

y i ii ..n

S m x sen

1

Momento statico di un sistema continuo:

x

A

S P ydA y

A

S P xdA

nx

A

S P ydA sen ny

A

S P xdA sen




Vettore momento statico:



xG G

x jP j (m j)

xiPi (mi)

y

x

Teorema di Varignon: il momento statico di un sistema piano di masse, rispetto ad un asse qualunque del

piano, con distanze valutate secondo una direzione generica, è uguale all’analogo momento della massa del

sistema M supposta concentrata nel baricentro.

x

y

Pi (mi)

yi

P j (m j)

y j

G

yG

x i i Gi ..n

S m y y M

1

y i i Gi ..n

S m x x M

1

i i

y i ..nG

m x

SxM M

1 i ii ..nx

G

m ySyM M

1

Oss1: l’annullarsi del momento statico rispetto ad un asse è condizione necessaria e sufficiente affinché quest’ultimo risulti

baricentrico. Il baricentro si può pertanto definire come il punto di sostegno del fascio di assi rispetto ai quali è nullo il

momento statico.

Oss2: visto che le coordinate xi, yi sono affette da segno il valore del momento statico può essere positivo negativo o nullo.






Baricentri di figure piane






yi

Pi (mi)

y

x

yin

xi

xin

O

x i iI m y 2

y i iI m x 2

valutando la distanza in direzione

ortogonale all’asse:

n

x i iI m y sen 2 2

n

y i iI m x sen 2 2

Momenti di inerzia assiali di

un sistema discreto di nmasse:

x i ii ..n

I m y

2

1

y i ii ..n

I m x

2

1

n

x i ii ..n

I m y sen

2 2

1

n

y i ii ..n

I m x sen

2 2

1

Momenti di inerzia assiali di un sistema continuo:

x

A

I P y dA

2 y

A

I P x dA

2

n

x

A

I P y dA sen 2 2 n

y

A

I P x dA sen 2 2

Nella geometria delle masse si definiscono momenti del secondo ordine delle funzioni quadratiche delle

distanze.

Momenti centrifughi di un sistema discreto di n masse: xy i i ii ..n

I m x y

1

n

xy i i ii ..n

I m x y sen

2

1

Momenti centrifughi di un sistema continuo: n

xy

A

I P x ydA sen 2 xy

A

I P x ydA


Momenti di secondo ordine




x

A

I P y dA 2

Oss1: il momento centrifugo può, anche per masse tutte del medesimo segno, risultare positivo, negativo o nullo; il suo segno

resta invariato se si muta il verso di entrambi gli assi rispetto ai quali viene valutato, mentre cambia se si cambia il verso di uno

solo di questi.

Oss2: per sistemi di masse di egual segno il momento di inerzia rispetto ad un qualunque asse è affetto dal segno delle masse(per masse positive risulta sempre >=0).

xy i i ii ..n

I m x y

1

O i ii ..n

I m r

2

1

x

y

y j

x j

x

y

x

y

x

y

Fissato un qualunque punto O nel piano, detta r j la distanza da esso del generico punto P j di un sistema discreto ed r quella del

punto corrente P del campo cui si suppone diffusa la massa di un sistema continuo, si definiscono momenti di inerzia polari

rispetto al polo O le grandezze:

O

A

I P r dA 2 O

l

I P r dl 2

Se si considera una qualsiasi

coppia di assi ortogonali x, y

uscenti da O si ha:

i i ir x y 2 2 2

pertanto risulta




Oss3: La grandezza scalare momento d’inerzia polare così introdotta è dunque per sua definizione invariante al variare della

coppia di assi prescelti nel fascio avente centro nel medesimo punto O.



Nei sistemi studiati nella meccanica dei solidi le distribuzioni di masse continue o discrete mantengono un

segno costante (generalmente positivo) pertanto i momenti di inerzia assiali Jx(y) mantengono sempre il

segno delle masse. Il rapporto Jx(y) /M risulta sempre positivo e pertanto è possibile definire le grandezze:

xx

I

M 2 x

x

I

M

y

y

I

M

2 y

y

I

M

ρx e ρy hanno le dimensioni di una lunghezza e prendono il nome di raggio di inerzia del sistema

rispettivamente rispetto al assi x e y.

Si osserva che ρx

(ρy) può interpretarsi come distanza dall’asse x (y) di un punto in cui si deve immaginare

concentrata la massa totale M affinché il relativo momento di inerzia uguagli quello del sistema.

Oss: per i momenti del secondo ordine non vale il teorema di Varignon:

x xI M 2

y yI M

2

x G y Gy x






Leggi di variazione dei momenti: tali leggi consentono di valutare i momenti del secondo ordine ed i raggi di inerzia per

generici assi del piano quando siano noti alcuni di essi (relativi ad assi del fascio baricentrico).

Teoremi di trasposizione o di Huyghens: leggi di variazione dei momenti rispetto alle rette di un fascio

improprio.

G

yi

Pi (mi)

y

x

yG

xG

xi

x'

y'

y'i

x'i

• Il momento centrifugo Ixy del sistema rispetto agli assi x e y è pari alla somma

dell’analogo momento Ix’y’ rispetto agli assi x’ e y’ baricentrici e paralleli ai dati assi e

del momento centrifugo, rispetto ai primi, della massa totale M supposta

concentrata nel baricentro:

' '

i i G i i Gx x x y y y

xy x'y' G GI I x y M

• Il momento di inerzia di un sistema rispetto ad un qualunque asse x (y) del suo

piano è pari alla somma dell’analogo momento rispetto all’asse x’ (y’) ad esso

parallelo e baricentrico e del momento di inerzia, rispetto al primo, della massa

totale M supposta concentrata nel baricentro:

x x' GI I y M 2

y y' GI I x M 2

• Il momento polare di un sistema rispetto ad un qualsiasi polo O è pari alla somma dell’analogo momento rispetto al baricentro e

del momento d’inerzia polare rispetto ad O della massa totale:

O x y x' y' G G G GI I I I I x y M I r M 2 2 2


Teoremi di trasposizione




Oss1: Gli assi baricentrici rappresentano tra le rette appartenenti ad un qualsiasi fascio improprio, quelle

rispetto alle quali è minimo il momento di inerzia.

Oss2: Il baricentro si può considerare come il punto rispetto al quale è minimo il momento di inerzia polaredel sistema.

Dal teorema di trasposizione dei momenti di inerzia può dedursi un teorema analogo relativo ai raggi di

inerzia:

x x'G x x' G

I I y yM M

2 2 2 2

y y'

G y y' G

I Ix x

M M 2 2 2 2

Oss3: tra le rette appartenenti ad un qualsiasi fascio improprio, quelle baricentriche sono tali da rendere

minimo, oltre che il momento d’inerzia, il raggio d’inerzia.


Teoremi di trasposizione




Leggi di trasformazione dei momenti rispetto alle rette di un fascio proprio

Si considera un sistema piano continuo di area A e distribuzione di massa m costante. Noti Ix0, Iy0 e Ix0y0 i momenti di inerzia ed il momento

centrifugo rispetto agli assi x0 e y0, si calcoli Ix, Iy Ixy rispetto agli assi x e y ottenuti ruotando di un angolo α gli assi x0 e y0.

x x cos + y sen ; y y cos x sen 0 0 0 0

x

A A

I y dA y cos x sen dA 22

0 0

x x y x yI I cos I sen I cos sen 2 2

0 0 0 02

y

A A

I x dA x cos y sen dA 22

0 0

y y x x yI I cos I sen I cos sen 2 2

0 0 0 02

xy

A A

I x ydA x cos y sen y cos x sen dA 0 0 0 0

xy x y x yI I I sen cos I cos sen 2 2

0 0 0 0

Oss: Invarianza di IO

x y x y OI I I I costante I

0 0

cos cos sen ; sen sen cos 2 22 2 2

cos coscos ; sen

2 21 2 1 2

2 2


Circolo di Mohr e direzioni principali d’inerzia




x y x y

x x y

I I I II cos I sen

0 0 0 0

0 02 2

2 2

x y x y

y x y

I I I II cos I sen

0 0 0 0

0 02 2

2 2

x y

xy x y

I II sen I cos

0 0

0 02 2

2

Gli assi principali di inerzia rappresentano gli assi rispetto ai quali imomenti di inerzia assumono i valori estremi.

xx y x y

dII I sen I cos

d

0 0 0 02 2 2 0

y

x y x y

dII I sen I cos

d

0 0 0 02 2 2 0

Oss2: in corrispondenza dei valori estremi si ha: Ixy=0

x y

x y

Itan

I I

0 0

0

0 0

22si ricava la relazione:

Oss1: se α0 è soluzione lo è anche α 0+ π /2






Gli angoli α0 e α0+ π/2 definiscono due assi tra loro ortogonali, indicati con ξ e η e denominati assi

principali di inerzia per il punto O, rispetto ai quali i momenti principali di inerzia Iξ Iη risultano uno

massimo ed uno minimo, mentre il momento centrifugo I ξ η risulta nullo. Se l’origine O del riferimentocoincide con il baricentro G della figura piana gli assi ξ e η sono detti assi centrali d’inerzia.

x

I I I II cos

2

2 2

xy

I II sen

2

2

I I

y

I I I II cos

2

2 2Equazione parametrica di una

circonferenza, nel parametro α, nel

piano Ix e Ixy (piano di Mohr): x xy

I I I II I

2 2

2

2 2

Circolo di Mohr: i punti di tale circonferenza rappresentano con le loro coordinate i

momenti di inerzia ed i momenti centrifughi rispetto a tutte le coppie di rette x e y

tra loro ortogonali del fascio di centro O=G.

I IC , 0

2

Centro

I IR

2

Raggio






Il generico punto D (Ix0, Ix0y0) con le

sue coordinate rappresenta il

momento di inerzia Ix0 ed il momento

centrifugo Ix0y0 rispetto agli assi x0 e y0

di un riferimento ortogonale Gx0y0. Gli

assi x0 e y0 sono individuatidall’angolo α che l’asse x0 forma con la

direzione positiva dell’asse x

(direzione principale). Tale angolo è la

metà di quello che la semiretta CD

forma con l’asse delle ascisse Ix sul

piano di Mohr.






Un procedimento pratico per determinare le direzioni principali consiste nel considerare il polo D*,

ottenuto dall’intersezione delle rette parallele ad x0 e y0 condotte per D e D’.

I momenti di inerzia principali assumono le seguenti espressioni (per Ix0>Iy0):x y x y

x y

I I I I II

I

2

0 0 0 0 2

0 02 2






Dato un sistema di masse Pi (mi)i=1..n nel piano e fissato un generico asse x, si immagini di concentrare negli

stessi punti Pi in luogo delle masse mi altre “masse” date da: mi·yi corrispondenti ai momenti statici delle masse

originarie mi valutate con distanze parallele ad un altro asse generico y.

Il sistema così definito prende il nome di sistema di masse –

momenti statici. La massa totale coincide con il momento

statico Sx del sistema dato rispetto l’asse x: dipende

evidentemente da y ed è definita a meno di una costante

moltiplicativa conseguente alla direzione arbitraria dell’asse y. Il

baricentro X di un siffatto sistema non dipende invece da tale

direzione che se variata produce una variazione proporzionale

di tutte le masse; esso dipende unicamente da x e viene

denominata centro relativo all’asse x.

yG

G

P j (m jy j)

yi

y

x

Pi (miyi)

X

yX

xX

Oss: il centro relativo ad una retta rispetto un sistema di masse è distinto dal baricentro, rispetto al

baricentro G il centro X della retta x si sposta rispetto alla posizione di G verso le masse più lontane e se

G sta su x tende all’infinito (punto improprio). In definitiva il centro relativo ad un retta baricentrica è un

punto improprio e quello relativo alla retta impropria coincide con il baricentro.

i i i i i ii ..n i ..n

X X

i i i ii ..n i ..n

m y y m y x

y ; xm y m y

1 1

1 1


Centro relativo ad un asse e polarità d’inerzia




Infatti si può scrivere:

Teorema di reciprocità: se di due assi uno contiene il centro relativo

all’altro, questo contiene il centro relativo al primo.

Il teorema di reciprocità consente di invertire la corrispondenza: Y, punto generico

individuato dalle sue rette r ed s corrisponde al centro della retta individuata dai

centri delle rette s e r (che coincidono, rispettivamente, con i punti S ed R). Inoltre

ogni retta che passa per Y ha il suo centro nella retta che passa per S ed R.

Due rette che verifichino il teorema di reciprocità si dicono coniugate:

due rette x e y si dicono coniugate se risulta nullo il momento centrifugo

Ixy fra di esse.

Due punti si dicono coniugati quando l’uno appartiene all’asse di cui

l’altro è il centro relativo.

1 1

1 1

i i X i i i x x X G X x x' Gi ..n i ..n

i i X i i i xy x X G X xy xy' G Gi ..n i ..n

m y y m y y I S y M y y I I y M

m y x m y x I S x M y x I I x y M

x'

x G

G

y yy

2

Oss: il momento centrifugo Iyx può essere espresso analogamente in funzione della coordinata Yy del centro Y relativo all’asse

y.y y G y yx

S y M x y I

r s

G

x

R X

S

Y

Oss: di un asse x esistono infiniti assi coniugati: questi sono tutti gli assi del fascio avente per sostegno il centro

X relativo all’asse dato. Di un punto Y esistono infiniti punti coniugati: questi sono tutti i punti dell’asse y ad

esso relativo.

applicazione ripetuta di Varignon






La corrispondenza che, nel piano del sistema sussiste tra punti, intesi come centri relativi, e rette intese come

assi relativi è biunivoca e risulta una polarità: un asse ed il suo centro relativo si corrispondono come polare e

polo.

Tale polarità determina corrispondenze (involuzioni) tra rette e tra punti del piano:

fissato un generico asse y e scelto un arbitrario punto U su y, tra gli infiniti punti

coniugati (tali sono quelli appartenenti all’asse relativo u) ve n’è uno ed uno solo che

appartiene anche a y: U’ dato dall’intersezione di u con y. Viceversa partendo da U’, per

il teorema di reciprocità si giunge ad U. Stesso ragionamento può essere fatto

considerando i punti V e V’. Le coppie di punti (U,U’) e (V,V’) sono legate da

un’involuzione. In modo analogo si riconosce l’esistenza di involuzioni che legano tra

loro le rette di un fascio. Tra le infinite rette coniugate ad una generica retta u del fascio

di centro Y (sono tutte quelle del fascio di centro U) ve n’è una ed una soltanto cheappartenga al primo fascio retta u’=YU. Ad un’altra retta v del fascio di centro Y

corrisponde la retta v’=YV.

Legge che governa l’involuzione:

Se si considera un’involuzione su un asse baricentrico y2’ ad esempio al punto Y1

corrisponde Y’1, il baricentro risulta essere il centro dell’involuzione:

Involuzione su un asse baricentrico.

GY GY ' cos t 1 1

GY GY ' 2

1 1 1La conica fondamentale è

immaginaria

YG Gy y y 1 2

2 2 2 1






Per studiare la polarità attraverso la conica fondamentale è necessario introdurre una relazione basata su una

conica reale. Ciò si ottiene facendo corrispondere ad una retta generica y1 non più il suo centro relativo Y1 ma il

punto Y1* simmetrico di Y1 rispetto a G.

L’asse ed il centro relativo vengono denominati antipolare e antipolo rispettivamente l’una dell’altro.

In tale polarità elementi corrispondenti giacciono sempre nella

medesima banda rispetto il baricentro.

Relazione di coniugo tra i punti appartenenti all’elisse:

'GY GY ' 1 1 1

Il raggio di inerzia r1’ risulta massimo o minimo a seconda che

l’asse y1’ si identifichi rispettivamente con l’asse minore o con

quello maggiore dell’ellisse. Perciò gli assi dell’ellisse si identificano

con gli assi principali di inerzia del sistema.






In virtù dei teoremi di trasposizione, noti i momenti di secondo ordine per le rette baricentriche si conoscono

le analoghe quantità per tutte le rette del piano.

Di conseguenza per conoscere lo stato di inerzia di un sistema piano è sufficiente conoscere lo stato di inerziacon riferimento al fascio di rette baricentrico.

Lo stato di inerzia nel fascio

baricentrico è noto se è noto un

ellisse particolare detto ellisse

centrale di inerzia o di Culmann:

2 2

2 21

I semiassi dell’ellisse, nel

riferimento G(x,h) sono i raggi

centrali di inerzia.

I

A

I

A


Elisse centrale d’inerzia – nocciolo centrale d’inerzia




L’ellisse di Culmann può essere interpretato come il diagramma polare dei raggi d’inerzia rispetto alle rette

baricentriche; il raggio di inerzia ρx’ rispetto alla retta x’ è fornito dal semidiametro disteso sull’asse y’

coniugato di x’ (nell’ipotesi che le distanze da x’ siano valutate in direzione coniugata).

x'

y'

x'

A

B

Oss1: è direzione coniugata di x’ la direzione

y’ ottenuta usando i punti di tangenza A e B

con le rette t parallele a x’.

Oss2: gli assi principali sono l’unica coppia di

assi coniugati ortogonali.

L’ellisse di Culmann definisce una relazione di polarità tra le rette x del piano ed i punti X’ simmetrici rispetto

al baricentro G del sistema dei centri relativi X alle rette stesse.






Si definisce antipolo di una retta x rispetto all’ellisse d’inerzia il punto X caratterizzato dalle seguenti proprietà:

1) X si trova sul diametro y’ coniugato di x’

dalla parte opposta di x rispetto al

baricentro.

2) la distanza X da G è tale che:

x'GX GX' 2

dove rx’ è il raggio di inerzia rispetto all’asse x’

G

x'

x

X

X'

x'

y'






Si definisce nocciolo centrale di inerzia di una figura geometrica il luogo degli antipoli delle rette che non

tagliano la figura.

Il perimetro del nocciolo è il luogo degli antipoli delle rette che con la figura hanno in comune solo uno o piùpunti del contorno.

Oss: se il contorno della figura presenta un vertice o

dei tratti rettilinei, il contorno del nocciolo ha

corrispondentemente un tratto rettilineo o un vertice.

Infatti l’antipolo di ogni retta x che, uscendo dal

vertice Y della figura, non la tagli appartiene alsegmento RS definito dagli antipoli delle rette limiti r

ed s che individuano il vertice stesso. Viceversa gli

antipoli di tutte le rette che, uscendo dai vertici R o S

del nocciolo, non lo taglino, appartengono ai lati BY o

AY del contorno della figura. Ne deriva che se il

contorno della figura è poligonale tale è anche quello

del nocciolo. Atra caratteristica del nocciolo è quelladi risultare sempre una figura convessa comunque sia

la figura data.






Siano r ed s rette radenti la figura e parallele ad ungenerico asse baricentrico y1; i loro antipoli R ed S

sono punti d’intersezione del contorno del nocciolo

con l’asse y2 coniugato di y1 nel fascio baricentrico.

Dette y2’ e l’ le distanze, nella direzione coniugata y2 di

r e di R da G ed y2’’ e l’’ le analoghe distanze di s e di

S, dalla relazione di coniugio si ha:

' ''

' '';

y y

2 2

1 2

2 2







Caratteristiche inerziali di figure piane


C di S i d ll C i i



DEF: Si definiscono moduli di resistenza di un a figura rispetto ad un dato asse baricentrico x0 i

quozienti:

dove:

•y’ e y’’ sono le distanze da x0 dei due punti P’ e P’’ più distanti dal contorno, misurate in

direzione del diametro y0 coniugato a x0 ;

•

Ix0 momento d’inerzia calcolato con le distanze nella medesima direzione.

La dimensione del modulo d’inerzia è [L3]




Il modulo di resistenza

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