Log02DecTeo.pdf

M.Paolucci, R.Pesenti

1

Teoria delle Decisioni

30/01/2002 15.15


2

La teoria delle decisioni

� L’oggetto della Decision Theory è la decisione intesa come scelta tra

alternative

• Esempi: se introdurre o meno di un nuovo prodotto, se rinnovare un

impianto oppure aprirne uno nuovo, se effettuare o meno un investimento,

di quanto rifornirsi per soddisfare una domanda di prodotto, ...

� Decisioni dagli esiti non deterministici

• Le conseguenze di una decisione non sono certe

• Casi diversi da quelli affrontati con i metodi di ottimizzazione (funzione

obiettivo = misura certa della prestazione)


3


� Un semplice esempio

• The newsvendor model:

� Un venditore di giornali deve decidere di quanto rifornirsi

� Acquista i giornali a 40 e li vende a 75

� Non conosce a priori quale sarà la domanda di giornali

� Se si rifornisce in eccesso perde l’investimento (40 per invenduto)

� Se si rifornisce in difetto perde potenziali clienti (stima 50 per cliente)

� Se ad esempio i livelli di domanda fossero d=0,1,2,3

3210Decisione

10530-45-1203

2070-5-802

-65-1535-401

-150-100-5000

Livello della domanda


4


� Fasi dell’analisi decisionale (Decision Analysis, DA)

• Individuazione delle alternative Ai, i=1,...,m(mutuamente esclusive)

• Individuazione degli eventi futuri (stati della natura) Sj, j=1,...,n(esaustivi

e mutuamente esclusivi)

∪i Si = S Si ∩Sj = ∅;

• Calcolo (stima) degli esiti della scelta nei diversi stati della natura (payoff)

Vij, i=1,...,m; j=1,...,n

Matrice dei Payoff

Vmn...Vm1An

...Vij......

V1n...V11A1

Sn...S1


5


� Fasi dell’analisi decisionale

• Valutazione delle alternative

� Tre classi di decisioni

• Decisioni in condizioni di certezza

� lo stato futuro della natura (esiti della decisione) sono certi

• Decisioni in condizioni di rischio

� lo stato futuro della natura è noto in probabilità

• Decisioni in condizioni di incertezza

� non si conosce nulla circa lo stato futuro della natura

• Sono tre modelli “artificiali” (nella realtà non si verificano quasi mai)

• Si cerca di modellare le situazioni di informazione imperfetta o parziale


6


� Condizioni di rischio

• la probabilità fornisce una misura del “rischio” di una decisioni

• normalmente è una probabilità soggettiva (stima)

certezza rischio incertezza

ProdMix cjcj var. aleatorie

p(cj)

cj∈{cj1, cj

2, cj3}

Imperfezione dell’informazione

Inaffidabilità dei modelli

(insoddisfazione delle soluzioni)


7


� Nella realtà i fattori soggettivi (emotivi, avversione al rischio, valutazioni non quantitative) giocano un ruolo fondamentale

� La teoria delle decisioni fornisce un supporto metodologico per confrontare alternative decisionali

� I metodi assumono un comportamento razionale del decisore (DecisionMaker, DM):

• “Un DM è razionale se sceglie l’alternativa che giudica la migliore”

• Assunzioni della DA:

� il DM è in grado di quantificare i suoi giudizi sui possibili stati futuri della natura (probabilità soggettive)

� il DM è in grado di specificare le sue preferenze circa la desiderabilità delle alternative (teoria dell’utilità)

� il DM (consistentemente rispetto alle probabilità soggettive e alla propria utilità) sceglie l’alternativa che massimizza l’utilità attesa


8


� Decisioni strutturate e non strutturate

Strutturate Non strutturateCertezza IncertezzaRipetitività UnicitàOperative StrategicheObiettivo singolo Obiettivi multipli contrastantiProcedure disponibili Non esistono procedure

DM sempre razionali DM spesso non razionali

� Ruolo della DA• fornire strumenti metodologici che aiutano i DM a prendere decisioni

razionali, ossia consistenti con i loro giudizi di preferenza


9


� Teoria delle decisioni vs Teoria dei giochi

• Nella Game Theory si ipotizza la presenza di più DM che operano in competizione ⇒ la decisione del DM è presa in presenza di entitàintelligenti che agiscono in opposizione (tendono a determinare uno stato futuro sfavorevole per il DM) e possono subire a loro volta conseguenze (negative) in seguito alla decisione del DM

• Nella Decision Analysis non esiste un entità che opera in opposizione ma un’entità, la “natura”, che determina lo stato futuro restando indifferente rispetto alle decisioni del DM (l’oppositore è la natura che non agisce in modo malevolo)


10

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio

� Si suppongono specificate le probabilità (soggettive) degli stati futuri della natura

� Si basano sulla massimizzazione del valore atteso

• Alternative Ai, i=1,...,m

• Stati delle natura Sj, j=1,...,n

• Probabilità di occorrenza degli stati p(Sj)

• Matrice dei payoff V (n×m) V =[V ij,i=1,...,m j=1,...,n]

• Valore monetario atteso dell’alternativa i EVi = ∑j p(Sj)Vij

• Valore monetario atteso massimo (EV)

EV = maxi EVi

A* = { A i : i = arg maxi EVi }


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� Il criterio del massimo EV non è generalmente accettabile

• Esempio 1: decidere un investimento

Guadagno atteso = EV = 30.000

Due diversi decisori:

� DM1: una perdita > 5.000 corrisponde alla bancarotta ⇒non investe

� DM2: dispone di un surplus di capitale ⇒investe

La decisione dipende dalla diversa propensione del DM a rischiare

Investimento

di 20.000

p=0,5

1-p=0,5

ricavo 100.000

-20000

EV = 30.000

ricavo 0

80000


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• Esempio 2: una diversa opportunità di un investimento per DM1

Guadagno atteso = EV = 6.500

Anche se il EVè molto inferiore DM1 questa volta accetta di investire!

Investimento

di 5.000

p=0,5

1-p=0,5

ricavo 23.000

ricavo 0

EV = 6.500

18.000

-5000


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• Perché il criterio del massimo valore atteso monetario non funziona?

• Si basa sull’ipotesi che la situazione decisionale si possa ripetere un numero sufficiente grande di volte:

� se Zi, i=1,..n sono le realizzazioni di una variabile aleatoria Z con media E[Z] e varianzaσ2 ...

� la media della sequenza campionaria tende a E[Z] per n→∞ dato che la varianza della sequenza

σ2 / n →0

• Il criterio si basa sulla legge dei grandi numeri ma la decisione reale è unica e non può essere ripetuta


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� La decisione è presa considerando l’utilità attesa

� L’ utilità è una misura (cardinale) della preferenza di un DM in presenza di

rischio

� Tiene conto dei payoff delle alternative ma anche della diversa avversione o

propensione al rischiodel DM

� La funzione di utilità, U(.), fornisce un valore numerico che è legato al valore

intrinseco della decisione per un DM

� U(.) esprime una misura soggettiva:

• se A > B (A è preferita a B) ⇒U(A) > U(B)

• U(A) è una misura proporzionale alla preferenza del DM per A

• è determinata fissando l’origine (zero) e la scala dei valori di utilità


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� Costruzione della funzione di utilità (l’esperimento di Von Neumann-

Morgenstern)

• La lotteria standard (standard lottery) S(p)

• XE è la conseguenza più desiderabile (utilità massima)

• XD è la conseguenza meno desiderabile (utilità minima)

• Data un’alternativa A, U(A) si costruisce chiedendo al DM di specificare

per quale livello di p risulta indifferente scegliere A o partecipare alla

lotteria S(p)

U(A) = EV(S(p)) = pU(XE)+(1-p)U(XD)

Scelta p

1-p

XE U(XE)

XD U(XD)


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Esempio: A1:investimento es. 1, A2:investimento es. 2.

Scelta

U(XE) =100

U(XD)=0

p=0,5

1-p = 0,5

80.000

1-p = 0,5

p=0,5

-20.000

-5.000

18.000 U(X1) =95

U(X2) =75

EU(A1) = 50

EU(A2) = 85


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Determinazione dell’utilità delle alternative:

in questo caso, l’utilità è normalizzata a 100. Altre scelte possono

essere adottate, vedi in seguito la CME.

Si inizia fissando l’utilità delle conseguenze ultime delle varie

decisioni, si procede quindi all’indietro determinando l’utilità delle

varie alternative:

� alla conseguenza più desiderabile XE è imposta utilità100;

� alla conseguenza meno desiderabile XD è imposta utilità0;

� alla conseguenza X1 è imposta utilità95, i.e., il decisore rinuncerebbe

ai suoi 18.000 EUR solo per partecipare ad una lotteria in cui la probabilità di vittoria di 80.000 EUR è≥ 95% e la probabilità di

perdere 20.000 EUR è≤5%;

(continua)M.Paolucci, R.Pesenti

18


Commenti (cont.):

� alla conseguenza X2 è imposta utilità75, i.e., il decisore piuttosto che

perdere con certezza 5.000 EUR parteciperebbe ad una lotteria in cui la probabilità di vittoria di 80.000 EUR è≥75% e la probabilità di

perdere 20.000 EUR è il ≤25%. Si noti che il DM preferisce perdere

con certezza 5.000 EUR per probabilità di perdita superiore al 25%;

� data l’utilità delle sue possibili conseguenze, l’utilità (attesa)

dell’alternativa A1 (vedi lucidi successivi) è50 = 0.5U(XE)+

0.5U(XD);

� in modo analogo, l’utilità (attesa) dell’alternativa A2 è85 = 0.5U(X1)+

0.5U(X2).


19


Esempio: Calcolo utilitàA2.

Scelta

1-p = 0,5

p=0,5

-5.000

18.000 U(X1) =95

U(X2) =75

p=0,95

1-p = 0,05

80.000

1-p = 0,25

p=0,75

-20.000

-20.000

80.000

U(X1) =95

U(X2) =75

p=0,5

Scelta

1-p = 0,5

Data la definizione di utilità alla Von Neumann-Morgenstern, i due alberi

sono equivalenti.

A2

A2


20


Scelta

p=0,85

-20.000

80.000

1-p = 0,15

calcolando la probabilità totale che si verifichi 80.000 e –20.000 si ottiene,

l’albero seguente.

per il DM scegliere l’alternativa A2 equivale a sottoporsi ad una lotteria in cui

vi sia la probabilitàp=0,85di vincere 20.000EUR e la probabilità1-p=0,15di

perdere 20.000EUR. L’utilità di A2 corrisponde quindi a 0,85 ovvero al valore

atteso ottenendo mediando le utilità di X1 e X2.

Questo risultato è vero in generale come si può banalmente provare,

imponendo le utilità e le probabilità come dei parametri.

A2


21


� Costruzione della funzione di utilità: la CME (Certezza Monetaria Equivalente)

• La CME è il massimo valore che il DM è disposto a pagare per una lotteria con

probabilitàpi, ossia con EVpari ad Ai

• L’utilità della CME è uguale alla utilità della lotteria

U(CMEi) = piU(XE) + (1-pi)U(XD)

XEXD

0

1

Ai

pi

CMEi

retta del valore atteso EVi=piXE+(1-pi)XD

funzione di utilità

premio di rischio (riskpremium) > 0 in presenza di avversione al rischio


22


� Costruzione della funzione di utilità: la CME (Certezza Monetaria

Equivalente)

• La CME è anche la minima somma a cui il DM è disposto a cedere il

diritto a partecipare alla lotteria S(pi)

� Esempio: lotteria con premi A e B

Se p=0,5 EV=500p+2(1-p)=251

CME=21

1-pp

01

2500

BA

Vj

Uj

50020

1

251

0,5

21


23


� Costruzione della funzione di utilità: L’avversione al rischio

• La curva di utilità indica l’avversione o propensione al rischio del DM

• L’andamento della curva per un DM può variare nel tempo

• La curva è non decrescente (l’utilità cresce con il ritorno)

• Com’è la curva nel caso di indifferenza al rischio?

DM avverso al rischio

(concava)DM propenso al rischio

(convessa)


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Scelta della struttura della funzione di utilità

Proprietà locali di U(x)

� Per studiare le proprietà locali della funzione utilità si suppone di avere un

capitale x e di partecipare ad una lotteria il cui risultato èil valore stocastico D

definito dai possibili premi –d ≤ di ≤d, ognuno con probabilitàpi e dove d è

un valore infinitesimo. Sia EV=E{D} = 0, mentre ovviamente sia var{D} > 0.

� La certezza monetaria equivalente di questa situazione CME(x+D) è vicino a x

(coinciderebbe con x, se d=0) e dipende da var{D}. In ipotesi di avversione al

rischio, CME(x+D) diminuisce all’aumentare di var{D}.


25

D.A. – Decisioni in condizioni di rischioCalcolo di CME(x+D)

U(CME(x +D)) = ΣiU(x+di)pi ≅ Σi (U(x)+ U’(x) di + ½U”(x) d i2) pi =

= U(x)Σipi + U’(x)Σi di pi+ ½ U”(x)Σi di2 pi = U(x) + ½ U”(x) var{D}

da cui

CME(x +D) = U-1(U(x) + ½ U”(x) var{D}) ≅

≅ x + ½ (U”(x) var{D}) / U’(x) = x - ½ r(x) var{D}

� Nella prima equazione si sono approssimati in valori di U(.) con il suo sviluppo in serie

di Taylor fino al secondo grado in quanto la somma delle componenti di primo grado è

uguale a 0.

� Nella seconda equazione si sono approssimati in valori di U-1 (.) con il suo sviluppo in

serie di Taylor, tenendo presente che la derivata di una funzione inversa è uguale

all’inverso della derivata della funzione diretta.

� La funzione r(x) è detta Pratt-Arrow measure of [absolute] risk aversion. Se il DM èavverso al rischio r(x) ≥ 0, in quanto U”(x) ≤ 0 e U’(x) ≥ 0.


26


Proprietà globali di U(x)

Dalla soluzione dell’equazione differenziale

U”(x) +r(x)U’(x) = 0

U(xmin) = 0

U(xmax) = 100

si ottiene la funzione di utilitàU(x) desiderata.

Al variare di r(x) si ottengono funzioni di utilità diverse.


27

D.A. – Decisioni in condizioni di rischior(x) = r = costante

� U(x) = a - b e-rx

� è ragionevole ritenere che il DM abbia la stessa r per lotterie diverse se queste

coinvolgono valori paragonabili.

� r(x) costante implica che l’avversione al rischio del DM non dipende dalla disponibilità del

capitale, ma solo dalla variabilità dei possibili risultati della lotteria. Equivalentemente:

• Il DM decide se partecipare a una lotteria solo in base alle probabilità dei vari premi e ai loro

valori relativi. Il DM ritiene che i CME di due lotterie, i cui premi corrispondenti hanno le

stesse probabilità e hanno valori che differiscono per una costante Q, a loro volta differiscono

per la stessa costante Q.

• Esempio, se il DM ritiene che vale la pena partecipare ad una lotteria con costo 1000 dove vi

è il 50% di probabilità di ricavare 500 e il 50% di probabilità di ricavare 2000, allo stesso

modo riterrà che vale la pena partecipare ad una lotteria con costo 10000 dove vi è il 50% di

probabilità di ricavare 9500 e il 50% di probabilitàdi ricavare 11000.

Si noti che non vale lo stesso ragionamento per valori in proporzione, e.g., costo 10000, premi

5000 e 20000.M.Paolucci, R.Pesenti

28

D.A. – Decisioni in condizioni di rischior(x) decrescente inx

� r(x) = 1/(x + c) ⇒U(x) = a + b log(x + c)� r(x) = (1 -α)/(x + c) con 0 <α < 1 ⇒U(x) = a + b(1/α)(x+c)α

� r(x) decrescente inx implica che l’avversione al rischio del DM diminuisce con la maggiore disponibilità del capitale. Equivalentemente

• Il DM diventa meno sensibile a possibili variazioni del proprio capitale finale. Il DM è tanto

meno disponibile a pagare un premio di rischio per evitare tali variazioni tanto più piccole

sono le variazioni rispetto al capitale.

• Esempio, il DM potrebbe ritenere che non vale la pena partecipare ad una lotteria con costo

1000 dove vi è il 50% di probabilità di ricavare 500 e il 50% di probabilità di ricavare 2000,

ma che valga la pena partecipare ad una lotteria con costo 10000 dove vi è il 50% di

probabilità di ricavare 9500 e il 50% di probabilitàdi ricavare 11000.


29


� Esempio di stima empirica della curva di utilità

Il management della ACME, che si vuole mantenere coerente con le decisioni

A, B, C e D, prese nel passato, deve decidere se accettare l’investimento E.

da decidere75%15090E

D

C

B

A

40

120

150

100

Investimentorichiesto

70

300

250

200

Ricavo attesoin caso di successo

60%

85%

70%

60%

Probabilità a priori di successo

rifiutato

effettuato

rifiutato

effettuato

Investimentoeffettuato o rifiutato


30


Nell’ipotesi che il denaro se non investito produca guadagno nullo si può

affermare che

30

180

100

100

Valore con utilità 100

D

C

B

A

0

0

0

0

Valoremonetario

60%

85%

70%

60%

StimaU(0)

sottostima

sovrastima

sottostima

sovrastima

Correttezzastima

-40

-120

-150

-100

Valore con utilità 0

Se il denaro potesse essere investito anche in altro modo nella colonna

valore monetario si dovrebbe inserire il guadagno prodotto

dall’investimento alternativo


31

D.A. – Decisioni in condizioni di rischioNell’ipotesi ragionevole che si possa usare una r(x) = r per tutti gli investimenti deve

valere che

� Investimento A: U(0) ≤0.60U(100) + 0.40 U(-100)

a - b e-0r ≤0.60(a - b e-100r) + 0.40(a - b e100r)

e-0r ≥ 0.60 e-100r+ 0.40 e100r (*)

risolvendo numericamente la disequazione(*) si ottiene che per ogni 0 ≤ r ≤0.0040,

dove 0.0040è il valore massimo di r per cui la (*) è vera, l’utilità di 0 è minore

dell’utilità della lotteria corrispondente e che quindi l’investimento A viene eseguito.

� Investimento B: U(0) ≥ 0.70U(100) + 0.30 U(-150)

e-0r ≤0.70 e-100r+ 0.30 e150r (**)

risolvendo numericamente la disequazione(**) si ottiene che per ogni r ≥ 0.0035, dove

0.0035è il valore minimo di r per cui la (**) è vera, l’utilità di 0 è maggiore dell’utilità

della lotteria corrispondente e che quindi l’investimento B non viene eseguito


32

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio� Investimento C: U(0) ≤0.60U(180) + 0.40 U(-120)

e-0r ≥ 0.85 e-180r+ 0.15 e120r

0 ≤r ≤0.0153

� Investimento D: U(0) ≥ 0.60U(40) + 0.40 U(-30)

e-0r ≤0.70 e-40r+ 0.30 e30r

r ≥ 0.0033

Dai risultati ottenuti per i diversi investimenti si deduce che 0.0035 ≤r ≤0.0040

� Investimento E: si calcola U(0)= 0.75U(60) + 0.25 U(-90) per r≠0, ottenendo r=0,0090

da cui si deduce che per 0.0035 ≤r ≤0.0040 si ha U(0) ≤0.75U(60) + 0.25 U(-90).

La scelta di effettuare l’investimento E sarebbe quindi coerente con le decisioni

passate.


33


� Esempio di stima empirica della curva di utilità

Si stimi il valore di r per una funzione di utilitàU(x) = a - b e-rx sapendo che il DM ritiene β la CME di una lotteria i cui premi sono distribuiti

normalmente con media µ e deviazione standard σ.

Deve valere

da cui

dxeee rxx

r −+∞

∞−

−−− ∫= 2

2

2

)(

2

1 σµ

β

σπ

22

))(()(2

2

1 2

22

2

22

σβµ

σπσ

σµµβ σ −=⇔= ∫

+∞

∞−

−−−+−− rdxeeerx

rr r


34


� Alberi decisionali

• Formalizzano le decisioni in condizioni di rischio in base al criterio del valore (utilità) attesa (Ipotesi: i payoff esprimono l’utilità del DM)

• Mettono in evidenza le conseguenze delle decisioni

• Utili per studiare processi decisionali a stadi (sequenza di decisioni)

• Elementi:

� nodi di decisione: scelta tra alternative

� nodi evento: si verifica uno tra più stati della natura

� nodi terminali: foglie dell’albero con associati i valori di guadagno

(utilità) determinato dalla catena di decisioni ed eventi


35



• Esempi

A1

Am

p1

pn

cm1

...

...

punto di decisione

alternative

eventi conseguenze


36

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio� Alberi decisionali

• Esempio

� la ditta Acme vuole introdurre un nuovo prodotto non completamente testato sul mercato

� il prodotto se introdotto troppo in anticipo potrebbe non soddisfare i clienti perché presenta ancora difetti

� se Acme attende la concorrenza potrebbe precederla annunciando il proprio prodotto rubandole fette di mercato

� la decisione si sviluppa su T=3 periodi (e.g., mesi)

� sono stati stimanti per t=1,...,T:

– r t profitto se Acme immette il prodotto prima della concorrenza

– gt profitto se Acme immette il prodotto insieme alla concorrenza

– ht profitto se Acme immette il prodotto dopo la concorrenza

� supponiamo che r t > gt > ht (anche se per t=1 potrebbe non valere)


37



• Esempio

� pt la probabilità (soggettiva stimata) che la concorrenza annunci il prodotto sul mercato nel periodo t

� Acme ha deciso di immettere il prodotto comunque se la concorrenza annuncia il proprio

immissione

p1

1-p1

g1

non immissione

annuncio

p1

1-p1

h1

non annuncior1

0M.Paolucci, R.Pesenti

38



• Esempio

� Si calcola il EV e lo si associa ad ogni nodo evento

� Si calcola il massimo EV tra i nodi evento e lo si associa al nodo decisione

imm.

p1

1-p1

g1

non imm.

annuncio

p1

1-p1

h1

non annuncior1

0

EVimm

EVnon imm

EVimm=p1g1+(1-p1)r1

EVnon imm=p1h1

f1=max [EVimm, EVnon imm]

f1


39



• Esempio: T=3 periodi e per t=3 si stima che la concorrenza annunceràcertamente

imm.

p1

1-p1

g1

non imm.

annuncio

p1

1-p1

h1

non annuncior1

EVimm

EVnon imm

f1

f2

imm.

p2

1-p2

non imm.

p2

1-p2

f3

p3

p3

g2

h2

r2

h3

imm.

g3

non imm.M.Paolucci, R.Pesenti

40



• Esempio

� Si procede a ritroso dallo stadio 3 (backward come per la P.D.)

f3

p3

p3h3

imm.g3

EVi3 = p3 g3

EVni3 =p3 h3

p3 = 1

f3= max [EVi3, EVni

3 ]= g3

non imm.


41



• Esempio

� Per t=2

EVi2 = p2 g2 + (1- p2 )r2

EVni2 = p2 h2 + (1- p2 )f3 = p2 h2 + (1- p2 )g3

f2= max [EVi2, EVni

2 ]f2

imm.

p2

1-p2

non imm.

p2

1-p2

f3

g2

h2

r2


42



• Esempio

� Per t=1

EVi1 = p1 g1 + (1- p1 )r1

EVni2 = p1 h1 + (1- p1 )f2

f1= max [EVi1, EVni

1 ]

imm.

p1

1-p1

g1

non imm.

p1

1-p1

h1

r1f1

f2


43



• Esempio: caso numerico

p3=1g3=90h3=80

p2=0,4r2=100g2=80h2=75

p1=0,2r1=60g1=50h1=40

⋅⋅

=.)(801

.)(901max3 immnon

immf

=⋅+⋅=⋅+⋅

=.)(84906,0754,0

.)(921006,0804,0max2 immnon

immf

=⋅+⋅=⋅+⋅

=.)(6,81928,0402,0

.)(58608,0502,0max1 immnon

immf


44


� Il valore atteso della perdita di opportunità (Expected Opportunity Loss, EOL)

• Considera la perdita rispetto il massimo guadagno possibile

Lij = Vjmax– Vij dove Vj

max = maxi Vij

∑=

=n

jijji LSpEOL

1

)(

ii

EOLEOL min* =


45



• Esempio

0h1=40non imm.

r1=60g1=50imm.

non ann.

1-p=0,6

ann.

p=0,4

Vij

6010non imm.

00imm.

non ann.

1-p=0,6

ann.

p=0,4

Lij

EV* = max [0,4⋅ 50+0,6⋅ 60;

0,4⋅ 40]

= 56 (imm.)

EOL* = min [0; 0,4⋅ 10+0,6 ⋅ 60]

= 0 (imm.)


46



• Due osservazioni:

� Il criterio del massimo EV e del minimo EOL forniscono sempre la

medesima soluzione

� Nell’esempio il problema decisionale era di semplice soluzione perché

l’alternativa “immettere” era dominante!

� Nella DA le alternative dominate possono essere escluse

Definizione

Ai è dominata se esiste una Ak, k≠i, tale che Vij ≤Vkj ∀j e vale Vij<Vkj per

almeno un j


47


� Il valore atteso della informazione perfetta (Expected Value of Perfect

Information, EVPI)

• L’informazione perfetta è quella che permetta al DM di scegliere

l’alternativa più conveniente in funzione dello stato di natura che si

verifica

• Normalmente una decisione viene presa a priori, i.e., prima che accadano

gli eventi che influenzeranno le conclusioni

• Essendo disponibile l’informazione perfetta è come se la decisione venisse

presa a posteriori, i.e., a valle dell’occorrenza degli eventi casuali.


48


� Esempio: la scelta se prendere o meno l’ombrello

ombrello

5

non ombrello

piove (p=0,4)

non piove(p= 0,6)

7

-10

-2

piove

non piove

EV=0,8

EVPI =6,2

Decisione senza informazione perfetta

Decisione con informazione perfetta

ombrello 5

non ombrello

piove (p=0,4)

non piove(p= 0,6)

7

-2

-10

ombrello

non ombrello

Per stabilire il valore dell’informazione perfetta è necessario stabilire a priori tutti gli eventi mutuamente esclusivi che si possono realizzare in natura e che influenzerebbero la decisione. In questo caso piove/non piove.


49



Information, EVPI)

• Sfruttando l’informazione perfetta ottengo il massimo guadagno (utilità) possibile

• Il valore atteso con l’informazione perfetta (EVPI, Expected Value withPerfect Information) rispetto agli stati di natura Sj risulta essere:

• Quanto vale l’informazione perfetta (quanto al massimo sarei disposto a pagarla)?

� Nell’esempio EVPI = 6,2 - 0,8 = 5,4

∑=

=n

jjjPI VSpEV

1

max)(

EVEVEVPI PI −=


50



Information, EVPI)

• Quanto sarà disposta a pagare l’Acme una spia industriale che le vendesse

l’informazione su ciò che farà la concorrenza?

26,816,83 =−=−= EVEVEVPI PI

⋅=80

90max13f 92

90

100max6,0

75

80max4,02 =

⋅+

⋅=f

=

⋅+⋅= 6,8392

60max8,0

40

50max2,01f


51


Esempio:

Si consideri il problema proposto dal prof. Beasleyin http://mscmga.ms.ic.ac.uk/jeb/or/decmore.html e riportato nel lucido seguente. In particolare:

• Si determini la decisione ottima in base all’EV.

• Si determini inoltre la decisione ottima in presenza di informazione perfetta e quindi si calcoli il valore EVPI.


52

D.A. – Decisioni in condizioni di rischioYour company is considering whether it should tender for two contracts (MS1 and MS2) on offer from a government department for the supply of certain components. The company has three options:

� tender for MS1 only; or

� tender for MS2 only; or

� tender for both MS1 and MS2.

If tenders are to be submitted the company will incur additional costs. These costs will have to be entirely recouped from the contract price. The risk, of course, is that if a tender is unsuccessful the company will have made a loss.

The cost of tendering for contract MS1 only is £50,000. The component supply cost if the tender is successful would be £18,000.

The cost of tendering for contract MS2 only is £14,000. The component supply cost if the tender is successful would be £12,000.

The cost of tendering for both contract MS1 and contract MS2 is £55,000. The component supply cost if the tender is successfulwould be £24,000.

For each contract, possible tender prices have been determined. In addition, subjective assessments have been made of the probability of getting the contract with a particular tender price as shown below. Note here that the company can only submit one tender and cannot, for example, submit two tenders (at different prices) for the same contract.

Option Possible Probability tender of getting prices (£)Contract MS1 only 130,000 0.20

115,000 0.85 MS2 only 70,000 0.15

65,000 0.80 60,000 0.95

MS1 and MS2 190,000 0.05140,000 0.65

In the event that the company tenders for both MS1 and MS2 it will either win both contracts (at the price shown above) or no contract at all.


53

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio62

-50

47

-50

44

-14

39

-14

34

-55

61

-55

-14

111

MS1

MS1 & 2

MS2 TP = Tender Price

EV = ExpectedMonetary Value

TP = 130

TP = 115

TP = 65

TP = 70

TP = 190

TP = 60

TP = 140

0,20

0,20

0,80

0,85

0,15

0,85

0,15

0,80

0,35

0,95

0,65

0,05

0,05

0,95

EV = 32,45

EV = 31,60

EV = 20,40

EV = 32,45

EV = -27,60

EV = 32,45

EV = -5,30

EV = 28,40

EV = 31,60

EV = -46,70

EV = 20,40

Determinazione decisione ottima sulla base di probabilitàsoggettive.


54


Passi da eseguire per il calcolo a ritroso dell’EVPI:

� Si calcolano gli EVPI associati alle decisioni di secondo livello (le offerte da proporre avendo scelto di partecipare ad un tender specifico)

� Al primo livello si sceglie il massimo degli EVPI di secondo livello.


55


Passi da eseguire per il calcolo di EVPI seconda decisione avendo scelto di partecipare al tender MS1:

� Definizione della matrice di payoff:• alternative: prezzi dei tender

� TP = 130, � TP = 115, � TP = 0;

• stati della natura (eventi mutuamente esclusivi che influenzano le conclusioni della decisione): disponibilità del cliente ad accettare un TP, i.e.,� disponibilità ad accettare un TP=130, � disponibilità ad accettare un TP=115, ma non un TP=130, � disponibilità ad accettare solo TP <115.

Ovviamente se il cliente è disposto ad accettare un dato TP si può offrire tale TP o un TP di valore minore con la certezza di vincere il tender.


56


-50

47

-50

cliente accetta TP=115o minore, ma non TP=130

-50-50TP = 0*

-5047TP = 115

-5062TP = 130

cliente accetta solo TP<115, ma non TP=115

cliente accetta TP=130o minore

Matrice dei payoff

L’alternativa TP=0 è dominata e quindi non verrà più considerata (né èriportata nell’albero decisionale).

In rosso le scelte ottime in caso di informazione perfetta disponibile.


57


� Calcolo delle probabilità di realizzazione di uno degli stati della natura (eventi futuri):

• Il cliente accetta TP=130(o minore) con probabilità p130=0,20, infatti la probabilità a priori di vincere il tender offrendo un TP=130appare, dai dati del problema, essere uguale a 0,20

• Il cliente accetta solo TP<115, ma non TP=115 o maggiori con probabilità p0=0,15, infatti la probabilità a priori di perdere il tender offrendo un TP=115appare essere uguale a 0,15

• Il cliente accetta TP=115o minore, ma non TP=130, con probabilità p115=0,65. Dai dati del problema si evince infatti che la probabilità a priori di vincere il tender offrendo un TP=115appare essere uguale a 0,80. In tale situazione però si deve anche comprendere il caso in cui il cliente avrebbe accettato un TP=130, che però non gli è stato proposto. La probabilità èquindi ottenuta come segue p115= 0,80 – 0,20


58


� Calcolo delle probabilità di realizzazione di uno degli stati della natura (continuazione)

funzione di distribuzione della probabilità che il cliente accetti un’offerta di valore x

valore offerta115 130

probabilità che il cliente accetti un TP=130

probabilità che il cliente rifiuti un TP=115

probabilità che il cliente rifiuti un TP=130, ma accetti un TP=115

0,15

0,200,65

NB: l’area sottesa dalla curva tra 115e infinito (uguale a 0,85) indica la probabilità che il cliente accetti un TP=115


59


62

-50

47

-50MS1

TP = 130

TP = 115

0,20

0,85

0,15

0,80 EV = 32,45

EV = -27,60

EV = 32,45

Seconda decisione, avendo scelto di partecipare al tender MS1, in assenza di informazione perfetta.

-50

47

-50

-50

MS1

TP = 130

TP = 1150,20

0,15

0,65

Seconda decisione, avendo scelto di partecipare al tender MS1, in presenza di informazione perfetta.

47

62

TP = 115

TP = 115

TP = 130

TP = 130

EVpi = 35,45


60


� Analisi a ritroso del nuovo albero:

• Se fosse noto che il cliente è disposto ad accettare un TP=130certamente si proporrebbe tale valore per il TP

• Se fosse noto che il cliente è disposto ad accettare un TP=115, ma non un TP=130, certamente si proporrebbe il TP=115

• Se fosse noto che il cliente non è disposto ad accettare nemmeno un TP=115si perderebbero in ogni caso le 50K£già investite


61

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio� Calcolo del valore dell’informazione perfetta:

quando si calcola il valore dell’informazione perfetta, non si conosce ancora il contenuto dell’informazione (ovvero quale stato di natura si realizzerà), però si suppone che al momento della decisione tale informazione saràdisponibile e che quindi sarà scelta l’alternativa migliore.

Nell’esempio si osserva che:

• Con p130=0,20, al momento della decisione, sarà noto che il cliente saràdisponibile ad accettare un TP=130e quindi si offrirà un TP=130

• Con p115=0,65, al momento della decisione, sarà noto che il cliente saràdisponibile ad accettare un TP=115, ma non unTP=130,e quindi si offrirà un TP=115

• Con p0=0,15, al momento della decisione, sarà noto che il cliente non sarà disponibile ad accettare nemmeno un TP=115,e Con p130=0,65, al momento della decisione, sarà noto che il cliente sarà disponibile ad accettare un TP=115, ma non unTP=130,e quindi si offrirà un TP=115sapendo che si perderà comunque il tender


62


-50

MS1

0,20

0,15

0,65 47

62

MS135,45

Successive riduzioni dell’albero ottenuto con l’informazione perfetta, supposto che la prima decisione sia di partecipare al tender MS1.


63

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio62

47

-50

44

39

34

61

-55

-14

111

MS1

MS1 & 2

MS2

EVpi = 35,45

EV = 36,35

Albero decisionale che si ottiene applicando i ragionamenti precedenti ai vari tender, avendo già scelto la seconda decisione ottima una volta nota l’informazione perfetta.

0,20

0,65

0,15

0,15

0,65 0,15

0,05

0,05

0,60

0,35 EVpi = 22,90

EVpi = 36,35

TP = 130

TP = 115

TP = 115

TP = 70

TP = 65

TP = 60

TP = 60

TP = 190

TP = 140

TP = 140 M.Paolucci, R.Pesenti

64


� Fino a questo momento si è supposto di potere accedere all’informazione perfetta solo dopo avere preso la decisione. Ci si è rivolti al “consulente” solo per decidere l’offerta da compiere.

� Si può invece supporre di accedere all’informazione perfetta anche prima di prendere la prima decisione. Ci si rivolge al “consulente” per decidere il tender a cui partecipare e l’offerta da compiere.

� Si devono analizzare tutti gli stati di natura mutualmente esclusivi che si possono realizzare e stabilire per ognuno di essi la decisione ottima da compiere e la probabilità che si realizzi.


65

D.A. – Decisioni in condizioni di rischioStati di natura che si possono realizzare (decisioni conseguenti).Il cliente (la natura) può essere disponibile a:1. accettare offerta 130per MS1, accettare offerta 70 per MS2, accettare offerta 190per

MS1&2 (si sceglie quindi di partecipare al tender MS1&2 con offerta 190profitto 111)2. accettare offerta 130per MS1, accettare offerta 70 per MS2, accettare offerta 140ma

non 190per MS1&2 (si sceglie quindi di partecipare al tender MS1 con offerta 130profitto 62)

3. accettare offerta 130per MS1, accettare offerta 70 per MS2, non accettare nemmeno offerta 140 per MS1&2 (si sceglie quindi di partecipare al tender MS1 con offerta 130profitto 62)

4. accettare offerta 130per MS1, accettare offerta 65 ma non 70per MS2, accettare offerta 190per MS1&2 (si sceglie quindi di partecipare al tender MS1 con offerta 130profitto 62)

5. ............. .......36. non accettare nemmeno offerta 115per MS1, non accettare nemmeno offerta 65per

MS2, non accettare nemmeno offerta 140 per MS1&2 (si sceglie quindi di non partecipare ad alcun tender con profitto 0)


66

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio� Non sempre è possibile calcolare probabilità dei diversi stati di natura

realizzabili sulla base delle informazioni inizialmente disponibili a meno di non fare ipotesi che a volte possono risultare discutibili.

� Si considerino ad esempio il seguenti stati:

• disponibilità del cliente ad accettare offerta 130per MS1, accettare offerta 70per MS2, accettare offerta 190per MS1&2.

Se si ritengono le decisioni del cliente indipendenti tra loro, la probabilità dello stato è p1= 0.20 • 0.15 • 0.05 = 0.0015

• disponibilità del cliente ad accettare offerta 130per MS1, accettare offerta 70per MS2, accettare offerta 140 ma non 190per MS1&2.

Se si ritengono le decisioni del cliente indipendenti tra loro, la probabilità dello stato è p2= 0.20 • 0.15 • 0.60 = 0.018.

In questo caso questo l’ipotesi di indipendenza delle decisioni è discutibile in quanto è strano che il cliente sia disposto a pagare 200 per i due tender separati, ma non a pagare 190per il tender MS1&2.


67

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio� Le probabilità dei diversi stati dovrebbero essere valutate caso per caso in base

alle informazioni sulla natura (ad esempio si può supporre che il cliente sia razionale).

� In particolare la probabilità di uno stato di natura caratterizzato dalla realizzazione di tre eventi, e.g., A, B eC, dovrebbe essere calcolato in base alle probabilità condizionate, come ad esempio

P(ABC) = P(C)P(B|C)P(A|BC),non in base alla formula P(ABC) = P(C)P(B)P(A).In dati disponibili e le ipotesi sulla razionalità del cliente però non sono sempre sufficienti a determinare, nemmeno utilizzando Bayes, le probabilità condizionate richieste.

� Supposto di essere riusciti a calcolare le probabilità dei diversi stati e il valore della decisione ottima in ognuno degli stati si può poi calcolare il valore EVpi e quindi EVPI.


68


� Il valore atteso della informazione campionaria (Expected Value of Sample

Information, EVSI)

• L’informazione perfetta non è disponibile

• Se EVPIè non trascurabile si può valutare l’opportunità di acquisire

informazione su quali alternative scegliere

• Indagine di mercato (I): IEi = l’indagine ha esito Ei

• Si valuta (sulla base di analoghe indagini passate) la probabilità che

l’informazione acquisita suggerisca una alternativa quando si verifica uno

certo stato

⇒p(IEi | Sj)


69


� Il valore atteso della informazione campionaria (continua)

• Normalmente una decisione viene presa a priori, i.e., prima che accadano

gli eventi che influenzeranno le conclusioni

• Con l’informazione campionaria la decisione avviene a valle di

un’indagine campionaria, dai cui risultati (casuali) si possono prevedere

con maggiore precisione gli eventi (stati di natura) che accadranno.


70



ombrello

5

non ombrello

piove

non piove

7

-10

-2

piove

non piove

EVSI

Decisione senza informazione campionaria

Decisione con informazione campionaria

ombrello

5

non ombrello

piove (p=0,4)

non piove(p= 0,6)

7

-10

-2

piove

non piove

EV=0,8

previsioni pioggia

previsioni no pioggia

ombrello

5

non ombrello

piove

non piove

7

-10

-2

piove

non piove


71


Le difficoltà nella valutazione del EVSI consistono nel determinare:

� Le probabilità a priori P(IEi) che si verifichi un determinato esito IEi

dall’indagine campionaria

� Le probabilità condizionate P(Sj|IEi) che accada l’evento Sj, i.e., che si

realizzi lo stato Sj, dato che l’indagine campionaria ha dato esito IEi, i.e.,

P(Sj|IEi) sono le probabilità degli stati della natura condizionate agli esiti

dell’indagine (a posteriori)

� Dai dati storici è però facile dedurre le probabilità a priori degli stati di

natura P(Sj) e le probabilità a posteriori P(IEi| Sj) del realizzarsi di un esito

IEi dato che si verifica lo stato Sj

� Dall’applicazione del teorema di Bayes è poi possibile dedurre le

probabilità desiderate


72



• Probabilità a priori degli stati di natura P(Sj):

� P(piove) = 0.4

� P(non piove) = 0.6

Le probabilità a priori P(Sj) possono, e.g., essere dedotte dal rapporto tra il numero

di giornate piovose e il numero delle giornate totali del mese che si sono verificate

nello stesso periodo di osservazione negli anni precedenti

• Probabilità condizionate P(IEi| Sj):

� P(previsione pioggia|piove) = 0.9

� P(previsione pioggia|non piove) = 0.2

� P(previsione no pioggia|piove) = 0.1

� P(previsione no pioggia|non piove) = 0.8

Le probabilità condizionate P(IEi| Sj) possono anche esse dedursi facilmente, e.g.,

verificando quante volte nel passato le previsioni (esiti indagine) erano state corrette


73



Applicando Bayes si ottiene:• Probabilità a priori degli esiti dell’indagine P(IEi) = Σj P(IEi| Sj) P(Sj):

• P(previsione pioggia) = 0.9 • 0.4 + 0.2 • 0.6 = 0,48

• P(previsione no pioggia) = 0.1 • 0.4 + 0.8 • 0.6 = 0,52

• Probabilità condizionate P(Sj|IEi) = P(IEi| Sj) P(Sj)/P(IEi)

• P(piove| previsione pioggia) = 0.9 • 0.4 / 0.48 = 0.75

• P(piove| previsione no pioggia) = 0.1 • 0.4 / 0.52 = 0.08

• P(non piove| previsione pioggia) = 0.2 • 0.6 / 0.48 = 0.25

• P(non piove| previsione no pioggia) = 0.8 • 0.6 / 0.52 = 0.92


74



ombrello

5

non ombrello

piove, 0.75

non piove, 0.25

7

-10

-2

0.75

0.25

EVSI=4.52

previsioni pioggia, 0.48

previsioni no pioggia, 0.52 ombrello

5

non ombrello

0.08

0.92

7

-10

-2

0.08

0.92

EVSI=5.69

EVSI=3.25

EVSI = 4.52 – 0.80 = 3.72

SIE = EVSI/EVPI = 0.69


75



Information, EVSI) – Riassunto formale

• EVSI (valore monetario atteso con informazione campionaria) si valuta

aggiornando le probabilità a priori degli stati della natura in base agli esiti

dell’indagine IEi

dove EVSIi è il valore atteso della migliore decisione che si può prendere a

valle dell’esito IEi e Vij è il valore della migliore decisione che si può

prendere a valle dell’esito IEi e della realizzazione dello stato Sj

∑=

⋅=m

iSIiSI i

EVIEpEV1

)( ∑=

⋅=n

jijijSI VIESpEV

i1

)(


76



Information, EVSI)

• Si devono valutare

� p(IEi) le prob. a priori degli esiti dell’indagine

� p(Sj | IEh) le prob. degli stati condizionate agli esiti dell’indagine (a

posteriori)

• Probabilità Totale

• Teorema di Bayes

)()()(1

∑=

⋅=m

ijjii SpSIEpIEp

)(

)()()(

i

jjiij IEp

SpSIEpIESp

⋅=


77



Information, EVSI)

• Si ottiene

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

= =

= =

= =

⋅⋅=

=

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

m

i

n

jijjji

m

i

n

j i

ijjji

i

m

i

n

jijijiSI

VSpSIEp

IEp

VSpSIEpIEp

VIESpIEpEV

1 1

1 1

1 1

)()(

)(

)()()(

)()(


78



Information, EVSI)

• Il valore atteso dell’informazione campionaria

EVSI = EVSI - EV

• Efficienza dell’informazione campionaria (Sample Information Efficiency,

SIE)

SIE = EVSI/EVPI

0 ≤SIE ≤1


79


� Un esercizio

• Valutare 4 tipi di innovazione tecnologica di un prodotto a fronte di 3

possibili scenari futuri della domanda, le cui probabilità a priori sono

Guadagni (utilità)

470350300D

490375300C

540350250B

600350200A

AltaMediaBassaDecisioni\Domanda

pbassa= 0,1 pmedia= 0,5 palta = 0,4.


80


� Un esercizio

• Valutare l’opportunità di eseguire o meno un test sul possibile scenario di

mercato avendo informazioni storiche sulla probabilità degli esiti del test

dati gli stati della natura

p(Th/Sj)

0.10.30.6Sfavorevole

0.20.30.2Invariato

0.70.40.2Favorevole

AltaMediaBassaTest Mercato\Domanda


81

D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza

� Non sono disponibili le informazioni sulla probabilità degli stati futuri della

natura

� Criteri decisionali f(V):

• MAXIMIN

• MAXIMAX

• Hurwicz

• Laplace (equiprobabilità)


82


� Criterio MAXIMIN

• Atteggiamento pessimista del DM: massimizza il payoff nel caso più

sfavorevole

f(v) = maxi minj Vij

• Problemi:

� Scarso uso dell’informazione disponibile

� Miopia (incapacità di valutare un compromesso)


83


� Criterio MAXIMAX

• Atteggiamento ottimista del DM: massimizza il payoff nel caso più

favorevole

• Problemi:

� Gli stessi del MAXIMIN

f(v) = maxi maxj Vij


84


� Criterio di Hurwicz

• Un compromesso tra MAXIMIN e MAXIMAX espresso da un parametro α(MAXIMAX) 0 ≤ α ≤ 1 (MAXIMIN)

f(v) = maxi (α minj Vij + (1- α) maxj Vij)


85


� Criterio di Laplace (equiprobabilità)

• Si considerano equiprobabili gli stati della natura e si sceglie secondo il

massimo valore atteso

• si pone

p(Sj) = 1/n ∀j

• si sceglie

f(V) = maxi ∑j p(Sj)Vij


86


� Esempio

• Il problema della selezione della tecnologia

• D è dominata da C !!!

Guadagni (utilità)

470350300D

490375300C

540350250B

600350200A

AltaMediaBassaDecisioni\Domanda


87


� Esempio

• Il problema della selezione della tecnologia (si scelga, ad esempio, α = 0.4

per algoritmo di Hurwicz)

388

380

383

Equip

414

424

440

α=0.4

490

540

600

MAXIMAX

300

250

200

MAXIMIN

Guadagni (utilità)

490375300C

540350250B

600350200A

AltaMediaBassaDec.\Dom.


88


� Analisi di sensitività – Break Even Point

• Nel caso di 2 eventi si può analizzare l’andamento della decisione in

funzione della probabilità

� Ad esempio

� EV(Ai) = pVi1 + (1-p)Vi2

V42V41A4

Stati della Natura

V32V31A3

V22V21A2

V12V11A1

S2 (1-p)S1 (p)Decisioni


89


� Analisi di sensitività – Break Even Point

• Graficamente

EV(Ai) = pVi1 + (1-p)Vi2

p10

V32

V31

V21

V11

V41V22

V12

V42

A4A1A2

Break EvenPoint


90

Obiettivi Multipli


91

Obiettivi Multipli

� I problemi reali, soprattutto in presenza di più decisori, presentano spesso criteri di valutazione delle soluzioni (obiettivi) multipli;

� spesso tali criteri sono discordi non è quindi possibile agire in modo che possano essere tutti soddisfatti al meglio;

� diversi approcci sono possibili per superare tale difficoltà:• combinazione pesata degli obiettivi, • approccio lessicografico (o disgiuntivo)• approccio congiuntivo, • approccio della marca ideale.

� la soluzione determinata dovrà comunque essere Pareto ottima.


92

Esempio di riferimento

Si consideri il seguente problema di programmazione lineare con due obiettivi

max z = 5x1 + 6x2 +3x3

max w = 10x22x1 + 4x2 + x3 ≤15

3x1 + 2x2 + 2x3 ≤23

x1 + 3x2 + x3 ≤18

xi ≥ 0


93

Esempio di riferimentoSe si ottimizzano separatamente i due obiettivi con il simplesso si ottiene

max z = 5x1 + 6x2 +3x3

2x1 + 4x2 + x3 ≤153x1 + 2x2 + 2x3 ≤23 z* = 38 w= 0x1 + 3x2 + x3 ≤18

xi ≥ 0

max w = 10x22x1 + 4x2 + x3 ≤153x1 + 2x2 + 2x3 ≤23 z= 22,5 w* = 37,5x1 + 3x2 + x3 ≤18

xi ≥ 0

alle due soluzioni corrispondono ovviamente diversi valori dellexi e quindi non può essere presa una decisione che soddisfi entrambe gli obiettivi, bisogna giungere ad un compromesso e scegliere uno dei punti della frontiera di Pareto.


94

Combinazione pesata degli obiettivi

Per ottenere un’unica soluzione si può usare la combinazione pesata degli obiettivi quando è possibile quantificare (ad esempio monetizzando) l’importanza relativa dei diversi obiettivi.

E.g., si supponga che ottimizzare l’obiettivo z sia due volte più importante che ottimizzare w. Si giunge a

max 2(5x1 + 6x2 +3x3) + 1(10x2)2x1 + 4x2 + x3 ≤153x1 + 2x2 + 2x3 ≤23 z* = 38 w= 11,66x1 + 3x2 + x3 ≤18

xi ≥ 0

In questo caso z non è diminuito rispetto all’ottimo, ma in generale ciò potrebbe avvenire.


95

Approccio lessicografico

Per ottenere un’unica soluzione si può usare l’approccio lessicografico quando è possibile stabilire una precisa gerarchia di dominanze tra gli obiettivi.E.g., si supponga che ottimizzare l’obiettivo z sia più importante che ottimizzare w, se però ci sono soluzioni equivalenti si scelgono quelle che ottimizzano w. Si ottimizza quindi prima rispetto a ze si ottiene z* = 38, quindi si impone che tale condizione sia rispettata e si ottimizza rispetto a w, giungendo a

max 10x22x1 + 4x2 + x3 ≤153x1 + 2x2 + 2x3 ≤23 z* = 38 w= 11,66x1 + 3x2 + x3 ≤18

5x1 + 6x2 +3x3 = 38xi ≥ 0


96

Approccio congiuntivoPer ottenere un’unica soluzione si può usare l’approccio congiuntivo quando è possibile stabilire una soglia minima di soddisfacimento che deve essere rispettata da tutti gli obiettivi. In pratica tutti gli obiettivi vengono trasformati in vincoli.E.g., si supponga che sia z chew debbano valere almeno 25. Si può poi ottimizzare rispetto ad uno qualunque o ad una combinazione degli obiettivi, giungendo, e.g., a

max 5x1 + 6x2 +3x3

2x1 + 4x2 + x3 ≤153x1 + 2x2 + 2x3 ≤23 z = 30 w= 25x1 + 3x2 + x3 ≤185x1 + 6x2 +3x3 ≥ 2510 x2 ≥ 25

xi ≥ 0

In questo caso obiettivi sono diventati vincoli, col rilassamento lagrangianovincoli diventano obiettivi.


97

Approccio della marca ideale

Per ottenere un’unica soluzione si può usare l’approccio della marca ideale quando è possibile stabilire i valori ideali da cui ci si vuole allontanare il meno possibile.E.g., i valori ottimi per il problema sono z*= 38 chew*= 37,5. Si può quindi minimizzare una norma giungendo a

min ||38 – (5x1 + 6x2 +3x3)|| + ||37,5 – 10x2|| 2x1 + 4x2 + x3 ≤153x1 + 2x2 + 2x3 ≤23 z = 26,6 w= 30,6x1 + 3x2 + x3 ≤18

xi ≥ 0

Se la norma scelta è quella 1, l’approccio equivale a quello della combinazione pesata degli obiettivi. Se la norma è infinito si giunge all’approccio lessicografico. Di solito si usa il quadrato della norma 2 (i risultati indicati sono riferiti a tale caso)


98

Obiettivi Multipli: esempio grafico I

� Si consideri il seguente problema

max z = x1 + 3x2

max w = 3x1 + x2

-x1 + x2 ≤4x1 + x2 ≤8

2x1 + x2 ≤12

x1 ≤5

xi ≥ 0

(2,6),soluzione ottima per z

(5,2),soluzione ottima per w

5

4


99

Obiettivi Multipli: esempio grafico I

combinazione conica (o, come in questo caso, convesso) delle funzioni obiettivo

max a( x1 + 3x2) + b(3x1 + x2)e.g., cona, b ≥0, a + b = 1

faccette (2,6) - (4,4)e(4,4) - (5,2),soluzioni pareto ottime

5

4

5

4

soluzione ottima per 1/2 ≤a ≤1

soluzione ottima per 1/6 ≤a ≤1/2

soluzione ottima per 0 ≤a ≤1/6


100

Obiettivi Multipli: esempio grafico II

� Si consideri il seguente problema

max z = x1 + x2

max w = 3x1 + x2

-x1 + x2 ≤4x1 + x2 ≤8

2x1 + x2 ≤12

x1 ≤5

xi ≥ 0

faccetta (2,6) - (4,4),soluzioni ottime per z, z* = 8

(5,2),soluzione ottima per w, w* = 17

5

4


101


faccetta (4,4) - (5,2),soluzioni pareto ottime

5

4


102


(4,4),soluzione lessicografica, considerando prima la funzione obiettivo z

5

faccetta (2,6) - (4,4),soluzioni ottime per z

(5,2),soluzione lessicografica, considerando prima la funzione obiettivo w

5

(5,2), soluzione ottima per funzione obiettivo w


103


(4.5,3),soluzione congiuntiva, imponendo che il valore dell’obiettivo z sia almeno 7.5e massimizzando l’obiettivo w

5

insieme soluzioni per cui z = 7.5

soluzione di distanza quadratica minima rispetto alla marca ideale A

5

A


104

Esercizi1. Valutare per punti la propria funzione di utilità tra gli 0 e i 10000EUR.

2. Si stimi il valore di r per una funzione di utilitàU(x) = a - b e-rx sapendo che il DM ritiene β la CME di una lotteria i cui premi sono distribuiti uniformemente tra γ e δ.

3. I dati storici di una azienda indicano che nel passato recente sono stati effettuati gli seguenti investimenti riportati in tabella. Stimare la funzione di utilità del management aziendale con una funzione esponenziale a-be-rx

capitale investito

probabilità successo investimento

valore finale investimento se vi è successo

valore finale se non vi è successo

0 0 0 0198 0,28 2000 0261 0,53 1300 0299 0,72 1000 0

1194 0,86 3000 02499 0,95 5000 01502 0,99 2500 0


105

Esercizi3. Dato un capitale di 100 EUR si possono possono effettuare due tipi di

“investimento”. Il primo investimento ha una probabilità di successo di 0,5 e, nel caso ciò accada, vi sarà un ritorno di 220 EUR, altrimenti si perde tutto. Il secondo investimento richiede di spezzare il capitale in due tranche da 50 EUR. Entrambe le tranche, ma in modo indipendente, sono investite in attività che hanno probabilità di successo di 0,5 e, nel caso ciò accada, hanno un ritorno di 110 EUR, altrimenti hanno ritorno nullo. Supponendo di essere obbligati a scegliere uno dei due tipi di investimento indicare quale si preferirebbe, nel caso in cui si sia avversi al rischio e nel caso in cui si sia propensi al rischio.Alla luce dei risultati ottenuti argomentare sul perché convienediversificare il rischio nel caso si debba investire in attività in cui non si abbia il controllo sulle probabilità di successo. Viceversa argomentare sul quali debbano essere le condizioni che spingano una azienda a concentrarsi sul suo core business o viceversa diversificarsi. Nel secondo caso indicare inoltre quando all’azienda conviene diversificarsi orizzontalmente e quando conviene diversificarsi verticalmente. Presentare degli esempi numerici.

4. Svolgere gli esercizi proposti dal prof. Beasley alla pagina http://mscmga.ms.ic.ac.uk/jeb/or/decmore.html. Per determinare la scelta ottima utilizzare EV, ROI e la funzione di utilità determinata nell’esercizio 2. Commentare gli eventuali risultati discordi.

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