Lo scambio termico conduttivo La Conduzione Termica in Transitorio

Corso di Trasmissione del calore

Lo scambio termico conduttivo in regime Transitorio

La soluzione di un problema di conduzione termica in regime transitorio è analiticamente possibile solo in casi semplici, pertanto è frequente l’uso di ipotesi semplificative che tendano a ridurre il numero di variabili indipendenti o che si basino su tecniche numeriche e su abachi di soluzione analitiche complesse.

Il primo caso si incontra qualora si voglia valutare la variazione di temperatura di un corpo ipotizzando ogni suo punto istantaneamente alla stessa temperatura: è il caso del Metodo dei Parametri Concentrati, dove il sistema varia la sua temperatura nel tempo a causa di una generazione interna di calore e/o in virtù delle condizioni a contorno ed iniziali del problema.

Il secondo caso ricalca quanto visto in precedenza per i sistemi multidimensionali stazionari, dove, mediante approssimazione numerica delle equazioni differenziali che reggono il problema, le Differenze Finite ci hanno consentito di risolvere la distribuzione di temperatura interna al corpo oggetto di studio.

Il terzo ed ultimo metodo è quello della soluzione analitica mediante il Metodo della Separazione delle Variabili, le cui soluzioni possono essere utilizzate grazie alla presenza in letteratura di abachi grafici (Grafici di Heisler-Grober) dai quali è possibile calcolare il flusso termico locale e la temperatura interna ad un corpo in geometrie semplici ed in una combinazione lineare delle stesse.

Approccio Dimensionale al Problema Non StazionarioSi consideri un corpo “caldo” a temperatura uniforme pari a Ti immerso istantaneamente in un fluido a temperatura minore; con il passare del tempo inizia a formarsi una regione, in prossimità del contorno dell’oggetto in cui la temperatura T si porta ad un valore compreso fra la Ti e la T∞ del fluido.

L’estensione di tale regione aumenta con il passare del tempo sino a quando gli effetti del raffreddamento arrivano ad influenzare la temperatura del centro del corpo.

Si possono individuare tre regimi di flusso corrispondenti alle tre schematizzazioni della figura in basso. Il primo a sinistra sarà il regime “iniziale” in cui il gradiente termico rimane concentrato in prossimità dell’interfaccia con il fluido. Il secondo, al centro, corrisponde ad un regime di “transizione il cui l’effetto del raffreddamento arriva al nucleo. Il terzo, a destra, prevede una distribuzione di temperatura all’interno del corpo pressoché costante.

Approccio Dimensionale al Problema Non Stazionario2

2

20

2

0

0

20

2 2

0

1 Equazione della Diffusione monodimensionale

0Poiché:

0

Il termine precedente diventa:

A sua volta:

x x

i

x x

i

T Ttx

T Tx xT

x

T TT Tx x

T TTx

TTt

δ

δ

α

δ

δ

δ

=

=

∂ ∂=

∂∂∂ ∂ − ∂ ∂∂

−∂

−∂ ∂ ∧ ∂ ∂

−∂−

∂

∂∂

( )10 0 2

2

e quindi:0

1

i

i i

Tt

T T T Tt

tδ α

αδ

−−

− −− ⋅ ⇒ ⋅

Se si considera lo strato di materiale di spessore “δ”, in cui avviene la maggior parte del gradiente termico, e si assume un suo spessore piccolo, in relazione alla grandezza del corpo, si può introdurre una approccio monodimensionale.

Un’analisi dimensionale dei singoli termini porta a dire che il gradiente di temperatura in prossimità della fine dello strato “δ” è pressoché nullo e quindi la derivata seconda della temperatura rispetto ad x equivale al rapporto fra la differenza (Ti – T0 ) ed il quadrato dello spessore dello strato termicamente più coinvolto.

Combinando i singoli termini si vede che lo spessore dello strato interessato dal gradiente termico cresce con il tempo e dipende anche dalla grandezza diffusività termica.

Considerando che il regime “transitorio” si avrà nel momento in cui l’onda termica arriva al nucleo, si ottiene:

20

20

20

regime "iniziale"

regime "finale"c

rtr

tr

t

αα

α

→

Il numero di Fourier

Potenza termica 3attraverso L per un corpo di volume L

Potenza termica 3 in un corpo di vol

trasmessa per conduzione

accumulat

ume L

a

2

3 2

1α τ

ρ= =

∆ = =

∆p

k L TtLFo

c L T Lt

L

L

LQ conduzioneQ

accumulatoQ

A differenza della diffusività termica del corpo che indica la capacità intrinseca dello stesso di rispondere alle sollecitazioni termiche esterne, il Numero di Fourier fornisce una indicazione sulla variazione temporale dell’Inerzia Termica, che è legata non solo alla proprietà del corpo ma anche alla sua dimensione ed all’istante temporale in cui viene valutata.

Si è così creato un gruppo adimensionale, Fo, che è anche variabile indipendente adimensionale

Parametri ConcentratiIl Regime “Finale”

6

Approccio ai Parametri ConcentratiIpotesi:

1. Il Corpo sia inizialmente ad una temperatura Ti uniforme;

2. Il Corpo venga immerso istantaneamente in un fluido a

temperatura differente pari a T∞

3. La capacità termica del fluido sia tale che la sua

temperatura rimane invariata nel tempo;

4. Il coefficiente di scambio termico convettivo possa

essere assunto costante e pari ad h;

5. La resistenza termica interna conduttiva del corpo sia trascurabile così da poter avere la temperatura di tutti i punti interni uniforme;

6. Il numero di Biot sia <<1.

( )( )sdTh A T t T cVdt

ρ∞− − =

⋅⋅

= =s c

VhA h L

Bik k

V = volume del corpoAs = Superficie esterna del corpok = Conducibilità termica del corpoLc = Lunghezza caratteristica

Sotto queste ipotesi il calore scambiato all’interfaccia solido fluido dovrà necessariamente essere uguale alla variazione di energia interna del corpo.

8

Approccio ai Parametri Concentrati

( )( )

( )

( )

0

ln

i

s

s

ss

t

i is

h A ttcV RC

s i i i

Q U

dTh A T t T cVdt

T t T

d cV dh A cV dtdt h A

cV ddt dove T Th A

T t TcV t e eh A T T

θ

θ

ρ

ρ

θ

θ ρ θθ ρθ

ρ θ θθ

ρ θ θθ θ

∞

∞

∞

− −∞

∞

− = ∆

− − =

≡ −

− = ⇒ − =

⇒ − = ≡ −

− ⇒ = − ⇒ = = = −

∫ ∫

Il comportamento del solidoche si raffredda secondo lemodalità a parametriconcentrati è assimilabile alcomportamento di uncondensatore che si scarica sudi una resistenza elettrica.

Dopo una costante di tempo τ ildelta di temperatura fra corpo efluido si ridurrà a ca. 1/3 diquello iniziale.

Dopo 3τ sarà il 5% e dopo 4τ il2%.

1

0

0.368

θ

9

Approccio ai Parametri ConcentratiPer conoscere il calore scambiato in un dato lasso di tempo:

0 0

00

2

2

1

Ricordando che:

si ha:

1

t t

s

tt ttRC RC

s i s i

tRC

i

c

c

s c

c

Bi Foi

Q q dt h A dt

h A e d t h A RC e

Q C e

h L tBi FoL

h A t h Lt t Bi FoRC V c L

Q C e

θ

θ θ

θ

αλ

αρ λ

θ

− −

−

− ⋅

= = ⇒

⇒ = − ⇒

⇒ = −

= ∧ =

= = ⋅ = ⋅

⇒ = −

∫ ∫

∫

10

Esempio: La Termocoppia

Si consideri una termocoppia con elemento sensibile di diametro 1mm. Posti i dati diseguito riportati, si calcoli il tempo necessario affinché la giunzione raggiunga il 99%della differenza di temperatura iniziale rispetto al fluido.

Soluzione:

[ ]3

42

16 1.67 106c

DVL D mA D

π

π−= = = = ×

Come prima cosa si calcola la lunghezza caratteristica del corpo:

Successivamente si calcola il numero di Biot per la verifica delle Ipotesi:

4210 1.67 10 0.0001 0.135

ch LBiλ

−× ×= = = <

3 235 8500 320 210pW kg J Wc h

m K kg Km m Kλ ρ

= = = =

11

Esempio1: La Termocoppia

( )

( ) [ ]

4

0.462

0.01

1 210 10.4628500 320 1.67 10

0.01 10

i

p p c

ttRC

i

T t TT T

h A hRC c V c L s

T t Te e t s

T T

ρ ρ

∞

∞

−

−∞ −

∞

−=

−

= = = = × × ×

−= ⇒ = ⇒ =

−

Verificata la possibilità di utilizzare il metodo ai parametri concentrati basterà verificare cheper avere il 99% del delta iniziale il rapporto adimensionale delle temperature dovràessere pari a 0.01.

Calcolata successivamente la costante di tempo RC si può invertire l’espressione delladiminuzione esponenziale di temperatura, ottenendo la variabile che si stava cercando.

Una persona viene rinvenuta morta in una stanza in cui la temperatura ambientale èstata mantenuta praticamente costante da un impianto di riscaldamento al valoreTa=22°C. Per poter risalire all’ora del decesso, si misura la temperatura corporea delmorto e si ottiene il valore Tb=26°C.Si stima che il coefficiente di scambio termico tra la superficie del corpo e l’ambientecircostante sia h=10W/(m2K). Determinare da quanto tempo è avvenuto il decesso

Esempio2

2

20,34 0,070,34 2 4 22 1,74

D HV D mL mDDA DH H

π

ππ= = = = =

+ ++

12

In prima approssimazione si può modellizzare il corpo come un cilindro avente diametroD=30 cm ed altezza H=1,70 m.

Soluzione:

13

Esempio2

2int10 0,07

1 0,10,7

erna c

esterna b

W mR h L m KBiWRmK

λ

⋅= = = = >

Per quanto riguarda le proprietà termofisiche del corpo si assumono i seguenti valori(molto prossimi a quelli dell’acqua, considerando che circa il 70% della massa del corpoumano è costituito da questo elemento):

4,2pkJc

kgK≈ 0,7 W

mKλ ≈ 31200 kg

mρ =

Usando l’approccio ai parametri concentrati:

Il numero di Biot non soddisfa una delle condizioni per l’applicabilità del metodo. Si provacomunque a vedere il risultato per un eventuale successivo confronto.

C

R

14

Esempio2

( )( )

4

0

26 22ln 3,5 10 ln 46260 13

37 22bT T

t RC s hT T

∞

∞

−−= − = − ⋅ ⋅ ≈ ≈

− −

( )0( )t

RCbT t T T T e

−∞ ∞= + −

1pR C c V

hAρ= =

33 4

2

1200 4,210 0,073,5 10 10

10

p p

kg J mc V c L kgKmRC s hWhA h

m K

ρ ρ ⋅ ⋅= = = ≈ ⋅ ≈

Il Solido Semi Infinito

15

2

21

00

i

i

T Ttx

T T per tT T per xT T per x

α

∞

∂ ∂=

∂∂= =

= =→ →∞

Nel regime iniziale lo strato di solidointeressato dal gradiente termico èrappresentato dalla distanza delta; qualoratale distanza sia piccola in relazioneall’estensione del corpo di potrà introdurreuna trattazione di corpo semi-infinito con unapproccio di tipo monodimensionale nellostrato iniziale.

Nella figura accanto viene introdotta l’ipotesiche il coefficiente di scambio termicoconvettivo sia abbastanza elevato da faercoincidere la temperatura superficiale esternacon la temperatura del fluido indisturbato.

Osservando la figura di sinistra si vede comele curve siano fra loro simili nel partire dalmedesimo punto per arrivare ad unatemperatura Ti mediante un’unica curvatura.

Questa osservazione ci suggerisci di cercareun profilo di temperatura di similarità che siafunzione dello spazio e del tempo:

( )( )

12

xT T cont

η ηα

= =⋅

Il Solido Semi Infinito

16

( )

( )

12

2 2

2 2

312 2

2

22

2

1

1

Inoltre:

2Riprendendo l'equazione della Conduzione:

02

1 0

i

T dT dTx d x d t

T d T d Td x x tx d

T dT dT xt d t d t

d T dTdd

T T T T pertx T per

ηη η α

ηη αη

ηη η α

ηηη

ηα

η∞

∂ ∂= ⋅ = ⋅

∂ ∂ ⋅

⇓

∂ ∂ ∂ = = ⋅ ∂ ∂ ⋅ ∂

∂ ∂ = ⋅ = − ∂ ∂ ⋅ ⋅

+ =

∂ ∂= ⇒ = =

∂∂ → →∞

Applicando il cambio di variabile esostituendo i singoli termini che descrivonol’equazione della conduzione nello stratodelta, si ottiene una nuova equazione chepuò facilmente essere riordinata per unasuccessiva separazione delle variabili edintegrazione.

( )

2 2

11

2

1

2

1 20

''

' 2

'ln ' ln ln4 4

exp4

exp4

d T dTd con TT d

TT CC

dT Cd

T C d Cη

η ηη

η η

ηη

β β

= − =

⇓

= − + ⇒ = −

⇓

= −

⇓

= − +

∫

Il Solido Semi Infinito

17

( ) ( )

2

2 10

21 02

Prendendo in esame la prima condizione al contorno:

e quindi exp2

Nell'espressione dell'integrale si riconosce la definizione della funzione errore:

2 expx

C T T T C d

erf x m dm

η β β

π

∞ ∞

= − = −

= −

∫

( ) ( ) ( )

( )

0 12

12 22

1 31 02

2in cui 0 0, 1 e 1.1284

Riscrivendo l'equazione del solido semi infinito:

22 exp2 2

Introducendo infine la seconda condizione al contorno:

xderf erf erf xdx

T T C m dm C erf

T

η

π

π η

π

=

∞

= ∞ = = =

− = − = ⋅

∫

∫

( )( )

( )1 1

2 20 ed inoltre ''

2i

i x

T TT x Terf q t k kT T xt tα π α

∞∞

∞ =

−− ∂ = = − = − − ∂ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Il Solido Semi Infinito – Flusso Termico Constante -

18

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1 22

12

12

0

'' '', 2 exp2 4 2

dove:1

L'andamento nel tempo della temperatura superficiale sarà:

''0, 2 (q'' costante)2

i

i i

q t x q xT x t T x erfck t k t

erfc x erf x

q tT t T T t Tk

αα α

α

⋅ − = − − ⋅ ⋅

= −

⋅ − = − =

- Scambio Convettivo all’Interfaccia-

( )

( )( ) ( )

( )

0

2 12

1 2 12 2

,exp

2 2

x

i

Th T T kx

T x t T x h x h t x herf erfc tT T k kkt t

α αα α

∞=

∞

∞

∂ − = − ∂

− ⋅ ⋅ = + + + ⋅ − ⋅ ⋅

19

Il Solido Semi Infinito

20

Il Solido Semi Infinito

Il Solido Semi Infinito – Esempio -

21

Rif. Pag. Prec.

Si consideri una tazza ad una temperatura iniziale di 25 [°C] in cui viene istantaneamenteversato del tè alla temperatura di 70 [°C]. Si assuma che la temperatura della superficieinterna arrivi immediatamente ad una temperatura di 70 [°]. Calcolare dopo quanto tempoun punto della tazza a 2 [mm] da tale superficie arriverà ad un temperatura di 30 [°C].

Il Solido Semi Infinito – Esempio -

22

( )

( )

( ) ( )

12

12

2 2

1 2 2 12

2

30 70 0.88925 70 2

Dalle tabelle relative ai valori dell'argomento della funzione errore si trova:

4[ ] 11.14 1.925.2 0.004[ ]2.282

α

α

αα

∞

∞

−

− = − ⋅ ⋅ − = = − ⋅ ⋅

≅ ⇒ ≅ = ⋅ =⋅⋅ ⋅

i

T T xerfT T t

xerft

x x mmtcm st

[ ]s

23

Soluzioni Analitica e Grafica

( ) ( )

0

2

,Temperatura adimensionalizzata ,

Distanza adimensionalizzata

Coeff. Di Scambio Termico adimensionalizzato (Numero di Biot)

Tempo adimensionalizzato (Numero di Fourier)

i

T x t Tx t

T T

x rXL r

h LBi

tL

θ

λ

ατ

∞

∞

−=

−

= ≡

=

=

Il vantaggio di presentare i vari parametri in forma adimensionale deriva dalla successiva facilità nella loro rappresentazione in forma grafica.

24

Soluzioni Analitiche ApprossimatePer τ >0.2, trascurando i termini superiori al primo della soluzione esatta, si commette unerrore inferiore al 2%.

Allora per un corpo:

• inizialmente a temperatura uniforme Ti;

• privo di generazione interna;

• Con scambio convettivo con un fluido a temperatura T∞ con coefficiente di scambiotermico h costante e uniforme.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

21

21

21

11

11 0

0

10

11

0

,: , cos

,: , cos

sin,: ,

i

i

i

T x t T xParete Piana x t A eT T L

T r t T rCilindro x t A e JT T r

rT r t T r

Sfera x t A e rT T r

λ τ

λ τ

λ τ

λθ

λθ

λθ

λ

∞ −

∞

∞ −

∞

∞ −

∞

− = = −

− = = −

− = =−

Dis

trib

uzi

one

diTe

mpe

ratu

raA

dim

ensi

onal

e

25

Soluzioni Analitiche Approssimate2

1

21

21

00, 1

00, 1

00, 1

( 0) :

( 0) :

( 0) :

paretei

cilindroi

sferai

T TCentro della Parete Piana x A eT T

T TCentro del Cilindro r A eT T

T TCentro della Sfera r A eT T

λ τ

λ τ

λ τ

θ

θ

θ

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

−= = =

−

−= = =

−

−= = =

−

( )

10,

max 1

1 10,

max 1

1 1 10, 3

max 1

sin1

1 2

sin cos1 3

pareteparete

cilindrocilindro

sferasfera

QParete PianaQ

JQCilindroQ

QParete PianaQ

λθλ

λθ

λ

λ λ λθλ

= −

= −

−= −

Rap

port

o di

Scam

bio

Term

ico

Tem

pera

tura

al C

entr

oD

ella

Geo

met

ria

26

Soluzioni Analitiche Approssimate

Soluzione Grafica: Heisler Gröber

27

A ciascuna geometria sono associati 3 diagrammi che,noto il numero di Biot per la geometria considerata,consentono:

1. di calcolare la temperatura T0 al centro dellageometria in un dato istante t;

2. di calcolare la temperatura in altri punti del solidonello stesso istante in funzione di T0;

3. di calcolare la quantità complessiva di caloretrasmesso fino al tempo t.

Facendo ad esempio riferimento al caso della lastrapiana, si osserva immediatamente che la temperaturaal centro della lastra, per un determinato istante t, siottiene direttamente dal grafico di diapositiva 32calcolati l’inverso del numero di Biot ed il numero diFourier.

Se a questo punto volessimo sapere la temperatura inun qualsiasi punto intermedio fra l’asse di mezzeriadella lastra e la superficie esterna, potremmo trovarlodal grafico in diapositiva 33 che lega la temperaturadel punto incognito al tempo t con la temperatura dellamezzeria al medesimo istante.

Volendo infine conoscere il flusso termico attraverso icontorni del solido sino al tempo t, basterà usare ilgrafico in diapositiva 34 che relaziona Q al calore Qipari alla variazione totale di energia interna.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

22

1

20 22 2 001

0

0

sin,2 cos exp

sin cos

, 2 exp

sinsin cos,

2 expsin cos

nn n

i n n nn

n ni n nn

n

n n nn

ni n n n

T x t T x tT T L L

T x t T Bi r tJT T r LBi J

rrT x t TrT T

r

λ αλ λλ λ λ

αλ λλ λ

λλ λ λ

λλλ λ λ

∞∞

∞ =

∞∞

∞ =

∞

∞

− ⋅ = − − +

− ⋅ ⋅ = ⋅ − − + ⋅

−− = ⋅ −

− −

∑

∑

( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

1

0''

, , 0,

n

t

i i

c

i c isolido differenza sul centro centro

tL

Q WHLc T T Q t WH q dt

T x t T T x t T T t TT T T T T T

α

ρ

∞

=

∞

∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞

⋅

= − =

− − − = ⋅

− − −

∑

∫

28

La Lastra Piana

29

La Lastra Piana

30

La Lastra Piana

31

Il Cilindro

32

Il Cilindro

33

Il Cilindro

34

La Sfera

35

La Sfera

36

La Sfera

37

Esempio: Parete in Laterizio Pieno

[ ] [ ]

2

23

0.75

12 30 0.3 2 0.5

10

1.7 10

Wm K

h LL cm m BiBi

Whm K

mh

λ

λ

α −

=

= = ⇒ = = ⇒ =

=

= ⋅

38

Esempio: Parete in Laterizio Pieno

( )( ) ( ) ( )

( )* *

000 0 00 0

x

i x

i

T Tx xT T T T T x TT T T T

T T

θ θθ θ

∞

∞ ∞

∞ ∞

∞

−− −

= = ⇒ =− −−

39

( )2

*20 0.1 2.1 2.1 28t LT per Fo t h

Lα

α= = = ⇒ =

( )*

2

2

1 0.1

1.4

1.4 18.5

T pertFo

L

Lt h

α

α

=

= =

⇓

=

Esempio: Parete in Laterizio Pieno