Liceo Scientifico Statale Nicolò Copernico · Liceo Scientifico Statale Nicolò Copernico Viale...

Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca

Ufficio Scolastico Regionale per la Lombardia

Liceo Scientifico Statale Nicolò Copernico

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CodiceMinisteriale BSPS070005 - C.F. 98012310177

PROGRAMMAZIONE DI DIPARTIMENTO MATEMATICA

PIANO DI LAVORO - CLASSE PRIMA

PREMESSA

II presente piano di lavoro è stato concordato e coordinato dagli insegnanti di Matematica del Liceo Scientifico “N. Copernico” e si pone in una linea di continuità con i programmi della scuola media inferiore alla luce di quanto delineato nel Profilo educativo, culturale e professionale dello studente liceale e nelle Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento della scuola secondaria superiore . Si articola attorno all'idea base che considera la matematica come mezzo per offrire agli allievi idee e strumenti espressivi il cui possesso permette una conoscenza razionale e critica della realtà. La matematica è considerata il linguaggio della conoscenza scientifica sia in modo autoriferito, per le teorie e i modelli matematici, sia, con riferimento esterno, per le teorie e i modelli delle scienze fisiche e naturali. Tutto questo nella consapevolezza della molteplicità dei modelli proponibili per la descrizione tanto di “oggetti” matematici che di fenomeni scientifici, in particolare fisici.

FINALITÀ Si fa riferimento alle finalità espresse nel “Profilo educativo, culturale e professionale dello studente liceale”

OBIETTIVI DIDATTICI Si fa riferimento agli obiettivi specifici di apprendimento espressi nelle Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento per il Liceo Scientifico.

MODULI CLASSE PRIMA

ALGEBRA

MODULO 1 - Insiemi, logica Competenze: ü Operare con gli insiemi ü Determinare il valore di verità di una proposizione ü Classificare e ordinare Unità didattica 1. Insiemi

Descrittori Contenuti

ü Individuare un insieme mediante la proprietà caratteristica

ü Rappresentare un insieme nelle varie modalità ü Riconoscere un sottoinsieme di un insieme ü Operare con gli insiemi

ü Insiemi e loro individuazione e rappresentazione ü Intersezione e unione di insiemi ü Prodotto cartesiano di insiemi






Unità didattica 2. Logica

Descrittori Contenuti ü Riconoscere una proposizione ü Conoscere ed utilizzare i connettivi logici

Enunciati Connettivi logici: negazione, congiunzione, disgiunzione inclusiva e esclusiva, condizionale, bicondizionale

MODULO 2 - Insiemi numerici e sistemi di numerazione Prerequisiti § Conoscenze sugli insiemi § Conoscenze di logica Competenze ü Definire un’operazione in un insieme e conoscerne le proprietà ü Operare in un insieme numerico (N , Z , Q) ü Operare con sistemi di numerazione in base diversa dalla base decimale Unità didattica 2.1. Gli insiemi numerici

Descrittori Contenuti ü Riconoscere se una legge è una operazione in

un determinato insieme ü Riconoscere le proprietà in un determinato

insieme e saperle applicare correttamente ü Riconoscere le operazioni negli insiemi numerici

N, Z, Q e saper operare correttamente in questi insiemi

ü Rappresentare sottoinsiemi di N , Z, Q sulla retta orientata

ü Conoscere e applicare le proprietà delle potenze con esponente intero

Insieme N Insieme Z operazioni e relative proprietà Insieme Q Ordinamento in N, Z, Q e rappresentazione sulla retta orientata Potenze di 10 Proporzionalità diretta e inversa

Unità didattica 2.2. Sistemi di numerazione (Approfondimento)

Descrittori Contenuti ü Scrivere un numero in forma polinomiale ü Rappresentare un numero in base diversa da

dieci ü Convertire un numero dalla base dieci ad altra

base e viceversa ü Eseguire semplici operazioni con i numeri

espressi in basi diverse dalla base 10 ü Convertire un numero direttamente dalla base

due alla base sedici e viceversa

Sistemi di numerazione additivi e sistemi posizionali Rappresentazione in forma polinomiale Passaggi di base: da base dieci ad altra base e viceversa Sistemi particolari: binario, esadecimale






MODULO 3 - Calcolo letterale Prerequisiti § Conoscenze degli insiemi numerici § Conoscenze delle proprietà delle operazioni § Conoscenze delle proprietà delle potenze Competenze ü Operare con monomi e polinomi ü Operare con frazioni algebriche Unità didattica 3.1. Operazioni con monomi e polinomi

Descrittori Contenuti

ü Definire un monomio ü Calcolare somma e differenza di due monomi ü Calcolare il prodotto e il quoziente di due

monomi ü Calcolare la potenza di un monomio ü Calcolare il valore di espressioni algebriche

con monomi ü Determinare M.C.D. e m.c.m. fra monomi ü Definire un polinomio e saperne individuare le

caratteristiche ü Calcolare la somma e la differenza di due

polinomi ü Calcolare il prodotto di un polinomio per un

monomio e di due polinomi ü Calcolare prodotti notevoli ü Calcolare le potenze di un binomio ü Dividere un polinomio per un monomio ü Eseguire, quando possibile, la divisione fra

due polinomi ü Applicare il teorema del resto ü Applicare il teorema di Ruffini ü Eseguire la divisione con la regola di Ruffini

Monomi e relative operazioni M.C.D. e m.c.m. tra monomi Polinomi Operazioni tra polinomi: addizione sottrazione moltiplicazione prodotti notevoli potenze di un binomio Triangolo di Tartaglia divisione Regola di Ruffini






Unità didattica 3.2. Scomposizione dei polinomi in Q

Descrittori Contenuti ü Scomporre un polinomio in fattori ü Conoscere i principali metodi di

scomposizione ü Determinare divisore e multiplo comune a

polinomi dati

Scomposizioni in fattori Raccoglimento a fattor comune Differenza di due quadrati Somma o differenza di due potenze simili Forma trinomia: sviluppo del quadrato di binomio Forma trinomia: trinomio particolare Forma quadrinomia: sviluppo del cubo di binomio Forma quadrinomia: riconducibile alla differenza tra due quadrati Polinomio trasformabile nel quadrato di un polinomio Scomposizioni mediante regola di Ruffini Divisore e multiplo comune a polinomi dati

Unità didattica 3.3. Frazioni algebriche

Descrittori Contenuti ü Semplificare una frazione algebrica ü Ridurre due o più frazioni allo stesso

denominatore ü Calcolare la somma e la differenza di frazioni

algebriche ü Calcolare il prodotto e il quoziente di frazioni

algebriche ü Calcolare la potenza di una frazione algebrica ü Risolvere espressioni con le frazioni

algebriche

Frazioni algebriche: operazioni.

MODULO 4 - Equazioni lineari e problemi Prerequisiti § Operare con monomi, polinomi e frazioni algebriche Competenze ü Riconoscere un’equazione e saperla classificare ü Risolvere equazioni di primo grado numeriche intere e fratte ü Risolvere equazioni di primo grado letterali intere ü Risolvere equazioni di primo grado letterali fratte ü Risolvere problemi mediante equazioni lineari






Unità didattica 4.1. Equazioni lineari

Descrittori Contenuti ü Dare la definizione di equazione ü Classificare un’equazione ü Conoscere e applicare i principi di equivalenza ü Determinare il dominio di un’equazione ü Ridurre in forma normale un’equazione e

saperne determinare l’insieme delle soluzioni ü Discutere un’equazione letterale (intera o

frazionaria) ü Analizzare un problema ü Costruire il suo modello algebrico ü Individuare le soluzioni di un problema ü Verificare e stimare il risultato

Identità ed equazioni Equazioni equivalenti Risoluzione di equazioni numeriche Trattamento formule Risoluzione di equazioni letterali Equazioni numeriche frazionarie Equazioni di grado superiore al primo, riconducibili ad equazioni di 1° grado

MODULO 5 - Disequazioni e problemi Prerequisiti § Operare con monomi, polinomi e frazioni algebriche § Risoluzione di equazioni lineari. Competenze ü Risolvere disequazioni lineari e disequazioni ad esse riconducibili ü Risolvere equazioni e disequazioni lineari con elementi in modulo (uno o più) Unità didattica 5.1. Disequazioni

Descrittori Contenuti ü Calcolare il segno di un binomio di primo grado ü Risolvere algebricamente disequazioni lineari ü Calcolare il segno di un prodotto e di un

quoziente di binomi di primo grado ü Risolvere algebricamente disequazioni

frazionarie ü Risolvere disequazioni di grado superiore

mediante scomposizione ü Risolvere algebricamente sistemi di

disequazioni

Disequazioni numeriche di primo grado Segno di un binomio di primo grado Segno del prodotto Segno del rapporto Segno di potenze Disequazioni razionali intere e frazionarie Sistemi di disequazioni






STATISTICA

MODULO 5 - Elementi di statistica Prerequisiti Operare con numeri razionali Operare con monomi e polinomi Usare la calcolatrice in modalità statistica Usare un foglio di calcolo Competenze Interpretare dati statistici pubblicati su giornali e riviste Svolgere una semplice indagine statistica ed analizzare i dati raccolti mediante il calcolo di indicatori di tendenza e di scostamento. Unità didattica 5.1. Spoglio di dati grezzi

Descrittori Contenuti ü Spoglio di dati numerici grezzi. ü Rappresentazione grafica e tabellare.

ü Suddivisione in classi di dati numerici

ü Calcolo di frequenza delle varie classi

ü Rappresentazione in forma di diagrammi a torta, istogrammi, … delle frequenze trovate.

Unità didattica 5.2. indicatori di tendenza

Descrittori Contenuti ü Medie, mode e mediane. ü Calcolo della media a partire da dati

grezzi o da tabelle di frequenze; ü Calcolo di moda e mediana; ü Analisi e raffronto dei tre indicatori

di tendenza per valutare l’attendibilità di una ricerca statistica.

ü Calcolo della media aritmetica ponderata

ü Media geometrica ü Media quadratica ü Quartili, decili, percentili

Unità didattica 5.3. Calcolo di deviazione standard

Descrittori Contenuti ü Scarti dalla media. ü Deviazione standard.

ü Calcolare scarti dalla media. ü Scarti quadratici e scarto quadratico

medio. ü Validità di una rilevazione statistica,

utilizzando anche la deviazione standard.






INFORMATICA

MODULO 6 - Elementi di informatica Prerequisiti § Operare con numeri naturali • Rappresentare numeri naturali in basi diverse dalla base 10 Competenze ü Utilizzare i menù dei comandi del foglio elettronico, ü Uso di software di rappresentazione in ambito matematico ü Conoscere il concetto di algoritmo ü Conoscere limiti e possibilità di un elaboratore Unità didattica 6.1. Elaboratore

Descrittori Contenuti ü Riconoscere e determinare un algoritmo ü Conoscere le caratteristiche di un elaboratore e i

termini relativi ü Conoscere e utilizzare i comandi principali di un

software di rappresentazione grafica

Uso di un word processor. Applicazioni a semplici problemi con Foglio elettronico. Dati e formule: inserimento, copia, cancellazione Indirizzi assoluti e relativi Rappresentazione grafica Principali comandi di un software di rappresentazione grafica Luoghi geometrici Macro costruzioni Verifica delle proprietà fondamentali delle figure studiate Trasformazioni geometriche: isometrie

GEOMETRIA MODULO G1 - Le prime regole della geometria Competenze ü Dare una definizione in modo corretto ü Individuare l’ipotesi e la tesi di un teorema ü Costruire la dimostrazione di un teorema ü Conoscere ed applicare i criteri di congruenza dei triangoli ü Conoscere le proprietà di rette perpendicolari e rette parallele ü Conoscere i luoghi geometrici (asse e bisettrice) ü Conoscere i punti notevoli dei triangoli






Unità didattica G1.1. Fondamenti e criteri di congruenza

Descrittori Contenuti ü Conoscere i termini primitivi della geometria euclidea ü Conoscere il significato di assioma e sapere quali sono

gli assiomi della geometria euclidea ü Dare la definizione di semiretta e di segmento ü Dare la definizione di angolo e di angolo concavo e

convesso ü Individuare e costruire segmenti consecutivi e adiacenti,

angoli consecutivi e adiacenti ü Confrontare segmenti fra loro e angoli fra loro ü Operare con segmenti e angoli ü Definire e costruire il punto medio di un segmento e la

bisettrice di un angolo ü Definire un poligono e in particolare un triangolo ü Riconoscere poligoni concavi e convessi ü Individuare gli elementi di un poligono (angoli, lati,

corde, diagonali) ü Individuare gli elementi di un triangolo (mediane,

bisettrici) ü Classificare i triangoli in base ai lati ü *Conoscere e applicare i criteri di congruenza dei

triangoli ü Conoscere e individuare le proprietà del triangolo

isoscele ü Conoscere e applicare i criteri di congruenza dei poligoni ü Stabilire relazioni fra lati e angoli di un triangolo ü Stabilire relazioni fra lati di un triangolo ü Classificare i triangoli in base agli angoli

Fondamenti della geometria razionale Enti geometrici primitivi: proprietà Semirette, segmenti, semipiani, angoli I segmenti come classe di grandezze Gli angoli come classe di grandezze Il triangolo: criteri di congruenza Triangolo isoscele e sue proprietà

Unità didattica G1.2. Parallelismo e perpendicolarità

Descrittori Contenuti ü Costruire rette perpendicolari ü Conoscere e individuare le proprietà delle rette

perpendicolari ü Costruire le altezze di un triangolo ü Determinare la distanza di un punto da una retta ü Conoscere l’assioma delle rette parallele ü Saper individuare le proprietà degli angoli definiti da

coppie di rette parallele tagliate da una trasversale ü Saper stabilire se due rette sono parallele mediante il

criterio di parallelismo ü Applicare le proprietà del parallelismo ai triangoli

(teor. dell’angolo esterno, somma degli angoli interni ed esterni di un triangolo)

ü Determinare la distanza fra due rette parallele ü Determinare quando due triangoli rettangoli sono

congruenti ü Definire un luogo geometrico ü Conoscere i principali luoghi geometrici

Rette perpendicolari e rette parallele Assioma delle rette parallele Criterio di parallelismo Relazioni tra gli elementi di un triangolo Criterio di congruenza dei triangoli rettangoli Luoghi geometrici Asse e bisettrice come luoghi geometrici Punti notevoli di un triangolo: incentro, circocentro, ortocentro, excentri






MODULO G2 - Trasformazioni geometriche: isometrie Prerequisiti § Conoscenza degli enti geometrici fondamentali § Conoscenza dei criteri di congruenza dei triangoli § Conoscenze relative a perpendicolarità e parallelismo Competenze ü Riconoscere simmetrie nel piano ü Individuare rotazioni ü Individuare traslazioni ü Applicare trasformazioni isometriche

Descrittori Contenuti ü Definire una trasformazione isometrica e saperla

individuare ü Individuare invarianti ed elementi uniti di una

trasformazione ü Conoscere le proprietà di una isometria ü Conoscere ed applicare una simmetria assiale ü Conoscere ed applicare una simmetria centrale ü Conoscere ed applicare una traslazione ü Conoscere ed applicare una rotazione ü Riconoscere isometrie note come prodotto di altre

isometrie ü Conoscere le condizioni per individuare una

isometria

Concetto di trasformazione geometrica Isometrie Simmetria assiale Simmetria centrale Traslazione Rotazione Prodotto di trasformazioni Condizioni per individuare una isometria

MODULO G3 - Parallelogrammi e trapezi Prerequisiti § Conoscenza degli enti geometrici fondamentali § Conoscenza dei criteri di congruenza dei triangoli § Conoscenze relative a perpendicolarità e parallelismo Competenze ü Riconoscere parallelogrammi e trapezi ü Riconoscere una corrispondenza di Talete

Descrittori Contenuti ü Definire un parallelogramma e conoscere le sue

proprietà ü Conoscere le caratteristiche di rettangoli,

rombi, quadrati, trapezi e riconoscere tali quadrilateri

ü Conoscere le proprietà di un trapezio isoscele ü Riconoscere simmetrie nei parallelogrammi e

nei trapezi ü Conoscere la corrispondenza di Talete e le sue

proprietà

Quadrilateri Trapezi Deltoidi Parallelogrammi: rombi, rettangoli, quadrati Corrispondenza di Talete Teorema del fascio di rette parallele Punti notevoli di un triangolo: baricentro di un triangolo






GEOMETRIA ANALITICA

MODULO G.A.1 - Sistema di riferimento cartesiano Prerequisiti § Conoscere e saper applicare le regole fondamentali del calcolo algebrico § Conoscere e saper applicare i principi di equivalenza delle equazioni § Saper risolvere equazioni di primo grado § Saper operare con i radicali § Conoscere il concetto di funzione Competenze ü Rappresentare punti in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale ü Determinare la distanza tra due punti ü Rappresentare per punti una funzione ü Individuare la condizione di appartenenza di un punto ad una curva ü Risolvere algebricamente e graficamente l’intersezione di due curve

Descrittori Contenuti ü Rappresentare punti nel piano cartesiano ü Calcolare la misura di un segmento ü Calcolare le coordinate del punto medio di un

segmento ü Riconoscere e trovare le equazioni di: simmetria

assiale nei casi proposti, simmetria centrale, traslazione

Piano cartesiano Distanza tra due punti Coordinate del punto medio di un segmento Punti di intersezione tra due curve Equazioni di una: simmetria assiale (asse verticale, orizzontale e bisettrice del 1 e 3° o del 2° e 4° quadrante), simmetria centrale, traslazione

MODULO G.A.2 - La retta Competenze ü Rappresentare una retta, di data equazione, utilizzando il significato geometrico dei coefficienti ü Scrivere l’equazione di una retta ü Risolvere problemi sulla retta

Descrittori Contenuti ü Riconoscere l’equazione di una retta ü Scrivere l’equazione di un a retta conoscendo: ü Le coordinate di un punto e il coefficiente

angolare ü La coordinate di due punti ü Scrivere l’equazione di una retta parallela ad una

retta data ü Scrivere l’equazione di una retta perpendicolare

ad una retta data ü Determinare le coordinate del punto di

intersezione di due rette ü Calcolare la distanza di un punto da una retta

La retta Rappresentazione grafica della retta Intersezione tra due rette Parallelismo e perpendicolarità tra rette Retta passante per due punti assegnati Fasci di rette Distanza punto – retta






SCANSIONE TEMPORALE

Classe Prima TRIMESTRE Settembre - Dicembre

Orario settimanale: 5 ore (3 Algebra + 2 Geometria a giorni alterni) • Scansione temporale: ALGEBRA 3 ore settimanali Modulo 2 Insiemi numerici e sistemi di numerazione Unità didattica 2.1 Gli insiemi numerici: Ripasso veloce, trattazione della teoria solo nelle parti essenziali quali proprietà delle operazioni. Ripasso approfondito su proprietà delle potenze, ordini di grandezza, numeri decimali e frazioni, formule inverse (12 ore circa). Modulo 3 Calcolo letterale Unità 3.1 Operazioni con i monomi e i polinomi (inclusa divisione fra polinomi-escluso metodo di Ruffini) + Unità didattica 3.2 Scomposizione dei polinomi in Q (escluso Ruffini). (Da metà ottobre a conclusione del Trimestre). Unità 2.2 Sistemi di numerazione APPROFONDIMENTO.

• Scansione temporale: Statistica – Insiemistica e Logica – GEOMETRIA 2 ore settimanali Modulo 6 Elementi di statistica (6 ore circa) Modulo 1 Insiemi e Logica: Cenni all’insiemistica, limitandosi ai concetti fondamentali e all’uso corretto della simbologia; Logica fino agli schemi di ragionamento principali (modus ponens e tollens) come introduzione alle dimostrazioni geometriche (8 ore circa). Modulo G1 Le prime regole della Geometria Unità G1.1 Fondamenti e criteri di congruenza: sino ai Criteri di congruenza dei triangoli (inclusi). (Da metà novembre a conclusione del Trimestre).

Il Modulo sul Calcolo vettoriale viene lasciato ai docenti di Fisica.

SUPPORTI ALL’APPRENDIMENTO

• Modalità per il recupero e il sostegno I docenti di matematica intendono attuare un recupero in itinere, parallelamente allo svolgersi del programma, per intervenire in modo tempestivo ed efficace nella prospettiva di evitare, se possibile, l’accumularsi di carenze nella preparazione, che renderebbero difficile la comprensione dei successivi contenuti. Per far questo utilizzeranno le modalità previste nel POF della scuola: Studiamo Insieme, recupero in itinere, corsi di recupero intensivi. Le attività saranno rivolte a piccoli gruppi o, se necessario, a tutta la classe.

• Modalità per il potenziamento Nei casi in cui si presenteranno le condizioni adeguate, si potrà affiancare all’azione di recupero e sostegno, per gli alunni in difficoltà, un’attività che costituisca uno stimolo all’approfondimento. L’intento è quello di valorizzare potenzialità intuitive, creatività e curiosità degli studenti. Le sollecitazioni in tal senso potranno avvenire attraverso:






- Consultazione di materiale bibliografico; - Analisi di problemi dei quali ricercare soluzioni brillanti; - partecipazione a “gare matematiche” (ad esempio: Giochi di Archimede) e alle iniziative proposte dal

proprio o da altri istituti o università.

METODOLOGIE DIDATTICHE E STRUMENTI PER LA VALUTAZIONE

• Individuazione degli standard minimi ALGEBRA

MODULO 1 - Insiemi, logica ü Operare con gli insiemi MODULO 2 - Insiemi numerici ü Operare in un insieme numerico : N , Z , Q MODULO 3 - Calcolo letterale ü Operare con monomi e polinomi ü Fattorizzare un polinomio utilizzando i vari metodi ü Operare con frazioni algebriche MODULO 4 - Equazioni lineari e problemi ü Riconoscere un’equazione e saperla classificare ü Risolvere equazioni intere di primo grado numeriche e letterali ü Risolvere equazioni numeriche frazionarie ü Verificare l’accettabilità delle soluzioni di un’equazione ü Risolvere semplici problemi aritmetici e geometrici mediante equazioni lineari MODULO 5 - Sistemi di primo grado ü Risolvere sistemi di primo grado di due equazioni in due incognite ü Risolvere semplici problemi con sistemi lineari MODULO 6 - Statistica ü Svolgere una semplice indagine statistica ed analizzare i dati raccolti mediante il calcolo di indicatori di tendenza. MODULO 7 - Elementi di goniometria ü Risolvere triangoli rettangoli MODULO 8 - Calcolo vettoriale ü Eseguire le operazioni vettoriali sia in forma grafica che cartesiana. MODULO 9 - Elementi di calcolo matriciale ü Calcolare il determinante di una matrice ü Risolvere sistemi lineari con due equazioni con l’uso di matrici MODULO 10 Informatica ü Utilizzare un word processor per relazioni e presentazioni ü Utilizzare i menù dei comandi del foglio elettronico, Derive, Geogebra.






GEOMETRIA MODULO 1 - Le prime regole della geometria ü Dare una definizione in modo corretto ü Individuare l’ipotesi e la tesi di un teorema ü Conoscere ed applicare i criteri di congruenza dei triangoli ü Conoscere le proprietà di rette perpendicolari e rette parallele ü Conoscere l’assioma delle parallele e saper dimostrare le condizioni di parallelismo di due rette MODULO 3 - Parallelogrammi e trapezi ü Conoscere le proprietà di parallelogrammi e trapezi ü Conoscere i luoghi geometrici (asse e bisettrice) ü Conoscere i punti notevoli dei triangoli ü Conoscere ed applicare la corrispondenza di Talete

GOMETRIA ANALITICA MODULO 1-2 - Sistema di riferimento cartesiano e la retta ü Rappresentare punti in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale ü Conoscere il concetto di appartenenza di un punto ad una retta ü Conoscere l’equazione di una retta e saperla rappresentare graficamente ü Risolvere problemi sulla retta di semplice applicazione di formule

• Metodologie didattiche Poiché nell’educazione matematica è fondamentale il porre problemi e prospettarne soluzioni si darà risalto anche all’impostazione per problemi dell’insegnamento, evidenziando il carattere investigativo del percorso di ricerca della risoluzione. In questo caso è utile sviluppare, quando possibile, l’argomento seguendone l’evoluzione storica facendo notare come il progresso della matematica sia molte volte determinato dalla necessità di risolvere delle antinomie e delle difficoltà che si presentano al suo interno. Nella pratica didattica sarà utile conciliare l’aspetto problematico con quello sistematico intrecciando momenti in cui si propongono problemi stimolando la ricerca di soluzioni con momenti di “training esercitativi” affinché lo studente raggiunga sicurezza nei calcoli e padronanza delle regole sintattiche del calcolo senza mai perdere di vista la consapevolezza di ciò che si sta calcolando. In questo itinerario didattico che va dal concreto all’astratto, dal particolare al generale, dall’intuitivo al razionale occorre tenere presente la particolare fascia di età degli studenti e porsi su una linea di continuità metodologica con la Scuola Media. Un ulteriore aiuto può derivare dall’utilizzo dell’elaboratore. Saranno utilizzate: 1. lezioni frontali 2. lezioni interattive 3. attività di laboratorio.






• Strumenti didattici Gli insegnanti potranno avvalersi degli strumenti di seguito elencati o scegliere fra essi quelli maggiormente adeguati alle situazioni riscontrabili nelle diverse classi: 1. libri di testo 2. dispense, appunti 3. materiale audiovisivo 4. esercizi guidati 5. materiale per il recupero e per il potenziamento 6. software didattico • Modalità di verifica e numero di prove effettuate nell’anno Le fasi di verifica e valutazione devono essere strettamente collegate e coerenti, nei contenuti e nei metodi, con il complesso delle attività svolte nel processo di apprendimento-insegnamento. Per verifica intendiamo l’accertamento del raggiungimento di un insieme di obiettivi, del possesso di un insieme di competenze e della padronanza di un insieme di termini. Per questo si deve cercare di rendere il più possibile obiettivo e preciso ogni momento, anche utilizzando tecniche e procedure adeguate che rendono possibile un’operazione di misura. Le verifiche saranno sia scritte che orali. Le verifiche scritte saranno scelte fra varie tipologie: 1. compiti tradizionali: problemi, esercizi 2. test 3. questionari 4. prove strutturate 5. brevi relazioni Con la prova scritta si vuole accertare: 1. il possesso dei contenuti 2. la capacità di individuare processi risolutivi 3. il possesso dei linguaggi specifici dal punto di vista ortografico, sintattico e semantico. Le tipologie di verifiche 2, 3, 4 e 5 possono essere utilizzate anche ad integrazione della valutazione orale. Le verifiche orali: 1. al posto 2. alla lavagna 3. mediante test e questionari saranno finalizzate soprattutto a valutare la capacità di ragionamento e il possesso di un linguaggio preciso e rigoroso e i progressi raggiunti nella chiarezza espositiva, la capacità di discutere con un interlocutore quale può essere il docente. Il numero minimo delle prove è così stabilito: v tre prove nel primo periodo v quattro nel secondo periodo






MODULI CLASSE SECONDA

ALGEBRA

MODULO 1 - Sistemi di primo grado Prerequisiti § Conoscere e saper applicare le regole fondamentali del calcolo algebrico § Risolvere equazioni di primo grado Competenze ü Risolvere sistemi di primo grado di due equazioni in due incognite ü Risolvere sistemi di primo grado di n equazioni in n incognite ü Risolvere problemi il cui modello algebrico è un sistema lineare

Descrittori Contenuti ü Determinare il grado di un sistema ü Applicare i principi di equivalenza ü Risolvere un sistema lineare di due equazioni in due

incognite con metodo di: sostituzione, confronto, riduzione, Cramer, grafico

ü Stabilire quando un sistema di due equazioni in due incognite è determinato, indeterminato, o impossibile

ü Risolvere sistemi di tre o più equazioni in altrettante incognite

ü Costruire il modello algebrico di un problema in cui sono individuate duo o più incognite

I sistemi e le loro caratteristiche Sistemi equivalenti Principi di equivalenza dei sistemi Metodi risolutivi di sistemi lineari: sostituzione, confronto, riduzione, Cramer, grafico Problemi risolubili con più incognite

MODULO 2 - Equazioni lineari, disequazioni e problemi Prerequisiti § Operare con monomi, polinomi e frazioni algebriche § Risoluzione di equazioni lineari. Competenze ü Risolvere disequazioni lineari e disequazioni ad esse riconducibili ü Risolvere equazioni e disequazioni lineari con elementi in modulo (uno o più)

Unità didattica 2.1. Equazioni lineari

Descrittori Contenuti ü Calcolare il valore assoluto di un numero ü Esprimere la misura di un segmento orientato ü Risolvere algebricamente equazioni contenenti moduli

Equazioni di grado primo contenenti moduli






Unità didattica 2.2. Disequazioni

Descrittori Contenuti ü Calcolare il segno di un binomio di primo grado ü Risolvere algebricamente disequazioni lineari ü Calcolare il segno di un prodotto e di un quoziente di

binomi di primo grado ü Risolvere algebricamente disequazioni frazionarie ü Risolvere disequazioni di grado superiore mediante

scomposizione ü Risolvere algebricamente sistemi di disequazioni

Disequazioni numeriche di primo grado Segno di un binomio di primo grado Segno del prodotto Segno del rapporto Segno di potenze Disequazioni razionali intere e frazionarie Sistemi di disequazioni

MODULO 3 - I numeri reali

Prerequisiti § Conoscere gli insiemi N, Z, Q e saper operare con essi § Possedere il concetto di funzione

Competenze ü Misurare grandezze omogenee ü Definire un numero reale ü Definire l’operazione di estrazione di radice ü Definire l’insieme di esistenza o di realtà ü Operare con i radicali ü Conoscere e saper operare con le potenze razionali di numeri reali

Unità didattica 3.1. Radicali quadratici

Descrittori Contenuti ü Conoscere intuitivamente il significato di numero

reale ü Conoscere la rappresentazione geometrica

dell’insieme reale su di una retta ü Operare con i numeri reali anche in forma

approssimata ü Operare con radicali quadratici

Numeri reali Intervallo di esistenza di un radicale Radicali quadratici e relative operazioni Razionalizzazione del denominatore di un radicale quadratico Radicali quadratici doppi






Unità didattica 3.2. I radicali

Descrittori Contenuti ü Semplificare un radicale ü Ridurre più radicali allo stesso indice ü Calcolare il prodotto ed il quoziente di due radicali ü Eseguire somme e differenze di radicali ü Razionalizzare il denominatore di una frazione ü Scrivere un radicale come potenza ad esponente

razionale ü Risolvere equazioni e sistemi a coefficienti reali ü Operare con i radicali algebrici

Radicali equivalenti Semplificazione e trasformazione di un radicale in un altro equivalente Confronto tra radicali Moltiplicazione Trasporto di un fattore fuori e sotto radice Divisione tra radicali Potenze di radicali Addizione e sottrazione di radicali Razionalizzazione del denominatore di una frazione Potenze ad esponente razionale Equazioni a coefficienti irrazionali Sistemi di equazioni con coefficienti irrazionali

MODULO 4 - Equazioni di secondo grado e di grado superiore – Disequazioni

Prerequisiti § Conoscere il calcolo algebrico § Risolvere equazioni lineari § Risolvere equazioni di grado superiore mediante scomposizione

Competenze ü Risolvere equazioni di secondo grado ü Risolvere equazioni di grado superiore al secondo, scomponibili ü Studiare il segno di un trinomio di secondo grado ü Risolvere algebricamente disequazioni di secondo grado

Unità didattica 4.1. Equazioni di secondo grado e di grado superiore

Descrittori Contenuti ü Risolvere un’equazione di secondo grado incompleta ü Risolvere un’equazione di secondo grado applicando

la formula risolutiva ü Discutere un’equazione di secondo grado letterale ü Risolvere un’equazione di grado superiore al secondo

mediante scomposizione ü Determinare la molteplicità di una soluzione ü Riconoscere e risolvere un’equazione binomia ü Riconoscere e risolvere un’equazione trinomia (in

particolare biquadratica) ü Risolvere un’equazione mediante opportuni cambi di

variabile

Equazioni di secondo grado incomplete Equazioni di secondo grado numeriche complete Equazioni di secondo grado letterali Equazioni di grado superiore al secondo: binomie, trinomie, biquadratiche, reciproche






Unità didattica 4.2. Equazioni parametriche

Descrittori Contenuti ü Applicare il legame tra le soluzioni ed i coefficienti di

un’equazione di secondo grado; in particolare: q calcolare due numeri conoscendone la somma e

il prodotto q scomporre un trinomio di secondo grado

Relazioni tra le radici e i coefficienti di un’equazione di secondo grado Equazioni parametriche e realtà delle relative soluzioni Teorema di Cartesio Scomposizione in fattori di un trinomio di secondo grado in R

Unità didattica 4.3. Disequazioni

Descrittori Contenuti ü Studiare il segno di un trinomio ü Risolvere disequazioni di secondo grado ü Risolvere sistemi di disequazioni di secondo grado ü Risolvere disequazioni razionali mediante lo studio del

segno di trinomi ü Risolvere disequazioni razionali contenenti valori

assoluti

Disequazioni di secondo grado ad una incognita Disequazioni frazionarie Sistemi di disequazioni Disequazioni contenenti termini in valore assoluto

Unità didattica 4.4. Problemi

Descrittori Contenuti ü Costruire un modello algebrico di problemi di

secondo grado Problemi di secondo grado e di grado superiore

MODULO 5 - Sistemi di grado superiore al primo

Prerequisiti § Conoscere il calcolo algebrico § Risolvere equazioni § Risolvere disequazioni Competenze ü Risolvere sistemi di equazioni non lineari

Descrittori Contenuti ü Risolvere sistemi

q di secondo grado e di grado superiore q simmetrici o riconducibili ad essi q (omogenei)

ü Costruire il modello di problemi di secondo grado e di grado superiore mediante sistemi

Sistemi di grado superiore al primo Sistemi simmetrici o riconducibili ad essi (Sistemi omogenei) Problemi risolubili mediante sistemi di grado superiore al primo






MODULO 6 - Equazioni irrazionali

Prerequisiti § Conoscere il calcolo algebrico § Risolvere equazioni § Risolvere disequazioni

Competenze ü Risolvere equazioni irrazionali

Descrittori Contenuti ü Riconoscere equazioni irrazionali ü Applicare il teorema dell’equivalenza nel caso di

elevamento a potenza ü Risolvere un’equazione irrazionale con un solo radicale

di indice pari mediante verifica ü Risolvere un’equazione irrazionale con un solo radicale

di indice pari mediante discussione ü Risolvere equazioni irrazionali con un solo radicale di

indice dispari ü Risolvere equazioni irrazionali con due o più radicali ü Risolvere problemi che hanno come modello

un’equazione irrazionale

Teorema dell’equivalenza di equazioni nel caso di elevamento a potenza Equazioni irrazionali con un solo radicale contenente l’incognita Equazioni irrazionali contenenti due o più radicali contenenti l’incognita Problemi che hanno equazione risolvente irrazionale

MODULO 7 ELEMENTI DEL CALCOLO MATRICIALE Prerequisiti Operazioni Competenze Calcolare il determinante di una matrice Calcolare il rango di una matrice Risolvere sistemi lineari con al massimo tre equazioni con l’uso di matrici

Descrittori Contenuti ü Matrici ü Determinante di una matrice ü Sistemi di equazioni lineari

ü Matrici quadrate e rettangolari ü Calcolo del determinante di matrici quadrate ü Proprietà dei determinanti ü Rango di una matrice ü Teorema di Rouchè-Capelli ü Applicazione nella risoluzione dei sistemi

lineari






MODULO 8 - PROBABILITA’ Prerequisiti: Insiemi e diagrammi di Venn Operare con numeri razionali Fattoriale di un numero Percentuali Competenze: Conoscere la definizione classica di probabilità di un evento. Saper calcolare il numero di casi favorevoli e casi possibili in semplici situazioni Saper calcolare la probabilità di determinati eventi, semplici o composti. Unità didattica 8.1 Descrittori Contenuti ü Eventi elementari, evento certo, evento impossibile ü Definizione classica di probabilità

ü Calcolo di casi possibili e casi favorevoli in semplici situazioni

ü Calcolo della probabilità Unità didattica 8.2 Descrittori Contenuti ü Il fattoriale di un numero ü Uso del fattoriale per la risoluzione di

problemi in situazioni più complesse. Unità didattica 8.3. Descrittori Contenuti ü Eventi indipendenti ü Probabilità totale ü Probabilità composta

ü calcolo della probabilità totale di due eventi ü calcolo della probabilità composta di due

eventi

MODULO 9 MODELLI ECONOMICI E FISICI

Prerequisiti Geometria analitica Elementi di calcolo matriciale Competenze Saper costruire i grafici dei modelli proposti Saper interpretare i grafici dei modelli proposti.






Unità didattica 9.1 Modelli economici

Descrittori Contenuti ü Modelli economici ü Analisi dell’offerta e della domanda

ü Modelli di determinazione del reddito Unità didattica 9.2 Modelli fisici

Descrittori Contenuti ü Modelli fisici ü Il moto uniformemente accelerato

INFORMATICA

MODULO 10 - Elementi di informatica

Competenze

ü Conoscere il concetto di algoritmo Unità didattica 10.2. Algoritmi (APPROFONDIMENTO)

Descrittori Contenuti ü Comprendere che cosa calcola un algoritmo ü Utilizzare sequenze, alternative, cicli di istruzione ü Costruire algoritmi che risolvono problemi di tipo

algebrico ü Costruire algoritmi contenenti le strutture di controllo

fondamentali

Tipi di dati Selezione binaria, selezione con blocchi di istruzione, selezione con condizione articolata Iterazione, iterazione enumerativa Cicli e strutture

GEOMETRIA

MODULO G1 - Circonferenza e poligoni

Prerequisiti § Conoscenza dei principali concetti relativi alla congruenza § Conoscenza dei principali concetti relativi a parallelismo e perpendicolarità § Conoscenze relative alle simmetrie nel piano § Definire un luogo geometrico § Conoscere i principali luoghi geometrici Competenze ü Individuare un luogo geometrico ü Riconoscere le parti di una circonferenza e di un cerchio ü Individuare le principali proprietà di queste figure ü Riconoscere poligoni inscrittibili e circoscrittibili e conoscerne le proprietà ü Riconoscere poligoni regolari e individuarne le proprietà






Descrittori Contenuti ü Dare la definizione di circonferenza e di cerchio ü Individuare corde e archi e conoscere le loro proprietà ü Costruire rette tangenti ad una circonferenza e conoscerne le

proprietà ü Costruire circonferenze secanti e circonferenze tangenti ü Riconoscere angoli alla circonferenza , individuarne gli archi su

cui insistono e conoscerne le proprietà ü Conoscere la relazione fra angoli alla circonferenza e angoli al

centro ü Definire un poligono inscritto e un poligono circoscritto ü Conoscere e saper determinare circocentro e incentro in un

triangolo ü Conoscere e saper applicare il criterio di inscrittibilità e di

circoscrittibilità di un quadrilatero ü Sapere cos’è un poligono regolare e conoscerne le proprietà ü Riconoscere le principali simmetrie di un poligono regolare

Circonferenza e cerchio Corde e loro proprietà Posizioni reciproche retta circonferenza Posizioni reciproche tra due circonferenze Angoli al centro e angoli alla circonferenza Tangenti ad una circonferenza da un punto esterno Quadrilateri inscritti e circoscritti Poligoni inscritti e circoscritti

MODULO G2 - Equivalenza Prerequisiti § Conoscenze relative alla congruenza dei triangoli § Conoscenze relative alle proprietà delle rette parallele § Conoscenze relative alla circonferenza e al cerchio § Conoscenze relative alle proprietà delle rette parallele § Conoscenze sui poligoni inscritti e circoscritti

Competenze ü Riconoscere poligoni equivalenti

Descrittori Contenuti ü Definire l’equivalenza tra poligoni ü Conoscere il significato del termine “figure equicomposte“ ü Conoscere i criteri di equivalenza dei poligoni ü Saper trasformare un poligono in un altro equivalente ü Conoscere e saper applicare i teoremi di Pitagora e di Euclide

Superfici equivalenti e assiomi di equivalenza Teoremi di Euclide e di Pitagora

MODULO G3 - La proporzionalità fra grandezze e le aree dei poligoni Prerequisiti 6. Riconoscere poligoni equivalenti: teoremi di Pitagora e di Euclide Competenze ü Riconoscere grandezze proporzionali ü Calcolare la misura dell’area di un rettangolo e di quelle dei principali poligoni ü Risolvere problemi di applicazione dei teoremi di Pitagora e di Euclide






Descrittori Contenuti ü Sapere quando quattro grandezze sono in proporzione ü Conoscere e applicare le proprietà delle proporzioni ü Definire due insiemi di grandezze direttamente o inversamente

proporzionali ü Riconoscere la proporzionalità diretta e inversa ü Conoscere e applicare il criterio di proporzionalità diretta ü Conoscere e applicare il teorema di Talete e le sue

conseguenze ü Calcolare la misura dell’area di un rettangolo ü Dedurre le formule per il calcolo delle aree delle figure piane ü Applicare i teoremi di Pitagora e di Euclide ü Conoscere le relazioni metriche fra gli elementi di poligoni

particolari

Grandezze e loro misura Rapporto tra grandezze omogenee Classi di grandezze direttamente proporzionali Teorema di Talete e sue conseguenze Area dei poligoni fondamentali

MODULO G4 - Similitudine Prerequisiti § Conoscenze relative alla congruenza dei triangoli § Conoscenze relative alle proprietà delle rette parallele § Conoscenze relative alla circonferenza e al cerchio § Conoscenze sui poligoni inscritti e circoscritti § Conoscenze relative alla proporzionalità

Competenze ü Individuare figure simili ü Riconoscere proprietà in figure simili ü Conoscere i teoremi di applicazione della similitudine ü Risolvere problemi sulla similitudine

Descrittori Contenuti ü Definire un'omotetia ü Definire una similitudine ü Conoscere il rapporto di similitudine e saperlo determinare ü Conoscere e saper applicare le proprietà della similitudine ü Conoscere i criteri di similitudine dei triangoli ü Riconoscere triangoli simili servendosi degli opportuni criteri ü Individuare segmenti proporzionali in triangoli rettangoli ü Individuare segmenti proporzionali relativamente a corde,

secanti e tangenti ad una circonferenza

Omotetia Triangoli simili Criteri di similitudine dei triangoli Teoremi di Euclide (mediante similitudine) Applicazioni della similitudine Poligoni simili






SCANSIONE TEMPORALE

TRIMESTRE Settembre - Dicembre

Orario settimanale: 5 ore (3 Algebra + 2 Geometria alternate) • Scansione temporale: Algebra 3 ore settimanali Agganciandosi al programma svolto nella Classe Prima: si svolgeranno le Disequazioni, o i Sistemi lineari e Modulo2 Equazioni e disequazioni lineari con moduli, problemi. (Da metà settembre a ottobre). Modulo 3 I numeri reali. Le operazioni con i radicali algebrici trattate nell’essenza, soprattutto privilegiando radicandi numerici; si limiterà la complessità nelle condizioni di esistenza e nell’uso dei moduli nel caso di radicandi letterali. (Da metà ottobre a ottobre a novembre). Modulo 4 Equazioni di grado superiore – Disequazioni Unità didattica 3.1 Equazioni di secondo grado e di grado superiore (Da metà novembre sino alla conclusione del Trimestre).

• Scansione temporale: GEOMETRIA 2 ore settimanali Modulo G1 Circonferenza e poligoni. (Da metà settembre a ottobre). Modulo G2 Equivalenza (sino alla conclusione del Trimestre)

GEOMETRIA ANALITICA

MODULO G.A.1 - I fasci di rette Prerequisiti I moduli G.A.1 e G.A.2 della classe prima Competenze ü Individuare gli elementi significativi di fasci di rette propri e impropri ü Risolvere problemi parametrici riferiti a fasci di rette

Descrittori Contenuti ü Riconoscere l’equazione di fascio proprio ü Riconoscere l’equazione di fascio improprio ü Determinare l’equazione della retta di un fascio che

soddisfa assegnate condizioni

Fascio di rette proprio Fascio di rette improprio Sostegno del fascio al finito e all’infinito Condizioni che determinano una retta del fascio

MODULO G.A.2 - Le coniche (Approfondimento) Prerequisiti I moduli G.A.1 e G.A.2 della classe prima






Competenze ü Rappresentare una parabola, di data equazione, utilizzando il significato geometrico dei coefficienti ü Rappresentare una circonferenza, di data equazione, utilizzando il significato geometrico dei coefficienti ü Rappresentare una iperbole equilatera riferita agli asintoti

Descrittori Contenuti ü Riconoscere l’equazione di una parabola ü Riconoscere l’equazione di una circonferenza ü Riconoscere l’equazione di una iperbole equilatera

riferita agli asintoti ü Determinare gli elementi significativi di una parabola

assegnata la sua equazione ü Determinare gli elementi significativi di una

circonferenza assegnata la sua equazione ü Studio del segno di un trinomio di secondo grado con

metodo grafico

Luogo di punti Parabola e suoi elementi significativi Circonferenza e suoi elementi significativi Proporzionalità inversa Segno del trinomio di secondo grado

SUPPORTI ALL’APPRENDIMENTO

• Modalità per il recupero e il sostegno

I docenti di matematica intendono attuare un recupero in itinere, parallelamente allo svolgersi del programma, per intervenire in modo tempestivo ed efficace nella prospettiva di evitare, se possibile, l’accumularsi di carenze nella preparazione, che renderebbero difficile la comprensione dei successivi contenuti. Per far questo utilizzeranno le modalità previste nel POF della scuola: sportello didattico, pausa didattica, corsi di recupero (pomeridiani o in regime di sospensione delle lezioni) su segmenti parziali del programma. Le attività saranno rivolte a piccoli gruppi o, se necessario, a tutta la classe.

7. Modalità per il potenziamento

Nei casi in cui si presenteranno le condizioni adeguate, si potrà affiancare all’azione di recupero e sostegno, per gli alunni in difficoltà, un’attività che costituisca uno stimolo all’approfondimento. L’intento è quello di valorizzare potenzialità intuitive, creatività e curiosità degli studenti. Le sollecitazioni , in tal senso, potranno avvenire attraverso: § Consultazione di materiale bibliografico; § Analisi di problemi dei quali ricercare soluzioni brillanti; § partecipazione a “gare matematiche” (ad esempio: Giochi di Archimede) e alle iniziative proposte dal

propri o da altri istituti o università.

METODOLOGIE DIDATTICHE E STRUMENTI PER LA VALUTAZIONE

• Individuazione degli standard minimi ALGEBRA MODULO 1 - Equazioni lineari, disequazioni e problemi

• Risolvere disequazioni lineari e disequazioni ad esse riconducibili






MODULO 2 - I numeri reali

• Definire l’insieme di esistenza o di realtà • Operare con i radicali aritmetici

MODULO 3 - Equazioni di secondo grado e di grado superiore – Disequazioni • Risolvere equazioni intere di secondo grado numeriche e letterali (con discussione di un solo parametro) • Risolvere equazioni di grado superiore al secondo • Studiare il segno di un trinomio di secondo grado • Risolvere disequazioni di secondo grado numeriche e ad esse riconducibili.

MODULO 4 - Sistemi di grado superiore al primo

• Risolvere sistemi di equazioni non lineari con sostituzione • Risolvere semplici problemi mediante equazioni e sistemi di secondo grado

MODULO 5 - Equazioni irrazionali

4. Risolvere equazioni irrazionali con un solo radicale MODULO 6 - Calcolo vettoriale

5. Eseguire le operazioni di prodotto scalare e vettoriale nello spazio a 2 dimensioni MODULO 7 - Elementi di statistica

• Calcolo della media aritmetica ponderata • Calcolo media geometrica • Calcolo media quadratica • Calcolo degli scarti dalla media. • Calcolo degli scarti quadratici e scarto quadratico medio

MODULO 8 - PROBABILITA’

§ Calcolo di casi possibili e casi favorevoli in semplici situazioni § Calcolo della probabilità in semplici situazioni

MODULO 9 MODELLI ECONOMICI E FISICI

• Saper costruire i grafici dei modelli proposti

GEOMETRIA

MODULO 1 - Circonferenza e poligoni • Saper riconoscere le parti di una circonferenza e di un cerchio • Saper individuare le principali proprietà di queste figure • Riconoscere poligoni inscrittibili e circoscrittibili e conoscerne le proprietà • Riconoscere poligoni regolari e individuarne le proprietà

MODULO 2-3 - Equivalenza, proporzionalità e misura delle aree

• Riconoscere poligoni equivalenti: teoremi di Pitagora e di Euclide • Riconoscere grandezze proporzionali • Conoscere il concetto di classe di grandezza • Conoscere il concetto di misura di una grandezza • Calcolare la misura dell’area di un rettangolo, dei principali poligoni, del cerchio • Risolvere problemi di applicazione dei teoremi di Pitagora e di Euclide • Risolvere per via algebrica semplici problemi di primo e secondo grado, anche con triangoli emiquadrati

ed emiequilateri






MODULO 4 - Similitudine

• Individuare figure simili • Riconoscere proprietà in figure simili • Dimostrare i teoremi di Euclide mediante similitudine tra triangoli • Conoscere i teoremi di applicazione della similitudine • Risolvere problemi sulla similitudine

GOMETRIA ANALITICA

• Rappresentare una parabola, una circonferenza, una iperbole equilatera riferita agli asintoti Date le loro equazioni.

• Metodologie didattiche

Poiché nell’educazione matematica è fondamentale il porre problemi e prospettarne soluzioni si darà risalto anche all’impostazione per problemi dell’insegnamento, evidenziando il carattere investigativo del percorso di ricerca della risoluzione. In questo caso è utile sviluppare, quando possibile, l’argomento seguendone l’evoluzione storica facendo notare come il progresso della matematica sia molte volte determinato dalla necessità di risolvere delle antinomie e delle difficoltà che si presentano al suo interno. Nella pratica didattica sarà utile conciliare l’aspetto problematico con quello sistematico intrecciando momenti in cui si propongono problemi stimolando la ricerca di soluzioni con momenti di “training esercitativi” affinché lo studente raggiunga sicurezza nei calcoli e padronanza delle regole sintattiche del calcolo senza mai perdere di vista la consapevolezza di ciò che si sta calcolando. In questo itinerario didattico che va dal concreto all’astratto, dal particolare al generale, dall’intuitivo al razionale occorre tenere presente la particolare fascia di età degli studenti e porsi su una linea di continuità metodologica con la Scuola Media. Un ulteriore aiuto può derivare dall’utilizzo dell’elaboratore.

Saranno utilizzate : ü lezioni frontali ü lezioni interattive ü attività di laboratorio, dove previste.

v Strumenti didattici

Gli insegnanti potranno avvalersi degli strumenti di seguito elencati o scegliere fra essi quelli maggiormente adeguati alle situazioni riscontrabili nelle diverse classi:

- libri di testo - dispense,appunti - materiale audiovisivo - materiale multimediale - esercizi guidati - materiale per il recupero e per il potenziamento






4. Modalità di verifica e numero di prove effettuate nell’anno

Le fasi di verifica e valutazione devono essere strettamente collegate e coerenti, nei contenuti e nei metodi, con il complesso delle attività svolte nel processo di apprendimento-insegnamento. Per verifica intendiamo l’accertamento del raggiungimento di un insieme di obiettivi, del possesso di un insieme di competenze e della padronanza di un insieme di termini. Per questo si deve cercare di rendere il più possibile obiettivo e preciso ogni momento, anche utilizzando tecniche e procedure adeguate che rendono possibile un’operazione di misura. Le verifiche saranno sia scritte che orali.

Le verifiche scritte saranno scelte fra varie tipologie: § compiti tradizionali: problemi, esercizi § test § questionari § prove strutturate § brevi relazioni

Con la prova scritta si vuole accertare: 4. il possesso dei contenuti 5. la capacità di individuare processi risolutivi 6. il possesso dei linguaggi specifici dal punto di vista ortografico, sintattico e semantico. Le tipologie di verifiche 2, 3, 4 e 5 possono essere utilizzate anche ad integrazione della valutazione orale.

Le verifiche orali: ü al posto ü alla lavagna ü mediante test e questionari saranno finalizzate soprattutto a valutare la capacità di ragionamento e il possesso di un linguaggio preciso e rigoroso e i progressi raggiunti nella chiarezza espositiva, la capacità di argomentare con altro interlocutore, quale può essere il docente.

Il numero minimo delle prove è così stabilito:

ü tre prove nel primo periodo ü quattro nel secondo periodo






MODULI CLASSE TERZA

MODULO 1 - Equazioni e disequazioni,funzioni Prerequisiti Equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado, equazioni e disequazioni con moduli, equazioni irrazionali, concetto di funzione. Unità didattica 1. Equazioni e disequazioni Contenuti: Ripasso delle equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, intere, fratte, di grado superiore al secondo, con moduli e delle equazioni irrazionali.Disequazioni irrazionali.Problemi di algebra, geometria e fisica risolvibili mediante l'uso delle disequazioni. Unità didattica 2. Funzioni Prerequisiti Definizione di funzione, grafico di rette e parabole con asse di simmetria parallelo all'asse y. Contenuti Definizione di funzione. Funzioni reali di variabile reale, definizione e calcolo del dominio, codominio; grafico. Le funzioni elementari: retta, parabola, potenze intere di x, , parte intera, segno, radici n-esime di x. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive.L'algebra delle funzioni e le funzioni composte. Funzione inversa. Velocità di variazione di una funzione.Applicazione delle funzioni a problemi di geometria e di fisica. MODULO 2 - La retta e le trasformazioni nel piano cartesiano Prerequisiti Coordinate cartesiane nel piano, distanza tra due punti, punto medio di un segmento, equazione implicita ed esplicita della retta, posizione reciproca tra due rette, distanza punto retta. Unità didattica 1. La retta Contenuti I luoghi geometrici e la retta.I fasci di rette propri ed impropri.Semipiani, semirette, segmenti, angoli e poligoni nel piano cartesiano. Utilizzo della funzione lineare per risolvere problemi e costruire modelli. Unità didattica 2. Le trasformazioni del piano cartesiano (APPROFONDIMENTO) Contenuti Le isometrie del piano: simmetrie centrali e assiali, traslazioni.Dilatazioni ed omotetie.Applicazione delle trasformazioni per ottenere grafici deducibili da quelli delle funzioni elementari. MODULO 3 - Coniche Prerequisiti Il piano cartesiano e la retta nel piano cartesiano,trasformazioni geometriche nel piano cartesiano, equazioni, disequazioni e sistemi algebrici, funzioni.






CompetenzeAffrontare problemi geometrici sia con un approccio sintetico, sia con un approccio analitico. Rappresentare e studiare le proprietà di semplici luoghi geometrici utilizzandoli come modelli in contesti reali. Unità didattica 1. Parabola Contenuti La parabola come luogo geometrico e la sua equazione con direttrice parallela ad uno degli assi coordinati. La posizione di una retta rispetto ad una parabola, retta tangente.Determinare l'equazione di una parabola che soddisfa condizioni date.Applicazione alla parabola delle trasformazioni del piano. Unità didattica 2. Circonferenza Contenuti La circonferenza come luogo geometrico e la sua equazione.La posizione di una retta rispetto ad una circonferenza, retta tangente. Determinare l'equazione di una circonferenza che soddisfa condizioni date. Unità didattica 3. Ellisse L'ellisse come luogo geometrico e la sua equazione nel caso in cui i fuochi sono su uno degli assi cartesiani e simmetrici rispetto all'origine.La posizione di una retta rispetto ad un'ellisse, retta tangente.Determinare l'equazione di un'ellisse che soddisfa condizioni date. Unità didattica 4. Iperbole L'iperbole come luogo geometrico e la sua equazione nel caso in cui i fuochi sono su uno degli assi cartesiani e simmetrici rispetto all'origine.La posizione di una retta rispetto ad un'iperbole, retta tangente.Determinare l'equazione di un'iperbole che soddisfa condizioni date. L'iperbole equilatera riferita agli asintoti e l'iperbole equilatera traslata Unità didattica 5. Coniche Le sezioni coniche.L'equazione generale di una conica e rappresentazione grafica di coniche traslate.Definizione di una conica tramite l'eccentricità.Fasci di coniche. (APPROFONDIMENTO)Rappresentazione grafica di curve deducibili dalle coniche. Utilizzo delle curve per la risoluzione grafica di equazioni e disequazioni. MODULO 4 - Successioni e progressioni Prerequisiti Funzioni. Contenuti Definizione e rappresentazione di una successione, dimostrazioni con il metodo dell'induzione. Definizioni e proprietà di una progressione aritmetica e di una progressione geometrica. Applicazione delle successioni per la definizione di modelli e per la soluzione di problemi. MODULO 5 - Funzioni esponenziali e logaritmiche Prerequisiti Proprietà delle potenze con esponente razionale, funzione inversa. Contenuti Definizione di potenza con esponente reale e definizione di logaritmo. La funzione esponenziale e la funzione logaritmica






Le proprietà dei logaritmi.Equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Grafici deducibili dalle funzioni logaritmiche ed esponenziali elementari con traslazioni e simmetrie Modelli di crescita esponenziale e logaritmica. MODULO 6 - Dati e previsioni Contenuti Ripasso della statistica.La rappresentazione grafica di dati statistici.Gli indici di posizione e di variabilità.Interpolazione, correlazione e regressione.Tabelle a doppia entrata, distribuzioni doppie condizionate e marginali. Nel primo trimestre verranno affrontati gli argomenti fino all'unità didattica 2 del terzo modulo. Per metà del secondo periodo sarà completato il modulo 3.

OBIETTIVI MINIMI

Lo studente di classe terza ha raggiunto gli obiettivi minimi nella disciplina se è in grado di affrontare gli argomenti seguenti risolvendo esercizi di livello base.

ü risolvere equazioni e disequazioni irrazionali; ü risolvere disequazioni con moduli; ü rappresentare i grafici di funzioni elementari; ü rappresentare funzioni deducibili dalle fondamentali per simmetrie e traslazioni; ü risolvere problemi sulla retta e fasci di rette; ü definire le coniche fondamentali (parabola, circonferenza, ellisse, iperbole); ü riconoscere e determinare alcuni elementi fondamentali di coniche assegnate e determinarne il grafico; ü determinare le equazioni di rette particolari: assi di simmetria, tangenti, eventuali asintoti; ü trovare l'equazione di una conica date le opportune condizioni; ü applicare la condizione di tangenza retta-conica; ü rappresentare graficamente curve deducibili dalle coniche mediante trasformazioni geometriche; ü risolvere graficamente equazioni e disequazioni mediante metodo grafico; ü conosce la definizione di progressione aritmetica e geometrica; ü conosce definizione e proprietà delle potenze ad esponente reale; ü riconosce e rappresenta la funzione esponenziale; ü opera con gli esponenziali applicando in modo opportuno le proprietà relative; ü opera con i logaritmi applicando in modo opportuno le proprietà relative; ü riconosce e rappresenta la funzione logaritmica; ü risolve equazioni e disequazioni esponenziali; ü risolve equazioni e disequazioni logaritmiche; ü risolve graficamente equazioni e disequazioni esponenziali/logaritmiche, anche mediante l’uso delle

trasformazioni geometriche; ü legge grafici di dati statistici; ü calcola indici di posizione e di variabilità; ü determina correlazione e regressione; ü deduce da tabelle a doppia entrata dati su distribuzioni condizionate e marginali. L'applicazione nei problemi

si riferisce ad un livello base.






MODULI CLASSE QUARTA

MODULO 1 - Le funzioni goniometriche Unità didattica 1. Funzioni goniometriche elementari Contenuti: Unità di misura degli angoli: gradi sessagesimali e radianti.Definizione delle funzioni goniometriche elementari sen, cos, tg, cotg, a partire dalla circonferenza goniometrica.Grafici e proprietà delle funzioni goniometriche.Funzioni reciproche: cosecante, secante cotangente.Funzioni inverse delle funzioni seno, coseno, tangente.Grafici di funzioni goniometriche deducibili in modo elementare da quelle studiate. Relazione tra il coefficiente angolare di una retta e la sua posizione nel piano.Archi associati. Unità didattica 2. Formule goniometriche. Contenuti Formule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, parametriche e di prostaferesi. Applicazione alla geometria analitica: misura degli angoli formati da due rette incidenti.Le formule goniometriche e la rappresentazione delle funzioni goniometriche con metodi elementari. Unità didattica 3 Equazioni e disequazioni goniometriche Contenuti Equazioni e disequazioni elementari o ad esse riconducibili. Equazioni e disequazioni lineari in seno e coseno. Equazioni omogenee in seno e coseno. Disequazioni frazionarie. Unità didattica 4 Trigonometria Contenuti I teoremi sui triangoli rettangoli e il teorema dell'area e della cordaI teoremi sui triangoli qualunque: teorema dei seni e del coseno.Applicazione della trigonometria alla risoluzione di problemi di trigonometria nel piano che prevedano anche la risoluzione di un'equazione o lo studio di una funzione associata. Applicazioni della trigonometria alla topografia. MODULO 2 - Le trasformazioni geometriche (APPROFONDIMENTO) Contenuti La rotazione di assi e l'applicazione alle coniche. Le affinità. MODULO 3 - L'insieme dei numeri complessi Contenuti Definizione di un numero complesso e sua rappresentazione algebrica. Le operazioni nell'insieme dei numeri complessi.Rappresentazione polare.Definizione dell'esponenziale complesso. Potenze e radici n-esime di un numero complesso. MODULO 4 - Geometria nello spazio a tre dimensioni Contenuti Assiomi della geometria euclidea nel caso tridimensionale.






Perpendicolarità e parallelismo nello spazio.

Proiezioni, distanze ed angoli nello spazio.Definizione e proprietà del prisma e della piramide.Definizione proprietà dei solidi di rotazione ed in particolare di cono, cilindro e sfera. Definizione e proprietà dei poliedri, in particolare di quelli regolari. Aree e volumi dei solidi definiti.Applicazione della trigonometria alla risoluzione di problemi di geometria nello spazio. MODULO 5 - Elementi di calcolo combinatorio ContenutiDefinizione di n!.Disposizioni, combinazioni e permutazioni semplici e con ripetizione. Definizione di coefficienti binomiali e formula del binomio di Newton.

MODULO 6 - Calcolo delle probabilità Contenuti Calcolo delle probabilità secondo la definizione classica.Teoremi: probabilità della somma logica di due eventi, teorema della probabilità totale, teorema della probabilità condizionata e della probabilità composta, teorema di Bayes. Nel primo trimestre verranno affrontati gli argomenti fino all'unità didattica 3 del primo modulo e i teoremi sui triangoli rettangoli con applicazione.

OBIETTIVI MINIMI

ü Lo studente di classe quarta ha raggiunto gli obiettivi minimi nella disciplina se: ü definisce e rappresenta le funzioni goniometriche elementari; ü è in grado di rappresentare i grafici di funzioni goniometriche che si deducono da esse con metodi

elementari; ü rappresenta le funzioni inverse delle funzioni goniometriche sen, cos e tg; ü conosce e sa applicare le formule goniometriche studiate; ü risolve equazioni e disequazioni goniometriche dei tipi studiati; ü conosce i teoremi sui triangoli rettangoli, il teorema della corda e i teoremi sui triangoli qualunque; ü applica i teoremi studiati per risolvere problemi di geometria piana; ü scrive i numeri complessi in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale; ü opera con i numeri complessi in ciascuna delle forme precedenti; ü calcola prodotto, quoziente e potenze di numeri complessi in forma trigonometrica; ü calcola radici n-esime in campo complesso ; ü conosce le definizioni di parallelismo e perpendicolarità nello spazio per rette e piani nei vari casi; ü conosce le proprietà dei solidi principali: prisma, piramide, cono, cilindro e sfera; ü risolve problemi di geometria nello spazio; ü applica una rotazione di assi cartesiani in particolare all'equazione di una conica; ü opera con combinazioni, disposizioni e permutazioni semplici e con la formula del binomio di Newton; ü è in grado di calcolare la probabilità secondo la definizione classica; ü conosce e sa applicare il teorema della probabilità della somma logica di due eventi, il teorema della

probabilità totale, il teorema della probabilità condizionata e della probabilità composta. L'applicazione nei problemi si riferisce ad un livello base.






PIANO DI LAVORO CLASSE QUINTA

II presente piano di lavoro è stato concordato e coordinato dagli insegnanti di Matematica del Liceo Scientifico “N. Copernico” e si pone in una linea di continuità con i programmi della scuola media inferiore alla luce di quanto delineato nel “Profilo educativo, culturale e professionale dello studente liceale” e nelle “Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento” della recente riforma della scuola secondaria superiore. Si articola attorno all'idea base che considera la matematica come mezzo per offrire agli allievi idee e strumenti espressivi il cui possesso permette una conoscenza razionale e critica della realtà. La matematica è considerata il linguaggio della conoscenza scientifica sia in modo autoriferito, per le teorie e i modelli matematici, sia, con riferimento esterno, per le teorie e i modelli delle scienze fisiche e naturali. Tutto questo nella consapevolezza della molteplicità dei modelli proponibili per la descrizione tanto di “oggetti” matematici che di fenomeni scientifici, in particolare fisici.

FINALITA’ Si fa riferimento alle finalità espresse nel “Profilo educativo, culturale e professionale dello studente liceale”.

OBIETTIVI DIDATTICI Si fa riferimento agli obiettivi specifici di apprendimento espressi nelle “Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento” per il Liceo Scientifico.

METODOLOGIE DIDATTICHE Poiché nell’educazione matematica è fondamentale porre problemi e prospettarne soluzioni, si darà risalto all’impostazione dell’insegnamento per problemi, evidenziando il carattere investigativo del percorso di ricerca della risoluzione.In questo caso è utile sviluppare l’argomento seguendone l’evoluzione storica, quando possibile, evidenziando come il progresso della matematica sia spesso determinato dalla necessità di risolvere antinomie e difficoltà che si presentano al suo interno. Nella pratica didattica sarà utile conciliare l’aspetto problematico con quello sistematico, intrecciando momenti in cui si propongono problemi, stimolando la ricerca di soluzioni, con momenti di “training esercitativi”, affinché lo studente raggiunga sicurezza nei calcoli e padronanza delle regole sintattiche del calcolo senza mai perdere di vista la consapevolezza di ciò che si sta calcolando.Un contributo significativo all’efficacia dell’’azione didattica può derivare dall’utilizzo dell’elaboratore e software specifici. In questo itinerario didattico che va dal concreto all’astratto, dal particolare al generale, dall’intuitivo al razionale, occorre tenere presente la particolare fascia di età degli studenti e porsi su una linea di continuità metodologica con il percorso del biennio.Saranno utilizzate: 1. lezioni frontali2. lezioni interattive3. attività con l'uso del computer.

STRUMENTI DIDATTICI Gli insegnanti potranno avvalersi degli strumenti di seguito elencati o scegliere fra essi quelli maggiormente adeguati alle situazioni riscontrabili nelle diverse classi: 1. libri di testo2. dispense,appunti3. materiale audiovisivo4. Cd rom5. esercizi guidati6. materiale per il recupero e per il potenziamento anche attraverso la piattaforma didattica 7. software didattico8. computer.






MODALITÀ DI VERIFICA E NUMERO DI PROVE EFFETTUATE NELL’ANNO

Le fasi di verifica e valutazione devono essere strettamente collegate e coerenti, nei contenuti e nei metodi, con il complesso delle attività svolte nel processo di apprendimento-insegnamento.Per verifica intendiamo l’accertamento del raggiungimento di un insieme di obiettivi, del possesso di un insieme di competenze e della padronanza di un insieme di termini. Per questo si deve cercare di rendere il più possibile obiettivo e preciso ogni momento, anche utilizzando tecniche e procedure adeguate che rendono possibile un’operazione di misura. Le verifiche saranno sia scritte che orali. Le verifiche scritte saranno scelte fra varie tipologie: 1. compiti tradizionali: problemi, esercizi2. test3. questionari 4. prove strutturate 5. brevi relazioni. Con la prova scritta si vuole accertare: 1. il possesso dei contenuti 2. la capacità di individuare processi risolutivi3. il possesso dei linguaggi specifici dal punto di vista ortografico, sintattico e semantico. Le tipologie 2, 3, 4 e 5 possono essere utilizzate anche ad integrazione della valutazione orale. Le verifiche orali: 1. al posto 2. alla lavagna 3. mediante test e questionarisaranno finalizzate soprattutto a valutare la capacità di ragionamento e il possesso di un linguaggio preciso e rigoroso e i progressi raggiunti nella chiarezza espositiva, la capacità di discutere con un interlocutore quale può essere il docente. Il numero minimo di prove sarà di tre (di cui una orale) nel primo periodo e quattro (di cui almeno una orale) nel secondo periodo.

CONTENUTIPrimo periodo (settembre-dicembre)

RELAZIONI E FUNZIONI

ü Topologia della retta reale: intervalli, intorni, estremo superiore e inferiore di un insieme, punto di

accumulazione, punto isolato ü Funzioni reali di variabile reale: ripasso delle proprietà delle funzioni, funzioni inverse e composte, calcolo

del dominio e studio del segno ü Limiti di successioni e funzioni a valori in R ü Teoremi di unicità del limite, del confronto, della permanenza del segno ü Continuità di una funzione in un punto e in un intervallo; punti singolari. Teoremi delle funzioni continue ü Algebra dei limiti; limite della composizione e dell’inversa ü Forme di indecisione di funzioni algebriche e trascendenti; limiti notevoli di successioni e di funzioni

ü Definizione ed approssimazione dei numeri p ed e ü Velocità media (e istantanea) di variazione di un processo rappresentato mediante una funzione e

interpretato anche graficamente






ü Derivata di una funzione in un punto e in un intervallo. Significato geometrico della derivata prima di una

funzione calcolata in un punto; punti di non derivabilità ü Derivabilità e continuità: teorema relativo; esempi di funzioni continue e non derivabili ü Calcolo di derivate: esempi di calcolo della derivata di una funzione in un punto come limite del rapporto

incrementale; derivate delle funzioni elementari (x n

, sin x, cos x, tan x, ex, ln x) e teoremi sull’algebra

delle derivate; derivata di una funzione composta, derivata di una funzione inversa ü La funzione derivata. Derivate di ordine superiore. Esempi di funzioni continue e derivabili quante volte si

vuole: funzioni polinomiali, logaritmo, esponenziale, funzioni goniometriche ü Interpretazioni fisiche della derivata ü Differenziale di una funzione e suo significato geometrico (linearizzazione della funzione nell'intorno di un

punto)

Secondo periodo (gennaio-marzo) ü Teorema del valor medio di Lagrange, teorema di Rolle e teorema di Cauchy ü Relazioni fra la monotonia di una funzione derivabile e il segno della sua derivata prima ü Teorema di De L’Hôpital ü Andamento qualitativo del grafico della derivata noto il grafico di una funzione e viceversa ü Comportamento della derivata di una funzione derivabile nei punti di massimo e minimo relativo; punti

stazionari. Risoluzione di problemi che richiedono di determinare massimo o minimo di grandezze rappresentabili mediante funzioni di variabile reale

ü Comportamento della derivata seconda e informazione sui punti di flesso, sulla concavità e convessità del ü grafico di una funzione ü Asintoti ü Studio completo e tracciamento del grafico di una funzione ü Calcolo di una radice approssimata di un’equazione algebrica con il metodo di bisezione e con il metodo

delle tangenti (di Newton) ü Primitiva di una funzione e nozione di integrale indefinito ü Primitive delle funzioni elementari; integrali immediati; regole di integrazione: integrazione di funzioni

razionali fratte, integrazione per sostituzione, per parti; casi particolari

Secondo periodo (aprile-giugno) ü Integrale definito di una funzione continua esteso ad un intervallo chiuso e limitato; significato geometrico

e proprietà relative ü Teorema della media integrale e suo significato geometrico ü Teorema fondamentale del calcolo integrale; calcolo di un integrale definito di una funzione di cui si

conosce una primitiva ü Lunghezza della circonferenza, area del cerchio ü Espressione per mezzo di integrali dell’area di insiemi di punti del piano compresi fra due grafici di funzione

ü Calcolo del volume di solidi come integrale delle aree delle sezioni effettuate con piani ortogonali a

direzione fissata ü Integrali impropri ü La funzione integrale ü Concetto di equazione differenziale e problema di Cauchy e sua utilizzo per la descrizione e modellizzazione

di fenomeni fisici o di altra natura ü Equazioni differenziali del primo ordine a coefficienti costanti o che si risolvono mediante integrazioni

elementari. Integrazione per separazione delle variabili. Risoluzione dell’equazione differenziale del secondo ordine che si ricava dalla II legge della dinamica






DATI E PREVISIONI ü Alcune distribuzioni discrete di probabilità: distribuzione binomiale, distribuzione di Poisson e loro

applicazioni; variazione delle distribuzioni binomiale e di Poisson al variare dei loro parametri [solo per l’indirizzo di potenziamento scientifico:

ü Variabili aleatorie continue e loro distribuzioni: distribuzione normale e sue applicazioni ü Operazione di standardizzazione: sua importanza nel confronto e studio di distribuzioni statistiche e di

probabilità e per l’utilizzo in modo corretto delle tavole della distribuzione normale standardizzata (della densità e della funzione di ripartizione)

ü Definizione e interpretazione di valore atteso, varianza e deviazione standard di una variabile aleatoria]

GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO ü Coordinate cartesiane nello spazio ü Distanza tra due punti ü Equazione cartesiana di un piano nello spazio ü Equazioni cartesiane e parametriche di una retta nello spazio ü Mutue posizioni fra due piani e fra un piano e una retta nello spazio: condizioni di parallelismo, incidenza e

perpendicolarità ü Mutua posizione di due rette nello spazio ü Equazione di una sfera ü Prodotto vettoriale di due vettori.

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