LICEO SCIENTIFICO G. ASELLIClasse 3°E

ANNO SCOLASTICO 2005-2006GRUPPO 3: Livio Cortellini, Marco Denti, Michele Manzini,

Alessandro ZurliniLE CONICHE SECONDO

MENECMO

LA BIOGRAFIA DI MENECMO

• Non si sa molto sulla vita di Menecmo, il matematico greco che per primo scoprì le sezioni coniche.

• Data di nascita: 380 a.C. circa• Vissuto in Asia Minore• Discepolo di Eudosso• Amico di Platone• Maestro di Alessandro Magno• Ritiene che per imparare la geometria ci sia un’unica

strada sia per i re sia per i cittadini comuni• Data di morte: 320 a.C. circa

LA STORIA DELLE CONICHE

• Menecmo pensava che le coniche si ottenessero come intersezione di un cono circolare retto con un piano perpendicolare alla generatrice del cono con angolo variabile

• Alla fine del III secolo a.C. Apollonio osservò che bastava variare l’inclinazione del piano di sezione per ottenere i vari tipi di coniche

• Lo studio delle coniche fu seguito da secoli di silenzio• Queste curve generarono interesse nel Rinascimento quando

furono utilizzate per:

1. I movimenti dei pianeti (Keplero)

2. Le traiettorie dei proiettili (Galileo)

3. Le coordinate geometriche (Cartesio e Fermat)

4. Le proiezioni geometriche (Desargues, La Hire e Pascal)

5. Lo studio dei proiettili (Newton)

LA TEORIA DI MENECMO (ED EUCLIDE)

• Menecmo ha utilizzato solo coni retti (l’asse è perpendicolare alla base)

• I coni sono tagliati con piani perpendicolari alla generatrice e sono ottenuti con la rotazione attorno a un cateto

• Cono acutangolo: OXITOME (ellisse)• Cono rettangolo: ORTOTOME (parabola)• Cono ottusangolo: AMBLYTOME (iperbole)• La teoria di Menecmo fu ripresa e integrata con l’ausilio

del famoso matematico Euclide, noto per i suoi teoremi

MENECMO

APOLLONIO

OXITOME (ELLISSE)

• Se il triangolo per l’asse è isoscele e acutangolo, si ottiene l'oxitome.

ORTOTOME (PARABOLA)

• Se il triangolo per l’asse è isoscele e rettangolo, si ottiene l'ortotome.

AMBLYTOME (IPERBOLE)

• Se il triangolo per l’asse è isoscele e ottusangolo, si ottiene l‘amblytome.

BIBLIOGRAFIA1. Enciclopedia Motta – Federico Motta Editore, Milano (2° Edizione)

2. La sintopedia – Istituto Editoriale Moderno, MilanoENCICLOPEDIE MULTIMEDIALI

1. MSN Encarta2. Omnia 2000SITOGRAFIA

http://www.rappresentazione.net/migliari/Lezioni/AA_2000_2001/Sezioni_coniche/Sezioni_coniche.htm

http://www.liguria.lafragola.kataweb.it/genova/superiori/calvino/section76862.htmlhttp://www.electroportal.net/vis_resource.php?section=artcorso&id=68http://www.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/Xah/Conicsections/

conicSections.htmlhttp://www.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/storia/storia.htm

http://www.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/storia/menecmo.htmhttp://www.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/generale/index.htm

http://www.museo.unimo.it/labmat/menec.htmhttp://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/the_sez1.htmhttp://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/con1_01.htmhttp://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/002ogg.htmhttp://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/001ogg.htmhttp://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/003ogg.htm

http://www.etimo.it/?term=ellissihttp://www.etimo.it/?term=parabolahttp://www.etimo.it/?term=iperbole

DIMOSTRAZIONE OXITOME

Nel piano di base:1)DE : EC = EC : EF, quindi: EC2 = DE·EFNel piano del triangolo per l'asse:DAE simile IFE per il 1° criterio di similitudine, quindi: 2) DE : EI = AE : EF, cioè3) EC2 = DE·EF = EI·AEHGA simile IFE per il 1° criterio di similitudine, quindi: 4) IE : HA = EF : AGNel piano del triangolo per l'asse si ha: LFE simile LGA per il 1° criterio di similitudine, quindi: 5) EF : AG = EL : AL. Confrontando la 4) e la 5), per la proprietà transitiva, si ha6) EI : AH = EL : AL. Scambiando i medi:7) EI : EL = AH : AL. Si moltiplichi per AE al primo membro:8) (EI·AE) : (EL·AE) = AH : AL.Ma AH = 2AN e, tenendo conto della 3) si ha:9) EC2 : (EL·AE) = 2AN : AL.Tutti questi segmenti stanno nel piano della sezione.Nel piano della sezione introduciamo un sistema di riferimento cartesiano con origine A e asse x su AL. Poniamo: AE = x, EC = y, AL = 2a, AN = p (parametro).La 9) si può scrivere:10) y2 : (2a-x)x = 2p : 2a (equaz. dell'oxitome)

Si opera in tre piani: il piano del triangolo per l'asse; il piano di base; il piano della sezione (per ABC).Nel piano di base, per il 2° teorema di Euclide: CE2 = DE·EF.Nel piano del triangolo per l'asse, i triangoli DAE e VHA sono simili per il 1° criterio di similitudine, quindi:DE:AE=AV:AH cioè DE:AE=2AV:2AH ma 2AH=AI=EF e AV=AG (parametro) e quindi:DE:AE=2AV:EF cioè DE·EF = AE·2AV.Segue che CE2 = AE·2AV.Posti CE=y , AE=x , AV=p , nel piano della sezione si ha l'equazione classica della ortotome: y2=2px

DIMOSTRAZIONE ORTOTOME

DIMOSTRAZIONE AMBLYTOME

Nel piano di base:1) DE : EC = EC : EF, quindi: ED·EF = EC2.Nel piano del triangolo per l'asse2) DAE simile MFE per il 1° criterio di similitudine, quindi: DE : EM = AE : EF, cioè3) EC2 = ED·EF = EM·AE.4) IGA simile MFE per il 1° criterio di similitudine, quindi: EM : AI = EF : AG.5) LFE simile LGA per il 1° criterio di similitudine, quindi: EF : AG = EL : AL. Confrontando la 4) e la 5) (per la proprietà transitiva) si ha:6) EM : AI = EL : AL. Scambiamo i medi:7) EM : EL = AI : AL. Moltiplichiamo per AE al primo membro:8) (EM·AE) : (EL·AE) = AI : AL.Ma AI = 2AN e, tenendo conto della 3), si ha:9) EC2 : (EL·AE) = 2AN : AL.Tutti questi segmenti stanno sul piano della sezione.In questo piano introduciamo un sistema di riferimento cartesiano con origine A e asse x su AL (da L verso A).Poniamo: AE = x, EC = y, LA = 2a, AN = p (parametro).La 9) si può scrivere: y2 : (2a+x) = 2p : 2a (equazione dell'amblytome).